Die Vermessung der Milchstraße:Hipparcos, Gaia, SIM

Vorlesung von Ulrich Bastian

ARI, Heidelberg

Sommersemester 2004

Gliederung

1. Populäre Einführung I: Astrometrie2. Populäre Einführung II: Hipparcos und Gaia3. Wissenschaft aus Hipparcos-Daten I 4. Wissenschaft aus Hipparcos-Daten II5. Hipparcos: Technik und Mission6. Astrometrische Grundlagen 7. Hipparcos Datenreduktion Hauptinstrument8. Hipparcos Datenreduktion Tycho9. Gaia: Technik und Mission10. Gaia Global Iterative Solution11. Wissenschaft aus Gaia-Daten12. Sternklassifikation mit Gaia13. SIM und andere Missionen

Hipparcos Datenreduktion

Hauptinstrument

Vorbemerkung:

Die Hipparcos-Datenreduktion ist eine Aufgabe der Ausgleichsrechnung!

Deshalb ist der Darstellung der Hipparcos-Datenreduktion eine kleineEinführung in die Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinstenQuadrate vorangestellt. Siehe separates pdf-file ‚ausgleichung-beobachtungen.pdf‘

Aufgabe der Datenreduktion:

• Transformation der instrumentellen Rohdaten in astronomisch brauchbare Endergebnisse

• Beseitigung aller instrumentellen Eigenarten und Störeffekte

• Umrechnung instrumenteller Größen in physikalische Einheiten bzw. astronomische Standardkoordinatensysteme etc.

Datenmengen:

• Rohdaten (Telemetrie): 43 kb/s * 3 Jahre = 5.1 1011 B = 500 GB

• Hauptkatalog: 120 B/Stern * 120 000 Sterne = 14.4 MB (Daten“reduktion“!)

• Plus Tycho-Katalog und Einzelhelligkeiten, je ca. 100 MB

Allgemeine Formulierung des Ausgleichungsproblems:

Die folgende Formulierung der Aufgabe gilt gleichermaßen für Hipparcos, Gaia und für erdgebundene astrometrische Instrumente. Beobachtet wird: Die instantane Position eines Sternbilds auf dem jeweiligen Detektor (z.B. Gitterkoordinaten, CCD-Pixelkoordinaten, Fadenkreuzstrich, ...) zu einer Zeit t (dem Beobachtungszeitpunkt): Gobs(t).

Gesucht wird: Der Satz der astrometrischen Parameter für den Stern.

Vorgehen: Zu jeder beobachteten Position wird eine Beobachtungsgleichung erstellt. Diese betrachtet die Differenz zwischen dem beobachteten Gobs(t) und einem aus Näherungswerten für die astrometrischen Parameter erwar-teten Gcalc(t). In die Berechnung von Gcalc(t) fließen aber neben den astrometrischen Parame-

tern zusätzlich ein:-die instantane Orientierung des Instruments im Raum (Attitude des Satelliten bzw. die Erdrotation bei bodengebundener Beobachtung)- die geometrische Kalibration des Instruments (Abbildungseigenschaften der Optik und die genaue Lage und Orientierung des Detektors in der Bildebene)

Deshalb ist stets eine gemeinsame, gleichzeitige Ausgleichung der

- astrometrischen Sternparameter („zeitunabhängig“)

- Kalibration des Instruments („langsam variabel“)

- Attitude („rasch veränderlich“)

unabdingbar notwendig. Diese Tatsache macht die Schwierigkeit vonglobaler, absoluter Astrometrie aus.

„Am eigenen Schopf aus dem Sumpf ziehen“

Größe des Rechenproblems:

Die Unbekannten sind zunächst die astrometrischen Parameter der Sterne.Dazu kommen aber rund 50 Kalibrationsparameter pro Tag, und 1 Attitude-parameter (nur along-scan) pro 2.13 Sekunden: 6 105 astrometrische Parameter 6 104 Kalibrationsparameter 4.4 107 Attitudeparameter Insgesamt ca. 4.5 107 Unbekannte Die Elementarmessungen sind bei Hipparcos die photon counts des IDT: 1200/sInsgesamt also 1200/s * 3Jahre = 1.1 1011 photon counts. Also im Prinzip auch 1.1 1011 Beobachtungsgleichungen !

Größe der A-Matrix (4 Bytes/Element): 8 1019 B = 8 1010 GBGröße der N-Matrix (4 Bytes/Element): 3.2 1016 B = 3.2 107 GB

Nicht voll besetzt, aber selbst bei sparse-Speicherung beide je ca. 1013 B = 104 GBUnd spätestens nach der Inversion ist die N-Matrix voll besetzt!

Es ist also völlig undenkbar, dieses Problem direkt anzusetzen und zu lösen. Schon gar nicht mit der EDV-Welt von 1985.

... völlig undenkbar, dieses Problem direkt anzusetzen und zu lösen.

Deshalb:

Das sog. 3-Schritte-Verfahren (Lindegren 1978)

(plus eine Vorverarbeitung der Rohdaten)

Schritt 0: Vorverarbeitung

Schritt 1: Great-Circle Reduction (Großkreisreduktion)

Schritt 2: Sphere Solution (kein deutsches Wort entstanden)

Schritt 3: Astrometric Parameters (astrometrische Parameter)

Schritt 0a: Attitude-Bestimmung

Der Satellit selbst lieferte mit den Rohdaten schon eine grobe Attitude(Orientierung und Rotationszustand des Satelliten als Funktion der Zeit)an die Bodenstation. Genauigkeit ca. 1“.

Aus den beobachteten Durchgangszeiten bekannter Sterne durch dieSchlitze des Tycho-Instruments wurde eine verbesserte Attitude ermittelt.Dies ist ein Standardprozess, der für alle astronomischen Teleskope imWeltraum notwendig ist. Soll hier nicht näher diskutiert werden.Resultierende Genauigkeit im Falle Hipparcos: 0.1“.

Ausreichend als Anfangsnäherung für die astrometrische Datenreduktion!

Schritt 0b: Verarbeitung der IDT-Rohdaten

Das eigentliche Rohsignal sind die Photonenzahlen Ik pro Ausleseintervall k vonjeweils 1/1200 sec, die im folgenden kurz als Pixel bezeichnet werden.

Die Pixel werden folgendermaßen in eine astrometrische Größe umgewandelt:

1. Zusammenfassung aller Einzelpixel aus einem observation frame = 2.13 seczu einer einzigen Lichtkurve (pro Stern), mittels der bekannten Gitterperiode 1.207“ und der jeweils momentanen Rotations-Geschwindigkeit des Satelliten.

2. Anpassung eines periodischen Modells mit 2 Harmonischen:

wobei Ib der Hintergrund, Is das Sternsignal, M1 und M2 die Stärken der ersten

bzw. zweiten Harmonischen, g1 und g2 die gesuchten astrometrischen Phasen

des Sterns und schließlich pk der Zeitpunkt der Auslesung k, ausgedrückt inEinheiten der Gitterperiode (ca. 1/150 sec), gerechnet von der Mitte desobservation frame.

3. Festlegung des ganzen Gitterschritts aus Näherungsattitude und Näherungs-sternkoordinaten (Input Catalogue oder Interimskatalog)

4. Triviale Umrechnung der Phase g1 in eine Gitterkoordinate, d.h. in eine

Position des Sterns auf dem Gitter (in Einheiten des Gitterstrichabstands) zur zeitlichen Mitte des observation frame

Damit haben wir nur noch 5 Messwerte (Gitterkoordinaten) pro 2.13s statt 1200/s.

)(2cos)cos(1 21211 ggpMgpMIII kksbk

Schritt 1: Great-circle reduction (Großkreisreduktion)

Mit den Gitterkoordinaten aus etwa einem halben Tag wird eine eingeschränkteAusgleichung gemacht, die annimmt, dass- die Sterne sich innerhalb weniger Stunden nicht merklich bewegen (und )- die Kalibration des Instruments im wesentlichen konstant ist- der Satellit nur in der Nähe (+/- 1 Grad) eines festen Großkreises am Himmel arbeitet (reference great circle, RGC)- die Attitude und Koordinaten der Sterne orthogonal zu diesem Großkreis auf ca. 0.1“ genau bekannt sind (aus Input Catalogue und Vorverarbeitung)

Diese Annahmen sind ausreichend, um eine eindimensionale Kalibration desInstruments, eine hochgenaue eindimensionale Attitude und hochgenaue ein-dimensionale „momentane“ Sternkoordinaten zu berechnen.

Man führt dazu ein spezielles sphärisches Koordinatensystem ein (RGC-Koor-dinaten, dessen Längenkoordinate entlang dieses Großkreises liegt, als Abszis-se griechisches ypsilon) bezeichnet wird und deren Nullpunkt nominell amSchnittpunkt des Großkreises mit dem ICRS-Äquator liegt. Die Breitenkoordinate wird als Ordinate r bezeichnet.

Die vollständigen linearisierten Beobachtungsgleichungen lauten:

wobei i die Nummer eines Sterns, k eine ad-hoc-Nummerierung der Messungenan diesem Stern, G die gemessene Gitterkoordinate, und r die RGC-Koordi-naten, und drei Winkel sind, die die Attitude beschreiben (entlang desRGC). Das Symbol d stellt den Vektor aller Kalibrationsparameter dar, und symbolisiert die Differenzbildung zwischen der gemessenen Gitterkoordinate undder aus den Näherungswerten für Attitude, Sternpositionen und Kalibration be-rechneten (linke Seite) bzw. die Differenz zwischen den gesuchten Parameternund den Näherungswerten (rechte Seite). Das O(2) symbolisiert die Vernach-lässigungen durch die Linearisierung, und ‘ den Messfehler.

Diese Gleichungen schränkt man nun sogleich auf die Unbekannten entlang desRGC, d.h. auf ein eindimensionales Problem ein, und erhält:

Dies sind die Gleichungen der Großkreisreduktion!

Anmerkung: Abszissen entsprechen topocentric coordinate directions.

Größe des Problems:

ca. 100 000 Beobachtungsgleichungen (40 000 Sekunden mal 5 Beob/2s)

ca. 2 000 unbekannte Sternabszissenca. 50 unbekannte Kalibrationsparameter ca. 20 000 unbekannte Attitude-Parameter

Lösungsverfahren (in Wahrheit ziemlich kompliziert):

- Vorab-Elimination der Attitude-Unbekannten (nach dem Ansetzen von jeweils nur einer Handvoll Beobachtungsgleichungen !)- Auflösung (nach Cholesky) der verbleibenden Normalgleichungen (ca. 2 000 !)- Berechnung der Unbekannten und ihrer Varianzen- Berechnung der Attitude-Unbekannten durch Rückwärts-Einsetzen- Berechnung von Residuen und Testen der Lösung- eventuell Wiederholung des Ganzen unter Auslassung gestörter Messungen und problematischer Sterne (-> Unterschied active stars / passive stars)

Unbestimmtheit (Rangdefekt):

Alle Differenzen und Residuen bleiben gleich, wenn man z.B. alle Abszissen um1“ erhöht und gleichzeitig alle Kalibrationsparameter oder Attitudeparameter um1“ vermindert. Die Beseitigung wurde auf unterschiedliche Weise erzielt.

(für jeweils einen halben Tag)

Vorab-Elimination der Attitude-Parameter

Normalgleichungsmatrix der Großkreisreduktion:

Attitude Abszissen Cal.

20 000

2 000

50

0

0x xx x

xxx

„v o l l“

x

20 000 2 000 50

xxxx

xxx

Nebenbemerkung: Vorab-Elimination (direct elimination)

Jeweils ein Schritt der Gauß-Elimination beseitigt eine Gleichung und eine Unbekannte aus dem Gleichungssystem.

Praktisches Vorgehen:- dividiere diese eine Gleichung durch den Vorfaktor dieser einen Unbekannten- multipliziere sie nacheinander mit dem Vorfaktor dieser einen Unbekannten in jeweils einer der anderen Gleichungen- ziehe sie von dieser anderen Gleichung ab

Das ist äquivalent zu: - diese eine Gleichung nach dieser einen Unbekannten auflösen- den resultierenden Ausdruck für diese eine Unbekannte in alle anderen Gleichungen einsetzen

Wenn man diesen Prozess bis zum Ende führt, dann kann man die gesamteLösung des Gleichungssystems durch Rückwärts-Einsetzen erhalten.

Wenn man diesen Prozess nur teilweise durchführt, dann hat man ein verkleinertes Gleichungssystem vor sich, das aber noch alle Informationenüber das gesamte System beinhaltet.

Ergebnisse der Großkreisreduktion:

- Attitude entlang des RGC auf ca. 4-5 mas genau- Abszissen auf etwa 2-3 mas genau- Kalibrationsparameter auf <<1 mas genau

Defekte der Großkreisreduktion:

- Vernachlässigung der Terme quer zum RGC in den Beobachtungsgleichungen. Daraus resultierend: Zusätzliche Streuung der Messungen um 1-2 Prozent der Fehler der angenommenen Querkoordinaten (sog. projection errors).

- Beseitigung der Unbestimmtheit mittels externer Daten (Input Catalogue). Daraus resultierend: Gemeinsame Verschiebung aller Stern-Abszissen (sog. abscissa zero-point errors, kurz: zero points) aufgrund der Inp. Cat. Fehler.

- Gewisse systematische instrumentelle Fehler sind bei nur eindimensionaler Messung prinzipiell nicht erkennbar (z.B. ein systematischer Versatz der Abs- zissen von roten Sternen gegenüber blauen Sternen, oder von hellen gegen- über schwachen)

All diese Defekte müssen in der weiteren Datenreduktion noch beseitigt werden.

Nebenbemerkung: projection errors

Ergebnisse der Großkreisreduktionen: (Überblick; Details s. 2 folgende Seiten)

Crosses: „geometric solution“. Dots: „attitude smoothing“

Crosses: „geometric solution“. Dots: „attitude smoothing“

Schritt 2: Sphere solution Die sphere solution nimmt die Abszissen aus der Großkreisreduktion als beobachtete Größen und berechnet daraus simultan:- die astrometrischen Parameter der Sterne- die Abszissen-Nullpunkte- die in der eindimensionalen Bearbeitung nicht lösbaren Kalibrationsgrößen- eine kleine Zahl von „globalen“ Parametern, die ebenfalls eindimensional nicht lösbar sind (teils Kalibration, teils Physik) Die Attitude und viele der kurzfristig variablen Kalibrationsgrößen sind eliminiert.

Größe des Problems:

ca. 4 000 000 Beobachtungsgleichungen (ca. 35 Abszissen mal 120 000 Sterne)

600 000 Astrometrische Parameterca. 2 000 Abszissennullpunkte ca. 4 000 weitere Kalibrationsparameter (FAST) bzw. nur einige wenige (NDAC)3 – 8 „globale Parameter“

Formulierung der Beobachtungsgleichungen:

wobei

fünf astrometrische Parameter (Verbesserungen) pro Stern

einige wenige Kalibrationsgrößen pro Großkreis, z.B. zero point, „6th harmonic“

einige wenige globale Parameter, z.B. der PPN-Parameter und „chromaticity“:

d‘, e‘, g‘ die jeweils zugehörigen Ableitungen (Design-Matrix)

der eigentliche Messfehler (der Abszisse!)

s die Größe des Gitterschritts (1.2074“)

nji der „Gitterschrittfehler“, etwas ganz spezielles ...

Abszissendifferenzen (sorry, Tippfehler im HIP; sollte statt v sein)

Struktur der Design-Matrixder Sphere Solution

a) original

b) umsortiert nach Sternen

Lösungsverfahren:

Ziemlich verschieden bei den beiden Konsortien ! In beiden Fällen: Zuerstein Umsortieren der 4 Millionen Beobachtungen von „großkreisweise“ nach„sternweise“ notwendig. Damals eine große Aufgabe ...

FAST: Block-iteratives Schema

NDAC: Vorab-Elimination der astrometrischen Parameter und exakte Lösung des Restproblems (von nur 2300 Unbekannten)

Im folgenden soll nur das block-iterative Schema kurz beschrieben werden,da es für Gaia in großem Ausmaß wieder vorkommt.

Vergleich der beiden: Das NDAC-Verfahren bringt (im Prinzip) eine volle Kovarianzmatrix aller Unbekannten hervor, ist aber in der Modellierung unflexibler, da es weniger Unbekannte verarbeiten konnte.Das FAST-Verfahren ist flexibler bei der Zahl der Unbekannten (konnte mehrKalibrationsparameter berücksichtigen), verliert aber jede Information über (z.B.) die Korrelationen zwischen den astrometrischen Parametern und denAbszissennullpunkten oder den globalen Parametern.

Das block-iterative Verfahren von FAST:

Beobachtungsgleichungen:

Normalgleichungen:

komplett

1. Block

2. Block

3. Block analog, und dann iterieren !

(C,A,G sind die 3 Anteile der Design-Matrix)

( = d‘, e‘, g‘ drei Folien vor dieser; sorry! )

In der Praxis ist das noch viel schöner als es erst aussah:

1. Block: (simples Mittel!)

2. Block: (5*5-Matrizen!)

3. Block: sowieso nur eine Handvoll Unbekannte; Logik analog

Unbestimmtheit (Rangdefekt):

Auch die Sphere Solution besitzt einen Rangdefekt:

Alle Differenzen und Residuen bleiben gleich, wenn man z.B. die Himmelskugel(alle Sternpositionen) um 0.1“ nach Westen dreht und gleichzeitig alle Attitude-parameter um 0.1“ nach Osten.

Anders gesagt: Die Sphere Solution konstruiert eine in sich starre und präziseHimmelskugel, aber sie weiß nicht wirklich, wie diese Himmelskugel im Raumorientiert ist.

Die Beseitigung wurde wiederum auf unterschiedliche Weise erzielt.Hauptsächlich durch VLBI-Radiosterne.

Der auf dieser Seite diskutierte Rangdefekt existiert streng mathematisch nicht: Der Parallaxeneffekt wird mittels der baryzentrischen Gaia-Ephemeride modelliert. Und auf diesem Wege erfährt die Sphere Solution doch etwas darüber, wo im Weltraum „oben“ ist. Praktisch, numerisch war er aber sehr wohl vorhanden!

Schritt 3: Astrometric parameters

Ansatz: Nach Erledigung der eigentlichen sphere solution Korrektur der Differenzen „obs-calc“ um die Effekte der Kalibrations- und der globalen Unbekannten

und Lösung separat „Stern für Stern“.

Wieso überhaupt nötig? Bei der sphere solution wurden doch auch schon die astro- metrischen Parameter bestimmt.

Antwort: Sonderfälle von Sternen, die „Gitterschrittfehler“, gestörte Messungen, ...

Unterscheidung primary stars / secondary stars in der sphere solution !

Globale Iterationen:

Das ganze 3-Schritte-Verfahren muss iteriert werden, um

- die Näherungen der Großkreisreduktion loszuwerden

- die letzten verbliebenen Gitterschrittfehler zu finden und zu beseitigen

- das Modell der Attitude und des Instruments zu verfeinern

- das Fehlermodell für die Einzelmessungen zu verbessern

- ...

Es wurden ungefähr 6 globale Iterationen durchgeführt.