Z. angew. Math. Mech. Bd. 25/27 Kr. 3 Juni 1847 Kleine Mitteilungen 91

1 1 Also ist

und ( A & ) l = 2ilCfg.(dp1)l= 2AGq(AqI)l.

(A1W1= 2A (AP,)l= 2A

Rechnen wir jetzt langs dcr Charakteristik 111 von 1 nach 3 (Bild 4), so gilt wegen GI. (14c): p;z -p:z = --A&$ (Xi -1;) &--pir = -AQ1, (Xi --A:),

- -- - _________ also Und rechnen wir Iangs der Charakteristik IV von 2 nach 3, so gilt wegen GI. (14d):

LIP^)^= ( ~ 4 p ~ ) l - A (A: --A:) (A&)'.

qiz -q= = ---AQ2(2: -A:)

also Daher ist

1 1 1 1 1 (dH)3=--[(Ap,)3+ ( d q 2 ) 3 ] = q A ( A p , ) ' - - ( ~ - A ~ ) ( d & ) ' = - ( A M ) 1 - - ( A ~ 4 2 4 - A : ) (A&)'. 4 A ( L I & ) ~ = O , weil pi und qt Iangs Charakteristikcn I und I1 von Punkten her gerechnet werdcn, an denen Stetigkeit. fur alle GroDen vorausgesetzt ist. Damit ergibt sich nun fur Punkt 5 auf I11 (Bild 4) : Nach G1. (14c): und nach GI. ( l 4 d ) :

pil - P ; ~ = -A P (2: -1:) p: -p' == -A&3 (1; -2;)

( A p2)' = ( A 2 ~ ~ ) ~

q$ -q; = --A &4 (A; 4;) qir -q: = --&'(A63 -At)

( A q 2 ) 5 = 0 . 2 . 2 1 - ______

Also 1 1 1 1 . ( ~ l i M ) ~ = - [ ( d p ~ ) ~ + ( A q ; j 5 ] = q A ( A p 2 ) 3 = T ( A i M ) 1 - - - ( A ; - A ; ) ( A & ) l ~ w ' .

Da ,?:-?,; beliebig klein angenommen werden kann, so zeigt die Rechnung, daI3 sich die Halfte 1 des Sprunges von M in 1 in konstanter Grol3e - - (AM)l von 1 aus langs der Charakteristik 111 2

fortpflanzt. Die analoge Rechnung zeigt, darj sich die andere Halfte von (dM)l von 1 aus langs der Charakterislik IV in konstanter GroI3e fortpflanzt.

liechnen wir von 1 auf der Charakteristik I [nach G1. (14a)l und von 1 auf der Charakte- rislik I1 [nacli G1. (14b)j, so erhalten wir in ganz analoger Weise, da13 sich der Sprung (A&)lvon Q in 1 je zur Halfte auf diesen beiden Charakterisliken fortpflanzt.

Von einem Sprung ( A M)'des Moments M und (d &)l der Querkraft & in einem Punkt pflanzt 1 1

sich also je (AM) ' Iangs der Charakteristiken I11 und IV und je ( A Q)llangs der Charakte- 2 2

ristiken I und I1 fort.

4 A 4

Bingegangon am 2 . Fobr. 1945.

'KLEINE MITTEILUNGEN Die Wirkung der Puffermasse beim Zusammen- stoll von Eisenbahnwagen.

Stol3en zwei mit gefederten Puffern versehene Eiscn- bahnwagen zusammen, ist die Schwingungsbewegung leicht zu berechnen, wenn die Federn keine Masse haben [l]'). Die Masse der Puffer uhd Federn ist klein gegeniiber der Wagenmasse. Bei einern von der Reichs- hahn vie1 verwendeten Puffer ([4], S. 992) haben die bcwegten Teilo (Pufferhiilse mit Teller und StoB- stange voll. Pufferfcdcr zur Hiilfte gerechnet) cin Gwicht von etwa 92 kg, bei neueren Pufferbauarten [2] nur etwa 65 kg. Beim ZusammenstoB von zwei Wagen arbcitcn vier Puffer gleichzeitig, die bewegliche Puf-

fermasse ist also z. B. 981 = 0,375 kgs*/cm, die Masse eines Wagens dagegen 25 bis lOOmal griihr.

G o t t s c h a 1 k [3] hat beobachtet, daR beim Auf- laufep eines schwcren Wagens auf einen lcichten die

9 Die Zahlrn in eckigen Xlammern vt=rwrlsen auf dss Bchrifttumaverzelchnis am SchluU der Arbeit.

4.92

Puffer dcs auflaufenden Wagens bei allen Auflaufge- sehwindigkeiten sich inchr zusammendriickten als dio des Prellbockwagens. Wir erklaren diem Erschei- nung dadurch, daB wir die Puffermasse bei dem Zu- sammenstoa beriicksichtigen.

1. B e l i e b i g e M a s s e n v e r h i i l t n i s s e . Wir nehmen an, der Wagen a rnit der Masse Y = Ma

fahrt mit der Geschwindigkeit vo auf einen stehenden Wagen c mit der iMasse Me = bl : n auf. Zwimlien den Wagen befindet sich die Wdermasse Mb = M : m, zwischen Ma und M b und zwischen &fb und Mc je eine Feder mit der Richtkraft c. Die Zeiten zahlen von der ersten Pufferberiihrung ab, die Wege von der Lage dcr Masscn zu dieser Zcit (Bild 1). Wir bctrachten die Bewepnp von einem Koordinatensystem aus, das sich mit der Gcschwindigkeit des Massonschwerpunktes E bewcgt :

- (1) . . . . . . mnvo m n + m + n' V =

2. angew. Math. Mech. Bd. 26/27 Nr. Y JunI 1947 Kleine Mitteilungen

-. ___ _____ 92

Die Differentialgleichungcn fur die Bcwegung der drci Mamen lauten:

M . T,L z b

M X, = - f (bn - I b )

C (fa - J b ) - c ( z b - Zc) . . (2) I -

M .. -,n- Zc := c ( X I , - re)

H M n -

C 1- I o--c k w

xa Xa Jr,

DiId 1. Federwhultbiltl.

Nach der iiber den Anfangszust.and gemachten An- nalime s e h e n wir an:

) . . (3) za = Ca Ainwt, sc == C, sin w f

.rb == C b sin wt,

und finden durch Einsetzcn in G1. (2) und nach Kur- zung durch sin w t :

(H w* - c )

Die Hauptdeterminante des Ausdruckes (4) inuB ver- schwindcn, wenn eine endliche IZsung cxistieren soll. Kach Kiirzung durch die triviale Liking 7u2 = 0 ist e t der Abkiirzunp 1P == 1/ 4 7 n 2 T ( n -

_ _ __ - - .

&lit diesen Randbedingungcn werdcn die Konstanten Ca und Cu 2:

tio ( 2 m 2 + n*+ m n - - m - n + ( m + 2) W ) 2i0 , (mn -+ m 4- n ) W

- v,,(2mZ 4- nz + m n - m -n - (m + n) W ) ' a 2 -

3 ~ic2 (m n -i in + n) w Die Federkrafte sind P a b = e (za - 3) = -- $f ku

M und p b c = c ( r b - rc) = 2,. Die Hochstwerte von &, nnd & licfcrn die Gleichungen Zh = 0 und'xc = 0. Die Wcrte P a b m a x und P b c m a s vcrgleichen wir mit den GroBtkriiften P,:,,,, die beim Vernachliissigcn der Puffermasse errechnet wcrden [l]:

C a l T L ~~

.___-

Dabci ist zu bedcnken, daB die Federrichtkraft c' fur vier Pufferfedern herechnet wird, von denen je zwei nebeneinandcr und hintereinandcr geschaltet sind, wahrend c fur zwci ncbeneinandergeachaltete Federn gilt, so dafi c' =- c : 2 ist:

2. Z a h 1 e n b e i B p i e l . Wir nehmen M a = 30, .Mb =0,375 und M c =

10 kgs2/cm nn (m = 80 und n -= 3). Nach GI. (5) wird w1 = 1,412 vcm und to2 =: 12,728 vm und nach

Rild 2 . cos t~ =f cos 9 U.

])as Verhaltnis

p = w 2 : N1. . . . . . . . . . . . . . . (6)

ra =- Ca sin i / v l t + Ca sin w,t . . . . . . (7)

ist nur voti m untl n abhangig.

Die Konstantcn c'b und Cc rechnen wir mit den Gl. (4) a m .

?l C', 1

71 Ca? l . . . . . (9)

rc = - -. (n - 1 - W ) sinw,t 2 m

.!. -- (n - 1 4- iV) sinwzt I 3 in

Fur t =: 0 ist dio Geschwindigkeit der Wagen untcr Bcachtung von GI. (1):

m 4- n . . (10) 0 =: 1'0 mn + -+ ; I

m n xbo Jc

== - ''0 m n + m -t 1.i

G1.(6) p - 9,014. hTachG1.(11) wirdCa,wl-;0,26203vo und Caz ~ 1 % = 0,00314 vo. Die Gleichung 'kL,= 0 lautct, wenn man U J ~ t = u sctzt,

COB u + 0,9730 cos 9,014 u == 0.

Die Glcichung ha t verschiedone Null-Stellen. Der groBte Wert fur la ist in der N&he von tc =n/2 zu erwarten (Bild2), und man findet die Usung far u -- 89,8B0. Damit wird P a b max = 0,4100 vo vm Die Gleichung $; = 0 Iautet:

cos u - 0,9997 COB 9,014 u = 0.

Die Glrichung gibt bei u = 89,88O fur Z 0 einen Kleinstwcrt. Die benachbarten Hochstwerte liegen bei u l = 71,90° und up = 107,85O. Die zugehorigen griiBten KrEfte sind P b c = 0,3839 vo va und 0,3864 vo vcm. Die Feder a b wird also urn 6,l% rnehr beansprucht als die Feder b c . Nach G1.(12) ist dir gr6Bte Krnft o h m Rerucksichtigung der Puffer- niassen PEax = 0,3336 vo y@, p = 1,160 und r =- 1,093. d. h. die Fcdern werden tatsachlich 16,O bzw. 9,3% mehr beansprucht, als sich bei Vernach- lassigung der Fcdermassc ergibt.

Kleine Mitteilungen 93 2. angew. Math. Mech. Bd. 25/27 Nr. 3 Junl 1947 --- -__ __

3. D a r s t e l l u n g d e r V e r h a 1 t n i s z a h 1 e n q u n d r f i i r n = l .

Haben der s toknde und gestohne Wagcn gleiche Massen (6= l ) , vereinfachcn sich die Glcichungen.

w1 = I/: und w p = 11; v2m + 1 . (5a)

- -

w1 ist die Kreisfrequenz dcr Schwingung ohne Puffcr- masse und w, die Kreisfrequenz einer Oberschwingung.

Die Amplituden der Oberschwingung sind also im Vcr- hgltnis 1 : pa klciner als die der Grundschwingung. Die Pufferkraftc sind

* 2'0 - P m a n = 3 y c M . . . . . . . . . . . . (12s)

\ 1

1 Die Hypsrbel 1 + hiillt dic q- und r-ICurvon ein.

r Die groUten Wcrte von q und r sind immcr gr<iIkr als 1, d. h. die Beriicksichtipng der Puffermassc erhbht immer die Federkrkftc. l m Bereich der im Eiscnbalin- wescn vorkommendcn Verhiiltnissc ist m etwa = 25 bis 160, d. h. p = 7 bis 18. Die Bcobachtung G o t t - s c h a 1 k s , daU die Fcder dcs auflaufenden LVagms mehr beansprucht wird [3], bcstiitigt sich in dcn I3c- reichcn p = 8 his 10, 12 birJ 14 und 16 bxs 18. I n den Bereichcn p = 6 bis 8, 10 bis 12 und 14 bis 16 ist das Gegenteil zu erwartcn, hier wird sich die Fcder des angesto5enen Wagens mehr zusammendriicken.

4. E r g c b n i 8.

Vcrnachlassigt man beim Bcrcchncn dcs Zusammcn - stol3es von zwci Eisenbahnwagen die Rfassc der Yuffcr- fcdern, erhillt man grtiUte Pufferkrkftc, dic bis 1.3% klcincr als die wirklichen sein kijnnen. Die Puffer des auflaufendcn und des angestoaencn Wagcns drucken sich im allgemeinen vcrschicden stark zu- sammcn.

S c h r i f t t u m v c r z e i c h n i s. 1. F 6 p p 1, Aufgabcn aus der tcchnischen Mcchanik,

Miinchen und Berlin 1930. 2. P f o n n i n g s, Die Zug- und StoU-

vorrichtunmn' an den ncucn Waeen der Deutscgen Rcichsbahn. Organ F&- schr. Eisenbahnwes. Bd. 94 (1939), H. 22, S. 422.

3. G o t t R c h a 1 k , Schtidlichkeit dcr Itangicrstiib beim StoUvcrfahren. Organ Fortachr. Risenbahnwes. Bd. 89 (1934), H. 23, S. 421.

4. Hutte, .Des Ingenieurs Taschenbuch, Bd. 111, 26. Aufl. Berlin 1934.

OppeLn. G e r h a r t P o t t h o f f .

Uber das Abklingen von Schwingun- gen rnit schwacher in beliebigerweise von der Geschwindigkeit abhangiger Dampfung.

Wir betrschten eine Schwingung von der Form

z + f(i) + wzx = o . . . . ( l ) ,

wobei f (i) in dem durch die Anfangsampli- tudc a, festgclegtcn Interval1 - w a,, I; 5 + o a,, cine ungeradc analytischa nicht ab- nchmende Funktion sein 8011. Wegen der Approiimierbarkeit allgcmeinerer, etwa ge- knickter Kurven durch l'olvnome ist dies

Den HBchstwert. fur Pub finden wir aus dcr Bedinyng cos u + co8 p u = 0. u = (2.2- l ) n - p u , wobei

z = 1,2 ,3 , . . . und zmax sz + 1 ist. P

(2 z - 1) n P + l

u = --

Dabei ist sin u = sin p u und damit ( 2 % - 1 ) n . . . (13s)

Fur den Htichstwert von Pbo gilt die Bedingung c o s u - c o s p u = 0 , u = 2 n z - p u , ' wobei z = 1 ,

2, 3, . . . und zmax 5 7 ist, u = - Dabei ist P + 1 . 2 n z I

P + 1 ' s i n u = - s i n p u u n d

Die Zahlen q und r sind in Bild 3 uber p dargeatellt.

. ..

kcine wesentliche Einschrankung. Der Bctrag von f (2) sci so klein, da5 wiihrend eincr

Schwingung die Amplitude nicht mcrklich abnimmt,

Multiplikation von (1) mit x und Integration iiber das Zeitintcrvall zwischen zwci konsckutiven Xull- stellen von a; mit dcn zugehiirigcn a-Koordinatcn z = - x, und x = + x, ergibt

also j f (2) I << w2.uo.

0 2 O + / f ( & ) i d t + 2 (x:-x2,2) = O .

GemaB der vorausgesetztcn geringcn Diimpfung und dcr hicraus folgenden langsamen Amplitudenandcrung fiihren wir die Amplitude a zu Hcginn der einzelnen Schwingung und dcn BctriLg A a dcr Amplituden- anderung wihrend eincr Vollschwingung ( A u > 0) ein, so daU untcr Vernachliiss~ung von Gliedern hiiherer Ordnung gcschriebcn werdcn h n n x,, = - a,

x -a--und A a 2 1 -

Z. angew. Math. Me&. Bd. 25/27 Nr. 3 Junt 1947 94 Kleine Mitteilungen --__

x: - ~ , 2 -- - a.A a, 1 j (i) S d t - oZ.a.'l a 2 0. Weiter kann wegen der schwachen Diimpfang das hier auftretende IntegraI geniihert aus der ungedampften Schwingung berechnet werdcn, es darf also

gesetzt und als Integrationsintervall die halbe Schwin- gungsdauer .- To genommen werden. Es ist dann

-= 0) fa2 - 2 2

1 2

m

4- "

- a /I

0

1st die Auffassuna drr Amplitude a als einer stetig- differenzierbaren Funktion der Zeit gestattet (Hull- kurve nach Z e c hl), so kann weiter geschrieben werden

0

oder mit der Substitution x = a.cos p m _-

2f m a = - - f ( t o a s i n p ) s i n p : d p . . . . . (3).

Die explizitc Berechnung des Amplitudenverlaufs fiir gegebencs f n a b (3) l iuf t jetzt rrsichtlich auf die Be- rechnung cines bestimmten Integrals hinaus. Wir wollen hier jedoch die unigekehrte Aufgabe behandeln, aus dem beobachtetcn Ablilingvorgang auf das Damp- fungsgesetz zu schliel3en.

Es sei also die Funktion a = a ( 1 ) und damit auch a ( t ) gegeben. Man verfugt somit uber einc Farametcr- darstellung der Funktion u (a),. die wir im folgcnden bcnijtigen. Die Funktion f(b) sol1 nun berechnet

72 0

werden.

neue Jntegrationswriable u ein: Hierzu fuhrcn wir auf der rechten Seite von (2) die

a 2 (a2 - x?), 2 .= ]';z-.s, 1 d u

und erhalten m'a'

oder rnit v = w2 a2 anstellc von a 1)

Dies ist pine A b c 1 sche Intcgralgleichung fur f . Sio ha t die I&sung2)

I

Schrciben wir jetzt nnstclle von fi und ersetzen wir die Integrationsvariable v wiedcr durch a, so erhalten wir wcgen 1: := 2 w 2 a u die gesuchte Danipfungsfunk- tion f (i) in der Gestalt

Besteht speziell zwischen a und a cine Ucziehung der Form a == - c'a", so t r i t t in ( 3 ) suf der rechten Seite ein Integral der folgcnden Form auf:

und ts ergibt sich fur die Danipfung

Dresden. P l t l t o .

Eingrenzen der Wurzeln von Gleichungen 3. bis 6. Grades.

Wenn man sich rasch einen Lkerblick verschaffen will, wo die rcrllcn Wurzeln einer Gleichung 3. bis 6. Grades etwa licgen, hilft oft ein Verfahren, das hier am Beispiel der Gleichung 6. Grades gezeigt wird. Das Verfahren gibt niit voller Strenpe daruber Aus- kunft, wo reelle Wurzeln ausgeschlossen sind; bei Gleichungcn 3. bis 5 . Grades ksnn man den zu unter- suchendcn Uereich beliebig vorschreiben.

Dir Gleiehung 6. Grades mit kOnstant.cn reellen Koeffizienten 5 6 + a zs 4- b x4 + c x3 -1 d z2 -1- e z 4- f = 0 . ( l a ) werde unigeformt zum Bcispiel in

) . . . (Ib).

Nur fur die folgende ErkIiirung werde dafiir kurz ge- schricbcn

worin y1 == x yz = z3 -t c y3 = z2 + a 5 + b (2) bis (5) und y , = = ( a c - d ) s 2 - t ( b c - e ) z - - f gesetzt sind. Die leicht aufzulescnden Gleichungen

ergeben diejenigen reellen 2, hei denen eine der Funk- tionen y das Vorzeichen w6chselt, wenn z alle reellen R e r t c von - co bis + co durchlluft. Diese ,,Urenz- werte" seien der Grijfie nach geordnet

I n dein Bcrcich zwischcn zwci aufeinanderfolgenden Grrnzwcrten kann GI. ( lb) durch einen reellen Wert von x nur erfullt werdrn, wenn die Vorzeichen von yl bio yr zueinander passen. In den Bereichen, wo sie

z ( ~ 3 4- C ) (x' + u 2 + b) = ( a c - d ) x 2 + ( b c - - e ) z - - f

y,.y,.y, = y4 . . . . . . . . . . .(lc),

y1 = 0, yz = 0, y3 = 0, y1= 0

91 '92 9 3 94 95 96 * . ' ' * . ' (6)'

*) G . li o h r 1 s e I . Iuti.eralpli.ichungen, 9.117. Sammlung

G . K n w a 1 e w 8 k 1 , Intcyralgleichungen, S. 9. Bcrlin u. Ooschen. I k r l i n U. Lr,ipzig 1936.

Leipzig 1930.