Die Zahlen Die Zahlen und und ee::Entdeckung,

Irrationalität und Transzendenz

Gliederung

• Die ersten 100 Dezimalstellen• Bezeichnungen• Entdeckung der Zahlen• Irrationalität der Zahlen• Transzendenz (allgemein)• Transzendenz der beiden Zahlen• Quellen

Die ersten 100 Dezimalstellen

= 3,141592653589793238462643383279 502884197169399375105820974944 592307816406286208998628034825 3421170679

e = 2,718281828459045235360287471352 662497757247093699959574966967 627724076630353547594571382178 5251664274

Bezeichnungen

• Die Symbole und e wurden beide von dem schweizerischen Mathematiker Leonhard Euler (1707 – 1783) eingeführt.

• e steht dabei nicht für Euler, denn dieser war sehr bescheiden. Man begründet seine Wahl damit, dass e der erste freie Buchstabe im Alphabet war (a, b, c, d stehen für die Seiten eines Vierecks). Andererseits könnte e aber auch für „exponentiell“ stehen.

Bezeichnungen

• e wird auch Eulersche Zahl genannt. – Leonhard Euler gab der Exponentialfunktion

ihren zentralen Platz in der Differential- und Integralrechnung.

wird auch Ludolphsche Zahl genannt.– Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) berechnete auf 35 Stellen genau.

Die Entdeckung von

Das Ausgangsproblem:

Die Quadrierung des KreisesDie Quadrierung des Kreises

Man versuchte ein Quadrat zu finden, dessen Flächeninhalt dem eines Kreises entspricht.

Entdeckung von

Chronologie von :• 1650 v.Chr.: Der Papyrus Rhind (ägyptischer

Text, benannt nach dem schottischen Ägyptologen Henry A. Rhind, der diesen 1858 erworben hatte) sagt aus, dass ein Kreis dieselbe Fläche hat wie ein Quadrat mit einer Seitenlänge von des Kreisdurchmessers. Bezeichnet man den Durchmesser mit d, dann erhält man die Gleichung Kürzt man durch d2, dann ergibt sich = 3,16049.

98

.])[()( 2982

2 dd 81

256

Entdeckung von

• 240 v. Chr.: Archimedes (Grieche) bewies, dass die Fläche eines Kreises r2 beträgt, wobei r der Radius ist. Er war der Erste, der einen Algorithmus angab, mit dem man den Wert von mit jeder gewünschten Genauigkeit berechnen konnte. Seine Idee war, einen Kreis mit einer Reihe von regelmäßigen Vielecken mit immer mehr Seiten einzubeschreiben. Der Umfang eines jeden Vielecks ist etwas größer bzw. etwas kleiner als der des Kreises.

Den Näherungswert für erhält man, indem man den Umfang des Vielecks durch den Durchmesser dividiert. Je mehr Seiten das Vieleck hat, desto genauer ist der Wert. Durch außenliegende Vielecke nähert man sich von oben, durch innenliegende Vielecke von unten. Damit zeigte Archimedes, dass zwischen (3,1408...) und (3,1428...) liegt.

Entdeckung von Entdeckung von

71103

713

Entdeckung von

• 480 n. Chr.: Tsu Ch‘ung-chih (China) gab (3,1428...) als einen ungenauen und (3,1415929...) als einen genauen Wert an.

Es folgten viele weitere Nährungswerte. • 1464: Nicolaus de Cusa (Deutschland) gab

folgende Formel zur Berechnung von an:

722

113355

...1423,36343

Entdeckung von

• 1579: Francois Viète (Frankreich) beschränkte das Intervall auf 3,1415926535 bis 3,1215926537. Er war der Erste, der eine unendliche Reihe angab.

Er bestimmte auf neun Stellen genau. • 1596: Ludolph van Ceulen (Deutschland)

berechnet auf 20 Stellen genau.• 1610: Van Ceulen präzisierte sein Ergebnis auf 35

Dezimalstellen genau. Seitdem wird in Deutschland Ludolphsche Zahl genannt.

...21

21

21

21

21

21

21

21

212

Entdeckung von

• 1650: John Wallis (England) drückte durch eine extrem schwierige und komplizierte Methode aus:

• Wallis zeigte diesen Wert Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der ‚Royal Society‘, der die Gleichung wie folgt umstellte.

886644297755334

492

252

92

11

4

Entdeckung von

• 1668: James Gregory (Schottland) approximierte durch die unendliche Reihe

Mit x = 1 wird die Reihe zu

Er bewies außerdem, dass die geometrische Quadrierung eines Kreises unmöglich ist.

• Diese Reihe wurde unabhängig davon 1673 von Gottfried Willhelm von Leibnitz (Deutschland) ebenfalls entdeckt.

...71

51

311

4

....753

arctan753

xxxxx

Entdeckung von

• 1699: Abraham Sharp (England): 72 StellenDen Wert erlangte er, indem er x = in Gregorys Reihe einsetzte. Es ergibt

was nützlicher ist als die Form mit x = 1, die berechnet.

• 1706: John Machin (England): 100 DezimalstellenEr findet den Ausdruck

• 1742: Leonhard Euler (Schweiz) benutzt zum ersten Mal die Bezeichnung .

31

...

931

731

531

3311

6 43231

4

.arctanarctan4 2391

51

4

Entdeckung von

• 1761: Johann Heinrich Lambert (Deutschland) bewies, dass irrational ist. Seitdem ist deren Geschichte mit der der Zahl e stark verflochten.

• 1779: Leonhard Euler (Schweiz) fand die Gleichung

• 1844: Zacharias Dase (Deutschland): 200 Stellen• 1847: Thomas Clausen (Deutschland): 248 Stellen• 1845: William Rutherford (England): 440 Stellen• 1853: William Shanks (England): 607 Stellen• 1873: William Shanks (England): 707 Stellen

.arctan8arctan20 793

71

Entdeckung von

• 1882: Ferdinand Lindemann (Deutschland) bewies die Transzendenz von und ebenfalls dass die Quadrierung unmöglich ist. Näheres dazu folgt später.

• 1913: Srinivasa Ramanujan (Indien) stellte eine ungewöhnliche Approximation an:

• 1949: U.S. Army: 2035 Dezimalstellen

...8261415926525,322199

41

22

Entdeckung von

Es folgte ein Wettrennen um Dezimalstellen von . Bei e gab es keine derartigen „Verrücktheiten“.

Rekord 1989: 480 Mio. Stellen (Quelle: Breggen / Borwein / Borwein: „Pi: A Source Book“)

Das ist sicher nicht der letzte Stand, da durch die zunehmende Leistung der Computer immer mehr Dezimalstellen leicht berechnet werden können.

Die Entdeckung von e• Man weiß insgesamt weniger über die Geschichte

von e als über die von , obwohl älter ist. • Die Zahl e wurde nicht von Euler entdeckt, wie es

fälschlicherweise in vielen Büchern steht. • Sie wurde bereits in der 1618 von Edward

Wright (1558 – 1615) veröffentlichten englischen Übersetzung der Arbeit von John Napier (1550 – 1617) über Logarithmen erwähnt. Die Entstehung der Logarithmen werden wir daher genauer betrachten.

Entdeckung von e

• Der deutsche Mathematiker Michael Stifel (1487 – 1567) formulierte im Jahr 1544 folgende Beziehungen: qm · qn = qm + n und qm / qn = qm – n

• Diese Erkenntnis ist der Schlüssel zu den Logarithmen.

• Stifel ließ nur ganzzahlige Exponenten zu.Napiers Idee war dagegen einen stetigen Wertebereich für die Exponenten zuzulassen.

• Der Schotte Sir John Napier stellte Überlegungen an, wie die zahlreichen Berechnungen seiner Zeit (z.B. die Ortsbestimmung der Sterne in der Astronomie) vereinfacht werden konnten.

• Jede positive Zahl will er als Potenz irgendeiner gegebenen festen Zahl schreiben können, dann würden Multiplikation und Division äquivalent zur Addition und Subtraktion ihrer Exponenten.

Entdeckung von e

Entdeckung von e

• Stellt man eine Tabelle mit allen Potenzen auf, so können die Ergebnisse einfach abgelesen werden.

• Um Lücken zwischen den 2n zu schließen, können entweder gebrochene Exponenten oder als Basis hinreichend kleine Zahlen verwendet werden.

n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2n ¼ ½ 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

Entdeckung von e

• Da Brüche bisher nur als Verhältnisse ganzer Zahlen bekannt waren, wählte Napier 0,9999999 = 1 – 10– 7 als Basis.

• Seine Wahl wurde von den trigonometrischen Berechnungen seiner Zeit beeinflusst, sodass er den Radius des Einheitskreises in 10.000.000 oder 107 Teile zerlegte, die er als neue Einheit betrachtete. In diesem System ist 1 – 10– 7 die der 1 am nächsten liegende Zahl.

Entdeckung von e

• Durch wiederholte Subtraktion ermittelte Napier alle aufeinanderfolgenden Glieder seiner Folge. Dazu benötigte er 20 Jahre (1594 – 1614).

• Seine Ausgangstafel (1. Tafel) enthielt 101 Einträge: 107 = 10.000.000

107·(1 – 10– 7) = 9.999.999107·(1 – 10– 7)2 = 9.999.998 ...107·(1 – 10– 7)100 = 9.999.900

Entdeckung von e

• 107·(1 – 10– 7)n mit n = 0,1,...,100. • Er nannte n Verhältniszahlen (= log arithmi) und

1 – 10– 7 als „Proportion“.• Zur Aufstellung seiner 2. Tafel begann er wieder

bei 107 und wählte als Proportion das Verhältnis 9.999.900 : 10.000.000 = 0,99999 = 1 – 10– 5.

107·(1 – 10– 5)r mit r = 0,1,...,50letzter Eintrag (r = 50): 9.995.001

Entdeckung von e

• 3. Tafel: Verhältnis 9.995.001 : 10.000.000 0,9995 107·(1 – 0.9995)s mit s = 0,1,...,20)

• Napier erstellte von jedem der Einträge der 3. Tafel weitere 68 Einträge mit dem Verhältnis 9.900.473 : 10.000.000, das sehr nach an 0,99 liegt.

• N = 107·(1 – 10– 7)L, wobei L der (Napiersche) Logarithmus von N.

Entdeckung von e

• Wenn man N = 107·(1 – 10– 7)L durch 107 dividiert, erhält man mit N* = N/107 und L* = L/107. Für n geht gegen 1/e (Analysis I).

• Trotzdem kann man nicht sagen, dass Napier die Basis 1/e oder sogar e entdeckt habe, da der Begriff der Basis sich erst später herausbildete. Dagegen findet man in der 2. Ausgabe der von Eduard Wright besorgten Übersetzung von Napiers im Anhang eine Aussage, die gleichbedeutend mit loge10 = 2,302585 ist.

*1010

1 ])1[(*7

7LN

nn )1( 1

Entdeckung von e

Unabhängig von Napiers Arbeit erfand der Schweizer Jobst Bürgi (1552 – 1632) ebenfalls den Logarithmus (Erfindung 1580, Veröffentlichung erst 1620). Er verwendete 1 + 10– 4 statt 1 – 10– 7.

0,0000 1,000000000,0001 1,00010000 = 1+1/100000,0002 1,00020001 = (1,0001)2

... ...0,0010 1,00100045 = (1,0001)10

... ...0,0100 1,0100466 = (1,0001)100

... ...1,0000 2,71814593 = (1,0001)10000

... ...

Entdeckung von e

• Hätte Bürgi es genauer genommen und mit 1/1.000.000 statt mit 1/10.000 gearbeitet, so hätte er möglicherweise festgestellt, dass die neue Basis nur unwesentlich größer als die alte ist. Der Grund dafür ist, dass für n gegen e konvergiert (Analysis I).

nn )1( 1

Entdeckung von e

• Darüber hinaus gibt es eine Spekulation, wie man den Grenzwert e von für n entdeckte.

• Da Finanzangelegenheiten immer im Mittelpunkt des menschlichen Interesses standen, lässt sich die Idee leicht begründen.

• Bei fast allen finanziellen Rechnung spielen die Zinsen eine wesentliche Rolle.

• Der Zins ist der Preis für überlassenes Kapital.

nn )1( 1

Entdeckung von e

• Zinseszinsen bedeutet, nicht nur das Kapital wird verzinst, sondern auch die Zinsen für das Kapital verzinsen sich.

• Ein Kapital P wird zu einer jährlichen Verzinsung r angelegt. Nach t Jahren ergibt sich ein Saldo S

• Einige Banken berechnen die Zinsen nicht nur einmal, sondern n-mal im Jahr. Die jeweilige Verzinsung entspricht dann . Es gilt

.)1( trPS

nr

.)1( ntnrPS

Entdeckung von e

Spezialfall: r = 1 und P = 1

Ein Kapital von 1 € wird zu unrealistischen 100 % verzinst (r = 1).

Man stellte fest, dass sich der Wert für S unabhängig von n irgendwo nahe der Zahl 2,71828 einpendelt.

n1 22 2,253 2,370374 2,441415 2,48832

10 2,5937450 2,69159

100 2,704811.000 2,71692

10.000 2,71815100.000 2,71872

1.000.000 2,7182810.000.000 2,71828

nn)1( 1

Irrationalität von

Beweis von Kai Uhlenbrauk, Universität Dortmund, beruhend auf eine Arbeit von Ivan Niven (1947):

Angenommen ist eine rationale Zahl, lässt sich also darstellen in der Form , wobei p eine ganze (pZZ) und q eine natürliche Zahl (qNN)ist. a) Für nNN sei eine Funktion definiert durch

fn: RR RR mit

qp

.!

)()(n

qxpxxfnn

n

Irrationalität von

Auflösen des Zählers durch Anwenden des binomischen Lehrsatzes liefert

wobei alle ai ganzzahlige Koeffizienten sind. Dies sieht man leicht ein, da die Koeffizienten durch Addieren, Subtrahieren und Potenzieren von p und q, die ganzzahlig sind, bzw. Multiplizieren mit Binomialkoeffizienten entstehen und die ganzen Zahlen abgeschlossen bzgl. dieser Operationen sind.

,)(2

!1

n

ni

iinn xaxf

Irrationalität von

Aus dieser Darstellung geht hervor, dass für k < n oder k > 2n.

Des Weiteren gilt

0)0()( knf

).)!2(()(

)beinhaltenx die Terme, )!1(()(

)beinhaltenx die Terme,!()(

2!12

1!1)1(

!1)(

nnn

n

nnn

n

nnn

n

anxf

anxf

anxf

Irrationalität von

Dies bedeutet

wobei alle Zahlen auf der rechten Seite ganze Zahlen sind. Insgesamt gilt also für k = 0, 1, 2,...

ist ganzzahlig.

,)1()12)(2()0(

)1()0(

)0(

22

1)1(

)(

nn

n

nn

n

nn

n

annnf

anf

af

)0()(knf

Irrationalität von

Zusätzlich gilt

Damit ergibt sich für die Ableitungen von fn mit Hilfe der Kettenregel

worausfolgt. Also ist auch ganzzahlig für alle k.

)(!

)(!

)()()(!

))(()()(

1

xfn

qxpxn

qxqxpn

xqpxxf

n

nnnnnq

nqpn

qp

qp

n

),()1()( )()( xfxf qpk

nkk

n

)0()1()()( )()()( kn

kqpk

nk

n fff

)()( knf

Irrationalität von

Es werden weitere Hilfsfunktionen definiert, die Funktion Fn: R R R R, mit

und die Funktion Gn: R R R R, mit

Da die Funktion fn und alle ihre Ableitungen an den Stellen 0 und nur ganzzahlige Werte annimmt, gilt dies auch für Fn. Durch Differenzieren der Funktion Gn sieht man leicht, dass sie eine Stammfunktion von gn(x) = fn(x)·sin x ist.

.cos)(sin)(')( xxFxxFxG nnn

)()1(...)()()()( )2()4()2( xfxfxfxfxF nn

nnnnn

Irrationalität von

b) Wir betrachten nun das IntegralNach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt

Der Wert dieses Integrals ist also für jede Wahl von n eine ganze Zahl.

.)(0

dxxgn

).0()(0cos)0(0sin)0('cos)(sin)('

)0()()()( 00

nn

nnnn

nnnn

FFFFFF

GGxGdxxg

Irrationalität von

Für alle x]0,[ gilt nun aber

Dies bedeutet

Da , gilt für hinreichend großes nwomit der Wert dieses Integrals sicherlich keine ganze Zahl ist, was ein Widerspruch zu ist.

.!!

)()(sin)()(0np

nqxpxxfxxfxg

nnnn

nnn

.!!

)(000 n

pdxnpdxxg

nnnn

n

0lim ! n

an

n,1

!

npnn

Irrationalität von e

Die Irrationalität von e und e² bewies Euler 1737.

Wir zeigen nun, dass e irrational ist.

Die Beweisführung ist indirekt: Wir nehmen an, dass e rational ist und führen diese Annahme zu einem Widerspruch.

Es sei mit ganzen Zahlen p und q. Wegen 2 < e < 3 kann e keine ganze Zahl sein; der Nenner von q ist also wenigstens 2.

qpe

Nun multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung

mit q! = 1 2 3 ... q. Die linke Seite hat dann die Form

und auf der rechten Seite ergibt sich

(man beachte, dass die 1 innerhalb der eckigen Klammern auf in der Reihe für e zurückzuführen ist).

......1 !1

!31

!21

!11 ne

)1(...321...321)(! qpqqe qp

...]1)1(......54...43!![

)2)(1(1

11

qqq

qqqqqqq

Irrationalität von e

!1q

Als Produkt ganzer Zahlen ist die linke Seite offenbar eine ganze Zahl. Auf der rechten Seite ist der Ausdruck innerhalb der eckigen Klammern ebenfalls eine ganze Zahl. Die verbleibenden Terme sind jedoch keine ganzen Zahlen, da jeder der dort auftretenden Nenner wenigstens 3 ist. Wir zeigen nun, dass auch die Summe dieser Terme keine ganze Zahl ist. Wegen q 2 hat man

wobei wir die Formel für die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe verwendeten.

,21

)1(1

31...

31

31

31...

431

31...

)2)(1(1

11

3132

qqq

Irrationalität von e

Auf der linken Seite der Gleichung steht also eine ganze Zahl, während auf der rechten Seite keine ganze Zahl steht.

Aus diesem Widerspruch schließen wir, dass e nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann, das heißt, e ist irrational.

Irrationalität von e

Transzendenz

Die irrationalen Zahlen lassen sich noch unterteilen in algebraisch irrationale und transzendente Zahlen. Algebraisch irrationale Zahlen sind solche, die sich als Lösung einer Gleichung mit rationalen Koeffizienten ergeben, z.B. als Lösung der Gleichung . Bei transzendenten Zahlen ist dies nicht der Fall.(lat. transcendere = überschreiten)

17 0172 x

Transzendenz von und e

Der französische Mathematiker Charles Hermite (1822 – 1901) konnte im Jahr 1873 beweisen: Die Eulersche Zahl e ist transzendent. Darauf aufbauend, unter zusätzlicher Benutzung der Integration im Komplexen, bewies der Deutsche Ferdinand Lindemann (1852 – 1939) im Jahr 1882: Die Kreiszahl ist transzendent. Danach haben weitere Mathematiker nach anderen und einfacheren Beweisen gesucht.

Transzendenz von und eEiner der einfachsten Beweise lässt sich mit Hilfe des folgenden Satzes führen, aus dem die Transzendenz von und e quasi direkt folgt.Satz von Lindemann-WeierstrassSatz von Lindemann-WeierstrassFür alle algebraischen, paarweise verschiedenen Für alle algebraischen, paarweise verschiedenen 11, , 22,..., ,..., nn und für alle algebraischen und für alle algebraischen 11, , 22,..., ,..., nn mit mit kk 0 gilt: 0 gilt:

Der Beweis dieses Satzes würde den Rahmen dieses Vortrags sprengen.

.0...0 11

n

n

ii

ie

Transzendenz von

Annahme: ist algebraisch. Wegen i2 = – 1 und der Tatsache, dass die algebraischen Zahlen einen Körper bilden, sind auch i· und 2·i· algebraische Zahlen. Setze dann n = 2, 1 = i· , 2 = 2·i· , 1= 1 und 2= 1. Dann ist 1· ei· + 1· e2·i· = – 1+1= 0 im Widerspruch zum Satz von Lindemann-Weierstrass.

Transzendenz von

• Mit dem Beweis der Transzendenz von wurde gezeigt, dass die Quadratur des Kreises, oder in heutiger Sprache, die Konstruktion zweier Strecken mit dem Längenverhältnis nur mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist. Sie ist nur möglich, wenn das Längenverhältnis algebraisch ist.

• Obgleich also seit 120 Jahren feststeht, dass dieses Kriterium nicht erfüllt, beschäftigen sich nach wie vor viele Hobbymathematiker mit der Aufgabe, mit den genannten Hilfsmitteln einen Kreis in ein flächengleiches Quadrat zu überführen.

Transzendenz von e

Annahme: e ist algebraisch.Setze n = 2, 1 = 0 , 2 = 1 , 1= e und 2= – 1.

Dann ist e · e0 – 1 · e1 = e – e = 0, im Widerspruch zum Satz von Lindemann-Weierstrass.

Quellen

• Eli Maor: „Die Zahl e – Geschichte und Geschichten“, 1996

• Lennart Berggen / Jonathan Borwein / Peter Borwein: „Pi: A Source Book“, 2004

• Manusskript zum Proseminarsvortrag „Irrationalität von und e und Transzendente Zahlen“ gehalten von Kai Uhlenbrauk, Universität Dortmund, Sommersemester 2006

• matheplanet.com• Diplomarbeit „Die Zahl e“ von Stefan Schönhacker,

Universität Wien, Mai 2000• Duden: „Abitur Mathematik – Basiswissen Schule“, 2003

ENDEVielen Dank für Eure

Aufmerksamkeit!