Differentialgeometrie I (Kurventheorie) SS 2013 · 4 Globale Sätze über ebene Kurven (isoperimetrische Ungleichung, vier-Scheitel-Satz, etc.). c Daria Apushkinskaya 2013 Kurventheorie:

Differentialgeometrie I (Kurventheorie)SS 2013

Lektion 1

18. April 2013

c© Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 1 18. April 2013 1 / 23

Organisatorisches Allgemeines

Dozentin: Dr. Darya [email protected]. E2 4, Zi. 433Sprechstunde: Mo. 09-10 Uhr oder nach Vereinbarung

Übungsleiterin: Tina [email protected]

Informationen zur Vorlesung:

http://www.math.uni-sb.de/ag/fuchs/ag-fuchs.html


Organisatorisches Übungsbetrieb

Übungsbetrieb:

Übungsblätter: mittwochs auf der Vorlesungswebseite (ab dem17.04.2013)

Abgabe: 1 Woche später mittwochs vor der Vorlesung

Abgabe in Teams bis zu 2 Personen

Übungen werden korrigiert und mit Punkten bewertet


Organisatorisches Klausurzulassung

Voraussetzungen für die Klausurzulassung:

50% der Übungspunkte

maximal zwei Blätter weniger als 25 %

aktive Teilnahme an den Übungen


Organisatorisches Klausuren

Klausuren:

Je nach Teilnehmerzahl werden eine mündliche Prüfung oder eineAbschlussklausur angeboten.


Organisatorisches Vorlesungsthemen

Vorlesungsthemen:

1 Grundlegende Begriffe für Kurven in Rn;

2 Lokale Kurventheorie im R3;

3 Konstruktion von Raumkurven;

4 Globale Sätze über ebene Kurven (isoperimetrische Ungleichung,vier-Scheitel-Satz, etc.).


Organisatorisches Script

Script:

Es ist geplant, ein Script im Nachgang zur Vorlesung online bereit zustellen.

Dies ist keine Fernstudiumsveranstaltung!!!

Script und Webseite ersetzen nicht den Vorlesungsbesuch!!!

In der Vorlesung und in den Übungen können jederzeit zusätzlichewesentliche Informationen gegeben werden, die nicht online abrufbarsind. Es ist in Ihre Verantwortung gestellt, sich diese Informationen zuverschaffen.


Organisatorisches Maple

Maple:

Gelegentlich wird es sich anbieten, Beispiele undÜbungsaufgaben mit dem Computeralgebrasystem MAPLEanzusehen und zu bearbeiten.

Auf den Rechnern des CIP-Pools läuft neuerdings die aktuelleVersion MAPLE 17.

Die Campuslizenz der Universität für MAPLE erlaubt seit kurzemauch Studierenden, kostenlos MAPLE zu beziehen und auf ihrenpersönlichen Computern zu installieren. Informationen hierzuerhalten hier

https://unisb.asknet.de/cgi-bin/product/P11605


Organisatorisches Literatur

Literatur:

Manfredo P. do Carmo,Differentialgeometrie von Kurven und Flächen.Braunschweig; Wiesbaden : Vieweg, 1998.

Cristian Bär,Elementare Differentialgeometrie.de Gruyter, 2010.

Jost-Hinrich Eschenburg und Jürgen Jost,Differentialgeometrie und Minimalflächen.Springer, Berlin ; Heidelberg [u.a.], 2007.


§1. Einleitung

§1. Einleitung


§1. Einleitung

Geometrie ⇐⇒ Differentialgeometrie

Geometrie ist das Studium Die klassische Differentialgeometrievon Figuren. untersucht lokale Eigenschaften

von Kurven und Flächen.Beispiele:

Dreiecke, Vierecke, Kreise, Beispiele:Geraden, Ebenen, Kurven, Flächen

lineare oder affine Unterräumeeines Vektorraums

Mathematische Methoden:Differentialrechnung,

+lineare Algebra


§1. Einleitung

Die klassische Differentialgeometrie befasst sich mit Kurven undFlächen.

Diese Objekte sind meist durch eine Abbildung oderParametrisierung gegeben, seltener implizit, d.h. alsNullstellenmenge von Funktionen.

Man interessiert sich für Eigenschaften, die nur von der Gestaltder Kurven oder Flächen abhängen. Es geht also um diejenigenEigenschaften, die unabhängig von den Parametern derspeziellen Beschreibung sind.


§2. Grundbegriffe und Beispiele




Definition 2.1Eine parametrisierte differenzierbare Kurve ist eine beliebig oftdifferenzierbare Abbildung

α : I → Rn,

I ⊂ R ein (offenes) Intervall, n > 2

Definition 2.2Ist α(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), so nennt man

α′(t) =(x ′

1(t), . . . , x′n(t)

)(oft auch α̇(t)) den Tangentenvektor (oder Geschwindigkeitsvektor)der Kurve α bei t .



Definition 2.3

Spurα := {α(t) : t ∈ I} ⊂ Rn

Bemerkungen

Eine Kurve α ist nicht zu verwechseln mit Spurα.

Die Spur repräsentiert den Verlauf der Kurve optisch, man hataber keinerlei Information, wo (= α(t)) man sich zur Zeit t ∈ I mitwelcher Geschwindigkeit (= α′(t)) bewegt.

Die Parametrisierung ist ein Fahrplan für Spur α.



α : R→ R2, α(t) := (t , |t |)

α ist keine differenzierbare Kurve!!!!


§2. Grundbegriffe und Beispiele Neil’sche Parabel

α : R→ R2, α(t) := (t2,at3)


§2. Grundbegriffe und Beispiele Traktrix

α(t) =

(sin t , cos t + log

[tan

t2

])


§2. Grundbegriffe und Beispiele Traktrix

Traktrix nennt man auch Schleppkurve, Ziehkurve, Zugkurve,Treidelkurve.

Der Name erklärt sich daraus, dass diese Kurve von einemMassenpunkt beschrieben wird, der an einer Stange gezogenwird.

Mit Hilfe der Schleppkurve kann das Fahrverhalten vonFahrzeugen modelliert werden.

Insbesondere der benötigte Platz bei Kurvenfahrten, aber auchdas Verhalten bei Rückwärts-Fahrten sowie beim Abschleppeneines zweiten Fahrzeugs.


§2. Grundbegriffe und Beispiele Logarithmische Spirale

α(t) =(aebt cos(t),aebt sin(t)

)Schnitt einer Nautilus-Schale

Whirlpool-Galaxie, Tiefdruckwirbel über Islandeine typische Spiralgalaxie im Sep. 2003


§2. Grundbegriffe und Beispiele Helix (Schraubenlinie)

α : R→ R3, α(t) = (a cos t ,a sin t ,bt)



Definition 2.4Sei t0 ∈ I und α′(t0) 6= 0. Dann beschreibt

R 3 t 7→ α′(t0)(t − t0) + α(t0)

eine Gerade mit Richtung α′(t0) ∈ Rn, die zur Zeit t0 durch den Punktα(t0) geht.

Man nennt diese Gerade die Tangente an die Kurve α in t0.

Ist t0 ∈ I ein singulärer Punkt von α, d.h. per Definitionα′(t0) = 0, so degegeneriert obige Abbildung zur KonstantenFunktion t 7→ α(t0);

Die geometrische Vorstellung einer Tangente als Gerade gehtverloren.



Deshalb betrachtet man in der Differentialgeometrie meist nur folgendeKlasse von Kurven:

Definition 2.5Eine Kurve (natürlich differenzierbar!!!) α : I → Rn heißt regulär, fallsgilt:

α′(t) 6= 0 ∀t ∈ I.

BemerkungFür reguläre Kurve misst man, wie schnell die Tangente lokal bei t0ihre Lage variiert und nimmt dies als Maß dafür, wie stark die Kurvebei t0 gekrümmt ist.


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