Differentialinvarianten, ausgezeichnete Feldgrößen und Vektorübertragung

Differentialinvarianten, ausgezeichnete Feldgriifien und Vektoriibertragung.

Von

F. Krau~ in Aachen.

Inhaltsverzeiehnis. Seite

I. Teil. A l l g e m e i n e Grundbegr i f f e .

1. Einleitung. Allgemeiner Begeiff der Fundamentalvarianten . 688 2. Charakteristische Differentialvarianten als Fundamentalvarianten 691 3. Grundvarianten als charakteristische Differentialvarianten . 694

II. Teil. Tenso r f e lde r im vo l len R a u m und a l l g e m e i n e V e k t o r i i b e r t r a g u n g .

4. Operations- und Zeichensystem der Tensoranalysis . . . . . . 698 5. Die eharakteristischen Grundvarianten der allgemeinen Velrtor-

iibertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 6. Kernbilclung mit den Grundvarianten der aIIgemeinen Velrtor-

iibertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 7. Beispiele. Reduzierte Differentiation . . . . . . . . . . . . 707

II I . Tell. T e n s o r f e l d e r auf Gebi lden.

8. Tensoropera~ionen auf Gebildea . . . . . . . . . . . . 710 9. 0harakteristische Gmndvarianten, Kernbildung und Reduktion

auf Gebilden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712 10. Wirbelf~eieVelrtoriibertragung..Taylorkerne. Fundamentaltensoren

und Grundformen. Affine Fl~chengeometrie . . . . . . . 716

I. Teil. Allgemeine Grundbegriffe.

I. Einleitung. Allgemeiner Begriff tier Fundamentalvarianten.

Die vorliegende Arbeit gibt einen invariantentheoretischen Aufbau einer teP~oranalytischen Theorie der Differentialinvarianten unter der Vor-

F. KrauB. Differentialinvariauten und Vektoriibertragung. 689

aussetzung einer allgemeinen (linearen) Vetctoriibertragung~). Sic stellt dabei den Begriff einer Zerlegung (in ,Kern" und ,Rest") in den Mittel- punkt, die an beliebigen Differentialausdriieken mit Hilfe gewisser ausge- zeichneter FeldgrSBen (,Fundamenfalvarianten", ,eharalrteristiseher Grund- varian~en") vorgenommen wird. Diese Zerlegungsmethode l~illt, wie mir scheint, den inneren Grund der Invarianz deutlicher hervortreten und fiihrt rascher und einfaoher zu den differentialgeometrischen Fundamentalformen und ihren Beziehungen als die bisher iiblichen Darstellungen. Insbeson- dere erhalten wir auf einfaehe Weise die Erwei~rung des sogenannten Reduktionssatzes, tier bereits yon Ohristoffel (Crelle 70) und Ricci und Levi-Civita (Mathem. Annalen 54) dutch komplizierte Etiminationsreeh- nungen flit den Fall der gewShnliehen Riemannsehen Geometrie auf- gestellt, bisher abet noeh nieht flit eine beliebige Vektoriibertragung ab- geleitet wurde~). Ferner ein analoges Theorem fiir Dif[erentialformen auf Gebilden (Kurven, Fl~chen, Hyperfl~ehen usw.) beliebiger Dimension.

Um die Begriffsbildung auch fiir das rechnerisehe Verfahren fruchtbar zu maehen, schien eine Moclifikation der gebr/iuchlichen Rioci-Bezeiehnung niitzlich, zu der ich reich ers~ nach 1Kngerem Widerstreben entschlossen tmbe. Sie beruht in der Hauptsache auf dem naheliegenden Geda~ken, die Indexzeichen unmi~elbar a~s Zeiehen fiir die Grundvektoren z~a ver- wenden und die bei tier gew/i~ten Grundvektorbezeietmung frei werdenden oberen Indexstellen flit die Ableitungszeiger zu benutzen. Uberdies werden, wie in der elementaren Vektoranalysis, die drei direkt geseh_riebenen Operationen tier Addition, Multiplikation und Uberschiebung (yon Ten- soren mit Vektoren) gebraueht. Ieh" glaube, da$ diese auf den ersten Bliek vielleieht ~rgerlieh erseheinende Neuwahl der Zeiehen sieh selbst recht- fertigen wirda). Es versteht sich, dab der Schwerpunkt der Arbeit nieht in dieser Symbolik, sondern in den Grundbegrif[en (Zerlegung mittels der charakteristisehen Grundvarianten usw.) zu suehen ist.

Alle I n v a r i a n t e n - es handett sich hier nut um absolute - - s i n d Funktionen gewisser nicht-invarianter (.varianter") E|emente, deren Trans- formations~kuderungen sich in jenen Funktionen dadurch kompensieren, dab zwischen ihnen ein Transformationszusammenhang vorgeschrieben ist.

~) Zur Orientierung s. z. B. Schouten, Der Ricci-Kaik~dl (Julius Springer, 1924), S. 62ff.

3) Schouten, a. a. O. S. 101; WeitzenbSck, Enzykl. d. math. Wissensch. I H E 1, 1922; E. Noether, Invarianten beh'ebiger Differentialausdriicke, G6ttinger Na~hr. 1918, Algebraisohe und Differentialinvariant~n, Jahres-bericht d. I)eutschen Mathem.-Vereini~ gung 82, 1. Abt. Heft 5]8, 1922.

8) s. u. S. 697 ft.

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Besteht gar kein solcher Zusammenhang, oder sind, wie wir sagen wollen, die varianten Argumente einer FunkCion /rei oder unabhdr~fig variant, so kana die Funktion nur dadurch invariant sein, dab sie yon ihren varianten Elementen unabE4ngig ist. Diesea letzteren kSanen dann beliebige triviale invariante Werte erteilt werden, z.B., falls ihr Defmitions- bereieh es zulgBt, NullSa).

Unter Fundamentalvarianten A eines Variantensystems ~ verstehen wir ein System ~rei varianter GrSBen, als deren Funktionen sieh alle Ele- mente des Systems f2 darstellen lassen, derart, dab in diesen Funktionen auBer den Fundamentalvarianten nur noeh invariante GrSBen vorkommen. Mit 9 ( ~ ) , y~(A) usw. seien Fun~ionen yon beliebigen Elementen aus und A bezeichnet; co bedeute ein beliebiges Element aus ~ , ~ (0) die GrSBe, die entsteht, wenn man in ~ ( ~ ) alle Elemente aus ~Q null setzt. Ist eine Variantenfmaktion ~0 (f2) vorgelegt, so kSnnen wir in ihr alle co ausdriicken durch A mad dadurch q~ (.(2) in die Form ~o (A) bringen, q% (0) ist dann eine Invariante, die wir den mit A gebildeten Kern yon 9 ( ~ ) n e n n e n . Die Zerlegung ~ (Q) = ~o o (0) + % (A) liefert den zugehSrigen Rest ~% (A). Die Kernbildung wird im allgemeinen yon der Wahl der A abhgngig sein. Zur Kernbildung ausgezeichnet werden solehe Varianten heiBen, aus denen die A (dutch gewisse l~ozesse wie rationale Komposition, Differentiation usw.) gebildet shad.

Wean nun q~ ( ~ ) eine Invariante ist, so muff q% ( A ) van den /rei varianten A unabhdngig, mit seinem .Kern ~o (0) identisch und dieser yon der Wahl der zur Kernbildung ausgezeichneten GrSfle unabhdngig sein. Vor- auszusetzen ist dabei, dab der Variabilit~itsbereich, in dem q%(Z) defmiert ist, ~ - ~ A und ~ = 0 enth~lt, und ~o regulgr ist, so dab aus seiner Kon- stanz im Bereich ~ - ~ A auf die Konstanz im ganzen Bereich geschlossen werden kann. Diese Voraussetzungen sind im folgenden stets erfiillt. Existieren ,,annullierende" Transformationen d. h. solche, bei denen die A verschwinden, so kann der Kern auch yon vornherein definiert werden als die invariante Darstellung des Wertes der Varianten bei annullierenden Transformationen. Aus dem Begriff des Kerns folgt unmittelbar, da~ der Kern einer Variantenfunktion gleich ist der Funktion der Variantenkerne.

3~) Z u s a t z bei d e r K o r r e k t u r . Die Einfiihrung des Terminus ,variant ~ geschieht aus folgenden Griinden. Es treten in dieser Arbeit die varianten Elemente selbstsffmdig und vor den invarianton, die sich erst aus ihnen zusammensetzen, auf. Sie verdienen daher nicht, bloB negativ beziiglich tier letzteren bezeichnet zu werden. Ferner wgren Wortbildungen wie ,Differentialnichtinvariante" sprachlich unmSglicb. SchlieBlich is~ die aUgemeinere Bezeichnung ,variabel" unbrauchbar, weil sie auch fiir invariant~ FeldgrS~en henutzt wird, die als Funktionen des Ortes beim Fortgang m Felde sich gndern.

Differentialinvarianten und Vektorfibertragung. 691

Man erhiilt daher den Kern einer Variantenfunktion, wenn man in ihr alle varianten Elemente dutch ihre Kerne ersetzt.

Reduzierte Form einer Invarianten nennen wir ihre Darstetlung aus lauter invarianten Elementen. Offenbar ist der Kern einer Invarianten unmittelbar eine reduzierte Form. Invarianzkriterium ist das in den A identisehe Versehwinden des Restes. Die Kernbildung hat also drei wesentIiehe Eigensehaften: 1. Sie spaltet jede Variantenfunktion eindeutig in einen invarianten Kern und einen Rest, dessen variante Elemente frei variant sind, und der mit diesen versehwindet. 2. Sie liefert ein In- varianzkriterium. 3. Sie reduziert die Invarianten.

Ein System J yon unabh~ngigen Invarianten, aus denen sieh zusammen mit den A alle ~o komponieren lassen, gestattet aueh die Kompo- sition der Kerne aIler m, mad daher auch aller invarianten Varianten- hmktionen 9 ( ~ ) . J ist also ein System yon Fundamentalinvarianten. ffede Variantenfunktion hat demnach die "Darstellung f(J, A) und bei" Invarianz die reduzierte Form F ( J ) = f(J, 0).

2. Charak te r i s t i sche D i f f e r e n t i a l v a r i a n t e n als F u n d a m e n t a l - var ianten.

Der allgemeine Begriff der Fundamentalvarianten und der zugehSrigen Kernbildung wird im Verlauf der Untersuchung in drei Schritten spezialisiert. Die erste Spezialisierung beruht darauf, dal~ das betrachtete Va- riantensystem .(2 aus Di]]erentialva~anten besteht d. h. aus solchen GrSt~en,, die aus gegebenen FeldgrS~en von einer gewissen Transformationsweise und deren Differentialquotienten nach den Punktkoordinaten ~ des Feld- gebietes gebildet sind. Jede Differentialvariante ist in einer gewissen Trans- ]ormationsordnung vom Koordfiaatensystem abt~ngig. Ist ~, ~ ~, ( . . . ~ . . . ) ein beliebiges System der zugelassenen Transformationsiunktionen~ so ist diese Orclnung dadurch gegeben, dal~ der Weft der Differentialvariauten beim Koordinatensystem der ~, dureh eine Transform. ationsgleichung dargestellt werden kann, in der auBer zum Koordinatensystem der ~ ge-

~(~) ~ bis zu einer hSrigen Werten die ,,Transformationsableitungen" ~ ~, . . .

gewissen T" ten H6chstordnung vorkommen (s. u. (1)). Sind zwei Koordina- tensysteme durch eine Transformation verbunden, bei welcher die Trans- formationsableitungen (in einem gewissen beliebigen Punkte P) his zur p-ten Ordnung gleich sind denen der identischen Transformation, so heiflen solche Koordinatensysteme in l~-ter Ordnung ~quiva!ent im Plmkte P. Differentialvarianten yon nicht hSherer als p-ter Transformationsordnung haben in solchen in p-ter Ordnung ~,quivalenten Koordinatensystemen

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invariante Werte. Wir nennen nun ein System von OrSl~en, die bei einem zugelassenen System von Transformationen T [rei variant sind, charakte-. ristisch i~ p-ter Ordnung bei T, wenn zweg Koordinatensysteme aus T in P dann und nut dann &luivalent in p-ter Ordnung sind, wenn sie in P in diesen Gr6flen iibereins~immen.

Das Wesenfliche im invarianten~heoretischen Begriff der charakteristischen Differentialvarianten beraht darauf, dab sie das verinderliche (, neue ") Koorclinatensystem jeweils festlegen night relativ zu einem andern ( , alien") Koorclinatensystem, sondern dutch die Werte, welche geeignete variante FeldgrSBen in dem zu charakterisierenclen Koordinatensystem annehmen. Jene Bestimmung des Koordinatensystems relativ zu einem anderen wird dutch die Transformationsableitungen gegeben und die Trans- formationsgleichungen sind es, welche die Werte der Differentialvarianten dutch die Werte von Varianten im alten Koordinatensystem und die Transformationsableitungen daxstelten, night abet durch variante Feld- grSl~en und Invarianten, wie es dutch die Einfiihrung der Fundamental- varianten geschieht. Dies ist der Grund, weshalb die Transformations- gleichang zwar das Invariarmkriterium liefert (in Gestalt der Unabh/izigig- keit dieser Darstellung von den in sie eingehenden Transformationsablei- tungen), night abet eine Redaktion der Differentia linvarianten. Die charakteristischen Differentialvarianten leisten nun beides gleichzeitig, da sie Fundamentalvarianten sind fiir das System aller Differentialvarianten von night hSherer als io-ter Ordnung. Denn die Werte der letzteren hSngen bloB bis zur p-gen Ordnung veto Koordinatensystem ab, sie miissen also Funktionen sein derjenigen GrSgen, welche das Koordinaten- system (innerhalb T) bis zur p-ten Ordnung vollst/indig charakterisieren, d.h. es mug fiir sie Darstellungen geben, in denen die eharakteristischen Di~erentialvarianten die einzigen varianten Elemente sind.

Wir wollen diese Verh/iltnisse, so einfach sie sein mSgen, ge- nauer ausfiihren. Uberstrighene GrSBen sollen Werte varianter GrSSen in einem beliebigen alten Koordinatensystem bedeuten, das zun~ichst fest- gehalten wird. ~, seien die dutch Transformation ver~,nderlichen neuen

Koordinaten. Das System alter Transformationsableitungen o$z0~z.."

zur ~-ten Ordnung einsehlieglich bezeiehnen wir mit t~); mit t~ ) - - t ~) die Transformationsableitungen yon der (q + 1)-ten bis zur p-ten Ordnung. Die allgemeine regulate Gruppe der Transformationen sei To; diejenige, bei weleher die t (t) die EinheitsmaSrix bilden (ira betraehteten Punkte P) , sei mit T t bezeiclmet, Bei T 1 sind alle Dif[erentialgrSllen yon erster Trans:formationsordnung invariant. Die DifIerentialinvariantentheorie hat zu ihrem wesentlichen Grunde die Tatsaehe, dag bei T o die t ~) in einem

Differentia!invarianten und Vektoriibertragung. 693

beliebigen Punkte irei variant sind, d .h . daB sieh immer Koordinaten- systeme angeben lassen, welche in P den t (~) beliebige Werte verleihen. Dieser Varianzbereich der t (~) bei T O ist nur dadurch eingeschr'gnkr dag die Determinante der t (~) nicht verschwinden darf, und daB die Transiormations- ableitungen, die sich formal nut (lurch die Reihenfolge der Differentiationen unterscheiden, identisch sein miissen (Eindeutigkeit und Integrabitit~it). Bei T~ sind die zugehSrigen t (~)- t m Irei variant. Wenn eo eine Diffe- rentialvariante p-ter Transformationsordnung ist, so besagt dies: Es existiert ein Variantenkomplex, den wit mit C~ bezeichnen, derart, da~ sich o~ in einem beliebigen zugelassenen KoordinaC~nsystem ausdriickt nach der Transformationsgleichung:

( 1 ) ~o = f(t (~) , (~) .

Ist ein yon T o verschiedenes TransfoImationssystem T zugelassen, so sind in ibm die t (~) i. a. nicht mehr frei variant, vielmehr sind ihnen Be- dingungen auferlegt. Diese Bedingungen symbolisieren wit mit:

(2) 0.

A~ ) bedeute ein System in p- ter Ordnung charakteristischer Differential~ varianten bei T. Das System der zugehSrigen Transformations- gleiehungen sei :

(3) A~,'= F(t (~), CA(S) ).

Die A~ ) miissen sieh dadurch als frei variant zu erkennen geben, dag sie durch die Gleichungen (2), (3) als voneinander unabh~ingige Funk- tionen der t (p) definiett sind. Ferner abet, und nur hierdurch sind die A~ ~) charakteristisch, mug das System (2), (3) die t ~) a~ eindeutige Funk~ionen der A~ ), (~A]) bestimmen, so dab DarstelIungen existieren

der Form:

Demgem~g kSnnen wir oben in der Transiormationsgleiehung ( I ) die t (~) dutch die A(~ v), C,.A~,) ausdriicken, so dab eo die Gestalt annimmt:

(4) o =v(A? ), OA?), Der Unterschied dieser letzteren Form von eo gegeniiber der in (1)besteht darin, dab in yJ die A~ ) nnr von dem neuen Koordinatensystem, nicht abet auch yon dem atten abh~ngen, wiees die t ~) tun. Nun ist nach unserer Voraussetzung das alte Koordinatensystem beliebig gew~hlt; die Darstetlung gilt also sowohl bei Ver~derungen des alten wie des neuen Koordinatensystems. Die Ver~.nderung des neuen ~ndert A~ ) und co, und

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zwar kSnnen dadureh den A~ ) beliebige Werte erteilt werden; die .~nderung des a lten Koordinatensystems l~Bt abet eo und die A~ ) in Ruhe und macht nur die CA~) und C~ zu Varianten. Nun ist ~ eine Funktion

r in deren Konstante die C-A~) und C~ so eingehen, dab bei be-

liebigen Transformationen der CA~) und C~ und flit jeden beliebigen

festen Wertkomplex der A~ ), y~ unge~ndert bleibt. Das ist abet nur mSglich, wenn diese Konst~nten aus den CA~), C~ gebildete Invarianten

sind3b). Also sind die A~ ) l~undamentalvarianten des Systems aller Di]]e- rentialvariante~ nicht h6herer als p-ter Trans]ormationsordnung.

Solehe FeldgrSBen, aus denen die C ~ ) u n d die A~ ) gebildet sind

(dutch Differentiation und Komposition), heiBen zur Charakteristik des Koordinatensystems ausgezeichnet. Jedes GrSBensystem, das yon den A~ ) umkehrbar eindeutig abh~ingt, ist offenbar wieder ein charakteristisches GrS~ensystem, und dasselbe gilt fiir die CA~). Verschiedene Arten der

Gharakteristik des Koordinatensystems werden L a. verschiedene Kern- bildungen der Di]]erentialvarianten erzeugen; liegt abet Invarianz des Di]/erentialausdruclcs vet, so ist sein Kern unabhSngig yon der Wahl der Ca~,) und A? ~.

3. G r u n d v a r i a n t e n als cha rak te r i s t i s che D i f f e r en t i a lva r i an t en .

Die bisher hesprochene Charakterisierung des Koordinatensystems durch irgendwelche zur Kernbildung ausgezeichne~e FeldgrSBen ist an sich noch keine differentialgeometrische. So kSnnen wit uns z.B. ein physi- kalisches Kontinuum denken, in dem eine formale Geometrie iiberhaupt nicht festgelegt ist (wie z. B. in der Thermodynamik), in der abet Zustands- funktionen, die yon der Wahl der Zustandskoordinaten abh~ingig sind, existieren, so dab diese Koordinaten und ihre Verteilung bis zu einer gewissen Differentiationsordnung charakterisiert sind dutch die jeweiligen Werte der Zustandsfunktionen und ihrer Ableitungen nach den Koordi- naten. L~,Bt sich iiberhaupt das Koordinatensystem dutch irgendwelche frei variante FeldgrSBen bis zu einer gewissen Differentiationsordnung vollst~ndig eharakterisieren, so ist es mSglich, an irgendwelchen Differential- ausdriieken Kernbildungen vorzunehmen und sie, bei Invarianz, zu reduzieren. Hiermit sind sehr aUgemeine Bedingungen bezeichnet, unter denen eine Feldtheorie invariantentheoretiseh formutiert werden kann.

ab) Z u s a t z bei der Korrektur . Hierbei ist natfirlieh die, im Folgenden stets erffillte, Voraussetzung zu maohen, da6 die Konstanten in der Dars~lung ~ ( A ~ )) e/ndeu~ig duroh den Fanktionsverlauf yon ~ bestimmt sind; denn nur dann wird jede )~uderung dieser Konstauten eine _~nderung yon y~ nach sioh ziehem

Differentialinvariante~ und Vektoriib~.Jrtragung. 695

Differentialgeometrische Bedeutung ~ und darin besteht die weitere Spezialisierung des allgemeinen Begriffs der F~damentalvarianten erhalten die charakteristischen Differentialvarianten erst dann, we-n zwei Artender Auszeichnung yon FeldgrS~en zusammenfallen; n ~ h e h , wenn die zur Kernbildung ausgezeichneten Feldgr6/3en gleichzeitig zur geometrischen Grundbestimmung des Raumes ausgezeiehnet Mnd. Unter Grund- bestimmung ist dabei die Eintragung und huszeictmung solcher Feldg~5~en zu verstehen, mit denen die fundamentalen geometrischen Relationen und Operationen definiert werden. Die urspriinglichen, in diese Definitionen unmittelbar eingehenden GrSl~en, wie z.B. die g,~, oder, bei fehlender Mal~bestimmung und gegebener Vektoriibertragung, die verallgemeinerten DreizeigergrSiBen (gewShnlich mi~ F ~ bezeichnet), mSgen ]undamentale GrundgrSfien heiBen. Die aus ihnen dutch Differentiation und beliebige Komposition gebildeten Ausdriicke abet GrundgrSflen iiberhaupt. Diese letzteren zerfallen in Grundvarianten und Grundinvarianten. Eine Grund- invariante in diesem Sinne ist z.B. das KriimmungsmaB des Riemann. schen Raumes. Ist in dem Raume ein Gebilde gegeben, worunter wir ein beliebiges Teilkontinuum niedrigerer Dimension, das sich dutch regul~ire Parametergleichungen bestimmen l~ilSt, verstehen wol]en (Kurven, Flat.hen, Hyperfl~ichen usw.), so nennen wir diejenigen GrSBen, die nur dutch die Gnmdbestimmung des Raumes und die Eigengestalt des Gebildes defmiert sind, Eigeninvarianten des Ietzteren. Alle iibrigen FeldgrSI~en, die, r im Hinbhck auf physikalisehe Anwendungen, iiberdies noeh im Ra,lme urspriinglich angenommen werden, seien als Stammg~SBen bezeictmet.

Da die Grundvarianten lediglieh yon der geometrischen Grundbestim. mung des Ranmes und dem Koordinatensystem abh~ngen, so miissen sie geometrische Eigenschaften an den Koordinatenlinien, welche diesen dutch die Gmndbestimmung aufgepr~,gt sind, zum Ausdruck bringen. So geben z. B. die gewShnliehen g,k, als Grundvarianten aufgefai~t, die Winkel zwischen den Koordinatenlinien und die auf ihnen dutch die Koordinaten- verteilung bewirkte Parameterdichte an. In p-ter Ordnung charakteristische Grundvarianten A~ ) sind deshalb solche differentialgeometrische GrSSen an den Koordinatenlinien, welche diese und die Parametervexteilung auf ihnen bis zu einer gewissen Ordnung vollst~indig bestimmen und iiberdies dutch die zugelassenen T~ansformationen T unabh~lgig voneinander variiert werden kSnnen, htle Grundvarianten miissen sich dan n dutch solche A~ ) und Gnmdinvarianten damtellen lassen. Hierin kommt der Zwang ~ m Ausdruck, dutch den die invariante Struktur des Raumes die gegenseitige Ver~inderlichkeit der Grundvarianten einsc'hr'~nk*~ Irgendwelche den A~ ) auferlegte Bedingungen spezialisieren das Koordinatensystem inner, halb T. Wegen der freien Varianz der A~ ) mul~ es stets KoordinatensysSem~

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geben, welche (in irgendeinem Punkte P) den A~ ~ beliebige Werte verleihen; umgekehrt mug jede differentialgeometrisehe Spezialisierung des Koordinatensystems innerhalb T sich dutch Bedingungen, die den A~ ~ auferlegt werden, angeben lassen. Die einfaehste Spezialisierungsm5glichkeit ist offenbar die, bei weleher das Koordinatensystem die A~ ~ annulliert. Ein Koordina~ensys~em heil~t in p-ter Ordnung innerhalb T r spezialisiert, wenn die A~ ~ mit Grundinvarianten in Beziehung gesetzt werden, und diese Spezialisierung wird eine volls~dndige sein, wenn in dem betreffenden Koordinatensystem die Werte der A~ ~ mit Differential- invarianten identisch werden. W~ihlen wit z. B. auf einer euklidischen Kurve als Parameter die wahre L{inge, so fallen in diesem invariant spezialisierten Koordinatensystem die Differentialquotienten des Ortsvektors beliebig boiler Ordnung mit Eigeninvarianten der Kurve (Riehmngs- und Kriimmungsvektoren) zus~m men. Xhnliehes finder auf einer Fl~ehe start, wenn wit invariaut ausgezeichnete Kurven (z. B. Kriimmtmgs- oder Asymptoten- linien) als Koordinatenlinien wi~hlen und auf ihnen nach ihren wahren L~ingen differenzieren. In allen Anwendungen des Koordinatenbegriffs auf die geometrische und physikalische Wirklichkeit ist die invariante Struktur des Gebildes, an welchem die Koordinaten zu definieren sind, das pr:aniir aufgefaSte, und jede wirkliche Festlegung der Koordinaten erfolgt dadurch, dab sic zu dieser invarianten Struktur, d. h. zu den Eigeninvarianr~n des Ge- bitdes, in Beziehung gesetzt werden. Charakteristisehe Grundvarianten haben also eine doppelte Funktion, eine invariantentheoretische, in der sie yon den Differentialausdriicken invariante Kerne abspMten und Differentialin- varianten reduzieren, und eine geometrische, in der sic die Eigengestalt des Ko- ordinatensystems dutch beliebig variierbare Bestimmungsmomente festlegen.

Ats geometrisehe Grundbestimmung betraeh~en wir nun in dieser Arbeit m und hierin besteht die dritte und ]etzte Spezialisierung des Be- griffs der Fundamentalvarianten -- die allgemeine lineare Vektoriibertragung, auf die sieh der tensorielle Ableitungs- und Gradientproze$ griindet, und die durch die verallgemeinerten DreizeigergrSSen definiert ist. Aus diesen und ihren Ableitungen werden die charakteristisehen Grundvarianten gebildet.

Auf Gebilden geniigt die analoge Charakteristik des Koordinatensystems nicht; die diese Charakteristik liefernden vektoriellen Eigenkrfimmungen der Koordinaten- linien spr~mgen n~mlich i. a. aus dem Gebilde heraus infolge der Eigenkrfimmung des letzteren; aber diese Krfimmungsvektoren sind f~,ei va~iant ~ur in ta~gentialer R{chtung. Infolgedessen bedarf es, urn bestimmte tangentiale frei variante Kompo- nenten zu bilden, der Definition einer invarianten Projektionsrichtung, mit der nieht- tangentiale Vektoren eindeutig in ta~gentiale und quergerichtete Komponenten zerlegt werden kSnuen (,Querriehtung ~). Solehe Projektionsrichtungen sind in der gew5hn- lichen Mal3geometrie durch die Orthogonalit~t, in der affmen Geometrie dutch a/fin- normale Riehtungen definiert (s. u. Teit II[).

Differentialinvarisnten und Vekto~iiber~ragung. 697

Als StammgrSBen treten hierzu die Bestimmungszahlen beliebiger Tensoren und deren Ableitungen. Die fundamentalen GrandgrSBen der VekCoriibertragung (DreizeigergrS~en) sind selbst sehon yon der zweiten Transformationsordnung; infolgedessen ist es nieht mSglieh, dutch sie und ihre Ableitungen die Eigenschaften erster Ordnung des Koordinatensystems (Riehtungsverh~iltnisse und Parameterdichte der Koordinatenlinien) za eharakterisieren. Dies ist der Grund, weshalb wit als Invarian~gmppe T 1 w~ihlen miissen; denn da bei T 1 die t (1) die Einbeitsmatrix bilden, so be- dad es bei dieser Gruppe einer Charakteristik in ersr Ordnung nieht. Nun sind aber die Bestimmungszahlen der Tensoren von erster Trans- formationsordnung und infolgedessen invariant bei T1. Ein Differential- ausdruck ist daher nut dann Tensorkomponente, wenn er bei T 1 invariant ist. Die Au~abe also, einen beliebigen Differentialausd~uck, dessen variante Elemente nieht alle Tensorkomponenten sind, dureh Tensorkomponenten daxzustellen, erscheint als Reduktionsprobtem bei der Invarianzgruppe ~ . Auf diese Weise fiihrt die Bfldung der charakteristischen Grundvarianten bei T~ und der zugehSrigen Kerne auf RedukCionss~e d. h. auf Theoreme, welche diejenigen Tensoren angeben, aus denen man Differentialausdriieke, die invariant sind oder Tensorcharakter haben, rein algebraisch (projektiv) und oh~e weiteren Differentiationsprozet~ mlsammense~en kanm

Fihr die tensorielle und vektorielle Symbolik waren folgende Forderungen ma6- gebend. Die direkt geschriebenen vektoriellen und tensoriellon Operationen miissen selbst einfach sein und nach einfachen Regeln vollzogen werden kSnnen, die mSg- lichst analog sind dem gew6hnliehen skalaren Rechnen und den bekannten Operationen der element~ren Vektoranalysis. Demgem~B schreiben wir mit tensoriellen Zeichen die Addition, die Multiplikation, die ~berschiebung eines Tensors mit einem Vektor (inneres Produkt) und die invariante Differentiation. Ebenso wichtig wie die In- varianz und invariante Schreibart der Formeln ist aber die Spezialisierung des Koor- dinatensystems. Dieses erscheint in den Formeln durch Zerlegung der tensoriellen und vektorieUen GrSBen in ihre Komponenten, wodurch die Grundvarianten explizit hervortreten. Ein brauchb~rer tensorie'der Kalkfil muB daher eine einfache mecha- nische Weise en~halten, die tensoriellen und vektoriellen Formeln in die Komponent- form (vo]lst~ndig zerlegte Form) fiberzufiihren und insbesondere die Grundvarianten so sehreiben, da6 ihre geometrilsche Bedeutung und ihr Verhalten bei der Trans- formation fibersichtlich hervortreten. Das ist zumal fiir unsere inw~iantenthoore~ tischen Untersuchungen erfordertich, die es mit Grundvarianten in erster Linie zu tun haben.

Diese verschiedenen Forderungen ]assen sich erffi]len, wenn man eine m6glichst einfache Schreibweise ffir die Grundvek~oren w~hlt. Wit bezeichnen sie, wie sohon b~ merkt, mit den aaf die Zeile gesetzten Indexbuchstabem Die Grundvariauten sind in der Hauptsache nichts anderes als die Grundvektorableitungen, welche in nnserer Symbolik auch bei hSherer Differentiatiomqorduung in einfacher Form erseheinen, w~hrend Me in der gewShnlichen skalaren Schreibweise verhRRnism~ig unfiber0~'chtliche vielgliedrige Ausdriicko werden, deren Trausformationsweise und geometrische Bedeutu~g nicht m~-

M~thematischr Annalen. 96. * 4~

698 F. Kran~.

mittelbax zu erkennen sind (s. z. B. u. S. 16 (19)). Die Verwendung idealer (invarianter) Vektoffaktoren und die formale Darstellung invarianter Differentiationsprozesse mittels derselben seheint mir dureh die bier gew~hlte Symbolik iiberfliissig zu werden. Die Schreib- und Rechenweise mit den (realen) Grundvekf~ren ist nieht unhandlieher als die mit jenen idealen Elementen, ja durchweg einfacher. Ferner aber, und dies seheint mir das wesentlichste Moment zu sein, t r i t t nicht nur bei altgemeinen in- variantentheoretisehen Uberlegungen, sondern aueh bei allen praktischen Anwen- dungen des I(~.ll~iils auf geometrisehe und physikalische Probleme die Notwendigkeit ein, Komplexe yon Grundvarianten zu betrachten, zu spezialisieren und zu berechnen, so dab die formale Elimination derselben durch die idealen. Faktoren dann sowieso riickg~ngig gemaeht werden muff4).

Charakteristisehe FeldgrSaen und Kernbildung kSnnen, au'Ber da$ sie als In- varianzkriterium und zur Reduktion dienen, noch eine dritte Funktion iibemehmen, n~mlieh die, einen vorgelegten Differentialausdruek q~ ( ~ ) , der nur bei Transformatio- nen T' invariant ist, bei einer umfassenderen Gruppe T invariant zu maehen. Wenn A(~ p) und CA~)zu dieser letzteren Gruppe gehfiren, so kann man mit ihnen ~v(Q)

spalten in einen Kern qo (0) und einen Rest ~, . Da ~ (Q) bei T ' und nieht bei T invariant ist, so versehwindet q , nicht identisch in den A ~ ). Wenn man nun die

in hohem Marie willkiirliehen A ~ } und CA~ ) so bestimmt, dab q, bei T' verschwindet,

so wird ~o(0) bei T' mit ~(s identisch und ist iiberdies invariant bei T. Neben dieser Art, invariant zu machen, gibt es jedoeh noch andere Weisen. Die Kl~rung der methodischen Bedeutung des Invaria.n~gedankens in der modernen Physik setzt zun~ichst voraus, dal3 man diese verschiedenen Formen unterseheidet; denn darauf grfinden sieh die verschiedenen physikalisehen Bedeutungen, welche das Relativit~ts- prinzip als Prinzip invarianter Formulierung in seinen einzelnen Anwendungen annimmt.

II. Teil. Tensorfelder im vollen Raum und allgemeine Vektoriibertragung.

4. Operat ions- und Zeichensystem der Tensoranalysis .

In diesem Abschnitt sollen bekannte Elemente der Tensoranalysis in einer fiir unsere Zwecke geeigneten Fassung kurz zusammengestellt werdenS).

Das grundlegende Konstrt~tionselement ist der differentiatgeometrische VerscMebungsvektor (Vektor erster Art) d. h. die auf eine zugehSrige Para-

d~ sind meter~nderung (dr) bezogene kleine Punlctverschiebung (d~i). ~/--~

dann die Bestimmungszahlen des Verschiebungsvektors. Vektoren k6nnen

4) Eine derartige Anwendung auf die Elastizit~tstheorie der Sohalen, sowie einen Versuch, die nachstehend angedeuteten Unterscheidungen in den Prinzipienfragen der RelativitKtsCheorie durehzuffibr~n, hoffe ieh demn~,ehst vorlegen zu kSnnen.

~) Zu dieser Nr. und Nr. 8 und 10 daft wohl bemerkt werden, dab die Grund- begriffe dieser Arbeit bereits 1921/22 im AnschluI~ an maine Bonnet Dissertation (Uber die Paralletverschiebung im Riemannschen Raume) von 1921 entstanden sind~ Literatur- hinweise auf inzwischen erschienene Publikationen bedeuten daher nicht die subjektive Abh~ngigkeit yon ilmen.

Differentialinvarianben und Vekt~rfibertragung. 699

als soleh.e variant sein d.h. mit dem Koordinatensystem andere vektorielle Werte annebmen. Die Bestimmungszahlen invarianter Verschiebungs- velrt~ren transformieren sich kogredient mit den d~ i (kontravariant). Der Tensor erster Art und s-let Stufe ist symbolischer Tr~iger einer skalaren Lineafform von s Argumentvektoren erster Art. Er ist invariant, wenn er invarianten Argumenten invariante Formwerte zuordnet6). De~ Tensor erster Art und erster Stufe heifit auch VeI~or zweiter Ar~. Tensoren zweiter und gemischter Art haben Yektoren der zweiten Art und Vektoren beider Arten zu Argumenten. Fiir sie gelten die analogen Definitionen der Invarianz. Die algebraischen Ten~oroperationen kSnnen nach Ein- fiihnmg der invarianten homogen-linearen Kompositionen flit Verschiebungs- vektoren (Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar) ohne Rekurs auf Bestimmungszahlen definiert werden. Wit benutzen drei direkt gesch~iebene algebraische Operationen:

1. Die ,Uberschiebung" eines Tensors mit Vektoren.

2. Die Addition und Subtraktion zweier gleichartiger Tensoren.

3. Die Multiplikation zweier Tensoren be]iebiger Art und Stufe.

1. ist dadurch definiert, dab in der Vektofform ein unbestimmtes Argument dutch ein bestimmtes ersetzt und die Form nut noch in Abh~ngigkei~ yon den iibrigen Argumenten betrachtet wird, so dab Stufenerniedrigung ein- tritt. Wir schreiben den nicht-vektorieUen Tensor mit groBen gotischen Buchstaben, z.B. 9~. ~ , . . . , die Vektoren beider Arten mit kleinen. Die Uberschiebung wird dutch einfaches Danebensetzen ansgeAriick~. ~I~ ist also Uberschiebung des Tensors ~I mit dem Vekt~r b. Miissen, was selten vorkommt, in ~ die Argumentstellen, an denen die Uberschiebung start- finder, unterschieden werden, so kann dies durch aussparende Punktienmgen geschehen: 9~ 5, 9/. b, ~ . - b usw. w~iren demnach Uberschiebungen an erster, zweiter, dritter usw. Arg~mentstelle. Bei Symmetrie yon 9~ f~,Ilt eine solehe Notwendigkeit eo ipso fort; die skalare Veld~orform des Tensors dritter Stufe mit den vektoriellen Argumenten ~, ~), 8 wird demnach geschrieben: 9~ ~ ~ $.

2. und 3. sind defmiert durch die ent~prechenden skalaren Ver- kniipfungen der Vektorformen:

( 5 )

( 6 )

= .

• . . . u p . . . = . . . )

Die (iibrigens willkiirliche) 0rdnung der iibexschiebenden Argumente

6) Var'~nte Vektoren und Tensoren scheinen mir bei dieser Auffassnng die (Hessenbergsche) Bezeichnung Pseudovektoren (-tensoren) ebensowenig zu verdienen wie mit dem Koordinatensystem ver~nderliche Zahlen die Bezeivhnung Psendozahlew

45*

700 F. Kraug.

in (6) ergibt fiir die Uberschiebung yon 9~ x . . . x !~ x s die ,Uber- schiebungsregel" in dem Sinne, dal] zuerst der reehtsh~indige Faktor ~ bis zum Skalar durchiibersehoben wird, hierauf der links ansehlieBende ~ usw. Diese Multiplikation enth~lt die Multiplikation eines Tensors mit einem Skalar als denjenigen Spezialfall, bei dem ein Faktor von nullter Stufe ist. Das Zeichen x kann daher auch fiir Multiplikation mit Skalaren benutzt werden.

1. und 3. haben allgemeine Produkteigenschaft und sind daher mit 2. distributiv verkniipft. 2. und 3. sind assoziativ. Damit sind die wesentlichen Rechenregeln gegeben. Sie sind einfach und dem skalaren Rechnen sowie der elementaren VekCoralgebra analog. Die Klammersetzung ist gegeben durch die bei fehlenden Klammern geltende Ausfiihrungsfolge (wobei wit die erst unten einzufiihrende Differentiation vorwegnehmen): 1. Differentiation, 2. Ubersehiebung, 3. Multiplikation, 4. Addition.

Die n-reihige Einheitsmatrix, aufgefal3t als System von Bestimmungs- zahlen yon n varianten Verschiebungsvektoren, definier~ die Grundvektoren erster Art. Variante Elemente werden stets mit griechischen Buchstaben bezeiehnet. Da die Grundvektoren die fundamentalen Grundvarianten sind, aus denen sich alle iibrigen dutch Differentiation und algebraische Kom- position ableiten lassen, so bediirfen wit einer mSglichst einfachen Be- zeichnung fiir sie. Wir schreiben daher den zur Koordinatenlinie der ~,, ~ , ~ , ~e,--- gehSrigen Grundvektor erster Art mit den au] die Zeile gesetzten Indexbuchstaben t, x, 2, ~, . . . . Bei numerischer Bestimmtheit der Indizes schreibt man zweckm~$ig 1, e . . . . . Die (unterpunktierten) Grundvektoren zweiter Art sind (vormetrisch) definiert dutch die Re- ziprozit/itsbedingungen:

( 7 ) ,

und kSnnen aueh bestimmt werden als diejenigen varianten Vektoren zweiter Art, welche jedem Vektor erster Art durch Uberschiebung seine Bestimmungs- zahlen zuordnen.

Die Bestimmungszahlen eines Tensors s-ter Stufe 9~ lassen sich nun- met~ definieren als Uberschiebungsprodukte yon 9~ mit s Grundvektoren, wobei je nach der Art yon 9~ Grundvektoren nur erster oder nut zweiter Art oder aus beiden Arten gemisehte zu nehmen sind, so dai~ die Be- stimmungszahlen yon 9~ sich schreiben : 9~z ... oder ~.1u ... oder 9.Ie.~... usw. Uberschiebungen yon 9~ mit p (p ~ s) Grundvelrt~)ren ergeben Koordinaten p.ten Ranges und ( s - p)-ter Stufe yon 9/, so da~ die Bestimmungs- zahlen als Koordinaten s-ten Ranges und skalarer (nullter) Stufe erscheinen. Fiir die tensorieIle Rechnung und invariantentheoretische Uberlegang besteht

Differentialinvarianten und Vektoriibertragung. 701

zwisehen Koordinaten gleichen Ranges and gleicher Art yon Tensoren verschiedener Stufe kein Uncerschied. Aus ihnen kSnnen deshalb gleichartige Invarianten gebildet werden, so dal~ die Erzeugung derselben yon der Stufe der Tensoren unabh~ngig wird. Gnmdlage der algebraisehen In- variantenbildung ist natiirlieh die Kontragredienz der Vektorkomplexe t und ~. Die ersteren transformieren sich gem~il~-

(8)

wo die iiberstrichenen Zeichen sioh auI das alto Koordinat~nsystem be- ziehen. Algebraische Invarianten shad Summen aus Produkten, in denen die ~ und L als einzige varianCe Faktoren stehen und tiber die kontra- gredienten L und ~ paarweise summier~ wirdT). Dabei ist es fiir die In- varianz gleichgiil~ig, mittels welcher der beiden Produkt~perationen 1. and 3. (s. o. S. 699)die Produke gebildet sin& Die einfachsten Invaxianten sind die Dimension n = ~ '~ . mad der (gemischCe) Ednheftstensor

(9) Ist 9.1 ~ z . . . ~ Koordinate p-ten Ranges des Tensors 9/, so hat der Tensor die Zerlegung p- ten Ranges:

(10) 9d = ~jK'~lz. . .~ X .~ x . . . • z x , .

Skalare Koordinaten er~eben die vollsffindige Zerlegung des Tensors. Die mit 91 gleiehstufigen Glieder dieser Zerlegung sind die Komponenten p-ten Ranges. Die drei algebraisehen Grundoperationen sind gerade diejenigdn, welehe hin~eiehen, um mittels der Grundvektoren einerseit~ den Tensor in seine Bestimmungszahlen abzabauen, andererseits itm wiederum daraus zu- sammenzusetzen. Die Koordinaten invarianter Tensoren sind kogredient mit den Produktkomplexen der sie erzeugenden Grmadvektoren, daher ebenso wie diese, von erster Transformationsordnung and invariant bei Transfor- ma~onen der Gruppe T 1. Die Darstellung eines bei T 1 invarianten Differentialansdrueks dutch Koordinaten invarianter Tensoren bedeutet daher die Reduktion desselben bei T x.

Ist a ein beliebiger Vektor, so ist bekanntlich die allgemeine (lineare) Vektoriibertragung 8) dureh da ~ 0 definiert," wo das invariante Differential d einer unendlieh kleinen Versehiebung im Felde entspricht und folgende Beziehungen gefordert werden:

~) D~s Summierungszeichen bezieht sich stets a~f paavweise gleiehe Zeiger, diese m~gen nun Gmndvektorr~ger oder Ableitungszeiger (hoehgeschriebene) sein.

~) Siehe z. B. Sehouten, a. a .O.S. 62ff.

702 F. KrauB.

d(a +_ ~)= da +_ aS, d(pa) = (dp)a + p(da).

Hier ist p ein beliebiger Feldskalar und b ein Vektor derselben Art wie a. Wegen der Zerlegbarkeit allot VekCoren nach den Grundvek~oren ist

eiae solche Vektordifferentiation bekanntlieh allgemein definiert, wenn die Ableitungen der Grundvektoren t u n d .t in irgendeinem Koordinatensystem durch beliebige Feldfunktionen festgelegt sind. Wit schreiben im folgenden

8( ) einfach ( )e. Die GrSflenkomplexe an S~etle des Ableitungszeichens -~e

teu und te~ sind also die /undamentalen Grundgr6fien tier atlgemeinen Vektoriibertragung (gewShnlich mit F,:o und F~: bezeichnet). Sie sind Di//erentialvarianten yon zweiter Trans/ormationsordnung; ihre Trans- formationsweise ist dutch die Kovarianz der l, die Kontravarianz der tund die allgemeinen Differentiationsregeln (11) bestimmt. Beliebig fortsetzbare Vektordifferentiationen hSherer Ordnung sind nunmehr ebenfalls definiert. Die Koordinaten der Grundvektorableitungen hSherer Ordnung t~"--- und t.o--.- sind ganze rationale Kompositionen aus den FundamentalgrSBen und ihren Ableitungen (s. u. S. 703, (19)). to .~ -~- zet ist Koordinate eines invarianten Tensors dritter Stufe (des Einheitsgradienten)" ~', o) so daI~

~ ! o o ~ (12) z~~ = 0 t z - - toz

Wir kSnnen daher auch to u und ~' O t~ als ftmdamenta~le Grundgr5l~en ansehen. Auf Grund der VektorditIerentiation kann in verschiedener Weise eine

invariante Differentiation yon Tensoren hSherer Stufe definiert werden. Ist 9.I ein solcher Tensor und sind og t z . . . r seine BestimmungszaMen, so erh~lt man bekanntlich eine kovariante Ableitung 9A e darch Erweiterung in folgender Weise:

(13) ' ~ , ~ . . . ~ = ( U , ~ . . . ~ ) ~ - ~ , o ~ . . . , , _ ~ , z e . . . v - - . . . - ~.~. . . , ,o .

Eine andere kovariante Ableitung er.h~lt man durch regul~res Durch- di~erenzieren des vollstiindig zerlegten Tensors:

(14) ~ = 2 ( ~ t ~ . . . ~)~ x ~ x . . . x ~

- t - Z ? i t . . . ~ x ~ e x . . . • ~ § ~ . Z 2 t . . . ~ x ~ • . . . • t~.

Die derart entstehenden Gradienten (erster Ordnung) 9~) sind Tensoren mit um eins erhShter Stuie. Der Gradient yon 2 wird mit 9/' bezeiehnet und es ist also:

( 1 5 ) ~ / ' = ~ ' ? F x ~, ~I'~ = ~ ~ .

9) Schouten, a. a. O. S. 66. s~) Ei ne Terminologie, welehe den Tensor ~" yon seinen Koordinaten ~I ~, den

kovarianten) Ableitungen, untersoheidet, ist um so mehr geboten, als auf Gebilden (s. u. S. 712) tier GradientprozeB die QuerrichtunKvoraussetzt, die Ableitung aber nicht.


Die (lurch die beiden versehiexienen Definitionen gewonnenen Einheits- gradienten ~ ' sind entgegengesetzt gleich. Das Versehwinden yon ~ ' oder die ~iquivalenten Beziehungen

(16)

haben die ~quivalenz beider Gradientprozesse zur Folge. In beiden FiilIen

+

Aus der ersten dieser Formeln kann man (s. o. (12)) alle Ableitungen .~e--- dureh die ~o... und Gradienten yon ~ ausdriieken.

Ist ein belieNger Ausdruek aus irgendwelehen Tensoren und den Grundvektoren mittels der definierten tensorietlen Zeichen und Operatiouen erzeugt, so verstehen wit unter seiner vollst~ndigen Zerleguug die Darstellung seiner Bestimmungszahlen dutch die Bestimmungszahlen jener Tensoren, die fundamentalen GrundgrSBen, sowie die Ableitungen dieser beiden GrSBenarten nach den Punktkoordinaten. Das Verfahren zur Zerlegung in Koordinaten ist natfirlich folgendes: Man fiberschiebt den direkt gesehriebenen Ausdruck s-ter Stufe mit s Grundvektoren, so dab seine Bestimmungs- zahlen entstehen. Hierauf zer]egt man jede nieht-skalare GrSBe (auger den Grand- vektoren), z. B. ~, in dem Ausdruck vollst~dig d. h. in ihre BestimmungszahIen und die Grundvektoren (s. o. S. 701 (10)). An diesem Zerlegungsaggregat werden die Operationen, welehe 9~ mit anderen Elementen des Ausdrueks verknfipfen, nach den Regeln des Kalkfils ausgeffihrt. Bei Differentiationen von ~ ergeben sich dann Ableitungen der Grundvektoren und der Bestimmungsz~hlen yon ~. Die ersteren zer- leg~ man analog unter Einfiihrung der fundamentalen GrundgrSBen te~ und ~e~.

Beispiele:

(I8) (div2)~ = ~ ~e.e~=~(~.~.x.Ax,)e.e~ =~(~g~)e+~Ae,,x~.e~.+.~fl:;.x,ee,

(19) ,e~ =2~ (,eo.~ • ~)~., = (,~:)-~ + Z (,e.~ • + ( ,%)~215 ~

Die drei invarianten Grundtensoren zweiter, dr i t ter and vierter Stufe:

= ~ x~., (20) ~ t e = r e . - 0%

~ t ~- t c a - to%

Bei dieser gilt:

(17)

ergibt die Differentiation von Produkten beider Arten zun~ichst ein Haupt- glied, das durch gewShnliches Durchdifferenzieren der Faktoren entsteht; hinzu treten Zusatzglieder, in die auBer den urspriinglichen Faktoren der Einheitsgradient eingeht. Wird letzerer Null, so gilt demnach flit die Differentiation allgemein die gewShnliche Produktregel. Es ist fiir unsere Uberlegungen gleichgiiltig, welche Art von Gradientbildung gew~ihlt wird. Der Einfachheit halber legen wit im folgenden die zweite Art zugnmde.

704 F, KrauB.

sind Ftmdamentaltensoren, da, wie die folgenden Betrachtungen zeigen, auf sie alle Invarianten mittels des Gradientproze6es und algebraischer Komposition reduziert werden~~ ~ ist der verallgemeinerte Riemannsche Tensor. ~ liefert bekanntlich den Seitenexze6 im kleinen Dreickn).

Es ist nunmehr unsere Aufgabe, aus den fundamentaten Grundgr56en charakteristische Grundvarianten (s. o. S. 696) zu bilden und mit ihnen die Zerlegung aller varianten Elemente in Kern und Rest zu bewerk- stelligen.

5. Die c h a r a k t e r i s t i s c h e n G r u n d v a r i a n t e n der a l l geme inen Vekto riib e r t ragung.

Wir betrachten die fundamentalen Grundgr56en te~., deren Ableitungen (Le.x) ~'' ', sowie GrSl~en der Form te~'"z. Letztere sind ganze rationale Kompositionen aus jenen, in der vereinfachenden unzerlegten vektoriellen Form geschrieben (s. o. S. 703, (19)). Ein System von Gr56en (te~.)o... oder von Gr56en te~...~ hei6e permutations]rei (beziiglich der t, ~, o , . . . ; y. kommt nicht in Betracht), wenn nicht zwei Elemente darin vorkommen, von denen das eine durch Permutation der t, ~, o, . . . aus dem anderen hervorgeht. Ein permutationsfreies System wird vollstdndig hei6en, wenn bei einer festen HSchstordnung der zugelassenen Ableitungen alle Index- kombinationen der ~, ~, o, . . . einmal vertreten sinch Die Transformations- ordnung einer GrSl~e (te~)o... oder t e~"~ ist, da ~ von erster, t e also yon zweiter Ordnung ist usw., gleich der Anzahl der Zeiger ~, ~, o, . . . .

Eine einfac-he Uberlegung zeigt nun, da6 ein vollst~ndiges permutationsfreies System yon der HSchstordnung p sowohl aus Gr56en (te.~) ~ wie aus Gr56en te~ ein System ~'TIAr ist. Wir w~hlen das letztere System, well es wegen der vektoriellen unzerlegten Sehreibweise die zugehSrige Kernbildung vereinfacht.

Das Bedingungssystem B~l(t ~ ) (s. o. S. 693) ist:

(21) (~) '--~-~' = ~ 1 , t ~ - z

lo) Unter Fundamentattensoren des Raumes oder eines Gebildes im Raume verstehen wir unabh~ngige Tensoren yon der Art, dab sich aus den Bestimmungszahlen dieser Tensoren und ihrer Gradienten beliebiger Ordnung aHe skalaren Diliercntial- invarianten und Bestimmungszahlen aller invarianten Differentialformen, die dutch die Grundbestimmung des Raumes und die Eigengestalt des Gebildes gegeben sind, rein algebraisch d. h. ohne weitere Differentiation komponieren lassen. Auf Gebilden werden dabei sowohl die mit den inneren wie die mit den ~u6eren Grundvektorrn gebildeten Bestimmungszahlen zugetassen (s. u. S. 712).

n) Siehe Schouten a. a. O., S. 67, wo ~ mit 2 S ~ ~ bezeichnet ist.

Differentialinvar/anten und Vektoriiber~ragung. 705

Beriieksiehtigen wit, dal~ hierdureh

wird, so erhalten wit fiir Gr6t~en te~..-x, yon q-ter Transformationsordnmag dureh Einsetzen yon (8), S. 701, Ausfiihrung der Differentiationen mad Transformieren derselben auf die alten (iiberstriehenen)Koordinaten Transformationsgleiehmagen der Form:

(22) te"'"x=h',e~'"-l-z'~ea"" /#e~"" -- (L) 'ea"-

Das z-Glied enth~lt nut Transformationsableitmagen von niedrigerer Ord- nung als das h-Glied, aul3erdem alte Gmndvektorableitungen, die den zu o) ----- t e ~....x gehSrigen Komplex Co, bilden (s. o. S. 693). Infolgedessen ist auf der reehten Seite alas h-Glied dureh Transformationen atrs T~ tmab- hiingig vom z-Glied zu variieren. Sind nun die teo-.-.z permutationsfrei, so sind die zugehSrigen h-Glieder es aueh mad daher willkiirlich mad unabhiizagig voneinander zu transformieren, da mater itmen nicht zwei vorkommen, die sieh blol~ dutch Vertausehtmg der Ableitmagsindizes L, ~), o , . . . un~erseheiden mad somit identiseh w/iren. Hierans folgt: Bin permutations/reies System von Gr6fien ~e,...~. ist ]rei variant urd annullierbar ba

Ist das permutationsfreie System der ~e-..q vollst/tndig (yon der hSehsten Transformationsordnung p), so hat man eine Folge yon Trans- formationsgleiehungssystemen der Form"

.

Den Indizes sind alle mit der Permutationsfreiheit vertr~ghchen Werte zu ert~ilen. Wegen der Vollstiindigkei~ des permutationsfreien Systems sind alle Transformationsableitungen als erst~ Glieder (h-Glieder) der reehten Seiten vertxeten. Alle im z-Glied einer beliebigen Gleichmag vorkommenden TransformationsableiVangen stehen in den voraufgehenden Gleichtmgen als h-Gtieder. Die im ersten System vorkommenden z-Glieder sind wegen (21) ,e z~ = ~ . . Indem man, mi~ diesem er~en Gteichmags. system beginnend, aus jeder Gleiehung das h-G!ied ausdriiekt und in die folgenden Gleiehungen subsCituierr erMlt man sukzessive al!e h-Glieder, d. h. alle Transformationsableitungen his zur ~-ten Ordnmag rational mad ganz dargest~llt (lurch die te---.~ mad att~ (fesCe)Grundvelctorableimngen. Da iiberdies permutationsfreie ~---x frei variant sind, so tolg~:

706 F. Krau~.

Das System der Bestimmungszahlen eines vollstSndigen permutations. /reien Systems aus Ableitungen yon Grundvektoren erster Art bis zur

~(~) d .h . ein in p-ter Ordnung ( p - 1)-ten Ordnung ist ein System ~,~ eharakteristisches System yon Grundvarianten bei der Gruppe T~. Es setzt sich rational und ganz zusammen aus den /undamentalen Grund. grSfien der allgemeinen Vektori~bertragung und deren Ableitungen yon nicht hSherer als ( p - 2 )-ter Ordnung.

~(~) kSnnen wir nunmehr alle Differentialvarianten bis Ylit diesen ~T~ zur p- ten Ordnung und Funktionen aus ihnen in Kern und Rest zerlegen. Dabei brauehen wir, wie wir sehen werden, in unserem speziellen Falle, wo die StammgrSBen Tensoren sind, nicht den allgemeinen Eliminations- prozefl d e r t (~) (s. o. S. 693) durchzu/iihren, sondern kSnnen dutch den Gradientprozefi und direkte Ein/iihrung der ~, ~ , ~ unmittelbar die Kern- bildung vornehmen.

6. K e r n b i l d u n g m i t den G r u n d v a r i a n t e n de r a l l g e m e i n e n V e k t o r i i b e r t r a g u n g .

Wir betrachten eine beliebige Funktion ~ yon skalaren GrS•en der Form 9 / t ~ . . . ~, t~x, t'~ ~ und Ableitungen derselben nach den ~,. Die 9/t ~ . . . sind bei T 1 invariant, ihre Ableitungen indessen nicht. Diese werden unter kuffassung der 9/t ~ . . . ~ als Uberschiebungsprodukte von 9 /mi t den Grund- vektoren nach den Regeln (17), S. 703, ausgefiihrt. Dadurch driicken sich alle (9/t .~. . . v) ~a''" aus als Aggregate yon Uberschiebungsprodukten aus den invarianten ~ , 9/', 91" , . . . , den Einheitsgradienten (~', ~", . . . , den bei T 1

�9 e a ~ 1 7 6 1 7 6 invarianten Gmndvektoren L, t u n d den re.-. und re-.-. Die (t .~) und (.ten) a''" werden in analoger Weise dutch die Grundvektoren und die te-.-- und t e~... dargestellt. In dieser Form enth~lt ~ als.einzige bei T~ variante Elemente, die tea.., und re-.... Die letzteren driicken sich dutch die ersteren und die ~ ' , ~ " , . . . aus, so da~ die te~.., die einzigen vatianten Elemente in ~ sin& Die Kernbildung von ~ wird dadurch bewirkt, da~ man in die tea--, dutch ihre Kerne ersetzt (s. o. S. 690), so daft au/ die Bildung der letzteren alles hinausldufl.

Wir wi~hlen ~(~) ,~,~ so, da~ p d e r Transformationsordnung der hSchsten in ~ vorkommenden Ableitung te "... gleich ist. Es seien nun t'e'~ die KooMinaten einer beliebigen in (p vorkommenden Grundvektorableitang. Dann gibt es in ~(~) , ~ Elemente ~eo~....~, welche Koordinaten eines Vektors

# ! t t teo~-.- sind, der sich yon t e o �9 ... nur durch Permutation der Zeiger unter- scheidet. Dann ist:

(23) t' e ' ~''~ ... ~ ~o-~... _ w,ea~-.., w'~ a~ "" = W ~v''' --L ''~" ...

w'o~ ist eine wirbelartige Bildung, welche sich in Teilwirbel zerlegt,

Differentialinvarianten und Vektoriibertragung. 707

die durch Transposition benachbarter Indizes sieh ergeben. Unter diesen sind drei Formen zu unterscheiden:

(24) 1. te~ . . . . ~,,~..., 2. te~ . . . . t~o~..., 3. t...~eo~ . . . . t...x~e~....

Bei 3. stehen die Transpositionen nicht an erster oder zweiter Stelle wie bei 1. und 2. Wesentlich ist nun, daft in/olge der Grund/orderungen (11), S. 701 f, , / i ir die Vektordi//erentiation sich 3. au/ 2. zuriick/~thren 15flt gem/ill:

(25) . . . . �9 = • . . . .

In die Wirbel der Formen 1. mad 2. kann man aber ~ und 9 (s. o. S. 703) unmittelbar einfiihren-

(26) tea~ . . . . ~,-~... = ( 3 r e ) ~ ' te~ . . . . toe,... ~_ (geat)~- ' -

Die Ausfiihrung der Differentiationen an diesen vektoriellen Uberschiebungen yon 3 und 9 mit den Grundvektoren ergibt Aggregate aus ~ , 9 ; @', 3 ' , 9 ' ; ~", ~", 9"; usw. und Grundvektorableitungen yon niedrigerer Ordnung als die urspriingliche yon t'e 'a'~'-.-. Somit driickt sich diese letztere GrSlle dutch

a(~) Grundvektorableitungen niedrigerer Ordnung mad ein Element aus ~ , , die Fmadamentaltensoren @, ~ , 9 und deren Gradienten aus. Mit den noeh vorkommenden Grundvektorableitungen niedrigerer Ordnung verfKhrt

--. ~ (~) und man ebenso, bis alle nicht in ~(~) enthaltenen t'e' ~ dutch die ~je~ - z J t T 1 .

die ~, 3 , ~ sowie deren Oradienten eliminiert sind. .. t e o �9 ... (bzw. fiir die Be- Die sieh so ergebende Komposition fiir ' ' ' '

, , , ~ ( ~ ) stimmungszahlen t'e ~ �9 ---.x) ist ein Aggregat yon Produkten aus ~-z~, ~, 9 und Gradienten yon ~, 3 , 9 , sowie den bei T~ invarianten Grundvektoren.

~v) enthalten, sind daher Diejenigen Produkte, welche keinen Faktor aus ~.z~ bei T~ in.variant, die iibrigen aber versehwinden mit den A v) z,. Also bflden diese letzteren den Rest, die ersteren den invarianten Kern.

Somit gilt der Reduk~ionssatz der allgemeinen Vek~riibertragtmg:

Ist q9(~2) eine lnvariante bei T~, so ist sie mit ihrem Kern identisch und hat daher eine reduzierte Form aus den in ~ stdb~nden Stamm- tensoren und deren Gradienten, sowie den Fundamentaltensoren ~ , ~, 9 und deren Gradienten.

Die HSchstordnung der Gradienten bestimmt sieh dutch die hSehste Transformationsordnung der in ~ urspriinglieh vorhandenen varianten Ele- mente. Erst nach Adjunktion yon ~, ~ , 9 zum Stammsystem erzeugt also der Gradient-prozell allein die invarianten Tensoren, aus denen sich al!e Differentiatinvarianten rein algebraisch (projelrtiv) zusammensetzen lassen.

7. Be i sp ie le . R e 4 u z i e r t e D i f f e r e n t i a t i o n .

Wit erl/iutern zun~i~hst an drei sehr dmfachen Beispi~len die Yer- wendung der Kernbildung als Invarianzkriterium.

708 F. Kraul~.

Zu untersuchen ist die Invarianz der Rotation

(27) (rot ~ ) , ~ = (~,)~'-- (~z ) ' .

Dutch Ausdifferenzieren und Einfiihrung yon ~ und ~ hat man:

(~,~,_ ~,,~)_ ~ (~'~,_ ~,,~) + ~ (~,~).

Ein Rest tritt nieht auf, so dag Invarianz bei T 1 und Tensorcharakter vorliegt. Die in die einzeluen Glieder eingehenden te.~, ~.e~ fungie~en lediglich als variante Scheinargumente, von denen die Rotation tats~chlich unabhiingig ist.

Desgleichen untersuche man:

(9.8) ~ykl. (~,~)~" = (~,~)~ + ( ~ , ) " + ( ~ ) ' .

Wir erhalten:

cykl. (g[,z)'- = cykl. g['/., z -- cykl. ~ (~')~,) z -- cykl. ~ , (@'2z)

+ cykl. ( ~ ' ~ z + ~I*~ z) ,

cykl. ~,z~- = eykl. ~I~X' = eyk]. ~ , ~ + cykl. ~ ( i ~ ' ) .

Naehdem so die vorkommenden ~, z x permutationsirei gemaeht sind, kommt als Rest:

eyk!. (9Idz + ~ z d ) .

Dieser Rest verschwindet dann und nut dann identisch in den ~ und ~, wenn ~I antisymmetrisch ist.

Man untersuche desgleiehen (92[.~)e--(g[.~) '. Die Zerlegung ergibt als Rest:

~1.~ - ~ ' x e ' = 2 7 ' x ~ • ( . , ~ - .e'~) = - X ? I . ~ • (~.~., - ~: .e),

wo z ' und z~ ~ permuta~ionsfrei sin& Dieser Rest versehwindet nieht identiseh in den z ' und ze. Also hat (9/~) e - (9/.~)' nicht Tensoreigensc-haftl"~).

Nach dem Bisherigen kSnnen nach Adjunlrtion der ~, ~ , ~j zu den Stammtensoren alle Ditterentialinvarianten gebildet werden durch Gradient- prozel3 und rein algebraische Komposition (worunter bier ]ede Komposition einer GrSl]e aus Koore]inaten von Tensoren obne Differeatiationsprozet~ verstanden werden soll). Die algebraische Komposition entt~lt Ms variante

~) Ist~ tier vorgelegto Differentialausdruck ~ ( ~ ) unabh~ngig yon ~ex und ~e~, so kann man trotzdem den Gradientprozet~ formal handhaben und mit ihm die In- vari~zuntersuchung machen, wobei man die Grundbestimmung stets durch die Voraus- setzungen ~" = ~ ~ ~ = 0 spezial~iert denken .kann. In ~hnlicher Weise kann man auf Gebilden (s. u. Tell III) eine beliebige Querrichtung als formale H!lfskonstrukt~on ~nuehmen, um*vorgelegtr Differentialausdriieke zu untersuchen, obgleieh diese yon der Auszeichnung einer Querrichtung unabh~ugig sein m~gen.

Differentialinvarianten und Vekto~fibertragung. 709

Grundelemente nut die Grundvektoren ~ und t.. Sei nun eine bei T o invariante Gr5~e q~(A, ~, .t) dieser Art gegeben, wo A die vorkommenden invarianten Elemente symbolisiere. Dann ist ~e eine bei T o kovariante und bei T I invariante Ableitung. Die Ausfiihrung des Differentiations- prozesses an ~ wird aber auger Gradienten A' auch Ableitungen ~e und t.e ergeben, so da~ nach der Differentiation keine reduzierte Form mehr vorliegt. Es ist abet erwiinscht, in reduzierten Formen rechnen zu kSnnen, da diese als Normalformen flmgieren und dutch die Abwesenheit der nicht tensoriellen Elemente be---, .~e... die Stmktur und Invarianz der Komposi- ti'onen einfacher hervortreten lassen. Fiir die Herstellung reduzierter Formen gilt das Prinzip: Ent t~l t eine invariante Funktion nur frei variante Ele- mente, so k5nnen diese in ihr annulliert werden. Es sei nun ~pe eine Komposition der Form v/(A, A', ~, .~, ,e, t.e). Man denke sich die t.e dutch die t e und ~ ' ausgedriickt:

~e _~ {~,q. t _ Z iet x i.,

so dab man erh~lt:

A ' , t , ,5 , _ •

Alte in dieser Komposition auitretenden t e und Ze haben denselben Zeiger 5. Sie sind deshalb ein permutationsfreies System. hndere bei T1 variante Elemente kommen nicht vor. Da die permutationsfreien ,e, ie bei T~ ffei variant sind, da ferner v 2 bei T~ invariant ist, so kSnnen in yJ die Le direkt annulliert werden. Hieraus folgt die Regel der reduzierten Di//e- rentiation: Ist q~ (-4, ~, L.) eine lnvariante und daher q~e eine kovariante Abldtung, so kann man bei Aus/i~hrung der Di//erentiation die ~ als konstant ansehen und die entstehenden ~.e dutch ~ ' ~ . t ersetzen, so daft man sogleich die reduzierte Form des Ergebnisses erhdlt. Damit ist gleichzeitig bewiesen, dab bei beliebiger Anwendung der kovarianten Ableittmg und rein algebraischer Prozesse zwar ~ ' , niemals aber einer der Wirbel ~ und ~) neu eingefiih~ werden kann. Die ~ , ~ , ~ sind demnach nicht aufeinander reduzibel mittels des Gradientprozesses.

Um die Anwendung der reduzierten Differentiation an einem einfachen Beispiel zu zeigen, leiten wit die tensorielle Verallgemeinerung der elementaren Vektorformel:

rot rot a = grad div a -- div grad a

ab. Und zwar der Einfachheit wegen fiir den gewShnlichen Riemannschen Raum ( ~ ' = ~ = 0). Die allgemeine rot ist definiert durch:

(rot ~)~ = (~,F - ( ~ ) ' , die allgemeine div dutch:

div ~ = 2~e.~ = ~ ~'~.~.

Sieht man yon tier bekanntlieh invariantentheoretisch inkorrektmn und nut ira drei-

710 F. Krau~.

dimensionalen Gebiet mSglichen Identifizierung einer Vektorrotation mit einem Vektor ab, so ist die gewShnlich mit rot rot bezeichnete Invariante --div rot. Es ergibt sich:

r o t 2 = 2; (2 ' , .~- 2 ' , :)• ~x, ,

div rot ~ -- _~ ( (2 ' : .~ -- ~'.~,.) x , • ,)e.e.

Die reduzierte Differentiation liefert fiir den letzteren Ausdruck:

div rot ~ = 2~ (~I " e f ~ - 2"e~e)x = = 2 J 2 " e ? - . ~ 2 "e.~.ex = �9 Ferner ist:

div grad 9.I = .~ (2'~.x ~)e~

g r a d d i v ~ = , ~ ( 2 e e ) x~.,

und dureh reduzierte Differentiation:

div grad 2 = 2.7 2 " e ~,

grad div 2 = ,~ ~"~e? x~ .

Also: ?g ~?i l # div r~ = div grad 2 - grad div 2 ~- - , y ~ t 2 , ~ ~ - e ? - - ~ e=e)x~

(29) (~l"~ee-- 2".~,e)x ~ =~ ' ( r o t grad 2)~.~.

rot grad 2 ist, wie die volIst~ndige Zerlegung yon 2 lehrt, eine l~berschiebung yon 2 mit dem Riemannschen Tensor ~ und versehwindet mit diesem.

Die relativistisehe Elektrodynamik forint bekanntlich die Maxwellschen Gleiehun- gen mit Hilfe eines vierdimensionalen Vektorpotentials [, eines sckiefsymmetrischen Feldtensors ~ und eines vierdimensionalen Stromvektors ~ zungchst um zu:

d i v g r a d [ = ~ , r o t f = ~ , c y k l . ( ~ ) ~ ' = 0 , d i v f = 0 .

Die erste Gleichung ist die ret~rdierte Potentialgleichung und schreibt sich in einem or~hogonalen Koordinatensystem:

0 ~f~ , 0 ~f~ 0 ~f~ 1 0 "2fi = ~

at

An ihr ist die Lorentz-Invarianz unmittelhar erkennbar, und sie ist der eigentliehe Ausgangspunkt der ganzen Theorie. Nun gibt abet die Relativit~tstheorie die end- giiltige Feld-Strom-Gleichung in der Form:

( 30 ) div ~ = div rot ~ -- ~.

Der Zusammenhang dieser Formel mit der retardierten Potentialgleiehung wird erst, wie mlr seheint, dureh die obige Zerlegung (29) yon divrot deutlich. Da div f = 0, so wird, wenn ~ = 0, div grad ~ - div rot f . Liegt aber Gravitation vor, so ist die retardierte Potentia]gleichung nicht mehr ~quivalent mit (30). Es tr i t t vielmehr ein Glied hinzu, das den EinfluB der Raumkriimmung auf die Potentialgleichung zum Ausdruek bringt.

HI, Teil. Tensorfelder auf Gebilden.

8. T e n s o r o p e r a t i o n e n auf Gebi lden.

Wit betrachten in diesem Teile vektorielle un4 tensorielle OrSflen- felder, die auf G.~bien definiert sind, und aus denen dutch de~ im Raume


vorgegebenen Ables'tungsprozefi Differentia]invarianten erzeugt werden. Zu- n~ichst stellen wir wiedezum lmrz bekannte Elemente der aUgemeinen Sen- soriellen Differentialgeome$-rie in besonderer Form zusammen18).

Die (inneren) Koordinaten in dem im VoUraum R~ hegenden Ge- bilde (Kurve, Fl~che usw.) R~ (m < n) werden von nun an mit ~ , ,~ , . . . bezeichnet (griechische bis m laufende Zeiger), die Koordinaten im vollen Raume R~ und au] R m (/iul~ere Koordinaten) mit ~ a , ~ , . . . (lateinische bis n laufende Zeiger). Das Gebilde sei analytisch regul~ir, so dal~ die (~ ) "'" bis zu behebiger Ordnung bestimmte endliche Werte haben. In unseren Betrachtungen treten nunmehr an Stelle der ~iul]eren mit ~ , ~ .... zu bezeichnenden Gmndvektoren die inneren L, x, ~ , . . . , die zu den inneren Koordinaten ~ , ~ , ~x .... in R~ gehSren. Diese t sind Verschiebungsvek- r auch im vollen (n-dimensionalen) Raume und haben die ~uBeren Koordinaten: La (h ) Bestimmungszahlensysteme mit griechischen Zeigern (9~ t u . . . , ~ .t ~... . , ~ tx . . . ) bestimmen bekannthch nut dann Tensore~ im Vollraum, d.h. sie hefern nut dann mit beliebigen, dutch irgendwelche ~iul~ere Koordinaten gegebenen, auf R~ stationierten Vektoren in R, be. stimmte Formwerte, wenn sis yon der zweiten Art, und also die griechischen Zeiger unSerpankCiert sind. So hat man z. B. als Uberschiebung yon 2.t.~ mit den Vektoren ~, t)" Z 9It..x(~a)(.ht) (t)j)(~z), so dai~:

die/iul]eren Koordinaten des durch ~.t.x bestimmten Tensors sin& Die Vek, toren t sind als Vektoren im Vollraum R~ erst dann definiert, wenn ein ( n - m)-dimensionales Kontinuum nicht-tangentialer Verschiebungsvektoren invariant ausgezeichnet ist. Bilden n~mlich q~, q s , . . . , %_~ eine Basis dieses pseudonormalen oder, wie wir lieber sagen wollen, quergerichteten Kontinuums, so sind die ~ als Vektoren zweifer Art im Vollraum definier- bar durch:

{ 0 , ~ # x , t % = 0 ( r~- l , 2, . . . ( n ~ m ) ) , t ~ - - l , t ~

Jetzt erst defmieren auch Koef.fizientensysteme mit nicht punktierten griech~schen Zeigern n.dimensionale Tensoren gemmule:

Den dutch die ( n - m).dimensionale Querrieht~ng definier~n Tensor

nennen wit Richtungstensor von R~. Die kovariante Ableitung 2e e'mes (n.dimensionalen) Tensors 9~ ist yon der Querrichtung unabh'~ngig and

~) S. z. B. Sohouten, a. a~ O. S. 136ff., 173~., 1881~.

712 F. Krau!l.

lediglieh dutch die Ubertragung ira Vollraum definiert auf Grund der volt- st~ndigen Zerlegung yon ~ :

• x • + • . . . .

Dagegen setzt der zugehSrige Gradient ldings R~, den wit mit 9/' bezeiehnen, die Querrichtung voraus; denn er ist definiert dutch:

(32) 91' = Z ~ e x 0 .

Alle Formen, ganz gleieh dureh welehe Art yon Bestimmungszahlen sie ursprfinglieh definiert sind, kSnnen nunmehr als Tensoren im Vollraum, die auf R~ verteilt sind, angesehen werden; sie haben /iu~ere Koordi- naten und gestatten die soeben angegebene (~u~ere) Gradientbildang I~ngs R~, welehe wiederum auf Vollraumtensoren fiihrt. Formen, die dureh innere Bestimmungszahlen (grieehisehe Zeiger) gegeben sind, lassen, wenn eine innere Ma~hestimmung Gt~ existiert, einen inneren Ableitm~gs- und Gradientprozel~ zu mit Hilfe der aus den (G t x) e gebildeten Christoffelsehen Symbole. Diesen inneren Gradient- und ibleitungsprozel3 machen wit da- dutch kenntlich, da$ wit seine Zeiger in Klammern einschlieflen: ()('), ()@. An ]edem Tensor kSnnen dutch ~berschiebung sowohl mit den ~, h., als auch mit den t, t. Koordinaten verschiedener Stu/e gebildet werden~4). Die Eigenschaft yon Tensoren, an einer Arg~ment.stelle tangential (oder quer- gerichtet) zu sein, ist natiirlieh dadurch definiert, dal~ der Tensor, an dieser Stelle mit einem quergeriehteten (oder tangentialen) Vektor iiberschoben, verschwindet. Die (tensorielle) Tangentialkomponente eines Ten- sots 9/ auf R,~ ist: .~ 9/t u . . . ~ x ~. x . . . x u x t. Aus 9/ ergeben sich Tensoren, die in R~ mit 9/ /iquivalent und an gewissen Argumentstetlen tangential sind, dureh Uberschiebungen yon 9/mit ~ . Die Tangentialkom- ponente eines Vektors a ist ~ a.

9. C h a r a k t e r i s t i s c h e G r u n d v a r i a n t e n , K e r n b i l d u n g und R e d u k t i o n auf Geb i lden .

Die invariantentheoretischen Betrachtungen im vollen Raume be- ruhten auf der Ko- und Kontravarianz der ~ and h und auf der sich aus den Differentiationsregeln ergebenden Varianzart ihrer Ableitungen. Da in dieser Hinsicht die entsprechenden GrSilen t, t auf R~ sich gleich verhalten, so iibertragen sieh die friiheren Aufstellungen mit Leichtigkeit auf die Varianten mad Invarianten, welche mi~ den t and .t von R~ und dem Differentiationsprozeli l~h~gs tier ~e auf R~ gebildet sind.

~) Man beachte die Existenz verschiedener Arden yon Bestimmungszahlen insbesondere bei der Definition der Fundamentaltensoren o. S. 704 F ~ n o t e undu. S. 718.

Differentialinvariauten und Vektoriibertragung. 7J~3

Zun~chst liefern die Transformationsgleichungen fiir ein permutationsfreies System t e~. . . die freie Varianz dieser Velr~oren in langentia/er Riehmng. Die Querrichtung bzw. L definiert fiir die im allgemeinen aus R~ herausspringenden te ~--- bestimmte tangentiale Komponenten ~ t~ ~" -.-, deren Bestimmungszahlen ~ea~...~ daher ]rei variant sind. Diese ]reie Varianz ist yon der Wahl der Querrichtung unabhdngig. Die permutationsfreien Gr50en l e~*...~ shad nunmehr die charakteristischen Grund- varianten flit das Koordinatensystem yon R~ und haben dieselben Eigen- schaften wie die analogen GrSBen im vollen Ranm.

Es seien nun betiebige Stammtensorfelder auf R~ mit beliebigen s yon Bestimmungszahlen gegeben, fiberdies die fundamentalen Grund- grSl]en der Vektoriibertragung im vollen Raum und ~R. ~ ist dabei analytisch bestimmt zu denken durch die Fun~ionensysteme t ~ und ,.h, yon denen das erste dutch die Gebildegleichungen (in Parameterform), das zweite dutch die Querriehtung bestimmt ist. Aus diesen GrSt~en und ihren Ableitungen nach den ~,, welche zusammen das Variant~nsystem ~ bilden, werden nun beliebige Ausdriieke ~ (~ ) erzeugt, und es ist die Aufgabe, deren Kerne mit den A ~ ~, zu bilden. Genau wie oben (s. S. 706"ff.) reduziert sich die Betraehtung auf die Kernbildung an den Grundvek~r- ableitungen. Deren gibt es jetzt, da auger den l, t aueh noah die h, vorkommen kSnnen, vier Axten:

~e... e... ~ .. ke....

Die beiden letzten sind dutch die Kernbildung im vollen Rallm erledigt, da sie sieh dureh die Grundvektorableitungen ~ und ~ nach der Ketten- regel ausdriieken :

Die h r u n d h~ eliminieren sich dutch die GrSl]en ~, ~ , ~ des vollen Raumes und deren Gradienten l~ings R~. Es bleiben also nur noch die

F'dr die te hat man"

(33) , .te~- ~ 'e . . t -- ~P~e .~ • ~,.

wo ~ ' , der dufiere Kriiminungstensor yon R~, die analoge Rolle spielt wie oben ~'. Au~ Grund dieser Beziehung eliminieren sich "die re-.- dutch die ~e-.-, ~ und seine Gradienten.

Fiir die Kernbildung an den re--- exgibt sieh gegeniiber den Verh~lt- nissen im Vollraum folgendex Unte~schied. Zun~ichst spaltet sich yon t~ eine Que~komponente ab, die Tensorcha~-akter hat. N~imtich wegen ~ ~ ~ hat man-

= = - +

Mathema~isehe Annalen. 96. 46

714 F. KrauB.

Das letzte Glied ist Tangentialkomponente, so dab die beiden ersten die Querkomponente bi]den, die sich, wenn ~'~-0~ auf ~'Ot reduziert. Bei weiterer DifFerentiation yon t~ ergeben sich Aggregate, die ~ , ~ ' , ~" , . . . und (~', ~ ' , . . . enthalten und iiberdies Tangentialkomponenten ~ te ~-.-. Diese Tangentialkomponenten hat man nun in analoger Weise wie oben S. 706f. durch die permutationsfreien ~(~) auszudriicken, wobei sich die Analoga tier ~ und ~ einfiihren, n~.mlich die Tensoren mit den vektoriellen Koordinaten:

Diese Tensoren sind nun aber, wie eine triviale Ausrechnung lehrt, nichts anderes als Tangentialkomponenten der ~ und 9 des Vollraumes. Sie und ihre Gradienten sind daher dutch die ~, 9 , deren Gradienten und ~R und seine Gradienten ausdriickbar. Die Darstellung beliebiger t~ ~ dutch die GrSl~en eines permutationsfreien Systems fiihrt also keine neuen Fun- damentaltensoren ein. Vielmehr treten zu (~, ~, 9 des Vollraums nur noch und seine Gradienten.

Auf diese Art erh~lt man den RedukCionssatz:

Beliebige Ausdri~cke q~(~) haben Kerne, die sich aus den mit den ~,~ und t, ~. gebildeten Bestimmungszahlen der Stammtensoren und ihrer Gradienten ldngs R~ und der Tensoren ~, ~, 9 , ~ und deren Gradienten komponieren. ~, ~, 9, ~ sind also die Fundamentaltensoren.

Demnach miissen alle Differentialinvarianten auf Gebilden auf reduzierte Normalformen gebracht werden kSnnen, wo sie als algebraisohe Kompositionen aus den Stammtensoren, den Fundamentaltensoren und deren Gradienten erscheinen. Die Eigeninvarianten yon R~ enthalten blol~ die ~, ~, 9, ~- Weitere OrSI3en kSnnen noch zur Grundbestimmung des Ranmes hinzutreten, so z.B. ein quadratischer Linienmai3tensor oder, wie in der volumtreu-affinen Geometrie, ein n-dimensionaler anti- symmetfischer VolummaBtensor ~ , der n VerschiebungsvekCoren ax, a2, ..., a~ den Rauminhalt !~a 1 ~ . . . a~ des yon ihnen aufgespannten Prismas zuordnet. @ und ~ gehen damn, wie beliebige Stammtensoren, mit ihren Gradienten in die reduzierten Darstellungen ein. Steht die Quer- riehtung za einer quadratischen Maflform (~ in einer solchen Beziehung, dab sie die Richtung des Kontinuums alter dutch ~ auf R~ als normal definierten Verschiebungsvektoren bedeu~et, so wird sie (n - -m-d imen- sionale) Normalriehtmag.

Die Kernbildung und Herstellung der reduzierten Formen auf Gebflden verlgufr nach den obigen Ausfiihrtmgen folgendermaBen: Man fiihrt an den Ms UberschiebungsprodukCe aus Tensoren mad Grundvektoren aufgefa~Cen Koordinaten die Diffexentiationen aus und eliminiext, wie in Tell H an-

Ditterentialinvarianten und Vektorfibertragtmg. 715

gegeben, die nr--. und .~,..- dutch ~, ~, ~ , so da~ die ei~igen vorkommenden bei T~ varianten Elemente yon der Form tea.., und teo-.- sind. M i ~ (33) driickt man die .re-..- dutch die re---, aus und zerlegt in den l e t z ~ e n die te nach (34). An dieser Zerlegung fiihrt man die weiteren Differentiationen aus, indem man nach jeder Differentiation die neu auftre~enden te und te wiederum ebenso zerlegt. Das Resultat einer solchen Zerlegung yon te~--- oder tea.., ist dann ein Aggregat, in dem als einzige bei T~ variante Ele- ment~ nur noch Tangentialkomponenten Hte ~-.- vorkommen. In diese hat man dann noch die beiden Fundamentalwirbel ~ und ~ einzufiihren, so dal] nut noch permutationsfreie Indexkomb~nationen iibrigbleiben. Ist der Ranm wirbelfrei, d.h. sind ~ und ~ null, so eriibrigt sioh natiirlich die ]etzt.ere Umformung.

Als Beispiel mSge die Kernbfldung yon te~ ausgefiihrt werden fdr ~. '= ~ = .9 = o-

~e~ = ( H ' ~ § H~e) ~

I ! ! o (35) = H a ~ § H'~o~ § H ' ~ o ~ ~ a ~ -~ H ~ ~

Liegt ein Ausdr~ck vor, in dem aufier bei T 1 invariauten Elementen nut noch frei variante Elemente (z. B. permutationsfl~ie Tangentialkom- poneuten H ~e..~.) enthalten sind, so kann man diese atle null setzen, falls der Gesamtausdruck selbst bei T1 invariant ist. Hierin liegt analog wie oben S. 709 eine Regel der reduzierten Differentiation, wonach man bei der kovarianten Ableitung algebraischer Invarianten die e n t s t ~ te ersetzt dutch il~re Querkomloonenten, die Tensorkoordinaten sind, die te aber durch diese und ~ ' ausdriickt.

Hat man die reduzierten Formen, so kommt es im wesentlichen auf die algebraischen" Eigenschaften der Gradienten an. Dabei ist zu beachten: Jeder r~ngs R~ gebildete Gradient ist, da er die Form ~ e x ~ hat, tangential an erster Argumentsstelle. Er verschwindet also, wenn er do~ mit einem quergerichteten Vektor iiberschoben wircl (s. o. (35)). Die Symmetrie- und Antisymmetrieeigenschaften eines Tensors ~ iibertragen sich nat~drtich auf seine kovariante Ableitung ~t e, so da~ ~ ' an (p ~ 1)-ter und (q ~ 1)-ter Stelle symmetrisch oder antisymmeia~isch ]st, weun ~ es an ~ - t ~ und q-tmr Stelle war. Ist z .B. ~ yon zweiter Stufe und symmetriscJL go ist ~ symmetr'mch an zweite~ und drifter Arg~lmentstelle, d .h . ~ ~ ~ z ~ . Unter Berficksichtigung dieser und ~hnlicher algebraischer V e r h ~ i ~ s e macht sich das tensorielle Rechnen, v~glichen mit dem Re~!men in ska- later Form, recht einfach. Wit betrachten zum Schlusse noch n~Ler ~die wichtigste Spezialisierung: ~ ' - ~ ~ ~- ~ ~ 0.

46*

716 F. KraulL

10. Wirbe l f re ieVektor i ibe r t ragung . Taylorkerae. Fundamen ta l - tensoren und Grundformen. Affine Fl~ehengeometr ie .

Die Wirbelfreiheit (~ - - -~ ~ 0) ist die Bedingung flit die Existenz eines Ortsvektors ~ mit beliebiger blullstelle, welcher definiert ist dutch:

(36) (d~)a.~-d~ h.

Dann existiert in R~ ein iiberall affines Koordinatensystem mad ist gegeben dutch:

(37) ~.o= ~h,

wo n o die Grundvektoren zweiter Art in tier Nullstelle des Ortsvektors bedeuten. Konstante Tensoren haben natiirlich in einem solehen Koor- dinatensystem, welches alle Grundvektorableimngen annulliert, konstante Koordinaten.

Die Grundvektoren ~ sind nunmehr als Ableitungen ~' des Ortsvektors darsteUbar. Die Differentiationsfolge ist auch an nich~-skalaren Argu- menten vertausehbar. Legen wit die ~Tullstelle des O~tsvektors in den betraehteten Gebildepunkt, so nimmt die Taylorentwickelung yon ~ (deren Existenz und Konvergenz vorausgesetzt wird) folgende Form an:

1 1 (38) 2 , 2 , + + + . . . .

Wegen der Wirbelfreiheit ist die Permu~ationsfreiheit der ~e... belanglos, und es stellen die Tangentialkomponenten 95~e-.-ctaz_ ehsrakteristisehe System A Cp) dar. Sie sind bis zu einer beliebigen 0rdnung p in einem T~

beliebigen Punkte P des Oebildes annullierbsr. Ein Koordinatensystem yon R~, in dem dies Versehwinden stattfindet, heil~e ein in p-ter 0rd- hung (in P) tangential-affines, da seine Projelction in den Tangentialraum yon R in p-ter 0rdnung s ist mit einem in diesem gezogenen affinen Koordinatensystem. Da ~ der yon dem betrsehteten Punkte P zu einem beliebigen anderen Oebildepunkt gezogene Ortsvektor ist, so ist ein (in P) vollsts tangential-affmes Koordinatensystem analog wie im Vollraum gegeben dutch:

(39) Jede his zu einer gewissen Ordnunq voZlsffindig invariante Speziali-

6ierung des Koordinatensystems au/ R,~ (s. o. S. 696) erzeugt vektorielle Koe//izienten ~... der Taylorentwicklung des Ortsvelaors, die mit Eigen- invarianten yon R,~ zusammen/allen. Das tanyential-a//ine Koordincaen- system ist diejenige ein/aehste Spezialisierung, bei welcher die mit den Taylorkoe//izienten ~e... der Ortsvektorentwicklung zusammen/aUenden Edgen- invarian$en des Gebildes die Kerne der t~..- selber sind.

Differentislinvarianten und Vektorfibertr~gung. 717

Der Taylorentwicklung entspricht die geometrische Vorst~Hung der Zerlegung des Or~vektors in einen unendh'eh vielgfiodrigen Stroekonzug mit n~eh Null konver- gierenden Gliedern. Jeder Spezialisierung des Koordinatensystems ist dann eine be- s/;immte Z~rlegung zugeordnet, die als e/ne vektor/elle Charakter~st~k des Koordinsten- systems aufgefaBt werden kann. Die oinzelnen Glieder des Streckenzuges haben also boi invariauter Spezialisierung invariante Bedeutung, d. h. ihnen entsprechen invariaut bei T~ definierte L~ngen und Richtungen am Gebilde ira Entwicklungspunkt.

Da im tangential-affinen Koordinatensystem die Tangentialkomponenten der re.-- verschwinden, so miissen die Kerne der : .-- auf R~ quer stehen und iiberdies, wegen ~ ~ ~ ~-0, symmetrisch sein. Die Kerne der : . . . Mnd also ~uer gerichte~e symmeIrische l/ekt~rrsysteme, welche als Vektorkoordi- na~en invarian~er Tensoren au/zu]assen sind, die wir mit ~:~, 2 : ~ , . . . bezeichnen und ,Taylorkerne (des Ortsvektors)" nennen. Nach den oben S. 714L auseinandergesetzten Regeln erh~t man die ersten zwei Taylorkerne ausgedriickt dureh den Richtungs~nsor und seine Gradienten:

= + §

Unter der invarianten Entwicklung des.Ort~vek~rs verstehen wir seine Darstellung in der Form:

(41)

wobei /L ~ ~.~ Das Wesentliche dieser Entwicldung sind die Taylor- kerne, welche invaxiante, fii~ jedes beliebige Koordinatensystem definierte Tensoren sin&

Von dem Begriff der Fu_udamentaltensoren (s. oben S. 704 FuBnote), der sich auf die reduzierte Darsteltung mittels der ~uBeren Ableitung bezieht, woM zu unterscheiden ist der iibliche Begriff der Grundformen eines Gebildes (nach Art der beiden GauBschen Grundformen der gewShnlichen Fl~chen- theorie). Unter diesen vers~eht man bekanntlich ein System yon Formen (mit griechischen Zeigern), deren Koeffizienten, als Funtr~ionen der ~, be- karma, das Gebflde volls~ndig besthnmen, so da~ alle Eigeninvarianten sich aus diesen Koeffizientmn und ihren Ableitungen erzeugen lassen. Die Inte- grabilit~tsbedingungen, denen die Grundformen genfigen miissen, sind nichts anderes, als die Symmetriebedingungen flit die dutch die Grundformen dar- gestellten Koordinaten der re-.- bzw. fiir deren Kerne. Sind q~, ~ , . . . q~_~ invariant definierte unabh~ugige Quervektoren erster kr~ and ql, q~,. - �9 q~-~

^ {0,- ~ # s zugehSrige reziproke zweiter Art mit % % ~ 1, r = s ' so reduzieren sie~

diese Symmetriebedingungen (genau so wie oben S. 707 a!le Wirbel sich auf Wi~bel der Form 1) und 2) zurfickfiihrten)auf die folgenden:

718 F. KrauB. Differentialinvarianten und Vektoriibertragung.

= o , = o ,

( 4 2 ) = o , = o ,

= o , = o .

[ ],,e bedeute hierbei den Wirbel, der entsteht, wenn man von dem Aus- druek in der Klammer den dutch Vertauschung der Indizes ,, e hervor- gehenden abzieht.

Ist eine inhere Mal~form (~ t ~ defmiert, so kann man mittels ihrer die Integrabilit~tsbedingungen reduzieren, d. h. die Ableitungen der Form- koeffizienten, die in ihnen vorkommen, durch ihre Kerne, die mit den aus den (~ t ~ erzeugten Christoffelschen Symbolen gebildet sind, ersetzen. Setzt man 9/ tz ~ t (~) -- t~ (s. o. S. 712), so sind die dutch Zerlegung der te und qr e entstehenden Formen, welche mit ihren Ableittmgen in die Koordinaten der Taylorkerne und die Integrabilit~tsbedingungen eingehen:

(43) 1) ~ , 2) ~ : , , 3) '~qr, 4) q ~ , 5) q , ~ .

Jedes unabh~ngige Fozmensystem, aus dem sich dieses Formensystem erzeugen l~iBt, ist ein Grundformensystem.

Die Spezialisierung dieser allgemeinen Verh~ltnisse flit die gew5hnliche und volumtreu-affme Kurven- und Fl~ichengeometrie ~5) ist leicht und sob nicht im einzelnen ausgefiihrt werden. Wit bemerken bier nut, daft die a]]ine ~'l~ichentheorie lediglich einen einzigen Fundamentaltensor (s. oben S. 704 FuBnote und S. 712 FuBnote), n(imlich einen n-dimensionalen Marl- tensor (~ beMtzt, weil infolge de~ Herkunft dieser Ma{]bestimmung aus der Kriimmung der Fl~iehe die Tensoren ~ (s. o. S. 714), ~ und die ~R- Gradienten sich durch (~ und die (~-Gradienten ausdriicken lassen. Unter den fiinf Formen (43) wird 5) Null, 1) und 3) werden identisch; 2) wird �89 mad 4) driickt sich aus den Integrabilit/itsbedingungen (42) dureh @~z und @'~ r.2 aus. Somit bleiben zwei dutch den Fundamentaltensor dargestellte Grundformen iibrig:

(44) (~tn , @', ~),.

Die Taylorkerne ~:~J~z, ~[~ werden ~ z x q und ( ~ ' , z 2 x q , wo q der Affinnormalvek~or. Die sogen. Apolarit~tsbeziehung kann auf Grund dieser Form der Taylorkerne als die kussage aufgefal]~ werden, dab infolge der Tangentiali~it yon qe der Kern der kbleitung des von den gebildeten (affinmetrischen) Parallelogramminhalts verschwindet, oder da~ dieser Inhal~ im tangential-affinen Koordinatensystem stat ion~ ist, eine Eigenseha~t, die flit die gewShnliche MaBbestimmung ebenfalls gilt.

~) Vgl. z. B. Blaschke, Vorlesungen tiber Differentialgeometrie I. u. H , Springer 1923124, und Schouten a. a. O.

(E/ngegangen am 16. 5. 1926.)

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Differentialinvarianten, ausgezeichnete Feldgrößen und Vektorübertragung