Research Collection

Doctoral Thesis

Ueber die Randwerte meromorpher Funktionen undhinreichende Bedingungen für Regularität von Funktionen einerkomplexen Variablen

Author(s): Meier, Kurt Ernst

Publication Date: 1950

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091997

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ETH Library

Über die Randwerte meromorpher Funktionen

und hinreichende Bedingungen fiir Regnlarität

von Funktionen einer komplexen Variablen

VON DER

EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN ZÜRICH

ZUR ERLANGUNG DER WÜRDE EINES DOKTORS DER MATHEMATIK

GENEHMIGTE

PROMOTIONSARBEIT

VORGELEGT VON

KURT E. MEIER

VON SCIIIEHS (GRAUBÜNDEN)

Referent: Herr Prof. Dr. W. SAXER

Korreferent: Herr Prof. Dr. M. PLANCHEREL

19 5 0

ART. INSTITUT ORELL FÜSSLI AG.,

ZÜRICH

Separatdruck aus

Commentarii Mathematici Helvetici, vol. XXIV, fasc. 4

Orell Füssli Verlag, Zürich

Über die Randwerte meromorpher Funktionen

und hinreichende Bedingungen für Regularität

von Funktionen einer komplexen Variablen

EINLEITUNG

Die vorliegende Arbeit zerfällt in zwei Teile, welche scheinbar nur

wenig Beziehung zueinander haben ; jedoch rechtfertigt sich die gemein¬

same Darstellung der darin enthaltenen Resultate dadurch, daß sie aus

eng verwandten Fragestellungen hervorgehen, ähnliche Begriffe ver¬

wenden und fast mit denselben Mitteln gewonnen werden können.

Der erste Teil gibt einen Beitrag zum bekannten Satz von Fatou,

welcher aussagt, daß eine im Innern des Einheitskreises | z \ < 1 reguläre

und beschränkte analytische Funktion f(z) fast überall auf dem Rand

| z | = 1 Winkel-Grenzwerte besitzt. Der vorliegende Satz schließt sich

an eine von A. Pleßner [1] herrührende Verschärfung des Fatouschen

Satzes an, welche sich auf meromorphe Funktionen bezieht.

Sodann stellen wir Bedingungen an die Randwerte meromorpher

Funktionen, welche zur Folge haben, daß eine analytische Fortsetzung

über gewisse Randpunkte des Definitionsgebietes dieser Funktionen

hinaus möglich ist. Es handelt sich dabei um eine Verschärfung eines

Satzes von F. Wolf [2] und einige einfache Anwendungen der Beweis¬

methode auf das Schwarzsehe Spiegelungsprinzip.Als Grundgebiete habe ich in diesen Sätzen Gebiete gewählt, deren

Rand ein Intervall der reellen Achse enthält ; die meisten Begriffsbildun¬

gen und Beweise lassen sich aber mühelos auf den Fall beliebiger Gebiete

übertragen, welche von rektifizierbaren Kurven berandet werden.

Der zweite Teil enthält sogenannte Regularitätsbedingungen, das heißt

hinreichende Bedingungen dafür, daß eine im Gebiet G eindeutig defi¬

nierte komplexe Funktion, im ganzen Gebiet G, oder doch wenigstens in

einem Teilgebiet desselben, regulär analytisch ist.

Es deckt sich hier eine gewisse Analogie zu Sätzen des ersten Teils auf,

238

indem viele Beweisgedanken in fast unveränderter Form übernommen

werden können.

Der zweite Teil schließt mit einer Regularitätsbedingung, welche

Resultate von J. Ridder [3] und S. Kametani [4] enthält, und aus der

sich leicht eine von P. T. Maker [5] angegebene Verschärfung des Satzes

von Morera herleiten läßt.

In allen diesen Sätzen handelt es sich in erster Linie darum, mit einem

Mindestmaß an Voraussetzungen auszukommen.

Als mengentheoretisches Hilfsmittel tritt im folgenden wiederholt ein

Satz von R.Baire auf1) :

Wenn sich ein vollständiger metrischer Raum E als Vereinigungsmengeabzählbar vieler Teilmengen darstellen läßt : E = EEn, so enthält

mindestens eine der abgeschlossenen Hüllen En eine volle Kugel.Es ist noch zu bemerken, daß sämtliche Integrale im Lebesgueschen

Sinn zu verstehen sind, und demgemäß bedeutet die Ausdrucksweise,

eine gewisse Bedingung sei in einem Gebiet „fast überall" erfüllt, daß die

Menge der Ausnahmepunkte das Lebesguesche Maß 0 besitzt.

I. ÜBER DIE RANDWERTE MEROMORPHER FUNKTIONEN

A. Zum Satz von Fatou

1. Begriffe und Bezeichnungen. Die Funktion f(z) sei meromorph in

einem Gebiet 0 der oberen Halbebene, dessen Rand ein Intervall

x1 ^ x ^ x2 der reellen Achse enthält.

Mit s(f,ct) (f [xlt x2], 0<<x<7i) bezeichnen wir den von f aus¬

gehenden Strahl, dessen Punkte z durch

2 = 1 + r-ei0i,

r>0

charakterisiert sind. Die zu diesem Strahl gehörige Bild-HäufungsmengeS(i, tx) sei folgendermaßen definiert :

Die komplexe Zahl a sei dann und nur dann Element von S (£, <x),falls eine auf s(f, tx) gegen f konvergierende Punktfolge zlt z2,... exi¬

stiert, so daß

lim/^jt) =a .

') Der obige Satz ist ein Spezialfall eines allgemeineren Theorems von R. Baire. Vgl. [6],S. 64.

239

CS (f, «) sei das Komplement von S (f, <x) in bezug auf die Vollebene E.

Wir bezeichnen ferner mit w(C;x,ß) (0<oc<ß<n) den Winkel¬

raum, dessen Punkte

z = | + r-e{*

den Bedingungen<x < 99 < ß ,

r>0

genügen, und W(Ç ; «, /?) sei wieder die zugehörige Bild-Häufungsmenge.

2. Pleßner [1] hat den Fatouschen Satz folgendermaßen verschärft :

Satz von Pleßner. Voraussetzung : / (z) sei meromorph in G.

Behauptung: Es existiert eine Menge Z Q [x1, x2] vom Maß 0, so

daß in allen Punkten £6 [x1; x2] — Z einer der folgenden Fälle zutrifft :

1) f(z) besitzt in | einen Winkel-Grenzwert.

2) Jede Bild-Häufungsmenge W(C;oc,ß) (0<<x<ß<n) ist identisch

mit der Vollebene.

In diesem Abschnitt beweise ich folgenden

Satz 1. Voraussetzung: f(z) meromorph in 0 (=j= 00).

Behauptung: Es existiert eine Teilmenge ZG [xlt x2] vom Maß 0,

so daß für jedes | [x1; x2] — Z einer der folgenden Fälle zutrifft :

1) f(z) hat in f einen Winkel-Grenzwert2).

2) f(z) nimmt in jedem Winkelraum w(!-,oc,ß) (0<ot-<ß<n) jedenWert ceCS(£,x)-CS(£,ß) unendlich oft an.

Der Satz von Pleßner ist in Satz 1 enthalten : Tritt nämlich im Punkt

£ [xlt x2] —Z der Fall 2 des Satzes 1 ein, so hat man W(£,tx,ß)

= CS(tj, oc)-CS(i, ß) ,und dazu, wie in jedem Punkt ^ ^ [xl! x2],

W{S,*,ß)3S{C,«) + S(S,ß), also W(C,<x,ß)2S(C,oc) + S(i,ß)

+ CS(£, «) • CS{S, ß) Es gilt aber immer CS(Ç,a) CS(£, ß) =

C[S(S,x) + S(S,ß)] und damit schließt man sofort W(S,x,ß) = E,

d. h. im Punkt | tritt der Fall 2 des Satzes von Pleßner ein.

Der Satz 1 enthält neben dem Satz von Pleßner z. B. folgenden

Spezialfall. Voraussetzungen :

2) Nach einem Satz von Lusin und Privaloff [7] hat die Menge der Punkte f e [xlt x2~\,wo/(z) einen unendlichen Winkel-Grenzwert besitzt, das Maß 0 • (/(z) =|=°o). Man kann

also statt 1 setzen: 1') f(z) hat in f einen endlichen Winkel-Grenzwert.

240

1) / (z) sei in G holomorph.

2) Zu jedem Punkt £ einer beliebigen Menge M £ [xx, x2] existieren

zwei Strahlen s(tj,ct), s(£,ß) (a.<ß), aufweichen /(z) beschränkt ist.

Behauptung : In fast allen Punkten £ 6 M hat / (z) einen (endlichen)Winkel-Grenzwert.

3. Ein Zusatz zum Satz von Pleßner.

Man kann die Aussage 2 des Satzes von Pleßner folgendermaßen leicht

verschärfen : 2') Es gibt sogar vom Punkt f ausgehende Strahlen s(f, oc),

deren zugehörige Bild-Häufungsmenge S (|, a) mit der Vollebene iden¬

tisch ist ; und zwar ist die Menge der Werte «, für welche dies der Fall ist,

eine Menge 2. Kategorie bezüglich (0, n).

(Der Beweis dieser Bemerkung ergibt sich leicht mit Hilfe des in der

Einleitung erwähnten Baireschen Satzes und wird hier nicht durch¬

geführt.)

4. Beweis zu Satz 1.

a) M sei die Menge aller Punkte ^£[x1,x2], zu welchen reelle

Zahlen a, ß, ô existieren (0< cc<ß<n, ô>0), sowie eine komplexeZahl c, so daß C8{i,a)-CS{(, ß) ^0, cÇCS(Ç,<x)-CS{Ç, ß) und

/(z) ^ c in allen Punkten z/^ des von den Geraden :

z = f + »•ela,

r>0 ; z = f + r-e'ß,

r>0 ; y = ô

begrenzten Dreiecks.

In jedem Punkt f [xlf x2] — M ist die Aussage 2 des Satzes 1 er¬

füllt : Ist nämlich w(C,tx,ß) irgendein Winkelraum eines Punktes

f [x1; x2] — M, so tritt einer der folgenden Fälle ein :

1) CS(Ç, <x) CS(£, ß) = 0 für diesen Winkelraum, und die Aussage 2

von Satz 1 ist trivialerweise erfüllt.

2) GS(£,*)>C3(£,ß)J=0. In diesem Fall nimmt f(z) jeden Wert

cECS(£,oc) • CS(Ç, ß) in w(£,<x,ß) beliebig nahe bei f an (sonst wäre ja£ 31). Auch hier ist also die Aussage 2 von Satz 1 erfüllt.

Um Satz 1 zu beweisen, genügt es also zu zeigen, daß / (z) in fast allen

Punkten | M einen Winkel-Grenzwert hat.

b) Wir führen folgende Bezeichnung ein : w1=oo,w.2,w3,... (wk ^00

für k ^ 1) sei irgendeine Folge von Punkten, welche in der ganzen

w-Ebene überall dicht liegen.

16 Commentarii Mathematici Helvetici241

Wir denken uns ferner die Tripel (<p, ip, -&) von rationalen Zahlen

(0<<p<y><n, 0<#<1) irgendwie numeriert und (<pT, ft, #t) sei das

Tripel mit der Nummer r. Unter DT (|) verstehen wir nun das Dreieck,welches von den Geraden :

z = £ + r-eivz, r>0; z = Ç + r-ei*z, r>0; y = &T

begrenzt wird. Alle Dreiecke Dt(£) mit festem t sind also kongruent.In ähnlicher Weise bezeichnen wir mit A (£ ; a, ß, ô) das Dreieck mit

den Begrenzungsgeraden

z = Ç + r-ei<x, r>0; z = Ç + r-eiP, r>0; y—à.

Mit Hilfe dieser Bezeichnungen definieren wir nun Mengen A(q,o, t)

(q, a, x natürliche Zahlen) :

Der Punkt | M sei dann und nur dann Element von A (q , a, t)(wir setzen zunächst q ^ 1 voraus), falls reelle Zahlen oc, ß, ô existieren

(0< <x<ß<jz, <5>0) und eine komplexe Zahl c mit | c — we | < — ,

so daß folgende Bedingungen erfüllt sind :

*) Dtfä£ *(£;*, ß, d) ,

ß) | f(z) — we | > —für alle z ^ £ auf dem Rand von A (f ; «, ß, <3) ,

y) f(z)^c für zeA{S;*,ß,d), z^Ç.

Für den Fall q = 1 lauten diese Bedingungen :

«') =2 «,

ß') I /(z) I < o auf dem Rand von A(S;cc, ß, ô) ,

/) f(z) ^oo für zeA, z^g .

Da die Mengen CS(Ç, ot)-CS(£, ß) ihrer Definition zufolge offen sind,so sieht man leicht ein, daß jeder Punkt feJtf mindestens einer der

Mengen A(q,o, t) angehört (wir setzen im folgenden c^oo voraus.

Der Fall c=oo läßt sich ganz analog behandeln).Wenn f6M ist, gibt es Werte«, ß, ô, c, so daß £(£,«) + S(f, ß) =£ E,

ceCS(C,<x)-CS(C,ß); f(z)^c, ze A(Ç ;<x, ß, Ô). Da S(S,x) + S($,ß)abgeschlossen ist und c zur Komplementärmenge gehört, gibt es ein

6 > 0, so daß | / (z) — c | ^ auf der Begrenzung des Dreiecks

A(£;<x,ß, ô). Gäbe es nämlich auf ihr eine Folge {zfc} mit lim/(Zj.)= c, so müßten sich die Punkte zk in £ häufen. Das ist aber wegen

2cG OS(£,«)• (7$(f, ß) ausgeschlossen. Man wähle dann a so, daß - < 6

1ff

und g so, daß | we — c | < — .

242

Es gilt daher M = S A (q , a, r).

c) Wir erteilen den Parametern q, a, r irgendwelche bestimmte Werte

r, s, t. Es soll gezeigt werden, daß / (z) in fast allen Punkten f A (r, s, t)

einen Winkel-Grenzwert besitzt. Ist A (r, s, t) vom Maß 0, so ist natür¬

lich nichts zu beweisen.

f0 sei ein nicht-isolierter Wert der Menge A(r,s,t) und $k&A(r,s,t),

k = 1,2,... eine gegen ihn konvergierende Folge.

Wir denken uns jedem Punkt fs, fc = 0, 1, 2,... ein bestimmtes

Dreieck Ak = A (Çk ; ock, ßk, dk) zugeordnet mit q = r, a = s, r = t,

c = ck.

Auf dem Rand des Durchschnitts A0-Ak (k =£ 0) gilt nun

l/(*) -«Vi > 4und / (z) ^ c0 im Innern. Wegen

^<è

folgt somit für den Rand von A0-Ak

\H*)-c*\>Ys •

Die Funktion .

/(z)-Co

ist nun regulär auf A0-Ak. Auf dem Rand gilt

3s

m <-2«

also auch im Innern. Aus

2 1

l/(*)-Col>3^ und |c0-ttv|<—.

folgt somit für z 6 A0- Ak

Wegen Dt(|ft) £ Ak (k = 0, 1, 2,...) überdecken die Mengen A0-Ak,k — 1,2,3,... das Innere des Dreiecks Dt (f0) vollständig und daher

gut:\f(z)-wr\^— , zGDt[S0), z*U-

243

Nun sei B(r, s,t) die Menge der nicht-isolierten Punkte von A (r,s,t).(Die Menge A — B ist abzählbar.) Die abgeschlossene Hülle B läßt eine

Zerlegung B = P + D zu (P perfekter Kern, D abzählbar).

Man sieht nun sofort :

1) P enthält alle Punkte von A bis auf abzählbar viele.

2) In jedem Punkt f e P gilt :

\f(z) -wr\>Ys' zeD<(£) > 2^f '

d)3) Das Komplement (xx, x2) — P besteht aus abzählbar vielen

offenen Intervallen ik, k = 1, 2, 3,...

P sei die Kurve, welche in den

Punkten f P mit der x-Achse

zusammenfällt, und jedes Inter¬

vall ik = (Ak, Gk) auf dem in der

nebenstehenden Figur eingezeich¬neten Streckenzug AkBkCk über¬

springt.Diese Kurve ist rektifizierbar

und besitzt daher in fast allen

Punkten £ P eine Tangente, welche notwendig mit der x-Achse zu¬

sammenfallen muß.

Man erkennt nun leicht, daß die Vereinigungsmenge aller Dt(£),Ç e P in höchstens endlich viele Gebiete 01,02,.. .,Gn zerfällt, die

alle von rektifizierbaren Kurven umschlossen sind. Der Rand jedesGebietes Gk enthält ein Stück von P.

Die Funktion F(z) = j^—ist in jedem Gebiet Gk beschränkt

und besitzt daher in fast allen Randpunkten von Gk einen Winkel-Grenz¬

wert.

Jeder Punkt £ 6 P ist aber Randpunkt eines der Gebiete Gk, und da¬

her besitzt F(z) in fast jedem Punkt | 6 P einen Winkel-Grenzwert in

bezug auf eines der Gebiete Gk.Besitzt Pin $ eine Tangente und /(z) einen Winkel-Grenzwert in bezug

auf Gk, so auch in bezug auf G. F(z) hat also im Gebiet G in fast jedemPunkte £6P einen Winkel-Grenzwert und dies gilt daher auch für f(z).

3) Die Methode dieses Abschnitts stammt von J. Privaloff. Man vergleiche die Beweis-

darstellung in [7].

244

e) /(z) besitzt also in fast allen £P(r,s,i) einen Winkel-Grenz¬

wert, also auch in fast allen f tA(r, s, t). (Der Beweis wurde nur voll¬

ständig durchgeführt für r^l. Er verläuft für r = 1 ganz analog.)

Da wir nur abzählbar viele Mengen A (q , a, t) haben, gilt dies auch

für fast jedes | 27 A(q,o, t) = M.

B. Zu einem Satz von F.Wolf

5. Das Intervall x1 < x ^ x2 der reellen Achse sei gemeinsames

Randstück der Gebiete Gt (in der oberen Halbebene) und G2 (in der

unteren Halbebene) ; ferner seien /t (z) und f2 (z) meromorph in Gx bzw.

G2. Mit / (2) bezeichnen wir die Funktion, welche = /x (z) in G1 und

= /2(z) inö2ist.Wir fragen nach Beziehungen, welche zwischen den Randwerten der

Funktionen ^(zjund f2(z) in den gemeinsamen Randpunkten £^[xt,x2]

bestehen müssen, damit / (z), bei geeigneter Festsetzung der Funktions¬

werte in den Punkten £, mindestens in einem Punkt £ 6 (xx, x2) regulär

analytisch ist. Unser Ziel ist dabei, mit einem möglichst geringen Maß an

Voraussetzungen auszukommen.

Zu dieser Frage hat F. Wolf 4) folgendes bewiesen :

Satz von F. Wolf. Voraussetzungen :

1) /i(z) sei holomorph in G^, /2(z) holomorph in G2.

2) Für | e (xx, x2) (abzählbare Ausnahmemenge von Punkten zu¬

lässig) existieren

lim /j (| + i y) und lim /2 (f — i y)

und besitzen denselben endlichen Wert.

Behauptung: Es existiert eine holomorphe Funktion /(z), welche

= f1 (z) in Gt, = f2 (z) in G2 und auf einer im Intervall (x2, x2) überall

dichten Menge von Punkten £ regulär ist.

6. Um diesen Satz zu verschärfen, führen wir folgende Begriffe und

Bezeichnungen ein : Die Menge S± (£) sei wie folgt definiert : a 6 /Sj (!)

gelte dann und nur dann, falls es eine Nullfolge y±, y2,... (yk > 0) gibt,so daß lim/j (f + i 2/„) = a ist. Ferner sei C^Ç) das Komplement von

$i(!) in bezug auf die Vollebene E. Ganz entsprechend seien die sich auf

die Funktion /2(z) beziehenden Mengen S2(tj) und C2(£) definiert.

«) Vgl. \2], s. 883.

245

Mit diesen Bezeichnungen gilt folgender

Satz 2. Voraussetzungen :

1) /x(z) und /2(z) seien meromorph in G1 bzw. G2 (=|^oo).

2) Die Menge JV der Punkte |, für welche C^-C^S) oder ^(£) • St (|)leer ist, sei von 1. Kategorie und vom Maß 0 bezügl. [x1} x2].

Behauptung : Es existiert eine meromorphe Funktion / (z), welche

= /i(z) inC?!, = f2(z) in G2, und auf einer im Intervall (xx, x2) überall

dichten Menge von Punkten f regulär ist.

7. Beweis von Satz 2. w^,^,... sei eine Folge von Punkten

mj^oo, welche zur Vollebene E überall dicht liegt. Die Menge M(q,a, r)

(q, a, x natürliche Zahlen) sei wie folgt definiert :

f [«!, a;8] sei Element von M{q,a,r) dann und nur dann, falls

l/i (£ + »») - wq\ >- und l/i(f-*y) ~wq \>- für o<«/<-.

Für ![*!, *,]-^ ist C,(|)-C2(£) ^0, 0^)0,(1) # 0. In

diesem Fall existieren (da Cx (£) • C2 (£) offen ist), natürliche Zahlen

e, a, t, so daß

Jeder Punkt £ [x1; x2] ist also in einer der Mengen M(q , a, r) ent¬

halten, d. h. :_

n_

„-.. v , ,T

[x1,x2] = ZM(q,o,r) + N .

N ist eine Menge erster Kategorie und die Mengen M(q, a, r) sind

abgeschlossen. Damit folgt aus dem in der Einleitung erwähnten

Kategoriesatz von Baire, daß mindestens eine der Mengen M(q,o, t)ein volles Teilintervall von \xlt x2] enthält. Es gibt also natürliche

Zahlen r, s, t, sowie ein Teilintervall [x[, x2] c [xx, x2], so daß

M(r, s, t) 3 [x[, x2].

F-, (z) = . 7- ist also beschränkt für x, < x < xL, 0 < y ^ -

und ebenso F2 (z) = . . .für xi ^ x <. x'9, 0 > w > — -

.

fl(z)—wr1-^-^2' * -"

J

Nach dem Satz von Fatou existieren also in fast allen Punkten

f 6 [x[, x2] die Grenzwerte :

lim Ft (f + * 2/) und lim ^ (f - » */)»-V + 0 !/->- + 0

246

und sind wegen Voraussetzung 2 auf \x[, x2] — Z gleich. (Z Menge vom

linearen Maß 0.)

Nun sei F(z) in Q1 durch Fx(z), in G2 durch F2(z) und in den Punk¬

ten von [x'i, x'2] — Z durch den gemeinsamen Grenzwert von Fx(z)

und F2(z) definiert.

Es sei ferner I(£x, £2> Vi, V2) = ^F{z)dz, erstreckt über den Rand

des Rechtecks |x < x < £2, r\x < y < rj2 (ßxe [x[, x2], Ç2e[x[, x2],

~Y^r,1<0' T>7?2>0) •

Für rjx <%<0, 0<r)'2 <?j2 ist nun I(^,£2,r\x,rj2) = I(|x,£2,t?(,rf2)

(Cauchyscher Integralsatz) und damit folgt aus dem LebesgueschenGrenzwertsatz :

J(!i,£«,»h,ih) = *(£!, fi.0,0) .

Das letzte Integral verschwindet aber ; es ist also

Mit Hilfe des Satzes von Morera, in einer von P. T. Maker bewiesenen

Verschärfung [5], schließt man nun, daß F(z) im Rechteck x[ < x ^ x'2,

— — ^ y ^ -f~ — regulär analytisch ist, sofern man auf der Menge Zt t

die Funktionswerte geeignet festsetzt und daraus ergibt sich sofort die

Behauptung des Satzes.

8. Die Mengen S^S), <S2(f), C^d), C2(f) sind oben definiert mit

Hilfe der Randwerte der Funktionen /1(z) und /2(z), welche man bei

radialer Annäherung an den Punkt f erhält. Betrachtet man hingegen

Winkel-Randwerte, so läßt sich ein ganz entsprechender Satz beweisen.

Der Menge St (f) entspricht dabei die Menge W1 (£), die wir folgender¬maßen definieren :

aeW1(S) gelte dann und nur dann, falls ein Winkel w(|,a,/9)

(0<oc<ß<7t) existiert und eine darin gegen £ konvergierende Folge

21,22,... (zke01), so daß lim/1(zs) = a.

Ferner sei Kx (£) die Menge aller komplexer Zahlen a, für welche ein

solcher Winkel existiert, so daß lim fx (zk) = a für keine in diesem Win-

kel gegen | konvergierende Punktfolge z1,z2>... (zkS01) gilt.Ganz entsprechend seien mit Hilfe der Funktion f2(z) die Mengen

W2{£) und K,{$) definiert.

247

Satz 3. Voraussetzungen :

1) wie in Satz 2.

2) Die Menge N der Punkte f, für welche K^)- K2 (£) oder W^S)- Wt(S)leer ist, sei von erster Kategorie und vom Maß 0 bezüglich [x1; x2].

Behauptung : wie in Satz 2.

Der Beweis verläuft hier ganz analog wie in Satz 2 und wird deshalb

nicht durchgeführt.

C. Zum Schwarzsehen Spiegelungsprinzip

9. Das Gebiet G sei wiederum in der oberen Halbebene gelegen und

sein Rand enthalte das Intervall xx ^ x ^ x2 der reellen Achse. Wir

machen folgende

Annahme. Zu fast jedem Punkt £e[x1,x2] existiere ein Winkel

W(£;ot,ß) (0<oc<ß<7i) und eine darin gegen f konvergierende Punkt¬

folge z1,z2,..., so daß lim/(zft) reell ist (eventuell =oo).

Ich gebe im folgenden Bedingungen an, aus welchen unter obiger An¬

nahme die Existenz mindestens eines Randpunktes IG^, x2] folgt, in

welchem / (z) regulär ist.

Eine Bedingung dieser Art ist z. B. die folgende (f(z) muß hier im Ge¬

biet G als regulär vorausgesetzt werden) :

Bedingung 1. Zu jedem Punkt f [#i, x2] — N (N Menge erster

Kategorie bezüglich [xlt x2]) existieren zwei Strahlen «(!,<%) und

s(C,ß) (0<oc<ß<7t), aufweichen /(z) beschränkt ist.

Die folgenden zwei derartigen Bedingungen gelten auch noch, wenn

/ (z) in G meromorph ist.

Bedingung 2. Für jedes f 6 [xr, x2] — N (N Menge erster Kategoriebezüglich [x1, x2]) enthalte die zugehörige Menge 0(f)5) mindestens

zwei Punkte, welche zu verschiedenen Seiten der reellen Achse liegen.

Bedingung 3. Für jedes | 6 [x1} x2] — N (N Menge erster Kategoriebezüglich [xlt x2]) enthalte die zugehörige Menge if(f)6) mindestens

zwei Punkte, welche zu verschiedenen Seiten der reellen Achse liegen.

6) wegen der Definition vgl. I. B. 6.

6) wegen der Definition vgl. I. B. 8.

248

10. Wenn man /(z) = fx{z) setzt, und die Funktion /2(z) in dem

zur reellen Achse gespiegelten Gebiet G2 definiert durch /2 (z) = /j (z)

(z£ö2), so könnte man den Beweis für die Gültigkeit der obigen drei

Bedingungen nach der im Satz 2 vorgezeichneten Methode führen ;

jedoch ist der hier vorliegende Fall, in welchem /(z) reelle Randwerte

besitzt, schon sehr eingehend untersucht worden, so daß man sich an

einigen Stellen auf schon vorhandene Resultate stützen kann.

Ich führe hier nur den Beweis zur Bedingung 2 durch, denn die beiden

anderen Beweise verlaufen ganz ähnlich.

Beweis zur Bedingung 2. Es sei w1,w2,... eine Folge von Punkten

w =£oo der oberen Halbebene, welche in dieser Halbebene überall dicht

liegen und w[, w2,... eine entsprechende Folge von Punkten der untern

Halbebene.

Mit M(q, a, t) (q, a, r natürliche Zahlen) bezeichnen wir die Menge

der Punkte f6 [xlt x2], in welchen für jedes 0<y < — :

T

\ftè + iy)-wQ\>^- und \f(è + iy) -ufa\>Y •

C(|) ist ihrer Definition gemäß eine offene Menge. Für jedes

£6 [xlt x2] — N enthält sie nach Voraussetzung mindestens zwei Werte,

welche zu verschiedenen Seiten der reellen Achse liegen. Folglich gibt es

zu jedem f [xx, x2] — ^natürliche Zahlen q, a, r, so daß für 0<y ^—

Daraus schließt man

[x1,x2] = N + 2M(q,o,t) .

Aus dem Baireschen Kategoriensatz folgt wieder, daß wenigstens eine

der (abgeschlossenen) Mengen M(g,a,r) ein ganzes Teilintervall

[z[, x'2]cz [x-l, x2] umfaßt ; es sei dies M(r,s,t). Also :

M(r,s,t)z> [x[,x'z] .

Im Gebiet lx[ ^ a; ^ x2, 0<y< —-1 sind nun wr und w's keine Häu¬

fungswerte von /(z). Da wT und w'f zu verschiedenen Seiten der reellen

Achse liegen, folgt damit nach einem Satz von C. Carathéodory[8], daß

/ (z) in jedem Randpunkt 16 (x[, x'2) entweder regulär ist oder einen

Pol besitzt. Daraus ergibt sich unmittelbar die Behauptung.

249

II. HINREICHENDE BEDINGUNGEN FÜR ANALYTIZITÄT

1. Die Funktion f(z) = u(x,y)~\-i-v(x,y) (z = x + iy) sei in

einem Gebiet ß der x »/-Ebene eindeutig definiert, und es sollen Bedin¬

gungen in möglichst abgeschwächterForm angegeben werden, welche die

Existenz mindestens eines Punktes z eG sichern, in welchem /(z)

regulär analytisch ist.

Auch hier spielen wieder, wie im ersten Teil, gewisse Häufungswert¬

mengen eine Rolle. Wir definieren :

a£H(z) gelte dann und nur dann, falls eine gegen z konvergierende

Folge z1,z2,... existiert, so daß

lim IM^m = a .

k -> oo 2« Z

Mit C(z) bezeichnen wir das Komplement von H(z) in bezug auf die

Vollebene E.

H' (z) und H" (z) seien analog wie H (2) definiert, jedoch werden nur

solche Punktfolgen 2t, z2,... zugelassen, welche auf der durch z gehen¬den Parallele zur x-Achse bzw. y-Achse gegen z konvergieren.

Mit dieser Definition gilt nun folgender

Satz 4. Voraussetzungen :

1) f(z) sei stetig in G.

2) G(z) ^0 für zEG — N (N Menge erster Kategorie bezüglich G).

3) H' (z) • H" (2) enthalte für jedes z mindestens einen endlichen Wert.

Behauptung: Es existiert mindestens ein Punkt 26ff, in welchem

/ (z) regulär ist. (Natürlich folgt daraus sofort, daß unter den angegebe¬nen Voraussetzungen die Punkte z, in welchen /(z) regulär ist, im Ge¬

biet ff überall dicht liegen.)

2. Beweis zu Satz 4. w1, w2,... sei eine Folge von Punkten w/oo,

welche zur Vollebene E dicht liegt. Die Menge M(q, a, x) (q, a, r natür¬

liche Zahlen) sei folgendermaßen definiert : 2 ß sei dann und nur dann

Element von M(g,a,r), falls

1A—'7 —- — we ^ — ; 0 < 2' — z < —.

z' — z a' '

t

Für z 6 ff — JV ist nach Voraussetzung G (2) ^ 0, also H(z) =£ E.

Da H(z) abgeschlossen ist, gibt es natürliche Zahlen q, a, r, so daß

250

/(g')-/(g)z' — z

Wq > 0<|z' <1r

Folglich gilt : G = JV + £M{g,a, r).

Die Menge Äf ist von erster Kategorie, und infolge der Stetigkeit

von f(z) sind die Mengen M(q,o, t) abgeschlossen. Damit folgt aus

dem in der Einleitung erwähnten Kategoriesatz von R. Baire, daß

mindestens eine der Mengen M(q,o, t) ein volles Teilgebiet von G

enthält. Es gibt also natürliche Zahlen r, s, t, sowie ein Teilgebiet

G* c G, so daß M(r,s,t) z> G*.

Wir nehmen im folgenden an, G* besitze einen Durchmesser ^ —.

t

Für die Funktion F(z) = / (z) — z wr gilt nun

F(z') - J(z)>

1

sofern z^z', zeG*, z'eö*.

Durch w = F(z) wird das Gebiet G* also schlicht und stetig auf ein

Gebiet J1* der w-Ebene abgebildet. Man kann daher in r* die Um¬

kehrungsfunktion z = 0(w) einführen, welche ebenfalls stetig ist.

Für w^w', wer*, w'eT* gilt nun

0(w') — 0{w)w' — w

<s

und daher besitzt 0(w) in fast jedem Punkt von r* ein totales

Differential im Sinn \on Stoltz-Frechet [9].Es sei nun w0 = F(z0) ein Punkt, in welchem 0(w) ein totales Diffe¬

rential besitzt. Nach Voraussetzung 3 existieren zwei Punktfolgen

z' z" k 1,2,3,... ,

welche längs der durch z gezogenen Parallele zur x-Achse bzw. y-Achse

gegen z0 konvergieren, so daß

/(4)-/(*o)__*

/(z*)-/(*o)und

denselben endlichen Grenzwert besitzen, der wegen

z — z'— w. ^>—(z=£z', zG*

S

z' eG*)

von wr verschieden ist. Die beiden Bildfolgen

251

w'k = F{z'k) , wl = F(4) ; A = 1, 2, 3,...

fallen daher unter rechtem Winkel in den Punkt w ein und es gilt

0(wi)-0(wo) 0(V%)-0(WO)hm ;

= hmTl .

fc-*oo Wk— W0 h-f-oa Wk — W0

Daraus folgt aber, daß 0(w) im Punkt w0 differenzierbar ist [4].0 (w) ist also in fast allen Punkten w e T* differenzierbar. Da 0 (w)

ferner stetig ist und beschränkte Differenzenquotienten besitzt, schließt

man auf die Regularität von 0(w) in J1*, z. B. auf Grund des Satzes von

Looman-Menchoff7).Daraus ergibt sich sofort die Behauptung des Satzes.

„ ., -, t. • , ,,, 7^

f(z + h)—

f(z) f(z + ih)—f(z)

3. Mit der Bezeichnung Q(z,h)='K ^ ! '-+-!

—

M ^ .'—'-^

gilt ferner :

Satz 5. Voraussetzungen :

1) Im Gebiet 0 sei f(z) längs den Parallelen zur x- und y-Achse stetig.

2) limQ(z, h) = 0 (h reell) für zeG — N (N : Menge vom Flächen-A->0

maß 0 und von erster Kategorie bezüglich 0).

Behauptung : Es existiert mindestens ein Punkt z 0, in welchem

/ (z) regulär ist.

4. Der Beweis stützt sich auf folgende zwei Hilfssätze :

Hilfssatz 1. Voraussetzungen :

1) Im Gebiet D sei F(z) längs den Parallelen zur x- und y-Achse

stetig.

2) Im Punkt zeD sei \F(z) \<M(>M).

Behauptung : Es existiert mindestens ein Teilgebiet von D, in welchem

\F(z)\<M{>M).Ich führe den Beweis dieses Hilfssatzes nur für den Fall | F(z) \<M

durch. Der Fall | F (z) | >M läßt sich ganz analog behandeln.

Beweis des Hilfssatzes 1: Ist \F(z0) \<M, so existiert wegen der

Stetigkeit von F(z) nach x ein reelles h0>0, so daß | F(z0 + h) | <Mfür alle reellen h mit | h \^h0.

') Vgl. [6]. Beachte die Bemerkung S. 200, unten.

252

Es sei nun M (A) (A natürliche Zahl) die Menge der Werte h mit

| h Kh0, für welche | F (z0 + h + i k) | < M, sofern \k\ ^-y(k reell).

Die Mengen M (A) sind abgeschlossen (infolge der Stetigkeit von F(z)nach a;) und es gilt (wegen der Stetigkeit von F (z) nach y)

[~h0, + h0] = ZMW .

Es existiert daher nach Baire ein Teilintervall (A1;A2)£ (— h0,h0)und eine natürliche Zahl l, so daß M (l) z> (hx, h2).

\F(z) \<M gilt nun im ganzen Rechteck mit den Ecken

z0 + K + i •

-j-. Zo + hi — i'^f, zo + K — * •

y> zo + K + * •

y•

Hilfssatz 2. Voraussetzungen :

1) u(x, y) und v(x, y) seien im Gebiet D integrierbar und längsden Parallelen zur x- und y-Achse stetig.

2) In jedem Punkt zD sei [ Q(z, h) [ ^ m für jedes reelle h mit

|ä| <—.1 'TO

3) lim Q(z, h) = 0 (& reell) fast überall in D.

A-*0

Behauptung : /(z) = u(x, y) + i-v(a;, y) ist im Gebiet Z) holomorph.Der Beweis des Hilfssatzes 2 ergibt sich leicht aus dem untenstehenden

Satz 7 (vgl. Bemerkung a).

5. Beweis zu Satz 5. Ist M (A) (A natürliche Zahl) die Menge der

Punkte z6G, in welchen \Q(z,h)\ ^ A für alle reellen hm.it 0<|A[^-rA

so gilt wegen Voraussetzung 2

Q = N + ZM{X) .

N ist eine Menge von erstei Kategorie. Damit folgt aus dem Baireschen

Kategoriesatz, daß mindestens eine der Mengen M (A) ein ganzes Teil¬

gebiet von 0 enthält. Es existieren also eine natürliche Zahl l und ein

Gebiet GxczG, so daß ~M(l) => Gx. Aus Hilfssatz 1 folgt nun leicht

sogar M (l) r> G1.Der Hilfssatz 1 sichert ferner die Existenz eines Gebietes G* c 0lt in

welchem f(z) beschränkt ist, und damit sind u(x, y) und v(x, y) als

beschränkte, nach x und y stetige Funktionen über G* integrierbar8).

8) Vgl. [10], S. 644.

253

Die Funktion /(z) erfüllt nun in G* sämtliche Voraussetzungen von

Hilfssatz 2.

6. Eine ähnliche Aussage macht folgender Satz 6 :

Satz 6. Voraussetzungen :

1) Im Gebiet G sei /(z) längs den Parallelen zur x- und «/-Achse stetig.

2) lim supA-»-0

|/(Z + Ä)-/(Z)h

< -+- oo ; Mm supf(z + ih)-f(z)

h<+oo

(h reell) gelte für alle z£G — N (N Menge erster Kategorie

bezüglich G)r)t TM

3) Auf der Menge der Punkte z G, in welchen zugleich -=— und ~-

df dtexistieren, sei fast überall -r \- i —^- = 0

.

dx dy

Behauptung : Es existiert mindestens ein Punkt z G, in welchem

f(z) regulär ist.

7. Beweis zu Satz 6. Es sei M{X) (X natürliche Zahl) die Mengealler Punkte z G

,in welchen | / (z + h) — f (z) | ^ X \ h | und

| /(z + i h) - f(z) | < X-1 h | (h reell) für | h \ < y .

Es gilt wieder G = N + ZM(X). Aus dem Baireschen Kategoriesatzund dem Hilfssatz 1 schließt man wieder (wie im Beweis zum Satz 5),

daß eine natürliche Zahl l, sowie ein Gebiet GtcG existieren, so daß

Mit Hilfe des Satzes von Lebesgue, nach welchem eine reelle Funktion

mit beschränkten Differenzenquotienten fast überall eine Ableitung be-

sitzt, ergibt sich daher, daß in G1 die Ableitungen -^- und -=— fast

überall existieren. Wegen Voraussetzung 3 gilt also fast überall in Gx

dx dy

Der Hilfssatz 1 sichert nun wieder die Existenz eines Gebietes G* cff,,über welches u (x, y) und v (x, y) integrierbar sind, und damit sind in

G* wieder alle Bedingungen von Hilfssatz 2, Satz 5, erfüllt.

8. Zum Schluß dieser Arbeit gebe ich noch eine Bedingung an, welche

die Regularität der Funktion /(z) im ganzen Definitionsgebiet G nach

sich zieht. Ich führe hier diesen Satz an, obwohl seine Beweismethode

254

etwas aus dem Rahmen der obigen Betrachtungen herausfällt ; denn es

lassen sich daraus leicht zwei Sätze herleiten, auf welche wir uns in dieser

Arbeit wiederholt gestützt haben : Hilfssatz 2 und der Satz von Morera

in der von P.T. Maker bewiesenen verschärften Form.

Wir führen folgende Bezeichnung wieder ein

Q(z,h) =1 n

f(z + h) - f{z) + i f(z + ih) — i f(z)~

h

Damit Q (z, h) unabhängig von z 6 G und h definiert ist, setzen wir fest :

f(z) = 0, zÇQ.Ist At, A2,... eine Nullfolge von reellen Zahlen, so sagen wir, die

zugehörige Funktionenfolge Q\(z) = Q{z, hx) konvergiere auf dem

Rechteck R(x1 <T x < x2, yx ^ y ^ y2) ,,im Mittel" gegen 0, falls

lim J§Q\dxdy = 0.

A-»-oo B

Wir sagen ferner, eine gewisse Bedingung sei für „fast alle Rechtecke

R G" erfüllt, falls die Ecken jener Rechtecke, für welche diese Bedin¬

gung nicht erfüllt ist, auf einer festen Punktmenge vom Flächenmaß 0

liegen.

9. Mit diesen Bezeichnungen gilt nun folgender

Satz 7. Voraussetzungen :

1) u(x,y) und v(x, y) seien über G integrierbar.

2) Es existiere eine Nullfolge h±, h2,... von reellen Zahlen, so daß die

zugehörige Funktionenfolge Q\{z) = Q(z, h\) auf fast jedem Rechteck

R(xt < x < x2, yx < y < y2), welches in G liegt, im Mittel gegen 0

strebt.

Behauptung : Es existiert eine in G reguläre Funktion F (z), so daß

^(2) = f(z) = u(x, y) + i-v(x, y) in fast allen Punkten zß,

10. Beweis zu Satz 7.

a) Der Einfachheit halber nehmen wir an, G sei die ganze Ebene. Ist

nun eine reelle Funktion X(x,y) über jedes endliche Intervall

R[Xi ^ x ^ x2) Vi ^ y ^ y2) integrierbar, so besitzt das Mittel (q>0)

255

+ e +8

^Q(x,y) = -^T | j X(x + s, y + t)dtds

— q —e

folgende Eigenschaften9) :

ce) lim Ag (x, y) — A(x, y) in fast allen Punkten (x, y),e->o

ß) Xe(x, y) ist auf jedem endlichen Intervall

R(xt < x < x2, yx < y < 2/2)

absolut stetig im Tonellischen Sinn, das heißt Xe(x, y) ist auf R stetig ;

ferner im Intervall x1 ^ x <! x2 absolut stetig als Funktion von x für

fast alle y£{yi, y2) und *m Intervall y1 ^ y ^ y2 absolut stetig als

Funktion von y für fast alle x^(xt, x2), und dazu sind die Ableitungen

dX0 dl,Q

dx'

dyüber R integrierbar.

b) Setzen wir nun fe(z) = uQ(x, y) -\- i-v9(x, y), so wird

^- /e(z + K) - /e(z) + * • /e(z + iAx) - * • /a(z) =

+ e +e

Die linke Seite dieser Gleichung besitzt für X ->oo in fast allen Punkten z

den Grenzwert

dx dy

(Wegen 8 existieren ja —— und -^ fast überall.)0 r dx dy

Die rechte Seite hingegen strebt wegen Voraussetzung 2 für fast alle

z = x + iy gegen 0.

Die Funktion fe(z) erfüllt also in fast allen Punkten die Cauchy-

Riemannsche Bedingung

dx dy

9) Vgl. [11], S. 258.

256

Da ferner uQ(x, y) und ve(x,y) absolut stetig (Tonelli) sind, folgtnach einem Satz von P.T.Maker, daß fe(z) inÖ regulär analytisch ist [5].

c) Das Quadrat x — Ä<|<a; + A,?/ — h ^ r] ^ y + h werde mit

R(x, y,h) bezeichnet. Wir betrachten ein bestimmtes solches Quadrat

R0 = R{x0, y0, h0) c G und beweisen, daß die Funktionen fe(z) auf

diesem Quadrat gleichmäßig beschränkt sind.

Zu diesem Zweck wählen wir ein h1>h0 (Aa bleibt im folgenden fest),für welches jedes Quadrat R{x,y,h^) z> R0 ganz in G liegt.

Mit A (a;, y) bezeichnen wir die Funktion | u (x, y) \ + | v {x, y) | und

I(x,y) sei das Integral j" X ds, erstreckt über den Rand des Quadrates

R(x, y, Ax). Nach « gilt für fast alle (x, y) :

\imle{x,y) = I(x, y) .

e->o

Wir wählen nun den Punkt (xlt y^) so, daß 2 | xx — x0 | <h1 — h0,2 | Vi — Vo I <^i — ^o und lim Ie (x1} yj existiert und endlich ist.

e->o

Aus dem Cauchyschen Integralsatz folgt nun für z R0 leicht

IM^-^îîçhj-JI/.

(Integral über den Rand von R (xt, yx, ht) erstreckt.)Ferner gilt

$\fe\ds^$leds

und (Änderung der Integrationsreihenfolge)

$AQds = Ie{x1,y1) .

Für q -> 0 bleibt aber die rechte Seite beschränkt.

d) Die Funktionen fe(z) sind also in R0 regulär und gleichmäßigbeschränkt ; ferner existiert nach « lim fQ (z) fast überall in R0.

e-*-o

Auf Grund des bekannten Satzes von Vitali schließt man daraus leicht,daß die Grenzfunktion

]imft{z)=F(z) ,

e-*-o

welche nach « fast überall = f(z) ist, in R0 regulär ist.

17 Commenter!! Mathematici Helvetici257

11. Bemerkungen zu Satz 7.

a) Aus Satz 7 folgt leicht :

Satz 7'. Voraussetzungen :

1) u(x,y) und v(x, y) seien über G integrierbar.

2) Es existiere eine reelle Nullfolge hx, h2,..., so daß fast überall in G

limQ(z,hx) = 0.

3) Es existiere eine über G integrierbare Funktion g (z) ^ 0, so daß

\Q(z,hd\<g(*) {1=1,2,3,...).

Behauptung : wie in Satz 7.

Die Gültigkeit dieses Satzes ergibt sich sofort mit Hilfe des Lebes-

gueschen Grenzwertsatzes : Aus 2 und 3 (Satz 7') folgt damit nämlich

Voraussetzung 2 zu Satz 7.

Satz 7' ist eine weitgehende Verschärfung eines von S.Kametani [4]ganz ähnlich bewiesenen Satzes.

Der obige Satz enthält außerdem das Hauptresultat eines Satzes von

J.Ridder [3] und liefert ferner sofort den Hilfssatz 2 zu Satz 5.

b) Z c G sei eine Menge vom Maß 0 und f(z) sei regulär in allen

Punkten ztG — Z.

Hinreichend dafür, daß / (z) über die Menge Z analytisch fortgesetztwerden kann (d. h., daß eine in G holomorphe Funktion F(z) existiert,welche = / (z) ist auf G — Z) ist folgende Bedingung, die sich fast un¬

mittelbar aus Satz 7' ergibt :

u(x, y) und v(x, y) seien über G integrierbar und es existiere eine

integrierbare Funktion g(z) > 0, so daß \Q(z,h)\ ^ g(z), sofern

zeG-Z, z + heG-Z, z + iheG -Z (h reell).

c) Mit Hilfe der Beweismethode des Satzes 7 leitet man auch leicht die

von P.T. Maker herrührende Verschärfung des Satzes von Morera her [5] :

Satz. Voraussetzungen :

1) u(x, y) und v(x, y) seien über G integrierbar.

2) Für fast jedes Rechteck B(xt < x < x2, yx < y < y2) aus G ver¬

schwinde das über seinen Rand erstreckte J7(z) dz.

Behauptung wie in Satz 7.

258

Man kann hier den Beweis von Satz 7 in fast unveränderter Form über¬

nehmen : Neu zu begründen ist nur, daß für f(z) die Cauchy-Riemann-

sche Bedingung

öx ay

fast überall erfüllt ist, und dies folgt sofort aus der Relation10)

ox ay ig2 j

(Das Integral ist über den Rand des Quadrates R(x, y ; q) zu erstrecken.)

BIBLIOGRAPHIE

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Definitionsbereichs. Journ. Math. 158, S. 219—227 (1927).

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S. 337—345 (1941).

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regularity of u + iv. Trans. Amer. Math. Soc. 45, S. 265—275 (1939).

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analytiques. Ann. Ecole norm. (3) 42, S. 143—191 (1924).

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19 (1946) S. 266.

[9] W. Stepanoff, Über totale Differenzierbarkeit. Math. Ann. 90, S. 318 (1923).

[10] C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen. New York (1948).

[11] L. M. Graves, Theory of functions of real variables. New York 1946.

(Eingegangen den 5. Januar 1950.)

10) Nach L. M. Graves [11], S. 58, gilt fast überall

v + Q

v—e

und daraus folgt leicht obige Relation.

259

LEBENSLAUF

Am 22. Juli 1924 wurde ich in Rorschach geboren.

Nach dem Besuch der Rorschacher Primär- und

Sekundärschule und der Oberrealschule St. Gallen

bestand ich 1944 die Maturitätsprüfung Typus C.

Anschließend studierte ich an der Abteilung für

Mathematik und Physik der Eidgenössischen Tech¬

nischen Hochschule in Zürich und erwarb mir im

Herbst 1948 das Diplom als Mathematiker. Seither

bin ich als Assistent für höhere Mathematik bei

Herrn Prof. Dr. W. Sazer tätig, dem ich für An¬

regung und Ratschläge zur vorliegenden Arbeit

herzlich danke. Ebenso spreche ich Herrn Prof. Dr.

M. Plancherel meinen herzlichsten Dank aus.

ZÜRICH, im Oktober 1949. Kurt E. Meier.