Fakultät für Physik und Geowissenschaften

Physikalisches Grundpraktikum

1

E 19 „Fourier-Analyse, Fourier-Synthese, Aliasing“

Aufgaben

0. In der Vorbereitung (als Hausaufgabe ins Messprotokoll) ist Folgendes analytisch zu berechnen: a. Komplexe Fourierkoeffizienten einer Rechtecksschwingung mit f(t) = f(-t). b. Komplexe Fourierkoeffizienten einer Rechtecksschwingung mit f(t) = -f(-t). c. Komplexe Fourierkoeffizienten einer Dreiecksschwingung. Führen Sie weiterhin eine Fast-Fourier-Transform (FFT) eines d. Sinus-, e. Rechteck- und f. Dreiecksignals durch. Verwenden Sie jeweils sowohl das Rechteck- als auch das Hanning-Fenster. Vergleichen Sie die Ergebnisse für das Dreieck- und Rechtecksignal mit den analytischen Ergebnissen. 1. Fourieranalyse. Messen Sie den Zeitverlauf einer Sinusspannung mit einem Digitaloszilloskop und analysieren Sie diesen mittels Fouriertransformation. a. Bestimmen Sie Frequenz und Amplitude der Sinusschwingung für die folgenden FFT-Fenster: Rectangular, Hanning und Flat-top. b. Untersuchen Sie den Alias-Effekt (siehe Nyquist-Shannonsches Abtasttheorem), indem Sie bei vorgegebener Grenzfrequenz fG der FFT die Frequenz f der Sinusschwingung von f < fG zu f > fG durchstimmen und jeweils das Fourierspektrum betrachten. Erklären Sie die Beobachtungen. 2. Fourieranalyse. Messen Sie den Zeitverlauf einer Dreieck- und einer Rechteckspannung mit einem Digitaloszilloskop und analysieren Sie diesen mittels Fouriertransformation. a. Sehen Sie sich qualitativ die Fourierkoeffizienten der Rechtecksschwingung für Rechteck-, Hanning- und Flat-top-Fenster an (Frequenz am Oszillator: 560.9 Hz, Zeitkonstante am Oszillos-kop: 1 ms). Wie sind die Beobachtungen zu erklären? b. Bestimmen Sie möglichst viele Fourierkoeffizienten der Dreiecksschwingung. Vergleichen Sie die experimentellen mit den analytisch berechneten Koeffizienten. Verwenden Sie Rechteck-, Hanning und Flat-top-Fenster. c. Brillouinzonen. Rekonstruieren Sie die ersten ca. 20 Fourierkoeffizienten einer Rechteckschwin-gung aus gemessenen Fourierkoeffizienten in den ersten drei bis vier Brillouinzonen. (Frequenz am Oszillator: 560.9 Hz, Zeitkonstante am Oszilloskop: 10 ms). Verwenden Sie eine geeignete Windowing-Methode. 3. Fouriersynthese. a. Verwenden Sie die in Aufgabe 2. gemessenen Fourierkoeffizienten der Dreiecks- und Rechtecksschwingung, um den Zeitverlauf des Signals zu rekonstruieren. b. Synthetisieren Sie einige zeitliche Signalverläufe, indem Sie in einem Labview-Programm meh-rere Sinusschwingungen miteinander kombinieren. 4. Fouriersynthese. Mittels mehrerer Oszillatoren und eines Addierers sind unterschiedliche Sig-nale zu synthetisieren und auf dem Oszilloskop sichtbar zu machen.

2

Literatur Physikalisches Praktikum, 13. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Fourier-Transformation und Signalanalyse Fouriertransformation für Fußgänger, 7. Auflage, T. Butz Zubehör Digitaloszilloskop, Funktionsgenerator, PC Schwerpunkte zur Vorbereitung - Grundlagen der Fourier-Transformation, Fourier-Spektren, Diskrete Fouriertransformation, Ab-

tasttheorem, Alias-Effekt, Windowing-Methoden

Versuchsdurchführung

In der Vorbereitung, in Aufgabe 0, sind mittels wissenschaftlicher Software (Origin, Qtiplot, SciDavis etc.) FFT-Spektren zu berechnen. Vergleichen Sie die FFT-Spektren mit den analytischen Ergebnissen. Überprüfen Sie den Einfluss der FFT-Fenster-Methode (FFT-Windowing), insbesonde-re für Rechteck- und Hanning-Fenster. Für die Aufgaben 1. und 2. stehen ein Universal-Funktionsgenerator sowie ein Funktionsgenerator der Firma Rigol (Modell DG1012) zur Verfügung. Die Datenaufnahme erfolgt mit einem USB-Oszilloskop der Firma Vellemann (Modell PCSU1000). Das Oszilloskop nimmt jeweils 4096 Daten-

punkte für einen Zeitverlauf auf. Der Diskretisierungszeitschritt t hängt von der gewählten Zeit-

konstante ab mit t = /125. Die gesamte dargestellte Messzeit ist damit T = 4096t =

4096/125 = 32.768. Die Daten werden direkt in ein Labview-Programm exportiert, in welchem

die FFT durchgeführt wird. Die Grenzfrequenz der FFT ist durch den Diskretisierungszeitschritt t

bestimmt mit fG = 1/(2t) = 125/(2). In dem Labview-Programm können unterschiedliche FFT-Fenster (Rectangle, Hanning, Hamming, Welch, Blackman, Flat-top) eingestellt werden. Weiterhin ist es möglich, die FFT-Spektren über eine vorgegebene Anzahl zu mitteln (Sampling).

Grundlagen

Dezibel (dB) Dezibel charakterisiert das Verhältnis von zwei gleichartigen Leistungs- oder Energieeinheiten. Es handelt sich um ein logarithmisches Maß, welches durch

1

2

10 log dBP

LP

definiert ist. Da Leistungs- und Energiegrößen in der Regel proportional zum Quadrat der entspre-

3

chenden Feldgrößen sind (z.B. elektrische Leistung P = U2/R), wird das Verhältnis von Feldgrößen durch

1

2

20 log dBU

LU

charakterisiert. Im vorliegenden Versuch kann die FFT entweder in absoluten Spannungseinheiten oder in Dezibel (mit U2 = 1 V) angesehen und ausgegeben werden. Fouriertheorem Eine periodische Funktion f(t) mit der Periode T: f(t+T) = f(t) lässt sich als Summe harmonischer Funktionen darstellen:

01

1( ) cos( ) sin( )

2k k k k

kf t A A t B t

(1)

mit

2k

k

T. (2)

Die Koeffizienten Ak und Bk sind durch folgende Integrale gegeben:

/2

/2

2( )cos( ) 0,1,2,...

T

k k

T

A f t t dt kT

(3)

/2

/2

2( )sin( ) 1,2,3,...

T

k k

T

B f t t dt kT

(4)

Im Hinblick auf die gerätetechnischen Vorgaben ist es günstiger, mit der komplexen Notation zu arbeiten. In komplexer Schreibweise lautet die Fourierreihe: Fouriertheorem in komplexer Schreibweise

( ) exp( )k k

k

f t C i t (5)

wiederum mit 2 /k k T . Die Koeffizienten Ck sind durch folgendes Integral gegeben:

/2

/2

1( )exp( )

T

k k

T

C f t i t dt kT (6)

Falls f(t) eine reelle Funktion ist, sind Ck und C-k zueinander konjugiert komplex. Beachten Sie, dass negative Frequenzen auftreten; im Fall einer reellen Funktion f(t) genügt es jedoch, die Koeffizien-ten Ck nur für nichtnegative Indizes anzugeben. Die Koeffizienten lassen sich wie folgt auseinander berechnen:

4

0 0

*

*( ) ( )

k k k k k

k k k k k

A C

A C C C C

B i C C i C C (7)

In Kurzform lässt sich die Fourierreihe als Abbildung einer periodischen Funktion f(t) auf die Fourierkoeffizienten Ck schreiben:

( ) ;k kf t C (8)

In dieser Kurzform lassen sich einige Theoreme prägnant formulieren: 1. Verschiebungssatz (Verschiebung in der Zeitdomäne)

( ) ;

( ) exp( );

k k

k k k

f t C

f t C i (9)

In Worten ausgedrückt: Verschiebt man die Funktion im Zeitbereich, so werden die Fourierkoeffizienten lediglich mit einem Phasenfaktor multipliziert. Ist man nur an den Absolutwerten der Koeffizienten interessiert, so führt die Verschiebung im Zeitbereich zu keinerlei Änderung. Da Ck und C-k zueinander komplex konjugiert sind, sieht man auch sofort, dass die

Absolutwerte der Fourierkoeffizienten symmetrisch in k sind: | | | |k kC C .

2. Verschiebungssatz (Verschiebung in der Frequenzdomäne)

( ) ;

2( )exp ;

k k

k k

f t C

tf t i C

T (10)

3. Skalierungssatz

( ) ;

( ) ;

k k

k k

f t C

f st C s (11)

4. Parsevalsches Theorem

/2

* *

/2

( ) ;

( ) ;

1( ) ( )

k k

k k

T

k k

kT

f t C

g t D

f t g t dt C DT

(12)

Diskrete Fouriertransformation Die Funktion f(t) der kontinuierlichen Variablen t ist oft nur, insbesondere in der digitalen Daten-

verarbeitung, zu diskreten Zeiten tk = kt, k = 0,1,...,N-1, bekannt. Außerhalb des Zeitintervalls

[0,T] mit T = Nt ist die Funktion unbekannt; für die diskrete Fouriertransformation wird sie ein-fach periodisch fortgesetzt.

5

Der Datensatz besteht in diesem Fall aus der Zahlenfolge {fk}, k = 0,1,...,N-1. Durch periodische Fortsetzung lassen sich Funktionswerte für alle Indizes k konstruieren. Funktionswerte bei negativen Indizes können durch die Transformation f-k = fN-k "umgeklappt" werden (Wrapping); man kann daher zwischen einer Darstellung mit positiven Indizes k = 0,1,...,N-1 oder mit Indizes im Bereich -N/2+1,...,0,...,N/2 (vorausgesetzt N ist eine gerade Zahl) wählen. Beachten Sie, dass die periodische Fortsetzung stets f0 = fN erfordert.

Im Fall diskreter Zeitstützstellen tk wird aus der komplexen Exponentialfunktion exp(it) die dis-krete Version

2 2exp( ) exp exp 2 exp

k

kt k ii t i i

T N N (13)

mit dem Kern exp(2i/N). Es gilt die diskrete Deltafunktionsidentität

( ')1

'

0

2exp

k k jN

kk

j

iN

N (14)

Die diskrete Fouriertransformation ist durch

1

0

1 2exp 0,1,..., 1

kjN

j k

k

iF f j N

N N (15)

mit der Rücktransformation

1

0

2exp 0,1,..., 1

kjN

k j

j

if F k N

N (16)

definiert. Aus Gleichung (15) folgt

N j jF F (17)

d.h. die Fourierkoeffizienten sind periodisch mit der Periode N. Dies bedeutet insbesondere, dass die höchste relevante Kreisfrequenz

2j

j

N t (18)

beim Index j = N/2 auftritt. Die entsprechende Frequenz

/2

1 1

2 2G Nf

t (19)

heißt Nyquist- oder Grenzfrequenz. Dies ist die höchste Frequenz, die aus einem diskreten Daten-

satz mit Zeitschritt t bestimmt werden kann. Man kann diese Aussage auch anders formulieren: Um in einem zeitlich kontinuierlichen Signal eine Frequenzkomponente der Frequenz f zu detek-tieren, muss das Signal mindestens mit einer Abtastrate von 2f gemessen werden (Nyquist-Shannonsches Abtasttheorem).

Oft wird die Fouriertransformierte im Frequenzintervall [-fG,fG] dargestellt. Da weiterhin *j jF F

gilt, kann man die Darstellung auch auf das Frequenzintervall [0,fG] beschränken. Entsprechend den Sätzen (9) - (12) für Fourierreihen gelten für die diskrete Fouriertransformation die folgenden Sätze:

6

1. Verschiebungssatz (Verschiebung in der Zeitdomäne)

2exp

k j

k n j

f F

if F jn n

N (20)

2. Verschiebungssatz (Verschiebung in der Frequenzdomäne)

2exp

k j

k j n

f F

if nk F n

N (21)

3. Parsevalsches Theorem

1 1* *

0 0

1 N N

k k j j

k j

f f F FN

. (22)

Weiterhin kann man die diskrete Faltung zweier Datensätze betrachten:

1

0

1( )

N

k k l k l

l

h f g f gN . (23)

Der diskrete Faltungssatz lautet dann:

( )

k j

k j

k k j j j

f F

g G

h f g H F G (24)

mit der Umkehrung

( )

k j

k j

k k k j j

f F

g G

h f g H N F G. (25)

7

Alias-Effekt (Aliasing) Was passiert mit denjenigen Komponenten des Zeitsignals, die Frequenzanteile größer als die Grenzfrequenz fG enthalten? Dies lässt sich in einfacher Weise graphisch veranschauli-chen. In der nebenstehenden Abbildung sind Sinusschwingungen (schwarze durchgezogene Linien) mit Frequenzen von 19, 28 und 37 Hz

gezeigt. Diese werden mit einem Zeitschritt t = 0.05 s, d.h. mit einer Abtastrate von 20 Hz, gemessen (schwarze Rechtecke). Die Grenz-frequenz fG = 10 Hz ist kleiner als die drei gewählten Frequenzen, d.h. pro Periode wer-den weniger als zwei Messpunkte genommen. Die Originalschwingung lässt sich daher aus den diskreten Werten nicht rekonstruieren. Wie man aber aus den Bildern sofort sieht, bilden die diskreten Datenpunkte ebenfalls eine Sinusschwingung ab, jedoch bei einer anderen, niedrigeren Frequenz, wie sie durch die roten gestrichelten Kurven verdeutlicht wird. Dies wird als Alias-Effekt bezeichnet, weil die Frequenz nicht bei ihrem eigentlichen Wert, sondern sozusagen unter anderem Namen auftritt. Im dargestellten Beispiel findet man Folgendes. Die Frequenz von 19 Hz liegt im Intervall [fG,2fG]

und wird auf f‘ = 2fG-f = 1 Hz verschoben; gleichzeitig tritt eine Phasenverschiebung um auf. Die Frequenz von 28 Hz liegt im Intervall [2fG,3fG] und wird zu einer Frequenz f‘ = f-2fG = 8 Hz verscho-ben. Die Frequenz von 37 Hz liegt im Intervall [3fG,4fG] und wird zu einer Frequenz f‘ = 4fG-f = 3 Hz

verschoben; gleichzeitig tritt wieder eine Phasenverschiebung um auf. Diese Verschiebungsre-geln lassen sich verallgemeinern:

(2 1) ,2 : ' 2

(2 ) ,(2 1) : ' 2 1,2,...

G G G

G G G

f n f nf f f nf f

f n f n f f f f nf n (26)

Wenn man weiß, in welchem Frequenzintervall f liegt, so lässt sich aus der gemessenen Frequenz f‘ die Originalfrequenz f nach diesen Regeln rekonstruieren. Dies ist z.B. möglich, wenn das Fourierspektrum eine Reihe von diskreten Amplituden bei Frequenzen mit konstanten Abständen enthält. Der Alias-Effekt tritt ebenfalls in der Festkörperphysik auf. In diesem Fall betrachtet man eine kontinuierliche Elektronenwelle, die sich durch ein Kristallgitter bewegt und nur an den diskret auf dem Gitter verteilten Atompositionen detektiert wird. In einem ein-dimensionalen Kristall mit Gitterkonstante a ist die Energie der Elektronen eine Funktion des Wellenvektors k. Der diskrete

Ortsschritt a führt zu einer Grenzwellenlänge /a, die der Nyquist-Kreisfrequenz G = 2fG = /t entspricht. Dementsprechend lassen sich Elektronenwellen mit Wellenvektor [ / , / ]k a a

und Wellenvektor k+n(2/a), wobei n eine ganze Zahl bezeichnet, nicht unterscheiden; diese

haben die gleiche Energie E(k) = E(k+n(2/a)). Entsprechend zu den in Gleichung (26) definierten Frequenzintervallen werden Zonen im Wellenvektorraum festgelegt, die Bereiche äquivalenter k-Werte enthalten. Diese Zonen heißen Brillouin-Zonen und sind für einen ein-dimensionalen Kris-tall folgendermaßen definiert: Zur Brillouin-Zone der n-ten Ordnung gehören alle Punkte im k-

-1

0

1

-1

0

1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-1

0

1

Am

plit

ude

time t (s)

8

Raum, die von k = 0 einen Mindestabstand von (n-1)/a und einen Höchstabstand von n/a ha-ben. Damit entsprechen die Hälften der Brillouin-Zonen mit positiven k-Werten gerade den oben angeführten Frequenzintervallen. Das Aliasing in der FFT kann man daher als einfache experimen-telle Realisierung des in der Festkörperphysik beliebten Wechsels zwischen unterschiedlichen Brillouinzonen ansehen. Fast-Fourier-Transform Bei der Fast-Fourier-Transform handelt es sich um einen Algorithmus (James Cooley und John Tukey, 1965) zur effizienten Berechnung einer diskreten Fouriertransformation. Die grundlegende Idee besteht darin, den ursprünglichen Datensatz in zwei Folgen zu teilen und die Fouriertransformation für jede Teilfolge einzeln zu berechnen. Dazu sollte N = 2p sein. Die Folge {fk}, k = 0,1,...,N-1 wird in die Folgen {f1,k} = {f2k} und {f2,k} = {f2k+1}, k = 0,1,...,N/2-1 aufgeteilt. Man kann dann zeigen, dass

1, 2

/2 1, 2

1 2exp

2

1 2exp 0,1..., / 2 1

2

j j j

j N j j

iF F F j

N

iF F F j j N

N

(26)

gilt. Dabei bezeichnen {Fj}, {F1,j} und {F2,j} die Fouriertransformierten der Original- sowie der geteil-ten Folgen. Diese Teilung wird weiter geführt, bis man zu einer Folge mit nur einem Element ge-langt; für diese gilt: F0 = f0 (N = 1). Während die diskrete Fouriertransformation N2 Rechenoperati-onen benötigt, hat sich der Rechenaufwand bei der FFT auf Nln(N) Rechenoperationen vermin-dert. Leakage-Effekt Das Eingangssignal für die Fouriertransformation ist immer von endli-cher Länge und in der Regel nicht mit der Periode des Signals synchronisiert, d.h. bei periodischer Fortsetzung des Eingangssig-nals können Stufen entstehen. Die Fouriertransformierte einer Stufenfunktion zeigt jedoch das Gibbssche Phänomen, d.h. das Auftreten von Über- und Unterschwin-gern. Idealerweise hat die Fouriertransformierte einer reinen Sinus-schwingung der Frequenz f nur eine Kom-ponente in Form einer Deltafunktion bei der Frequenz f. Wird der endliche Wellenzug der Sinusschwingung, der für eine FFT ver-wendet wird, ungünstig abgeschnitten, so wird die Deltafunktion verbreitert, d.h. spektrales Gewicht wandert von der eigent-lichen Frequenz f weg (spectral leakage, daher Leakage-Effekt).

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0 5 10 15 20

time (s)

A

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-75

-50

-25

0

FF

T (

dB

)

Frequency (Hz)

9

Dieser Effekt wird in der oben stehenden Abbildung demonstriert. Im oberen Panel sind zwei

Sinusschwingungen mit ähnlichen Frequenzen (0.5 Hz und 10/20.47 0.48852 Hz) gezeigt. Im Zeitintervall [0 s,20.47 s] vollendet eine Schwingung genau 10 Zyklen, während die andere in der Nähe eines Schwingungsmaximums abgeschnitten wird. Die FFTs der beiden Schwingungen sind im unteren Panel zu sehen. In beiden Fällen findet man ein Maximum bei der Schwingungsfre-quenz. Die mit dem Messintervall synchronisierte Schwingung (rote Linie) zeigt jedoch einen deut-lich schmaleren Peak. FFT-Fensterfunktionen (FFT-Windowing) Um den Leakage-Effekt zu unterdrücken, verwendet man Fensterfunktionen, die außerhalb eines bestimmten Zeitintervalls einen verschwindenden Funktionswert besitzen. FFT-Fensterfunktionen werden durch eine Menge von Werten w(k), k=0,1,...,N-1 definiert. Vor Ausführung der FFT wird das gemessene diskrete Zeitsignal punktweise mit w(k) multipliziert. Dies verändert natürlich den Signalverlauf und damit auch die FFT des ursprünglichen Signals. Daher ist eine Kenntnis der FFT der einzelnen Fensterfunktionen unerlässlich für das Verständnis von FFT-Daten. Im Folgenden sind einige wichtige Fensterfunktionen sowie deren FFTs dargestellt. Rechteck/Rectangular w(k) = 1 Welch

2( 1) / 2

( ) 1( 1) / 2

k Nw k

N

0 20 40 60 800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w(k

)

k

Rectangular

-10 0 10 20-100

-80

-60

-40

-20

0

FF

T (

Dezib

el)

fk

0 20 40 60 800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w(k

)

k

Welch

-10 0 10 20-100

-80

-60

-40

-20

0

FF

T (

Dezib

el)

fk

10

Hanning

1 2( ) 1 cos

2 1

kw k

N

Hamming

2( ) 0.54 0.46cos

1

kw k

N

Blackman

7938 9240 2 1430 4( ) cos cos

18608 18608 1 18608 1

k kw k

N N

0 20 40 60 800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w(k

)k

Hanning

-10 0 10 20-100

-80

-60

-40

-20

0

FF

T (

Dezib

el)

fk

0 20 40 60 800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w(k

)

k

Hamming

-10 0 10 20-100

-80

-60

-40

-20

0

FF

T (

Dezib

el)

fk

0 20 40 60 800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w(k

)

k

Blackman

-10 0 10 20-100

-80

-60

-40

-20

0

FF

T (

Dezib

el)

fk

11

Flat-top

2 4 6 8( ) 1 1.93cos 1.29cos 0.388cos 0.028cos

1 1 1 1

k k k kw k

N N N N

Die Fensterfunktionen modulie-ren den Amplitudenverlauf des Signals und beeinflussen damit die Amplitudenwerte der Fouriertransformation. Zusätz-lich führt die Amplitudenmodu-lation auch zu einer Frequenz-verschiebung des ursprüngli-chen Signals. Daher sollte die Wahl der Fensterfunktion bei der FFT stets an das konkrete Problem, Amplituden- oder Frequenzbestimmung oder beides, angepasst werden. Die folgende Tabelle gibt einen groben Anhaltspunkt zur Auswahl der Fensterfunktion.

FFT-Fenster Geeignete Signalformen

Frequenzauflösung Amplitudengenauigkeit Spectral Leakage

Rectangular Zufällige Sehr gut Schlecht Gut

Welch Zufällige Gut Ausreichend Gut

Hanning Zufällige Gut Ausreichend Gut

Hamming Zufällige Gut Ausreichend Ausreichend

Blackman Zufällige Schlecht Gut Sehr gut

Flat-top Sinusartige Schlecht Sehr gut Gut

0 20 40 60 80

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w(k

)

k

Flat top

-10 0 10 20-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

FF

T (

Dezib

el)

fk

12

Oszilloskop und Software Die Bedienung des für den Versuch genutzten Digitaloszilloskops (Velleman PCSU1000) erfolgt mit dem Programm PCSU1000 (Abb. 1). Für die FFT und den Export der Daten wird das im Grundprak-tikum entwickelte Programm PCSU1000 DCP (Abb. 2) verwendet. Eine kurze Einweisung erfolgt zu Beginn des Praktikums.

Abb. 1 Bedienoberflä-che des Programms PCSU1000 1: Einstellung der Zeit-konstanten 2: Einzel- oder Dauer-messung 3: Einstellung Span-nungsbereich 4: Triggeroptionen

Abb. 2 Oberfläche des Programms PCSU 1000 DCP 1: Grafische Anzeige Kanal 1 und 2 (f(t) oder FFT mit Phase) 2: Option Datenabfrage (einzeln, dauerhaft) 3: Anzeige f(t) oder FFT 4: Einstellung zum FFT-Window, Sampling und Anzeige der Grenzfrequenz fG 5: Einstellung der FFT-Einheit (V, dB) 6: Datenexport