Fakultät für Physik und Geowissenschaften

Physikalisches Grundpraktikum

1

M8 „Fourier-Analyse akustischer Schwingungen“ Aufgaben

Um den Messplatz und die Möglichkeiten der Fourier-Analyse praktisch kennen zu lernen, sind zu

Beginn unterschiedliche Schallphänomene (z. B. Ton, Klang, Geräusch, eigenes Musikinstrument)

mittels FFT (Fast Fourier Transformation) zu analysieren.

1. Messen Sie die Abhängigkeit der Eigenfrequenz einer Stimmgabel von der Position einer

Zusatzmasse (Abstimmmasse) auf einem Zinken der Stimmgabel. Bestimmen Sie weiterhin für zwei

unterschiedlich abgestimmte Stimmgabeln das Frequenzspektrum mittels FFT. Stellen Sie die

resultierende Schwebung las Funktion der Zeit und der Frequenz dar.

2. Es sollen Hohlraumschwingungen von Rundkolben (Helmholtz-Resonatoren) verschiedener

Abmessungen untersucht und deren Eigenfrequenzen bestimmt werden. Die Ergebnisse sind mit den

für Helmholtz-Resonatoren berechenbaren Eigenfrequenzen zu vergleichen.

3. Messen Sie die Eigenfrequenzen einer Saitenschwingung mit einem Monochord für verschiedene

Saitenlängen und -spannungen. Die experimentell bestimmten Eigenfrequenzen sind graphisch

darzustellen und die Anstiege sind mit den berechenbaren Werten zu vergleichen sowie

Unterschiede unter Berücksichtigung der Messunsicherheiten zu diskutieren.

Literatur

Physikalisches Praktikum, 14. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Fourier-Transformation und

Signalanalyse, 1.0, 1.3, Mechanik 4.0, Wärmelehre 2.2.3

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-00666-2

Demtröder, Experimentalphysik 1, 5. Auflage, 11.3.1, 11.9.5, 11.12.2

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-79295-6

Gerthsen Physik, 24. Auflage, D. Meschede, 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3, 4.5.3

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-12894-3

Ingenieurakustik: Physikalische Grundlagen und Anwendungsbeispiele, H. Henn, G. R. Sinambari, M.

Fallen, 4. Auflage, S. 308

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8348-9537-0

Zubehör

CASSY-Interface, PC, Messmikrofon mit Verstärker, drei Stimmgabeln, Abstimmmassen,

Anschlaghammer (Gummi, Metall), verschiedene Rundhalskolben, Lautsprecher, Synthesizer

(Software), Monochord, Spannvorrichtung mit Kraftsensor

2

Schwerpunkte zur Vorbereitung

- Mechanische Schwingungen und Wellen, Wellengleichung, stehende Wellen

- Eigenschwingungen, Resonanz, Grundschwingung, Oberschwingung

- Schallwellen, Schallgeschwindigkeit, Unterschiede zwischen Ton, Klang, Geräusch

- Fourier-Analyse, Fourier-Spektren von Sinus-, Rechteck- und Dreieck-Signal

- Stimmgabelschwingungen, Biegeschwingungen, Eigenfrequenz

- Hohlraumschwingungen, adiabatische Zustandsänderung, Eigenfrequenz eines

Hohlraum-Resonators

- Saitenschwingungen, Wellengleichung, stehende Wellen auf Saiten, Grund- und

Oberschwingungen

- Versuchsanordnungen zur Anregung, Messung und Auswertung der unterschiedlichen

Schallschwingungen

- Grundlagen digitaler Messungen (Abtastrate, Auflösung)

Allgemeine Grundlagen

Stimmgabelschwingungen

Die Schwingungen der Zinken einer Stimmgabel lassen sich physikalisch analog zu Biegeschwingungen in Stäben erklären. Dabei kommt es zu transversalen Schwingungen senkrecht zur Achse des ruhenden Zinkens. Diese folgen nicht der Wellengleichung, sondern einer Differentialgleichung vierter Ordnung in der Ortskoordinate:

2 4

2 4

E I

At x

. (1)

bezeichnet die Schwingungsamplitude. Die Eigenfrequenzen fn von Biegeschwingungen ergeben sich zu

2

2,

2πn

n

E Imf

l A

(2)

mit dem Flächenträgheitsmoment I des Stabquerschnitts A, der Länge des Stabs l, dem

Elastizitätsmodul E und der Dichte des Stabmaterials. Die Werte mn sind die Lösungen der

transzendenten Gleichung cos cosh 1n nm m (z. B. Grundschwingung m1 = 1,875).

Das Zustandekommen einer periodischen Welle in Luft, die von einer einfachen Stimmgabel ausgeht,

kann man durch adiabatische Kompression und Expansion der die Zinken umgebenden Luftschichten

beschreiben. Die daraus resultierenden Druckänderungen breiten sich mit einer Geschwindigkeit cLuft

aus. Für Luft erhält man im Bereich der Zimmertemperatur T ( 0 0T T T , T0 = 273,15 K) in guter

Näherung

10Luft

0

331,5 1 ms2

T Tc

T

. (3)

3

Abb. 1 (a) Biegeschwingung, n = 1 (b) Stimmgabelschwingungen, mit

einem Stroboskop aufgenommen (c) Stimmgabel mit Zusatzmasse auf Resonanzkasten mit Anschlaghammer

aus Gummi

Durch das Verschieben der Zusatzmasse (Abb. 1c) längs eines Gabelzinkens wird die Eigenfrequenz

der Grundschwingung verändert. Es tritt eine Verringerung der Frequenz auf, die umso größer ist, je

näher sich die Zusatzmasse am Ende des Zinkens befindet. Als Erklärung dafür kann man in einem

vereinfachten Modell die Veränderung des Trägheitsmoments unter Berücksichtigung des Satzes von

Steiner verwenden. Mit dem Ansatz

2 20 SG R Steiner 1 22

1( )T K I I I K K

f , (4)

lässt sich die Frequenzänderung phänomenologisch beschreiben. Dabei bezeichnen ISG das

Trägheitsmoment der Stimmgabel, IR das Trägheitsmoment des Reiters und ISteiner das zusätzliche

Trägheitsmoment des Reiters gemäß des Satzes von Steiner. Die Ki (i = 0, 1, 2) sind Konstanten. ist

der Abstand zwischen Massenmittelpunkt des Reiters und „Drehachse“, d.h. dem Knotenpunkt der

Schwingung des Zinkens. Da der Wert von im Versuch nicht genau gemessen werden kann, wird

m 0( ) gesetzt, wobei m den Abstand der Oberkante der Reitermasse in Bezug auf einen

vorgegebenen Anfangspunkt am unteren Ende des Gabelzinkens beschreibt und 0 der

entsprechende Korrekturabstand zur „Drehachse“ ist, der mittels nichtlinearer Anpassung bestimmt

wird. Tragen Sie das Inverse des Quadrats der Grundfrequenz gegen m auf und bestimmen Sie die

Parameter K1, K2 und 0 durch nichtlineare Anpassung der Funktion

2 21 m 1 2 m 0( ) ( )f K K . (5)

an die Daten. 1 1

1/f P entspricht annähernd der Grundfrequenz der Stimmgabel, wenn sich die

Reitermasse am unteren Ende des Zinkens befindet.

Hohlraumschwingungen

Werden mit Luft gefüllte Rundhalskolben zu Hohlraumschwingungen angeregt, kommt es bei

bestimmten Anregungsfrequenzen zur Resonanz. Bereits Hermann von Helmholtz entwickelte diese

Art von akustischen Resonatoren (Helmholtz-Resonatoren), die heute noch in der Raumakustik

praktische Anwendungen finden. Diese Hohlraumschwingungen werden in Analogie zur Schwingung

4

eines Masse-Feder-Systems beschrieben (Masse m, Federkonstante k). Für die Eigenfrequenz dieses

Systems gilt

0

1

2π

kf

m . (6)

Das kompressible Gasvolumen VH des Hohlraums wirkt wie eine Feder auf die sich im Flaschenhals

befindliche Luftmasse m = mG (Gasmasse mG = G l A , l Länge des Resonatorhalses, A

Querschnittsfläche der schwingenden Masse, G Dichte des ruhenden Gases).

Abb. 2 Modell eines Hohlraumresonators

Zunächst berechnet man die „Federkonstante“ k des Gasvolumens. Unter der Annahme, dass die

Änderungen des Drucks im Gas so schnell erfolgen, dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung

stattfinden kann, gilt für den adiabatischen Kompressionsmodul K:

H G

Δ

Δ

pK V p

V . (7)

Dabei sind der Adiabatenexponent und pG der Druck des ruhenden Gases. Die Druckänderung p

entsteht durch eine Kraft F, die auf die Fläche A wirkt:

Fp

A

. (8)

Eine Verschiebung der schwingenden Gasmasse mG aus der Ruhelage um die Strecke l in Richtung

des Hohlraumvolumens VH bewirkt eine Verringerung des Resonatorvolumens um den Wert V.

Demzufolge verhalten sich Volumen- und Längenänderung entgegengesetzt: V = A l. Es ergibt sich

mit den Gln. (7) und (8)

2G

H

Δ

Δ

p AFk

l V

. (9)

Nach Einsetzen von k und mG in Gl. (6) erhält man

G0

H G

1

2π

Apf

V l

. (10)

Addiert man zur Länge l die so genannte Mündungskorrektur (π /4R , R Radius des Halses, Abb. 2)

auf beiden Seiten des Resonatorhalses, so folgt für die Eigenfrequenz f0 des Helmholtz-Resonators

2 2G

0 G

H G H

π π1 1

π π2π 2π

2 2

p R Rf c

R RV l V l

. (11)

5

Die Größe cG in Gl. (11) beschreibt die Schallgeschwindigkeit des sich im Resonatorvolumen

befindenden Gases.

Saitenschwingungen

Bei einer Saite wird vorausgesetzt, dass das Material elastische Eigenschaften besitzt, der

Durchmesser (bei kreisförmigem Querschnitt) viel kleiner als die Länge ist und Biegungseffekte keine

Bedeutung haben. Lenkt man eine an beiden Enden fixierte und gespannte Saite aus, treten immer

Knoten auf und die Wellen erfahren an diesen Stellen bei der Reflexion einen Phasensprung um .

Neben der Grundschwingung kann es auch zu Schwingungen bei höheren Frequenzen kommen, den

so genannten Oberschwingungen (fn = n f1, Grundschwingung n = 1, n > 1 Oberschwingungen). Dabei

treten nicht nur an den fixierten Stellen Schwingungsknoten auf (Abb. 3).

Abb. 3 Stehende Welle auf einer Saite für die ersten drei Harmonischen, Enden eingespannt

Zur Herleitung der Bewegungsgleichung betrachtet man diejenige Kraft, die die Saite senkrecht zu

ihrer Ruhelage zurückzieht. Diese wird durch die Spannung τ = F / A bestimmt, (Kraft F pro

Querschnittsfläche A der Saite). Bei einer gekrümmten Saite ergibt sich eine resultierende Kraft Fy

(Abb. 4), da die Spannkraft an verschiedenen Stellen der Saite zwar vom Betrag her gleich groß ist,

ihre Richtung sich aber längs der Saite ändert.

Abb. 4 Teilstück dm einer Saite mit Spannkräften Fy (stark vergrößert)

Für die Komponenten der Kraft Fy als Rückstellkraft in y-Richtung an den Stellen x bzw. x+dx erhält

man ( ) sinyF x A und ( d ) sin( d )yF x x A . Im Folgenden wird angenommen, dass der

Neigungswinkel der Saite bezüglich ihrer Ruhelage klein ist; dann gilt in guter Näherung sin ,

sin(+d) + d, cos cos( + d) 1, tan = dy/dx und 2( / ) 1dy dx . Die resultierende

Kraft in y-Richtung ist dann

( ) ( ) dy y ydF F x dx F x A . (12)

Infolge der vorausgesetzten kleinen Winkel gilt

6

tany

x

(13)

und man erhält damit für die Änderung des Winkels zwischen x und x+dx

2

2d d d

y

x yx x

x x

. (14)

Die Kraft Fy beschleunigt das Saitenstück der Masse

1/22 2 1/2 2d (d ) 1 ( / ) dm A x dy A dy dx dx A x (15)

zurück in die Ruhelage. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz folgt

2

2dy

ydF A x

t

. (16)

Nach dem Gleichsetzen der Kräfte ergibt sich mit 2 /c die Wellengleichung

2 22

2 2

y yc

t x

, (17)

wobei c die Phasengeschwindigkeit der transversalen Welle beschreibt. Mit der Beziehung c f

(Wellenlänge , Frequenz f ) erhält man für die Grundfrequenz (f = f1)

1

1 Ff

A . (18)

Auf einer beidseitig fixierten (eingespannten) Saite der Länge L kann sich eine stehende Welle

ausbilden. Im einfachsten Fall, der Grundschwingung, tritt an den Saitenenden je ein Knoten der

Schwingung, in der Mitte ein Schwingungsbauch auf (L = /2). Daraus folgt mit Gl. (18)

1

1

2

Ff

L A . (19)

Für die mathematische Darstellung einer stehenden Welle nutzt man die Lösung der Wellengleichung

(17), deren allgemeine Form , /y x t y t x c ist, wobei y eine beliebige, zweimal differenzierbare

Funktion bezeichnet. Setzt man eine in (-x)-Richtung laufende Welle voraus, so wird diese an der

Einspannstelle (x = 0) reflektiert. Es tritt ein Phasensprung von auf, da an dieser Stelle die

Auslenkung der Saite y(x) zu jedem Zeitpunkt null sein muss. Aus der Überlagerung von hinlaufender

und reflektierter Welle ergibt sich:

0 0

2π 2π 2π 2π 2π 2π( , ) sin sin π 2 cos sin

t x t x t xy x t y y

T T T

. (20)

Im Fall einer an den Enden eingespannten Saite gilt y(x = L) = 0 und aus Gl. (20) folgt allgemein

2, 1,2, 3,...n

Ln

n . (21)

7

n sind Wellenlängen der möglichen stehenden Wellen auf der beidseitig eingespannten Saite mit

der Länge L. Damit ergibt sich für die Frequenz der Harmonischen (1. Harmonische Grundton, 2.

Harmonische 1. Oberton, usw.)

2n

n Ff

L A . (22)

Hinweise zur Versuchsdurchführung

Zur Messung der verschiedenen Schallsignale wird ein Messmikrofon mit Verstärker verwendet, das

mit dem CASSY-Interface und einem PC verbunden ist. Damit sind die Signalaufzeichnung und die

Fourier-Transformation der Signale möglich. Beachten Sie die zusätzlichen Hinweise zur Bedienung

des Messmikrofons sowie zur Auswertung der Daten am Versuchsplatz.

Abb. 5 Schema des Versuchsplatzes,

a) Schallquellen (I Stimmgabel, II

Hohlraum-Resonator, III

Resonanzkasten), b) Mikrofon,

c) Lautsprecher

Zu Beginn des Versuchs sollen mit dem in Abb. 5 schematisch dargestellten Messplatz

unterschiedliche Schallwellen (z. B. Sinus-Ton und „weißes“ Rauschen mit Synthesizer erzeugt,

Motorengeräusch (Audiodatei), Klang einer Glocke) gemessen und deren Frequenzspektrum mittels

FFT ausgewertet werden. Um eine fehlerfreie digitale Signalerfassung durchführen zu können, sind

die Messbedingungen (Abtastrate (Nyquist-Shannon-Abtasttheorem), Signalintensität) optimal zu

wählen.

Zu Aufgabe 1: Für die Realisierung der Messungen stehen drei gleichartige Stimmgabeln zur

Verfügung, deren Eigenfrequenz durch Verschieben einer Abstimmmasse längs der Achse eines

Gabelzinkens gegenüber der Grundfrequenz verändert werden kann (Abb. 1c). Zur Optimierung der

Signalamplitude wird das Messmikrofon nahe der Öffnung des Resonanzkastens aufgestellt und der

Grad der Verstärkung am Mikrofon geeignet gewählt. Die Schwingungen sind durch das Anschlagen

eines Zinkens mit einem kleinen Gummihammer zu erzeugen. An den Gabelzinken wurden in

definierten Abständen Striche angebracht, so dass man die verschiedenen Positionen des Reiters auf

dem Zinken gut reproduzieren kann. Es sind für etwa acht unterschiedliche Positionen m der

Zusatzmasse die Eigenfrequenzen 1f zu ermitteln und in einem 21 mf -Diagramm grafisch

8

darzustellen. Mit Hilfe von Gl. (5) ist eine Anpassung vorzunehmen und die Fit-Parameter K1 und 0

sind zu erörtern. Nachdem man jeweils eine Zusatzmasse an verschiedenen Stellen eines Zinkens

(etwa 10 Hz Unterschied zwischen den Eigenfrequenzen) festgeklemmt hat, sind die Stimmgabeln

zunächst einzeln mit einem kleinen Gummihammer anzuschlagen, die jeweiligen Einzelschwingungen

zu messen und deren Eigenfrequenz dem Fourier-Spektrum zu entnehmen. Anschließend sind alle

drei Stimmgabeln kurz nacheinander anzuschlagen und in Schwingungen zu versetzen. Die

Superposition der drei Schallwellen ist zu messen und das Frequenzspektrum mittels Fourier-

Transformation zu bestimmen. In der Diskussion sind die Frequenzen, die aus der Überlagerung der

Wellen erhalten werden, mit denjenigen der Einzelschwingungen unter Berücksichtigung von

Messunsicherheiten zu vergleichen.

Abb. 6 Beispiel eines

Signals f (t) nach der

Überlagerung von drei

Stimmgabelschwingungen

mit den Frequenzen f1, f2,

f3 sowie dessen Fourier-

Transformierte

Zu Aufgabe 2: Zunächst wird das Mikrofon etwa einen Zentimeter in den Hals des eingespannten

Resonatorvolumens (Rundkolben) hinein geschoben (Abb. 7).

Abb. 7 Schema des Messplatzes zur Messung von Hohlraumschwingungen: Rundkolben mit Hals (a), Mikrofon (b), Lautsprecher (c).

Mit Hilfe eines Synthesizerprogramms wird „weißes“ Rauschen generiert; der angeschlossene Lautsprecher ist so aufzustellen, dass sein abgestrahltes Schallfeld im Hohlraum zu Schwingungen führt. Es wird das vom Messmikrofon empfangene Signal bei ausreichend kleiner Abtastrate aufgenommen und das Frequenzspektrum bestimmt (Abb. 7). Damit lässt sich die entsprechende Grundfrequenz der Hohlraumschwingung ermitteln. Anschließend kann durch stufenweise Variation der Tonfrequenz (Sinus-Ton am Synthesizer auswählen) im Bereich der Grundfrequenz eine verstärkte Anregung der Hohlraumschwingungen im Vergleich zur Anregung mit dem Rauschsignal

9

erreicht werden, wobei auch höhere Ordnungen auftreten können. Stimmen beide Frequenzen nahezu überein, beobachtet man maximale Intensität der Linie für die betreffende Eigenfrequenz der Hohlraumschwingung. Eine weitere Messung kann nach Anregung der Hohlraumschwingungen durch Anschlagen mit einem kleinen Gummihammer durchgeführt werden. Die Grundfrequenzen der unterschiedlich großen Hohlraum-Resonatoren, deren Abmessungen bekannt sind (Tab. 1), sollen berechnet und mit den im Experiment bestimmten Werten verglichen werden.

Volumenangabe 50ml 100ml 250ml 500ml

Arbeitsplatz I R / mm 9,83(±0,1) 9,08(±0,1) 15,2(±0,1) 14,1(±0,1)

l / mm 38(±2) 38(±2) 39(±2) 37(±2)

VH / ml 60 130 298 535

Arbeitsplatz II R / mm 10,6(±0,1) 9,1(±0,1) 14,4(±0,1) 14,4(±0,1)

l / mm 36(±2) 36(±2) 38(±2) 39(±2)

VH / ml 60 130 298 535 Tabelle 1: Maße der Hohlraum-Resonatoren.

Zu Aufgabe 3: Es werden die Saitenschwingungen von dünnen Metalldrähten in Abhängigkeit von der

Spannkraft (Zugspannung) und der Saitenlänge untersucht. Die Saiten sind auf einem

Resonanzkasten (z. B. Monochord) befestigt. Durch diesen werden die Saitenschwingungen akustisch

verstärkt. Zur Variation der Länge L der schwingenden Saite steht ein zusätzlicher Keil zur Verfügung,

der auf dem Monochord verschoben werden kann. Der Einfluss der Spannkraft F und der Länge L auf

die Eigenfrequenzen der Saitenschwingung wird mit dem oben beschriebenen Messplatz ermittelt.

Abb. 8 Saite auf einem Resonanzkasten eingespannt (schematisch)

Zur Anregung transversaler Saitenschwingungen zieht man bei diesem Versuch im einfachsten Fall

die Saite in der Mitte kurz nach oben (Anzupfen). Zur Messung der Schallwelle ist das Messmikrofon

über der schwingenden Saite zu befestigen. Die Aufnahme und Auswertung der Schallschwingungen

erfolgt analog zu den bereits oben beschriebenen Messungen. In Abb. 9 sind exemplarisch das

aufgenommene Signal einer Saitenschwingung und das Frequenzspektrum nach der Fourier-

Transformation dargestellt.

10

Abb. 9 Mess-Signal und Fourier-Transformierte einer Saitenschwingung, Grundfrequenz f1 und Frequenzen der

Oberschwingungen f2 bis f5

Außer der Frequenz f1 der Grundschwingung sind auch die Signalanteile einiger Oberschwingungen

zu erkennen. Nach Auswerten dieser Frequenzen unter Berücksichtigung von f1 = fn / n kann der Wert

der Grundfrequenz eindeutig und mit hoher Genauigkeit ermittelt werden. Die Ergebnisse der

Messung zur Grundfrequenz f1 der Saitenschwingung in Abhängigkeit von der Spannkraft F sind in

einem 1f F -Diagramm darzustellen und der mittels linearer Regression erhaltene Wert für den

Anstieg ist mit dem nach Gl. (19) berechenbaren Wert zu vergleichen. Die dazu notwendigen Werte

für die Länge L und den Durchmesser (2r) der Saite sind mit mechanischen Messmitteln zu

bestimmen, die Dichte der Stahlsaiten beträgt = 7850 kgm-3.

Für die Messung der Abhängigkeit der Eigenfrequenz der schwingenden Saite von deren Länge L

steht ein Keil zu Verfügung, mit dem man die Länge durch Fixierung der Saite auf der oberen Kante

dieses verschiebbaren Keils verändern kann. Es ist eine graphische Darstellung f1(L.-1) anzufertigen

und der mittels linearer Regression erhaltene Wert des Anstiegs soll ebenfalls mit dem

berechenbaren Wert verglichen werden.