Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Experimentalphysik E1
http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html Alle Informationen zur Vorlesung unter :
Akustik
10. Feb. 2016
- Eine klassische Welle transportiert Energie aber keine Masse.� Jedes Teilchen schwingt an seinem Ort aber bleibt dort gebunden.
Wellen
- Eine Schwingung, die sich räumlich ausbreitet ist eine Welle.
Longitudinale Wellen:
Transversale Wellen:
Stehende Wellen
A(x,t) = A ⋅sin(ωt − kx) + A ⋅sin(ωt + kx)= A ⋅ sin(ωt)cos(kx ) − cos(ωt)sin(kx)( )
+A ⋅ sin(ωt) cos(kx) + cos(ωt)sin(kx)( )
)cos()sin(2),( kxtAtxA ω⋅=
Knoten bei cos(kx)=0
Bäuche bei cos(kx)=1
Interferenz von hin- und rücklaufender Welle
Wellenfunktion einer stehenden Welle
2λ⋅= nL
λ : Wellenlänge
Stehende Wellen
geschlossene Pfeife
(gedackte Pfeife)offene Pfeife
Obertöne einer Orgelpfeife
HolzpfeifeOrgelpfeife
Erzeugung von Tönen
Versuch: Schwebung
Überlagerung harmonischer Wellen
Hermann v. Helmholtz
(1821-1894) ein Naturgelehrter
Humboldt‘scher Prägung
Helmholtz-Resonanz
VlSck
H0=ω
S0 Fläche der Austrittsöffnung
V eingeschlossenes Luftvolumen
lk Flaschenhalslänge
f-Löcher genähert durch Ellipse mit
a = 4.6 cm, b = 0.4 cm ⇒ lk = 1.53 cm
Geigenkorpus: V = 2220 cm3
2 f-Löcher: S0 = 11.5 cm2
V l
S0
⇒ ωH ≈ 2π 293 Hz
Verfahren zur Demonstration von zweidimensionalen Eigenschwingungen:
Zweidimensionale Eigenschwingungen von Membranen
Chladnische Klangfiguren:
Anstreichen einer dunklen, mit weißem Pulver bestreuten
Platte mit einem Geigenbogen
⇒ Pulver sammelt sich an den Schwingungsknoten
kein Massentransport, nur Energietransport
ebene Welle: ( )kztA −ω⋅=ξ cos
2
21
ξ⋅Δ= mEkin
22
41/ ω⋅⋅ρ⋅=Δ AVE T
kin
( )kztADDEpot −ω⋅⋅⋅=ξ⋅⋅= 222 cos21
21
mΔ⋅ω= 2
=ΔT
pot VE /
€
14⋅ ρ ⋅ A2 ⋅ω 2
( )kztAV −ω⋅ω⋅⋅Δ⋅ρ⋅= 222 sin21
Energietransport
22
21
ωρ ⋅⋅⋅⋅ Avph
22
21
ω⋅⋅ρ⋅= A
Intensität:
Gesamtenergiedichte
VW
e Δ=ρ kinpot EEW +=
Energie, die pro Zeiteinheit durch Einheitsfläche senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung transportiert wird
=⋅= ephvI ρ
€
PSt =IvPh
Strahlungsdruck
Akustik:
€
u =dξdt
= −Aω sin ωt − kz( ) = −u0 sin ωt − kz( )
€
∂p∂z
= −ρ∂ 2ξ∂t 2
€
= ρ ω2 ξ0 cos ωt − kz( )
€
=> p = −ρ ω2 1kξ0 sin ωt − kz( ) + p0 = p0 +Δp0 sin ωt − kz( )
€
= −ρωfλξ0
€
= −vPhρωξ0
€
= −vPhρu0Druck-Amplitude
€
Δp0
€
= −ρωω2π
λξ0
Mittlere Energiedichte der Schallwelle:
€
dWdV
= w =12ρ ω2 ξ0
2
€
=12Δp0
2
ρ vPh2
€
=12ρ u0
2Ekin/V der durch die Schallwelle aus-gelenkten Teilchen
=> Intensität (Energieflussdichte)
€
I = vPhdWdV
=12Δp0
2
ρ vPh
€
=12vPh ρ u0
2
Schall-
druckpegel:
€
Lp =10 log10 Δp ΔpS( )2 = 20 log10 Δp ΔpS( )(Hörschwelle)
∆ps= 2*10-5 Pa
=> Lautstärke (subjektiv!)
€
Lst =10 log10 I(υ) Imin (υ)( )
Geschwindigkeitsamplitude oder Schallschnelle.
[Lst] : Phon
€
= −Z u0
Schallwellen-widerstand (Impedanz)
Der Gehörsinn
In der Evolution mehrfach neu erfunden!
∆α < 0.50
Reflexion und Transmission
Z2Z1
uein, pein
uref, pref
ut, pt
Randbedingungen
in der Grenzfläche :
ut = uein +urefpt = pein + pref
€
=> Z2 ⋅ 1+ r( ) = Z1 − Z1 ⋅ r
Z2 ⋅ r + Z2 = Z1 − Z1 ⋅ r
Schall-Reflexion an Grenzflächen
€
=> Z2 ⋅ut = Z1 ⋅uein − Z1 ⋅uref
Z2 ⋅ uein + uref( ) = Z1 ⋅ uein − Z1 ⋅uref
€
Z2 ⋅ 1+urefuein
#
$ %
&
' ( = Z1 − Z1 ⋅
urefuein
Z2 ⋅ r + Z1 ⋅ r = Z1 − Z2
Iein
Iref
It
€
R =IrefIein
€
=∝uref
2
∝uein2
=urefuein
!
" # $
% & 2
= r 2
€
r =urefuein
mit
Reflexionsgrad: R =Z1 − Z2Z1 + Z2
"
# $ %
& ' 2
Transmissionsgrad: T =1-R Energiererhaltung!
€
r =Z1 − Z2Z1 + Z2
Reflexion und Transmission
Reflexionsgrad: R =Z1 − Z2Z1 + Z2
"
# $ %
& ' 2
Z = vPhρ
Kohärenz und Interferenz
§11.10 Überlagerung von Wellen
Bei der Interferenz zweier phasenstarr gekoppelter Quellen gleicher Frequenz ist für einen festen Ort
€
P r 0( )
Überlagerung zweier harmonischer Wellen
€
ξ t( ) = ξ1 + ξ2
€
= A1 cos ωt − k 1 ⋅ r 0 + ϕ01( ) + A2 cos ωt −
k 2 ⋅ r 0 + ϕ02( )
⇒
€
ξ = A1 cos ωt −ϕ1( ) + A2 cos ωt −ϕ2( )
€
= C cos ωt − ϕ( )Koeffizientenvergleich:
€
C cos ϕ( ) = A1 cos ϕ1( ) + A2 cos ϕ2( )C sin ϕ( ) = A1 sin ϕ1( ) + A2 sin ϕ2( )
€
tan ϕ( ) =A1 sin ϕ1( ) + A2 sin ϕ2( )A1 cos ϕ1( ) + A2 cos ϕ2( )
€
ϕ1
€
ϕ2
Lineare Antwort!
€
= C cos ωt( )cos ϕ( ) + C sin ωt( )sin ϕ( )€
= A1 cos ωt( )cos ϕ1( ) + A1 sin ωt( )sin ϕ1( )
€
+A2 cos ωt( )cos ϕ2( ) + A2 sin ωt( )sin ϕ2( )
mit
€
Δϕ = ϕ1 − ϕ2
⇒
€
C = A12 + A2
2 + 2 A1 A2 cos Δϕ( )
Quadrieren und Addieren
Die Gesamtwelle ist ebenfalls harmonisch und ihre Amplitude hängt von der Phasendifferenz Δφ ab:
Überlagerung zweier harmonischer Wellen
⇒
Für ∆φ = 2m π wird die Amplitude (konstruktive Interferenz).
€
A1 + A2Für ∆φ = (2m+1) π ergibt sich (destruktive Interferenz).
€
A1 − A2
€
I ∝ ξ1 + ξ2( )2
= ξ12 + ξ2
2 + 2 ξ1 ξ2Intensität:
€
= A12 cos2 ωt + ϕ1( ) + A2
2 cos2 ωt + ϕ2( )+ 2 A1 A2 cos ωt + ϕ1( ) cos ωt + ϕ2( )
Additionstheorem:
€
cos 2ωt +ϕ1 +ϕ2( ) + cos ϕ1 −ϕ2( )
€
=> < I > =12
A12 + A2
2( ) + A1 A2 cos Δϕ( )Wenn Messgerät über viele Perioden mittelt
1/2 1/2
Überlagerung zweier harmonischer Wellen
Bei kohärenten Wellen ergibt sich deswegen eine sinusförmige Intensitätsfunktion:
Für inkohärente Wellen ändert sich die Phasendifferenz regellos und es tritt kein stationäres Interferenzmuster auf.
Überlagerung zweier kohärenter Kugelwellen
€
ξ r,t( ) =Arsin ωt − kr( )
Phasendifferenz in P
€
Δϕ =ϕ1 −ϕ2 = k(r1 − r2 )
=> konstruktive �Interferenz für
€
r1 − r2 = n 2πk
=> Hyperbelschar
Interferenz in Ästen mit zunehmendem n weniger ausgeprägt, weil A mit 1/r
abfällt