Eigenschaften ganzrationaler Funktionen · sendem x zu, ebenso für x 2 < x < x 3und x 4 < x. f ist in diesen Intervallen streng xmonoton wachsend. Für x 1 < x < x 2 und für x 3

6

Das kennen Sie schon

– Ableitungen ganzrationaler Funktionen berechnen– Tangentensteigungen berechnen– Nullstellen berechnen– Extremstellen mit dem Vorzeichenwechselkriterium

bestimmen– Gleichungssysteme lösen

k Check-in:

Zur Überprüfung, ob Sie die 

inhaltlichen Voraussetzungen

beherrschen, siehe Seite 376.

Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.   Albert Einstein

production capacity

sales

cost line

sales line

breakeven point

fixed cost line

00

Absatzzahlen: Wann ist der Break-Even-Point erreicht?

Heißluftballon: Wann hat er seine größte Höhe erreicht?

Skisprungschanze: Welche Steigung herrscht am Absprungpunkt?

7

Argumentieren/Kommunizieren

Problemlösen

Stochastik

analytische Geometrie und lineare Algebra

Funktionen und Analysis

Modellieren

Werkzeuge

In diesem Kapitel

– wird die Bedeutung der 2. Ableitung erklärt.– wird die 2. Ableitung verwendet, um Extrem- und

Wendestellen zu berechnen.– lernen Sie, ganzrationale Funktionen zu

vorgegebenen Bedingungen zu bestimmen.– werden Funktionen und Ableitungsfunktionen

untersucht, um Extremwertprobleme im Anwendungskontext zu lösen.

– werden Funktionenscharen untersucht.

x

y

Achterbahn: Wo ist das steilste Gefälle?

Umsatz: Zu welchem Zeitpunkt ist das größte Wachstum zu erwarten?

Erkundungen

8 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

1. Regeln zur Bestimmung von Hoch- und TiefpunktenIm Folgenden sind die Graphen von vier Funktionen sowie von den zugehörigen ersten und zwei-ten Ableitungen abgebildet. Die Graphen der vier Funktionen f1 , f2 , f3 und f4 sind schwarz, die Gr aphen der ersten Ableitungen sind rot und die Graphen der zweiten Ableitungen sind grün. Die Graphen der ersten und zweiten Ableitungen sind jedoch nicht in der gleichen Reihenfolge abgebildet wie die zugehörigen Funktionsgraphen von f1 , f2 , f3 und f4 .a) Was gehört zusammen? Begründen Sie. Skizzieren Sie den Graphen der dritten Ableitung.

–2 –1

–2

–1

O

1

2

1 2

x

y f1

–2 –1

–2

–1

O

1

2

1 2

x

y

f2

–2 –1

–2

–1

O

1

2

1 2

x

yf3

–2 –1

–2

–3

–1

O

1

1 2

x

yf4

–2 –1

–2

–1

O

1

2

1 2

x

y A

–2 –1

–2

–1

O

1

2

1 2

x

y B

–2 –1

–2

–1

O

1

2

1 2

x

y C

–2 –1

–2

–1

O

1

2

1 2

x

y D

–2 –1–1

O

1

2

3

1 2

x

y I

–2 –1–1

O

1

2

1 2

x

y II

–2 –1–1

O

1

2

3

1 2

x

y III

–2 –1–1

O

1

2

3

1 2

x

y IV

b) Bilden Sie mithilfe der Bausteine auf den Kärtchen möglichst viele sinnvolle „Wenn-Dann-Sätze“. Die Bausteine können auch doppelt verwendet werden. Es dürfen auch zwei Bausteine in einem Bedingungssatz verknüpft werden („Wenn … und …, dann …“).Überprüfen Sie Ihre Sätze mithilfe der Beispiele aus Aufgabenteil a).

f’ (x 0 ) > 0

f’ (x 0 ) < 0 f’ (x

f” (x 0 ) > 0

f” (x 0 ) < 0

f” (x 0 ) = 0

f’ (x 0 ) = 0

f’” (x 0 ) > 0

f’” (x 0 ) < 0

f hat an der Stelle x0 ein lokales Maximum.

Der Graph von f’ steigt an der Stelle x0 an.

f’ hat an der Stelle x0 ein lokales Maximum.

f hat an der Stelle x0 ein lokales Minimum.

f’ hat an der Stelle x0 ein lokales Minimum.

Der Graph von f’ fällt an der Stelle x0 .

Der Graph von f fällt an der Stelle x0 .Der Graph von f steigt an der Stelle x0 .

Siehe Lerneinheit 2, 3 und 4 auf den Seiten 16 – 26.

Erkundungen

I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 9

2. Eine möglichst große Schachtel basteln Aus einem quadratischen Blatt mit den Maßen 20 cm × 20 cm soll eine nach oben offene Schach-tel gebastelt werden, die ein möglichst großes Volumen hat. Hierzu werden an den Ecken jeweils Quadrate ausgeschnitten und dann vier Rechtecke nach oben geklappt.AusprobierenNehmen Sie jeweils zu zweit ein Blatt Papier und schneiden Sie ein Quadrat mit den Maßen 20 cm × 20 cm aus. Überlegen Sie nun, welche Maße die Schachtel haben könnte, damit das Volu-men möglichst groß ist. Schneiden Sie die Quadrate entsprechend aus, erstellen Sie die Schachtel und berechnen Sie das Volumen Ihrer Schachtel. Ergebnisse vergleichenTragen Sie die Ergebnisse, die im Kurs berechnet wurden, an der Tafel in Form einer Wertetabelle (vgl. Fig. 1) zusammen. Was vermuten Sie aufgrund der Ergebnisse: Welche Maße müssen die aus-geschnittenen Quadrate haben, damit das Volumen möglichst groß ist?Weitere Berechnungen durchführenErgänzen Sie Ihre Wertetabelle durch weitere Werte und stellen Sie Ihre Ergebnisse grafisch dar. Stellen Sie eine allgemeine Formel für das Volumen der Schachtel auf, bei dem Quadrate mit der Seitenlänge x cm abgeschnitten werden. Berechnen Sie hiermit für welche abgeschnittenen Qua-drate das Volumen der Schachtel maximal wird.

3. Funktionsgleichungen suchenAuftrag 1: Wer findet am schnellsten die Gleichungen?Versuchen Sie zu zweit, innerhalb einer vorgegebenen Zeit möglichst viele der gesuchten Funkti-onsgleichungen zu finden. Kontrollieren Sie Ihre Lösung mit dem GTR. Das Team, das am Ende in der Summe die höchste Belohnung erreicht, hat gewonnen.

Wendepunkt im UrsprungSteile ParabelSymmetrischer Graph

Der Graph einer ganz-rationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung einen Wende-punkt und in T(1|–1) einen Tiefpunkt.

Der Graph einer qua-dratischen Funktion hat in T(4|2) einen Tiefpunkt und verläuft durch den Punkt P(1|4502). Gesucht ist die Normalform.

Der Graph einer ganz-rationalen Funktion vier-ten Grades ist symme-trisch zur y-Achse, hat inH(2|–2) einen Hochpunkt und in T(0|–3) einen Tief-punkt.

Funktion vom Grad 3ParabelGerade

Der Graph einer ganz-rationalen Funktion dritten Grades hat inT(0|0) einen Tiefpunkt und in H(4|4) einen Hochpunkt.

Der Graph einerquadratischenFunktion verläuftdurch die PunkteA(0|2), B(6|–1) undC(1|4).

Eine Gerade verläuft durchdie PunkteA(7,5|5,5) undB(3,5|–4,5).

Auftrag 2a) Vergleichen Sie im Kurs, wie Sie die Funktionsgleichungen gefunden haben.b) Überlegen Sie in Kleingruppen: Würden Sie die gleichen Preisgelder aussetzen oder andere? Begründen Sie.

Siehe Lerneinheit 5, Seite 27

Seitenlänge der ausge-

schnittenen Quadrate

Volu-men

1 cm2 cm3 cm…

Fig. 1

Siehe Lerneinheit 6, Seite 30

Online-Code 7g3cj6 Schieberegler Diese Datei können Sie verwenden, um auf die Ergebnisse zu kommen oder um die Ergebnisse zu über-prüfen.


1 Wiederholung: Ableitung

In der Abbildung sehen Sie die Graphen dreier Funktionen. Béla ist verwirrt: Der rote Graph von g und der grüne Graph von h haben an der Stelle x = 0 ein Extremum. Nun weiß er nicht, ob der blaue Graph von f zur Ableitungsfunktion von g oder von h gehört.Nutzen Sie weitere charakteristische Punkte, um Béla die Zusammenhänge zwischen den drei Graphen zu erklären.

Funktionen und ihre Eigenschaften wurden schon ausführlich betrachtet. Hier sollen zunächst ei-nige wesentliche Begriffe und Regeln der Differenzialrechnung wieder aufgegriffen werden, um sie in den folgenden Lerneinheiten vertiefen und weiterentwickeln zu können.

Mittlere Änderungsrate und DifferenzenquotientDas Änderungsverhalten einer Funktion f auf einem Intervall Ø = [x0 ; x0 + h] wird durch den

Differenzenquotienten f (x 0 + h) – f (x 0 )

___ h beschrie-

ben. Man kann damit die Steigung der Sekan-te durch die Punkte P (x0 | f (x0) ) und Q (x0 + h | f (x0 + h)) berechnen. Diese entspricht bei Anwendungen der mittleren Änderungsrate der zugehörigen Größe.

Momentane Änderungsrate und AbleitungStrebt der Differenzenquotient zwischen den Stellen x 0 und x 0 + h für h ¥ 0 gegen einen Grenz-wert, dann heißt dieser Ableitung von f an der Stelle x 0 .

Man schreibt f ’ (x 0 ) = lim h ¥ 0

f (x 0 + h) – f (x 0 )

___ h . f heißt dann an der Stelle x0 differenzierbar.

Die Gerade durch den Punkt P (x 0 | f (x0)) mit der Steigung f’ (x 0 ) ist die Tangente im Punkt P. Der Graph von f hat an der Stelle x 0 die Stei-gung f’ (x 0 ).Bei Anwendungen wird die Ableitung auch als momentane bzw. lokale Änderungsrate der zu-gehörigen Größe bezeichnet. Die Ableitungsfunktion f’ ordnet jeder Stelle x0 , an der f differenzierbar ist, f’ (x0) zu. Die Bestim-mung eines Funktionsterms für f’ mithilfe des Differenzenquotienten ist aufwendig. Mit seiner Hilfe erhält man aber die folgenden Ableitungsregeln:PotenzregelFür eine Funktion f mit f (x) = xn, n * N, gilt: f’ (x) = n ∙ xn – 1.

FaktorregelFür eine Funktion mit f (x) = r ∙ g (x), r * R, gilt: f’ (x) = r ∙ g’ (x).

SummenregelFür eine Funktion f mit f (x) = k (x) + h (x) gilt: f’ (x) = k’ (x) + h’ (x).

Graphen von Funktionen enthalten oft Abschnitte, in denen mit wachsenden x-Werten die zuge-hörigen Funktionswerte nur zu- oder abnehmen. Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und f’ werden im Folgenden deutlich.

–3 –2 –1

–2

–1

O

1

2

1 2 3 4

x

yg

f

h

Fig. 1

P h

f

x0

x

y

O x0 + h

Q

f (x0 + h) – f (x0)

lim h ¥ 0

f (x0 + h) – f (x0)

_ h = f ’ (x0).

Sprich: Limes für h gegen null von … Limes (lat.): die Grenze

Fig. 2

P h

f

x0

x

y

O x0 + h

Q

f (x0 + h) – f (x0)

Tangente

Die Potenzregel gilt auch für rationale Exponenten. Nachweis siehe S. 141.

Für h < 0 ist Ø = [x 0 + h; x 0 ].


Die Werte von f nehmen für x < x 1 mit wach-sendem x zu, ebenso für x 2 < x < x 3 und x 4 < x. f ist in diesen Intervallen streng monoton wachsend. Für x 1 < x < x 2 und für x 3 < x < x 4 nehmen die Werte von f ab. f ist in diesen Intervallen streng monoton fallend (vgl. Fig. 1). x 1 , x 2 , x 3 und x 4 sind die Extremstellen von f; dort ändert sich jeweils das Monotonieverhal-ten von f.Betrachtet man den Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion f’ (vgl. Fig. 2) fällt auf:Ist f’ (x) > 0 für x * Ø, dann ist f streng monoton wachsend in Ø; ist f’(x) < 0 für x * Ø, dann ist f streng monoton fallend in Ø (Monotoniesatz).

Hieraus ergibt sich das Vorzeichenwechselkriterium für Extremstellen:So hat f beispielsweise bei x 1 ein lokales Maximum, denn f’ hat an dieser Stelle eine Nullstelle und einen Vorzeichenwechsel (VZW) von + nach –.Entsprechend hat f an der Stelle x 2 ein lokales Minimum, denn f’ hat an dieser Stelle eine Nullstel-le und einen Vorzeichenwechsel von – nach +.

Beispiel 1 Interpretation einer AbleitungEin Wagen bremst ab. t ist die Zeit in Sekunden, f (t) gibt die zurückgelegten Meter an.a) Bestimmen Sie mithilfe des Graphen (vgl. Fig. 3) die mittlere Änderungsrate von f auf dem In-tervall [1; 3] und die momentane Änderungsrate von f für t = 1.b) Interpretieren Sie die Aussagen f (2) = 16 und f’ (2) = 4.

º Lösung: a) Am Graphen kann man ablesen: f (3) = 18 und f (1) = 10.

Also ist f (3) – f (1)

__ (3 – 1) m _ s = 4 m _ s . Um die momentane Änderungsrate an der Stelle t = 1 zu bestimmen,

benötigt man f’ (1). Durch Anlegen der Tangente erhält man näherungsweise: f’ (1) ≈ 8.b) f (2) = 16 bedeutet, dass der Wagen nach 2 Sekunden 16 Meter zurückgelegt hat. f’ (2) = 4 bedeutet, dass der Wagen bei Sekunde 2 eine Geschwindigkeit von 4 m

_ s hat.

Beispiel 2 Die Ableitung bestimmen und ihren Graphen skizzierena) Gegeben ist der Graph einer Funktion f (Fig. 4). Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungs-funktion und erläutern Sie Ihr Vorgehen.b) d Die Funktionsgleichung von f lautet f (x) = 4 x3 – 3 x. Bestimmen Sie den Term der Ablei-tungsfunktion f’ mithilfe geeigneter Ableitungsregeln. Kontrollieren Sie mithilfe des GTR, ob der Graph von f’ dem von Ihnen skizzierten Graphen aus a) entspricht.

º Lösung: a) Die Steigung von f ist für x < – 0,5 sowie für x > 0,5 positiv; der Graph von f’ muss also in diesen beiden Intervallen oberhalb der x-Achse verlaufen. Zwischen – 0,5 und 0,5 ver- läuft der Graph der Ableitungsfunktion f’ unterhalb der x-Achse, weil die Steigung von f in diesem Intervall negativ ist. Bei x = 0 beträgt die Steigung des Graphen von f etwa – 3. Eine Skizze mit einem möglichen Verlauf des Graphen von f’ zeigt Fig. 5.b) f’ (x) = 12 x2 – 3 (Summen-, Potenz- und Faktorregel).Der GTR zeigt den Graphen von f’ (Fig. 6).

> 0 = 0 < 0 = 0 > 0 = 0 < 0 = 0 > 0

Fig. 1

Fig. 2

–4 –2 O 2 4

y

xx1 x2 x3 x4

–4 –2 O 2 4

y

xx1 x2 x3 x4

f

2 4 6

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Ot

f(t)Tangente

Fig. 3

–1

–1

O

1

1

x

y

Fig. 4

Fig. 6

–1

–2

–3

–1

O

1

1

x

y

Fig. 5

Vorsicht: Die Umkehrung des Mo-notoniesatzes gilt nicht immer (Bsp. f (x) = x3).


Beispiel 3 Extrem- und Sattelpunkte bestimmena) Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 0,5 x4 + x3 + 1. Bestimmen Sie Extrem- und Sattel-punkte von f.b) d Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mit dem GTR.

º Lösung: 1. Ableitung und ihre Nullstellen berechnen. f’ (x) = 2 x3 + 3 x2 = 0 Notwendige Bedingung: f’ (x) = 0 2 x3 + 3 x2 = 0 | Ausklammern x2 (2 x + 3) = 0 | Ein Produkt ist dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, also x2 = 0 oder 2 x + 3 = 0, das heißt x2 = 0 oder x = – 1,5.Mögliche Extremstellen von f sind daher x1 = – 1,5 und x2 = 0.2. Hinreichende Bedingung: f’ (x) = 0 und VZW von f’ an den Nullstellen x1 und x2 . Um diese Bedingung zu prüfen, genügt es bei ganzrationalen Funktionen, einen Wert aus dem je-weiligen Intervall in die erste Ableitung einzusetzen.

Intervall x < – 1,5 – 1,5 < x < 0 x > 0

z. B. x 0 – 2 – 1,5 – 1 0 1

f’ (x 0 ) – 4 < 0 0 1 > 0 0 5 > 0

Steigung Graph von f

An der Stelle x 1 = – 1,5 liegt ein Vorzeichenwechsel von – nach + vor, die Funktion besitzt also in T (– 1,5 | f (– 1,5)) einen Tiefpunkt. Da an der Stelle x = 0 kein VZW vorliegt, ist der Punkt S (0 | f (0)) ein Sattelpunkt.Das Vorzeichen von f’ lässt dich auch direkt aus dem Funktionsterm von f’ folgern:

VZ des 1. Faktors x2 VZ des 2. Faktors: 2 x + 3 VZ des Produkts: x2 · (2 x + 3) = f’ (x)

x < – 1,5 > 0 < 0 < 0

– 1,5 < x < 0 > 0 > 0 > 0

x > 0 > 0 >0 > 0

3. y-Koordinaten bestimmenf (– 1,5) = 0,5 · (– 1,5)4 + (– 1,5)3 + 1 = 0,15625, also ist T (– 1,5 | 0 ,15625) ein Tiefpunkt von f.f (0) = 1, also ist S (0 | 1 ) ein Sattelpunkt von f.b) siehe Fig. 1.

Aufgaben

1 a) f (t) (t in Jahren, f (t) in Millionen) beschreibt die Zahl der Einwohner in Deutschland seit dem Jahr 1995.

Interpretieren Sie f (5) = 82,0 und f (6) – f (5,5) _ 6 – 5,5 ≈ – 0,1. Geben Sie jeweils die Einheit an.

b) T (t) (t in Minuten, T (t) in °C) beschreibt die Temperatur einer Schokolade bei ihrer Herstellung ab dem Beobachtungsbeginn t = 0. Was können Sie ausgehend von den folgenden Angaben über

den Vorgang des Temperierens sagen? T (1) = 25; T (10) = 31; T (5) – T (3)

__ 5 – 3 = 1.

c) v (t) (t in Sekunden, v (t) in Metern pro Sekunde) beschreibt die Geschwindigkeit eines Körpers ab dem Startzeitpunkt t = 0. Interpretieren Sie v (5) = 25 und v’ (8) = 16. Geben Sie jeweils die Einheiten an. Was bedeutet v’ (t)?

2 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = – 0,25 x2 (x – 2) (x + 1) + 1 sowie ihr Graph (Fig. 2).a) Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f’ und erläutern Sie Ihr Vorgehen.b) d Bestimmen Sie den Term von f’ rechnerisch. Kontrollieren Sie mit dem GTR, ob der Graph von f’ dem von Ihnen skizzierten Graph aus a) entspricht.

Fig. 1

0 Weitere Aufgaben zum Üben finden Sie auf Seite 41 (Aufgabe 1 a und Aufgabe 2).

–2 –1–1

O

1

2

21

x

y

Fig. 2


3 a) Ordnen Sie jedem Funktionsgraphen f den Graphen seiner Ableitungsfunktion f’ zu.

4

2

2

x

y

O –2

–2

(A)

f (x) = – 4 _ 3 x3 + 8 _ 3 x2 – 1

4

2

x

y

O –2

–2

–4

2

f (x) = (x + 1)2 + 1

(B)

4

2

2

x

y

O –2

–2

–4

(C)

f (x) = – 2 cos (x)

4

2

2

x

y

O –2

–2

(D)

f (x) = 11 _ 45 x4 – 89

_ 54 x2 + 1

4

2

2

x

y

O –2

–2

–4

(1) f’

4

2

2

x

y

O –2

–2

–4

(2)

f’

4

2

2

x

y

O –2

–2

–4

(3)

f’

4

2

2

x

y

O –2

–2

–4

(4) f’

b) d Bestimmen Sie die Gleichung von f’ rechnerisch und kontrollieren Sie mit dem GTR, ob Sie die Zuordnung richtig vorgenommen haben.

4 An welchen Stellen hat der Graph der Funktion f mit f (x) = 2 x2 + 2a) die Steigung m = 4, b) dieselbe Steigung wie der Graph von g mit g (x) = x3 – 4 x – 1?

5 Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f (x) = 2 x2 – 6 x + 6,5, g (x) = x3 – 8 x2 + 16 x und h (x) = x4 – 5 x2 + 4.a) Bilden Sie jeweils die erste Ableitung.b) Bestimmen Sie rechnerisch die Extrempunkte der Graphen von f, g bzw. h. Skizzieren Sie an-schließend den groben Verlauf der Graphen.c) d Überprüfen Sie Ihre Lösungen mit dem GTR.

6 Gegeben ist der Graph der Ableitungs-funktion g’ einer Funktion g (Fig. 1).Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Entscheidung.a) g hat ein Extremum bei x = 0.b) g hat einen Sattelpunkt bei x = 2.c) g hat im Bereich -2 < x < 3 zwei Extrem- stellen.d) g ist für – 1 < x < 3 monoton steigend.e) Der Graph von g hat auf dem Intervall [– 2; 3] einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt.

7 Die Temperaturen an einem Frühlingstag lassen sich für 0 < t < 24 (in Stunden) näherungs-weise durch die Funktion f mit f (t) = – 0,01 t3 + 0,32 t2 – 2,08 t + 6,84 (in °C) darstellen.a) An welcher Stelle hat die Tangente an den Graphen von f die Steigung 1? Was bedeutet dies im angegebenen Sachzusammenhang?b) Um welche Uhrzeit wird die Höchst- bzw. die Tiefsttemperatur des Tages erreicht?

–3 –2 –1 O

1

2

3

4

1 2 3 4

x

y

g’

Fig. 1

0 Eine weitere Aufgabe zum Üben finden Sie auf Seite 41 (Aufgabe 1 b, c).


8 Geben Sie den Term einer Funktion f an, für den gilt:a) Der Graph von f hat überall eine positive Steigung.b) Die Ableitung von f wird an genau einer Stelle 0.

Zeit zu überprüfen

9 Ein Herd wird zum Backen vorgeheizt, bis er die vorgesehene Endtemperatur erreicht hat. Die Temperatur im Herd (in °C) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Minuten) kann durch eine Funk-tion T beschrieben werden.a) Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von T. b) Welches Vorzeichen hat T’?c) Interpretieren Sie die Aussagen T (5) = 80 und T’ (10) = 9.

10 Gegeben ist die Funktion f mit

f (x) = 1 _ 8 x2 (x + 3) (x – 2) sowie ihr Graph.

a) Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungs-funktion und erläutern Sie Ihr Vorgehen.b) Bestimmen Sie den Funktionsterm der Ab-leitungsfunktion mithilfe geeigneter Ablei-tungsregeln. Kontrollieren Sie mithilfe des GTR, ob der Graph von f’ dem von Ihnen skizzierten Graphen aus a) entspricht.

11 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1 _ 3 x3 – 3 x2 + 8 x + 1.a) Bestimmen Sie f ’ (4).b) Bestimmen Sie die Punkte, in welchen der Graph von f die Steigung m = 3 hat.c) Geben Sie alle x an, für die der Graph von f eine positive Steigung hat.

12 Die Funktionen f und g mit g (x) = f (x) + c; c * R haben die gleiche Ableitung. Wie liegen die Graphen der beiden Funktionen zueinander?

13 Gilt immer – gilt nie – es kommt darauf anEntscheiden Sie sich bei jeder Aussage für eine der Optionen und begründen Sie Ihre Wahl.a) Wenn f auf einem Intervall Ø streng monoton fallend ist, ist f’ (x) < 0 für x aus Ø.b) Eine Funktion zweiten Grades hat genau ein Extremum.c) Eine Funktion dritten Grades hat genau zwei Extremstellen.d) Wenn die Funktion f an einer Stelle eine waagerechte Tangente hat, hat sie dort ein Extremum.e) f ist eine ganzrationale Funktion. Der Grad von f’ ist um 1 geringer als der von f.f) Die Anzahl der Extremstellen einer Funktion entspricht der Anzahl der Nullstellen ihrer Ablei-tung.

14 d Die Temperatur T (in °C) von Lebensmitteln, welche in einen kühlen Lagerraum gestellt

werden, wird durch die Funktion T mit T (t) = å20 __ 

t2 + 2 t + 25 ; t º 0 (t in Stunden) modelliert.

a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate während der ersten beiden Stunden. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.b) Bestimmen Sie mit dem GTR die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t = 2. Interpretieren Sie auch dieses Ergebnis.

–4 –3 –2 –1–1

–2

O

1

2

1 2 3 4 5

x

y

f

Fig. 1

Lösungen zu Zeit zu überprüfen Seite 403.


15 d Bläst man einen kugelförmigen Luftballon mit konstantem Luftstrom auf, so wächst der Radius des Ballons zu Beginn schneller als am Ende. Die Funktion r (V) gibt ungefähr die

Abhängigkeit des Radius (in Metern) vom Volumen (in Litern) an: r (V) = 3 900000000 3 V

_ 4 π .

a) Zeichnen Sie die Graphen von r und r ’ mithilfe des GTR.b) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate für r im Intervall [0,5; 1] und [1; 1,5]. Interpretieren Sie das Ergebnis.c) Skizzieren Sie mithilfe des GTR die Tangente an der Stelle V0 = 1 und lesen Sie daraus die momentane Änderungsrate an dieser Stelle ab.

16 d In einer schwäbischen Kleinstadt findet jährlich ein Rennen mit getunten Bobbycars statt. Ein vergleichbarer Verlauf des Rennens kann näherungsweise durch die Funktion f mit f (t) = 0,0003 t4 – 0,024 t3 + 0,605 t2 angegeben werden, wobei 0 ≤ t ≤ 40 die Zeit in Sekunden ist, f (t) die zurückgelegten Meter.a) Zu welchem Zeitpunkt erreicht das Bobbycar seine Höchstgeschwindigkeit?b) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit in der zweiten Hälfte des Rennens. Geben Sie sie in km

_ h an.

c) Betrachten Sie den Graphen der Ableitungsfunktion. Nach wie viel Metern hat die Strecke ver-mutlich ihre schärfste Kurve?

17 Der schwarz gezeichnete Graph ist vorgegeben. Der rote Graph soll den Graphen der ersten Ableitung, der blaue Graph den der zweiten Ableitung darstellen. Untersuchen Sie, wo dies zu-trifft bzw. nicht zutrifft.a) b) c)

18 In Fig. 1 ist jeweils ein Graph der ersten Ableitungsfunktion f’ gegeben.a) Bestimmen Sie jeweils näherungsweise die Extremstellen von f im dargestellten Bereich mit-hilfe von Fig. 1. Handelt es sich um Hoch- oder Tiefpunkte?b) Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von f.

–3 –2 –1–1

–2

O

1

2

1 2

x

y(1)

–3 –2 –1–1

–2

O

1

2

1 2

x

y(2)

–3 –2 –1–1

–2

O

1

2

1 2

x

y(3)

Fig. 1

19 Auf die Einheit kommt es an – von der Funktion zur AbleitungIn vielen Sachzusammenhängen wird einer Zeit-, Längen- oder Höhenangabe eine andere Größe zugeordnet. Aus diesen Zuordnungen ergibt sich auch die Einheit der jeweiligen Änderungsrate. Sichten Sie verschiedene Kontextaufgaben und erstellen Sie eine Tabelle, die die verschiedenen Einheiten von Funktion und Ableitungsfunktion zuordnet.

V Kugel = 4 _ 3 π r3

$ Eine weitere Aufgabe zum Vertiefen finden Sie auf Seite 44 (Auf-gabe 18).


2 Die Bedeutung der zweiten Ableitung

Rainer behauptet: „Ich kann an der 2. Ablei-tung erkennen, ob eine Parabel vom Typ f (x) = a · x2 nach oben oder nach unten geöffnet ist.“Untersuchen Sie, ob er Recht hat, und be-schreiben Sie die Zusammenhänge.

Geometrisch entspricht die erste Ableitung der Steigung des Funktionsgraphen. Auch für die zweite Ableitung gibt es eine geometrische Interpretation. Der in Fig. 1 dargestellte Teil des Graphen einer differenzierbaren Funktion f verläuft für x < x0 linksgekrümmt. (Wenn der Graph eine Straße von oben betrachtet darstellen würde und man diese Straße mit einem Auto von links nach rechts entlang führe, dann würde man das Lenkrad in diesem Abschnitt (x < x0) nach links drehen.)In diesem Intervall werden die Tangentenstei-gungen und damit die Werte f’ (x) der ersten Ableitung von f mit zunehmenden x-Werten größer.Für x > x0 verläuft der Graph rechtsgekrümmt, die Werte f’ (x) der Ableitung von f werden mit zunehmenden x-Werten kleiner. (vgl. Fig. 1, Graph von f’)

Das Krümmungsverhalten des Graphen von f lässt sich offensichtlich mithilfe des Änderungs-verhaltens der ersten Ableitung, also mithilfe der zweiten Ableitung, bestimmen:

Die Funktion f ist auf einem Intervall Ø definiert und sowohl die Funktion f als auch ihre ers-te Ableitung f’ sind differenzierbar.Wenn im Intervall Ø f” (x) > 0 gilt, dann ist der Graph von f in Ø linksgekrümmt.Wenn im Intervall Ø f” (x) < 0 gilt, dann ist der Graph von f in Ø rechtsgekrümmt.

Damit der Graph einer Funktion f in einem Intervall linksgekrümmt ist, muss die zweite Ableitung aber nicht im gesamten Intervall positiv sein. Folgendes Beispiel zeigt, dass der Graph auch links-gekrümmt in einem Intervall sein kann, wenn es Stellen gibt, wo die zweite Ableitung null wird.Der Graph der Funktion f mit f (x) = x4 ist linksgekrümmt, da die Ableitung f’ mit f’ (x) = 4 x3 streng monoton zunehmend ist. f” mit f” (x) = 12 x2 ist aber nicht für alle x aus R positiv, denn es gilt: f” (0) = 0.

y

yf’’ (x) > 0

f’ wächst streng monoton.

Der Graph von f ist links-gekrümmt.

f’’ (x) < 0

f’ nimmt streng monoton ab.

Der Graph von f ist rechtsgekrümmt.

Fig. 1

f” (x) > 0 (positiv)

linksgekrümmt

f” (x) < 0 (negativ)

rechtsgekrümmt

I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 17Lösungen zu Zeit zu überprüfen Seite 403.

Beispiel Intervalle mit Links- und RechtskrümmungBestimmen Sie die Intervalle, auf denen der Graph der Funktion f mit f (x) = x3 – 3 x2 + 1 links- bzw. rechtsgekrümmt ist. Kontrollieren Sie mit dem GTR Ihre Ergebnisse.

º Lösung: f’ (x) = 3 x2 – 6 x und f” (x) = 6 x – 6 = 6 (x – 1).Es gilt: f” (x) < 0 für x < 1; der Graph von f ist rechtsgekrümmt für x < 1;f” (x) > 0 für x > 1; der Graph von f ist linksgekrümmt für x > 1.In Fig. 1 sieht man die Graphen von f (blau), f’ (rot) bzw. f” (schwarz).

Aufgaben

1 Lesen Sie die Intervalle ab, in denen der Graph von f linksgekrümmt bzw. rechtsgekrümmt ist.

f

2

2 4

x

O

y

–4–2

–2 6

1 2

x

O

y

–1–1 3

2

2 4

x

O

y

–2–2 6

–2

–28

f f4 1 4a) b) c)

2 Fig. 2 zeigt den Graphen einer Funktion f.a) Geben Sie mithilfe der Stellen x1 bis x7 dieIntervalle an, in denen der Graph von f linksge-krümmt bzw. rechtsgekrümmt ist.b) Der in Fig. 2 dargestellte Graph der Funkti-on f besitzt die Gleichung f (x) = 1 _ 12 x4 – 9 _ 8 x2. Überprüfen Sie Teil a) rechnerisch.

3 Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten der Graphen von f.a) f (x) = – x2 + 2 x + 4 b) f (x) = x3 – x c) f (x) = x3 – 3 x2 –9 x – 5

d) f (x) = x4 + x2 e) f (x) = x4 – 6 x2 f) f (x) = 1 _ 4 x4 + 3 x2 – 2

g) f (x) = 1 _ 3 x6 – 20 x2 h) f (x) = 1 _ 20 x5 + 1 _ 2 x4 + 3 _ 2 x3 i) f (x) = (x + 2)2 · (x – 1)2 – 3

4 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Beschreiben Sie, welche Vorzeichen die erste und zwei-te Ableitung im dargestellten Bereich haben. Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von f’ und f”.

–2 –1–1

O

1

2

3

21

x

ya)f

–2 –1–1

O

1

2

3

21

x

y

f

b)

–2 –1–1

O

1

2

3

21

x

y

f

c)

–2 –1–1

O

1

2

3

21

x

y

f

d)


5 a) In welchen Intervallen ist der Graph in Fig. 3 links- bzw. rechtsgekrümmt?

b) Zu dem Graphen der Funktion f in Fig. 3 gehört die Gleichung f (x) = 1 _ 3 x3 – x2 – x + 1 2 _ 3 .

Überprüfen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten des Graphen von f und vergleichen Sie Ihre Lösung mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a).

Fig. 1

Fig. 2

Kontrollieren Sie mit dem GTR, ob Ihre Ergebnisse stimmen können.

0 Eine weitere Aufgabe zum Üben befindet sich auf Seite 41 (Auf-gabe 3).

–2–1

O

1

2

42

x

y

Fig. 3


6 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Entscheiden Sie, ob f (x), f’ (x) und f” (x) in den mar-kierten Punkten positiv, negativ oder null sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

D

A

C

B

x

y

O

x

y

O

x

y

O

A

C

B

E

F

D

A

C

B

a) b) c) ff

f

7 In Fig. 1 ist der Graph der Funktion f gege-ben. An welchen der markierten Stellen ista) f (x) am größten bzw. am kleinsten,b) f’ (x) am größten bzw. am kleinsten,c) f” (x) > 0 bzw. f” (x) < 0?Begründen Sie jeweils.

Fig. 1

8 Skizzieren Sie nur mithilfe Ihres Wissens über Potenzfunktionen und Transformationen die Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = (x + 1)3 – 1 und g (x) = (x – 1)4 + 2. Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten der Graphen von f und g.

9 Die folgenden Aussagen sind alle falsch. Finden Sie geeignete Gegenbeispiele, um die Aussa-gen zu widerlegen.a) Wenn f’ streng monoton zunehmend ist, dann ist auch f streng monoton zunehmend.b) Wenn der Graph von f rechtsgekrümmt in Ø ist, dann gilt für alle x aus Ø: f” (x) < 0.c) Wenn f’ (x0) = 0 ist, dann gilt: f” (x0) > 0 oder f” (x0) < 0.

10 Gilt immer – gilt nie – es kommt darauf anEntscheiden Sie sich bei jeder Aussage für eine der Optionen und begründen Sie Ihre Wahl.a) Wenn der Graph von g rechtsgekrümmt ist und der Graph von f linksgekrümmt ist, dann ist der Graph der Funktion h mit h (x) = g (x) + f (x) weder links- noch rechtsgekrümmt.b) Wenn der Graph von g rechtsgekrümmt ist und der Graph von f auch rechtsgekrümmt ist, dann ist der Graph von h mit h (x) = g (x) · f (x) linksgekrümmt.c) Wenn der Graph von g linksgekrümmt ist, dann ist der Graph der Funktion h mit h (x) = 2 · g (x) ebenfalls linksgekrümmt.

Zeit zu wiederholen

11 Lineare Gleichungen lösen Lösen Sie die folgenden Gleichungen.

a) x + 5 = 3 x – 2 b) 1 _ 2 x + 3 _ 4 = 1 _ 3 x + 2 c) – 4 x – 3 _ 5 = – 0,2 x – 0,7

d) 4 · (x + 2) = 2 e) 2 – (3 x – 2) = 5 f) 1 _ 2 · ( 1 _ 4 x – 1 _ 3 ) = x – 0,5

12 Quadratische Gleichungen lösenLösen Sie die folgenden Gleichungen. a) x2 + 7 x – 8 = 0 b) 0,5 x2 + 1,5 x – 5 = 0 c) x2 – 5 x – 2 = – x2 + 1

d) 2 x2 + 4 x + 2 = 0 e) x2 + x + 20 = 0 f) 1 _ 3 x2 + 1 _ 6 x – 1 _ 6 = 0

f

Lösungen zu Zeit zu wiederholen Seite 403.


3 Kriterien für Extremstellen

Die zu den abgebildeten Graphen passenden Funktionen haben bei x = 2 ein lokales Mini-mum bzw. ein lokales Maximum. Skizzieren Sie jeweils die Graphen der zugehörigen ersten und zweiten Ableitung in der Nähe von x = 2 und beschreiben Sie die Unterschiede zwi-schen den Graphen von f’ bzw. f”. Erklären Sie, warum sich die zweiten Ableitun-gen der beiden Funktionen bei x = 2 unter-scheiden müssen. Prüfen Sie mit dem GTR an weiteren Beispielen, ob dort die gleichen Zu-sammenhänge zu beobachten sind.

Um Hoch- und Tiefpunkte des Graphen einer Funktion f zu bestimmen, wurde bisher das Vorzei-chenwechselkriterium angewendet. Die erste Ableitung f’ einer Funktion f wurde auf einen Vorzei-chenwechsel an ihren Nullstellen überprüft. Die Anwendung dieses Kriteriums ist oft umständlich. Im Folgenden wird nun ein weiteres Kriterium zur Bestimmung von Extremstellen erarbeitet.

In Fig. 1 erkennt man: Ist f’ (x0) = 0 und der Graph von f in der Umgebung von x0 rechtsge-krümmt, so hat f an der Stelle x0 ein lokales Maximum. Ist f’ (x 2 ) = 0 und der Graph von f in der Umgebung von x2 linksgekrümmt, so hat f an der Stelle x2 ein lokales Minimum.Da das Krümmungsverhalten mittels der zwei-ten Ableitung bestimmt werden kann, hat man ein zweites Kriterium zur Bestimmung von Ext-remstellen gefunden.

Hinreichende Bedingung zur Bestimmung von Extremstellen mithilfe der zweiten Ableitung Die Funktion f ist auf einem Intervall Ø definiert und sowohl die Funktion f als auch ihre erste Ableitung f’ sind differenzierbar.Wenn f’ (x0) = 0 und f” (x0) < 0 ist, dann hat f an der Stelle x0 ein lokales Maximum f (x0).Wenn f’ (x0) = 0 und f” (x0) > 0 ist, dann hat f an der Stelle x0 ein lokales Minimum f (x0).

Gilt f’ (x0) = 0 und f” (x0) = 0 , so wendet man das Vorzeichenwechselkriterium an:Wenn f’ an der Stelle x0 einen VZW von + nach – hat, dann hat f an der Stelle x0 ein lokales Maximum f (x0). Wenn f’ an der Stelle x0 einen VZW von – nach + hat, dann hat f an der Stelle x0 ein lokales Minimum f (x0).Wenn f’ an der Stelle x0 keinen VZW hat, dann hat f an der Stelle x0 einen Sattelpunkt S (x0 | f (x0)).

–1

O

1

2

3

4

2 3 41

x

y

–1

O

1

2

3

4

2 3 41

x

y

x

y

O

f ’(x) > 0 f ’(x1 ) = 0

f ’(x2 ) = 0

f ’(x0 ) = 0

x0

x1 x2

f ’(x) > 0 f ’(x) < 0

f ’(x) < 0

Hochpunkt

Tiefpunkt

Fig. 1

Fig. 2

f (x) = x4, T (0 | 0) f’ (0) = 0 ist erfülltf” (0) ≠ 0 ist nicht erfüllt, VZW-Kriterium ist an-wendbar.

Notwendige Bedingung fürExtremstellen:f’ (x) = 0

Hinreichende Bedingung fürExtremstellen:f’ (x) = 0 und f” (x) ≠ 0


Beispiel Bestimmen aller Extremwerte

Untersuchen Sie die Funktion f mit f (x) = – 1 _ 8 x4 – 1 _ 3 x3 + 1 auf Extremwerte.

º Lösung: f’ (x) = – 1 _ 2 x3 – x2; f” (x) = – 3 _ 2 x2 – 2 x.

f’ (x) = 0 liefert x2 · ( – 1 _ 2 x – 1 ) = 0. Somit sind x 1 = – 2 und x 2 = 0 mögliche Extremstellen.

Untersuchung für x 1 = – 2:Es ist f” (– 2) = – 2 < 0; somit liegt bei H (– 2 | f (– 2)) ein Hochpunkt vor.

y-Koordinate von H bestimmen: f (– 2) = – 1 _ 8 · (– 2)4 – 1 _ 3 · (– 2)3 + 1 = – 2 + 8 _ 3 + 1 = 5 _ 3 =1 2 _ 3 .

Also ist H ( – 2 | 1 2 _ 3 ) ein Hochpunkt des Graphen von f.Untersuchung für x 2 = 0:Da f” (0) = 0 ist, wird f’ auf Vorzeichenwechsel an der Stelle x 2 = 0 untersucht:

– 2 < x < 0 x = 0 x > 0

z. B. x 0 – 1 0 1

f’ ( x 0 ) – 0,5 < 0 0 – 1,5 < 0

Steigung Graph von f

Da kein VZW vorliegt, ist der Punkt S (0 | f (0)) bzw. S (0 | 1 ) ein Sattelpunkt.

Aufgaben

1 Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen der Funktion f mithilfe der ersten und zweiten Ableitung.

a) f (x) = x3 – 3 x2 b) f (x) = x3 – 12 x c) f (x) = 1 _ 3 x3 – 3 _ 2 x2 + 1

d) f (x) = – x3 + 6 x2 e) f (x) = – 1 _ 6 x3 + 2 x f) f (x) = 1 _ 3 x3 + 4 x2 – 9 x

2 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f sowie die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f mithilfe der ersten und zweiten Ableitung. Skizzieren Sie anschließend den Graphen von f mithilfe dieser Information. Kontrollieren Sie Ihre Lösungen mit dem GTR.a) f (x) = x3 – 4 x2 + 3 x b) f (x) = – x3 + x2 – 3 x c) f (x) = 4 x4 – 4 x2

d) f (x) = 1 _ 3 x4 – 1 _ 3 x3 – x2 e) f (x) = – (x – 2)3 f) f (x) = (x2 – 1)2

g) f (x) = (x2 – 2) (x2 – 4) h) f (x) = x · (x2 – 4) i) f (x) = x (x + 6) (x – 1)

3 Nach starken Regenfällen im Gebirge steigt der Wasserspiegel in einem Stausee an. Die in den ersten 24 Stunden nach den Regen-fällen festgestellte Zuflussgeschwindigkeit kann näherungsweise durch die Funktion f mit f (t) = 0,25 t3 – 12 t2 + 144 t beschrieben werden (t in Stunden, f (t) in m

3

_ h ).

Berechnen Sie die Nullstellen von f sowie die Koordinaten der Extrempunkte von f und er-läutern Sie die Bedeutung der Ergebnisse.

4 Gegeben ist der Graph einer Ableitungsfunktion f’ (vgl. Fig. 1). Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch? Begründen Sie.a) f hat im abgebildeten Bereich zwei Extremstellen.b) Die zweite Ableitung von f hat zwei Nullstellen.c) Es gilt f” (0) > 0.d) Der Graph von f hat an der Stelle x = 0 einen Hochpunkt.

Um das Vorzeichen der Ableitung zwischen den Nullstellen der Ableitung zu bestimmen, reicht es bei ganzrationalen Funk-tionen einen x-Wert in den jeweiligen Intervallen zu betrachten.

0 Eine weitere Aufgabe zum Üben befindete sich auf Seite 41 (Auf-gabe 4).

–0,5

O

0,5

1,0

1,5

2 31

x

y

f’

Fig. 1


5 Der Graph der Funktion f ist im Intervall Ø = [–3; 3] gezeichnet. Was lässt sich über das Vorzei-chen der ersten und zweiten Ableitung in Ø aussagen? Begründen Sie.

a)

f 2

y

2 O –2

–2

–4

x

4

2

y

2 O –2

–2

–4

x

4

2

y

2 O –2

–2

–4

x

4

b) c)

f f


6 Bestimmen Sie die Hoch- bzw. Tiefpunkte des Graphen der Funktion f.a) f (x) = 2 x3 – 3 x2 + 1 b) f (x) = 2 x3 – 9 x2 + 12 x – 4 c) f (x) = (x – 2)2

7 Die Funktion f mit f (t) = 0,25 t3 – 3 t2 + 9 t ( 0 ≤ t ≤ 6; t in Monaten; f (t) in 106 m3

_ Monat )

beschreibt näherungsweise die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers in einem Fluss.a) Berechnen Sie die Durchflussgeschwindigkeit für t = 0 und für t = 6.b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und erklären Sie die Bedeutung der Nullstellen im Sachzusammenhang.c) Berechnen Sie mithilfe der ersten und zweiten Ableitung die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f und erklären Sie die Bedeutung der Koordinaten im Sachzusammenhang.

8 Gegeben ist der Graph der Ableitungs-funktion f’ einer Funktion f (Fig. 1).a) Welche Aussagen können Sie über die Funktion f hinsichtlich der Extremstellen und des Krümmungsverhaltens des Graphen von f machen?b) Skizzieren Sie den Graphen von f” und einen möglichen Graphen von f.

9 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = 0,25 x4 – x3 und g mit g (x) = 0,2 x5 – 0,75 x4.a) Zeigen Sie, dass die 1. Ableitungen von f und g die gleichen Nullstellen haben.b) Untersuchen Sie mithilfe der 2. Ableitung und mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums, ob die Graphen Hoch- oder Tiefpunkte besitzen und skizzieren Sie den Verlauf der Graphen.c) d Kontrollieren Sie die Ergebnisse aus a) und b) mit dem GTR.

10 a) Geben Sie eine ganzrationale Funktion vom Grad 2 an, die genau ein lokales Maximum besitzt.b) Geben Sie zwei ganzrationale Funktionen vom Grad 4 mit genau einer Extremstelle an.c) Geben Sie eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 an, die keine Extremstellen besitzt.d) Geben Sie eine Funktion an, die unendlich viele Extremstellen besitzt.e) d Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse aus a) bis d) mit dem GTR.

11 Begründen Sie, dass für jede ganzrationale Funktion die folgende Aussage gilt.a) Ist f vom Grad 2, so hat f genau eine Extremstelle.b) Ist der Grad von f gerade und nicht null, so hat f mindestens eine Extremstelle.c) Wenn f drei verschiedene Extremstellen hat, so ist der Grad von f mindestens 4.d) Die Anzahl der Extremstellen ist gerade, wenn der Grad der Funktion ungerade ist, und ungera-de, wenn der Grad der Funktion gerade ist.

$ Eine Aufgabe zum Vertiefen befindet sich auf Seite 42 (Auf-gabe 9).

Fig. 1

2

1

–1–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4

y

x

f’



12 Gilt immer – gilt nie – es kommt darauf anBeurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen „immer zutreffen“, „nie zutreffen“ oder „unter bestimm-ten Bedingungen zutreffen“. Geben Sie diese Bedingungen ggf. an.a) Die zweite Ableitung einer nach oben geöffneten Parabel ist positiv.b) Wenn der Graph einer ganzrationalen Funktion zwei Extremstellen hat, dann ändert sich das Krümmungsverhalten zweimal.c) Wenn f’ (2) = 0 und f” (2) = 3 ist, dann hat der Graph einen Tiefpunkt mit den Koordinaten T (2 | 3 ).d) Besitzt eine ganzrationale Funktion vierten Grades genau zwei Hochpunkte und einen Tief-punkt, so ist der Graph ihrer zweiten Ableitung eine nach oben geöffnete Parabel.e) Wenn bei einer ganzrationalen Funktion für alle x-Werte f” (x) > 0 gilt, dann kann der zugehöri-ge Graph keine Hochpunkte haben.f) Wenn f’ (0) = 0 und f” (0) = 0 gilt, dann hat der Graph von f bei x = 0 einen Sattelpunkt.

13 An einer Wetterstation wurden an einem Tag folgende Temperaturen gemessen:

Uhrzeit 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00

Tempera-tur in °C

5 0,5 2 5 8 10 8

Die Funktion f mit f (x) = – 0,013 x3 + 0,37 x2 – 2,27 x + 5 soll für 0 ≤ x ≤ 18 verwendet werden, um näherungs-weise die Entwicklung der Temperatur in °C an diesem Tag von 0 bis 18 Uhr zu beschreiben.a) Untersuchen Sie, um wie viel Grad die Werte der Modellfunktion jeweils von den Messwerten abweichen. b) Stellen Sie aufgrund der Messwerte in der Tabelle eine Vermutung auf, wann es an diesem Tag am wärmsten bzw. am kältesten war. Welche maximale bzw. minimale Temperatur wurde vermut-lich erreicht?c) Berechnen Sie mithilfe der ersten und zweiten Ableitung der Funktion f die höchste und nied-rigste Temperatur in der Zeit von 0 Uhr bis 18 Uhr an diesem Tag. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe b). d) Welche Temperatur könnte an diesem Tag um 21 Uhr bzw. 24 Uhr erreicht werden? Welche Temperatur liefert die Modellfunktion f für diese Zeitpunkte?e) Bewerten Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) bis d), ob es sinnvoll ist den Temperaturverlauf an diesem Tag mit der Funktion f zu untersuchen.

Zeit zu wiederholen

14 Nullstellen berechnenBerechnen Sie die Nullstellen der Funktion f.

a) f (x) = 3 _ 2 x + 4 b) f (x) = x2 – 8 x + 12 c) f (x) = (x + 2) · (3 x – 6)

d) f (x) = – x3 – x2 e) f (x) = x · (x2 – 5 x + 4) f) f (x) = – x3 + 8 x2 – 7 x

15 Schnittpunkte berechnenÜberprüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g sich schneiden und berechnen Sie ggf. den Schnittpunkt bzw. die Schnittpunkte.

a) f (x) = 2 x + 2; g (x) = 2 _ 3 x – 2 _ 3 b) f (x) = x2 + 2 x – 1; g (x) = 3 x – 4

c) f (x) = x2 + 5 x; g (x) = 6,5 x + 10 d) f (x) = 1 _ 3 x2 + 1 _ 2 x ; g (x) = 7 _ 6 x – 1 _ 3



4 Kriterien für Wendestellen

Fährt man die abgebildete Küstenstraße mit dem Motorrad entlang, so befindet man sich abwechselnd in einer Links- beziehungsweise Rechtskurve. Kann man anhand des Streckenverlaufs voraussagen, wann das Motorrad nach links bzw. nach rechts oder gar nicht geneigt sein wird?

Außer Null- und Extremstellen haben Funktionen oft weitere charakteristische Stellen, z. B. solche, an denen sich das Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion ändert. Der blaue Graph in Fig. 1 wechselt bei P1 von einer Rechts- in eine Linkskurve, der rote Graph in Fig. 1 bei P2 von einer Links- in eine Rechtskurve.

Die Funktion f ist auf einem Intervall Ø definiert, zweimal differenzierbar und x0 ist im Inter-vall Ø. Eine Stelle x0, bei der der Graph von f von einer Linkskurve in eine Rechtskurve über-geht oder umgekehrt, heißt Wendestelle von f. Der zugehörige Punkt W (x0 | f (x0)) heißt Wendepunkt des zugehörigen Graphen.

Die Graphen in Fig. 2 legen für die Stelle x0 = 2 nahe: Wendestellen von f entsprechen den Ex-tremstellen von f’. Die Bedingungen für Extremstellen von f las-sen sich übertragen auf Extremstellen von f’ und damit auf Wendestellen von f.

Bestimmen von Wendepunkten:

1. Notwendige Bedingung: Lösungen der Gleichung f” (x) = 0 bestimmen, um mögliche Wendestellen zu finden.

2. Hinreichende Bedingungen: i) Wenn f” (x0) = 0 und f”’ (x0) ≠ 0 ist, dann ist x0 eine Wendestelle von f.

Falls f” (x0) = 0 und f”’ (x0) = 0 gilt, wendet man das VZW-Kriterium für Wendestellen an:

ii) Wenn f” (x0) = 0 ist und f” an der Stelle x0 einen VZW hat, dann hat f an der Stelle x0 eine Wendestelle.

3. y-Koordinaten der Wendepunkte: Einsetzen der Wendestellen in f (x).

Die Tangente im Wendepunkt wie in P1 (Fig. 3) heißt Wendetangente. Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente wie in P2 (Fig. 3) heißt Sattelpunkt.

Fig. 1

f’

f”

f

Fig. 2

Fig. 3

Notwendige Bedingung fürWendestellen:f” (x) = 0

Hinreichende Bedingung fürWendestellen:f” (x) = 0 und f’” (x) ≠ 0


Beispiel 1 Wendepunkt mithilfe von f” und f”’ bestimmen, Wendetangente angebenGegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1 _ 8 (x3 + 3 x2 + 3 x – 7).a) Zeigen Sie, dass der Graph von f genau einen Wendepunkt hat und berechnen Sie seine Koordinaten.b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente t im Wendepunkt und skizzieren Sie die Graphen von f und t.

º Lösung: a) Ableitungen bis f’” bilden und die Gleichung f” (x) = 0 lösen.

f’ (x) = 1 _ 8 (3 x2 + 6 x + 3), f” (x) = 1 _ 8 (6 x + 6), f’” (x) = 1 _ 8 · 6 = 3 _ 4 .

Aus f” (x) = 0 ergibt sich 6 x + 6 = 0. Damit ist x1 = –1 Nullstelle von f” und der Graph von f hat höchstens einen Wende- punkt.Prüfen, ob f”’ (– 1) ≠ 0 ist und die y-Koordinate f (–1) des Wendepunktes W bestimmen.

f’” (–1) = 3 _ 4 ≠ 0;

f (–1) = 1 _ 8 ((–1) + 3 · 1 + 3 · (–1) – 7) = –1.Die Stelle x1 = –1 ist Wendestelle von f. Der Graph von f hat genau einen Wendepunkt, dieser liegt bei W (–1 | –1). b) Steigung im Wendepunkt bestimmen.

f’ (–1) = 1 _ 8 (3 · 1 + 6 · (–1) + 3) = 0

Die Tangente t im Wendepunkt verläuft paral-lel zur x-Achse durch den Punkt W (–1 | –1). Sie hat also die Gleichung t (x) = –1. Die Wendestelle ist nicht nur Nullstelle von f”, sondern zugleich Nullstelle von f’. Der Wende-punkt W von f ist folglich ein Sattelpunkt (Fig. 1).

Beispiel 2 d Wendepunkte im Anwendungskontext

Die Funktion f mit f (t) = – 1 _ 3000 t3 + 3 _ 20 t2 soll für 0 ≤ t ≤ 300 verwendet werden, um näherungs-

weise die zurückgelegte Strecke (in Metern) einer S-Bahn zwischen zwei Haltestellen zu beschrei-ben (t beschreibt die Zeit in Sekunden).a) Beschreiben Sie die Bedeutung der Ableitungsfunktion im Anwendungskontext.b) Bestimmen Sie die maximale Geschwindigkeit der S-Bahn.

º Lösung: a) Die Ableitung f’ (t) gibt die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in Me-tern pro Sekunde an.b) Gesucht ist das Maximum der Ableitungsfunktion. Mit dem GTR kann man sich den Graphen von f’ anzeigen lassen und das Maximum von f’ be-stimmen (vgl. Fig. 2). Dem Graphen kann man entnehmen, dass der Hochpunkt H ( 150 | 22,5) des Graphen von f’ das absolute Maximum in dem zu betrachten-den Intervall [0; 300] ist. An den Rändern des Definitionsbereichs gilt f’ (0) = 0 und f’ (300) = 0. Somit wird die maxi-male Geschwindigkeit nach 150 Sekunden er-reicht und beträgt 22,5 m

_ s .

Fig. 1

Die größte momentane Änderungsrate wird dort erreicht, wo der Graph am steilsten ansteigt. Dies entspricht einem Maximum der Ableitungs-funktion.

O

1000

2000

3000

4000

5000

200 300100

x

y

W

f

Die größte Änderungsrate von f bzw. der steilste An-stieg des Graphen wird hier im Wendepunkt von f erreicht.

Fig. 2


Beispiel 3 Der Fall f ” (x0) = 0 und f ’’’ (x0) = 0Untersuchen Sie, ob die Funktion f mit f (x) = 3 x5 – 5 x4 an der Stelle x0 = 0 eine Wendestelle hat.

º Lösung: Ableitungen: f ’ (x) = 15 x4 – 20 x3; f ” (x) = 60 x3 – 60 x2 und f ’’’ (x) = 180 x2 – 120 x.Da f ” (0) = 0 und f ’’’ (0) = 0 , wird f ” (x) = 60 x2 (x – 1) auf einen Vorzeichenwechsel an der Stelle x0 = 0 untersucht:x nahe x0 = 0 und x < x0 : x nahe x0 = 0 und x > x0 :60 x2 > 0; x – 1 < 0; also 60 x2·(x – 1) < 0. 60 x2 > 0; x – 1 < 0; also 60 x2·(x – 1) < 0.An der Stelle x = 0 ändert sich das Vorzeichen der 2. Ableitung folglich nicht. Somit ändert sich das Krümmungsverhalten von f nicht und an der Stelle x0 = 0 liegt keine Wendestelle vor (vgl. Fig. 1).

Aufgaben

1 Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen von f.a) f (x) = x3 + 2 b) f (x) = 4 + 2 x – x2 c) f (x) = x3 – xd) f (x) = x3 + 6 x2 e) f (x) = 1 _ 3 x3 – x2 + 2 x f) f (x) = x5

g) f (x) = x4 – 12 x h) f (x) = 3 x4 – 4 x3 i) f (x) = x3 (2 + x)

2 Bestimmen Sie den Wendepunkt des Graphen von f sowie die Gleichung der Wendetange.a) f (x) = 0,5 x3 – 3 x2 + 5 x b) f (x) = x3 + 3 x2 + x + 2 c) f (x) = – 0,5 x3 – 1,5 x2 d) f (x) = x3 + 9 x2 + 7 x – 18 e) f (x) = – x3 – 3 x2 + 4 x + 4 f) f (x) = x3 – 6 x2 + 11 x

3 Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f. Geben Sie anschließend die Intervalle an, in denen der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist. Skizzieren Sie dann einen mögli-chen Graphen von f. a) f (x) = x4 + x2 b) f (x) = x4 – 6 x2 c) f (x) = 16 x4 – 40 x2 + 9

d) f (x) = x5 – 30 x3 e) f (x) = x5 – x4 + x3 f) f (x) = 1 _ 30 x6 – 1 _ 2 x2

g) f (x) = 1 _ 60 x6 – 1 _ 10 x5 + 1 _ 6 x4 h) f (x) = (x2 – 9) (x2 – 4) i) f (x) = (x – 2)3 – 1

4 Gegeben ist der Graph der zweiten Ablei-tungsfunktion f” einer Funktion f (Fig. 2). Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antwort.a) Der Graph von f ist im Bereich –0,3 < x < 2 rechtsgekrümmt.b) Der Graph von f hat an der Stelle x = 2 eine Wendestelle.c) Der Graph von f hat an der Stelle x = 0 einen Sattelpunkt.d) Der Graph von f ändert an der Stelle x = 0,8 sein Krümmungsverhalten.

5 Forscher haben das Wachstum einer bestimmten Bakterienkultur in einer Petrischale beob-achtet. Die von Bakterien bedeckte Fläche (in cm2) in Abhängigkeit der vergangenen Zeit (in h) seit dem Beobachtungsbeginn um 8 Uhr morgens kann im Zeitraum von 8 Uhr morgens bis 12 Uhr mittags des darauf folgenden Tages näherungsweise durch die Funktion A mit A (t) = – 0,005 t3 + 0,2 t2 + 0,9 t + 1 beschrieben werden.a) Bestimmen Sie die von Bakterien bedeckte Fläche um 3 Uhr morgens.b) Berechnen Sie die maximale Zunahme der von den Bakterien bedeckten Fläche.

O

y

x

1–1

–1

–2

–3

f

Fig. 1

Der Graph von f hat bei x = 1 einen Wendepunkt, aber nicht bei x = 0.

0 Weitere Aufgaben zum Üben befinden sich auf S eite 41 (Aufgaben 5 und 6).

$ Eine Aufgabe zum Ver-tiefen, bei der die Wendetangente eine Rolle spielt, befindet sich auf Seite 42 (Aufgabe 8).

Fig. 2

f” $ Weitere Aufgaben zum Vertiefen befinden sich auf Seite 42 (Aufgabe 10 und 11).



6 Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf Wendepunkte und geben Sie die Gleichun-gen der Wendetangenten an.a) f (x) = x3

b) f (x) = – 1 _ 2 x4 + 3 x2

c) f (x) = x5 – 10 _ 3 x3 + x

7 Gegeben ist der Graph der Ableitungs-funktion f’ einer Funktion f (Fig. 1).Beschreiben Sie, welche Aussagen man über die Funktion f hinsichtlich der Extrem- und Wendestellen machen kann.

8 Die Anzahl der Besucher eines Schulfestes soll im Zeitraum von 7:30 Uhr bis 16:30 Uhr durch die Funktion f mit f (t) = – t3 + 24 t2 – 117 t + 182 beschrieben werden (t in Stunden, t = 7,5 ent-spricht der Uhrzeit 7:30 Uhr).a) Wann sind vermutlich am meisten Besucher auf dem Schulfest?b) Berechnen Sie, wann die Anzahl der Zuschauer auf dem Fest am schnellsten zunimmt.

9 Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion f, der die folgenden Bedingungen erfüllt. a) Der Graph von f ist rechtsgekrümmt und besitzt keinen Wendepunkt.b) Der Graph von f hat genau einen Wendepunkt auf der x-Achse, links davon ist der Graph rechtsgekrümmt und rechts davon linksgekrümmt.c) Der Graph von f hat einen Wendepunkt im Ursprung und genau einen Hoch- und Tiefpunkt.d) f’ und f” haben nur negative Funktionswerte.e) f’ hat einen Wendepunkt im Ursprung und genau einen Hoch- und einen Tiefpunkt.

10 Der Längsschnitt einer Piste in einer Ski-halle kann für 0 ≤ x ≤ 250 näherungsweise durch die Funktion f mit

f (x) = – 1 __ 100 000 x3 + 0,004 x2 + 0,05 x + 10

beschrieben werden (vgl. Fig. 2).a) Berechnen Sie den Steigungswinkel am oberen Ende der Piste.b) Die Skihallenbetreiber behaupten, dass die Piste eine Steigung von bis zu 58 % besitzt. Haben die Betreiber Recht?c) Bestimmen Sie rechnerisch, an welcher Stelle das Gefälle der Piste am niedrigsten ist.

Zeit zu wiederholen

11 Gleichungssysteme lösena) Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme rechnerisch mithilfe eines geeigneten Lösungsver-fahrens (Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren oder Einsetzungsverfahren).(1) y = 4 x + 6 (2) x = 5 y – 10 (3) 2 x + 3 y = 15 (4) 2 x + 3 y = 5 y = – 8 x + 18 x + y = 8 – 2 x + 5 y = 9 5 x + 10 y = 15b) Geben Sie je ein Beispiel für ein Gleichungssystem an, das keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen besitzt.

f’

$ Eine Aufgabe zum Ver-tiefen der Inhalte aus Aufgabe 9 befindet sich auf Seite 43 (Aufgabe 12).

0

20

40

60

80

100

120

140

0 50 100 150 200 250 300

Fig. 2

Kontrollieren Sie Ihre Er-gebnisse aus Aufgabe 11 mit dem GTR.

Fig. 1

Lösungen zu Zeit zu überprüfen und Zeit zu wiederholen Seite 403 – 404.


5 Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen

Mit einem 30 m langen Zaun soll ein rechtecki-ges Gehege gebaut werden. Man kann den Zaun so aufstellen, dass eine Seite durch eine Hauswand begrenzt wird. Dort braucht man keinen Zaun aufzustellen.Wie würden Sie die Maße des Geheges wäh-len? Welchen Flächeninhalt hätte das Gehege dann? Vergleichen Sie die Ergebnisse. Wer hat den größten Flächeninhalt erhalten?

In vielen Anwendungssituationen ist der größte bzw. kleinste Wert gesucht, den eine „Zielgröße“ annehmen kann. Wenn man durch einen geeigneten Ansatz (Modellbildung) aus mehreren Bedin-gungen eine Funktion bestimmen kann, die dieses Maximum oder Minimum erreichen soll, spricht man von Extremwertproblemen mit Nebenbedingung. Das Maximum oder Minimum lässt sich dann mithilfe der Ableitung bestimmen. Bei quadratischen Funktionen kann man dies auch durch die Bestimmung des Scheitelpunktes mithilfe einer quadratischen Ergänzung ermitteln. Dies wird an einem Beispiel erläutert.

Aus einem dreieckigen Stück ORQ einer Glasscheibe soll ein rechtecki-ges Stück mit einem möglichst großen Flächeninhalt wie in Fig. 1 her-ausgeschnitten werden. Dazu muss derjenige Punkt P (u | v) auf der Stre-cke

_ QR bestimmt werden, für den der Flächeninhalt des

eingezeichneten Rechtecks A = u·v am größten ist. A hängt von den Variablen u und v ab. Da P (u | v) auf der Geraden durch P und Q

liegt, gilt die Nebenbedingung v = – 5 _ 3 u + 5 für 0 ≤ u ≤ 3.

Setzt man die Nebenbedingung in A = u·v ein, so gilt

A (u) = u· ( – 5 _ 3 u + 5 ) ; 0 ≤ u ≤ 3.

Die Funktion A mit A (u) = u· ( – 5 _ 3 u + 5 ) = – 5 _ 3 u2 + 5 u für 0 ≤ u ≤ 3 nennt man Zielfunktion.

Um den maximalen Flächeninhalt zu erhalten, wird nun die Funktion A auf Extremstellen untersucht. Aus A’ (u) = – 10

_ 3 u + 5 = 0 und A” (u) = – 10 _ 3 erhält man ein lokales Maximum für u = 1,5.

Da der Graph von A eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist dort auch das globale Maximum. Aus diesem Grund erübrigt sich hier die Untersuchung der Ränder.

Strategie für das Lösen von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen1. Beschreiben der Zielgröße, die extremal werden soll, durch eine Formel. Diese kann

mehrere Variablen enthalten.2. Aufsuchen von Nebenbedingungen, die Abhängigkeiten zwischen den Variablen

enthalten.3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhängt (welche Variable

zweckmäßig ist, zeigt oft erst die Bearbeitung). Angeben des Definitionsbereichs der Zielfunktion.

4. Untersuchen der Zielfunktion auf Extremwerte unter Beachtung der Ränder des Defini tionsbereichs. Formulieren des Ergebnisses.

O

x

1

y

1

Q

R

2 3 4

2

3

4

5

P(u|v)

A

y = – 5 x + 53

Fig. 1

AchtungExtremstellen können auch am Rand des Definitionsbereichs liegen.


Beispiel Rechteck mit maximalem InhaltEin Sportstadion (Fig. 1) mit einer 400 m lan-gen Laufbahn soll so angelegt werden, dass die Fläche A des eingeschlossenen Fußballfel-des möglichst groß wird.

º Lösung:1. Sind x und 2 y die Längen des Rechtecks, so gilt A = x·2 y (Fig. 1).

2. Die Nebenbedingung lautet 2 x + 2 π y = 400 bzw. y = 400 – 2 x __ 2 π = Å _ π (200 – x).

3. Einsetzen ergibt die Zielfunktion A (x) = x · 2 · 1 _ π · (200 – x) = Å _ π (400 x – 2 x2).

Damit A ≥ 0 ist, muss der Definitionsbereich DA = [0; 200] sein.4. Es ist A’ (x) = Å _ π (400 – 4 x) und A” (x) = – 4 _ π < 0. Da A’ (x) = 0 nur für x0 = 100 gilt und A” (100) < 0 ist, liegt bei x0 = 100 ein lokales Maximum von A vor. Dies ist gleichzeitig das globale Maximum, da der Graph von A eine nach unten geöffnete Parabel ist. Aus x0 = 100 erhält man y = Å00

_ π ≈ 31,84.Ergebnis: Der Flächeninhalt des Rechtecks innerhalb der 400-m-Bahn ist maximal für x = 100 und y ≈ 31,84, d. h., das Feld wäre 100 m lang und ca. 63,68 m breit.

Aufgaben

1 Aus einem Draht der Länge 50 cm soll ein Rechteck gebogen werden, das eine Fläche von maximalem Inhalt umrandet. Berechnen Sie, wie die Länge und Breite zu wählen sind.

2 d Ein rechteckiges Grundstück soll den Flächeninhalt 400 m2 erhalten. Wie lang sind die Sei-ten des Rechtecks zu wählen, damit der Umfang des Rechtecks minimal wird?

3 Die rechte obere Ecke eines Rechtecks soll auf dem Graphen der Funktion f mit f (x) = –3 x + 1 liegen und die linke untere Ecke im Ursprung des Koordinatensystems. Die Seiten des Rechtecks liegen auf bzw. parallel zu den Koordinatenachsen. a) Erstellen Sie eine geeignete Skizze zu dem Sachverhalt.b) Bestimmen Sie die genaue Lage und Größe des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt.

4 Gegeben ist die Funktion mit f (x) = –x2 + 9. Die Punkte A (–u | 0), B (u | 0), C (u | f (u)) und D (–u | f (–u)) mit 0 ≤ u ≤ 3 bilden ein Rechteck (vgl. Fig. 2). a) Berechnen Sie, für welchen Wert von u der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird.b) Berechnen Sie, für welchen Wert von u der Umfang des Rechtecks maximal wird.

5 Aus einem rechteckigen Stück Pappe der Länge 16 cm und der Breite 10 cm werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge x ausge-schnitten und die überstehenden Teile zu einer nach oben offenen Schachtel hochgebogen (Fig. 3). Für welchen Wert von x wird das Volu-men maximal?

6 Ein Unternehmen verkauft T-Shirts zum Preis von 15 € und macht dabei 8 € Gewinn pro T-Shirt. Bei diesem Preis verkauft das Unternehmen täglich 500 T-Shirts. Eine Markt untersuchung hat ergeben, dass bei einer Preissenkung mehr T-Shirts verkauft werden können. Man geht davon aus, dass pro Euro Ermäßigung 80 T-Shirts mehr pro Tag verkauft werden. Berechnen Sie, um wie viel Euro man den Preis reduzieren sollte, damit der Gewinn am größten ist.

Fig. 1Anmerkung: Maße eines Fußball-feldes: Länge: 90 m bis 120 m Breite: 45 m bis 90 m

y

x

A B

CD

f

Fig. 2

Fig. 3

$ Eine Aufgabe zum Ver-tiefen (Untersuchung von Summen und Dif-ferenzen von Funktio-nen befindet sich auf Seite 43 (Aufgabe 13).



7 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 16 – x2. Der Graph dieser Funktion schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. In dieser Fläche soll ein Rechteck liegen, dessen Seiten auf bzw. parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Die beiden oberen Eckpunkte sollen auf dem Graphen liegen, die unteren Eckpunkte liegen auf der x-Achse.a) Bestimmen Sie Nullstellen und Scheitelpunkt der Parabel und fertigen Sie eine Skizze der Parabel und des Rechtecks an.b) Berechnen Sie, wo die Eckpunkte liegen müssen, damit das Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt hat.

8 Eine Elektronikfirma verkauft monatlich 5000 Stück eines Bauteils zum Stückpreis von 25 €. Die Markforschungsabteilung dieser Firma stellt fest, dass sich der durchschnittliche monatliche Absatz bei jeder Stückpreissenkung von 1 € um jeweils 300 Stück erhöhen würde. Bei welchem Stückpreis sind die monatlichen Einnahmen am größten?

9 Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000 ø gewählt werden, damit der Blechverbrauch minimal ist?

10 Ein nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll bei einer vorgegebenen Oberfläche von 100 cm2 ein möglichst großes Volumen besitzen. Wie müssen die Maße des Kar-tons gewählt werden? Zeigen Sie, dass es keine weiteren Maxima gibt.

11 Die Funktionen f und g mit f (x) = 4 – 0,25 x2 und g (x) = 0,5 x2 – 2 begrenzen eine Fläche, in der ein zur y-Achse symmetrisches Rechteck ABCD liegt. A und B liegen auf dem Graphen von f, die Punkte C und D auf dem Graphen von g.a) Bestimmen Sie die Scheitelpunkte der beiden Parabeln sowie deren Schnittpunkte und fer-tigen Sie eine Skizze mit den Parabeln und der Lage des Rechtecks an.b) Das Rechteck soll einen möglichst großen Flächeninhalt haben. Beschriften Sie die Skizze und stellen Sie die Zielfunktion mithilfe der Funktionsgleichungen von f und g auf.c) Berechnen Sie die Eckpunkte, für die der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

12 Die Punkte O (0 | 0) und P (5 | 0) sowie Q ( 5 | f (5) ) , R ( u | f (u) ) und S ( 0 | f (0) ) des Graphen von f mit f (x) = – 0,05 x3 + x + 4 (0 ≤ x ≤ 5) bilden ein Fünfeck (Fig. 1). Für welches u wird sein In-halt maximal?

13 a) Begründen Sie, warum für den Abstand zweier Punkte A (x A | y A ) und B (x B | y B ) (Fig. 2) die Formel

_ AB = 90000000000000000000000000000000000000000000000000000 ( y B – y A )2 + ( x B – x A )2 gilt.

b) Der Abstand der Punkte A und B wird maxi-mal bzw. minimal, wenn

_ AB 2 maximal bzw.

minimal wird. Begründen Sie diesen Zusam-menhang.c) Berechnen Sie, von welchem Punkt des Graphen von f der Punkt Q den kleinsten Abstand hat.(1) f (x) = – x2 + 4; Q (0 | 0 ) (2) f (x) = x2; Q ( 0 | 1,5) (3) f (x) = x2; Q (3 | 0 )

Zeit zu wiederholen

14 Terme mit Klammern – binomische FormelnLösen Sie die Klammern auf und fassen Sie die Terme soweit wie möglich zusammen.a) 2 · (x + 2) – (x + 2) b) (x + 2)2 – x2 + 4 x c) (x + 3) · (x – 3)d) (x – 4)2 – x2 e) (x + 2) · (x – 3) f) (x2 + 2)2 – x4 – 4

Tipp zu Aufgabe 9: Schlagen Sie zunächst die Formeln für das Volu-men, die Mantelfläche und die Oberfläche eines Zylinders in einer Formel-sammlung nach.

. Weiterführende Auf-gaben zum Anwenden befinden sich auf Seite 44 (Aufgaben 19 und 20).

2

x

y

2 O

4

6

4

S

R

Q

P

Fig. 1

A

BxB – xA

y B –

yA

Fig. 2

( _

AB ) 2 = ( y B – y A )2 + ( x B – x A )2

Lösungen zu Zeit zu überprüfen und Zeit zu wiederholen Seite 404.


6 Ganzrationale Funktionen bestimmen

Für welche der drei Fälle I, II und III lässt sich durch die Punkte A, B und C der Graph einer ganzrationalen Funktion ersten bzw. zweiten Grades zeichnen?Bestimmen Sie, falls möglich, die zugehörige Funktionsgleichung.

Vorgegebene Punkte eines Graphen sowie die Eigenschaften der Ableitungen kann man verwen-den, um eine Funktionsgleichung zu einem Graphen zu bestimmen.

In einer Broschüre befindet sich der Graph ei-ner Funktion, mit der die Einwohnerzahl eines Landes seit 1990 sowie die mögliche Entwick-lung in den nächsten Jahren dargestellt wer-den soll. Mithilfe der charakteristischen Punkte des Graphen (Fig. 1) lässt sich die Gleichung ei-ner Funktion bestimmen, mit der die Entwick-lung der Einwohnerzahlen modelliert werden kann. Dem Graphen kann man entnehmen, dass die Einwohnerzahl im Jahr 1990 etwa 80 Millionen betrug und dass man ein Maximum von etwa 83 Millionen im Jahr 2015 erwartet.

Ansatz zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion Aufgrund des Verlaufs des Graphen lässt sich vermuten, dass sich die Entwicklung der Einwohner-zahlen durch eine quadratische Funktion modellieren lässt. Daher wählt man den Ansatz f (x) = a x2 + b x + c.

Aufstellen eines linearen Gleichungssystems zur Berechnung der ParameterUm die Gleichung einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades zu bestimmen, müssen drei Pa-rameter berechnet werden. Wenn man x = 0 für das Jahr 1990 wählt, hat der Graph einen Hoch-punkt in H (25 | 83) und verläuft durch den Punkt P (0 | 80). Hieraus erhält man folgende drei Bedin-gungen: (I) Für x = 0 erhält man den Funktionswert y = 80, also muss gelten: f (0) = 80. (II) Für x = 25 (entspricht 2015) erhält man y = 83, also muss gelten: f (25) = 83. (III) Bei x = 25 liegt ein Hochpunkt H (25 | 83) vor. Also muss gelten: f’ (25) = 0.

Mit f (x) = a x2 + b x + c und der Ableitungsfunktion f’ (x) = 2 a x + b erhält man: (I) f (0) = 80: a · 02 + b · 0 + c = 80 also c = 80 (II) f (25) = 83: a · 252 + b · 25 + c = 83 also 625 a + 25 b + c = 83 (III) f’ (25) = 0: 2 a · 25 + b = 0 also 50 a + b = 0 Aus (I) folgt unmittelbar c = 80. Somit ergibt sich für (II) und (III): (II) 625 a + 25 b = 3 (III) 50 a + b = 0 (II) – 25 · (III) –625 a = 3 | : (–625) a = – 0,0048Aus (III) folgt b = –50 a = –50 · (– 0,0048) = 0,24, also f (x) = – 0,0048 x2 + 0,24 x + 80.Hiermit ergibt sich z. B. f (45) ≈ 81, d. h. 81 Millionen als erwartete Bevölkerungszahl im Jahr 2035.

I y

xA

B

C

1

–1 0 1

II y

xAB

C1

0,5

–1 0 1

III y

xA B

C1

–1 0 1

Häufig lässt sich zu vor-liegenden Daten nur eine Näherungskurve bestim-men. Dies wird auf Seite 34 erläutert.

Prognose für die Entwicklung der Einwohnerzahl(in Millionen)

84

83

82

81

80

79

78

771990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035

Fig. 1

Eine quadratische Funkti-on ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.

Es ist auch möglich, die Funktionsgleichung zu-nächst in Scheitelpunkt-form zu bestimmen.

Der Graph von f ist eine nach unten geöffnete Pa-rabel. Der Scheitelpunkt entspricht daher einem Hochpunkt.


Strategie zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion 1. Überlegen, welchen Grad n die ganzrationale Funktion haben sollte, und die entspre-

chende Funktionsgleichung mit n + 1 Parametern notieren. 2. Aufstellen geeigneter Gleichungen für f, f’ und f” aus den vorliegenden Informationen.

Zur Bestimmung einer Funktion n-ten Grades benötigt man mind. n + 1 Gleichungen.3. Lösen des linearen Gleichungssystems.4. Funktionsgleichung notieren und kontrollieren.

Beispiel 1 Symmetrie verwendenBestimmen Sie eine mögliche Funktionsgleichung zu dem in Fig. 1 dargestellten Graphen.

º Lösung:1. Da der Graph dreimal die x-Achse schneidet und einen Hoch- sowie einen Tiefpunkt besitzt, kann man vermuten, dass der Graph zu einer ganzrationalen Funktion dritten Grades gehört. Man erhält den Ansatz: f (x) = a x3 + b x2 + c x + d.2. Der abgebildete Teil des Graphen ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Wenn man davon ausgeht, dass der gesamte Graph punktsymmetrisch ist, enthält die Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten. Es muss daher b = 0 und d = 0 gelten, damit die Summanden mit geraden Exponenten bzw. die Konstante d wegfallen. Man erhält also f (x) = a x3 + c x. 3. Der Graph der Funktion hat in H (1 | 2) einen Hochpunkt. Hieraus lässt sich mit dem Ansatz f (x) = a x3 + c x und f’ (x) = 3 a x2 + c das folgende lineare Gleichungssystem herleiten: (I) f (1) = 2: a + c = 2 (II) f’ (1) = 0: 3 a + c = 0 (I) – (II): –2 a = 2 | : (–2) a = –1 Mit (I) erhält man: c = 3. Also gilt: f (x) = –x3 + 3 x.4. Mit f’ (x) = –3 x2 + 3 und f” (x) = – 6x erhält man f’ (1) = 0 und f” (1) = –6. Die oben bestimmte Funktion f hat also tatsächlich bei x = 1 einen Hochpunkt.

Beispiel 2 d Bestimmen der Parameter mit dem GTRDer Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in T (2 | –1) einen Tiefpunkt und in W (1 | 1) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion.

º Lösung: Allgemeiner Ansatz für eine ganz-rationale Funktion 3. Grades: f (x) = a x3 + b x2 + c x + df’ (x) = 3 a x2 + 2 b x + cf” (x) = 6 a x + 2 bAus den gegebenen Punkten ergeben sich fol-gende Bedingungen:f (2) = – 1, also 8 a + 4 b + 2 c + d = – 1f’ (2) = 0, also 12 a + 4 b + c + = 0f (1) = 1, also a + b + c + d = 1f” (1) = 0, also 6 a + 2 b = 0Der GTR liefert folgende Lösung (Fig. 2):a = 1, b = – 3, c = 0 und d = 3Also gilt: f (x) = x3 – 3 x2 + 3Zur Kontrolle kann man den Graphen von f zeichnen lassen und mit den gegebenen Wer-ten vergleichen (Fig. 3).

Die Kontrolle des Ergeb-nisses ist wichtig, da man bei gegebenen Extrem- oder Wendestellen nur die notwendige Bedin-gung verwendet (vgl. Auf-gabe 10, Seite 33).

2

1

–1

–2

–3

–2 –1 O 1 2

y

x

H(1|2)

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Wie man solche Glei-chungssysteme auch ohne Taschenrechner lösen kann, wird in Kapi-tel VI auf den Seiten 206 – 209 erläutert.


Aufgaben

1 Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion zweiten Grades, deren Graph durch die angegebenen Punkte verläuft.a) A (–1 | 0); B (0 | –1); C (1 | 0) b) A (0 | 0); B (1 | 0); C (2 | 3) c) A (0 | –1,5); B (–3 | 0); C (–1 | –2) d) A (0 | 4); B (1 | 3); C (2 | 6)e) A (0 | 1); B (–1 | 5); C (–4 | 5) f) A (0 | 0,5); B (–1 | 2,5); C (–3 | 3,5)

2 d Bestimmen Sie eine Gleichung der quadratischen Funktion, deren Graph durch die Punkte A, B und C verläuft.a) A (1 | 3); B (–1 | 2); C (3 | 2) b) A (1 | 1); B (2 | 3); C (3 | 7) c) A (–1 | 0); B (1 | 2); C (2 | –9) d) A (2 | –4); B (4 | –10); C (6 | –20)

e) A (1 | 0,5); B (3 | 0,5); C (5 | –1,5) f) A ( 1 | 1 _ 3 ) ; B ( 2 | 5 _ 3 ) ; C ( 3 | 11 _ 3 )

3 Bestimmen Sie zu den abgebildeten Graphen jeweils eine mögliche Funktionsgleichung. Überlegen Sie zunächst, welchen Grad die Funktion haben könnte.a) b) c)

–2 –1 O 1 2 3 4 5

–4

–3

–2

–1

x1

y

T(2|–4)

H(0|0)

–2 –1 O 1 2 3 4 5

–4

–3

–2

–1

x1

y

T(2|–3)

A(0|1)

–2 –1 O 1 2 3–4 –3

2

3

–2

–1

x1

y

T(1|–1)

W(0|1)

4 d Bestimmen Sie jeweils die zugehörige Funktionsgleichung. a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch die Punkte A (1 | – 3), B (2 | – 7), C (3 | – 7) und D (4 | 3).b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in T (1 | – 1) einen Tiefpunkt und in H (– 1 | 3) einen Hochpunkt.c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch die Punkte A (– 1 | – 4), B (0 | 0), C (1 | – 2), D (2 | – 22) und E (3 | – 96).d) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades hat im Punkt T (2 | – 48) einen Tief-punkt und verläuft durch die Punkte A (0 | 0), B (1 | – 31) und C (3 | – 15).

5 Bestimmen Sie zu den abgebildeten Graphen jeweils eine mögliche Funktionsgleichung. Überlegen Sie zunächst, welchen Ansatz Sie für die Funktion wählen und welche Symmetrie-eigenschaften Sie ausnutzen können.a) b) c)

–1 O 1 2

1

–1

x

y

H(–1|1)

T(1|–1)

–2 –1 O 1 2 3 4–3

–4

–5

–3

–2

–1

x1

y

T1(–2|–4) T2(2|–4)

10

–10

–20

20

30

40

–6 –4 –2 4 6 8O

y

x

W1(–2|20)

W2(2|20)

T(0|0)



6 a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades, deren Graph durch A (0 | 3), B (1 | 1) und C (2 | –3) verläuft.b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph im Punkt W (0 | 2) einen Wendepunkt und im Punkt T (–1 | 0) einen Tiefpunkt besitzt.c) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist und durch A (0 | –1), B (1 | 1) und C (2 | –5) verläuft.

7 Eine Firma möchte eine Rutsche konzipieren. In Fig. 1 ist das seitli-che Profil der Rutsche dargestellt, das durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades beschrieben werden soll. Der zugehörige Graph hat in A (0 | 3) seinen höchsten Punkt und besitzt in B (–3 | 0,3) seinen tiefsten Punkt. In diesen beiden Punkten verläuft die Rutsche waagerecht, d. h., die Steigung ist hier null.a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, die für –3 ≤ x ≤ 0 das Profil der Rutsche beschreibt.b) Berechnen Sie den Punkt, in dem die Rutsche am steilsten ist.

8 a) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph die x-Achse im Ursprung berührt und deren Tangente in P (–3 | 0) parallel zu y = 6 x ist.b) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in P (1 | 4) einen Extrempunkt und in Q (0 | 2) einen Wendepunkt hat.c) Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph den Wendepunkt W (0 | 0) mit der x-Achse als Wendetangente hat und den Tiefpunkt A (–1 | –2) besitzt.

9 Begründen Sie, dass es für folgende Bedingungen keine ganzrationale Funktion gibt.a) Der Grad von f ist 2; Nullstellen x = 2 und x = 4; Maximum für x = 0.b) Der Grad von f ist 3; Extremstellen x = 0 und x = 3; Wendestelle für x = 1.c) Der Grad von f ist 3; f ungerade; Wendestelle x = 1; Hochpunkt bei x = 2.d) Der Grad von f ist 4; f gerade; Hochpunkt bei x = 2; Tiefpunkt bei x = –2.e) Der Grad von f ist 3; Tiefpunkt T (1 | 4); Hochpunkt H (5 | 0).

10 Eine ganzrationale Funktion dritten Grades soll im Punkt T (1 | 2) einen Tiefpunkt haben und im Punkt W (0 | 0) einen Wendepunkt. Max hält diese Aufgabe für unlösbar. Untersuchen Sie, ob Max Recht hat.

11 Ein Brückenbogen überspannt einen 50 m breiten Geländeeinschnitt. In A und B setzt der Brückenbogen senkrecht an den Böschungen auf (vgl. Fig. 2). Wählen Sie ein geeignetes Ko-ordinatensystem, bestimmen Sie eine ganzrati-onale Funktion 2. Grades und berechnen Sie die Höhe des Brückenbogens.

12 Bei einer Zirkusvorführung wird ein Feuerball unter einem Winkel von 45° aus einer „Kanone“ abgeschossen und landet in einem 15 m entfernten Wasserbehälter, der gegenüber der Kanonen-öffnung 3,75 m höher steht. a) Bestimmen Sie eine geeignete Funktion, welche die Flugbahn des Balles beschreibt.b) Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Vorführung in einem 6 m hohen Saal stattfinden kann.

Fig. 1

$ Vertiefende Aufgaben zur Bestimmung ganz-rationaler Funktionen befinden sich auf Sei-te 43 (Aufgaben 14, 15 und 16).

Wenn alle Exponenten e iner ganzrationalen Funktion gerade bzw. ungerade sind, so spricht man auch von einer geraden bzw. ungeraden Funktion.

. Eine weiterführende Aufgabe zur Bestim-mung ganzrationaler Funktionen im Sachzu-sammenhang befindet sich auf Seite 44 (Auf-gabe 20).

Fig. 2

A

45°

B

45 °

50 m

Für die Steigung m gilt bei einem gegebenen Steigungswinkel α: m = tan (α)

0 Eine Übungsaufgabe zur Funktionsbestim-mung im Sachzusam-menhang befindet sich auf Seite 42 (Auf-gabe 7).



INFO Aufgaben 13, 14

Trendlinien mit dem GTRZu einem Punktdiagramm kann man mit dem GTR oder einem Tabellenkalkulationsprogramm am PC eine Trendlinie bestimmen lassen. Hierzu gibt man die Koordinaten der Messwer-te ein und lässt den Rechner die Trendlinie be-rechnen. Man kann hierbei wählen, welchem Funktionstyp die Trendlinie entsprechen soll (z. B. lineare Funktion, quadratische Funk-tion, …).Der Rechner bestimmt dann nach einem vor-gegeben Rechenverfahren die Funktionsglei-chung. Das Ergebnis ist die beste Näherungs-funktion von diesem Funktionstyp, die sich aufgrund dieses Rechenverfahrens ergibt.

13 d Entwicklung von EinwohnerzahlenIn Fig. 1 ist die Entwicklung der Einwohnerzahl der Stadt Remscheid im Bergischen Land dargestellt. a) Erstellen Sie mit dem GTR ein Punktdiagramm zu den Daten aus der Tabelle.b) Bestimmen Sie zu den Daten mit dem GTR eine ganzrationale Nä-herungskurve ersten, zweiten und dritten Grades. Verwenden Sie die Funktionen, um die Einwohnerzahl im Jahr 1975 zu schätzen.c) Eignen sich die Funktionen aus b) für eine Prognose der Einwoh-nerzahl im Jahr 2025, 2050 bzw. 2100? Begründen Sie.d) Suchen Sie im Internet nach Daten zur Einwohnerzahl anderer Städte und bearbeiten Sie hierzu die Aufgabenteile a) bis c).

14 d Projekt: Schuhgrößen und Körpergrößena) Führen Sie in Ihrem Kurs eine Umfrage durch, in der Sie für jeden Schüler die Körpergröße (x-Wert) und Schuhgröße (y-Wert) notieren. b) Erstellen Sie zu Ihren Daten mit dem GTR ein Punktdiagramm und bestimmen Sie mit dem GTR eine lineare und eine quadratische Trendlinie. c) Welche Schuhgrößen würden sich mit den Trendlinien für eine 2,20 m große (55 cm kleine) Person ergeben?

Zeit zu wiederholen

15 Geraden im KoordinatensystemGegeben sind die beiden linearen Funktionen f und g mit f (x) = 2 x – 1 und g (x) = – 1 _ 3 x + 4 _ 3 .a) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen in ein Koordinatensystem ein.b) Entnehmen Sie der Zeichnung den Schnittpunkt der beiden Geraden sowie die Schnittpunkte der Geraden mit der x-Achse.c) Überprüfen Sie die Ergebnisse aus b) durch geeignete Rechnungen.d) Die beiden Geraden bilden mit der x-Achse ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt die-ses Dreiecks.

Online-Code bw5n57 Auslaufendes Wasser

Ein Modellierungs-projekt, bei dem man mit verschiedenen Funktionen versucht, vorherzusagen, wann ein Wasserbehälter ausgelaufen sein wird.

Ausführliche Hinweise zu den Befehlen des GTR fin-den Sie im Anhang unter 8. (auf den Seiten 495 bzw. 509).

Einwohner der Stadt Remscheid

Jahr Einwohner

1830 9428

1880 30 100

1900 58 103

1925 76 678

1933 101 188

1945 91 603

1950 103 276

1965 133 117

1985 121 204

2007 117 247

Fig. 1



Finja behauptet: „Die Graphen der Funktion f mit f a (x) = a x2 – a x sehen alle gleich aus. Es ist hierbei ganz egal, was man für a einsetzt.“ Überprüfen Sie, was Finja hiermit meinen könnte und beschreiben Sie die Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Graphen für unter-schiedliche Werte von a.Welche Unterschiede und Gemeinsamkeiten lassen sich bei den Graphen der Funktionen g, h und i mit g a (x) = x2 + a x + a, h a (x) = a x2 – a und i a (x) = a x3 – a x feststellen?

Funktionen, die nicht nur von einer Variablen x, sondern auch von Parametern abhängen, sind im Kontext linearer oder quadratischer Funktionen bekannt. So verändert sich z. B. der Graph der linearen Funktion f b mit f b (x) = 4 x + b mit dem Parameter b. Die Graphen von f b haben alle die Steigung 4 und verlaufen parallel zueinander. Der Parameter b gibt an, wo die y-Achse geschnit-ten wird. Er kann beliebig gewählt werden, wird aber wie eine Zahl und nicht als Variable betrach-tet. Im Folgenden werden ganzrationale Funktionen mit Parametern genauer untersucht.

Aus einem quadratischen Stück Pappe mit der Seitenlänge a (in cm) soll eine oben offene Schachtel hergestellt werden (vgl. Fig. 2). Haben die Einschnitte die Länge x (in cm), so erhält man für das Volumen V (in cm3): V = x·(a – 2 x)2 = 4 x3 – 4 a x2 + a2 x.Dabei hängt das Volumen V von x und a ab.Geht man von einem quadratischen Stück Pap-pe der festen Länge a aus, so ist das Volu-men V nur noch eine Funktion der Variablen x, d. h. Va (x) = x·(a – 2 x)2 mit DVa

= ]0; a _ 2 [. V a ist eine Schar von Funktionen, a ist der Para-meter der Funktionenschar.Fig. 3 zeigt den Graphen von V a für verschiede-ne Werte von a. Man erkennt, dass alle G raphen durch den Ursprung verlaufen und dass es eine weitere Nullstelle gibt. Für jeden Wert von a gibt es eine Schachtel mit maxima-lem Volumen.Je größer a ist, desto größer ist auch das maximale Volumen. Außerdem verschiebt sich die Lage des Hochpunktes und der weiteren Nullstelle für zunehmendes a nach rechts. Aufgrund der dargestellten Funktionsgraphen kann man vermu-ten, dass bei x = a _ 2 eine Nullstelle liegt und dass das maximale Volumen bei x = a _ 6 erreicht wird.

Enthält ein Funktionsterm außer der Variablen x noch einen Parameter a, so gehört zu jedem a eine Funktion fa , die jedem x den Funktionswert fa (x) zuordnet. Die Funktionen fa bilden eine Funktionenschar.

x

y

–2 –1

–1

1

2

3

1 2 3O

Fig. 1

Fig. 2

a –

2 xa – 2 x

xx

Fig. 3

7 Funktionen mit Parametern


Beispiel Analysieren einer FunktionenscharGegeben ist für a > 0 die Funktionenschar fa mit fa (x) = x2 – a.a) Skizzieren Sie die Graphen der Schar für a = 1; 2; 3; 4.b) Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen. Was bewirkt eine Erhöhung des Parameters?

º Lösung: a) Mit dem GTR kann man mehrere Graphen gleichzeitig darstellen (Fig. 1).b) Gemeinsamkeiten der Graphen:– Alle Graphen sind Parabeln und haben genau einen Tiefpunkt, der auf der y-Achse liegt.– Alle Graphen sind symmetrisch zur y-Achse.Unterschiede und Einfluss des Parameters:– Die Schnittpunkte mit der x-Achse rücken mit wachsendem a weiter auseinander.– Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt mit zunehmendem a weiter unten.

Aufgaben

1 d Gegeben ist die Funktionenschar f t (mit t > 0). Zeichnen Sie die Graphen der Schar für t = 1; 2; 3; 4 mit dem GTR. Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen. Was bewirkt eine Erhöhung des Parameters?a) f t (x) = t x + 1 b) f t (x) = x2 + t x c) f t (x) = t x2 – 4 d) f t (x) = (x + t)3 e) f t (x) = t x3 – t x2 f) f t (x) = t x4 – t x3 g) f t (x) = sin (t x) h) f t (x) = sin (x – t)

2 d Wird ein Ball von 2 m Höhe in einem Winkel von 45° gegenüber der Horizontalen geworfen,

so kann dessen Flugbahn mit dem Graphen der Funktion mit fv (x) = 2 + x – 10 x2 _ 

v2 ; v * R+ mo-

delliert werden. Hierbei ist v ( in m _ s ) der Betrag der Abwurfgeschwindigkeit, x (in m) die horizon-

tale Entfernung vom Abwurfpunkt und fv (x) (in m) die jeweilige Höhe über dem Boden. a) Skizzieren Sie den Graphen von f v für v = 5, v = 10, v = 15 und v = 20. b) Beschreiben Sie, was eine Erhöhung des Wertes für v im Kontext bewirkt.


3 d Die Funktion f mit f d (t) = ( – d2 + 500 d __ 50 000 + 1 ) · ( – t2

_ 180 + t _ 6 ) gibt für 0 ≤ t ≤ 30 näherungsweise

die Wachstumsgeschwindigkeit in cm pro Tag einer Pflanze nach t Tagen an. Der Parameter d mit 0 ≤ d ≤ 500 gibt hierbei an, wie viel mø eines Spezialdüngers täglich während des betrachteten Zeitraums verwendet werden, um das Wachstum der Pflanze zu fördern.a) Zeichnen Sie mit dem GTR die Graphen von fd für d = 0, d = 100, d = 200, d = 300, d = 400 und d = 500 und beschreiben Sie den Einfluss einer Erhöhung der Düngermenge auf das Wachstum. b) Bestimmen Sie mit dem GTR den Wert für d, der aufgrund der Funktion f d ein maximales Wachstum der Pflanze zur Folge hat.

4 d Ein Seil für eine Bergseilbahn soll zwischen zwei Masten gespannt werden. Die Höhe (in Metern) des durchhängenden Seils über dem Meeresspiegel wird durch die Funktion f c mit

f c (x) = 1 + c _ 

15002 x3 – c x + 500 (0 ≤ x ≤ 1500; c ≥ – 1) beschrieben, wobei x die horizontale Entfernung

in Metern vom Startpunkt angibt.a) Zeichnen Sie mithilfe des GTR den Graphen von f c für verschiedene Parameter c. b) Beschreiben Sie die Bedeutung des Parameters c.c) Bestimmen Sie aufgrund der Zeichnungen aus Aufgabenteil a) die Koordinaten der Punkte, durch die alle Graphen von f c verlaufen. Welche Bedeutung haben diese Punkte im Kontext?d) Untersuchen Sie mit dem GTR für welche Werte von c der Graph von f c einen Tiefpunkt im In-tervall [0; 1500] hat.

Fig. 1

$ Eine vertiefende Auf-gabe zur Untersu-chung der Bedeutung eines Parameters im Sachzusammenhang befindet sich auf Seite 44 (Aufgabe 18).



8 Funktionenscharen untersuchen

Johanna behauptet: „Die Hoch- oder Tiefpunkte

der Parabeln mit f a (x) = 1 _ a x2 – 2 x liegen alle

auf einer Geraden.“Überprüfen Sie, ob Johanna Recht hat und be-stimmen Sie ggf. eine passende Geradenglei-chung.

Die Koordinaten der charakteristischen Punkte einer Funktionenschar hängen häufig von ei-nem Parameter ab. Wenn man die Graphen der

Funktionenschar f a mit f a (x) = 1 _ 3 a x3 – x2

(a > 0) betrachtet, stellt man z. B. fest, dass der Tiefpunkt für zunehmende Werte von a immer weiter rechts und immer weiter unten im Ko-ordinatensystem liegt. Die Koordinaten des Tiefpunktes der Funktionenschar lassen sich auch in Abhängigkeit des Parameters a mithil-fe der Ableitungen berechnen. Aus f’ a (x) = 1 _

 a x2 – 2 x = x · ( 1 _ a x – 2 ) =0 erhält man x = 0 oder x = 2 a als mögliche Extremstellen.

Mit f” a (x) = 2 _ a x – 2 erhält man: f” a (0) = – 2 < 0. f a hat also ein lokales Maximum bei x = 0.

f” a (2 a) = 2 > 0. f a hat also ein lokales Minimum bei x = 2 a.

Da f a (0) = 0 und f a (2 a) = 1 _ 3 a · (2 a)3 – (2 a)2 = 1

_ 3 a · 8 a3 – 4 a2 = 8 _ 3 a2 – 4 a2 = – 4 _ 3 a2 gilt, sind die

Koordinaten des Hochpunktes H (0 | 0) unabhängig von a, während die Koordinaten des Tief-

punktes T a ( 2 a | – 4 _ 3 a2 ) von dem Parameter a abhängen.

Die Koordinaten der charakteristischen Punkte des Graphen einer Funktionenschar hängen häufig von dem Parameter ab. Für die Berechnung der Punkte werden die Parameter der Funktion wie eine Zahl behandelt.

Beispiel Untersuchung einer FunktionenscharGegeben ist die Funktionenschar fa mit f a (x) = x2 – 2 a x + 8 a – 16.a) Zeigen Sie, dass die Graphen von fa alle durch den Punkt S (4 | 0) verlaufen.b) Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes der Graphen von fa in Abhängigkeit von a.c) Skizzieren Sie die Graphen von fa für a = 1 und a = 2.

º Lösung: a) Es gilt: f (4) = 42 – 2 a · 4 + 8 a – 16 =16 – 8 a + 8 a – 16 = 0.Also verlaufen alle Graphen der Funktionenschar fa durch S (4 | 0). b) f’ (x) = 2 x – 2 a; f” (x) = 2. Auflösen von f’ (x) = 2 x – 2 a = 0 ergibt x = a.Da f” (a) = 2 > 0 gilt, hat der Graph bei x = a einen Tiefpunkt.Es gilt f (a) = a2 – 2 a2 + 8 a – 16= – a2 + 8 a – 16. Also T (a | – a2 + 8 a – 16).c) Für a = 1 erhält man T (1 | – 9), für a = 2 T (2 | – 4). (Graphen von f 1 und f 2 siehe Fig. 3).

–4 –3 –2 –1

–2

–3

–1

O

1

2

3

1 2 3 4 5

x

y

Fig. 1

–5

–10

–15

–20

–5

O

5

5 10 15

x

y

Fig. 2

Beim Ableiten der Funkti-on fa wird der Parameter a wie eine Zahl behan-delt.

–2–2

–4

–6

–8

–10

O

2

42

x

y

A

B

f2

f1

Fig. 3


Aufgaben

1 Gegeben ist die Funktionenschar fa (a > 0). Bestimmen Sie die Ableitung von f sowie die Steigung des Graphen an der Stelle x = 0. Für welchen Wert von a beträgt die Steigung des Graphen 1?a) f a (x) = – x2 + a x b) f a (x) = a x3 – 3 a x c) f a (x) = a x4 – 4 x3 + a2 x

d) f a (x) = a x4 + 2 x2 + (a2 – 3) x e) f a (x) = 1 _ a x2 + 2 _

 a x + a f) f a (x) = x2 + ( a _ 2 – 1 _ 3 ) x + 1

2 Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von fa in Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a liegt einer der Extrempunkte auf der x-Achse?

a) f a (x) = x2 – a x + 4 b) f a (x) = a x3 – 3 a x + 1 c) f a (x) = 1 _ 3 x3 – a x

d) f a (x) = x3 – 3 a2 x + 2 e) f a (x) = x3 – 3 a2 x + 2 a3 f) f a (x) = 1 _ 4 x4 – a _ 4 x2

3 Gegeben ist die Funktionenschar fa mit f a (x) =– x2 + 3 a x – 6 a + 4.a) Zeigen Sie, dass alle Graphen von fa durch den Punkt P (2 | 0) verlaufen.b) Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von fa in Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a liegt der Extrempunkt auf der x-Achse bzw. auf der y-Achse?c) Skizzieren Sie den Graphen für a = 1 und a = 2.

4 Gegeben ist die Funktionenschar fa mit f a (x)= – a x3 + 4 a x (a ≠ 0).a) Begründen Sie, dass alle Graphen der Funktionenschar punktsymmetrisch zum Ursprung ver-laufen.b) Zeigen Sie, dass alle Graphen von fa durch die Punkte P (– 2 | 0) und Q (2 | 0) verlaufen.c) Zeigen Sie, dass alle Graphen von fa genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt besitzen.d) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente von fa und berechnen Sie, für welchen Wert von a diese Tangente die Steigung m = 8 hat.


5 Gegeben ist die Funktionenschar fa mit f a (x) = 1 _ a x2 – 4 x (a ≠ 0).

a) Zeigen Sie, dass alle Graphen von f a durch den Ursprung verlaufen und bestimmen Sie weitere Schnittpunkte mit der x-Achse in Abhängigkeit von a.b) Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von fa in Abhängigkeit von a. Für welche Werte von a hat f a einen Hochpunkt bzw. Tiefpunkt? Begründen Sie.c) Skizzieren Sie die Graphen von f a für a = 1 und a = – 1.

6 Gilt immer – gilt nie – es kommt darauf anGegeben ist die Funktionenschar fa mit f a (x) = a x2 + a x + 4 (a ≠ 0).Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen immer gelten, nie gelten oder von dem Wert des Para-meters a abhängen. Begründen Sie.a) Der Graph von f a hat keine Wendestelle.b) Der Graph von f a hat einen Hochpunkt.c) Der Graph hat von f a schneidet die y-Achse im Punkt A (0 | 4).d) Der Graph von f a schneidet die x-Achse zweimal.e) Der Graph von f a ist eine nach oben geöffnete Parabel.f) Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 0 ist größer als an der Stelle x = 1.g) Der Graph von f a verläuft durch den Punkt P (10 | 0).

Die Tangente im Wende-punkt heißt Wendetan-gente.



INFO Aufgaben 7 – 11

Ortskurven charakteristischer Punkte bei Funktionenscharen

Für die Tiefpunkte der Graphen von f a mit f a (x) = 1 _ 3 a x3 – x2 (mit a > 0) gilt T a ( 2 a | – 4 _ 3 a

2 ) .Durchläuft der Parameter a alle zugelassenen Werte, so liegen alle Tiefpunkte auf einer Kurve (vgl. Fig. 1). Diese Kurve heißt Ortskurve oder Ortslinie der Tiefpunkte T a .Eine Gleichung hierzu erhält man wie folgt:1. Schritt: x-Koordinate des Tiefpunktes nach dem Parameter umformen:Mit x = 2 a erhält man a = x _ 2 .2. Schritt: Einsetzen des Terms in die y-Koordi-nate des Tiefpunktes:

a = x _ 2 in y = – 4 _ 3 a2 ergibt

y = – 4 _ 3 · ( x _ 2 ) 2 = – 4 _ 3 · x2 _ 4 = – 1 _ 3 x2

Alle Tiefpunkte liegen auf dem Graphen der

Funktion g mit g (x) = – 1 _ 3 x2.

7 Gegeben ist die Funktionenschar ft (t * R≠0). Bestimmen Sie den Scheitelpunkt in Abhängig-keit von t sowie die zugehörige Ortskurve. Skizzieren Sie die Graphen für t = 1 und t = – 1.a) ft (x) = x2 + t x + 2 b) ft (x) = t x2 + t2 x c) ft (x) = t x2 + xd) ft (x) = – t x2 + 4 x e) ft (x) = x2 + t x + t f) ft (x) = t3 x2 + t2 x + tg) Beschreiben Sie, welchen Einfluss der Parameter t bei den Funktionen aus den Aufgabenteilen a) bis f) jeweils auf den Verlauf des Graphen hat.

8 Gegeben ist die Funktionenschar fa mit f a (x) = x2 – a x3 + 1 (a ≠ 0).a) Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Graphen von f a einen Wendepunkt haben.b) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Wendepunkte der Schar alle auf einer Parabel liegen und bestimmen Sie die zugehörige Gleichung.

9 Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a (x) = x4 – a x2.a) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktionenschar für a ≤ 0 keinen Hochpunkt haben.b) Bestimmen Sie für a > 0 die Ortskurve der Tiefpunkte und Wendepunkte der Schar.c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt P (1 | f (1)). Für welchen Wert von a beträgt die Steigung – 0,5?

10 Wird ein Ball von einer Höhe von 2 m in einem Winkel von 45° ge-genüber der Horizontalen geworfen, so kann dessen Flugbahn mit dem Graphen der Funktion mit

fv (x) = 2 + x – 10 x2 _ 

v2 ; v * R+ modelliert werden. Hierbei ist v ( in m _ s ) der Be-

trag der Abwurf geschwindigkeit, x (in m) die horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt und fv (x) (in m) die jeweilige Höhe über dem Boden. Auf welcher Ortskurve befinden sich die Hochpunkte der Graphen?

11 Gegeben ist die Funktionenschar f a mit f a (x) = x2 – a.a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Tiefpunkte der Graphen von f a in Abhängigkeit von a.b) Begründen Sie, warum die Orstlinie der Tiefpunkte keine Funktion ist.

Ortskurven bzw. Ortslini-en sind nicht immer Funktionen (vgl. Aufga-be 11)

–6 –4 –2

–4

–6

–8

–10

–12

–2

O

2

2 4 6 8 10 12

x

y

T1

T2

T3g (x) = – 1 _ 3 x2

f 1 f 2 f 3

g

Fig. 1

$ Eine vertiefende Aufgabe zur Untersu-chung von Funktionen-scharen befindet sich auf Seite 44 (Auf-gabe 17).


INFO Aufgaben 12 – 15

Gemeinsame Punkte der Graphen einer FunktionenscharTeilweise verlaufen alle Graphen einer Funktionenschar durch einen oder mehrere gemeinsame Punkte. Der Funktionswert an dieser Stelle hängt dann nicht vom Parameter ab. Um mögliche ge-meinsame Punkte zu finden, kann man zwei unterschiedliche Namen a 1 bzw. a 2 (a 1 ≠ a 2 ) für den Parameter wählen und prüfen, ob die Gleichung f a 1 (x) = f a 2 (x) eine Lösung besitzt, die nicht vom Parameter abhängt. Für die Funktionenschar f a mit f a (x) = x3 – a x2 – x + a erhält man folgende Rechnung:Aus fa1

(x) = fa2 (x) (a1 ≠ a2) folgt:

x3 – a1 x2 – x + a1 = x3 – a2 x2 – x + a2 | – x3 + x – a1 x2 + a1 = – a2 x2 + a2 | – a1 + a2 x2

a2 x2 – a1 x2 = a2 – a1 x2·(a2 – a1) = a2 – a1 | : (a2 – a1)

x2 = a2 – a1

_ a2 – a1 = 1

x1 = 1; x2 = – 1

Funktionswerte zweier beliebiger Funktionen der Schar mit a1 und a2 müssen gleich sein.Durch Auflösen nach x erhält man die x-Koordinate des Schnittpunktes zweier belie-biger Funktionen der Schar.Die Lösung hängt nicht von a 1 oder a 2 ab.

fa (1) = 0; fa (– 1) = 0. Also verlaufen alle Graphen durch S1 (1 | 0) und S2 (– 1 | 0) (vgl. Fig. 1).

12 Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa (x) = – x3 + a x2 – x – a x (a * R).a) Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar.b) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktion für alle Werte von a einen Wendepunkt haben. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes und die zugehörige Ortskurve.

13 Gegeben ist die Funktionenschar ft mit ft (x) = x3 – 12 t2 x (t * R+).a) Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte der Schar in Abhängigkeit von t und skizzieren Sie den Graph für t = 0,5.b) Auf welcher Ortskurve liegen alle Hoch- und Tiefpunkte der Schar?c) Bestimmen Sie rechnerisch die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar.d) Berechnen Sie die Steigung des Graphen im Ursprung in Abhängigkeit von t. Für welchen Wert von t beträgt dort die Steigung – 1?

14 Gegeben ist die Funktionenschar fk mit fk (t) = 0,5 t3 – 1,5 k t2 + 6 k t – 6 t + 50 (k * R).a) Untersuchen Sie die Funktionenschar auf Extrempunkte in Abhängigkeit von k.b) d Für welche Werte von k liegt der Tiefpunkt des Graphen unterhalb der x-Achse?c) Zeigen Sie rechnerisch, dass sich alle Graphen der Funktionenschar in zwei Punkten schneiden und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.d) Die Funktionen f3 und f5 geben für t * [0; 4] näherungsweise die Geschwindigkeit in km/h von zwei Zugvögeln während eines Fluges an (t entspricht der Zeit in Stunden). Untersuchen Sie mit-hilfe der Ergebnisse aus a) bis c) und ggf. weiterer Überlegungen oder Rechnungen, welcher Vo-gel innerhalb dieses Zeitraums im Durchschnitt schneller fliegt.

15 d a) Gegeben ist die Funktionenschar fk mit fk (x) = x·(x2 – k x + 3 k). Skizzieren Sie mithilfe des GTR den Graphen von fk für verschiedene Parameter k zwischen – 5 und 15. b) Welche Vermutung über gemeinsame Punkte aller Scharkurven haben Sie? Überprüfen Sie Ihre Vermutung rechnerisch. c) Welche Vermutung über die Anzahl der Extrempunkte haben Sie? Überprüfen Sie Ihre Vermu-tung rechnerisch.

Zeit zu wiederholen

16 Schnittpunkte von FunktionsgraphenBerechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f und g mit f (x) = x4 + 6 x2 – 5 und g (x) = 4 x2 – 2.

Fig. 1


Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen

I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 41Lösungen auf Seite 405 – 406.

0 Wiederholen und Üben

1 In dem nebenstehenden Diagramm wird die Entwicklung der Temperatur in °C an einem Frühlingstag veranschaulicht.a) Berechnen Sie mithilfe von Werten, die Sie dem Diagramm entnehmen, die mittlere Ände-rungsrate der Temperatur von 0 Uhr bis 4 Uhr und von 10 Uhr bis 12 Uhr. b) Lesen Sie ab, wann die Temperatur am stärksten ansteigt. Wie hoch ist die Tempera-turzunahme zu diesem Zeitpunkt etwa?c) Bestimmen Sie näherungsweise die Stei-gung der Tangente an den Graphen für x = 12(12 Uhr). Erklären Sie, welche Bedeutung die Steigung der Tangente hat.

2 Ein Auto beschleunigt. Die Strecke (in m), die das Auto nach t Sekunden zurückgelegt hat, kann näherungsweise durch die Funktion f (t) = 2 t2 beschrieben werden.a) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos innerhalb der ersten 10 Sekunden.b) Berechnen Sie die momentane Geschwindigkeit des Autos nach 10 Sekunden.

3 Fig. 2 zeigt den Graphen einer Funktion f.Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch? Begründen Sie.a) Die Ableitung von f hat im dargestellten Be-reich drei Nullstellen.b) Die zweite Ableitung von f hat im darge-stellten Bereich drei Nullstellen.c) f’ (– 1) < 0.d) f’ (3) > 0.e) f” (1) = 0.f) f” (0) < 0.

4 Berechnen Sie die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f und skizzieren Sie dann den Graphen.a) f (x) = x4 – 4 x2 + 3 b) f (x) = – x3 + 3 x2 – 4 c) f (x) = 0,5 x3 + x2 – 3,5 x

d) f (x) = 1 _ 9 x3 – 3 x + 1 e) f (x) = x4 – 4 x2 f) f (x) = 1 _ 3 x3 – 1 _ 2 x2 + 1 _ 4

5 Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen von f.a) f (x) = x3 – x2 + 3 x b) f (x) = x4 – 8 x3 + 18 x2 + 8 c) f (x) = 20 x5 – 80 x4

d) f (x) = 1 _ 3 x3 – x2 e) f (x) = x4 – x3 + x f) f (x) = 1 _ 5 x4 – 1 _ 5 x3 + x

6 Die Funktion f beschreibt die Geschwindigkeit eines Autos ( in m _ s ) in Abhängigkeit von der Zeit t (in s). Geben Sie jeweils die mathematischen Beschreibungen an.a) In den ersten zehn Sekunden nimmt die Geschwindigkeit gleichmäßig von 0 auf 20 m _ s zu.b) Nach 30 Sekunden wird für fünf Sekunden abgebremst.c) Die stärkste Zunahme der Geschwindigkeit ist nach 15 Sekunden.

Online-Code5mj6ra KopiervorlageCheckliste

2468

10121416

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24O

Temperatur in °C

Uhrzeit

Fig. 1

x

y

–1

–1

–2

1

2

1 2 3 4O

f

Fig. 2

Mithilfe eines Selbstein-schätzungsbogens (Checkliste mit Hilfen) kann man sich einen Überblick verschaffen, was man gut kann bzw. noch üben muss.


42 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen auf Seite 406 – 407.

7 d Die Flugbahn eines Balles verläuft annähernd parabelförmig. Der Ball erreicht nach einem Meter eine Höhe von 2,94 m, nach 2 m eine Höhe von 3,94 m und nach 3 m eine Höhe von 4,86 m.a) Bestimmen Sie eine Funktion, die die Flugbahn des Balles modelliert.b) Bestimmen Sie die Abwurfhöhe, die maximale Höhe sowie die Weite des Wurfes.

$ Vertiefen und Anwenden

8 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1 _ 6 x3 – 3 _ 4 x2 + 2.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt des Graphen.b) Welchen Flächeninhalt schließt die Tangente mit den positiven Koordinatenachsen ein?

9 Gegeben ist der Graph der zweiten Ablei-tung f” einer Funktion f (Fig. 1). Welche der fol-genden Aussagen sind wahr? Begründen Sie.a) f’ ist streng monoton zunehmend.b) Der Graph von f’ hat einen Wendepunkt an der Stelle x = 0.c) Der Graph von f ist für x > 0 linksgekrümmt.d) Der Graph von f’ ist für x > 0 linksgekrümmt.

10 Gegeben sind die Graphen der Ableitungen der Funktionen f, g und h.

–1

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5Ox

y

f’

–1

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5Ox

y

g’

–1

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5Ox

y

h’

Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

a) Auf welche der Ausgangsfunktionen f, g oder h treffen die Aussagen zu? Begründen Sie.(1) Der Graph der Ausgangsfunktion hat weder Hoch- noch Tiefpunkte.(2) Der Graph der Ausgangsfunktion hat einen Sattelpunkt.(3) Der Graph der Ausgangsfunktion hat einen Wendepunkt.(4) Die Ausgangsfunktion hat genau eine Extremstelle.(5) Die Steigung im Wendepunkt des Graphen der Ausgangsfunktion ist positiv.(6) Der Graph der Ausgangsfunktion ist im Intervall [0; 1] streng monoton fallend.b) Skizzieren Sie für x * [0; 4] jeweils einen möglichen Graphen der Ausgangsfunktionen f, g und h.

11 Gilt immer – gilt nie – es kommt darauf anEntscheiden Sie sich bei jeder Aussage für eine der Optionen und begründen Sie Ihre Wahl.a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades hat keinen Wendepunkt.b) Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat genau einen Wendepunkt.c) Der Graph einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades hat n – 2 Wendepunkte.d) Bei ganzrationelen Funktionen liegt zwischen zwei Extrempunkten ein Wendepunkt.e) Zwischen zwei Wendepunkten eines Funktionsgraphen liegt ein Extrempunkt.

Online-Code q7s6hh Stroboskopaufnah-men

f”

Fig. 1


I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 43Lösungen auf Seite 407 – 408.

12 Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion f, der die folgende Bedingung erfüllt. a) Der Graph von f ist rechtsgekrümmt und besitzt keinen Hochpunkt.b) Der Graph von f hat einen Sattelpunkt auf der y-Achse, links davon ist der Graph rechtsge-krümmt und rechts davon linksgekrümmt.c) Der Graph von f hat einen Hochpunkt im Ursprung und genau einen Wendepunkt.d) f’ und f” haben nur positive Funktionswerte.e) f’ hat einen Hochpunkt, aber keine Nullstellen und keinen Tiefpunkt.f) Der Graph von f ist eine Parabel und es gilt f (3) = – 2, f’ (3) = 2 sowie f” (3) < 0.

13 Gegeben sind f und g mit f (x) = 0,5 x2 + 2 und g (x) = x2 – 2 x + 2.a) Für welchen Wert x * [0; 4] wird die Summe der Funktionswerte maximal bzw. minimal? Geben Sie für f, g und f + g die globalen Extremwerte an und erläutern Sie, ob es sich um ein in-neres Extremum oder ein Rand extremum handelt.b) Beantworten Sie die Fragestellungen aus a) für die Differenz der Funktionswerte.

14 a) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph im Ursprung einen Hochpunkt besitzt und durch die Punkte A (1 | 0) und B (2 | 4) verläuft.b) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in W (0 | 3) einen Wendepunkt und in T (1 | 1) einen Tiefpunkt hat.c) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph sym-metrisch zur y-Achse und durch die Punkte A (0 | 1), B (1 | –1) und C (2 | 5) verläuft.d) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und in H (3 | 54) einen Hochpunkt hat.

15 d a) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in T (1 | –2) einen Tiefpunkt besitzt und durch die Punkte A (0 | –1) und B (2 | 1) verläuft.b) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph in W (1 | –1) einen Wendepunkt hat und durch die Punkte A (0 | 1) und B (3 | 1) verläuft.c) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph in T (0 | 1) einen Tiefpunkt besitzt und durch die Punkte A (–1 | 4), B (1 | 2) und C (2 | 13) verläuft.d) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, deren Graph sym-metrisch zur y-Achse ist, in T (2 | –14) einen Tiefpunkt hat und durch den Punkt A (1 | –5) verläuft.

16 Durch das Zentrum Z eines Dorfes führt eine geradlinige Hauptstraße. Es soll eine Um-gehungsstraße gebaut werden, die symmet-risch zur Nord-Süd-Achse des Dorfes verläuft, in A und B tangential in die geradlinige Haupt-straße mündet und 500 m nördlich vom Dorf-zentrum durch den Punkt C führt (vgl. Fig. 1, eine Längeneinheit entspricht 1 km). Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzratio-nalen Funktion vierten Grades, die den Verlauf der Umgehungsstraße für –1 ≤ x ≤ 1 beschrei-ben könnte.

Fig. 1

1,5

1

0,5

x

y

–1,5 –1 –0,5 O 0,5 1

Z(0|0,5)A(–1|0,5) B(1|0,5)

C(0|1)

N


44 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen auf Seite 408 – 409.

17 Gegeben sind f a und g a mit f a (x) = 1 _ 6 x3 – a2 _ 4 x2 und g a (x) = – 1 _

 a x2 + 3 a _ 2 x (a > 0).

a) Zeigen Sie, dass die Nullstellen von f a und g a für alle a > 0 übereinstimmen.b) Bestimmen Sie die Hochpunkte der Graphen von g a in Abhängigkeit von a. Berechnen Sie, für welche Werte von a der Hochpunkt der Graphen von g a oberhalb der Geraden g mit g (x) = 4,5 liegt.c) Berechnen Sie die Hoch- und Tiefpunkte von f a sowie die Ortskurve der Tiefpunkte.

18 d Bei einer Zentralheizung wird die Temperatur im Heizkessel in Abhängigkeit von der Außentemperatur gesteuert. Der Zusammenhang zwischen der Außentemperatur x (in °C) und der Temperatur im Heizkessel wird durch eine Heizkurve beschrieben. Diese Heizkurve kann durch einen Regler in ihrer Steilheit s verändert werden. Für die Temperatur H s (in °C) im Heiz-kessel gilt: H s (x) = s · (– 0,001 x2 – 0,09 x + 2,2) + 25 mit 0 ≤ s ≤ 20 und – 30 ≤ x ≤ 20.a) Skizzieren Sie für s = 9, 14 und 18 die Heizkurven in ein gemeinsames Koordinatensystem.b) Die Werkseinstellung ist s = 14. Wie hoch ist dann die Kesseltemperatur bei einer Außentem-peratur von 0 °C bzw. – 15 °C? Wie wirkt sich eine Erhöhung von s auf die Kesseltemperatur aus?c) Bei welcher Außentemperatur beträgt in der Werkseinstellung die Kesseltemperatur 80 °C?

. Vernetzen und Erforschen

19 Johann muss bei der Gesellenprüfung zum Steinmetz folgende Aufgabe bearbeiten:„Von einer rechteckigen Sandsteinplatte mit den Maßen 150 cm × 100 cm × 6 cm (Länge × Breite × Tiefe) ist durch einen Transportunfall eine Ecke abgebrochen. Die Bruchstelle wurde bereits etwas begradigt (vgl. Fig. 1). Erstellen Sie aus dieser Platte eine möglichst große rechteckige Tischplatte.

20 Wird ein Papierstreifen wie in Fig. 2 im Punkt F waagerecht eingeklemmt und im gleich hohen Punkt L lose aufgelegt, biegt er sich etwas durch.a) Führen Sie eigene Versuche mit unter-schiedlichen Papiersorten durch. Begründen Sie, wes halb im Punkt L ein Wendepunkt ist,wenn man den Papierstreifen als Graphen einer Funktion betrachtet.b) Bei einem Abstand der Bücher von 20 cm zwischen F und L ergab sich für einen Streifen in der Mitte zwischen F und L eine Durchbiegung von 1,5 cm. Wählen Sie ein geeignetes Koordinaten-system und bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion, welche die Form des Papierstreifens be-schreiben könnte. Welchen Grad muss die Funktion mindestens haben? Begründen Sie.c) Berechnen Sie mit der Funktion aus b) die größte Durchbiegung des Papierstreifens.

21 1-Liter-Milchtüten haben zum Teil die Form einer quadratischen Säule. Diese Tüten sind aus einem einzigen rechteckigen Stück Pappe durch Falten und Verkleben hergestellt. Fig. 3 zeigt das Netz einer solchen Tüte. Die Tüten werden bis 2 cm unter dem oberen Rand gefüllt.Bestimmen Sie den Flächeninhalt der verwende-ten Pappe als Funktion der Grundkantenlänge x.Ist die reale Milchtüte hinsichtlich des Material verbrauchs optimiert? Begründen Sie.

Fig. 1F

L

Fig. 2

Fig. 3

Rückblick


f (x) = x3 – 3 xf’ (x) = 3 x2 – 3 = 3 (x + 1) (x – 1); f” (x) = 6 xNotwendige Bedingung: f’ (x) = 0Aus 3 (x + 1) (x – 1) = 0 folgt x1 = –1; x2 = 1.Hinreichende Bedingung für x1 und x2 prüfen:f’’ (–1) = – 6 < 0, also besitzt f ein lokales Maxi-mum bei x = –1.f (–1) = 2, also Hochpunkt H (–1 | 2).f’’ (1) = 6 > 0, also besitzt f ein lokales Mini-mum bei x = 1.f (1) = –2, also Tiefpunkt T (1 | –2).

f” (x) = 6 x > 0 für x > 0. Der Graph von f ist also für x > 0 linksgekrümmt. f” (x) = 6 x < 0 für x < 0; somit ist der Graph von f für x < 0 rechtsgekrümmt.f” (x) = 0 liefert x = 0. Es ist f”’ (0) = 6 ≠ 0, somit ist x3 = 0 Wendestelle.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat in H (0 | 4) einen Hoch- und in W (1 | 2) einen Wendepunkt.Ansatz: f (x) = a x3 + b x2 + c x + d f’ (x) = 3 a x2 + 2 b x + c f” (x) = 6 a x + 2 b Extremstelle bei x = 0: f’ (0) = 0, also c = 0Hochpunkt in H (0 | 4): f (0) = 4, also d = 4Wendestelle für x = 1: f” (1) = 0, also 6 a + 2 b = 0Wendepunkt W (1 | 2): f (1) = 2, also a + b + 4 = 2Man erhält als Lösung f (x) = x3 – 3 x2 + 4.

ft (x) = x3 – 12 t2 x mit t * R+

f t ’ (x) = 3 x2 – 12 t2; f t ’’ (x) = 6 xDie Graphen von ft haben für t > 0 in Tt (2 t | – 16 t3) Tiefpunkte.

Auflösen von x = 2 t nach t ergibt t = 0,5 x. Einsetzen in y = – 16 t3 liefert die Ortskurve: y = – 16·(0,5 t)3 = – 16·0,125 t3 = – 2 x3.

Fig. 1

T(1 1–2)

2

x

y

2 O –2

–2

4

–4

H(–1 12)

f (x) = x3 – 3x

W(0 10)

Bestimmung lokaler Extremstellen1. f’ und f” werden bestimmt.2. Notwendige Bedingung f’ (x0) = 0 wird untersucht.3. Hinreichende Bedingung: Wenn f’ (x0) = 0 und f” (x0) < 0 ist, dann hat f bei x0 ein lokales Maximum f (x0).Wenn f’ (x0) = 0 und f” (x0) > 0 ist, dann hat f bei x0 ein lokales Minimum f (x0).Wenn f’ (x0) = 0 und f” (x0) = 0 ist, dann prüft man das VZW-Kriterium: Hat f’ an der Stelle x 0 einen VZW von + nach –, so hat f an der Stelle x0 ein lokales Maximum f (x0).von – nach +, so hat f an der Stelle x0 ein lokales Minimum f (x0).

Links- und RechtskurveWenn f” (x) > 0 in Ø ist, dann ist der Graph von f in Ø linksgekrümmt.Wenn f” (x) < 0 in Ø ist, dann ist der Graph von f in Ø rechtsgekrümmt.

Bestimmung von Wendestellen1. f’, f” und f’’’ werden bestimmt.2. Notwendige Bedingung f” (x0) = 0 wird untersucht.3. Hinreichende Bedingung: Wenn f” (x0) = 0 und f’’’ (x0) ≠ 0 ist, dann hat f an der Stelle x0 eine Wendestelle. Wenn f’’ (x0) = 0 und f”’ (x0) = 0 ist, dann prüft man das VZW-Kriterium: Hat f’’ an der Stelle x 0 einen VZW, so hat f an der Stelle x0 eine Wende-stelle.Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt Sattelpunkt.

Bestimmen ganzrationaler Funktionen1. Den Grad der Funktion festlegen und die entsprechende Funktions-

gleichung mit allgemeinen Parametern notieren. 2. Aufstellen geeigneter Bedingungen mithilfe von f, f’ und f”. Zur Be-

stimmung einer Funktion n-ten Grades benötigt man mindestens n + 1 Bedingungen, aus denen man n + 1 lineare Gleichungen erhält.

3. Lösen des linearen Gleichungssystems.4. Berechnete Parameter in die Funktionsgleichung einsetzen und das

Ergebnis überprüfen.

FunktionenscharenEnthält ein Funktionsterm außer der Funktionsvariablen x noch einen Pa-rameter t, so gehört zu jedem t eine Funktion ft. Die Funktionen ft bilden eine Funktionenschar.Beim Ableiten wird der Parameter wie eine Zahl behandelt.

OrtskurvenEine Kurve, auf der z. B. alle Tiefpunkte der Graphen einer Funktionen-schar f t liegen, nennt man Ortskurve der Tiefpunkte. Zum Bestimmen der Ortskurve berechnet man zunächst die Koordinaten des Tiefpunktes in Abhängigkeit des Parameters t und eliminiert dann aus der Darstellung der x- und y-Koordinaten den Parameter t. Man erhält eine Gleichung mit den Variablen x und y.

Training

46 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Lösungen auf Seite 409.

1 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x4 – 4 x2 + 3.a) Bestimmen Sie die Nullstellen von f sowie die Nullstellen der Ableitungsfunktionen f’ und f’’. Deuten Sie die Ergebnisse.b) Untersuchen Sie, ob der Graph von f symmetrisch ist, und skizzieren Sie seinen Verlauf.c) Skizzieren Sie ebenfalls die Graphen von f’ und f”.

2 Gegeben ist eine Funktion f mit f (x) = – 1 _ 3 x3 + x2 – x.a) Welches Verhalten zeigt f für x ¥ ∞ und für x ¥ – ∞ ?b) In welchen Punkten schneidet der Graph von f die Koordinatenachsen? Gibt es Extrem- und Wendepunkte? Begründen Sie.c) Leiten Sie aus den zu Teilaufgabe b) erhaltenen Ergebnissen Aussagen zur Monotonie und zum Krümmungsverhalten ab.

3 Die Entwicklung der Preise für Baugrundstücke in einer deutschen Großstadt in Euro pro Quadratmeter kann für die Jahre 2000 bis 2009 näherungsweise durch die Funktion f mit f (x) = – 0,4 x3 + 2,7 x2 + 16 x + 285 beschrieben werden, wobei x = 0 dem Jahr 2000 und x = 9 dem Jahr 2009 entspricht.a) Bestimmen Sie rechnerisch mithilfe der Funktion f, in welchem Jahr die Grundstückspreise am höchsten waren und wie hoch der Höchstpreis im Zeitraum von 2000 bis 2009 war.b) Untersuchen Sie rechnerisch mithilfe der Funktion f, wann die Grundstückspreise im Zeitraum von 2000 bis 2009 am meisten angestiegen sind.c) d In einer Zeitung aus dem Jahre 2009 steht, dass die Grundstückspreise während einer Im-mobilienkrise von 2007 bis 2009 gesunken seien. Man gehe jedoch davon aus, dass sich die Preise in den Jahren 2010 und 2011 ungefähr auf dem Niveau von 2009 halten können. Überprüfen Sie, ob die Funktion f geeignet ist, den in der Zeitung beschriebenen Verlauf für die Jahre 2010 und 2011 zu beschreiben.

4 In Fig. 1 ist für die erste Stunde eines Radrennens die Strecke in km dargestellt, die ein Radfahrer bis zum Zeitpunkt t (in Stunden) zurückgelegt hat. Mithilfe der Funktion f mit f (t) = –44 t3 + 62,3 t2 + 20,9 t kann man näherungsweise den bis zum Zeitpunkt t zurückgelegten Weg berechnen.a) Bestimmen Sie f’ (0,25) sowie f’ (0,5) und erläutern Sie, welche Bedeutung diese Werte im Sachzusammenhang haben. Wie könnte man im Sachzusammenhang Unterschiede zwischen den Werten von f’ (0,25) und f’ (0,5) erklären?b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Radfahrer die höchste Geschwindigkeit erreicht und geben Sie die Höchstgeschwindigkeit an.c) d Die Ursprungsgerade g (t) = 40,615 t kann ebenfalls verwendet werden, um die bis zum Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke näherungs-weise zu bestimmen. Begründen Sie, warum die Funktion g besser geeignet ist als f, um die Strecke zu schätzen, die der Rennfahrer imweiteren Rennverlauf nach t Stunden zurückgelegt hat.

5 Der Punkt C (a | f (a)) liegt auf dem Graphen der Funktion f mit f (x) = – x2 + 25. Berechnen Sie den Wert für a > 0, sodass der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A (0 | 0), B (a | 0) und C möglichst groß wird.

454035302520151050

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Fig. 1

Training

I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 47Lösungen auf Seite 410.

6 Die Anzahlen der Autos, die ein Hersteller innerhalb eines Monats jeweils verkauft hat, sind in Fig. 1 dargestellt. Im Dez. 2008 (t = 0) er-reichte das Unternehmen mit 5000 verkauften Autos die bisher höchste Zahl. Zum Zeitpunkt t = 12 (Dez. 2009) ist die Anzahl der verkauften Autos auf den bisher tiefsten Wert von 2408 verkauften Autos gesunken. Das Unternehmen geht davon aus, dass die Zahl der verkauften Autos aufgrund einer Werbemaßnahme in den Folgemonaten wieder ansteigt.a) Bestimmen Sie mithilfe der angegebenen Extremstellen eine ganzrationale Modellfunktion 3. Grades, die den Sachverhalt beschreibt.[zur Kontrolle: f (t) = 3 t3 – 54 t2 + 5000]b) Berechnen Sie den Wendepunkt der Funktion f und beschreiben Sie seine Bedeutung im Kontext.c) Ein Mitarbeiter modelliert den Sachverhalt durch die folgende Modellfunktion g mit g (t) = – 0,16 t4 + 6,84 t3 – 77,04 t2 + 5000. Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Extremstellen der Funktion g mit dem oben beschriebenen Verlauf der Verkaufszahlen übereinstimmen.d) d Aufgrund einer Marktanalyse geht man davon aus, dass die Anzahl der verkauften Autos im nächsten Jahr, d. h. für 12 < t ≤ 24 bis etwa August leicht steigt. Der Höchstwert von 5000 verkauf-ten Autos wird voraussichtlich jedoch nicht wieder erreicht. Untersuchen Sie, welche der beiden Funktionen dies angemessen berücksichtigt und aufgrund der Ergebnisse der Marktanalyse für eine Prognose der verkauften Autos für 12 < t ≤ 24 besser geeignet ist.

7 Bestimmen Sie jeweils eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion, die zu den ab-gebildeten Graphen passen könnte. Überlegen Sie zunächst, welchen Grad die Funktion mindes-tens haben muss, und nutzen Sie, falls möglich, Symmetrieeigenschaften aus.a) b) c)

–2

–4

–6

–2 O 2 4

xy

H(0|–2)

T(2|–6)

1

O–1

–3

–4 –2 2

y

xH(0|1)

W(–1|–1)

4

O

–6

–4

–4–6 4 6

y

x

T1(–2|–4) T2(2|–4)

H(0|4)

8 Gegeben ist die Funktionenschar ft mit ft (x) = x3 – t2 x + 3 (t * R+). (Graph von f1 in Fig. 2)a) Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Graphen von ft punktsymmetrisch zum Punkt P (0 | 3) ver laufen.b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Hochpunkte von ft sowie die zugehörige Ortskurve.

9 Zu jedem k * R ist eine Funktion fk gegeben durch fk (x) = x2 + k x – k. Ihr Graph sei Ck.a) Zeichnen Sie C0 , C1 , C –1 und C –2 in ein gemeinsames Koordinatensystem.b) Bestimmen Sie für ein allgemeines k das globale Minimum der Funktion fk.c) Für welchen Wert von k berührt Ck die x-Achse?d) Welche Funktionen fk haben zwei verschiedene Nullstellen? Welche haben keine Nullstellen?e) Zeigen Sie, dass es einen Punkt gibt, durch den alle Kurven Ck gehen. Geben Sie ihn an.

6000

5000

4000

3000

2000

1000

00 2 4 6 8 10 12

Fig. 1

Fig. 2

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Eigenschaften ganzrationaler Funktionen · sendem x zu, ebenso für x 2 < x < x 3und x 4 < x. f ist in diesen Intervallen streng xmonoton wachsend. Für x 1 < x < x 2 und für x 3