Graphen ganzrationaler FunktionenDefinitionFunktion mit einem Term der Form f (x) = an x

n + an−1xn−1 + ... + a2 x

2 + a1 x1 + a0 mit der

Definitionsmenge ℝ , n∈ℕ , an , an−1 , ... , a2,a1,a0 und an≠0 nennt man ganzrationale Funktion n-ten Grades

BenennungEine ganzrationale Funktion wird nach dem Grad ihrer höchsten Potenz benannt, zum Beispiel:f (x) = x3+x2−x

Hier ist die höchste Potenz 3, also wird diese Funktion „Polynom dritten Grades“ genannt.

f (x) = x5 + 27 x2 − 90 x Hier ist die höchste Potenz 5, also wird diese Funktion „Polynom fünften Grades“ genannt.Eine ganzrationale Funktion kann generell Polynom genannt werden.

Auch eine Parabel ist ein Polynom, nämlich ein Polynom zweiten Grades.

DarstellungsformenEs gibt zwei Möglichkeiten, eine ganzrationale Funktion darzustellen:

1. Faktorisierte FormDiese Form der Funktionsgleichung besteht aus sogenannten „Linearfaktoren“: (x - a)Die Variable a in dem Linearfaktor steht für eine Nullstelle des Polynoms.Wenn die Nullstellen gegeben sind, kann man daraus den Funktionsterm bilden:Nullstellen: x1; x2; x3; …; xn

f (x) = ( x−x1)⋅(x−x 2)⋅(x−x3)⋅...⋅(x−x n)Beispiel: Nullstellen: x1 = 1, x2 = 4, x3 = 9f (x) = ( x−1)⋅( x−4)⋅(x−9)

2. PolynomMultipliziert man die faktorisierte Form aus, erhält man die Polynomformf (x) =a⋅x3 + b⋅x2 + d⋅ x + cIm Beispiel:f (x) = ( x−1)⋅( x−4)⋅(x−9) = x3 − 14 x2 + 59 x − 36

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Bestimmung von NullstellenWenn möglich, löst man die Gleichung f (x) = 0Dafür kann man eventuell x ausklammern oder bei Polynomen zweiten Grades die Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwenden.

In der faktorisierten Form des Funktionsterms gibt der Exponent des dazugehörigen Linearfaktors die Art der Nullstelle an. Die Art der Nullstelle bestimmt das Verhalten der Funktionswerte links und rechts von der Nullstelle.- Ungerader Exponent: einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel

- Gerader Exponent: doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, also keine „echte“ Nullstelle, sondern ein Berührpunkt

Bei vielfachen Nullstellen schmiegt sich der Graph in dem Bereich um die Nullstelle stärker an die x-Achse an.Bei geraden Exponenten ohne Vorzeichenwechsel, bei ungeraden mit.

Gerade Ungerade

Bestimmen der Vorzeichen der FunktionswerteDas „Werkzeug“ hierfür ist die Vorzeichentabelle. Man trägt senkrecht die Nullstellen der Funktion ein und waagrecht die einzelnen FaktorenBeispiel: f (x) = x3⋅(x+1)Nullstellen: x1 = -1; x2 = 0

x = -1 x = 0

x3 - - +

(x + 1) - + +

f(x) + - +

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EinfacheNullstelle

DoppelteNullstelle

Will man den Graphen einer ganzrationalen Funktion skizzieren, kann man die Methodedes „Felderabstreichens“ verwenden. Hierbei berechnet man zunächst die Nullstellen und den Schnittpunkt mit der y-Achse. Danach legt man ein Koordinatensystem an und zeichnet die berechneten Punkte ein:In diesem Beispiel sind die Nullstellen x1 = -1 und x2 = 0 gegeben.=> Sx1(-1|0); Sx2(0|0)Den Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet man wie folgt: f (0)= 03⋅(0+1) = 0=> Sy(0|0) (hier eigentlich überflüssig, da Sx2 bereits Schnittpunkt mit der y-Achse ist)

Danach verwendet man die vorher berechneten Vorzeichen der Funktionswerte und streicht die Felder ab, durch die der Graph nicht verläuft.

Den Graphen kann man dann in die freien Flächen einzeichnen.

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Transformationen des GraphenExemplarisch wird hier mit der Funktion f (x) = x3 gearbeitet.

AmplitudeSteht vor der Funktionsgleichung ein Faktor a, dann wird die Funktion um diesen in y-Richtung gestreckt (beziehungsweise gestaucht). Ist der Faktor negativ, wird die Funktion an der x-Achse gespiegelt.f (x) = a⋅x3

f (x) = x3 f (x) = x3

f (x)=2⋅x 3 f (x)=−2⋅x3

Verschiebung in y-RichtungHier gilt das gleiche wie bei jeder anderen Funktion. Zählt man am Ende eine Zahl c hinzu, wird der Graph der Funktion um deren Wert in y-Richtung verschoben. f (x) = x3 + c

f (x) = x3 f (x) = x3

f (x) = x3 + 1 f (x) = x3 − 1

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Verschiebung in x-RichtungHier gilt das gleiche wie bei jeder anderen Funktion. Zieht man beim Argument, also direkt dort, wo das x in der Funktion steht, eine Zahl d ab, wird der Graph der Funktion um deren Wert in x-Richtung verschoben. f (x) =(x−d)3 (Wichtig: - d!, das heißt der Wert der Verschiebung ändert das Vorzeichen)

f (x) = x3 f (x) = x3

f (x) = ( x−1)3 f (x) = ( x+1)3

Stauchung/Streckung in x-RichtungHier wird die Funktion um einen Faktor b in x-Richtung gestreckt (bzw gestaucht).f (x) = (b⋅ x)3

ABER: Diese Form ist unüblich. Man kann die Klammer hier einfach auflösen, indem man ausmultipliziert.f (x) = (b⋅ x)3 = b3⋅ x3 Weil b eine Konstante ist, die dem Funktionsterm vorsteht, ist sie genauso zu behandeln wie die Amplitude a.

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Alle Transformationen zusammengefasstAm Beispiel: f (x) = 2⋅( x−1)2⋅(2 x+1) + 1 (faktorisierte Form)Als Polynom geschrieben: f (x) =4 x3 − 6 x2 + 3Es ist ein Polynom dritten Grades, da die höchste Potenz 3 ist.

1. Nullstellen bestimmen (c wird zunächst ignoriert, es kommt immer am Ende) f(x) = 00 = 2⋅(x−1)2⋅(2 x+1)Da dies ein Produkt ist, wird es null, wenn einer der Faktoren null ist.=> ( x−1)2 = 0 oder (2 x+1) = 0=> ( x−1)2 = 0 ∣√ x−1 = 0 ∣+1 x1 = 1 (doppelte Nullstelle, da 2)=> 2 x+1 = 0 ∣−1 2 x =−1 ∣:2 x2 = - 0,5

Der Graph sieht bisher so aus:

f (x) =(x−1)2⋅(2 x+1)

← Bei x = 1 eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel

2. AmplitudeEs steht vor ( x−1)2⋅(2 x+1) ein Faktor a = 2. Dieser bewirkt eine Verdoppelung der Amplitude der Funktion, alle y-Werte sind verdoppelt.f (x) =2⋅(x−1)2⋅(2 x+1)

Der Graph bisher:

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3. Verschiebung in y-Richtungc = 1 => zu allen y-Werten muss +1 hinzugezählt werden, der Ganze Graph wird um 1 nach oben verschoben.f (x) =2⋅(x−1)2⋅(2 x+1) + 1Graph:

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BeispielaufgabenGrad des Polynoms ablesenAufgabe: Bestimme für die Funktionsgraphen 1-8 den Grad des jeweiligen Polynoms.

Lösungs1. Zwei Nullstellen => Polynom zweiten Grades2. Drei Nullstellen => Polynom dritten Grades3. Zwei Nullstellen, eine davon doppelt => Polynom dritten Grades4. Drei Nullstellen => Polynom dritten Grades5. Zwei Nullstellen, eine doppelte und eine dreifache => Polynom fünften Grades6. Vier Nullstellen => Polynom vierten Grades7. Fünf Nullstellen => Polynom fünften Grades8. Zwei Nullstellen, eine davon doppelt => Polynom dritten Grades

Lösungsstrategie: Man zählt die Nullstellen und bestimmt ihre Vielfachheit. Die Summe gibt dann den Grad des Polynoms an.

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Funktion modellieren1. Gesucht ist eine ganzrationale Funktion mit fünf Nullstellen.

Sie soll eine dreifache Nullstelle bei x = 0,5 haben, eine einfache bei x = 1 und eine einfache bei x = -1. Und sie soll eine Amplitude von vier besitzen.

Lösungsstrategie:1. 5 Nullstellen => Polynom fünften Grades2. Nullstellen lassen sich als Faktoren mit ihrer Vielfachheit als Exponent beschreiben:dreifache Nullstelle bei x = 0,5: ( x−0,5)3

einfache Nullstelle bei x = 1: ( x−1)einfache Nullstelle bei x = -1: ( x+1)=> Funktionsterm bisher: f (x) = ( x − 0,5)3⋅(x − 1)⋅(x + 1)3. Amplitude 4:Den ganzen Term mit 4 multiplizieren:f (x) = 4⋅(x − 0,5)3⋅( x − 1)⋅(x + 1)

2. Gesucht ist ein Polynom dritten Grades. Es soll eine Nullstelle bei x = 1 haben.Außerdem soll es um 2 nach oben verschoben sein.

Lösungsstrategie:Polynom dritten Grades → x3

Um 2 nach oben verschoben → +2f (x) = a⋅ x3 + 2Man muss hier den Vorfaktor a so bestimmen, dass die Funktion eine Nullstelle bei x = 1 hat, indem man die Nullstelle in den Funktionsterm einsetzt.NSt bei x = 1 → f (1) = 00 = a⋅13 + 20 = a + 2 ∣−2a =−2→ f (x) =−2 x3 + 2

3. Geben ist ein Polynom vierten Grades mit der Funktionsgleichungf (x) = a⋅x3⋅( x−5) −4 . Bestimme den Faktor a so, dass der Graph durch den Punkt P(4|4) läuft.

Lösungsstrategie:a kann man bestimmen, indem man P in die Funktionsgleichung einsetzt.f (4) = 4f (4) = a⋅43⋅(4−5) −44 = a⋅43⋅(−1)−44 =− a⋅64 −4 ∣+48 =−64a ∣:(−64)

a =− 18

→ f (x) =−18⋅x3⋅(x−5)+ 2

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Graphen zeichnenZeichne den Graphen f (x) = ( x+2)2⋅( x−0,5)⋅ x ungefähr mithilfe einer Vorzeichentabelle und der Methodes des Felder Abstreichens.

Lösungsstrategie:1. Bestimmung der Nullstellen

Grundsätzlich: f (x) = 0Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird → Nullstellen x1 und x2: (doppelte Nullstelle)( x+2)2 = 0 ∣√x+2 = 0 ∣−2

x1/2 = -2Nullstelle x3:x3 = 0Nullstelle x4:( x−0,5)=0 ∣+0,5x4 = 0,5

2. Vorzeichentabelle x = -2 x = 0 x = 0,5

(x+2)2 + + + +

x - - + +

(x-0,5) - - - +

f(x) + + - +

3. Felder abstreichen

(Doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x1 = -2)

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