Ein Minimum-Maximumproblem fiber konvexe Rotationsk6rper

yon It. BIER1, Bern

Seinem verehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr. W. Scherrer, zum 60. Geburtstag gewidmet

Ein konvexer Rotationsk6rper des Ra kann durch folgende MaBzahlen charakterisiert werden (Abb. I a) 1)

jo t

la 7' I

Ldnge oder Pold is tanz l, ~quatorradius r,

Ib

iA Lignge der erzeugenden Meridiankurve L,

t~l~cheninhalt des halben Meridianschnittes Q, Volumen V, Oberfldche F, Integral der mittleren Kri~mmung M (1)

Das Problem, alle Relationen zu finden, welche zwischen den genannten Gr02en bestehen mtissen, damit wirklich konvexe K0rper vorliegen, ist wohl zu kompliziert. Man kann sich in der Weise einschranken, da2 man

1) Wesent l iche Grbi3en wie Durchmesser und Dicke h~t t en sich d e m gew/~hlten R a h m e n nur schlecht angepal]t und fehlen deshalb.

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einige der Gr(~Ben l) passend vorgibt und hernach nach den Extrem- werten einer weitern Gr(}Be aus 1) fragt2). Probleme dieser Art sind in grSBerer Zahl gelOst worden. In vielen F~illen muB zuni~chst eine dem Problem angemessene direkte Methode entwickelt werden3). Als sehr gfinstig hat sich die Einfiihrung der polygonalen Rotationsk6rper erwiesen. In den Arbeiten von H. Hadwiger 4) spielen sie eine entscheidende Rolle. Sind in der Tag die gesuchten ExtremalkOrper selber solche spezielle konvexe Rotationsk~rper, so hat man Aussicht, sie durch Operationen im Bereich dieser Unterklasse von konvexen Rotationsk0rpern aufzu- finden. Der ~bergang zu beliebigen konvexen RotationskSrpern durch Approximation und Stetigkeitsbetrachtungen bereitet keine Miihe.

In der vorliegenden Arbeit wird folgender Satz bewiesen: ,,Bei vorgeschriebener K6rperldnge 1 und ebensolcher Meridianldnge L

besitzen Zylinder und nut sie kleinstes Integral der mittlern Krammung M, symmetrische Doppelkegel und nut diese K6rper gr6fltes M."

Er li~Bt sich auch in der Form einer doppelten Ungleichung schreiben :

wobei das Gleiehheitszeiehen linker Hand genau f~r Zylinder, dasjenige reehter Hand genau ftir symmetrisehe Doppelkegel gilt.

Beztiglieh der verwendeten individuellen Methode sei auf eine sebon publizie~e Arbeit verwiesen ~).

Mit I bezeietme ieh die Teilkl~se aller Polygonalk6rper, deren Aqua- torradius r am Rande liegt, mit I I die analoge Teilklasse mit einem im Innern liegenden r. Dureh Vereinigung passender Teilklassen der Typen I , / / k~nnen abgesehlossene Teilklassen ~12..~ konstruiert werden, deren K~rper aus hOehsgens i Kegelstfimpfen (ira weitern Sinne) be- stehen.

Als wirksamste, weil analytiseh einfaehste Deformation, hag sieh ffir unser Problem das Abschlei[en (unter Erhaltung -con l) erwiesen").

3) T. Bonnesen und W. Fenchel, T h e o r i e d e r k o n v e x e n K S r p e r , Ergebnisse der Mathemat ik und ihrer Grenzgebiete, Bd. 3; Berlin 1934, S. 74.

a) Siehe FuBnote 2, S. 74--75. 4) H. Hadwiger, E i n i g e n e u e E r g e b n i s s e f i be r e x t r e m a l e k o n v e x e R o t a t i o n s -

k S r p e r . Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universit~t Hamburg, Bd. 18, S. 42--44.

s) H. Bieri, K u r v e n d i s k u s s i o n a l s M e t h o d e . Mitteilungen der Naturforschenden Gesellsehaft Bern, 8. Band 1950.

6) H. Bieri, E i n (M, F ) - P r o b l e m m i t N e b e n b e d i n g u n g . Experientia I X 16, 1953, 207--209, speziell Abb. 5, 6, 7.

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Beweis. Ffir Kegelst i impfe (Abb. l b) gilt mit der 1

P = ~ ' q : 7)

M = ~ ( u q + 2 tg~.~o)

L = l(q + sec ~)

Subs t i tu t ion

(3)

Die Bi ldkurven der Kegels tumpfscharen in einem (L, M)-Diagramm dM ~

sind bei fes tem ~ Geraden mit der Steigung dL -- 2

Eine dieser Geraden entspr icht den Zylindern mit ~ ~- 0. Ftir die 1 Kegelaberhatman: p = ~ . t a n g w , also q - - - - t angy 2. Es fo lg t :

M = ~ - �9 t ang v 2 (2 y~ + ,~)

L - - l ( l + s i n ~ o ) cos

(4)

Wi~chst ~0 von 0 bis ~/2, so wird die Kegelkurve durchlaufen. Sie besi tzt folgende Eigenschaf ten :

a) Im Bi ldpunkt der Strecke von der Liinge l(~ = 0) betri igt die Steigung ~ / 2 .

b) Es ist im In te rva l l 0 < ~ _~ ~/2 genau ein W en d ep u n k t vo rhanden . . Die Kurve ist zunachst von unten konvex.

c) Die einzige geradlinige Asympto te liegt oberhalb der Zyl inderkurve und ist zu ihr parallel.

Dami t sind abet die Verh~tltnisse in M 2 /

/ / / , ,///j ,

/ / / / I / / ~

L

der Teilklasse ~1 gekl~rt (Abb. 2). In der gestaltl ich reichhalt igeren

Teilklasse ~R12 werden wir schon die Hauptschwier igkei t des Problems an- treffen.

Wenden wir uns zuerst den sym- metrischen Doppelkegelst~tmp/en zu. Man erh~lt (Abb. l a , q' ---- p', ~v = ~0) :

7) Bereehnet wird M* = M -- x~l. Hernach wird der Stern weggelassen.

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M = ~ (u pr -4- I- t a n g ~. ~)

L = 2p t + 1.sec (5)

Die Bildkurven der Doppelkegelstumpfscharen mit festem ~ sind dM

wieder Geraden mit der Steigung dL -- g2/2" Mit p' = 0 erh/~lt man

die symmetrischen Doppelkegel mit

!

M : z l . t a n g ~ . ~ ]

L = I. sec I (6)

Wachst ~ yon 0 bis ~/2, so wird die Bildkurve der symmetr ischen Doppelkegel durchlaufen. Sie besitzt folgende Eigenschaften :

a) Im Bi ldpunkt der Streeke yon der L~nge 1 betriigt die Steigung 2~ > ~ / 2 .

b) Im In terva l l 0 < ~ < ~r/2 ist sie durchwegs yon unten konkav.

e) Ihre geradlinige Asympto te fi~llt mit derjenigen der Kegelkurve zu- sammen.

Es ist nun von gr(~Bter Bedeutung, die relative Lage der Kurve der symmetr ischen Doppelkeg~l und der Kegelkurve zu kennen. Wir be- t rachten spezielle Kegels tumpfkegel aus I I (Abb. 1 a, p' ~ 0, q --~ fest, q', also x variabel). Es folgt :

M = ~ 1. t ang ~v (~ -4- ~/2 -- ~ x)

L = l (sec ~ -f- t ang ~ -- 2 x . tang ~v) (7)

Durchli~uft x das Interval l 0 < x < �89 so entstehen im Diagramm Strecken mit der Steigung ~r2/2. Der eine E n d p u n k t liegt auf der Kegel- kurve, der andere auf der Kurve der symmetr ischen Doppelkegel. Wegen der Form der Kegelkurve ist der Schlul3 gdstattet , daft die Kegelkurve ganz nicht oberhalb liegt (vgl. Abb. 2).

J e t z t verschieben wir die eine Stiitzebene nach auBen (Abb. l a, ----- ~ fest, q' lest, p', also auch x variabel). Durchl/iuft x das Interval l 0 < x < �89 so ents tehen im Diagramm

neuerdings Strecken. Ihre Endpunk te sind Bildpunkte je eines Kegel- stumpfes und eines symmetr ischen Doppelkegelstumpfes. Da diese K0r-

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per nicht extremal sind und die Doppelkegelkurve von unten konlcav ist, kommt keiner der betrachteten K0rper ffir ein Extremum in Frage.

Wit betrachten ferner Doppelkegelstfimpfe aus I (Abb. 1 c). Diesmal liegen zwei verschiedene Neigungswinkel vor. Wit verschieben

die untere Stfitzebene nach innen, erhalten eine einparametrige K0rper- schar und zeigen wie oben, dab diese KOrper ebenfalls nicht extremal sein k0nnen. Es ist klar, dab der obere Kegelstumpf durch einen Kegel ersetzt werden darf.

Damit ist aber der Formenreichtum der Teilklasse RI~ noch nicht er- sch0pft. Da sind zun/~chst die unsymmetrischen Doppellcegel aus I I zu beachten. Bei ihnen versagt das Abschleifen, so dal~ sie auf andere Weise zu einparametrigen Scharen zusammengefal~t werdcn (Abb. ld).

Wandert P auf einem Kreisbogen durch A und B, so wird eine zwischen Streclce und symmetrischem Doppelkegel interpolierende einparametrige K6rperschar erzeugt, die allerdings im Falle ~ < n / 2 auch nichtkonvexe K0rper enth~lt. Dieser Umstand wird aber keine St0rung verursachen. Die Mai]zahlen sind :

M --~ ~ 1 (~ -- ?) sin ~0 �9 sin (~0 -}- ~)

L _~

sin

1. sin (~ ~- ~,/2) sin y/2

(8)

Die Steigung berechnet sich zu

d M _ ~ (~ -- ~) sin (~ ~ ~/2) dL cos ~/2

Aus 8) kann der Parameter eliminiert werden :

M---- ~ ( z - ~) " t a n g ~ / 2 . L 2 _ ~ ( ~ - - ~ ) t a n g ~ / 2 . l 21 2

(sa)

Die betrachteten Kurven sind also von unten lconvexe Parabeln. aM

Aufl0sung der Enveloppenbedingung ar - - 0 liefert als einzige

Nullstelle L ~--1. Es handelt sich demnach um ein ausgezeichnetes Kurven/eld, das ganz nicht oberhalb der Kurve der symmetrischen Doppel- kegel liegt.

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Die genauere Diskussion f6rdert weitere Resultate zutage :

- - - - - - 2

dM /-- -~ ~ (z~ -- 7) tang 7/2 2~ 2

b) y < ~ / 2 - ~ / 2 - - ' / < , p < - -

tim =(= - 9') v=,,/,, cotg 7/2

lira n(n -- ?) v+~ cotg 7/2

:r t--~ 2

dM / z~ ~

(9)

Die gestaltlichen Verhi~ltnisse sind leicht iiberschaubar. Eine Skizze nach dem Muster der Abb. 2 verdeutlicht auffallende Gesetzm~Bigkeiten. Macht man sich schlieBlich noch klar, dab auch die restlichen K6rper nicht extremal sein k6nnen, so ist der Satz zun~chst fiir die Teilklasse RI~ bewiesen s).

Der Beweis gilt aber auch ftir irgendeine Teilklasse ~1~...=. Durch Abschleifen gelangt man n~mlich zu Ri~a, Riga4, schlieBlich zu RI~.. .=. Die einparametrigen K6rperscharen aus RI~--.~ besitzen ftir jedes m aus 2 < m_< n Randk6rper aus R~2- �9 - ~-~. Die Bildkurven sind jedes- real Strecken. Die Bildpunkte der Randk6rper liegen nicht au/3erhalb des vonder Zylinderkurve und der Kurve der symmetrischen Doppelkegel be- grenzten Bereiches, so dab innere Punkte dieser Strecken sogar innerhalb liegen, w. z. b. w.

Weil aber ein beliebiger konvexer Rotationsk0rper sich durch Poly- gonalkOrper approximieren l~iBt und well die GrOBen 1) stetig yore K6rper abhKngen, so ist der Beweis ftir die volle Klasse der konvexen Rotationsk0rper mit der festen L~tnge l geleistet.

(Eingegangen den 6. September 1953.)

s) Von den u n s y m m e t r i s c h e n Doppe lkege ln aus erreicht m a n du rch Versch iebung e iner St i i tzebene Kegel . Weil die B i ldku rve eine Strocke ist, kSnnen die ir t terpolieronden K 6 r p e r au s I I n i ch t ex t r ema l sein. Von den l e t z t g e n a n n t e n K 6 r p e r n aus erreicht m a n d u r c h Ver- s ch i ebung der a n d e r n St t i tzebene Kegels t t impfe , trod m a n s ieht wie oben, dal] ke in Doppel- k e g e l s t u m p f aus I I m i t ve r seh iedenen W i n k e l n e x t r e m a l sein kann .

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