Heft 5 Kleine Mitteilungen 401

(Le G h i e Civil 1922, S. 15.4 his 157). Dies ltann nalurlich nur durch allmlhliche An- nlherung erftolgen. (Vgl. hierzu auch die Er- Br terungen zwischen B. L 6 s e 1- und E. h.1 6 r s c 11 in Betlon u. Eisen 1915 und in Armierter Beton 1919). L o u p gibt zur Vereinfachung d,cr Reclinung eine sinnreiche nomographische Darstellung. Es ware eehr von Vorteil, wenn auch bei uns bei vi'elen Aufgabeu der prak- tischen Technilc die NtomographiNe die ihr ge- bfihrsende Baeachtung finde.

Bei der Berechnung rfatirch unberfimmfer Tragwerke ist es eine wesentliche Aufgabe, geschickt das Haupttsystem zu fiiid,en, urn die Uehcrzahligen moglichst einfach beslimmen zu It6nnen. D o e i n c k wahlt das Hauptsysteni mit Hilfe des sogenannten elastischen Pfols (Beton und Eiseu 1922, S. 33 bis 35 und S. 43 bis 46). Wird irgend ein Punkt einm Stabzugs durch ein Moment beansprucht, &o gibt es einen zugeordneten Punkt, d,en )xhsti- schen Pol((, der k,eine Lageninderung erfahrsn hat. Ebtenuo liann man auch umgek~clirt ,nach d,em Satz v,on B e t t i aussagen, daB eine im Po1 angreifendc Kralt im ursprfinglichen Punk1 kein Moment, sondern nur eine Verschi,ebung hervorruft. So erzeugt jeine senkrechle Kraft 1 iin 1'801 die senlcrechte Iiomponente der Ver- schiebung a,,.., eine wagrechte Kraft 1 die wagrechte Komponente der Verschiebung ah, a im Tragwerkpunkt. Fur jede durch den Pol gehende Kraft gibt es eine zugeord- nete Richtung, in der keine Verschiebung auftritt. Es bestehen nun fiir den Pol zwei aufeinander senkrechte Achsen, fu r welche die Werte &,, und 61&,~ zu je einem hIasimum werden. Die Verschiebungen fur eine Kraft 1 in Richtung d k w r s7sgenannten Hauplachscn und die Wink'elverdrehung des TragwerltspwnBLs fiir ein ini Pol angreifendes Moment 1 sind ))die G r u n d w e r t ex dei Polas. Durch Lage und Grundwerte ist er eindeutig festgelegt. Die Anwendung ergibt sich in der folgenden Weise.

Bei einem beiderseits eingespannten (drei- fach statisch unbestimmten) Bogen wird als (statisch bsmtimmtes) Hauptsystem der an einem Kanipfer eingespannte Bogen geewahlt. F~fir den anderen Iiimpferpunkt wird der Pal ks t immt und ini Pi01 die zur Senlcreclrten zugeordnete Richtung. Das dort wirlcende Ma- ment und die Kiompolwnten der Auflagerkraft in 'Richtung di'eser b(eiden zugeordnelen Achsen sind drei voneinand'er unabhangige GrBDen. G.eht eiue Kraft durch die Pole zweier Puuktc eines Tragwerks, 610 ruft sie in keinern der beiden Punkte cin Moment hervor. Bmeini bei- derseits eingespannten Btogcn ltann man a h

auch so vorgehen, daB man die Pole a', b' der 1,eiden KPmpf,erpunktme a und b als Kampfer des Hauptsystems wlhll. Und zwar bcstinimt man a', indem inan den Bsogen in b einge- spannt, in a frei gelagert annimmt, b' indem man ihn als in a eingespannt und in 1, lrci gclagcrl btetraclitet. Dadurch wird die in die Kichtung a', b' fallcnde Komponente der Auf- lagerreakliton unabhlngig von den Mainenten in a und b und sonlit das Hauptsystem des Bogens der beiderseils eingwspannte Balken. Die fiberzlhlige Kraft in Richtung a'b' ist von den Uel)~crziililigen des Hauptsystems unabhin- gig. - Haben zwei Systerne einen gemdn- snnieii 1'801 und fur diesen gl'eiche elastisch'e Grundwerte, so sind sie in bezug auf den Pol uiid die in diesmem zugeordneten Punktc gleich- wertig. Man kann ssonach, wenn man e i n e n Stab ,eincs Stabwerlcs betrachtet, an Stellc der andern irgend ein 'Gebilde setzen, wean r s nur inbezug auf den AnschluDpunkt den gleichen Dool und die gkichen G r ndwerte hat. Man wlhlt z. B. einen an einen! Ende einge- spaniit'en parabelfiirmigen Triiger, der niit sei- lien Abmessungen so b.wslimmt werden kann, daB diese Bedingungeu erfullt sind. D o e i II c k unlersucht als ausfiihrlichws Beispiel fur die- ses Verfahren dmen durchlaufendan BogentrlgWr.

Die Berechnung einer rymmehinhen Stockwerkrahmens bei horizontalen, in den Knotenpunkten angreifenden Kraften gibt J. P i r l e t (Der Bauingenieur 1922, S. 18 bis 20). Bei n Gescli~oss~en ist das System 3nfach st,eretos tatiwh u n k s tininit, im untersudhten Sond,erfall eriiiedrigt sich die Anzahl der Un- bekannteii auf 11. Ln dcr Afitte jedes Quer- ri,egels is1 'dais Uiegungsmoment gleich null, cs kann also 'dime Stelle als ein Gelail< angesehen wei-deu. P i r l e t bild'et jetzt das Hauplsgslcm, indeni er in die FuBpunBte der StPnder Gel~enlc~e einlegt, womit eine IWtc von Dreigel~cnlcbogen entsteht. Ueberzahlige sind die an den FuBpunBten d'er Standw an- greifend.en paarwteissc gleichen Momente in der Anzahl 11. Mil dieseni Grundsysteni gostaltet sich di'e Rechnung selir einfach. Die Koeffi- zienten dcr U'eberzahligen in d'en Elaslizitats- gleichungen sind leicht lwstinimbar, da im Hauptsystcin die Momcnt,e einws Gcscliosses n u r mit dmmi des darunter ,uud dariqber licgenden Gcscliosses z'u Iiombinier~en sind. Die ElastizitPtsgZekhungen werden relcurrent'e Glei- chungen mit je drei Unbekannten (nach Art dler Glei'chungen C 1 a p e y ro n s beim konti- nuiarli'chen Triger) und kBnnen nach be- lcannten Metlioden aufgelost werden. 1S6

J. R a t z e r s d o r f e r.

KLEINE MITTEILUNGEN Efn rechnerbch-zeidmerfrcher Verfahren wird die eine Verhnderliche (2) als f e h l e r -

ftir parabolirche Ausgleichung. Bekannt f r e i beobachtet angesehen, so ist die die sind folgende Tatsachen der l i n e a r e n A u s - ,,bestex Iineare Ausgleichung darstellende g l e i c h u n g yon Beobachtungen: Liegen Gerade zwischen zwei Verlnderlichen 2 und y n Be- obachtungspaare $.,. y., (9, = 1,2 . . n) vor und der zur y-Achse konjugierte Durchmesser der

y = a + p x . , , . , . . (1)

402 ' Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Mechanik Rand 2

Zentralellipse des Beobachtungsbildks. lhre Parameter sind leicht zu berechnen, die Ge- rade kann aber aucb, wie ich an anderer Stelle gezeigt hahe, nach einer graphostati- schen Methode konstruktiv bestinimt werden I). Das Ma5 der Zuverllssigkeit dieser Geraden (vom Standpunkte der Wahrscheinlichkeits- theorie) als Ausdruck d e s tatslchlich als be stehend angenommenen linearen Gesetzes kann man durch eine Schar von ..Fehlerhyperhcln '' kennzeichnen 2).

Fur den Fall, claD zwischen den beiden Veriinderlichen z, y cin tlurch dip Gleichung

gekennzeichneter p a r a b o l i sche r Zusani - m e n h a n g besteht oder angenommen wird. hat H. M. R o e s e r unter der Voraussetzung, da5 die fehlerfrei bestimmte Verbderliche n' stets um g l e i c h e I n t e r v a l l e i fortschreitet, ein einfaches Berechnungsverfahren fur die Parameter angegeben, tlas noch durch einc tabellarische *Zusammenstellung der. bei den Beobachtungszahlen 11 = 5 bis 31 auftretenden Koeffizienten erleichtert wird. Die Tafeln und die angegebenen SchluBformeln ermsglichen die schnelle Berecl~nung der Parameter sBmt- licher parabolischer Funktionen zweiten Gra- des und der allgemeinen linearen Funktion3) H. S c h w e r d t hat das entsprechende Ver- fahren anf die allgemeinste parabolischc

, y = a o + a l c + a a x ~ . . . . . (2)

Funktion d r i t t e n G r a d e s ausgedehnt und eine Zahlentafel angegeben, die die fur die Berechnung der allgenieinsten Parabel zweiter und dritter Ordnunq notwendigen Koeffizienten enthSilt I ) .

In sehr vielnn Fhllen der Praxi, wird es weniger auf eine genaue zahleiimilfiige Be- rechnung der Parameter des Zusammenhang- gesetzes :ils auf dessen moglichst verllI3liche bildliche Darstellung ankommen. Auch wird der anschauliche Vergleich, inwieweit eine Gerade irnd inwieweit eine Parabel aweiter Ordnung als Bild des Zusammenhanges der beiden Verijnderlichen zntrifft, sehr erwunwht spin.

Wird disr Schwerpunkt h' des Heonachtungs- bildes als Ursprung des Koordinatensystems gewahlt und scbreitet die fehlerfrei bestimmte Vergnderliche x urn konstaute Intervalle i fort. $0 ist

und die ~ u r Bestimmung der Parameter des Gesetzes (2) dienenden Normalgleichungen lauten

\%=(I, L y - 0 , Axr*=O . ( 3 )

= B x y (4). I no n a a S z a = O

no L x2 a1 J 22

+ ap 1. x4 = ,p xay

Sie ergeben bei Beriicksichtigung der he- ksnnten Snmmenformeln fur Potenzreihen 2,

Abb 1

'1 A. B a s c h , Il.litteilungen des k.

? ? r

- . x

Techni- - schen Versucbsamtes Wien, 1. 1912, 2. H. S. 2 5 bis 30 und 3 . H. S. 32 bis 41. Oesterr. Zeitschr. fiir Vermessungswesen 1 1 , 1 9 13, S. 1 1 bis 18 und S . 42 bis 4 6 .

'j A. B a s c h . Sitzungsberichte d. Aked. Wien, 125. Abt. IIa) 1914, S . 1659 bis 1678.

3, H. M. R o e s e r , Scientlfic papers of the Bureau of Standards. Washington, Nr. 388, 1920, S. 3 6 3 bis 375

lY

Ahh. 2

') H. S c h w e r d t , F'hysikal. Zeitschr. 22. 1921, S. 312 bis 315.

') Siehe H. If. R o e s e r , loo. cit ; H. S c h w e r A t , loc. cit. Vergl. auch A u e r b a c h und R o t h e , Taschenbuch, 3. Jahrg., 94, 96. 64, 1 9 1 3 ; 0 Th. B i i r k l e n , Formelsammlung, Sammlung Gasohen, Nr. 51, 1912, S . 30 und 3 1 . Die daselbst ange- gebene Summenformel fdr arithmetische Reihen haherer Ordnung fst anl Potenoreihen ohne weltere4 anwendbar.

Heft 5 Buchbesprechungen 403

Hierbei werden die Reihen i n den geschlun- genen Klammern so lange fortgesetzt, als die veriinderlichen Zahlen in den runden Klam- mern positiv hleiben Damit ist die gestellte Aufgabe rechnungsmaBig - und zwar sowohl fur ungerade als aucli fur gerade Beobachtungs- zahlen n - geltist. Die erste der drei Normal- gleichungen (4) giht schon den Znsammenhang

(6).

wobei I ' ~ den durch 2x2 1

(n2- 1) i' . , . (7) r r 2 = ._ = - n 12

definierten Trggheitsradius des Beobachtungs- bildes in bezug auf die y-Bchse bedeutet.

Die Gleichung 1) = 01 x . . . . . . . . . (8 )

gibt gleichzeitig das vorteilhafteste Gesetz des Linearen Zusammenhanges der beiden Ver- gnderlichen. Aus der Ableitung der Gleichung

ist zu ersehen, daB fur x = 0, d. h. im Punkto C der Abbildungen, die Tangente F G an die das Gesetz des Zusammenhanges darstellende Parabel D CE zu der das vorteilhafteste lineare Gesetz darstellenden Geraden A B parallel ist.

Durch den Parameter a0 = S C ist der Punkt f? der Parabel bereits gegeben. Mit seiner Hilfe und niit Hilfe der Geraden A B konnen leicht (lie Punkte, die zu zwei dcm Absoluthetrage c nach gleichen Abszissen gehiiren, und die Tangenten in ihnen gefunden werden. Als e wird am vorteilhaftesten der iiuBerste Wert der beobnchtpten Abszissen x gewlthlt, also

+

c = - ( n - - l ) i 1 . . 2 (10).

n--2 = (iZ: - = n+l * 2ao . . (13)

und liegt, da n die gsnzzahligen Werte von drei (bestimmter Grenafall) bis Unendlich an-

nehmen kann, im Gebiete von -- a0 bis 2 ao.

Im Grenzfall n = m wird der Ausdruck (13) zu 2a0, d. h. Parabel- und Linear-Approxima- tion geben zwischen den Endordinaten die FlBche Null Bber der x-Achse.

1 2

Der Schnittpunkt der im Punkte x, y an die Parabel (2) gelegten Tangente mit der y-Achse besitzt die Ordinate

also fur .2: = fI e

6 a srhwankt dalier zwischen -an nnd 4 ao.

SchlieBlich ist + + + c 2 3 (n- 1 )

no (16)

und schwankt je nach dem Werte von n

zwischen - a0 und 3 ao. Somit schwanken

alle drei Strecken um den gleichen Betrag - 0"

Der Abb. 1 ist der Fall von n = 5 Beobach- tungen zugrunde gelegt (das ist die einzige endliche Beobachtungszahl, bei der die drei Strecken zu a0 in ganzztliligem Verhiiltnis qtehen). Es ist

D P = E G = CH = a. = - 1'2: n f 1

3 2 3

2

Die Abb. 2 entrrpricht der Reobachtungszahl n = 8. Hier ist

1st 00 positiv, so ist a2 negativ, die Parabel konkav nach unten (Abb. 1); ist a0 negativ, so ist a9 positiv, die Parabel konkav nach oben (Abb. 2).

Z u s a m m e n f a ss u n g . Hat man die das vorteilhafteste lineare

Gesetz veranschaulichende Gerade gezeichnet und die Ordinate des Parabelpunktes fur die Abszisse des Schwerpunktes des Beobachtungs- bildes gerechnet (das ist, wenn dieser Schwer- punkt als Ursprung des Koordinatensystems gewghlt wurde, der Parameter a. der Parabel), so kann man leicht die zwei iiuBersten Punkte der Parabel 'mit ihren Tangenten gewinnen und daraus - soweit notig - beliebige Tan- genten der Parabel samt ihren Beruhrungs- punkten nach bekannten geometrisclien Me- thoden erhalten. 193

Wien, im Mai 1922. A. Rasch .

BUCHBESPRECHUNGEN Dr. EMANUEL CZUBER, 0. 6. Prof. an der zweilcn Anflagr. ])am11 licgl die. iirillr Auflagc

Techn. Hochschulc in Wicn, W a h L'S c 11 c i I I - rles ganzen, riclfach bcltannlen und yrschatz- l i e h s k e i t s r c c h i ~ n n g n n d i h r c A n w c n - len Gesamtwcrkes nhgcschlosscn vor. Auf deit d u n g a u f I; c h 1 e r a u s g 1 e i c 11 u n g . S I a t i h sachlichen 11~11311 drs Buc11,e.s cinzugehcii wird t i k u n d Lse b c n s F e r s i c h e r n 11 g. Zwc Iroffentlicli bald Gclcgenhei t sciu. sobald der Band: Mathematische Slatistilt, Malhcmatisclu! Verfasster in die Lage versetzt isl. bei ciner Grundlagen der Lebensversicherung. Drilte druckl'echnisch fileien Neua'uflagc scines Wer- durchgesehene Aufl. Mit 34 Figuren ini Text. Ices den inzwischen cingetreteneii Neuernngen R . G . Teubner, Leipzig. ,Berlin 1921. X f 470 S. und Vmerinde.rungen auf dcn behandelten Ge-

Die vorliegende dritte Auflagc dcs z\vcilen bielen Rechnung 211 tragen. M i 5 e 5. 311 Rande; ist ein anastatischer \'eutlrncl; d c r