Ein Satz iiber die Meromorphiebereiche analytiseher Funktionen yon mehreren Ver'anderliehen.

Von

HeUmuth Kneser in Greifswald.

Eine wesenthche Stiitze vieler Untersuchungen fiber die Gestalt der Meromorphiebereiche analytischer Funktionen mehrerer Ver~nderliehen ist der folgende

S a t z 1. Ist ~ ein beschrdnktes Gebiet in der z-Ebene mit Einschlufl seines Randes ~, und ist die Funktion f(wa, . . . , w~; z ) = f(w; z) mero- morph liar [ w , - a~l ~ R (R > O) und z au/ ~; gibt es /erner zu ]edem positiven ~ Werte w: mit I w ; - a i < , derart, daft f(w; z) liar w, ~-w: und z in ?~ meromorph ist, so ist f (w;z) meromorph liar w~ = a und z in ~ .

Er ist bisher nur m~ter zwei einschr~nkenden Voraussetzungen bewiesen wordenX). Die eine ist die, dab ~ eine Kreisscheibe ist. Sie l ~ t sich mit Hflfe des Riemannschen kbbildungssatzes abschwiichen zu der Voraussetzung des einfachen Zusammenhanges~), aber nicht ganz beseitigen. Die andere Einschrhnkung besteht darin, da~ man yon der Funktion f regulgres Ver- halten in einem Pm~kte mit w~--~ a , und z in ~ voraussetzt. Sie ist im Falle n = 1 ]eieht zu beheben ~). Beide Einschrgnkungen zugleich konnte ich k4irzlich ~) im Falle n = I aufheben; nunmehr soll es im allgemeinen Falle geschehen."

Fiir die Anwendtmgen des Satzes 1 ~) ist die erste Einschr~nkung nicht

~) E .E . Levi, Annsti di mat. (3) 17 (1910), S. 61--87; Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. 2, S. 212--213 der zweiten Auflage (1929); ferner f i i rn = 1 in einer Vorlesung yon Behnke, yon der eine vervielfgd~gte Nachsehrift hergestellt worden ist.

~) Behnke, a. a~ O. 1). a) Jahresbericht der D.M.V. 1932. 4) E.E. Levi, a.a.O. 1), H. Kneser, dieser Band, S. 656--660, sowie die demn~iehst

erseheinende Greifswalder Dissertation yon J. Krzoska. Uber den Inhalt der beiden letztexen Arbeiten, soweit er d amals schon feststand, habe ich bei tier K5nigsberger Versammhmg der D.M.V. im September 1930 berichtet.

H. Kneser. Meromorphiebereiche yon Funktionen mehrerer Ver'~nderlichen. 649

sehr wichtig, and die zweite nStigt nut zu gewissen Umwegen bei den Be- wefisen. Trot.zdem scheint mir die Stelhmg des Satzes die Miihe des all- gemeinen Beweises zu rechtfertigen.

w

Beweis yon Satz 1 mit einer Einschr~nkung.

Satz 2. Ist ~ ein beschrdnktes Gebiet in der z-Ebene mit Ein- schlufl seines Randes ~, und ist die Funktion f(w; z) meromorph liar ! w, ~ a, ' i ~_~ R ( R ~ O) und z au] ~, und nicht durchweg singuldr ]iir w, = a ; gibt es ]erner zu jedem positiven e Werte w: mit ] w ' , - - a ! < e derart, daft f(w; z) meromorph ist /iir w =- w" und z in ~ , so ist f(w; z) meromorph /i~r w, =-a~ und z in ~ .

Es handelt sich also genau tun Satz 1 mit der zweiten der genannten Einschr~nkungen. Der Beweis geht fast genau wie a. a. 0. ' ) und sei daher im allgemeinen angedeutet, nut in den Punkten ausge/fihrt, die bier mehr beachtet werden miissen. Da der Meromorphiebereich eine offene Menge ist, gibt es einen abgescMossenen Streifen ~ l~ings des Randes ~ von derar~, dal~ f (w; z) meromorph fist ~ !w, - -a , ! ~_~ R und z in ~ . Nach der einschr~nkenden Voraussetzung gehSrt die Menge

(1) w----a, , z in

nicht ganz zur Polmannigfaltigkeit yon f. In der Umgebung jedes Punktes P yon (1) gilt eine Quotientendarstellung f = g / h , worm g mad h regu~r aind und nach dem eben Gesagten die Funk'tion h(a; z) nicht identfisch, also innerhalb einer gewfissen Umgebung yon P hSchstens in P verschwindet. Nach dem Borelschen Uberdeckungssatz, angewandt auf die beschr~nkte abgeschlossene Menge (1), gibt es also nut endlich viele Punkte in (1), in denen f (w; z) singul~ wit& Wit ziehen eine oder (bei mehrfachem Zu- sammenhang von ~ ) mehrere Kurven ~', die yon ~ einen Tell yon abtrennen und diese Punkte vermeiden. Bei geeignetem positivem t fist dann f regul/ir fiir i w , - - a , ] < t und z auf ~'. Nach Vorau~etzung gibt es Werte u,: mit l w: ~ a,[ < e derart, dab f meromorph fist flit

(2) =w' , in

Da dasselbe fiir alle hinreichend benachbarten Werte w: gilt, kSnnen wit ale gleich so w~ihlen, dab ~ w,----w,' und einen Weft z aus !8 die Funktion f regular and yon Null verschieden fist. In der Umgebung jedes Punktes P yon (2) gilt eine Darstelhmg f----g[h, woria w.eder g(w~z ) noch h(w';z) (als Funktion yon z allein) ident~sch verschwindet. Zar Aufsuchang der Singu|arif~ten zweite~r ~ von f, d. k der gemeinsamen

Mathematische Annalen. 106, 42

650 H. Kneser.

Nullstellen yon g und h, kann man daher diese nach dem Vorbereitungs- satz emetzen dutch zwei teilerfremde Polynome in z mit dem hSehsten Koefltizienten 1. Ihre Resultante /~e (w) verschwindet nicht identisch, abet in allen singul~iren Stellen zweiter Art b~ der Umgebung yon P. Wit iiber- decken die Menge (2) mit endlich vielen dieser Umgebungen und w~Men hin- reichend nahe bei (w~') ein Wertsystem w" mit I w~" -- a t < ~, fiir das das (nicht identisch verschwindende) Produkt ailer zugehSrigen Result~nten Re (w) yon Null versehieden ist. Dann ist fiir w, = w: p und z aus ~ die Ftmktion f meromorph mad hat dort keine Singularit~it zweiter Art. Der Sondeffall, da~ f dort sogax regular ist, wird wie a. a~ O. 3) vorweg erledigt mit dem bekannten Ergebnis, daI~ f dann auch fiir w, = a mad z aus ~ regular ist. Sonst bildet man s) die Ausdriicke

1 ~" z p+x f~ U p - - 2 ~ i ( p + I ) j ( f _ c ) ~dz

mit einem dem Betrage naeh hinreichend gro~en Weft yon c und weiter, wenn die Funktion f (w"; z) yon z gerade m Pole hat,

V ( w ; z ) = " . . . . . . i v,~_~ . . . v~ , , _~ I.

1 . . . z " ] t

Es zeig~ sieh, dais V nicht identisch Null und in (2) mad flit I w, -- a,] < e mad z auf ~', also nach dem Sondeffa]l auch fiir w~ = a, mad z in regul~ir ist, mad dasselbe gilt yon V / ( f - - c ) . Daher ist f meromorph fiir w = a u n d z i n ~ .

w

Ein Ililfssatz.

S a t z 3. Ist die t~unktion h (w; z) nicht identisch Null und im Pun~ e P reguhir, so gibt es eine Umgebung 1I yon P derart, daft /iir ein Wertsystem (w;z ) aus U und /~r Werte a mit ! % 1 < 1 n u t dann die Funktion h ( w 1 -~- a 1 t . . . . , w ~ -47, a,~ t; z --~ t) identlsch in t verschwinden kann, wenn das Wertsystem a einer gewissen nir.gends dichten Menge an- gehSrt 5).

a) Da~ bier bei verh~ltnism~ig elementaren funktionentheoretisehen Betrach- tungem ein iiber ~o~ffen" und r abgeschlossen" hinausgehender Begriff aus tier l~nkt- mengenIehre harangezogen wird, is~ nut eine Ausflueht vor der schon yon Ostrowski (Math, ZeA~sehr. 8 (t920), S. 289) hervorgehobenen Schwierigkeit, aua einem System .analyti~hex Gleiehu~gell bes~n~m/e Ve~nderliehe zu eliminieren.

Meromorphiebereiche yon Funktionen mehrerer Veriinderlichen. 651

Von diesem Satz ist nur ein tdeiner Sehritt zu dem bier nieht ge- brauehten Satze, da~ bei einer analytisehen..Uberfl~ehe ~ die Riehtungen, in denen keine Geraden auf ~ verlaufen, fiberall dieht liegen. S~tze dieser Art sind sehon angewandt~), abet meines Wissens noeh nieht ausdriieldieh bewiesen worden.

Zum Beweise yon Satz 3 diirfen wit armehmen, dab P der Nullpunkt ist. Ist d..nn h regular fiir [w, 1 < ' c , t z ] < e, so besehr~i~nken wit zun~chst die Veriinderlichen in der Aussage des Satzes auf den Bereieh I w~ I < ~

1 I z t < ~ c, 1% I < 1. Das identische Verschwinden yon h (w -~ a t; z ~- t) kommt dann auf eins hinaus mit dem yon h (w' -4- a t'; t '), wofin w~' = w - - a z, t ' = t + z gesetzt ist; dabei gilt I w' l < c, so dal~ h ( w ' + a t'; i'D flit t ' = 0 regular ist. Wir lassen die Striehe wieder weg und entwickeln naeh Potenzen yon t:

h (w + a t ; t) = ~ h ~ ( w ; a) t ~. 2=0

Die Funktionen h~ sind regttl/~r fiir t w,[ < c, t a,] < 1; sotl h (w -4- a t; t) ~ identisch in t versehwinden, so mfissen sie alle den Wer~ Null haben.

Wit haben also unendlieh vielde analytische Gleiehungen zwischen den Ver~inderlichen a und w aufzulSsen. Dazu gibt der zweite WeierstraBsche Satz fiber implizite Funktionen die Handhabe. Er lautet: , , N u n k a n n

abet . . . . wenn irgendein System yon Gleiehungen wie die vorstehenden" (niimlich G a = 0 . . . . . G . _ I = 0), ,,in denen Ga . . . . , G._I ganze, an der Stelle (0 . . . . . 0) verschwindende Funlaionen xion v 1 . . . . , v= sind, gegeben ist, dasselbe dutch eine gewisse Anzahl anderer Systeme

I G(w~ w,.)w,.+~ G(") (w~ . . . . . w~)= O, Win+l) Wm~

(3) =w~+~- a(~)(w~ . . . . . " " - ~ - ' " -

I �9 �9 �9 ~ W m ~ Win+l) W i n + , ,

G' (w~,= ~(')(w~ . . . . , w,., w , .+d (; = 2, . . . , ~ -- ~),

w o w a . . . . , w= homogene und voneinander unabhRngige lineare ~tmki~ionen der GrSl~dn v~ . . . . , v,, bedeuten und

~G(w~ . . . . , w,,,, w,,,+~) (~) ~ ' ( w . win, w,.+~) = �9 �9 �9 ~ OWm.4.1

ist, in der Art ersetzt werden, daft nicht nut jedes der den urspriingliehen Gleiehungen geniigende Wertsystem (vx, . . . , v~), in welehem jede der GrS$en v ihrem absoluten Betrage nach unter einer gewissen Grenze liegt, aueh einem der neuen Gleichungssysteme geniigt, mad zwar, otme da~ in

6) Z. B. bei E. Krahn, Uber ~n~maleigenschalten der Kugel in 'drei und mehr I)imensionen ~C~6ttinger Dia~xf~r 1925; Acta et Commentatione8 Universitatis Dorpatensis A 9, 1).

42*

652 H. Kneser.

demselben G ' ( w 1 . . . . . w ~ , w ~ + l ) = 0 ist, sondem dies auch umgekehrt ~lt"7). Die Rolle von vl, . . . , v~ spielen bei uns die Ver~haderlichen w und a. Die Anzahl n - 1 der gegebenen Gleichungen ist unwesentlich, da der Beweis - - dttrch vollst~ndJge Indukt ion nach der Zahl der Gleichungen - - davon unabh~ingig ist; ebenso die Voraussetzung ,,ganze, an der SteUe (0, . . . , 0) verschwindende Funktionen", wenn man in der Behauptung die MSglich- keit zul~l~t, dal~ gar keine gemeinsame'Nulls tel le vorhanden ist. Schliel~- ]ich kann man noch hinzufiigen, dal3 das Polynom G in w~+ 1 irreduzibel ist; denn ist G ~ H K , so treten zwei Gebilde nach (3) an die Stelle des einen, und in den AusnahmesteUen H ~ H ' ~ 0 oder K ~- K ' ~- 0 ist auch G' ~- H ]K' ~, H ' K = O. Der durch (3) und (4) dargestellte Wertbereich heil~e ein rn-stufiges (irreduzibles) Gebilde. Trit t eine weitere Gleichung hinzu, so ist sie auf jedem irreduziblen Gebilde entweder iiberall erfiiUt, oder dieses wird dutch eine Anzahl Gebilde niedrigerer Stufen ersetzt, wobei im allgemeinen auch die Umgebung des Nullpunlrtes, in der die Behauptung gilt, verengert werden mttl~. Das letztere kann nu t endlich viele Male ein- trete~. Denn setzt man lest, dal~ von zwei endlichen Systemen von Ge- bilden verschiedener (nicht negativer) Stufen das eine, ~ , dem anderen, ~:, vorangeht, wenn von der hSchsten Stufe, v o n d e r sie verschieden viele

7) WeierstraB, Mathematische Werke, Bd. 3, S. 79--80. Die oben weggelassenen Worte ~wie in den Elementen der Funktionentheorie gezeigt w.ird" habe ich in den mir zug~nglieh gewordenen Ausarbeitungen WeierstraBseher Vorlesungen nieht be- st~tigt gefunden. Herr A. Brauer hat freundiichst die im Berliner Mathematischen Seminar befindlichen Ausarbeitungen durchgesehen und mir die in Betracht kommenden zugeschickt. Weder in ihnen (es sind: ,Anwendungen der Theorie der elliptisehen Funktionen auf Probleme der Geometrie und Mechanik", Sommer 1875, und ,Aus- gewghlte Kapitel aus der Funlrtionenlehre", Sommer 1886) noeh in einer von A. Kneser ausgearbeiteten Vorlesung ,Einleitung in die Theorie der analytis~hen Funktionen", Winter 1880--1881, findet sieh der Beweis.

Ieh zitfere lieber die obige WeierstraBsehe Fassung' als die bei 0sgood a.a. 0. I), Kap. 2, w 17 gewJ~hlte, weft mir die Verwendung des Stetigkeitsbegriffs bei der Deft- nition des ,Gebildes" nicht ganz angemessen erscheinen will. Aueh finden sich bei Osgood einige Ungenauigkeiten. Z.B. ist die Aussage in Zefle 9--7 yon unten auf S. 114 der zweiten Auflage nicht richtig, wenn ,Stelle" einfach ,Wertsystem" bedeutet (s. S. 110): setzt man F = w ~ -- z ~ y, so hat W = x y~ w die Grenzwerte 4- ~y fiir x --~ 0. Einen vollst~ndigen Beweis des Weiorstraflschen Satzes zu geben, gehSrt nicht zum Zweckbereich die~r Arbeit.

Zusa t z bei der K o r r e k t u r : Nachtr~glich bemerke ieh, dab es mSglieh und zweel~mr~fliger ist, den Beweis des gegenwJirtigen Absatzes mit dora auf Ideale aus Potenzreihen iibertragenen Hflbertschen Basissatz zu ffihren start mit dem oben an- gefiihrten WeierstralJschen Satze. Der erstere sichert die Existenz einer Basis bei einem beliebigen Ideal, der andere die einer Basis be~onderer Form bei einem Prim- ~doal endlicher Ba~ir~ Der Basissatz ist mit Hilfe des Vorbereitungasatzes iiJanlich zu beweisen wie bei Polynomidealen.

Meromorphiebereiche von Funktionen mehrerer Ver~nderl/chem 653

Gebilde enthalten, in ~: mehr Gebilde enthalten sind als in ~ , so ist damit die Gesamtheit der Typen der Zusammensetzung aus Gebitden ver- schiedener Stufen wohlgeordnet (iibrigens zum Ordnungstypus eo ~, wenn, wie hier, die Stufe nicht hSher wird Ms eine gewisse Zahl ]r Die oben geschflderte Ersetzung bedeutet abet einen Riickschritt in dieser wohl- geordneten Menge, und es gibt keine unendliehe riickschreitende FolgeS).

Es ergibt sich also eine Umgebung !~ des Nullplml~.s und eine Zab]/r derart, dal~ in ihr die Gleichungen h 1 . . . . . h~ = 0 die iibrigen GIeichungen h, = 0 zur Folge haben. Die LSsungen de~ ersteren lassen sich dutch endlich viele Gebflde nach (3) und (4) darstellen. Um zu beweisen, daft die bei diesen Gebilden angenommenen Wertsysteme von al, . . . , a~ nirgends dicht liegen, brauchen wit es nur bei jedem einzelnen Gebilde zu zeigen. Bei den Gebilden nullter Stufe ist es klar: ein solches ist einfach das Wertsystem w, = a ~ 0. Es sei bewiesen bei den Gebilden niedrigerer als ]r Stufe. Die H~iufungspunkte eines Gebildes k- ter Stufe (~k ge- hSren ibm selbst oder (wenn es Punkte mit G ' = 0 sind; vgl. (4)) Ge- bilden niedrigerer Stufen an. Wir schliel3en diese in eine beliebig enge Umgebung ~ ein und brauchen nut zu zeigen, dal~ die auf (~k aul~erhatb von ~ angenommenen Wertsysteme von a l , . . . , a~ nirgends dicht liegen. Dieser Teil yon (~k liii3t sich abet mit endlieh vielen Elementen iiberdecken, bei denen w~, . . . , w~ und a~ . . . . . r Ms regul~ire Funktionen yon ]c in einem beschr~inkten Bereich ver~inderlichen Parametern u~ . . . . , u~ darstellbar sind. W ~ e der Wertevorrat von a~ . . . . , a bei allen Elementen zusammen nicht nirgends dicht, so w~ire er es bei mindestens einem Element aUein aueh nicht. Bei diesem wiirde also der Wertevorrat von al . . . . . a~ ein Gebiet iiberall dicht bedecken und daher (a]s abgesehlossene Menge) ganz ent- halten. Das kann nut geschehen, wenn k __~ n ist und die Funktional- determinante yon a~ . . . . . a~ etwa nach u~ . . . . . u~ nicht identisch ver- schwindet. Dann ist aueh

~(w~ +a~ t . . . . . w~-- a~t; t) ~ ~(w~ § t, . . . , w~+ ~ t ) _ _ _ t ~ ( ~ , . . . , ~ )

nicht iiberall gleieh Null; d .h . die Wertsysteme (w ~ - a t ; t) mit

ho (w; = (w; . . . . . o

~) Anschaulich ausgedriickt: Man hat eine yon rechts naeh l in l~ angeordnete endliche Reihe yon Streichholzschaehteln und nehme aus e/ner ein Ho]z heraus mad lege zugleich in irgendwelehe weiter nach rechts stehende Sehacht~_ln beliebig viele HSlzer h/neim Dies 1/i~t sich bel/ebig, aber nieht une~dlieh oft ausffihrem

Bei allen Spielen ist die Frage nach der M6~liehke/t nnendlicher P~rt/en wichtig. Ich kenne kein Spiel wie das oben beschriebene (~venn man eine so ansprueb~se Besch~ft/gung ein Spiel nennen darf), dessen Regeln Partien belieb/ger L~mge zu- Jansen, unendliehe Part/en ~ber aus~hlieflen.

654 H. Kneser.

edii]len ein Gebiet im Raume der n + 1 komplexen Veriiaderlichen. Fiir alle diese Punk~ ist aber h(w; z ) = O; es mii~te also entgegen der Voraus- set~ung h ~ 0 sein.

w

Beweis yon Satz 1.

Satz 4. Es sei (~ ein beschrdnktes Gebiet im Raume der Verdnder- lichen w l , . . . , w und ~ l ein anderes, das mit seinem Rande in (~ ent- halten ist. Ferner sei ~ ein beschrdnlaes Gebiet in der z-Ebene mit Ein- schlufl seines Randes ~. Ist dann die ~unktion f ( w 1 . . . . , w~; z) = f(w; z) meromorph liar (w) in ~ l und z in ~ aowie /iir (w) in ~ und z a u / ~ , so ist f auch meromorph /fir (w) in ~ und z in ~ .

Es geniigt zu beweisen, dai~ f (w; z) meromorph ist flit (w) in ~ " mid z in ~ , wenn (~" ein beliebiges, C~ i enthaltendes und mitsamt seinem Rande in (~ enthaltenes Gebiet ist; denn jeder Punkt yon (~ l~i3t sich in ein solches Gebiet einschlie~en. Wit schieben zwischen ~ und (~" ein Gebiet (~' ein, das mit seinem Rande in ~ enthalten ist und das das Gebiet (~" lind dessen Rand enthiilt, l~erner w~ihlen wix ein Gebiet @~, das mit seinem Rande in (~ enthalten ist. Wit setzen w, ~ - w , - a z mit noch genauer zu bestimmenden Koeffizienten ~ . Shad sie dem Be- trage nach hinreichend klein, ist z.B. [ a i < t (e > 0), so gelten jedenfalls flit a]]e Werte z aus !~ die Beziehungen:

1. Liegt (w*) in (~', so liegt (w) in @.

3. Liegt (w) in ~", so liegt (w*) in ~ ' .

Ubers~reichen deutet dabei den Ubergang zur abgeschlossenen Hiille an. Nun gehSrt zu jedem Wertsystem

(5) (w*) au~ C~' ~ d z auf

eine Umgebung lI und eine in dieser giiltige Quotientendarstellung f-~ g/h dutch zwei reghl~re Funk~onen g lind h, yon denen h nicht identisch verschwindet. Endlich viele solche Umgebungen 1I iiberdecken die ganze (beschdi~lr~ und.abgeschlossene.) Menge (5). Bei jeder yon ilmen bilden diejenigen Wertsysteme a, flit die mit irgendwelchen Werten w und z aus U die Gleichung h ( w + at ; z + t) = 0 .flit alle t gilt, nach Satz 3 eine nirgends dichte Menge, lind diese endlich vielen nirgends dichten Mengen zusammen bilden wieder eine ni~gends dichte Menge. Au~e~halb dieser w~hlen wir ein Wertsystem mit l a i < e; dann ist auf keiner ,,Geraden" W: ~- konst, die FunkCion h durchweg singul~ir. Wenn wit w1*, . . . , w*, z als unabh~ingige Ver'dnderliche benutzen~ so ist also die einschr~.nlrende Vor-

: \

Meromorphiebereiche yon Funktionen mehrerer Ver~kudertichen. 655

aussetzung yon Satz 2 immer erfiillt, solange wir uns auf Wertsysteme (5) besehr~Lken.

Nach den Voraussetzungen und nach den Beziehungen 1. mad 2. ist nun f meromorph far (w*) in ~ und z in ~ sowie far (w*) in ~ ' and z auf ~. Die Menge ff~ derjenigen Punkt~ (w*) aus ~ ' , fiir die f aueh fiir alle Werte z aus ~ meromorph ist, ist often. Wenn sie nieht das ganze Gebiet ~ ' ausmaeht, so gibt es einen nieht zu ~ gehSrigen Punkt

~g w, = a~ derart, dab bei hinreichend kleinem positivem R die Funktion [ meromorph ist far ! w*-- a, ] ~_~ R und z auf ~, und dal~ far beliebig nahe bei (a) gelegene Wert~ysteme (w*) die Funktion f meromorph ist flit alle z aus ~ . Da die einschr~inkende Voraussetzung von Satz 2 erfallt ist, so ist dieser Satz anwendbar; er besagt abet, dal~ der Punkt w~ = a, doeh zu ~ gehSrt. Also f~illt die Annahme, ~ w~re nieht mit g6' identiseh; die Funktion f ist meromorph far (w*) in ~ ' und z in ~. Nach der Beziehung 3. ist also f(w; z) meromorph far (w) in ~ " mad z in ~ , was zu beweisen war.

Jetzt ist Satz 1 sofort klar. Es sei @ daz Gebiet i w - - a , l < R. Wit w~ihlen e < R mad verstehen mater $1 das Gebiet l w , - w : t < e x mit 0 < e x < R -- e, worin w: die Bedeuttmg aus dem Wortlaut des Sat~es 1 hat. Dana besagt Satz 4, dal~ f(w; z) meromorph ist ffir [ w , - a i < R und z in ~ , also insbesondere fiir w , - ~ a , und z in ~ .

(Eingegangen am 24. 10. 1981.)