Einbettungsfreie, fast-Noethersche Ringe und ihre Oberringe

Einbettungsfreie, fast-Noethersche Ringe und ihre Oberringe

Von WOLFGANG KRULL in Bonn

(Eingegangen am 15. 8.1958)

Fur einen einartigen, nullteilerfreien, NOETHERSChen Ring go mit dem Quotientenkorper 9 hat H. GRELL gezeigt, daB jeder Oberring G & 9 von %" in eindeutiger Weise dadurch gewonnen werden kann, daB man zunlchst eine ganz abhangige Erweiterung % von bildet, und anschlieBend eine Quotientenringbildung einfachster Art vornimmt I ) . (G wird ein ,,regularer Quotientenring" von % in GRELLscher Terminologie.) Fragt man sich, wie weit die GRELLschen Satze auf nichteinartige (nullteilerfreie) Ringe ubertragen werden konnen, so kommt man zu den folgenden Ergebnissen :

1. Schon die Betrachtung von % = K[x , 91, also eines NoETHERsChen Z.P.E.-Ringes einfachster Art, zeigt, daB man ohne die Einartigkeitsvoraus- setzung nur dann ahnliche Resultate wie bei GRELL erwarten kann, wenn man die Menge der zugelassenen Ringe (5 E 9 scharf einschrankt. Man muB sich auf die Betrachtung von solchen Ringen (5 beschranken, die mit 8 minimalaerwandt sind, d. h. bei denen fur jedes minimale G-Primideal p , der Durchschnitt p , n 8 = p r ein minimales %-Primideal wird.

2. Die nach GRELLschem Vorbild gebildeten Quotientenringe haben regelmSBig die Eigenschaft, daB sie einbettungsfrei sind, d. h. daB bei ihnen jedes Hauptideal Durchschnitt seiner isolierten Primarkomponenten ist. Es erscheint unter diesen Umstlinden zweckmaBig, zum mindesten vorlaufig nur einbettungsfreie Ringe 3, (5 in den Kreis der Betrachtung zu ziehen.

3. Am interessantesten ist die Erkenntnis, daB man iiber den Bereich der NoETIIERschen Ringe hinausgehen muB, wenn man vollbefriedigende, von unnotigen Einschrankungen freie Satze erhalten will. Man muB beliebige , , fast-NOETHERSChe" Ringe zulassen, von denen nur die Gultigkeit der folgenden beiden, bei NoETHERsChen Ringen stets erfiillten Bedingungen gefordert wird : 1. Jedes Hauptideal besitzt nur endlich viele isolierte Primarkomponenten, die samtlich zu minimalen Ringprimidealen gehoren.

l) Vgl. H. GRELL, Grundlagen zur Strukturtheorie der Integritatsbereiche mit einge- schrilnkter Minimalbedingung. Festschrift, Humboldt-Univ. Berlin 9, 15-36 (1960) ; Uber die arithmetische und algebraische Struktur der Integritatsbereiche mit eingeschrankter Minimalbedingung. I, 11. Erscheint in diesen Nechrichten. 21 Math. Nachr. 1960, Bd. 21, H. 6

320 Krull, Einbettungsfreie, fast-Noethersche Ringe und ihre Oberringe

2. Bei jedem minimalen Ringprimideal gilt die Maximalbedingung im Be- reich der zugehorigen Primarideale. - DaB die Klasse der fast-NoETHER- schen Ringe auch abgesehen von dem GREmschen Oberringproblem selb- standiges Interesse verdient , zeigt folgende Uberlegung : Die endlichen diskreten Hauptordnungen, also die allgemeinsten Ringe, in denen fur die Hauptideale die gleichen einfachen Zerlegungsgesetze gelten wie in den Hauptordnungen der endlichen algebraischen Zahlkorper, sind idealtheoretisch charakterisiert als die normalen (ganz abgeschlossenen), einbettungsfreien, fast-NoETHERschen Ringe. Die einbettungsfreien, fast- NOETHERSChen Ringe verhalten sich also zu beliebigen Ordnungen aus end - lichen algebraischen Zahlkorpern genau so wie die endlichen diskreten Hauptordnungen zu den dortigen Hauptordnungen.

Im folgenden wird gezeigt, daB die GREmschen SBtze in sinngemaBer Verallgemeinerung ohne hderung ihres eleganten Wortlautes gultig bleiben, wenn man fur '8 und C5 beliebige einbettungsfreie, fast-NOETHER- sche, miteinander minimalverwandte Ringe zuld3t. Wir behandeln zuniichst den Spezialfall NOETHERsCher Ringe, wobei in tj 1 die Schwierigkeiten, die bei nicht einbettungsfreien Ringen auftreten, naher untersucht werden. AnschlieBend wird dann die Notwendigkeit des Ubergangs zu beliebigen faSt-NOETHERSChen Ringen genauer begrundet, und es wird die Gbertragung der Theorie auf diesen allgemeinsten Fall durchgefuhrt .

'

8 1. Ganz-abhangige Ringerweiterungen. Einbettungsfreie Noethersehe Ringe

Bezeichnungen. ,,Ring" bedeutet im folgenden stets einen nullteilerfreien Ring, also einen Integritutsbereich. Das Nullideal wird von der Betrachtung ausgeschlossen ; '8. bezeichnet den Ring '8 nach AusschluB des Nullelements. '8 heifit normal, wenn '33 im Quotientenkorper R ganz abgeschlossen ist; das Primideal p aus '8 wird normal genannt, wenn der Quotientenring '8+, , also der Ring aller Quotienten a b-l (a, b E '8; b B p). normal ist. Ein u E R, das von '8 ganz abhiingt, heifit echt ganz abhiingig, wenn u 6 '8. Prim& bzw. einartig ist der Ring '8, wenn es in '8 nur ein einziges Primideal gib t, bzw. wenn in '8 alle Primideale gleichzeitig maximal und minimal (also paarweise teilerfremd) sind. - 1st '8 ein NOETHERSCher Ring, a . '8 ein Hauptideal, p z ein minimales Primideal &us '8, so setzen wir (a), gleich der zu p r gehorigen isolierten Primiirkomponente von a . 3 bzw. gleich '8, je nachdem ob a E p t oder a B p r . - Bekanntlich gehoren in einem NOETHERSChen Ring '8 alle isolierten Primlirkomponenten eines Hauptideals zu minimalen Ringprimidealen ; ist jedes Hauptideal gleich dem Durchschnitt seiner isolierten Primiirkomponenten, also frei von eingebetteten Primlirkomponenten, so nennen wir '8 einbettungefrei. 1st G ein NOETHERscher, im Quotientenkorper von '8 liegender Oberring des NoETHERsChen Ringes '8, so sol1 zu '8 minimalverwandt heiBen, wenn fur

Krull, Einbettungsfreie, fast-Noethersche Ringe und ihre Oberringe 321

jedes minimale Primideal p(') aus G der Durchschnitt p ( g ) n % = p") ein minimales Primideal aus $I ist. - B . . . (mit irgendwelchen Indizes) bedeutet stets einen diskreten Bewertungsring, also einen primaren, normalen, NoETHERsChen Ring; B . . . (mit den gleichen Indizes) ist die durch B . . . definierte Bewertung von 9, die stets so normiert sein moge, daB B . . . ( p . . .) = 1 fur ein Primelement p . . . aus B . . . .

Satz 1. Ist % ein nichtnormaler, primarer Noetherscher Ring und % C G & @ , so enthalt der Ring G stets ein von % echt ganz abhangiges Element.

Es sei $I* die normale Hulle von % in 9. Dann ist %*, wie bekannt, Durchschnitt von endlich vielen diskreten Bewertungsringen :

$I* = 23, (7. . . A B3,,2).

1st gi bzw. p das Primideal aus Bi bzw. 8, so gilt stets bi A % = p ; fur jede Nichteinheit a aus $I wird also B,(a) > 0 (i = 1, . . . n ) . Es sei nun GI E 6, $I; dann unterscheiden wir zwei Falle: a) Bi(u) < 0 (i = 1, . . . n ) . 1st hier ,3 $; 0 beliebig aus G, so wird Bi(P-' . u - ~ ) 2 0 (i = 1, . . . n), b-1. E %* fur N 2 N , (P). Es hangt also j3-l . u - ~ von '$3, und damit auoh von G ganz ab. Daraus folgt, daB u-")-l = ,3 uN und somit erst recht fl in G Einheit ist. D. h. aber: Alle Elemente von G- sind Ein- heiten, es ist G = R 1 %* und wegen %* 1 8 gibt es in G von % echt ganz abhangige Elemente. - b) Es sei etwa B,(u) !2 0 , Bm+k (u) < 0 ( i = l , . . . m ; k = l , . . . n - m ; l l m ~ n ) . I s t dann m = n , m - n = O , so haben wir u E %*, B % und sind fertig. Satz 1 ist daher bewiesen, sobald man gezeigt hat: 1st 1 2 m < n so laBt sich stets ein U, E G, B % mit &(al) 2 0 (i = 1, . . . m + 1 ) konstruieren. - Es sei nun a $; 0 eine Nichteinheit aus 8; dann gibt es wegen B,+,(a) > 0, B,+,(u) <: 0 stets ganze positive Zahlen r , s, derart daB Bm+, (ar . a') = 0 , und wir haben u, = ar - us E G . Andererseits kann u, wegen B, (a,) > 0 keine Einheit und wegen B,+l (a,) = 0 keine Nichteinheit in % sein, es ist also u1 B % .

Es sei jetzt % ein beliebiger NOETHERSCher Ring mit dem Quotienten- korper R. Alle betrachteten Oberringe von '8 sollen in R liegen. M = {. . . p , . . .I sei die Menge aller minimalen Primideale von 3. 1st N Untermenge von M so werde atN durch $ItN = $IpT definiert. (atN = 9, falls N die leere Menge.)

Hilfssatz 1 . a) a b-'(a, b E %) gehdrt zu 8ItN dann und nur dann, wenn (a), & (b ) , far jedes p T E N . - b) u E atN dann und nur dann, wenn u = a, . b;l = uz. b;l(a,, b, E 8; i = 1, 2 ) wobei far kein p , E N gleichzeitig (bl), =k '8, (bJ, =I= 8. - c) $IN =!= $ItN, far N

Beweis: a) Es ist nur zu zeigen: a . b-l E $Ip , dann und nur dann, wenn (a),& (b) , . 1st nun a . b- l E IJiP,, also (a - b- l ) c E % mit c B p , ,

n V,E N

N'.

- 2) Vgl. W. KRULL, Ein Satz iiber primare Integritatsbereiche. Math. Ann. 103,450-465

(1930). 21'


so ist einerseits a - c - % G b . %, (a . c),G (b ) , , andererseits (a), = (a . c ) ~ ; also gilt (a), E (b ) , . - 1st aber (a), (b ) , so sei ( b ) = (b ) , n q1 n . . , n qs, wobei jeweils qi ein Primiirideal, dessen zugehoriges, nicht notwendig minimales Primideal pi =l= p , . Dann gibt es wegen p i g p , (i = 1, . . . s) in % ein c E q1 I - \ . . . n qs, 4 p , , und man hat:

a . c . 8 G b . 8 , ( a . b- ' ) . c , E % , a . b-' E%,,,.

b) 1st a = a , - b;' = a2 b;', so ist nach a) sicher a E %",, falls (b , ) , = % oder (bJ, = 3. Bedingung b) reicht also hin fur a E %R . - 1st aber a = a, . b;l E WN , so sei ( a , ) = (bl)71 n . . . n (b,)7d (-\ q1 n . . . n qt, wo. bei qk jeweils ein Primiirideal, dessen zugehoriges nicht notwendig minimales Primideal p i nicht in N liegt, wiihrend die Primideale pTi (i = 1, . . . 8 )

alle in N . Dann ist p i g pTi ( i = 1, . . . s; k = 1, . . . t ) , es gibt daher ein b, E % mit b, E q1 n . . . c-, qr , B pri (i = 1, . . . s), und man hat (b& =% ( i = 1, . . . s), sowie b, (a, - b;') = a, E 3. (Beachte, da13 (a,)7i G (bl)7i ( i = 1 , . . . s) nach a).) - c) Man beachte: 1st etwa pro E N , B N und a E p r o , so gibt es in W ein b, das in allen (a),(t =/= to), aber nicht in (a)," liegt, und es gehort a = b a- , zwar zu $lN, aber nicht zu W N .

Satz 2. a) Es ist % dann und nur dann einbettungsfrei, wenn % = b) Es ist % dann und nur dann einbettungsfrei, wenn stets a E 3, falls ein %-Ideal i existiert, derart dap u . i C= '$3 und i g p , far jedes p , E M .

und a = (~),~n.. . n (a),8 der Durchschnitt aller isolierten Primlirkomponenten von a . 8. 1st dann b E a, so ist (b),G (a), fur jedes p , E M , also b a-1 E %, nach Hilfssatz la ) . D. h. aber: b E a - W fur alle b E a, a = a . %. - 1st andererseits a = ( u ) , ~ n . . . n (a),s der Durchschnitt der isolierten Primlirkomponenten von a . 91, undgibt es e i n b c a , B a . 8 , so i s tb . a - lB%, €%,, a l soWICM. - b) Es sei W zunachst nicht einbettungsfrei und etwa a . % vom Durch- schnitt seiner isolierten Primiirkomponenten verschieden. 1st dann b E a, b B a . W und i = a . W : b . % der Idealquotient von a . % und b . W in %, so ist i C& p , fur alle p , E M und b . a-l @ W, ( b . a- l ) . i 2 %. - 1st andererseitsa = a - b-1 (a , b E 8) und a . i & 3, also a i & b . 8> aber i p , fur alle p , E M , so ist (a), 2 (b), fur alle p , E M , d. h. a b-1 = a E %, nach Hilfssatz 1 a). Bei einbettungsfreieri W folgt daraus stets weiter a E % wegen

Satz 2 b) zeigt, daB unter den allgemeinen (nullteilerfreien) NOETHERSChen Ringen % die einbettungsfreien, aber auch nur sie, ahnlich einfache Eigen- schaften besitzen wie die einartigen NomRERschen Ringe, wobei die Menge aller minimalen Ringprimideale im allgemeinen Fall die gleiche Rolle spielt wie im Spezialfall die Menge aller (trivialerweise minimalen) Ringprimideale.

Beweis: a) Es sei zuniichst 8

%=a,.


Es sei jetzt %* bzw. 8; bzw. %:, die normale Hiille in R von % bzw.

Hilfssatz 2. %:, und alle Zwischenringe G zwischen 9lPz und %;,sind

Weiter ist, wie schon bei Satz 1 bemerkt, jeder Ring %:7 Durchschnitt von endlich vielen diskreten Bewertungsringen, %:, = n . . . n % 7 8 T .

Es sei Mf bzw. Mf die Menge aller !BTk(p7 F M ; k = 1, . . . s,) bzw. die Menge aller zugehorigen Bewertungen B, k . Ferner sei das Primideal aus %,, und es werde 8: = .T %,k (%,k E Mg); $2 = p f k n 3; gesetzt. Dann gilt stets fi$n % = p y l n % = ( p r i n %,,T) n % = ( p z . %+,7) r\ % = p , . Wir beweisen jetzt:

Satz 3. 6: ist eine endliche diskrete Hauptordnung mit der charakteristischen Bewertungsmenge Md

Beweis: a) Aus der Definition von @: folgt: u E 9 liegt in !J?z dann und nur dann, wenn Btk(a ) 2 0 fur alle Blk . - 1st u = a . b-l(a, b E %) beliebig aus 2'. so kann wegen pi? n % = p , nur dann BTk(a) f 0 sein, wenn a E p r oder b E p , ; es ist also B T k ( a ) = 0 fur fast alle B T k . b) Es bleibt nur noch zu zeigen: 1st B,, + BTlk,, so existiert stets ein u E g z mit

3) Fur die Gultigkeit dicses Hilfssatzes ist nur wesentlich, daD W V T ein einartiger

NoETHERscher Ring und '@.. seine normale Hulk ist. k'gl. IT. AKIZUKI, Einige Bemer- kungen ubcr primare Integritatsbereiche mit Tcilerkettensatz. Proc. Phys. Math. SOC. Japan, 111. Ser., 17, 327-336 (1935). Vgl. ferner D. G. NORTIICOTT, A note on classical ideal theory. Proc. Cambridge Phil. SOC. 51, 766-767 (1955).

4) Zur Definition der endlichen diskreten Hauptordnungen und zu ihrer idealtheore- tischen Charakterisierung vgl. W. KRULL, Idealbericht (Ergebnisse der Math. Bd. 4, Heft 3, Berlin 193.5), Nr. 37 und Nr. 43, Beispiel 1.

Die einfachste Charakterisierung lautet wohl : 'Ji ist dann und nur dann eine endliche diskrete Hauptordnung, wenn in dem Quotientenkorper B von 'Ji eine Menge M(r) von diskreten Bewertungsringen, also nornaalen, primaren NOETHERSChen Ringen BT existiert, fur die folgende Bedingungen erfiillt sind: 1. 'Ji = b,. 2. Jedes a E'Ji. ist nur in

endlich vielen d, Nichteinheit. 3. Fur T~ =+ t2 gibt es stets ein a E 'Ji. mit B,, (a) > 0 , BTz (a ) = 0 (d. 11. also a Nichteinheit in dTl, EinhPit in B7J.

Fur die aus dieser Definition resultierende idealtheoretische Charakterisierung der endlichen diskreten Hauptordnungen vgl. $ 5, S. 104 ff. Fur das Korollar zu Satz 3 ist wichtig, daD bei der einfachsten Definition die samtlichen minimalen %-Primideale, und nur sie, dadurch erhillten werden, daO man die Primideale der Br mit 112 schneidet.

Y. MORI und M. NAUATA haben gezeigt, daB nicht nur g& sondern auch R* immer eine endliche diskretc Hauptordnung (in der Terminologie von NAQATA ein ,,KRULL- Ring") ist. DaB R* gleichzeitig mit R NoETHERsCh ist, konnte von MORI und NAGATA nur in verhiiltnismaSig spexiellen Fallen bewiesen werden. Bei NAQATA spielt der folgende Hilfssatz eine wichtigc Rolle: 1 s t p* minimales Primoberideal von a - R* (a =t= 0 ausR), SO ist p = p* n R stets ein zu a . R gehoriges Primideal. Konnte man hier ,,zu a - R gohoriges Primideal" durch ,,minimales Primoberideal von a P' ersetzen, so wire damit R* = i* bewiesen. [Vgl. Y. MORI, Memoirs Kyoto Univ. A 27, 249-256 (1953); 28,327-328 (1954). - M. NAUATA, Memoirs Kyoto Univ. A. 29, 294-302 (1955)l.

%M bzw. %+,,. Dann gilt zunachst, wie wohlbekannt:

NOETHERsChe Ringe ').

-

__ - -

r\ Elr€ dr)


Brk(a ) > 0, Brlk, (a) = 0 . 1st nun t $; t' und a E % so gewiihlt, da13 a E p , , @ p r f , so haben wir B r k ( a ) > 0 , BrIkl ( a ) = 0 wegen A % = p , ,

mit Brk(@) > 0, Brlkl ( p ) = 0 . Fur p gilt eine Gleichung

@,Ikl (a) n '8 = p , , . - 1st aber t = T', k $; k', sogibt es zuniichst ein p E %:,

p" + a, . c-1. pn-' + . . . + a,. C-1 = 0 (Uk,CE%(k= 1, . . . n ) ; C @ p z ) .

Fur a = c .

- Aus Satz 3 und G:k n % = 9, folgt4):

Korollar: Die Menge M* aller $k umfapt gerade alle minimalen Prim- ideale von %:. Es sind %$ und % minimalverwandt.

Was die Beziehungen zwischen %*, %t*, , %: angeht, so ergibt sich trivial aus den Definitionen %* & 8: a:. - Urn weiter zu kommen, nennen wir wie ublich a f 9 vom Ringe G E fi! fast ganz abMngig, wenn eina E @ existiert, derart daI3 a an f G fur n = 0, 1 , 2, . . . Der Ring G** aller von G fast ganz abhiingigen Elemente aus R sol1 als die abernormale Halle von G in 9 bezeichnet werden. Bekanntlich fallen bei NOETHERsChen Ringen die Begriffe ,,ganz" und ,,fast ganz abhhgig", ,,normal" und ,,ubernormal" zusammen, wiihrend immer jedes ganz abhiingige Element auch fast ganz abhangig ist, so daI3 die ubernormale Hiille stets die normale umfaI3t.

haben wir: Brk(a) = B,k(p) > 0, BrkI (a ) = B r k f ( p ) = 0 , an + C I an-' f * * + C, = 0 (ck = C k - l * ak E %(k = 1, + . . n)), a E %* a:.

Satz 4. '&: ist die thbernormale HfUe von %,. Beweis: a) 1st a fast ganz abhiingig von %,, so ist a auch fast ganz

abhiingig von allen 9IPv, und das bedeutet a f n %:r = $I:, da bei jedem der NOETHERSChen Ringe die ubernormale Hulle mit der normalen zu- sammenfiillt. b) Es sei a fast ganz abhiingig, also auch ganz abhiingig von allen IJt,,, , d. h. a E '@$, und es seien . . . %+,, die endlich vielen IJt,,,, die a nicht enthalten. Dann gibt es fur k = 1, . . . w ein ck $; 0 aus %, derart daD ck .an E % (n = 0, 1 , 2, . . .), und fur c = c1 . . . . . c, haben

wir a n . c E n = Ilt, (n = 0, 1, 2, . . .), d. h. es ist a fast ganz abhiingig von 8,. Aus Satz 4 folgt sofort:

W

' l k

Satz 5. 1st % einbettungsfrei, so wird N* =%* M - - %* M' Man beachte: Bei einbettungsfreiem IJt ist % == BM, und es fiillt die

normale Hiille a$ von %, mit der ubernormalen Hulle $I$ zusammen, weil '53, = '53 NoETHERsch ist. - Es liegt nun die Vermutung nahe, daB iiberhaupt immer %* = 93: = $: wird. Indessen stofit hier ein Beweis- versuch auf uberraschende Schwierigkeiten. Leicht ergibt sich nur :

Satz 6. Es ist dann und nur dann %* = %: = $tz, wenn %* eine endliche diskrete Hauptordnung und mit % minimalverwandt ist. I n diesem Falle iet auch jeder Ring G zwischen % und %* rnit % minimalverwandt.


Beweis: a) 1st %* 3: as, so sind die Bedingungen von Satz 6 nach Satz 3 und seinem Korollar erfullt. - b) Es sei %* eine endliche diskrete Hauptordnung (was bekanntlich sicher zutrifft, wenn %* ebenso wie % NoETHERsCh ist). 1st nun m0 der Bewertungsring irgendeiner Bewertung des charakteristischen Bewertungssystems M t von %* und p r ) sein Prim- ideal; so ist p:) A%* = p,* in %* minimal. 1st also %* zu % minimalverwandt, so wird p!) A % = p T ( p l € M ) , B U 2 tJIpr, und daraus folgt, daB mu gleich einem der Bewertungsringe 8 * k . D. h. aber: 1st %* zu % minimalverwandt, so ist Md E Mt und damit

wegen as 2 %* gilt also %* = 8;. c) Es sei %* = und '8 E G 2 %*. 1st dann p' irgendein minimales Primideal aus B, so gibt es nach der bekannten Theorie der ganz abhangigen Oberringe in %* ein notwendig minimales Primideal p * , derart daB p* A G = p ' . 1st nun %* = %:, so ist p* gleich einem 62 und man hat

p ' ~ % = ( f i : ~ n e ) , \ % = $ 2 n % = p r € M .

Satz 5 lehrt, daB %* = 9: allgemein bewiesen ist, sobald man gezeigt hat: Jeder ganz abhiingige Oberring von % ist NoETHERsCh und mit % minimalverwandt. Aber es scheint zum mindesten nicht moglich zu sein, diese Behauptung allein aus der Theorie 'der ganz abhangigen Oberringe abzuleiten 4).

$j 2. Allgemeine Ringerweiterungen

Wie in Q 1 sei % ein NoETHsRsoher Ring und M die Menge der niinimalen Ringprimideale p , . Wir teilen M in zwei elementfremde Klassen M , , B,, und zwar sol1 p , zu M , oder M , gehoren, je nachdem ob p I normal oder nichtnormal. Im folgenden bedeutet p r bzw. pp bzw. p i stets ein beliebiges Primideal aus M bzw. ein Primideal aus M , bzw. ein solches aus M-,. Da

= 8,. SchlieBlich stets ein diskreter Bewertungsring ist, setzen wir

Satz 7 . a) Ist % C B E ft und B @,, so enthdlt G stets ein von % echt ganz abhiingiges Element. - b) Ist % einbettungsfrei, 80 enthiilt kein Ring B zwischen % und En ein von % echt ganz abhangigea Element.

Beweis: a) 1st B CJB,, so gibt es ein a € B, derart daB a @ % - fur mindestens ein p i . Da % - ein nichtnormaler, primiirer NoETHERsCher Ring ist, gibt es in %,,-.[a] nach Satz 1 von Q 1 ein von %,, echt ganz abhangiges Element 0, und nach Definition von existiert ein c E p i in 8, derart daB

ue

+'e


zwei Gleichungen j3 = +(a,, + a, 6: + . . + am . u"); /?" 4- c-l bl p-' f * * - + c - l b, = 0 (ai, b, E % ; i = 0, . . . rn ; k = 1, . . . n ) gelten. j3 . c = y liegt dann nicht in %,i, also auch nicht in %, wohl aber in G und es hiingt y von % ganz ab, da y n + b, yn-' + . . . + cn- l b, = 0 . - b) 1st u E %, und u E 8, fur alle p , E M,, so ist u E BM, also u E % bei einbettungsfreiem % (vgl. Satz 2). Sol1 also u E %,, u ff % bei einbettungsfreiem % gelten, so mu13 u ff !Be sein fur mindestens ein p , . Dann aber kann u nicht von % ganz abhlingen wegen B,(u) < 0 . - Fur einen einartigen NoETHERsChen Ring % hat H. GRELL die Menge der Ringe zwischen % und '%, genau charakterisiert. Es sol1 jetzt die Moglichkeit einer ubertragung des GRELLschen Resultats auf nichteinartige NoETHERSChe Ringe untersucht werden. Offenbar entspricht jeder Untermenge N , von M , ein G zwischen B,, und 91, nanilich G = % t l ~ j , " ~ , = 3, A !RNn (vgl. Q 1) 5).

Satz 8. Der Ring G zwischen 8, und % ist dann und nur dann yleich einem der Ringe g,, (7 g N n , wenn G folgender Bedingung gentigt : u E 9 gehcrt stets zu G, wenn ein in keinenz p r E M enthnltenes %-Ideal a existiert. fur das a - a E G.

Beweis: a) Aus u . a & %,,,, a 5& p , folgt stets a E !It+,,. Jeder Ring R, n '$IN, = %,n,,ngenugt also der Bedingung von Satz 8. b) Es genuge G der Bedingung, und es sei N , die Menge aller der p , , fur die B,(u) 2 0 fur d l e u E 6.. Dann ist sicher a,, n 9INn 2 G , und urn R, n 9INn = G zu beweisen, hat man nur zu zeigen: Zu jedem 01 E an n 91N, gibt es ein in keinem p , E M enthaltenes %-Ideal a, derart daB a . a g G . - Es seien pel, . . . pew die endlich vielen Primideale aus M , - N , , fur die a 8 % e k ,

also Bek(a) < 0 . Dann gibt es nach Definition von N , fur k = 1, . . . w in 6 ein ak mit Be, (ah) < 0 . Es seien nun weiter c l , . . . c , in !It so gewiihlt, da13 c k ff p e k , c k E p, , ( k , 1 = I., . . . w ; k A- 1 ) . Dann lassen sich nacheinander N

und M so bestimnien, de13 fur y1 = 17 (1 + c f u,") und y 2 =; y1 + Z die

Ungleichungen Bek (yi) 5 BPk (ct) (i == 1, 2 ; k = 1, . . . w ) gelten. Nach Konstruktion gehoren y1 und yz zu (5. 1st ferner y1 E p z . X,,, fur irgendein' p , E M , so gilt sicher y 2 8 p T . '&,,. Daraus folgt unter Berucksichtigung von u €%,, (M' = M - {pel, . . . p,,}) ; !Be, (a y; ' ) 2 0 (i = 1 , 2 ; k = 1, . . . w ) durch analoge uberlegungen wie bei Hilfssatz 1 von Q 1: Es gibt in % zwei Elemente a,. a2, derart da13 a, . (u y ; ' ) E %(i = 1, 2), und dal3 stets a, ff p , , falls a, E p , ( p , beliebig aus M ) . Das %-Ideal a = (ul, a ? ) . 3 ist dann in keinem p T enthalten und man hat

-

w

k = l

ai . a . f3 & yi . G (i = 1 , 2 ) ; a . a G G . -

(2) 6 ) Fur N r ) =+ sind 3, n W$l und 3, n %a, wegen Hilfssatz 1 c ) verschirden.

Krull. Einbettungsfreie, fast-Noethersche Ringe und ihre Oberringe 327

1. Korollar zu Satz 8. I s t % einartig, so sind die Ringe En n % N n die

Man beachte, daB bei einartigem % aus .,a 4 p , fur alle p r E M" stets a = 1 . % = % folgt.

2. Korollar zu Satz 8. I s t der Ring G zwischen Sn und % einbettungsfrei, NoETHERsch und mit % minimaherwandt, so ist G = %, n ' i l lNn far poxsen- des N , .

1st nanilich unter den aiigegebenen Voraussetzungen a eiii in keinem p, E M enthaltenes %-Ideal, so ist auch das G-Ideal a . G in keinem minimalen Primideal von G enthalten, und es folgt c( € GZ aus Q . a s G nach Satz 2b) von $ 1 .

Die Klasse der Ringe 3, n B N , , also anders ausgedruckt der Ringe 9IN init N 2 Lun, ist bei einartigem % identisch mit der Klasse der reguliiren Quotientenringe im Sinne von GRELL. Denn N 2 bedeutet ja einfach, da13 die Menge M - N aller der p , , die bei einem zu gehorigen Quotienten a . b-l in dem Sinne ,,im Nenner auftreten" diirfen, da13 die Moglichkeit (b ) , C (a), zugelassen ist, ausschlieBlich aus normalen, in der GRELLschen Terminologie regularen Primidealen besteht. - 1st %o irgendein einartiger NoETHERscher Ring mit dem Quotientenkorper 9, B0 & 6 9, und 3 = G n der Durchschnitt von G mit der normalen Hulle von 9l0, so ist % nicht nur NOETHERSC~ (vgl. die Anmerkung zu Hilfssatz 2), sondern trivialerweise auch einartig, und es enthalt G wegen der Transitivitat des Begriffes ,,ganz abhangig" kein von % echt ganz abhangiges Element. Nach Satz 7 gilt daher G s 9, fur den z u % gebildeten Quotientenring Rn uiid nach dem Korollar 1 zu Satz 8 ist G in GRELLscher Terminologie ein regularer Quotientenring von 8. Man hat also das folgende Resultat :

GRELLsclier Hauptsatz : I s t !R0 ein einartiger NOETHERSCher Ring Wkit dein Quotientenkorper fi, so kann jeder Ring G zwischen So und 9 dadurch yewonnen werden, dap nzan zuerst einen ganz abhdngigen Oberring % von So wad anschliepend einen regularen Quotientenring von 'ill bildet .

Es fragt sich nun, ob das Korollar 2 zu Satz 8 als eine befriedigende I'erallgenieinerung des Keriies des GRELLscheii Hauptsatzes auf nicht- eiiiartige NoETHERsChe Ringe angesehen werden kann. Zunachst ist hierzu zu bemerken :

a) Da13 die BeschSnkung auf Ringe G, die mit % minimalvarwandt sind, nicht aufgehoben werden kann, wenn man fur die betrachteten Oberringe bei eineni nicht einartigen NOETHERsChen Ausgangsring % auch nur ent- fernt ahnliche Satze erhalten will wie im einartigen Fall, zeigell die einfachsten Beispiele. Es sei z. B. 9 = K ( z , y), % = K [x, 91, wobei x und y Unbestimnite uber dem Korper K. Dann ist '$3 nicht nur NoETHERsCh und normal, % = %* = %:, sondern sogar ein Z . P. E.-Ring. Gleichwohl gibt es zwischen % uiid R uiiendlich viele NoETHERsche Z . P. E.-Ringe, die

- einzigen Ringe zwischen 9, und % .

328 Krull, Einbettungsfreie, faet-Noethersche Ringe und ihre Oberringe

keine Quotientenringe '$IltN sind, z. B. die paarweise vermhiedenen Ringe G* = K [ z . y-*, y] (i = 1, 2, . . .).

b) Die Beschriinkung auf einbettungsfreie Ringe G ist zum mindesteii vorlaufig naturgemaB. Denn ist der NoETHERsChe Ring G = % selbst nicht einbettungsfrei, so geniigt er zwar der Bedingung % 5 (3 9, G gn und ist mit sich selbst minimalverwandt; aber es ist G = % nicht vom Typus $Tn n 9tNn. Im iibrigen wird man bei einer genaueren Untersuchung der nichteinbettungsfreien NoETHERschen Ringe % am besten zunachst die im fi 1 unerledigt gebliebenen Probleme wieder aufgreifen, insbesondere auch die Prage, ob auch bei nichteinbettungsfreien % stets %* = %: gilt.

c) Es bleibt noch zu diskutieren, ob es wirklich sinnvoll ist, nur NOETHER- sche Oberringe G von % in den Kreis der Betrachtung zu ziehen, und ob es sich nicht sogar empfiehlt, von vornherein eine allgemeinere Ringklasse als die der NOETHERSChen Ringe der Untersuchung zugrunde zu legen. Hier liegen, wie in fi 3 gezeigt wird, die Dinge ganz anders als bei a) und b).

8 3. Fast-NoETmtsche Ringe

Die Hauptrolle, die in 8 2 die Ringe spielten, zeigt die Notwendigkeit einer genaueren Strukturuntersuchung dieser Bereiche.

Hilfssatz 3. a) Es ist ( p , . aN) n 8 = p7 oder ( p , 'illltN) r\ % 2 p T , je nachdem ob p , E N oder p , E M - N. - b) Zu jedem a E %N gibt es ein %-Ideal i,, das in keinern p T E M enthalten id, und jar das

((a. 8,) n%) %,z a . i, BN. Beweis: a) 1st p7 E N so ist ( p , . %+,) n% = p 7 , BP7 2 !JIM, also

(p ;%,)n%=pP, . - 1st p z E M - N und a E p , , so gibt es, wie die Uberlegungen beim Beweis von Hilfssatz 1 zeigen, ein b 6 p r , derart da13

b) Es sei a = a . b-1 (a, b E %), und es seien (b)Tk die isolierten Primar- komponenten von b . %, wobei etwa p I k E N ( k = 1, . . . y) , pTk E M - N (k = r + 1, . . . 5) . Dann ist (a),* E (b)7k ( k = 1, . . . r ) , und es wird i, . i 2 . a

& b . % falls wir i, gleich dem Durchschnitt aller eingebetteten Primar- komponenten von b . % und iz = (b),,+,, (b),+, . . . . . (b), setzen. Wir habeii nun (a '8,) 17 % 2 i, . iz a - 8, also auch

((a %,) n 3) 2 ((i, . i2 - '8,) n %) a 3,

b a-l E 8,; man hat dann b E (p7 - !JIltN) n%, ( p 7 . 9IN) n% I p , . -

und es ist i, = (i, iz 8,) n '8 sicher in keinem p , E M enthalten. (Beachte: i, - iz liegt nur in pr,+, . . . p 7 8 ; und (i, .i2 8,) n % 6 p7, (k = r + 1 , . . . s) folgt aus den tfberlegungen zu Hilfssatz 3a).)


1. Korollar zu Hiltssatz 3. Bei einartigem Ilz wird (9, - W,) n % == % far jedes zu einem p , E M - N gehorigen Prim&rideal qr.

2. Korollar zu Hilfssatz 3. Bei einartigem % ist (a, n%) . %, = aN far jedes %,-Ideal a,.

Denn nach dem Beweis von Hilfssatz 3a) liegt (4, Ilz,) n W nicht in p , und damit in uberhaupt keinem niinimalen %-Primideal. Wegen der Einartigkeit folgt also (a, . W N ) n W = W. Ferner wird das i, von Hilfs- satz 3b) bei einartigem W stets gleich W. Es ergibt sich also hier zuniichst ( (a . WN) n 8) . 8, = a . '$IN fur jedes LX E W N , und daraus sofort weiter (a, n %) . W N = a, fur jedes aN. - Aus den Korollaren 1. und 2. erschlieBt man ohne Schwierigkeit den bekannten Fundamentalsatz :

Der multiplikative Verband aller 3,-Ideale ist bei einartigem % kanonisch isomorph zu dem multiplikativen Verband aller der a-Ideale, die kein zu M - N gehoriges Primoberideal beaitzen 6 ) .

Ohne die Voraussetzung der Einartigkeit liefert das Ergebnis von Hilfssatz 3 nicht einmal einen Ansatzpunkt, um zu zeigen, daB jeder '$3, ebenso wie 3 ein NOETHERSCher Ring sein muB. Unter diesen Umstiinden liegt es nahe zu untersuchen, ob uberhaupt f i i r die wichtigsten Slitze von § 1 und 3 2 der volle NOETHERSChe Clharakter von '8 notig war, und ob man nicht vielmehr meistens von Ilz nur solche Eigenschaften benutzte, die auch allen Ringen %, zukommen. Das Ergebnis einer eingehenden Analyse lautet : Wesentlich war es in erster Linie, daB % den folgenden beiden Be- dingungen genugte :

1. Jedea Hauptideal a . Ilz besitzt nur endlich viele isolierte Primarkompo- nenten, die samtlich zu minimalen Ringprimidealen gehoren.

2 . Far jedes miniamle Ringprimideal p ist der Quotientenring W NOETHERSch.

Dariiber hinaus brauch ten wir noch hiiufig die Einbettungsfreiheit von W) d. h. die Gultigkeit der Zusatzbedingung:

3. Jedes Hauptideal a ' W ist Durchschnitt seiner isolierten Prim&- kom ponent en.

Fugt man zu 1.) 2., 3. noch die Forderung hinzu: 4. Far jedes minimale Primideal p ist !Rp normal,

so hat man durch 1.-4. die Klasse der endlichen diskreten Hauptordnungen idealtheoretisch gekennzeichnet '). Die endlichen diskreten Hauptord- nungen sind aber die allgemeinsten Ringe, in denen fiir die Hauptideale

6) Vgl. D. G . NORTHCOTT, Ideal theory, Cambridge Tracts 42, S. 4 1 4 7 (1953), 2.6 und 2. 7. - Der Zusatz ,,multiplikativ" bedeutet, daB in den betrachteten Verbiinden auSer den Verbandsoperationen + und n noch eine Multiplikation definiert ist.

7) Vgl. hienu Anmerkung4). Fugt nan bei den Redingungen l'., 2'., 3'. von Satz 9 als Verschirfung von 1'. die Forderung hinzu, daD die 9Itr alle nmmul sein sollen, so kommt man gerade auf die ,,einfachste" Charakterisierung der endlichen diskreten Haupt- ordnungen durch die Redingungen l., 2., 3. von*).


ebenso einfache Zerlegungsgesetze gelten wie in den normalen einartigen NoETHERschen Ringen. Geht man von dieser Bemerkung aus, so liegt es auBerst nahe, hier, wo eine Verallgemeinerung beliebiger einartiger NOETHER- scher Ringe angestrebt wird, nicht nur NoETHERsChe Ringe zu betrachten, sondern daruberhinaus alle Ringe, die den Bedingungen l . , 2., 3. genugcn, und die im folgenden als ef. f.-N. Ringe (einbettungsfreie, fast-NOETHERsChe Ringe) bezeichnet werden sollen. (Unter einem f . -N. Ring (fast-NoETHER- schen Ring) schlechtweg wollen wir einen Ring verstehen, bei dem l . , 2., aber nicht notwendig 3. erfiillt ist). - Ahnlich wie die endlichen diskreten Hauptordnungen konnen die ef. f.-N. Ringe durch die Existenz einer aus- gezeichneten Durchschnittsdarstellung charakterisiert werden7).

Satz 9. % ist dann und nur dann ein ef. f . -N. Ring, wenn im Quotienten- korper R eine Menge M(') von primthen NoETHERsChen Ringen %r existiert, fur die folgende Bedingungen erfiillt sind: 1'. % = n 8,. 2'. Jedes

W, E M(')

a E %* ist nur in endlich hielen 8, Nichteinheit. 3'. Fur t, =/= t2 gibt es stets ein a E %, das in Br1 Nichteinheit, in !Xr, Einheit.

Ist p', das Primideal a m 3, und p , = p', n % , so wird %z = %+,,. Die Menge M aller p , enthalt alle und nur die minimalen Primideale von 3.

Be weis: a) 1st % ein ef. f.-N. Ring, M die Menge aller minimalen %-Prim- ideale und %, = '$Ipr , so ist (a ) , = a . n % nur fur endlich viele t von % verschieden, weil (a)* , falls =/= 3, stets eine isolierte Yrimarkomponente von a % darstellt. Fur die Menge M(r) aller 3, ist also 2'. erfullt. Fur tl $. t2 gibt es wegen p, , rf pr l sicher ein a E p , , , 6 p r l , das dann in Einheit, in 91z,Nichteinheit ist (3'.). Gehort GC =a. b-lzuallen%,, so bedeutet das, daB stets (a) , E (b),, und da % ef., folgt daraus a . % & b . %, tc E 8. Man hat also % = (7 8, (l'.). - b) 1st % = n %, und gilt 2'. sowie 3'., so ist

(fur p , = G1 n %) jedenfalls niemals p T B E p , , (t2 + tl). - Weiter ist bei a E '8. stets (a) , = a . n% fur fast alle t gleich % und nur fur endlich viele t-Werte, etwa fur tl, . . . t,, ein zu p r gehoriges Primar- ideal. Aus b E (a)zk ( k = 1, . . . s) folgt b . a-1 E fur alle 91r und daniit b . a-1 € %. b € a . %. Man hat also a - % = (a),l n . . . n ( u ) , ~ . - 1st ferner cx = a . b-l E (a , b .€ 8) , und ist (b), = % fur alle t = tk ( k = 0 ,1 , . . . s), so gibt es in % wegen ptk =k pro ( k = 1, . . . s) ein c mit c E (b) ,k ( k = 1, . . . s),

9, E M(') 8, E M(')

8 s ist %To = f i i r alle BT0 E M"). Da jedes 3, ein primarer, NOETHERSCher Ring ist, folgt daraus sofort, da13 die Menge M aller p , ausschlieBlich aus minimalen Ringprimidealen besteht. 1st schlieBlich p ein beliebiges minimales Ringprimideal und a a % =_ (a)rl n . . . n (a) , E p , so haben wir p T k C= p , pek,= p fur mindestens ein k (1 2 k 5 8); M urnfafit also alle minimalen

Krull, Einbettungsfreie. fast-Noethersche Ringe und ihre Oberriage 331

R-Primideale. Im folgenden gebrauchen wir bei beliebigen f.-N. Ringen auBer den bisher benutzten Bezeichnungen M , (a) , auch die Bezeichnungen N , '% N , M,, w,, usw. im gleichen Sinne wie in $ 1 und 3 2 bei NOETHERSChen Ringen. Unmittelbar aus Satz 9 folgt:

Satz 10. Ist '% 1.-N., so ist jeder ef. f . -N . Die Ideale ( p , * %J n L X N = p N , ( p , E N ) bilden die Menge aller minimalen Primideale von RN

Satz 10 in seiner einfachen und eleganten Form rechtfertigt die Ein- fuhrung der Begriffe ,,f.-N." und ,,ef. f.-N."

Satz 11. Hilfssatz 1 und Satz 2 von $ 1 gelten auch dann, wenn '% nicht NOETHERSCh, sondern nur f . -N . .

Die notigen Beweismodifikationen sind im ganzen unbedeutend, bei Satz 2 praktisch Null. Wir behandeln nur den verhaltnismSBig schwierigsten Fall, Hilfssatz 1 b). Es sei u = a, . b;' E f R N , und es seien (b1),, ( k = 1, . . . s) die isolierten Primarkomponenten von b, a ' % , wobei etwa p , , E N (k = 1, . . . r )

E (b,),, ( k = 1, . . . r ) wie im NOETHERSChen Fall. In '% gibt es ein c mit c E (1 = 1 , . . . s - T ) ;

c B p , , ( k = 1, . . . T ) . Da c . a, C (b l ) , l 1 7 . . . r\ (b , ) ,8 . gibt es nach einem bekannten Satz zu jedem p , , in '% ein dk mit d, B p , , , dk . c . a, E b, . '% ( k = 1 , . . . s) und aus den d, konstruiert man in gelaufiger Weise ein d mit d B p , ( k = 1 , . . . s ) , d . c . a , E b , - % . Man hat also a - a , . b ; ' = a , . b - ' 2

(b? = d . c E 3. a, €'%), wobei (b,. b,) p , fur alle p , E N . (Bei Hilfssatz 1 a) ergeben sich ahnliche, aber wesentlich einfachere Modifikationen.)

B N (1 = 1. . . . s -- r ) . Dann ist Prr+l

Satz 12. Satz 3 und Satz 4 gelten far f.-N.-Ringe ebenso wie far NOETHER- sche Ringe.

Die Beweise lassen sich hier ohne Abanderung ubertragen. Dagegen bleiben zuniichst die Fragen offen, ob bei jedem f.-N. (oder wenigstens bei jedem ef. f.-N.) Ring '% die Begriffe ,,ganz" und ,,fast ganz" abhiingig zu- sammenfallen, ob die normale Hulle '%* immer einbettungsfrei und ob sie immer eine endliche diskrete Hauptordnung ist. Wichtig ist unter diesen Umstanden die folgende Bemerkung, die zeigt, da13 man wenigstens bei ef. f.-N. Ringen mit fast ganz abhangigen Elementen genau so bequem rechnen kann wie sonst mit ganz abhiingigen :

Hilfssatz 4. 1st '% ef. f . -N. , '% C G 5 9, hangen alle u E G von '% und ,4 von G fast ganz ab, so hangt p auch von % fast ganz ab.

8 ) Von dem Erweiterungsideal von p r auf % N , also von p, . % N , ist leicht zu zeigen, daI3 PN, die einzige isolierte Primarkomponente von p , . RN ist. Bcim Versuch, allgemein p r . RN = p ~ , zu beweisen, stollt man aber auf Schwierigkeitcn.


Zum Beweis dieses - nicht selbstverstiindlichen - ,,transitiven Gesetzes der fast-ganz-Abhiingigkeit" beachte man : Nach Voraussetzung und Satz 4 von 5 1 ist G 5 %:, es hiingt also p von &: fast ganz ab, und da %: nach Satz 3 eine endliche diskrete Hauptordnung und damit ubernormal9) ist, hat man p E $l:. - Satz 6 gilt nach der Art seines Beweises offenbar auch fur f.-N. Ringe. Hingegen ist die Ubertragung von Satz 5 nicht moglich, da beim Beweise benutzt wurde, daB jedes von % fast ganz abhiingige Element auch von % ganz abhiingt, was nur fur NoETHERsChes % allgemein bekannt ist. Fur f.-N. % gilt zuniichst nur:

Satz 13. Ist der ef . 1.-N. Ring % normal, % = %*, so ist er auch 4ber- normal !R = !R* = 3%.

1st niimlich p E R' fur irgend ein p , E M von 9Ipr ganz abhangig, so ergibt sich genau wie beim' Beweise von Satz 7a) in 5 2 die Existenz eines c E % , CI p , , fur das c . /? = y von % ganz abhangt. Aus % = %* folgt dann y E %, ,8 E % p r . D. h. aber : 1st % normal, '8 = %*, so sind alle normal, 9Iur = %:. (So weit richtig fur jeden f.-N. Ring.) 1st weiter W ef., so folgt

Satz 14. Satz 7 kann einschlieplich des Beweises auf beliebige f . -N. bzw. ef. f.-N. Ringe fibertragen werden.

Der SchluB, niit dem man die Ubernormalitiit einer endlichen diskreten Hauptordnung beweist (vgl. !')), zeigt, daB 7b) auch mit ,,echt fast ganz abhiingig" statt ,,echt ganz abhangig" gilt.

Satz 15. Ist 8 ein ef. f.-N. Ring und 8 G 2 9, so ist 6 dann und nur dann ein von % fast ganz abhiingiger, nk! 8 mininzalverwandter ef. f . -N. Ring, wenn G = n %:, wobei %: jeweils ein ganz abhangiger Oberring von

V r E M

&), = a,. Beweis: a) Es sei G =1 8: und '3: stet8 von !JIr ganz abhangig.

Dann ist G fast ganz abhiingig von % wegen G '32. Mit %, ist auch 3: einartig und NOETHERSCh (vgl. Hilfssatz 21, und man hat %: = %:, n . . . n %isr, wobei die %ik NOETHERSCh und primiir sind lo).

Die Darstellung G = n (W:, n. . . n%:J von G geniigt der Be-

dingung 2'. von Satz 9. Denn a = a . b-l(a, b E W) ist in fast allen %:k

9) Man beachte: 1st % = n b,, a . a* E l (a $; 0; 12 = 1,2, . . .), so ist b, (a) 2 0

u,E M -

P,E &€

__ ~

fur alle t, also a E n 8, = W. 10) Man beachte, daB jedes Primideal pck von '8: minimales Primoberideal von

(Pr * %r) * W; = P r 8: sein mu& und daB p r . %: wegen des NOETHERschen Charakters von %; nur endlich viele minimale Primoberideale besitzt.

Krull, Einbettungsfreie, fast-Noetherscbe Ringe und ihre Oberringe 333

Einheit (sicher immer dann, wenn a 8 p T , b B p T ) . Auch Bedingung 3'. ist erfullt. 1st namlich %:lkl =i= %:aka, so ist entweder tl $; t,; dann ist jedes a E pra, B prl Einheit in %Llk1, Nichteinheit in %:2kg. Oder man hat tl = z,; k, += k, . Dann gibt es ein /I = a . b-l (a, b E 8) in %i1, das Einheit in %:lkl, Nichteinheit in %:aka, und gleiches gilt fur jedes c . /I mit c E 3, B p,. Man kann aber c so wahlen, daB u = c . @ in allen %: (t $: tl) und damit auch x E n %: = G'. b) Es sei G fast ganz abhiingigvon $3, mit % minimal-

('7 € Af verwandt, ef. und f.-N.. Dann gibt es zu jedem p , E M nur endlich viele minimale G-Primideale p: , , . . . pz8 , rnit p : k n % = p, , und man hat G = f) %:, falls %:k = GPTk und 8: = n . . . n (Fur s, = 0 ,

was in Wirklichkeit nicht vorkommt, setze man '8: = 2. j Zu jedem u E %Lo existiert nach oft benutzten Uberlegungen ein c E $3, B pro, derart daB F . u E 8: fur alle t = to. Man hat dann c . u = 8: = 8, es hangt

also c . a nach Voraussetzung von % fast ganz und damit von dem primaren NOETHERSChen Ring %,, ganz ab. Wegen c @ p, ist aber auch a von '&, ganz abhangig, d. h. jeder der Komponentenringe %:, von G (p, E M) ist ein ganz abhangiger Oberring von '$I,,,.

DaB Satz 8 und sein Beweis ohne hde rung des Wortlautes auch dann gelten, wenn % nur f.-N., ist nach der Formulierung dieses Satzes sofort klar. Wichtig ist aber, daB jetzt an Stelle des damaligen 2. Korollars folgender Satz tritt:

Satz 16. Ist % ein ef. f . -N. Ring und % 2 G E 2 , so besitzt G dann und nur dann eine Darstellung G = %,, n '$IN,, im Sinne von Satz 8 , m ist also dann und nur dann G ein reguldrer Quotientenring von % im Sinne von GRELL, wenn G ein rnit % minimalverwandter ef. f . -N. Ring ist, der kein von % echt ganz abhangiges Element enthdt.

Beweis: a) DaB jeder Ring der Form R,, n aNn die angegebenen Eigen- schaften besitzt, folgt aus der Definition von E,, und BN,, aus Satz 10,

sowie aus Satz 7 bzw. Satz 14. - b) Hat umgekehrt G die gewunschten Eigenschaften, so ist zunachst G 2 %,, nach Satz 7 bzw. Satz 14. 1st ferner a ' u 2 G , und liegt dabei das %-Ideal a in keinem p r E M , so liegt auch a G wegen der Minimalverwandtschaft von G mit % in keinem minimalen G-Primideal. Nach Satz 2 bzw. Satz 11 folgt also aus a u & G stets u 5 G , d. h. G genugt der notwendigen und hinreichenden Bedingung von Satz 8.

G & gn, so ist G dann und nur dann ein rnit % minimalverwandter ef. f.-N. Ring, wenn stets u 2 G , falls ein in keinem p T E M enthaltenes %-Ideal a mit a . u E G existiert.

P T E df

n V,E y

Korollar zu Satz 16. Ist % ein ef. f.-N. Ring und %

334 Krull, Einbettungsfreie, fast-Noethersche Ririge und ihre Oberringe

Das Korollar ergibt sich sofort, wenn man Satz 8 mit Satz 16 kom- biniert. Es ersetzt in dem neuen Rahmen gewissermaoen den bei dem ursprunglichen Aufbau zentralen Satz 8, der seinerseits jetzt nur noch die Rolle eines fur den Beweis von Satz 16 wichtigen Hilfssatzes spielt. Auch der GRELLsche Fundamentalsatz kann nunmehr sinnvoll verallgemeinert werden :

Satz 17. Es seien Ro und G ef. f.-N. Ringe, E G 2 R , und 6 mit R,, minimalverwandt ; % sei der Ring aller von B0 fast ganz abhangigen Elemente aus G. Dann ist auch % ein mit minimalverwandter ef. f.-N. Ring, und es ist 6 ein reguliirer Quotientenring von % im Sinne von Satz 16.

Beweis: a) Es sei Mo die Menge der minimalen Primideale go, von go und so, = (%o)L,ou. Ahnlich wie bei Satz 15 seien p b , , . . . @b8, die endlich vielen minimalen G-Primideale, die mit den Durchschnitt p o , haben, und es werde Guk = 6 , ~ ~ ; 6, = G O l n . . . n GU8, gesetzt, wobei 8, = 0; G, == 9 diesmal sehr wohl vorkommen kann. Nach Voraussetzung haben wir G = (Gal n . . . G,,,) = n G,. Es sei jetzt weiter %, der Ring

V o o E Y o Po,€ M o

aller von so, ganz abhiingigen Elemente aus G, und %' -- n 910. Ist, Vno t Y o

nun a E G fast ganz abhangig von !?lo, so ist es ganz abhangig von allen %,,,, und aus der Definition der 8,' folgt u E 3, fur alle Q~,,, a E %' ; und wir haben R' 2 8. Liegt andererseits u in allen %,, so ist u fast ganz abhangig von 910 nach Satz 4 bzw. Satz 12, also c.t € 8' zieht u E % nach sich: % 2 %'. Es gilt somit % = 8' = n

V O , € !It0 %, und aus Satz 15 folgt : % ist ein niit mini-

malverwandter ef. f .-N. Ring. - b) Sind Gal, . . . pa la die endlich vielen, paar- meise teilerfremden Primideale aus %,, so sind nach Satz 15 die Durch- schnitte P U k n '8 = @,k (k = 1, . . . t,) gerade die samtlichen minimalen %-Primideale, die mit %o den Durchschnitt po, haben. 1st ferner @Lk das Primideal von G U k , so haben wir p b k = $bk A G , pbk n % = $ik n '8 = ( p o t nB0) n%; ferner ist G i k n %,, = tial fur passendes 1. Es wird also

-

- I

P b k n% = $ , I (7% = P o l

stets ein minimales R-Primideal, d. h. es ist (5 niit niinimalverwandt. AuBerdem kann G nach Definition von % und Hilfssatz 4 kein von 3 fast ganz abhangiges, also erst recht kein abhangiges Element enthalten. DaB (5 ein regulker Quotientenring von ist, folgt also aus Satz 16.

Es liegt nahe zu fragen, welcher Nachdruck bei Satz 17 auf den Umstand zu legen ist, daB die Quotientenringbildung, die von 3 zu 6 = RN fiihrt, gerade ,,regular" ist, daB also jedes %-Primideal aus M - N normal und daniit einer bestimmten diskreten Bewertung von fi zugeordnet ist. Denn

Krull. Einbettungsfreie, fast-Noethersche Ringe und ihre Oberringe 335

alle Quotientenringe voii % konnen ja nach Hilfssatz 1 sehr anschaulich beschrieben werden. In den folgenden SchluBbemerkungen sol1 die soeben aufgeworfene Frage zusammen mit einigen anderen, eng damit zusammen - hangenden, kurz beantwortet werden.

Q 4. Anwendungen und Erganzungen Im folgenden sind $3, sowie alle betrachteten Oberringe von 8 stets

ef. und f.-N.. Die Oberringe sind alle mit % minimalverwandt. M , N ; p , , , %,,? = %?, 8: = n . . . A BrSr haben die gleiche Bedeutung wie bisher. Dagegen wird jetzt mit %* die fibernormale Hulle von % bezeichnet, %* = n %:, und es bedeutet stets p:k das minimale %*-Primideal, fur

das 3:: = Brk gilt. M* ist die Menge aller p z . Fur eine beliebige Unter- menge N von M definieren wir die ( M - N)-PartiaZnormalisierung von % durch

PrE

* % t N / M - N =%Nn%;- , ( !R~= n %?; = n %:I.

P , E N P , E M - N

Satz 15 zeigt, da13 %:IM-n- tatsachlich stets ein mit % minimalverwandter, von % fast ganz abhangiger ef. f.-N. Ring ist.

- 1st M N I M - N bzw. NNIfi1-N bzw. N N I M - N die MengealZerminimalen%>,M-N- Primideale p & bzw. die Menge aller p & mit p & n % E N bzw. p & n 3 E M - N , so wird N N I M - N durch p & + p & n % umkehrbar eindeutig auf N abgebildet. Andererseits sind alle p : E NN1M-N normal, und es wird die Menge NC-N aller prk ( p , E M - N) durch p:k + p:k (l - N umkehrbar eindeutig auf N N I M - abgebildet. Setzen wir in Satz 1 7 % an Stelle von No und den Quo- tientenring 8tN = n %,, an Stelle von G, so ergibt sich fur die beim Be-

weise von Satz 17 benutzten Ringe G,,, 3: sofort: P,€ N

Gr = '8: =%, (9, EN); G,, = Ye, 8: =%it ( p , E M - N ) . Aus unseren bisherjgen Bemerkungen folgt muhelos :

Satz 18. Der mit Hilfe der Menge N definierte Quotientenring BN von 8 ist gleich dem reguhen Quotientenring, der aus der ( M - N ) - Pnrtialnormali- sierung %glM-N mit Hilfe der Menge NN1M-N gewonnen wird:

%N = ( W g / M - N ) N N I M - N

9 I ; I M - N beateht gerade aus allen von '$3 fast ganz abhlingigen, zu 9IN gehorigen Elementen.

Durch Satz 18 sind die unmittelbbar von W susgebildeten Quotienten- ringe !ItN in den Gedankenkreis von Satz 17 eingeordnet. Wir konnen jetzt 22 Math. Naehr. 1980, Bd. 21, H. 6


auch diejenigen Oberringe 6 von zlz genau charakterisieren, die sich aus einem Quotientenring zlzN durch fast ganz abhangige Erweiterung bilden lassen. - Es sei zlz’ der Ring aller von 8 fast ganz abhiingigen B-Elemente, M’ die Menge aller minimalen 8’-Primideale und N’ diejenige Untermenge von M’, fur die 6 = wird. Schlief3lich sei N* die Menge aller der p:k. bei denen p,*k n ‘8’ E N’ . Dann sieht man sofort: Der Quotientenring 3;. ist die fibernormale Hqhlle von 6. - Da =# zlz$ fur N: $: N,*, ist N* durch 6 eindeutig bestimmt, und wir durfen von der zu 6 gehorigen Menge N* sprechen. Man uberlegt sich nun muhelos:

Satz 19. 6 kann dann und nur dann als fast ganz abhlingiger Oberring eines Quotientenrings 9tZ von zlz dargestellt werden, wenn zu der zu 6 gehorigen Unfermenge N* von M* eine Unterrnenge N von M existiert, derart dap N* gerade aus allen p,*k (pT E N) besteht.

(Naturlich wird dann gerade fur diese N* zugeordnete Menge N der Ring Q fast ganz abhiingiger Oberring von z l z N ) . - Da es zu jeder Untermenge N* von M* einen Oberring B von 8 gibt, zu dem N* gehort (z. B. den Ring 6 = zlz;,), folgt aus Satz 19 unmittelbar:

Korollar zu Satz 19. Es k p t sich dann und nur dann jeder Oberring G Lion zlz durch fast ganz abhangige Erweiterung eines passenden Quotientenrings 91,v gewinnen, wenn z u jedem p , E M nur ein einziges p,*k E M* existiert (sr = 1 fiir alle t).

Durch die bisherigen Betrachtungen ist die Bedeutung der Quotienten- ringe zlzN fur die Konstruktion der Oberringe 6 von ‘3 vollstandig geklart. 1st die zu 6 gehorige Menge N* im Sinne von Satz 19 einer MengeIN zugeordnet, so ist der Aufbau von G auf dem Wege uber zlzN entschieden der einfachste. Denn der Durchschnittsdarstellung aN = ‘iRz entspricht

dann unmittelbar eine Durchschnittsdarstellung 6 = n %;, wobei 3:

jeweils ein ganz abhiingiger Oberring von z l z r . Aber dieser bequeme Aufbau ist, wie das Korollar zu Satz 19 zeigt, keineswegs immer moglich - im Gegensatz zu der stets durchfuhrbaren Konstruktion von Satz 17. Hier liegt der tiefere Grund fur die zentrale Stellung von Satz 17; daf3 man bei dem dort benutzten Aufbau nur die reguhre und nicht die allgemeine Quotientenbildung braucht, ist im ganzen gesehen nur von sekundarer Bedeutung.

Satz 19 und sein Korollar legen die folgende Definition nahe: Der fast ganz abliangige Oberring zlzz von 8 sol1 als der zu zlz gehorige Zer- legungsring bezeichnet werden, wenn er den folgenden Bedingungen genugt : 1. Zu jedem minimalen Primideal p?) aus tRZ gibt es in M* genau ein p,*n. mit p:k n zlzz = Q!). 2. Jeder fast ganz abhangige Oberring 6 von 3, fur den (mit p!’ statt p f ’ ) die Bedingung 1. erfullt ist, ist Oberring von 9tZ. - Existiert der Zerlegungsring $Iz. 80 ist er nach dem Korollar zu Satz 19

2

v,€ N

v T € N


der kleinste Oberring von 8, dessen samtliche Oberringe G durch Bildung eines passenden Quotientenringes (3 ) und anschlieBende fast ganz

abhiingige Erweiterung gewonnen werden konnen. Zum Existenzproblem selbst gilt jedenfalls:

Satz 20. Der Zerlegungsring 9tZ existiert sicher, wenn fiir jedes t der Ring 8, hinsichtlich '3: einen vom Nullideal verschiedenen Fiihrer fr hat.

Der Beweis soll nur skizziert werden. Denn Satz 20, der aus dem Rahmen der bisherigen Betrachtungen herausfallt, wurde nur angefiihrt, um an einem einfachen Beispiel zu zeigen, welcher Art die Fragen sind, die an die Ergebnisse von 0 1-3 angekniipft werden konnen. 1st f, $; 0 . !TIz, so ist %z = !TIT ,, ein primarer Nullteilerring. 8: = laBt sich als Oberring von g7 auffassen und es besitzt '%If wegen des NoETHERsChen ('harakters von B7 iiber g7 eine endliche Modulbasis l l) .

Ferner ist '@ (den s, Primidealen @,*, . . . pZ*, entsprechend) direkte Summe von s, primiiren Nullteilerringen. Nach bekannten Satzen gibt es zwischen ET und %: einen eindeutig bestimmten kleinsten Ring '@, der gleichfalls eine direkte Summe von s, primaren Nullteilerringen darstellt 12).

Die Menge aller u E 8, die den Restklassen von $:) angehoren, bildet einen Ring '@' zwischen !R7 und %:, und es ist, wie miihelos zu sehen, aZ = n !TI:) der gesuchte Zerlegungsring von %.

Zum Schlusse moge noch kurz eine Methode skizziert werden, die es gestattet, systematisch nicht-NoETHERsche ef. f.-N. Ringe zu bilden, auch solche. bei denen fur unendlich viele minimalen Ringprimideale der zu- gehorige Quotientenring %,, nichtnormal ist. Es sei K ein beliebiger Korper; zo, xl , x 2 , . . . seien unendlich viele Unbestimmte iiber K . Mit %:, bezeichnen wir den nicht-NoETHERschen Z. €'. E.-Ring K [x , , x,+~ , x , + ~ , . . .], mit Ron seinen Quotientenkorper. R = 9, sei ein algebraischer Oberkorper von Roo und 9, bedeute jeweils den Korper aller iiber Ron algebraischen Elemente aus 9 (n = 1 , 2, . . .). Wir lassen durchaus die Moglichkeit zu, da13 9 iiber Roo unendlich algebraisch ist, - das ist sogar im wesentlichen der interessante Fall.

Wir fordern aber: Endlichkeitsbedingung von 2 : Uher jedem der Korper R, . Roo soll j?

endlich algebraisch sein. M o = {. . . p t , . . .} sei die Menge aller minimalen Primideale aus %:o.

Den zu p t 7 gehorigen Quotientenring bezeichnen wir mit Bol, da er ja ein

Nz

-

i , E M

11) Man beachte: Wegen f =+ (0) ist '8: ebenso wie '8z NOETHERsCh; und es hat '%t uber !JIT eine endliche Modulbasis, die beim Obergang zu den Restklassenringen die gewunschte

Basis fur @ iiber %, liefert. 12) Vgl. W. KRULL, Alpebraische Erweiterungen kommutativer hyperkomplexer Systeme.

Jlatb. Ann. 95, 444--.55.5 (1927). .>o b --


diskreter Bewertungsring ist. '$3: sei die normale Hulle von Bo7 in 9. p t 7 ist stets ein Hauptideal, p; , = po7 . %to, wobei p o l ein bis auf einen Faktor aus K eindeutig bestimmtes Polynom in xo, xl , . . . ist. Es gibt daher zu jedem Po*, einen eindeutig bestimmten Exponenten no, niit folgenden Eigen- schaften: 1. xno7 - 1 tritt in po7 wirklich auf. 2. po l ist frei von allen xk ( k = no7,moZ + 1, . . .). Offenbar enthalt der Bewertungsring Bo7 den ganzen Korper !ROno7. Daraus folgt weiter: Jeder Bewertungsring Br,, aus 2, der mit Boo den Durchschnitt Bo7 hat, enthalt den ganzen Korper enor. Das gleiche mu13 dann auch fur 8: gelten, denn 8: ist gerade der Durch- schnitt aller der B7,, fur die B,, Roo = Bo, wird. 8: A (!@nD7. Roo) = BnOr7 mu13 ein diskreter Bewertungsring mit dem Primideal p o T . BnOr7 sein, weil

RnO7 Roo aus ,$Too durch Adjunktion von solchen Elenienten entsteht, die sumtlich uber dem in BOr enthaltenen Korper ROno7 algebraisch sind 13).

Da nun 8: auch die normale Hulle von BjnOr7 in 2 darstellt, und da 9 uber dem Quotientenkorper eno7 Roo von BnOrT endlich algebraisch ist, wei13 man: 8: ist Durchachnitt von endlich vielen diskreten Bewertungsringen. Jedev Ring 8, zwischen BnOT7 und '8: ist Durchschnitt von endlich vielen primaren NoETHERsChen Ringen 14). Auf Grund dieses Endlichkeitssatzes folgt mit Hilfe von Satz 9 jetzt leicht:

mit '23n077 C 8,s 8: vorgegeben, der 2 zum Quotientenkorper hat. Dann wird 8 e ein ef. f.-N. Ring.

Es ist nur zu zeigen, da13 fur 8 die Bedingungen 2'. und 3'. von Satz 9 erfullt sind. Dazu beachte man :

a) 1st a E 9 in 8, Nichteinheit, so ist es auch in a:, da '8: die normale Hulle von %, . 1st a Nichteinheit in '#:, so ist die in ublicher Weise als Kon- jugiertenprodukt gebildete, zu Bo7 gehorige Norm von a uber coo, N ( a ) , Nichteinheit in Bo7, Fur kein a + 0 aus !@ ist N (a) in unendlich vielen Wor Nichteinheit.

b) Die Giiltigkeit der Bedingung 3'. wird im wesentlichen nach dem gleichen Schema gezeigt, wie bei Satz 15 (Abschnitt a) des Beweises). An Stelle des Ringes 8 von Satz 15 hat man hier den Ring '8zo heranzuziehen.

DaG der hier konstruierte Ring 8 = n 8, sicher nicht NoETHERsCh sein kann, folgt leicht aus der Tatsache, da13 '8 nach Definition ein ganz abhangiger Oberring des nicht NoETHERschen Ringes

Es sei ffir jedes ; P o , E No ein Ring n

v 0,E y o

ist.

Is) Beim ubergang von Coo zu Roo treten in bezug auf die durch BO7 definierte Bewertung B,, von $,," in ublicher Ausdrucksweiue weder ,,Zerlegungen" noch ,,Ver- zweigungen" sondern nur ,,Triigheiten" auf.

14) Vgl. die in FuDnote 1 zitierten Arbeiten von H. GRELL.

Documents

Einbettungsfreie, fast-Noethersche Ringe und ihre Oberringe