P~r~odica Mathematlca Hungarlca Vol. 4 (1), (1973), pp. 25--28.

EINE FUNKTIONALGLEICttUNG VON ABEL UND DIE GRUNDGLEICttUNG DER INFORMATION

v o n

Z. DAR()CZY (Debrecen) und H. KIESEWETTER (Rostock)

Wir betrachten die Funktionalgleichung

(1) F(u) + ~(v) + F ~ + F(] - ~v) + F

im Gebiet 0 ~ u ~ 1, 0 ~ v < 1, wobei F(u) als reellwertige Funktion auf dem Intervall [0, 1] gesucht ist. Diese Funktiona]gleichung erscheint in ab- gewandelter Form zuerst bei ABEL [1 ]als Funktionalgleichung fiir den Euler- schen Dilogarithmus (siehe KI]~SEWETT]~I~ [4]). In der Originalarbeit sind u und v komplexe Ver~nder]iche und F(u) ist eine analytische Funktion. Ftir unsere Betrachtungen sind nur reelte L~isungen von Interesse, welche auf dem abgeschlossenen Intervalt [0,1] erkl~rt sind. Unter diesen Voraussetzungen liegen auch alle weiteren Argumente der Funktionalgleichung: (1) im Intervall [o, i].

Daneben betrachten wir im offenen Dreieck

(2) D = { ( x , y ) : O < x < l , 0 < y < l , x @ y < l }

die Funktionalgleichung

= f(Y) § (l -- Y)f[l-~-~}_ ,

mit der zus~tzlichen t~edingung

(3') f(x) = f(1 -- x)

far alle 0 ~ x ~ 1, wobe i f eine auf dem Intervall (0, 1) erkl~rte, unbekannte, reelle Funktion ist. Die Funktionalgleiehung (3) ist die Grundgleichung der Information. Eine L6sung f, welehe den Gleichungen (3) und (3") gentigt und die Normierungsbedingung

26 DAI~60ZY, K I E S E W E T T E R : E I N E F U N K T I O N A L G L E I C I I U N G YON ABEL

erfiillt, bezeichnen wir als Informationsfunktion (siehe DAR6czY [2], [3]). Wit stellen einen Zusammenhang zwischen den Funktion~lgleichungen (1) und (3) ~uf.

SATz 1. Wenn F(u) eine Lebesgue-iniegrierbare LS8ung der Funlctional- fleichung (1) auf dem abgeschlossenen Iniervall 0 ~ u ~ 1 ist, dann existiert die Ableiiung F'(u) far 0 ~ u ~ 1, und die Funktion

(5) .f(x) = x(1 - x) F'(x) (o < x < 1)

erffdlt die Funktionalfleichungen (3) und (3'), d. h. f ist bei entsprechender Nor- mierung eine Informationsfun]ction.

BEWEIS. Wir integrieren d i e Gleichung (1) bei festem u beztiglich v yon 0 bis 1. Wir erhalten

1 1

: I p.)dt f r(,) d t - - U t 2

0 1 - u

1 1

1 Fq) d t - - ( 1 - - u ) (1 ut) ~ U - -

1--u 0

Aus dieser Gleichung schliel]en wir, dab F auf dem offenen Intervall 0 < u < 1 stetig ist. Wenn wir das auf der rechten Seite berticksichtigen, folgt sogar, dab F'(u) fiir 0 < u < 1 existiert.

Nun differenzieren wir die Gleichung (1) partiell nach u. Dann entsteht ftir 0 < u < 1 und 0 < v < l die Gleichung

( ) 1 - - v F' 1 u - - v F ' ( 1 - - u v ) + (1- - ~ = 0 t ' ( u ) (1 - uv) 2 ~ %v)2 "

Nun setzen wir die Funktion f(x), welche dureh die Gleichung (5) definiert wird, ein. Dann erhalten wir wiederum fiir u, v E (0, 1)

i - - ( vl [ 1 - - u 1 - - u . f ( l _ u v ) + g ~ - - 0 . f(u) -- f [ ~ , ~ 1- - uv

Wir substituieren fiir u, v E (0, 1)

x = l - u , y ~ - I 1 - - u

l - - UV *

Dann ist (x, y) beliebig aus D und es gilt die Gleichung

f ( 1 - - x) + (! -- x ) f 1 = f ( 1 - - y) + (1 - - g ) f x .

DAROCZu KIESEWETTE~: EINE FUNKTIONALGLEICHUNG YON ABEL 2 7

Wir haben vorausgesetzt, dab F(0) und _F(1) existieren. Deshalb ist die Sub- s t i tut ion v = 0 in Gleichung (1) mSglich und e r g i b t

(6) F(u) 4- F(1 -- u) = --F(0) -- 2 F ( 1 ) ,

bzw, nach Differentiation

F ' ( u ) = F ' ( 1 - - u ) .

Daraus erhalten wir aber sofort die Gleichungen (3') und (3).

Nun beweisen wir den

SATZ 2. Die allgemeine Lebesgue-integrierbare LSsung F(u) der Funk- tionalgleichung (1) auf dem abgeschlossenen In~ervall 0 ~ u ~ 1 lau[,et

U

" [ l o g x l o g ( l - - x ) ] (7) F(u) = c ~1 [1 • x 4- x dx

to

wobei c ei~e beliebige Konstante und ~----- 1

BEWEIS. Es ist bekannt (siehe DARSCZY [2], LEE [5]), dab die Funkt ion

(8) f(x) : c[x log x + (1 -- x) log(1 -- x)]

die allgemeine mel]bare LSsung des Gleichungssystems (3), (3') auf dem offe- nen Interval l (0, 1) ist, wobei c wie oben frei w/~hlbar ist. Die in Gleichung (5) definierte Funkt ion f(x) ist mel~bar, weft F'(x) nach einem b e k a n n t e n S a t z immer mel]bar ist. Also gilt wegen Satz 1

[ l o g x log (1 x - x!] F ' ( x ) = c [1 - - x +

Daraus folgt die Darstellung (7) durch Integrat ion ftir jede Lebesgue-integrier- bare L6sung F(u) der Gleichung (1). Die Integrale (7) erffillen die Funktional- gleichung (1), wie man dutch Einsetzen verifiziert.

Wenn wir nicht voraussetzen, dab F(0) und F(1) existieren, dann kSn- nen wir die Gleichung (6) nicht aufschreiben und die Bedingung (3') ist im allgemeinen nicht erftillt. Tats~chlich existieren in diesem Fall weitere LOsun- g e n d e r Funktionalgieichung (1), welche aber nur auf dora offenen Intervall (0, 1) erkl~rt sind. Z. B. ist

U 2 F(u) = log - - (0 < u < 1)

1 - - u

eine solche LSsung.

2 8 DAI~0CZY, KIESEWETTEI~: EINE FUNKTIONALGLEICHUI~G VON ABEL

LITERATURVERZEICHNIS

X 2 [1] N. H. ABEL, lk~ote sur la fonction ~(x) --- x ~ ~ -~ . . . . OeuvresII, Christiania, 1881,

189--193. [2] Z. DA~dczY, Az informs Shannon-f~le mgrt~k~r61, Magyar Tud. Alcad. Mat. Fiz.

Oszt. KSzl. 19 (1969), 9--24. [31 Z. D~zdezY, Generalized information functions, In]ormation and Control 16 (1970),

36--51. [4] H. KIESEWE~TEa, Struktur linearer Funktionalgleiehungen im Zusammenhang mit

dem Abelsehen Theorem, J. Reine Angew. Math. 2{)6 (1961), 113--171. [5] P. M. LEE, On the axioms of information theory, Ann. Math. Statist. 35 (1964), 414--

418.

(Eingegangen am 7. Marz 1971)

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