E i n e K e n n z e i c h n u n g d e r K u g e l

Von WILHEL~ S~SS in Freiburg i. Br.

1. Im Folgenden beweisen wit den Satz:

Die KugelflSche ist die einzige Ei/lSche, die mit ]eder kongruenten zu~ammen/(illt, mit der~sie vier nicht in einer Ebene gelegene ]~unkte gemein hat. Dieser Satz ist einc Verallgemeinerung eines Satzes yon Y_XN.aGIHAR.~,I). Er steht in Zusammenhang mit einer Vermutung Yon T. B o ~ s E ~ und W. FE~CHEL 2), die die Kugel unter den Eifli~chen dadurch kennzeichnet, dal3 sie mit ]eder kongruenten entweder keinen oder nur einen zusammenhangenden Schnitt hat.

2. Dem Beweis unseres Satzes schicken wit folgenden ibm verwandten, mehr- fach bewiesenen 3) Satz iiber ebene Eilinien voraus, fiir den wit eine kurze Begriindung angeben:

Der Kreis ist die einzige Eilinie, die mit ]eder kongm~enten zu~cammen/Sllt, mit der sie mehr als zwei Punkte gemein hat.

Es sei E die Eilinie, B der yon ihr berandete ebene Eibereich, S sein Flachen- schwerpunkt. Wenn jede Drehung um S die Eilinie E in sich selbst iiberfiihrt, ist der Satz bewiesen. Wenn abet eine Drehung d tim S die Eilinie E in eine yon E verschiedene Lage E' ~ d (E) bri~chte, so mti~te E' mit E mindestens zwei Schnitt- punkte gemeinsam haben: Nach Voraussetzung hi~tten E und E' dann genau- z~cei Punkte U, V gemein. Dann aber verliefe E' auf tier einen Seite der Geraden U V ganz innerhalb E und auf der anderen Seite yon UV ganz auBerhalb E. Dies aber steht im Widerspruch dazu, da~ der Punkt S seine Eigenschaft als Schwerpunkt yon B auch bei der Drehung fiir B' -~ d(B) beibeh~lt. E mu] also eine Kreislinie mit dem Mitte]punkt S sein, w. z. b. w.

Di~ benutzte Sehlul~weise kann aueh so formuliert werden:

Geht~ ein ebener Eibereich dutch Drehung um seinen Schwerpunkt nicht in sieh iiber, so haben die Randlinien des gedrehten und des urspriinglichen Bereichs mehr aIs zwei (also mindestens vier) Schnittpunkte miteinander gemein.

~) YA.~XGmARA, A Theorem on Surfaces. Tohoku Math. J. 8, 42--44 (1915). 2) T. BONNESEN--W. FENCtIEL, Theorie der konvexen KSrper, Berlin 1934, S. 141. 3) Literaturangaben 1. c/-).

Eine Kennzeichnung der Kugel 191

3. Zum Beweis des in 1 ausgesprochenen Satzes denken wit uns den EikSrper K um seinen Schwerpunkt beliebig gedreht. Ist K keine Kugel, so gibt es eine solche Drehung d, dal] die Randflachen yon K und d (K) sich durchdringen. S~nd A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte dieser Durchdringungskurve*), so liegt nach Voraussetzung des Satzes in 1 jeder weitere gemeinsame Punkt der Rand- fl/~chen in der EbeneABC; die Durchdringungskurve ist also eben. Dann abet schlie6t man analog zu 2 wieder auf einen Widerspruch. K mu6 also eine Kugel sein.

4. Auf @mselben Wege beweist man die entsprechenden Aussagen im n-dimen- sionalen Raum :

a) Fallen zwei kongruente EikSrper des R~ mit demselben Schwerpunkt nicht zusammen, so liegen die gemeinsamen Punkte ihrer R/~nder nicht in einer ( n - 1)- diniensionalen Ebene.

b) Die n-dimensionale Kugd, ist der einzige EikSrper des R~, der mit jedem kongruenten zusammenf~llt, mit dessen Rand sein Rand (n + 1)Punkte allgemeiner Lage gemein hat.

(Eiagegangen Sommer 1945)

4) Der Durchschnit~ der R/inder zweier Eibereiche mit gemeinsamen inneren Punktea lieg~ nur dann ganz auf einer Geraden, wenn eiaer der Bereiche im anderen enthalten ist. (Bemerkung yon H. K~ES~R.)

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