Oberﬂ äche und Volumen von Pyra- mide, Kegel, Kugel

Bernard Ksiazek

Oberfl äche und Volumen von Pyra-mide, Kegel, KugelDifferenzierte Aufgaben zum Üben und Festigen für das Gymnasium

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aus dem Originaltitel:

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Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Pyramide, Kegel, Kugel© Persen Verlag 1

Dass eine der wichtigsten Ziele des Mathematikunterrichts darin besteht, die Schüler1 dazu zu befähi-gen, Mathematik anzuwenden, ist wohl ebenso unumstritten wie die Tatsache, dass dies ein relativ schwieriges Unterfangen ist. Dies geht erfahrungsgemäß am besten, wenn Sie Ihren Lerngruppen An-wendungsaufgaben aus dem Alltag anbieten können. Und dies fällt bei dem Thema „Flächen und Volu-men von Figuren und Körpern“ eigentlich nicht besonders schwer, da diese Thematik fest in unseren Lebensalltag integriert ist. Wir brauchen diese Thematik, um viele alltägliche Situationen zu beschreiben bzw. zu hinterfragen. Es gibt wohl kein Thema im Mathematikunterricht, dass sich so nah an der Umwelt und am gegenwärtigen und zukünftigen Alltag der Schüler orientiert. Das Thema findet sogar seinen eigenen Platz in den ma-thematischen Leitideen der KMK Bildungsstandards für Mathematik. Weiterhin ist das Thema hervorragend geeignet, um die entsprechenden mathematischen Kompeten-zen („Argumentieren“, „Problemlösen“, „Modellieren“, „mathematische Darstellungen verwenden“, „mit Mathematik symbolisch/formal/technisch umgehen“ und „Kommunizieren“) bei jedem Schüler auszu-bauen.Ziel der vorliegenden Veröffentlichung ist es, alle wesentlichen Inhalte der Größenthematik für die Klas-sen 7 bis 10 zu erarbeiten, zu üben und zu vertiefen. Dabei sollen vor allem auch zahlreiche oben er-wähnte mathematische Kompetenzen bei den Schülern ausgebaut werden. Bei der Konzeption der Arbeitsblätter wurde in allen Kapiteln eine besondere Akzentuierung auf den Aufbau von Größenvorstellungen gelegt. Diese Größenvorstellungen werden durch Übung und Anwen-dungen permanent ausgebaut und gefestigt. Innerhalb der vorliegenden Kopiervorlagen werden unter-schiedliche Leistungsniveaus angeboten. Jeder Aufgabe wurden die drei Kompetenzklassen bzw. An-forderungsbereiche der Bildungsstandards zugeordnet2:

Anforderungsbereich I: ReproduzierenDieses Niveau umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang.

Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellenDieses Niveau umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebie-ten erworben wurden.

Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und ReflektierenDieses Niveau umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Pro-blemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu ge-langen.

Die entsprechende Angabe befindet sich in Klammern hinter jeder Aufgabe. Dabei steht „R“ für den Bereich „Reproduzieren“, „Z“ für den Bereich „Zusammenhänge herstellen“ und „V“ für den Bereich „Verallgemeinern und Reflektieren“.

Das Symbol bedeutet, dass die Schüler die Aufgabe im Heft oder auf einem Extrablatt lösen sollen.

Wir wünschen Ihnen viel Freude und Erfolg beim Einsatz dieses Buches.

Bernard KsiazekMarco BettnerErik Dinges

1 Der Einfachheit halber verwenden wir hier die verallgemeinernde Form. Selbstverständlich sind auch alle weiblichen Personen angespro-chen.

2 www.kmk.org/schul/Bildungsstandards/Mathematik_MSA_BS_04-12-2003.pdf

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2Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Pyramide, Kegel, Kugel© Persen Verlag

Eigenschaften Pyramiden 1

Aufgabe 1 (R)

a) Zeichne ein Schrägbild einer quadratischen geraden Pyramide in das Kästchen.

b) Trage folgende Begriffe in das Schrägbild ein: Grundfläche, Mantelfläche, Körperhöhe h

k, Höhe der Seitenflächen h

s, Fußpunkt

c) Besitzt eine quadratische gerade Pyramide spezielle Dreiecke bei den Seitenflächen?

Aufgabe 2 (Z)

Wie viele Flächen, Kanten und Ecken besitzt eine quadratische Pyramide?

Flächen Kanten Ecken

Aufgabe 3 (V)

Beschreibe mit deinen eigenen Worten die Unterschiede zwischen einer geraden und einer schiefen Pyramide. Begründe deine Beobachtungen.

Aufgabe 4 (Z)

Aus welchen Netzen können Pyramiden entstehen? Kreise ein.

e Beonterschiedhtungen.

e zwisch

e?

Ecken

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(V)

e mit deineyramide. B

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Ka

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Oberflächenberechnung – Pyramide 1 2

Aufgabe 1 (V)

Beschreibe, wie sich die Oberfläche einer quadratischen, geraden Pyramide zusammensetzt und verdeutliche die Herleitung der entsprechenden Oberflächenformel.

Aufgabe 2 (R)

Berechne die Oberfläche.

a) a = 15 cm b) a = 4,3 dm c) a = 8,6 cm d) a = 2,4 m h

s = 22 cm h

s = 11,1 dm h

s = 17,5 cm h

s = 6,1 m

Aufgabe 3 (Z)

Berechne die Oberfläche der jeweiligen quadratischen Pyramiden.

a) b) c) d)

Aufgabe 4 (Z)

Die „Cheops-Pyramide“ steht in Ägypten und ist die älteste und größte Pyramide der Welt. Sie ist 230,33 m lang und 138,75 m hoch.

a) Berechne die Ober- und Mantelfläche.

b) Die Höhe der „Cheops-Pyramide“ be-trug früher 146,59 m. Wie groß war ihre ursprüngliche Oberfläche?

c) Um wie viel Prozent ist ihre Oberfläche nun kleiner?

5 cm

7,5 cm

12,6 cm

20 cm

6,8 cm

19 m 30 cm

44 cm

abe 4

Cheops-Pydie ältes

(Z)

yramid

ramiden.

h = 6,1 mmm

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b)

dm

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) a = 8,6 c

hs= 17,


Oberflächenberechnung – Pyramide 2 3

Aufgabe 1 (Z)

Die Grundseite a einer quadratischen Pyramide ist 2 dm lang, die Mantelfläche AM beträgt

12 dm2.

Berechne den Oberflächeninhalt OP, die Länge der Seitenkante h

s und die Höhe h

k.

Aufgabe 2 (Z)

Berechne die fehlenden Größen einer quadratischen Pyramide.

a) b) c) d) e) f)

a 132 cm 5,8 cm 4,6 m 88 m

hk 60 cm 22 m

hs 4,94 cm 8,5 dm 8,94 cm

AM 50,6 m2

OP 138 dm2 366,98 cm2

Aufgabe 3 (Z)

a) Skizziere ein Pyramidennetz eines regulären Tetra-eders in das Kästchen.

b) Berechne den Oberflächeninhalt eines Tetraeders mit einer Seitenlänge von a = 4 cm.

Aufgabe 4 (V)

Gegeben ist eine regelmäßige Sechseckpyramide mit einer Seitenlänge von a.Die Höhe der Pyramide beträgt 2a.

Bestimme den Oberflächeninhalt OP in Abhängigkeit von a.

be 4 (V

ot eines Tetracm.

ären Tetra-

aede

366,9

8,94 c

a) Skizzieers in

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3 (Z)

re ein Pyradas Käs

138 d

8,5

50

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88 m

22 m


Volumenberechnung – Pyramide 1 4

Aufgabe 1 (R)

Notiere die Volumenformel für die Pyramide.

Formel:

Aufgabe 2 (R)

Berechne das Volumen einer quadratischen Pyramide.

a) a = 15 cm b) a = 6,5 cm c) a = 8,1 m d) a = 17 dm h

k = 22 cm h

k = 11 cm h

k = 27,9 m h

k = 14,9 dm

Aufgabe 3 (Z)

Berechne das Volumen der jeweiligen Pyramiden.

a) b) c) d)

Aufgabe 4 (Z)

Berechne die Höhe einer quadratischen Pyramide.

a) VP = 24,4 cm3 b) V

P = 660 m3 c) V

P = 572,3 dm3 d) V

P = 5 203 m3

a = 4 cm a = 12 m a = 14,6 dm a = 24 m

Aufgabe 5 (Z)

Wie verhält sich das Pyramidenvolumen einer quadratischen Pyramide, wenn …

a) sich die Grundseite a verdoppelt?

b) sich die Grundseite a verdreifacht?

c) sich die Körperhöhe hk verdoppelt?

28,5 cm

40 cm

10,9 cm

14,3 cm 9 m

11,8 m

8 dm

16,2 dm

rhält s

ich die Gru

)

sich das Pyra

undseit

a

mid

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0 m

mide

c) V

8 d

2 dm

Aufgabe

Berechne d

a) VP = 24

a = 4

4 (Z

e Höhe

10,9 cm

4,3 cm


Aufgabe 1 (Z)

Berechne das Volumen für eine aus vier gleich großen und gleichseitigen Dreiecken beste-henden Pyramide mit einer Kantenlänge von 5 cm aus.

Aufgabe 2 (Z)

Berechne die Grundseite einer quadratischen Pyramide.

a) V = 131,04 m3 b) V = 1 933 cm3 c) V = 16 281 cm3 d) V = 156 dm3

h = 8 m h = 17,9 cm h = 21,2 cm h = 13 dm

Aufgabe 3 (Z)

Vergleiche das Volumen der großen Pyramide und das der kleinen Pyramiden. Beachte, dass alle Pyramiden eine Höhe von 95 cm haben.

a) b)

Aufgabe 4 (Z)

Eine gerade Pyramide besitzt eine rechteckige Grundfläche. Die Seitenlängen betragen a = 4 cm und b = 6,5 cm. Die Spitze der Pyramide befindet sich in einem Abstand von 9 cm über der Grundfläche.

Berechne das Volumen der Pyramide.

Aufgabe 5 (Z)

Ein quadratisches Viermannzelt hat eine Seitenlänge von 2,2 m. Die vier Dreieckswände haben die Form gleichseitiger Dreiecke.

a) Bestimme die Höhe des Zeltes.

b) Bestimme das Volumen des Zeltinnenraumes.

Volumenberechnung – Pyramide 2 5

72 cm

hk

36 cm 36 cm

36 cm

36 cm

er Gru

chne das V

mided b = 6,5 cmndfläche.

Volum

besitz Die

72

k

von das de

cm haben.

)

r kleinen Py

d) h

ram


Vermischte Aufgaben – Pyramide 6

Aufgabe 1 (Z)

Berechne von einer quadratischen Pyramide OP und/oder V

P.

a) AM = 216 dm2 b) A

M = 1 056 cm2 c) V

P = 24 m3 d) V

P = 10 173 cm3

hs = 9 cm h

s = 22 cm h

k = 8 m h

k = 33,9 cm

Aufgabe 2 (V)

In einem Würfel befindet sich eine quadratische Pyramide.Die Mittelpunkte der Würfelkanten sind die Ecken der Pyramidengrundfläche. Ihre Spitze befindet sich im Mittel-punkt der oberen Würfelfläche.

Berechne das Volumen und die Oberfläche der Pyramide.Die Kantenlänge des Würfels beträgt 8 cm.

Aufgabe 3 (Z)

Bei einer quadratischen Pyramide sind die Seitenflächen hs = 41 dm hoch und die Oberfläche

OP = 2943 dm2.

Berechne die Kanten der Grundfläche.

Aufgabe 4 (Z)

Gegeben sind zwei Tetraeder.

a) Berechne das Volumen und die Kantenlänge von einem Tetraeder mit einem Oberflächen-inhalt von 561,18 cm2.

b) Berechne den Oberflächeninhalt und das Volumen von einem Tetraeder mit einer Kanten-länge von 4 dm.

vodas Volum

n 561,18 cm

etraede

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hoch und die Obe= 4

Aufgab

yramide

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sind die Se


Eigenschaften – Kegel 7

Aufgabe 1 (R)

a) Beschrifte den Kegel mit den folgenden Begriffen:Grundfläche, Mantelfläche, Mantellinie s, Körperhöhe h

k, Radius r.

b) Zeichne ein Kegelnetz in das Kästchen und beschrifte dieses mit denselben Begriffen aus Aufgabe a).

h

r

Aufgabe 2 (Z)

Wo findest du in deiner Umwelt Gegenstände, die die Form eines Kegels besitzen. Gib min-destens drei Beispiele an.

Aufgabe 3 (V)

Tim behauptet, dass er, wenn er den Umfang des Mantelbogens von einem Kegel kennt, im-mer korrekt den Umfang der Grundfläche im Kopf berechnen kann.

Ist das ohne Taschenrechner möglich? Wenn ja, wie? Begründe deine Antwort.

Aufgabe 4 (R)

Gib die Formeln für die Oberflächen- und Volumenberechnung an.

Oberflächenformel: Volumenberechnung:

e 3

behauptrekt den

ohne

(V)

, dass er

die die FForm eine KWo findesdestens dr

(Z)

du in deineei Beispiel

Um


Oberflächenberechnung – Kegel 1 8

Aufgabe 1 (R)

Berechne die Größe der Mantel- und Oberfläche eines Kegels.

a) r = 4 cm b) r = 18 dm c) r = 2,4 cm d) r = 87 m s = 7 cm s = 24,5 dm s = 6,8 cm s = 123 m

Aufgabe 2 (Z)

Berechne die Oberfläche des Kegels.

a) r = 25 dm b) r = 4,7 cm c) r = 5,9 cm d) r = 31 cm h = 95 dm h = 5,2 cm h = 43,5 cm h = 77 cm

Aufgabe 3 (Z)

Das kegelförmige Dach eines Turmes soll erneuert werden. Der Durchmesser des Daches beträgt 3,5 m und die Seitenläge 720 cm.

Berechne, wie viel Quadratmeter Dachbedeckung für die Sanie-rung benötigt werden.

Aufgabe 4 (Z)

Berechne die fehlenden Größen.

a) b) c) d) e) f)

r 7 dm 5,6 cm 8 m

h 4 dm 22 m

s 14,3 m 4,4 cm 8,6 dm

AM 512 m2 199 dm2

OK 334 cm2 68 cm2

4

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7 d

Größ

Aufgabe

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m

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g für die S

n.äge

d)


Aufgabe 1 (Z)

Die Oberfläche eines Kegels beträgt 590,82 dm2. Der Radius ist 70,36-mal kleiner als die Oberfläche. Berechne s, h, und A

M.

Aufgabe 2 (Z)

Berechne für jeden Kegel die Oberfläche und die Mantelfläche.

a) b) c) d)

Aufgabe 3 (Z)

Ein Zirkuszeltdach hat die Form eines Kegels und ist 12 m hoch. Der Durchmesser der Grundfläche beträgt 42 m.

Berechne die Fläche der Zeltplane.

Aufgabe 4 (Z)

Über ein Förderband wird Salz kegelförmig aufgeschüttet. (r = 0,7 m, hK = 380 cm)

Im Anschluss soll das Salz mit einer Plane vor Regen geschützt werden.

Wie groß muss die Plane mindestens sein?

Aufgabe 5 (Z)

Die Mantelfläche eines Kegels beträgt 1 570,80 dm2.

Wie groß ist die Mantellinie, wenn der Durchmesser 40 dm groß ist?

Oberflächenberechnung – Kegel 2 9

21 cm

28 cm

39 cm

65 cm

29,7 m

49,5 m

1,5 m

3,6 m

abe 4 (Z)

n Förd

1,5 m

Grundflä

Berechne d

hoch. Dhe beträgt 4

die Fläche

hat die Form eier Durchmes

m.

29,7 m

5 m

d)


Aufgabe 1 (R)

Berechne das Volumen vom Kegel.

a) r = 7 cm b) r = 50 cm c) r = 13,2 m d) r = 4,6 dm h

k = 17 cm h

k = 86 cm h

k = 21,1 m h

k = 8,8 dm

Aufgabe 2 (Z)

Berechne von einem Kegel, dessen Radius und Höhe mit 6,5 cm gleich lang sind, das Volumen.

Aufgabe 3 (R)

Berechne die Höhe der jeweiligen Kegel.

a) V = 112 dm3 b) V = 811 cm3 c) V = 413 cm3 d) V = 1 288 m3

d = 12 dm r = 14 cm r = 4,4 cm d = 44 m

Aufgabe 4 (Z)

Berechne das Gesamtvolumen der abgebildeten Figur.

Aufgabe 5 (V)

Wie verändert sich das Volumen des Kegels, wenn …

a) die Höhe sich vervierfacht wird?

b) der Radius geviertelt wird?

c) der Radius halbiert und die Höhe verdoppelt wird?

Volumenberechnung – Kegel 1 10

h = 3 cm h = 4 cm

r = 2,5 cm

s = 4,72 cms = 3,91 cm

verände

e Höhe sic

(V)

t sich das V

h e

= 3 cm h

= 4,72 cm

8 mm

olumenFigur.

s

) V = 413 r = 4,4 c

cm3


Volumenberechnung – Kegel 2 11

Aufgabe 1 (Z)

Ein Kegel hat den Durchmesser von 10 m und eine Mantellinie von 9 m.

Berechne sein Volumen.

Aufgabe 2 (Z)

Berechne das Volumen vom Kegel.

a) b) c) d)

Aufgabe 3 (Z)

Ein Trichter soll 3 Liter Wasser fassen können.

Wie hoch muss der Trichter mindestens sein, wenn sein Durchmesser 24 cm groß ist? Runde sinnvoll auf.

Aufgabe 4 (Z)


a) b) c) d) e) f)

r 9,9 cm 3,5 dm 6 cm 1,6 m

hk 12 m 15 cm 22 cm

s 18 dm 3 m

Vk 444 m3 1 288 cm3 401 cm3

Aufgabe 5 (Z)

Die Mantellinie eines Kegels ist 16 dm lang. Der Flächeninhalt des Mantels beträgt 503 dm2.

Berechne das Volumen.

8 m

18 m

6,5 cm

11 cm

55 cm

82 cm

24,8 m

36 m

44

m

3,5 dm

c)

er 24 cm groß ist?hm

Berechne

r

(Z)

die fehlend

a)

mind

en könn

estens sein,

en.

wen

cm


Aufgabe 1 (R)

Zeichne in die Kästchen je ein Schrägbild eines a) Pyramidenstumpfes und eines b) Kegel-stumpfes. Gib die Volumenformel der beiden Körper an.

a) b)

Formel: Formel:

Aufgabe 2 (Z)

Berechne die fehlenden Größen der jeweiligen geraden, quadratischen Pyramidenstümpfe.

a) b) c) d) e) f)

a 12 cm 14 m 5 m 8,8 cm 30 cm 12 dm

b 8 cm 5 m 4 m 2,4 cm 24 cm 3 dm

h 7 cm 6 m 13 dm

OPS

VPS 776 m3 521,6 cm3 2 771 cm3

Aufgabe 3 (Z)

Der untere Durchmesser eines kegelstumpfartigen Eimers beträgt 18 cm, der obere Durch-messer beträgt 22 cm. Die Gesamthöhe des Eimers beträgt 32 cm.

Welches Volumen fasst der Eimer? Gib dein Ergebnis auch in Litern an. Runde auf.

Aufgabe 4 (Z)

Ein Kegelstumpf ist 7cm hoch. Sein Volumen beträgt VKS

= 2 441,02 cm3 und der Grundkreis-radius ist r

1 = 12 cm.

Wie groß ist der Deckkreisradius r2?

Stumpfe Körper 12

S

be 3 (Z

4

6 m

5 m

m

d)

,8 cm

dratis hen Pyram

mide

a

h

a)

12 cm

enden Größen d

b)

jew

Formel:


Eigenschaften Kugel 13

Aufgabe 1 (R)

Gib die Volumen- und Oberflächenformel für die Kugel an.

Aufgabe 2 (Z)

Nenne mindestens fünf Gegenstände aus deiner Umwelt, die die Form einer Kugel haben.

Aufgabe 3 (R)

a) Ergänze den Kreis zu einem Schrägbild einer Kugel.

b) Setze die Begriffe zur Kugel in der Zeichnung an die richtige Stelle. Radius, Durchmesser, Mittelpunkt

Aufgabe 4 (V)

Versuche, mit deinen eigenen Worten eine Definition für die Kugel zu notieren.Orientiere dich dabei an der Definition für einen Kreis.

Aufgabe 5 (V)

Emine und Lukas sind unterschiedlicher Meinung. Sie können sich nicht darauf einigen, wie ein Kugelnetz aussehen muss. Kannst du ihnen helfen? Ist dies überhaupt möglich? Wenn nicht, begründe.

gabe 5

e und Lukaelnetz agr

(V)

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Oberflächenberechnung Kugel 14

Aufgabe 1 (R)

Berechne den Oberflächeninhalt der jeweiligen Kugeln.

a) r = 3 cm b) r = 42 m c) d = 72 m d) r = 19 dm

Aufgabe 2 (R)

Berechne den Radius der jeweiligen Kugeln.

a) OK = 200 dm2 b) O

K = 195 cm2 c) O

K = 437 cm2 d) O

K = 72 m2

Aufgabe 3 (Z)

Wie groß ist die Oberfläche der Erde, wenn ihr Radius 6 378 km beträgt und die Erde als kugelförmig ange-nommen wird?

Aufgabe 4 (Z)

Aus einem Würfel mit einer Kantenlänge von 16 dm soll eine möglichst große Kugel her-gestellt werden. Berechne die größtmögliche Oberfläche der Kugel.

Aufgabe 5 (Z)

Bei einem Parfümzerstäuber werden ca. 10 cm3 Parfüm zerstäubt.

a) Wie viele einzelne Tröpfchen entstehen bei diesem Vorgang, wenn jedes einzelne einen Durchmesser von 0,04 mm besitzt?

b) Wie groß ist die Gesamtoberfläche aller Tröpfchen?

Pubt.

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m

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Volumenberechnung Kugel 15

Aufgabe 1 (R)

(1) Berechne das Volumen der Kugel.

a) r = 12,6 m b) r = 4,1 cm c) r = 255 cm d) r = 51,8 dm

(2) Berechne den Durchmesser der Kugel.

a) V = 624 cm3 b) V = 333 m3 c) V = 6 044 dm3 d) V = 1 899 cm3

Aufgabe 2 (Z)

a) Berechne das Volumen von einem Basketball (U = 76 cm), einem Fußball (d = 22 cm) und einem Handball (r = 9,5 cm)

b) Um wie viel Prozent sind die Bälle im Volumen untereinander kleiner?

Aufgabe 3 (Z)

Aus einem tropfenden Wasserhahn fällt alle 5 Sekunden ein kugelförmiger Wassertopfen von ungefähr 4 mm Durchmesser.

Wie viel Liter Wasser entweichen in a) 12 Stunden b) einer Woche? Runde sinnvoll.

Aufgabe 4 (Z)

Wie groß ist das Volumen einer Kugel …

a) mit einem Durchmesser von 1 cm?

b) mit einem Umfang von 1 cm?

c) mit einem Radius von 1 cm?

entweic

n fällt alle 5

a) 1

Seku

?

Aufgabe

Aus einemungefäh

3 (Z)

e BBälle im Volumen


Aufgabe 1 (Z)

Das Gebäude eines Kraftwerks besteht aus einem 26 m hohen Zylinder mit einem Durch-messer von 20 m. Oben drauf befindet sich eine halbe kugelförmige Kuppel.

Berechne das Volumen des zur Verfügung stehenden Raumes.

Aufgabe 2 (Z)

Um wie viel Prozent würde das Volumen einer Kugel abnehmen, wenn der Radius um 25 Pro-zent verkleinert würde?

Aufgabe 3 (Z)


a) b) c) d) e) f)

r 2,4 cm 5 dm

OK 630 dm2 869 m2 789 m2

V 4445 m3

Aufgabe 4 (Z)

Eine Kugel, ein Zylinder und ein Kegel haben dieselben Abmessungen. Alle Körper besitzen einen Radius von 5 cm und/oder eine h

k von 10 cm.

Berechne und vergleiche deren Volumina und deren Oberflächen.

Aufgabe 5 (Z)

Ein Heißluftballon hat ein Fassungsvermögen von 5 000 m3.

Welche Fläche hat seine Hülle?

Aufgabe 6 (Z)

5 Kugeln aus Knetmasse (r = 4,5 cm) werden zu einer großen Kugel geformt.

Welchen Radius hat die große Kugel?

Vermischte Aufgaben Kugel 16

gabe 5

ßluftball

F

Z)

che der

egel haben dne h

k von 10

umin

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5 dm

78m2

f)

Aufgabe

Eine Kugeeinen Ra

4 (Z)

4445 m

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c) d)

18

Lösungen

Bernard Ksiazek: Oberfläche und Volumen von Pyramide, Kegel, Kugel© Persen Verlag

Oberflächen- und Volumenberechnung Pyramide, Kegel, Kugel

1. Eigenschaften Pyramide

Aufgabe 1 a) + b)

Höhe der Seitenfläche hS

Körperhöhe hK

Mantelfläche

Grundfläche

Fußpunkt

c) Sie besitzt gleichschenklige Dreiecke.

Aufgabe 25 Flächen, 8 Kanten, 5 Ecken

Aufgabe 3Bei einer geraden Pyramide ist die Verbindungsstrecke zwi-schen dem Mittelpunkt M der Grundfläche und der Spitze gerade (Lot). Somit sind auch alle Kanten, die von der Spit-ze ausgehen, gleich lang. Bei einer schiefen Pyramide sind die Seitenkanten unterschiedlich lang. Dadurch kann sich der Fußpunkt des Lotes sowohl innerhalb, als auch außer-halb der Pyramidengrundfläche befinden.

Aufgabe 4Aus den Netzen a) d) und e) lassen sich Pyramiden falten.

2. Oberflächenberechnung – Pyramide 1

Aufgabe 1Die Oberfläche setzt sich aus einer Grundfläche mit n Ecken und der Anzahl der anliegenden Seitenflächen zusammen – ebenfalls n.

hS hS

hS

hS

a aa

a

OP = a2 + 2 · a · hS

Aufgabe 2a) O

P = 885 cm2 b) O

P = 113,95 dm2

c) OP = 374,96 cm2 d) O

P = 35,04 m2

Aufgabe 3a) O

P = 100 cm2 b) O

P = 687,17 cm2

c) OP = 308,75 m2 d) O

P = 9 808,90 cm2

Aufgabe 4a) O

P = 136 117,15 m2; A

M = 83 065,24 m2

b) OP = 138 927,14 m2

c) Sie ist um 2,02 % kleiner.

3. Oberflächenberechnung – Pyramide 2

Aufgabe 1h

s = 3 dm; h

k = 2,828 dm; O

P = 16 dm2

Aufgabe 2a) b) c) d) e) f)

a 132 cm 5,8 cm 6 dm 4,6 m 88 m 12,2 cm

hk 60 cm 4 cm 7,95 dm 5 m 22 m 6,54 cm

hs 89,2 cm 4,94 cm 8,5 dm 5,5 m 49,19 m 8,94 cm

AM 23 547,85 cm2 57,30 cm2 102 dm2 50,6 m2 8 658,06

m2

218,14 cm2

OP 40 971,85 cm2 90,94 cm2 138 dm2 71,76 m2 16 402,06

m2

366,98 cm2

Aufgabe 3a)

b) OTetraeder

= 27,71 cm2

Aufgabe 4

OP = 3

2 · a2 · (√3 + √19)

4. Volumenberechnung – Pyramide 1

Aufgabe 1

VP = 1

3 · A

G · h

K

Aufgabe 2a) V

P = 1650 cm3 b) V

P = 154,92 cm3

c) VP = 610,17 m3 d) V

P = 1 435,37 dm3

Aufgabe 3a) V

P = 10 119,45 cm3 b) V

P = 566,33 cm3

c) VP = 698,88 m3 d) V

P = 344,90 dm3

Aufgabe 4a) h

K = 4,57 cm b) h

K = 13,75 m

c) hK = 8,05 dm d) h

K = 27,1 m

Aufgabe 5a) Das Volumen vervierfacht sich.b) Das Volumen verneunfacht sich.c) Das Volumen verdoppelt sich.

hS

h

aa

a

hS

hS

eitee mit n Ecken zusammen –

b) OTetra

Aufgabe 4

OP

3 · a

er = 27,71 c 2

2. Oberfläch

Aufgabe 1Die Oberfläc

nd der A

n a) d) und e)

enberechnu

fenDadu

innerhalb, alläche befinden.

ssen sic

Spitzvon der Spit

Pyramide sind ch kann sich

auch außer-

wi-

Aufgabe 3a)

90,94 cm2 1

m

dm 5,5

02 dm 50,6 m

8 dm2 71,

19

Lösungen


5. Volumenberechnung – Pyramide 2

Aufgabe 1V

Tetraeder = 14,73 cm3

Aufgabe 2a) a = 7,01 m b) a = 18 cmc) a = 48 cm d) a = 6 dm

Aufgabe 3a) Die beiden Volumina sind gleich. V

P = 164 160 cm3

Aufgabe 4V

P = 78 cm3

Aufgabe 5a) h

K = 1,5556 m b) V

P = 2,5098 m3

6. Vermischte Aufgaben – Pyramide

Aufgabe 1a) O

P = 360 cm2; V

P = 322 cm3

b) OP = 1 632 cm2; V

P = 3 540 cm3

c) OP = 57,8 m2

d) OP = 3 124 cm2

Aufgabe 2O

P = 128 cm2; V

P = 85,33 cm3

Aufgabe 3Die Kantenlänge beträgt 27 dm.

Aufgabe 4a) V

Tetraeder = 687,31 cm3; a = 18 cm

b) OP = 27,71 dm2; V

Tetraeder = 7,54 dm3

7. Eigenschaften Kegel

Aufgabe 1a)

Mantelfläche

Körperhöhe hK

Radius

Grundfläche

Mantellinie s

b)

Mantelfläche

Körperhöhe

Radius

Grundfläche

Mantellinie s

Aufgabe 2Zum Beispiel: Eishörnchen, Hütchen im Straßenverkehr, Pfeilspitze, Brettspielfigur

Aufgabe 3Ja, das ist ohne Taschenrechner möglich, da die Länge vom Umfang des Mantelbogens genauso groß ist, wie der Um-fang der Grundfläche.

Aufgabe 4O

K = π · r 2 + π · r · s V

K = 1

3 · π · r 2 · h

8. Oberflächenberechnung – Kegel 1

Aufgabe 1a) A

M = 87,97 cm2 b) A

M = 1 385,44 dm2

OK = 138,23 cm2 O

K = 2 403,32 dm2

c) AM = 51,271 cm2 d) A

M = 33 618,18 m2

OK = 69,37 cm2 O

K = 57 396,90 m2

Aufgabe 2a) O

K = 9 678,81 dm2 b) O

K = 172,89 cm2

c) OK = 923,03 cm3 d) O

K = 11 102,98 cm2

Aufgabe 3Insgesamt werden 39,58 m2 an Dachbedeckungen für die Sanierung benötigt.


r 7 dm 11,4 m 5,6 cm 2,9 cm 7,37 dm 8 m

h 4 dm 8,64 m 12,2 cm 3,3 cm 4,4 dm 22 m

s 8,06 dm 14,3 m 13,4 cm 4,4 cm 8,6 dm 23,41 m

AM 177,3 dm2 512 m2 235,5 cm2 40,7 cm2 199 dm2 588,34 m2

OK 331,24 dm2 920,05 m2 334 cm2 68 cm2 369,44 dm2 789,4 m2

9. Oberflächenberechnung – Kegel 2

Aufgabe 1r = 8,4 dm; s = 14,0 dm; A

M = 369,30 dm2

Aufgabe 2a) O

K = 3 694,51 cm2 b) O

K = 12 742,3 cm2

AM = 2 309,07 cm2 A

M = 7 963,94 cm2

c) OK = 11 084,67 m2 d) O

K = 25,45 m2

AM = 6 158,15 m2 A

M = 18,38 m2

Aufgabe 3Die Zeltplane hat eine Fläche von A

M = 1 595,69 m2.

Aufgabe 4Die Plane muss eine Größe von A

M = 8,5 m2 haben.

Aufgabe 5Sie ist 25 dm lang.

M

M

h

8,06

A 177,3 d

OK

7 dm 11,

dm 8,64

m 14,

2

b)

m

an D

c)

d)

achbedeckungeötigt.

89 cm2

02,98 cm

ür die

a) VTetraeder

= b) O 27,71

7. Eigenschag

ufgabe

g

87,31 ; a = dm2; V

Tetraede=

27 dm.

AIn

Aufgabe 2a) O 678,8c) O

K = 923,0

b

1 cm2 7 cm

1 dm2

ng – Kg

b) AM

OK =

d) AM

=

20

Lösungen


10. Volumenberechnung – Kegel 1

Aufgabe 1a) V

K = 872,32 cm3 b) V

K = 225 147,47 cm3

c) VK = 3 849,98 m3 d) V

K = 195 dm3

Aufgabe 2V

K = 287,59 cm3

Aufgabe 3a) h

K = 2,97 dm b) h

K = 3,95 cm

c) hK = 20,37 cm d) h

K = 2,54 m

Aufgabe 4V

K = 45,81 cm3

Aufgabe 5a) Das Volumen vervierfacht sich.

b) Das Volumen verringert sich um 1516

.

c) Das Volumen verringert sich um 12

.

11. Volumenberechnung – Kegel 2

Aufgabe 1Sein Volumen beträgt 195,91 m3

Aufgabe 2a) V

K = 1 206,37 m3 b) V

K = 392,63 cm3

c) VK = 192 662,04 cm3 d) V

K = 16 807,1 m3

Aufgabe 3h

K = 19,89 cm. Der Trichter sollte 20 cm hoch sein.


r 5,94 m 9,9 cm 3,5 dm 7,48 cm 6 cm 1,6 m

hK 12m 15 cm 17,66 dm 22 cm 10,64 cm 2,54 m

s 13,39 m 17,97 cm 18 dm 23,24 cm 12,21 cm 3 m

VK 444 m3 1 539,54 cm3 226,5 dm3 1 288 cm3 401 cm3 6,8 m3

Aufgabe 5Das Volumen beträgt 1 309,17 dm3.

12. Stumpfe Körper

Aufgabe 1a) Formel: V

PS = 1

3 · h · (G

1 + √G

1 · √G

2 + G

2)

b) Formel: VKS

= 13

· h ·(r1

2 + r2

2 + r1 · r

2)

Mantelfläche

Grundfläche

Deckfläche

R

h

r

m

φ

Aufgabe 2

a) b) c) d) e) f)

a 12 cm 14 m 5 m 8,8 cm 30 cm 12 dm

b 8 cm 5 m 4 m 2,4 cm 24 cm 3 dm

h 7 cm 8 m 6 m 15 cm 3,79 cm 13 dm

OPS 499,2 cm2 569,84 m2 149 m2 426,82 cm2 1 997,65 cm2 565,70 dm2

VPS 709,3 cm2 776 m3 122 m3 521,6 cm3 2 771 cm3 819 dm3

Aufgabe 3V

KS = 10 086 cm3. Der Eimer fasst ca. 10,1 l Wasser.

Aufgabe 4Der Deckkreisradius beträgt r = 9 cm.

13. Eigenschaften Kugel

Aufgabe 1V

Kugel = 4

3 · π · r 3; O

Kugel = 4 · π · r 2

Aufgabe 2Zum Beispiel: Murmel, Fußball, Globus, Lampe, Billard-kugel, Orange

Aufgabe 3

Radius

MittelpunktDurchmesser

Aufgabe 4Eine Kugel ist der Ort aller Punkte im Raum, die zu einem festen Punkt M (Mittelpunkt) den gleichen Abstand (Radius) besitzen.

olumen be

pfe Körpep

18

226,5 d

ägt 1 309,17 d

22

m 23

m3 1 28

n.

e) f)

cm 1,6 m

4 cm

cm

VKugel

=

Aufgabe 2Zum Beispkug

e 14 · π · r 3; O

Ku

ten Ku

= 4 ·

ägt r = 9

gel

sst ca. 10,1 l W

cm.adius

m3

asser.

Aufgabe 3h

K = 19,89 cm

Aufgabe 4a)

r 5,94 m

4 cm3

Der Trichter

b) V = 392,6d) V

K1680

Au

499,2 c

VPS 709,3 cm2

Aufgabe 3

S = 10 086

m

8 m

569,84 m2 149

776 m3 122

d)

5 m 8,8 cm

4 m 4 cm

m 15 cm

42

21

Lösungen


Aufgabe 5Es ist möglich ein Netz von einer Kugel zu zeichnen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten.

14. Oberflächenberechnung Kugel

Aufgabe 1a) A

O = 113,10 cm2 b) A

O = 22 167,08 m2

c) AO = 16 286,02 m2 d) A

O = 4 536,46 dm2

Aufgabe 2a) r = 3,99 dm b) r = 3,94 cmc) r = 5,90 cm d) r = 2,39 m

Aufgabe 3Die Oberfläche beträgt 511 185 932,5 km2.

Aufgabe 4A

O = 804,25 dm2

Aufgabe 5a) Insgesamt entstehen 298 415 518,8 Tröpfchen.b) Die Gesamtoberfläche beträgt 1,5 m2.

15. Volumenberechnung Kugel

Aufgabe 1(1)a) V

Kugel = 8 379,16 m3 b) V

Kugel = 288,70 cm3

c) VKugel

= 69 455 901,18 cm3 d) VKugel

= 582 207,62 dm3

(2)a) d = 10,60 cm b) d = 8,6 mc) d = 22,6 dm d) d = 15,36 cm

Aufgabe 2a) Basketball: V

Kugel = 7 412,93 cm3

Fußball: VKugel

= 5 575,28 cm3

Handball: VKugel

= 3 591,36 cm3

b) Der Handball ist 51,56 % kleiner als der Basketball und 35,58 % kleiner als der Fußball. Der Fußball ist 24,79 % kleiner als der Basketball.

Aufgabe 3a) Nach 12 Stunden sind 289 526,4 mm3 = 0,29 l Wasser

entwichen.b) Nach 1 Woche sind 4 053 369,6 mm3 = 4,05 l Wasser

entwichen.

Aufgabe 4a) V

Kugel = 0,52 cm3

b) VKugel

= 0,02 cm3

c) VKugel

= 4,19 cm3

16. Vermischte Aufgaben Kugel

Aufgabe 1Insgesamt stehen 10 262,54 m3 zur Verfügung.

Aufgabe 2Das Volumen würde sich um ca. 57,8 % verringern.

Aufgabe 3

a) b) c) d) e) f)

r 2,4 cm 10,2 m 7,1 dm 8,3 m 5 dm 7,9 m

OK 72 cm2 1 307 m2 630 dm2 869 m3 314 dm2 789 m2

VK 58 cm3 4 445 m3 1 487 dm2 2 409 m3 524 dm3 2 084 m3

Aufgabe 4V

Kugel = 523,6 cm3; O

Kugel = 314,16 cm2

VZylinder

= 785,4 cm3; OZylinder

= 471,24 cm2

VKegel

= 261,8 cm3; OKegel

= 254,16 cm2

Bei der Kugel und dem Zylinder wird verhältnismäßig wenig Oberfläche benötigt, um ein großes Volumen bereitzustel-len.

Aufgabe 5O

K = 1 414,0 m2

Aufgabe 6r = 7,69 cm

el = 8 379,

69 455 901

0 c

ung Kg

m3 8

1,5 m

ugel g

en.

K

VK 58

Aufgabe 4V

Ku= 5

VZ

cm 1

cm2 1 307

cm3 4 445 m

b)

m2 63

ca.

c) d

1 dm 8

57,8 % verringe

g.

Aufgabe 4A

O,25 dm

Aufgabe 5) Insgesa

Die

e beträgt 511 1

2

b) r = 3,94 cd) r = 2,39 m

5 932,5

m46 dm2 A

Da

Vermis

Aufgabe 1Insgesamt ste

fgabe

cm3

hte Aufgabeng

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Oberﬂ äche und Volumen von Pyra- mide, Kegel, Kugel