B. Elastomechanik 247

Der elastisch-plastische Zustand ist in irgend einem Plattenbereich dann vorhanden, wenn die Momente in diesem Bereich folgende Plastizitalsbedingung befriedigen :

Z. angen. Math. hlech. Bd. 30 Nr.A/9 Aug./Sept. 1950

Fur die gleichmafiige Biegung mit Torsion ergibt sich: 3

Die Halbhohe C der elastischen Zone ist in diesem Falle konstant.

Eine naherungsweise Integration der Differentialgleichung y“ = f (y) bei Druckbiegeproblemen

Von Joscf Weinhold in Holzgerlingen Die analytische Behandlung des auf Druck und Biegung beanspruchten ursprunglicli

geraden Stabes fuhrt auf eine Differentialgleichung von der Art y” =f(y), wenn die Form- anderungen im elastisch-plastisehen Bereich liegen. Unter den Voraussetzungen der technischen Biegungstheorie folgt fur konstante Langsspannung PIP im Stab (s. Bild 1) in der Regel ein einsinnig gekrummter Verlauf y”-y, wie es Bild 2 schematisch zeigt. Jeder Ldsung fur die beispielsweise hier in Betracht gezogenen Grenzbedingungen

(1) y (z = 0) = y1, y’ (x = I) = 0 . . . . . . . . . . . . entspricht eine mogliche Gleichgewichtsfigur der elastischen Linie y= y (z). Von den moglichen Gleichgewichtszustanden is t hier hauptsachlich der indifferente, ,,kritische“ Gleichgewichts- zustand von Interesse. Fur diesen hat die zweckmailjigerweise als Unbekannle des Problems gewahlte Stablange Z einen Hochstwert, den es zu beslimmen gilt.

I---&- 1

Biid 1. Biegelinie schematisch Bild 2. Verlauf von ytr-y Bild 3. Biegelinie aus zwei Asten

Die exakte Losung dieser Aufgabe ist - soweit bekannt - bisher nur fur den ideal- plastischen Formanderungszustand und den Rechtecksquerschnitt, sowie fur den Kreisringquer- schnitt durchgefuhrt wordenl). In allen anderen Fallen ist man noch auf Naherungsverfahren angewiesen, deren an Handder eben genannten exakten Losungen zu ermittelnde Fehler erlieblicli sein konnen. Scharfere, zugleich mit einem tragbaren Aufwand zu bewaltigende Naherungs- verfahren sind aus verschiedenen Grunden etwiinscht. Es ist fur die praktische Anwendung derzeit erforderlich, die exakten Werte mit einer Genauigkeit von Zehntelprozenten eingrenzen zu konnen. Man kann dann z. B. aus dem Vergleich zwischen Rechnung und Versuch schlieiljen, ob und in welchem Ausmailj sich vereinfachende Annahmen der Theorie auswirken.

Die bisher meist angewandten Naherungsverfahren von Ro< - B r u n n e r und H a r t m a n n ersetzen ins Analytische ubertragen den Verlauf y”-y durch je ein. Geradenstuck, nach Bild 2. Eine erste Verbesserung liefert die S e h n e l . Die zugehorigen Naherungskurven fur die elastische Linie sind sin-cos-Linien, mit dem Scheilel bei z=Z. Es liegt nahe, den Verlauf y”--y zur

l) Siehe L. v. Wii l le rs tor f f , Bsitrage zur Frage der Traglasten auBermittig gedriickter Stabe bei ideal-plastischer Arbsitslinie unter b-sonderer Berucksichtigung des Kreisringquertwhnittes. Bericht des Ingtitutes fur Festigkeitslehre und Festigkeitspriifung an der Deutschen Techn. Hochschule Briinn, .Veroff. in der Rsihe Dzutsche Luftfahrtforschung, FB Nr. 1912. Dieser Bericht enthalt auch die einschlagige Literatur, bis etwa 1944.

Z. angew. Math. Mech. Bd. 30 Nr. 5/9 Aug./Sept. 1950 248 B. Elastomechenik

-- weiteren Verbesserung durch zwei Sehnenzu erselzen, in Bild 4 durch den Streckenzug 13 3 2 . Die naherungsweise Biegelinie besteht jetzt aus zwei sin-cos-Asten, die bei x3 (s. Bild 3) entspre- chend dem frei gewahlten y3 mit gleicher Ordiuale und Tangente ineinander ubergehen. Mit den schon erwahnten Grenzbedingungen (1) ergeben sich dann die nachstehendh Bestimmungs-

gleichungen fur die unbekannte Gleichgewichts-Stablange I :

!!+ - cos 2Ul3 x3 = 0 (21,

( 3 )

. - (4). Y nlit wtl3= L3 und w s 2 = - - -

wI3 sin w13x3

Y:' wS2 (E-x3) = arc. c.os +, . . . . . . Yz

I 1 I 1 @ ?/s -!/.a

l /n - 1/'1 YJ' !!3-Y1 ?/Z-Y3

5

Fur gleiclibleibende Werte y1 und y3, aber fur verschiedene Annahmcn von y,sind diese Gleichungen an Hand des Zusnm- menhanges y"-y durch Probieren jeweils nach 1 aufziilosen

unti Z,,, als die ,,kritische" Lange aufzusucfien. Man erhalt so -wie leicht einzusehen ist -einen zu kleinen Wert von I,,,,. Wahlt man andcrerseits statt der Selinen in Bild 4 die T a n g e n t e n - s t u c k e % und als Ersatz fur den tatsachlichen Verlauf y r r - y , dann folgt in gleicher Weise wie schon beschrieben ein zu grofier Wert von I,,,. Diese beiden Naherungswerte schlielkn den genauen Wert bei den durchgefuhrten Rechnurigen mit einer Schranke von Zehntelprozenten rill. Zum Vergleich seien die Fehler der einzelnen Xaherungsmethoden angegeben, wie sie bei der Berechnung der kritischen Lange eincs Stabes von rechteckigem Querschnitt aus idealplastischem Werkstoff folgrn, wenn die mittlere Druckspannung gleich der halben FlielJspannung ist und die Endkrgfte in der Entfernung von einem Zwolftel der Querschnittshohe auflermittig angreife,n. Der genaue Wert dcr auf den Tragheitradius i bezogenen krilisclien Stablange ist dabei

K Bild 4. Einschrankung des Verlaufer

von g'1-g

lnmx ( I , = = 1,0520 z YE=. E ist der Elastizitatsmodul, ISF dic Fliefispannung.) 'A

Methode 1 Hartmann Eine Sehne Zwei Sehnen Exakt Zwei Tangt. Rag-Brunner - Fehler v. H. 1 - 2,14 - 1,85 - 0,62 5 0 + 0,lT + 2,40

Variationsmethoden zur praktischen Losung von ebenen und raumlichen Spannungsproblemen l)

Von Udo Wegner in Heidelberg Bei vielen Differentialgleichungen der Physik gelingt es einfach ein vollstandiges, System

von partikularen Losungen anzugeben. Die Bestimmung der Konstanten bei linearer Super- position der Losungen zwecks Erfiillung der vorgegebenen Randbedingungen macht in vielen Fallen uniiberwindliche Schwierigkeiten. Die bisher verwendeten Methoden zur Anpassung an die Randwerte beruliten darauf, entweder ein endliches, lineares Aggregat von Partikular- losungen an einzelnen Punkten streng den Randbedingungen genugen zu lassen oder die Rand- bedingungen ,,im Mittel" zu approximieren, Gewohnlich verwandte man das quadratische Mittel dabei. Die erstgenannte Methode ist praktisch nur bei partiellen Differentialgleichunge n 2. Ordnung und bei Benutzung von sehr vielen Randpunkten brauchbar. Die zweite Methode entbehrt der physikalischen Rechtfertigung und kann sogar - besonders bei unendlichen Grund- intervallen - zu physikalisch falschen Schlussen fiihren *). Wir werden im folgenden zeigen, dal3 man den Randbedingungcn bei den verschiedensten ebenen urid raumlichen Elastizitats- aufgaben vollig aquivalente Variationsprobleme zuordnen kann, wodurch cs gelingt, gule und sehr einfach zu erzielende Approximationen fur die Randaufgaben zu erhalten Die Methoden sind nicht nur auf Elastizitatsprobleme beschrankt, sondern gelten auch fur allgemeinere ellip- tische partielle Differentialgleichungen. Die Form der Gewinnung des zu den Randbedingungen aquivalenten Variationsproblems ist die folgende : Man stelle zur Yorgegebenen Differential-

1) Eine ausfuhrliche Darstcllung erscheint im Ingenieur-Archiv demniichst. a) Siehe E. F r e u n d 1 i c h , E. 11 o p f , U. W e g n e r : On radiative equilibrium, (Monthly Notices

Vol. 88. p. 138, 1927) sowie die dort zitierten Arbeiten der beiden letztgenannten Verfasser. 9 Siehe dazu U. W e g n e r : Bemerkung zur Usung von Elastizitiitsproblemen mit vorgegebenen

Ritndverschiebungen bei Scheiben. (Z. angew. Math. Mech. Bd. 29 (1949), S. 23-25) und die dort angefuhrten Arbeiten des Verfassers.