Vol. VIII, 1957 355

Eine Versddirfung der isoperimetrisdmn Ungleichung in der hyperbolisdmn Ebene

Von D. OnTaAl~l~ in Mailand

Die Anzahl W der einen ebenen konvexen Bereieh treffenden Geraden s t immt in der euklidischen, sph~risehen und hyperbolisehen Geometric bekanntlich mit dem Mt~KOWSl~ischen Umfang U iiberein. Fiir be]iebige abgeschlossene Mengen gilt hin- gegen allgemein

(1) W ~_ U .

Ersetzt man den Umfang in der isoperimetrisehen Ungleiohung durch die Anzahl der treffenden Geraden, so erh~Llt man mithin eine Versehiirfung, die in der hyperbolischen Ebene (Kriimmungsmaft ~ = - - 1) die Gestalt

(2) w 2 >= F(4~ + F)

annimmt. Dabei bezeiehnet F das LEBESC, VE-MaI~ der Menge.

Es ist das Ziel dieser Note, ffir die beiden Ungleichungen kurze Beweise zu geben. Wir merken dazu an, daft der Beweis fiir (1) ~uch in der euklidischen und sphgrischen Geometrie Giiltigkeit behglt. Der Beweis fiir (2) bleibt ebenfalls noch fiir die ent- sprechende Ungleichung in der euklidischen Ebene unmittelbar richtig; die Qber- tragung auf die Sphgre stSftt hingegen auf wesentliche Sehwierigkeiten. Da W in der euklidischen Ebene bis auf einen festen Faktor mit dem Quermaftintegral iiber- einstimmt, und der euklidische Fall damit schon mehrf~ch behandelt worden istl), wird auf seine ErwAhrmng im weiteren Verlauf verzichtet.

1. Die Ungleiehung (1). Wit stellen zungchst die Definitionen ftir die FunktionMe U und W auf. Wie auch weiterhin beziehen sieh dabei alle Aussagen auf die hyper- bolische Ebene, so daft unter einer Geraden eine Gerade der hyperbolisehen Ebene zu verstehen ist und alle Abstgnde in der hyperbollschen Ebene gemessen sind.

Stellt A, die Menge der Punkte dar, die yon der beschrgnkten, abgeschlossenen Menge A keinen grSfteren Abstand als ~ > 0 besitzen, so wird der Mi~KOWSKIsehe Umfang durch die Formel

(3) U = ]im inf 1 (F(A~) -- F(A)) v---)-O

definiert.

a) Vgl. etwa: D. O ~ A ~ , Ungleichungen zwischen den Querma~integralen besehriinkter Punktmengen. Math. Ann. 1~~ 265--276 (1952).

3 5 6 D. OHMANN ARCH. MATH.

Es bezeichne P den beliebig gewiihlten Ursprung und h den Abstand irgend einer Geraden g von P. Als Pol der Geraden g werde derjenige Punkt H auf g angesprochen,

der yon P den Abstand h besitzt, womit iibrigens die gerichtete Strecke P H in H

auf-g senkrecht steht. Weiter sei ~v der Winkel, den P H mit einer festen von P aus- gehenden Halbgeraden einschlieBt. Bei Benutzung der hyperbolischen Funktionen gelten dann die folgenden bekannten Formeln fiir die Dichte yon g bzw. H :

dg = Cos h d~o dh, d H = Sin h d T dh .

Daraus folgt dg = Ctg h dH. Gibt A0 nun die Menge der Pole H an, deren zugeordnete Geraden mit A Punkte gemeinsam haben, so gewinnt man fiir die Anzahl der A treffenden Geraden die Darstellung

(4) IW ~-- f Ctg h d H . Ao

�9 Da A0 mit A besehr/~nkt und abgeschlossen ist, ist die Existenz des auftretenden Lv, BEsGc~-Integrals sichergestellt.

Zum Beweis der Ungleiehung (1) stelle A zun~chst eine Menge dar, deren Rand sich aus endlich vielen konvexen Bogen zusammensetzt. Man kann dann A derart durch ein Polygon A' ~ A approximieren, dab U(A') -- U(A) < e bei vorgegebenem

> 0 ausf~llt. Hat man nun die Anzahl der eine Strecke der L~nge s treffenden Geraden zu W = 2 s erreehnet, so kann man mit Rficksicht darauf, dab fast alle A' treffenden Geraden den Rand yon A' an wenigstens zwei Stellen durchsetzen, in ge- 1/~ufiger Art erschlieBen, dab W(A' ) ~ U(A') gilt. Dies iibertr~gt sieh wegen der Monotonie des Funktionals W m i t e --> 0 unmittelbar auf A selbst.

Bei beliebiger abgeschlossener Menge A 1/~13t sich die Definitionsformel (3) gemi~g

70 :> 0 so wi~hlen, dab die Beziehung 1 Zo (F(A~o) -- F(A)) < U(A) -k- e (0 < e < 1)

besteht. Sodann sehliegt man A derart dureh die Vereinigungsmenge B von endlieh 1 - - s

vielen Kreisen ein, dag B~, c A~.(T 1 = (1 -- e) 70) gilt. Es folgt ~ - (F(B~.) -- F (B) )

< U (A) + e. Da sieh der Rand yon B~ aus endlieh vielen Kreisbogen zusammen-

setzt, erschlieBt man zudem F ( B ~ , ) - F ( B ) = f U(B~)d~. Es gibt daher einen 0

Weft 7' auf (0, ~l), fiir den F(B~,) -- F(B) ~ vl U(B~,) ausfiillt. Damit ergibt sieh ( 1 - - e) U(B~,) <~ U(A) + s. Nun gilt naeh obigem W(B~,) <= U(B~,), so dab aus W(A) < W(B,,) sehon (1 -- e) W(A) < U(A) + e folgt, e -+ 0 liefert UngMchung (1).

2. Die Ungleichung (2). Naeh Einfiihrung des Defizits A - V 4 ~ + W 2 -- (2 re+F) lassen wir aus sparer ersichtlichen Griinden an die Stelle yon (1) die vSllig i~quivalente Ungleiehung z] >= 0 treten und zeigen zun~tchst, dag man sich beim Beweis dieser Un- gleichung auf die Betraehtung der in der Klasse Kn. ~ zusammenzufassenden Mengen beschranken kann, die bei festem n und a sieh aus h6chstens n konvexen Bereichen zusammensetzen und in einem Kreis des Radius ~ Platz haben. Dazu erinnern wir daran, dag sich jede beschr~nkte abgesehlossene Menge A als Durchsehnitt einer

Vol. VIII, ] 957 Eine Versch/~rfung der isoperimetrischen Ungleichung 357

monoton fallenden Folge yon Kreismengen An darstellen l~Bt:

A-~c-'~A~ ( 2 = 1 ,2 . . . . ; A ~ + l c A x ) .

Ffir die Polmengen A0, A~.,o grit dabei die entsproohende Beziehung

A0----(-~A~,0 (A~+l,0 c An,0) �9

Nach gel~ufigen Eigenschaften des L~BESGUEschen MaBes und LEBESOUEseher Inte- grale folgt F ( A ) ~ lira F(A~) und bei Benutzung yon (4) auch W ( A ) ~ lim W(A~),

2--~ co )t-+oo

so dab auf A (A) ~ lira A (A~) geschlossen werden kann. Da sieh jeder Menge Ax

derart ein Paar n, (r zuordnen l ~ t , dab A~ e Kn, ~ besteht, ist unsere Behauptung damit erwiesen.

Es wird nun weiter gezeigt, da]~ eine Menge A e Kn.o existiert, ffir die A sein mit An,~ zu bezeichnendes Milfimum auf Kn. o amfimmt. Dazu sei Af, e Kn. ~ (/~ ---- 1, 2 . . . . ) eine Folge, fiir die lira A (A~,) ---- ,dn, ~ besteht. Nach einem bekannten Aus-

p-->oO

wahlsatz~) k6nnen wir dann eine Teilfolge ausw/~hlen, die gegen eine abgeschlos- serle Menge A konvergiert. Diese gehSrt ersichtlich auch der Klasse K,~,~ an. Da 2' und W und damit auch A v o n den Mengen der IGasse K, , o stetig abhgngen, ist zu- dem A (A) ~ An,~,.

Es darf vorausgesetzt werden, dab die Extremalmengen der Klasse Kn, o aus hSchstens n konvexen Bereichen positiven Inhalts bestehen, die unterein~nder paar- weise punktf remd sind. Tats/iehlich kann A n~mlich nicht zunehmen, wenn man Bereiche verschwindenden Inhal ts wegl~Bt oder zwei nicht pmfl~tfremde Bereiche durch ihre gemeinsame konvexe Hiille ersetzt. ~ b e r solehe mit A ~ zu bezeichnenden Extremalmengen beweisen wir weiter unten die folgenden Aussagen:

(a) Tritt im Rand R der konvexen Higlle ~4 yon A ~ ein Kreisbogen au/, so gi l t / i ir dessen geoddtische Kri~mmung

+ (w = w(A0)) ( 5 ) 7 ~ v 7 " "

(b) Die lconvexe His A von A ~ besitzt lceine Ecken. (c) Der JDurchschnitt R ' ~ A ~ n t~ tier Extremalmenge mit dem Rand R ihrer Icon-

vexen Hiille besteht aus endlich vielen zusammenhSngenden Sti~c]cen, die sich entweder aus hSchstens drei Kreisbogen zusammensetzen oder durch Strectcen und isolierte Punlcte dargestellt werde~.

Mit Hilfe von (5) und der GAuss-BoNNnTschen Formel, die wegen (c) anwendbar ist, 1/~Bt sich die Giiltigkeit der in Frage stehenden Ungleichung A (A ~ ~ 0 jetzt

sehr einfach nachweisen: Mit Rficksicht auf (b) gilt zun/~chst f ~ dt = 2zr + F ( A )

(t = Bogenl~nge auf R). Da die geod/~tische Krfimmung ~ nur auf R' q R positiv ist, folgt aus (5)

(6) L l / 4 Z ~ q - - ~ ~ W(2~ -b F ( A ~ ,

wobei L die Gesamtli~nge yon R' angibt. Bezeichnet n (g) ~ 2 sodann die Schnittzahl der

~) Vgl. Hxvs~)o~Fs ,,Mengenlehre" S. 150.

3 5 8 D. OHSIANN ARCIt, MATH.

Geraden g mi t R ' und ist G' die Gesamthe i t der R' t ref fenden Geraden, so h a t m a n

L = 1 2 f " n(g) dg und f inder daher L <~ W, womi t sich aus (6) A (A ~ ~ 0 ergibt .

Es folgen die Beweise ffir die Hilfssgtze (a) bis (c): (a) Dem offenen Kre i sbogen C c R des R a d i u s a o rdnen wir den C in e inem P u n k t

X s C t ang ie renden Kre i s K ~ C des Rad ius r ~ a zu und be t r a c h t e n die zu K konzent r i schen Kreisc K e des Rad ius p < r. Bei h inre ichend kle inem r - - p schneiden d iese C in jeweils zwei Punk ten , wodureh ein Tei lbogen S o au f K s def inier t wird, der ein den P u n k t X en tha l t endes Stf ick von A ~ ab t r enn t . Es is t zu bemerken, dal~ S o ganz dem R a n d der konvexen Hii l le der ve rb le ibenden Res tmenge A e angeh6r t .

W i r d der Ursprung mi t dem M i t t e l p u n k t der K(, identif izier t , so ers ieht man nun, daf~ die Menge As_ ~ (E ~ 0) sieher n ich t von den Geraden getroffen wird, deren Pole H dem Teil D e yon A e angeh6ren, de r zur Erzeugung vQn Ao_ ~ dureh So_ ~ abzu t r ennen is t und der im wesent l ichen die Ges ta l t eines Kre i s r ingausschn i t t s besi tz t . Naeh

Fo rme l (4) folgt daher W e - - We_ ~ ~ . / C t g h d H (W o = W (AQ)), woraus sieh m i t D e

�9 , ~_ e - ~ 0 die Abseh/ t tzung Wo, tnf => %.Ctg ~) ergibt , in der Wo, int. ffir lira inf (W o - - We~ )

(e > O) s t eh t und % die L~nge yon S o angibt . N i t der ffir den I n h a l t herzu le i tenden dFo

F o r m e l d~ = % resul t ie r t die Ungle iehung

�9 { }% Ctg o ) (7) AQ, In f ~ 8 0 ~V4gf i -~r ~ - ] . .

i A ~ kann die Ex t r ema le igenscha f t jedoeh n ieh t besitzen, wenn Ae, tn r > 0 a u f e inem ]n t e rva l l (~), r) bes teht . D a r > a beliebig gewi~hlt werden kann, is t mi th in auf

W Ctg a <= y 4 u 2 ~- w ~ zu schlieBen, was wegen Ctg a = ;v mi t (5) g l e i chbedeu tend ist.

(b) Man treffe die Voraussetzung, dab ,4 einen E c k p u n k t X besitze, und wende das un te r (a) beschr iebene Verfahren an. Dabe i is t hier yon einem Kre is K aus- zugehen, der durch X h indurchgeh t und dessen M i t t e l p u n k t au f der Ha lb i e r enden des Innenwinke ls der Ecke liegt. Man wird dann wieder zur Beziehung (7) ge,frihrt,

( 11 /4~ i -~ W "2) einen W i d e r s p r u c h aus der m a n dureh geeignete ~Tahl yon r Ctg r ~ W

zur Ex t r ema le igenscha f t yon A ~ her le i ten kann.

(c) Zun~chst e n t n i m m t m a n der anfangs e rw~hnten Eigenschaf t der Mengen A ~ d a ] R ' aus nur endl ieh vielen zus~mmenh~ingenden Str icken bes teht . Es sei C ein solches, einen gek r i immten Bogen dars te l lendes Sti ick. C s te l l t d a n n einen Teil des Randes eines der konvexen Bereiche dar , aus denen sieh A ~ zusammense tz t . Dieser Bereich werde mi t B ~ bezeiehnet . En th~I t C einen Tei lbogen C', de r v o n d e r Per iphe- rie K' des Umkre i ses K yon A ~ einen mi t (~ zu beze ichnenden pos i t iven A b s t a n d besi tz t , so greifen wit auf C' zwei P u n k t e X, Y heraus , fiir die die L~nge l des

Bogens C O = X Y kleiner als (~ ausf~ll t und b i lden den Tei lbogen C o = X Y durch

Spiegelung an der Mi t t e l senkrech ten der Verb indungssehne S = X Y auf den zu C o symmet r i schen Bogen C 1 ab. De , lurch m5ge B ~ in den Bereich B 1 und A ~ in die

Vol. VIII, 1957 Eine Verscharfung der isoperiraetrischen Ungleichung 359

Menge A 1 fibergehen. Wegen l(C ~ ~ (~ ist dabei siehergestellt, dab A 1 wiederum ganz auf K liegt.

Nun sei E die abgesch]ossene Halbebene, die durch die S enthaltende Gerade be- grenzt wird und die Bogen CI(j ~ 0,1) nicht enth~lt. Weiter bezeiehne G die Menge der Geraden, die mit dem Durchschnltt A ~ o E ~ A 1 o E Punkte gemeinsam haben, und GI die Menge der Geraden, die CJ, aber nieh~ gleiehzeitig auch S treffen. Man erkennt, daI~ die Vereinigungsmenge G u G~ die Gesamtheit der AI treffenden Ge- fallen ~4edergibt. Wegen der Konvexiti i t yon B ~ ist der Dnrehschnitt G o G o zudem sicher leer. Fiir die durch Absolutstriche zu kennzeichnende Geradenanzahl gilt daher IGI + IG~ ~ W(A~ Andrerseits hat man 1GI -~ IGll ~ W(A1), so dab sieh aus I G~ = I Gll die Ungleichung W(A 1 ) g Y ( A O) ergibt.

Beim Auftreten eines nichtkonvexen Bereiches B 1 kSnnte man diesen durch seine konvexe Hiille ersetzen und dadurch eine Menge A 2 ~ I(,. ~ erhalten, fiir die ersieht- lich F(A~) ~ F(A~ W(A ~) g W(A ~ und mibhin A (A 2) ~ zJ (A ~ besttinde. Damit wfirde sieh aber ein Widerspruch zur :Extremaleigenschaft yon A ~ ergeben. Um die daher zu folgernde Konvexit~t yon B 1 sicherzustellen, mfissen die Winkel, die die Sehne S in ihren Endpunkten mit den wegen (b) eindeutig best immten T~ngenten an A bildet, einander gleich sein. Bei beliebiger Variation der Punkte X und Y

(unter Einhaltung yon l (X~-Y) ~ ~t) ist das jedoch nur dann gewi~hrleistet, wenn C' einen Kreisbogen darstellt.

Man folgert, dab jedes Stfiek von C, das frei yon Kon~aktpunkten mit der Peripherie K ' ist, einen Kreisbogen bfldet. Zwischen zwei Kontaktpunk~en muB dieser mit Riieksicht auf (b) zudem mit K ' zusammenfallen, womit C nur aus h6chstens drei versehiedenen Kreisbogen bestehen kann und (c) mithin bewiesen ist.

Eingegangen am 6. 3. 1957