Einführung in die Meteorologie

- Teil I: Einführung -Clemens Simmer

Meteorologisches InstitutRheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn

Sommersemester 2005Wintersemester 2005/2006

Gliederung der Vorlesung

AllgemeinesI EinführungII Meteorologische ElementeIII Thermodynamik der Atmosphäre-----------------------------------------------------IV Dynamik der AtmosphäreV Synoptische MeteorologieVI Allgemeine Zirkulation und Klima

I Einführung

I.1 Physikalische EinheitenI.2 Meteorologische ElementeI.3 Der Feldbegriff in der MeteorologieI.4 Vektoren-Operationen und AbleitungenI.5 Die meteorologischen Grundgleichungen I.6 Skalenbetrachtungsweise

I.1 Physikalische Einheiten

• SI-Einheiten• Abgeleitete SI-Einheiten• Vielfache und Bruchteile von Einheiten• Dimensionsanalyse

SI-SystemWenn man physikalische Gleichungen auswertet, d.h. mit ihnen rechnet (z.B. das 2. Newtonsche Axiom Kraft = Masse x Beschleunigung oder F=ma, so müssen alle Variablen und andere Terme im selben Einheitensystem eingegeben werden.In der Meteorologie benutzt man dabei meist das sogenannte SI-System (Système International d’Unités).

cdCandelaLichtstärke

molMolStoffmenge

KKelvinTemperatur

AAmpereel. Stromstärke

sSekundeZeit

kgKilogrammMasse

mMeterLänge

SymbolNameBasisgröße

Abgeleitete SI-Einheiten

Aus den Basisgrößen können weitere SI-Einheiten abgeleitet werden:

V = WA-1 = kg m2 s-3 A-1Voltel. Spannung

W = Js-1 = kg m2 s-3WattLeistung (Energie/Zeit)

J = N m = kg m2s-2JouleEnergie (=Arbeit=KraftxWeg)

Pa = N m-2 = kg m-1s-2PascalDruck (=Kraft/Fläche)

N = kg ms-2NewtonKraft (=MassexBeschleunigung)

Hz = s-1HertzFrequenz

m2

m3

QuadratmeterKubikmeter

FlächeVolumen

SymbolNameabgeleitete SI-Einheit

Vielfache und Bruchteile

Für Vielfache der Basis- und abgeleiteten Einheiten gelten folgende Bezeichnungen:

pPico10-12daDeka101

nNano10-9hHekto102

Mikro10-6kKilo103

mMilli10-3MMega106

cZenti10-2GGiga109

dDezi10-1TTera1012

SymbolNameBruchteilSymbolNameVielfaches

Einheitenanalyse• Überprüfung der grundsätzlichen Gültigkeit von Gleichungen

x=y nur dann physikalisch prinzipiell sinnvoll (Voraussetzung), wenn gilt [x]=[y], wobei [ ]=„Einheit von“

• Auffinden physikalischer GesetzeBeispiel: Wir vermuten, dass die Reibung R (= „negative“ Kraft) wahrscheinlich abhängt von der Geschwindigkeit v, der Luftdichte Lund dem Querschnitt des Körpers Q – aber wie genau, wissen wir zunächst noch nicht. Aber wir können dann allgemein postulieren:

R=f(v, Q, L) mit f(y) „Funktion von y“ woraus für die Einheitenmit dem Ansatz R=CvmQnqL

o (C dimensionslose Konstante) folgt:kg m/s²kg1 m1 s-2=(m/s)m(m²)n(kg/m³)o

Aber es muss gelten:1=o siehe Potenz von kg1=m+2n-3o siehe Potenz von m-2=-m siehe Potenz von s

Es folgt o=1 und n=2, durch Einsetzen dann m=1,womit das Reibungsgesetz lauten könnte: R=Cx LxQxv² mit C einer

dimensionslosen Konstante.

I.2 Meteorologische Elemente

• Meteorologische Elemente bezeichnen die wichtigsten variablen Maßzahlen, die ein Luftelement (z.B. 1 m³ Luft) beschreiben (z.B. Temperatur, Druck, Wind, etc.)

• Meteorologische Elemente können Skalare (nur ein Wert, z.B. Temperatur) oder Vektoren (drei Werte, z.B. der Wind mit den drei Richtungskomponenten) sein.

• Es gibt auch komplexere Elemente (z.B. Schubspannungstensor) die durch Matrizen (i.a. 3x3 Größen) beschrieben werden müssen.

Einige wichtige Elemente

Reibungsehr variabelkg/(ms²)Schubspannungs-

tensor (T)

F

verschieden

T

ρ

p

Symbol

Wärmequelle0 - 1000W/m2Strahlungsfluss-dichte (S)

Impuls der Luft0 - 20m/sWindgeschwin-

digkeit (V)

Wolken, Niederschlag,

EnergievariabelverschiedenLuftfeuchte (S)

Wärme-energie288,15KLufttemperatur (S)

Masse, Trägheit1,2kg/m3Luftdichte (S)

Antrieb für die Luftbewegung101325

kg/(ms2)

= PaLuftdruck (S)

Bedeutungungefährer

Wert in Bodennähe

SI-EinheitElement

v

Übungen zu 1.1 bis 1.2• Überprüfe die Konsistenz folgender Gleichungen in Bezug auf

Art der Variablen und ihre physikalischen Einheiten

• Die Zentrifugalkraft FZ eines Teilchens auf einer Kreisbahn hängt offenbar von seiner Masse m, seiner Geschwindigkeit v und vom Radius R des beschriebenen Kreises ab. Zeige mit der Einheitenanalyse, dass gilt:

FZ = C m R-1 v², mit C dimensionslose Konstante

Druck, konstantem beizität Wärmekapaespezifisch eflussdichtStrahlungs

, g,chleunigunSchwerebes mit

1 (c) (b) (a)

J/(kg K)][c

W/m²[F]

[x][dx]g

dtdT

cdzdF

gdzdp

vTp

p

p

==

=

−=−==ρ

ρρ

I.3 Der Feldbegriff in der Meteorologie

Alle meteorologischen Elemente haben– an jedem Punkt der Atmosphäre, gegeben durch

x Koordinate in Ostrichtung (Richtungseinheitsvektor )y Koordinate in Nordrichtung (Richtungseinheitsvektor )z Koordinate in der Vertikalen (Richtungseinheitsvektor )

– zu jeder Zeit teinen Wert, also z.B.

),,,(),,,(),,,(

),,,(),,,(

),,,(

==

==

tzyxw

tzyxv

tzyxu

tzyxvtzyxv

w

v

u

vv

tzyxTT

ii

x

z

y

i

j

k

k

j

i

Vektoren- Schreibweisen im kartesischen Koordinatensystem-

100

, 010

, 001

mit

≡

≡

≡

++=≡

≡

kji

kajaiaa

a

a

a

a zyxi

z

y

x

a

x

z

y

i

j

k

n werden verschobebeliebigdaher können undAufpunkt keinen z.B. alsohaben Sie

nichts.sonst -Drehsinn)(oder Richtung eine und Länge einehaben Vektoren nachsenKoordinateder Richtungin ektoren neinheitsvKoordinate

nachsenKoordinate entlang hnitteAchsenabsc ,,

k, j, i

a zyx

Kontinuität Diskretisierung

uvp,T

w

yz

x ∆x

∆y

∆z

t =t0= const

Alle meteorolgischen Elemente, ob Skalar, Vektor, oder Tensor, sind als kontinuierlische Felder zu betrachten. Meist muss man aber diese Felder in Zeit und Raum diskretisieren

• bedingt durch eine endliche Anzahl von Messungen, oder• zur Erzeugung von numerischen (Computer-)Modellen.

T(z=200m) South

Beispiel: Schnitt durch ein zeitabhängiges dreidimensionales Wind- und Temperaturfeld

Stromlinien

Juni, 2003,11 – 19:30 UTC

Aufl. 30 min69 x 69 x 3 km3

Lindenberg Mit Temperatur in 200 m Höhe

I.4 Vektor-Operationen und Ableitungen

• Skalar-Produkt• Vektor-Produkt• Nabla-Operator• Divergenz• Partielle Ableitung• Totale (individuelle Ableitung)

Vektor-Operationen- Multiplikation mit einem Skalar a -

=

====

z

y

x

z

y

x

ii

av

av

av

v

v

v

aavavavva

• Der Vektor bleibt ein Vektor.• Jedes Element des Vektors wird einzeln mit dem Skalar

a multipliziert.• Der Vektor verlängert (oder verkürzt) sich um den

Faktor a.• Konvention: Bei der Multiplikation Skalar – Vektor

benutzen wir (wie bei Skalar – Skalar) keinen Punkt.

Vektor-Operationen- Skalar-Produkt (a) -

iii

iiiizzyyxx

z

y

x

z

y

x

vfvfvffvfvfv

f

f

f

v

v

v

vffv =≡=++=

⋅

=⋅=⋅

• Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar.• Es wird komponentenweise multipliziert, dann addiert.• Summenkonvention (Summation über mehrfach auftauchenden

Indices)• Es ist maximal bei parallelen Vektoren und verschwindet, wenn diese

aufeinander senkrecht stehen.• Konvention: Das Skalarprodukt wird durch einen Multiplikationspunkt

(·) gekennzeichnet. f

αv

αcosfvfv =⋅

Vektor-Operationen- Betrag (Länge) eines Vektors und das

Skalar-Produkt (b) -

≡=++=

===⋅=

iiiiizyx vvvvvvv

vvvvvvv

222

cos α

Vektor-Operationen- Vektor-Produkt -

bbaabababa

baba

baba

baba

baba

babakbabajbabai

bbb

aaa

kji

axbba

xyyx

zxxz

yzzy

ijkkj

kjijkkjijk

xyyxxzzxyzzy

zyx

zyx

⊥×∧⊥×=×

−−−

=

=≡=

−+−−−==−=×

, sin ,

sonst) azyklisch, (zyklisch,k j,i, wenn 1,-1,0)(mit

)()()(

,

α

εεε

• Das Vektor-Produkt zweier Vektoren ist wieder ein Vektor.• Es verschwindet bei parallelen Vektoren und ist maximal, wenn die beiden

Vektoren senkrecht aufeinander stehen.• Mit den Multiplikatoren (hier Reihenfolge beachten) bildet das Produkt zusammen

ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel).• Das Vektorprodukt ist der 0-Vektor, wenn die beiden Vektoren parallel sind.• Konvention: Das Vektor-Produkt oder Kreuz-Produkt wird durch ein x

gekennzeichnet.

Die Ableitung oder der Gradient• Die Ableitung beschreibt z.B. die Änderung eines

Feldes eines meteorologischen Elementes– mit der Zeit, und/oder– entlang einer festgelegten Raumrichtung

• Die Ableitung meteorologischer Felder nach Raumkoordinaten oder nach der Zeit (wird auch als Zeitkoordinate bezeichnet) ist meist wichtiger als die Felder selbst (z.B. Druckgradient).

• Berechnung (Beispiel für Zeitableitung):

t

T

t

T

tT

tT

dtdT

Tt ∆

∆≈∆∆=

=′→∆ 0

lim

Partielle Ableitungen• Da die meteorologischen Elemente von vier

Koordinaten abhängen (x,y,z,t), muss man bei Ableitungen nach einer speziellen Koordinatespezifizieren, was mit den anderen Koordinatengeschieht.

• Hält man alle anderen Koordinaten bei der Ableitung nach einer speziellen Koordinate konstant, so nennt man dies partielle Ableitung, und schreibt ( sprich „del“):

zT

dzdT

yT

dydT

xT

dxdT

tT

dtdT

consttyxconsttzxconsttzy

constzyx

∂∂≡

∂∂≡

∂∂≡

∂∂≡

===

=

,,,,,,

,,

, ,

Bezeichnungen

Änderung des Wertes mit der Zeit an einem festen Ort (z. B. Thermometer in einer Wetterstation)

= lokalzeitliche Ableitung= partielle Ableitung nach der Zeit

Änderung des Wertes mit dem Ort entlang einer Raumkoordinatenrichtung (hier x, z.B. annähernd eine Temperaturmessung mit einem sehr schnellen Flugzeug) zu einer festen Zeit

= lokale (räumliche) Ableitung= partielle Ableitung nach einer Raumrichtung

tT

∂∂

xT

∂∂

Räumlicher Gradient – Nabla Operator= Zusammenfassung der räumlichen Gradienten in Richtung der

RaumkoordinatenachsenDer Gradient hat damit drei Komponenten, ist also immer ein Vektor:

Operator-Nabla mit , T

≡∂=∇∂=∇≡

=

∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂

z

y

x

ii

z

y

x

zTyTxT

TT

Der Gradient weist in Richtung der stärksten Zunahme der Größe. Sein Betrag (Länge des Vektors) ist die Größe der Ableitung in Richtung der stärksten Zunahme.Beachte: Es wird beim Gradient kein Punkt hinter dem Nabla geschrieben. Es ist ähnlich der Multiplikation zwischen Skala und Vektor.

In welche Richtung weist der Druckgradient(vektor) und der Temperaturgradient(vektor) in der Atmosphäre meistens?

Nabla Operator

T i

z

y

x

i

z

y

x

zTyTxT

T

T

T

T

TTT ∂=

=∇≠∇=∂≡

=

∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂

Beachte: Nabla ist ein (Vektor-)Operator, d.h. die Reihenfolge darf hier nicht vertauscht werden!

Nabla ist ein (Vektor-)Operator der nach rechts wirkt.Er ergibt nur einen Wert, wenn er links von einem Ausdruck steht. Steht er rechts von einem Ausdruck, so behält er seine Operatorfunktion bei (und „wartet“ auf Anwendung).

Divergenz eines Vektorfeldes- Skalar-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -

ii

z

y

x

vzw

yv

xu

w

v

u

vdivv ∂≡∂∂+

∂∂+

∂∂=

⋅

≡≡⋅∇

∂∂∂∂∂∂

x< 0 > 0 < 0

Die Divergenz quantifiziert das Zusammenströmen (Senke, negativ)und Auseinanderströmen (Quelle, positiv) eines Vektorfeldes.

y t=0

t=t1

Beachte die Reihenfolge!

zw

yv

xu

w

v

u

v

vzw

yv

xu

w

v

u

vdivv

z

y

x

ii

z

y

x

∂∂+

∂∂+

∂∂=

⋅

=∇⋅

≠

∂≡∂∂+

∂∂+

∂∂=

⋅

≡≡⋅∇

∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂

Rotation eines Vektorfeldes- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -

kjijkzyx

z

y

x

v

yu

xv

xw

zu

zv

yw

wvu

kji

w

v

u

vrotv ∂=

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

==

×

≡≡×∇ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂∂∂

ε

Der Rotationsvektor ist aus der Fließebene heraus gerichtet, und zwar so, dass die Strömung nach links dreht, wenn man entgegengesetzt zur Richtung des Rotationsvektors schaut.

L/4 L/2

Definition: Windgeschwindigkeit= Windvektor= Ortsversatz eines Luftvolumens p (parcel) über die Zeit

pro Zeiteinheit= zeitliche Änderung des Ortsvektors eines Luftvolumens

≡=

≡

==≡∆∆=≡

→∆w

v

u

x

z

y

x

dtd

rdtrd

tr

vv i

dt

dzdt

dydt

dx

p

p

p

tip

p

p

0lim

)( tr ∆∆

)(tr

rtrttr ∆+=∆+ )()(

0

Änderung von meteorologischen Elementen in bewegten Systemen (a)

• Betrachte die Temperaturänderung an einem mit Geschwindigkeit vF (F=Fahrrad) in Richtung s bewegten Thermometer mit der Zeit, dFT/dt

• dTF/dt hängt intuitiv ab von– der lokalzeitlichen Temperaturänderung T/t– von der Geschwindigkeit des Fahrrades vF und vom

räumlichen Gradienten der Temperatur in Fahrtrichtung sF

– beachte die passenden Einheiten!– überprüfe Gültigkeit an einem Beispiel– erweitere auf Geschwindigkeitsvektor für Fahrrad

FF

F

sT

vtT

dtdT

∂∂+

∂∂=

Änderung von meteorologischen Elementen in bewegten Systemen (b)

• Das Fahrrad kann sich in alle Richtungen x, y, z bewegen, d.h. seine Geschwindigkeit ist ein Vektor

• Bewegt sich das Fahrrad in x-Richtung, so wird entsprechend die gemessene Temperatur durch die Änderung der Temperatur in x-Richtung bestimmt, und analog für die anderen RichtungenWir können also anstatt

schreiben:F

FF

sT

vtT

dtdT

∂∂+

∂∂=

( )TvtT

T

z

y

x

w

v

u

tT

zTyTxT

w

v

u

tT

zT

wyT

vxT

utT

dtTd

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

FF

FF

FF

F

∇⋅+∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂

⋅

+∂∂=

∂∂∂∂∂∂

⋅

+∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

),,( FFFF wvuv =

Individuelle Ableitung dT/dt

Meteorologische Definition: Ersetze das Fahrrad durch ein Luftvolumen P, das mit dem Wind bewegt wird, also

TvtT

T

w

v

u

tT

tT

dtdT

z

y

x

zTyTxT

dtdzdt

dydt

dx

p

p

p

)( ∇⋅+∂∂=

⋅

+∂∂=

⋅

+∂∂≡

∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂

Individuelle Ableitung dT/dt

dt

rd

rT

tT

dt

tzyxdT

dt

trdT

dtdT p

p

pppp

⋅∂∂+

∂∂==≡

),,,(),(

,...

xT

xT

dt

dz

zT

dt

dy

yT

dt

dx

xT

tT

pw

p

pv

p

pu

p

p ∂∂≡

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

===

Alternative Ableitung: Betrachte die Temperatur eines sich bewegenden Luftvolumens. Allgemein hängt die Lufttemperatur von der Zeit und vom Ort des Luftpartikels ab, wobei auch der Ort (gegeben durch sineKoordinaten) von der Zeit abhängt. Beachte die Kettenregel:

TvtT

T

w

v

u

tT

tT

z

y

x

zTyTxT

dtdzdt

dydt

dx

p

p

p

)( ∇⋅+∂∂=

⋅

+∂∂=

⋅

+∂∂=

∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂

Interpretation

Tv

dtdT

tT

TvtT

dtdT

)( , )(term"Advektions"

Änderungichelokalzeitl

Änderungtotaleoder

leindividuel

∇⋅−=∂∂∇⋅+

∂∂=

Die Änderung z.B. der Temperatur eines sich mit dem Wind verfrachteten Luftvolumens lässt sich also formal in zwei Anteile aufspalten:

1. die lokalzeitliche Änderung (z.B. Messung eines feststehenden = stationären Thermometers

2. der sogenannte „Advektionsterm“. Der Name wird verständlich, wenn man die rechte Gleichung nimmt (lokalzeitliche Änderung) und annimmt, dass individuelle Luftteilchen ihre Temperatur nicht ändern (dT/dt=0). Dann beschreibt der Advektionsterm offensichtlich die lokale Änderung, die durch einen Temperaturgradienten, verfrachtet mit dem Wind (Advektion), erzeugt wird.

Übungen zu 1.3 bis 1.4 (1)• Ein kartesisches Koordinatensystem sei festgelegt durch die Konventionen: x-

Richtung zeigt nach Osten, y-Richtung zeigt nach Norden, z-Richtung zeigt nach oben. Wie lautet der Windvektor für einen Südostwind mit 10 m/s Geschwindigkeit und einer aufwärtigen Komponente von 1 cm pro Sekunde?

• Ein Luftvolumen sei zur Zeit t0 am Ort (x,y,z)=(1000m,500m,2m) und nach 10 Minuten am Ort (2500m,-1000m,3m). Schätze den Windvektor ab. Wie groß ist der Betrag der Windgeschwindigkeit? Wo wäre das Partikel nach der gleichen Zeit gewesen, wenn der Betrag der Windgeschwindigkeit 1,5 mal so hoch gewesen wäre bei gleicher Windrichtung?

• Berechne allgemein und für (u,v,w)=(10,sinx,0):

• Skizziere die Felder, bestimme die lokalzeitlichen und die individuelle Ableitung der Temperatur und die Divergenz und Rotation der Windfelder.

( )( ) ( ) ( )

( ) ∇×∇⋅∇∇

∇⋅⋅∇⋅∇

×∇⋅×∇⋅∇

vvvv

vvvvvv

vvvv

, , ,

, ,

, ,

222

KTKTsm

v

LyT

TTL

xv

vL

xv

v

v

10,15,288,10:mit

, und 00

2sin

b) und

0

2sin a)

100

10

0

0

0

===

−=

=

=

ππ

Übungen zu 1.3 bis 1.4 (2)• Der Wind weht konstant aus Westen mit 5 m/s. In der Luft nimmt bei fest

gehaltener Zeit von Südwest nach Nordost die Temperatur um 1 K auf 100 km ab. Die Luft selbst wird durch die Sonne und andere Effekte überall um 1 K pro Stunde erwärmt. Welche Änderung der Lufttemperatur zeigt ein Thermometer an einem festen Ort pro Stunde an?

• Ein Themometer an einem festen Ort misst eine Temperaturerhöhung um 1 K pro Stunde. Der Wind kommt aus Nord mit 10 m/s. Die Sonne erwärmt die Luft mit 2 K pro Stunde. Offensichtlich nimmt also die Lufttemperatur nach Norden ab. Um wieviel Grad pro 100 km nimmt die Temperatur nach Norden ab?

I.5 Meteorologische Grundgleichungen

• Physikalische Beziehungen zwischen den wesentlichen meteorologischen Elementen (Druck, Temperatur, Dichte, Feuchte und Wind) in Form von Gleichungen, die an jedem Ort in der Atmosphäre gelten

• Sogenannter „dynamischer Kern“ der numerischen Simulationsmodelle für die Atmosphäre die in der Meteorologie für die Wetter- und Klimavorhersage genutzt werden

• Die Meteorologischen Grundgleichungen setzen sich i.w. aus vier Erhaltungsgesetzen und der Zustandsgleichung für ideale Gase (Gasgleichung) zusammen.

Vier Erhaltungsgesetze

1. Impulserhaltung (Newtonsche Axiome: Masse x Beschleunigung = Summe der angreifenden Kräfte)

2. Gesamtmassenerhaltung: Erhöht sich die Dichtean einem Ort, so muss Masse aus der Umgebung dorthin geflossen sein.

3. Wassermassenerhaltung: Analog zu 2., jedoch eingeschränkt auf Wasserdampf. Außer zum Ausgleich durch Massenfluss kann es auch zu Phasenumwandlungen kommen

4. Wärmeenergieerhaltung: Eine Temperaturänderung wird hervorgerufen durch Druckabnahme, Strahlungsumwandlungen und/oder Phasenänderungen des Wasserdampf (Kondensationswärme)

Meteorologische Grundgleichungen- 5 (7) Primitive Equations -

1-3 Bewegungsgleichung (Navier-Stokes Gleichung)-> Wind (Vektor!=3 Gleichungen)

4 Kontinuitätsgleichung-> Luftdichte

5 Erster Hauptsatz der Wärmelehre-> Lufttemperatur

6 Haushaltsgleichung des Wasserdampfes-> Luftfeuchte, Wolken

7 Zustandsgleichung der Luft-> Luftdruck

Überblick - Grundgleichungen

zFr

yFr

xFr

fugzp

wvtw

dtdw

fuyp

vvtv

dtdv

fwvxp

uvtu

dtdu

,

,

,

cos21

)( .3

sin21

)( .2

)cossin(21

)( .1

+Ω+−∂∂−=∇⋅+

∂∂=

+Ω−∂∂−=∇⋅+

∂∂=

+−Ω+∂∂−=∇⋅+

∂∂=

φρ

φρ

φφρ

vvtdt

d ⋅∇−=∇⋅+∂∂= ρρρρ

)( 4.

•+⋅∇−=∇⋅+

∂∂= Wvv

tdtd

wwww ρρρρ

)( 5.

11

)( 6.•

+=∇⋅+∂∂= H

cdtdp

cTv

tT

dtdT

ppρ

TRp L 7. ρ=

6 prognostische, nicht-lineare,gekoppelte Diff‘gleichungen

1 diagnostische Gleichung

Lösung des Gleichungssystems

• Die Grundgleichungen bilden einen Satz von meist nicht-linearen gekoppelten Differentialgleichungen

• Notwendig zur Lösung sind:– zu einem Zeitpunkt (Anfangswerte) die Kenntnis aller 7

meteorologischen Parameter an jedem Ort im Vorhersagegebiet

– zu jedem Zeitpunkt die Werte der meteorologischen Parameter an allen Rändern des Vorhersagegebietes (auch oben und unten)

• Dann ist eine Vorhersage in die Zukunft möglich (Wetter- und Klimavorhersage)

I.6 Skalenbetrachtungsweise

• Grundüberlegungen• Beispiele • Skalendiagramm

Grundüberlegungen• Als Skalen bezeichnet man Längen- (L) und Zeitintervalle (T).• Die meisten meteorologischen Phänomene haben für sie ganz

typische Längen- und Zeitskalen im Sinne von Größenordnung (z.B. Wolken, Hurrikane, Zyklonen).

• Beobachtung in der Atmosphäre: Je größer die Längenskala L eines Phänomens, desto größer i.a. die dazugehörige Zeitskala T; also mit L nimmt T zu.

• Die Analyse der Grundgleichungen nach den Skalen von bestimmten Phänomenen wie z. B. einem Tiefdrucksystem(Skalenanalyse=Vergleich der Größenordnung von Termen)isoliert die jeweils dominanten Terme und führt so zu vereinfachten Gleichungen.

• Beispiele, ableitbar aus Bewegungsgleichungen: Geostrophischer Wind: Der Wind in den mittleren Breiten weht

meist parallel zu den Isobaren mit dem tiefen Druck links liegend (auf NH).

Statische Grundgleichung: Die Druckabnahme nach oben ist proportional zum Produkt aus Luftdichte und Schwerebeschleunigung

Beispiele

• Turbulenz• Staubteufel• Cumuluswolken• Schwerewellen• Tornados• Cumulus congestus• Gewitter• Meso-Zyklone• Tropische Zyklone (Hurrikan, Taifun)• Zyklone der mittleren Beiten• Rossby-Wellen

Turbulenz

Lokale Messung

Flugzeugmessung

Schwerewellen

Staubteufel u.l., Trombe u.r. und Tornado (Großtrombe) o.r.

Cumulus congestus

Tropische Zyklone

Zyklone und Meso-Zykloneim Mittelmeer

Rossby-Wellen(Strömung in ca 5 km Höhe)

Skalendiagramm

Logarithmische Achsen:

U=L/T T=L/Ulog T = log L-log ULinien konstanter charakteristischer Geschwindigkeit U sind Geraden mit Steigung 1.

B=U/T=L/T²T=(L/B)1/2

Log T =1/2 log L - 1/2 log BLinien konstanter Beschleunigung B sind Geraden mit Steigung ½.

1 m/s

10 m/s

Übungen zu 1.5 bis 1.6 • Analysiere die Abhängigkeiten in und zwischen den Grundgleichungen. Konkret:

von welchen Variablen hängen die zeitlichen Änderungen der 7 Grundvariablen (Wind (3), Druck, Temperatur, Feuchte und Dichte) an einem Ort direkt und indirekt ab?

• Bestimme aus dem Skalendiagramm die charakteristischen Beschleunigungen für die verschiedenen meteorologischen Phänomene. Wie hängen diese mit den charakteristischen Zeitskalen („Lebensdauer“) ab?