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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Cox-Regression

9. Mai 2012

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Inhaltsverzeichnis

1 EinführungAnwendung

2 Das Cox-ModellWie heisst eigentlich . . .Schätzprobleme

3 Die Cox-Regression in StataDie DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in StataAnwendung

Anwendung

In der Literatur wird das Cox-Modell als die populärsteRegressionsmethode zur Analyse von Überlebensdatenbezeichnet.

Sie �ndet besonderen Anklang in der demographischenForschung, beispielsweise in der Untersuchung von Heirat,Scheidung, Geburt, Migration und Job-Mobilität. Ebenso wirdihr grosse Beliebtheit, in der biomedizinischen Forschungbescheinigt.

Das stetige Cox-Modell wird auch als proportionales HazardModell (proportional hazards model) bezeichnet.

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Wie heisst eigentlich . . .Schätzprobleme

Das Cox-Modell

Das Cox-Modell ist de�niert als:

hi(t) = h0(t) exp

{∑k

bkXik(t)

}

Die Hazardrate ist de�niert als das Produkt einer unspezi�ziertenBaseline-Funktion h0(t) und einem zweiten Term der den möglichenEin�uss eines Kovariatvektors Xik(t) (für Person i zum Zeitpunkt tund Kovariate k) auf die Hazardrate angibt. Das Cox-Modellbesitzt kein Interzept, weil es mit in der Baseline h0(t) steckt.Mathematisch gesprochen ist es aus den Daten nicht identi�zierbar.

Der E�ekt der Kovariaten kann proportionale Änderungen derHazardrate bewirken. Deshalb sollte das Cox-Modell nur verwendetwerden, wenn diese Proportionalitätsannahme gerechtfertigt ist.

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Wie heisst eigentlich . . .Schätzprobleme

Bezeichnung: Semiparametrisches Verfahren

hi(t) = h0(t) exp

{∑k

bkXik(t)

}

h0(t) kann hierbei jede Funktion der Zeit sein.

Diese Funktion muss nicht spezi�ziert werden, es wird keineVerteilungsannahme über die Hazardrate getro�en.

Lediglich der E�ekt der Kovariaten (UV) bk wirdparametrisiert.

Deshalb wird dieses Modell als semiparametrisch oder partiellparametrisch bezeichnet.

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Wie heisst eigentlich . . .Schätzprobleme

Bezeichnung: Proportionales Hazardmodell

hi(t) = h0(t) exp

{∑k

bkXik(t)

}

Für jedes Paar von Individuen zu jedem Zeitpunkt giltfolgendes:

hi(t)

hj(t)= c, für jeden Zeitpunkt t

c kann dabei von den erklärenden Variablen abhängen, nichtjedoch von der Zeit.

Im Gegensatz zu dem Namen ist dies keine entscheidendeEigenschaft des Modells. Die Konstanz der Hazard-Ratiosgeht verloren, wenn zeitveränderliche unabhängige Variableneingeführt werden.

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Wie heisst eigentlich . . .Schätzprobleme

Partial Likelihood I

Es ist natürlich einfacher, solch ein Modell aufzustellen als es zuschätzen. Hier ziegt sich das wichtige an Cox's Modell: die Partial

Likelihood Methode.Die Maximum Likelihood für b

L =

N∏n=1

[h0(t) exp(x

′nb)]δn · exp(−∫ t

0h0(u) exp(x

′nb)du

)ist nicht zu schätzen. Die Gleichung enthält nicht nur b, sondernauch h0(t), 2 unbekannte Gröÿen.

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Wie heisst eigentlich . . .Schätzprobleme

Partial Likelihood II

Der Vorschlag von David Cox war nun, die Likelihood zufaktorisieren:

L =k∏

n=1

exp(x′nb)∑

l∈Rtn

exp(x′lb)

∑l∈Rtn

h0(t) exp(x′lb)

N∏n=1

exp

(−∫ tn

0

h0(u)du

)exp(x′nb)

und nur die linke Seite, in der h0(t) nicht vorkommt, zu maximieren:

PL =

k∏n=1

exp(x′nb)∑

l∈Rtn

exp(x′lb)

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Wie heisst eigentlich . . .Schätzprobleme

Partial Likelihood III

Bei dieser Vorgehensweise geht etwas Information verloren (DasModell nutzt nur die Information über die relative Reihenfolge derVerweildauern anstelle der exakten Zeitpunkte). Dies schlägt beikleinen Stichproben stärker zu Buche.

Die daraus resultierenden Schätzer sind asymptotisch unverzerrt undnormalverteilt. Sie sind nicht komplett e�zient, da ein Teil derInformation (der genaue Zeitpunkt des Eintretens) von demVerfahren ignoriert bleibt. Dieser Malus an E�zienz ist jedochnormalerweise so gering, dass er nicht besorgniserregend ist.

Wenn die Abhängigkeit des Hazards von der Zeit von Bedeutung ist,lässt sich das Cox-Modell nicht anwenden.

Die Handhabung von Ties ist problematisch. Als Daumenregelsollten nicht mehr als 5% der Fälle Ties sein. Deshalb werden sieapproximiert. Diese Annäherung ist jedoch bei einer grossen Anzahlvon Ties bestenfalls fragwürdig.

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

Datensatz

Die Beispiele orientieren sich an dem Lehrbuch

Blossfeld, H.-P.; Golsch, K. und Rohwer, G. (2007):

Event History Analysis With Stata. New York: Erlbaum.

Der verwendete Datensatz kann unter

http://web.uni-bamberg.de/sowi/soziologie-i/eha/stata/

heruntergeladen werden.

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

Der Datensatz rrdat1.dta

Variable Beschreibung

id Identi�ziert jede einzelne Befragungsperson im Datensatznoj Laufende Nummer der Jobepisodetstart Anfangszeit der Jobepisode in Monaten seit Beginn des Jahrhunderts

(1=1900)t�n Endzeit der Jobepisode in Monaten seit Beginn des Jahrhundertssex Geschlecht: 1=Männer, 2=Frauenti Interviewzeitpunkt in Monaten seit Beginn des Jahrhundertstb Geburtsdatumte Eintritt in den Arbeitsmarkt in Monaten seit Beginn des Jahrhundertstmar Eintritt in die Ehe in Monaten seit Beginn des Jahrhunderts,

0 wenn unverheiratetpres Prestigewert des Jobspresn Prestigewert des darauf folgenden Jobs, -1 falls kein weiterer Jobedu Höchster Bildungsabschluss vor Eintritt in den Arbeitsmarkt in Jahren

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

Beispiel: 1. Fall

list id noj tstart t�n sex ti tb te tmar pres presn edu in 1/9, sepby(id)

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

Arbeitsvariablen

Erstellung der Variable des → für �destination�:des misst, ob eine Episode mit einem Ereignis endet oder eineRechtszensierung vorliegtRechtszensiert, wenn t�n=ti ; Episode beendet, wenn t�n ~= ti.

Erstellung der Variablen tf → für ��nish time�:Bildet die Di�erenz aus den Variablen t�n und tstart.Auf diese Weise wird die Verweildauer in einer Jobepisode für jedeBefragungsperson in Monaten gemessen.

destination & �nish time

gen des = t�n ~= ti

gen tf = t�n - tstart + 1

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

Ereignisdaten deklarieren

Um eine Cox-Regression in Stata durchzuführen zu könne, müssenwir Daten als Ereignisdaten deklarieren. Dies geschieht über denBefehl stset.

Als Ereignisdaten deklarieren

stset tf, f(des)

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

Variablen generieren

gen coho2 = tb>=468 & tb<= 504

gen coho3 = tb>=588 & tb<= 624

gen lfx = tstart - telabor force experience, Eintritt in Arbeitsmarkt-Eintritt in(1.,2.,3.. . .)Jobepisode

gen pnoj = noj - 1Anzahl vorheriger Jobs

gen women = sex==2

gen marrdate = tmar - tstartHeiratsdatum - Einstieg in den 1. Job

gen entrymarr = marrdate>0 & marrdate <tf

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stcox

Der Befehl für eine Cox-Regression in Stata heiÿt stcox. Berechnung einerCox-Regression mit Bildung, Geburtskohorte, Arbeitsmarkterfahrung,Anzahl der bisherigen Jobs und Prestige als zeitkonstante Variablen:

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stcox

Da bei einer Nicht-Spezi�kation der Übergangsrate eineMaximierung der Likelihoodfunktion nicht möglich ist, werdendie Parameter mit der Partial-Likelihood-Methode geschätzt.

Eine Konstante wird nicht berechnet, da sie im Cox Modell einBestandteil der nicht näher spezi�zierten Basisrate ist.

Die nicht näher spezi�zierte Basisrate eines Cox Modells kanngeschätzt werden.

Dazu benötigen wir den Befehl:

stcox edu coho2 coho3 lfx pnoj pres women, nohr basesurv(s)basehc(h) basec(c)

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stcox

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stcurve, survival

0.2

.4.6

.81

Sur

viva

l

0 100 200 300 400analysis time

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stcurve, survival

Der Befehl stcurve, survival erzeugt die vorherige Graphik. Siezeigt den Verlauf der geschätzten Überlebensfunktion, wennfür alle Prädiktoren der Mittelwert angenommen wird.

Der Befehl stcurve kann auch dazu verwenden werden, diegeschätzte Basisrate für bestimmte Subgruppen desDatensatzes zu plotten. Eine Erweiterung um die Option at()

ist dazu nötig.

Um Unterschiede zwischen den Geburtskohorten zu illustrierenkönnen wir beispielsweise für die Variablen Werte einsetzenund danach für jede Kohorte den Verlauf der kumuliertenHazardrate darstellen.

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stcurve, cumhaz

stcurve, cumhaz at1(coho3=1 coho2=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30) ///at2(coho2=1 coho3=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30) ///at3(coho2=0 coho3=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30) legend(row(3))

02

46

Cum

ulat

ive

Haz

ard

0 100 200 300 400analysis time

coho3=1 coho2=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30coho2=1 coho3=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30coho2=0 coho3=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stcox

Um die geglättete Basisrate für die gleichen Werte derunabhängigen Variablen darzustellen verwenden wir folgenden

Befehl.

stcurve, hazard at1(coho3=1 coho2=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30) ///at2(coho2=1 coho3=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30) ///at3(coho2=0 coho3=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30) kernel(gauss) legend(row(3))

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stcurve, hazard

stcurve, hazard at1(coho3=1 coho2=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30) ///at2(coho2=1 coho3=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30) ///at3(coho2=0 coho3=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30) kernel(gauss) legend(row(3))

0.0

1.0

2.0

3S

moo

thed

haz

ard

func

tion

0 100 200 300analysis time

coho3=1 coho2=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30coho2=1 coho3=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30coho2=0 coho3=0 edu=13 lfx=5 pnoj=1 pres=30

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

Befehle

Dem Cox-Modell liegt die Annahme proportionaler Risikenzugrunde. In Stata existieren mehrere Möglichkeit, diese Annahmezu testen.

estat phtest

stphplot

stcoxkm

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

estat phtest

Benutzen Sie jetzt die Optionen scaledsch(sca*) (für scaledSchoenfeld residuals) und schoenfeld(sch*) (für nonscaledresiduals).

Wenn Sie diese Optionen nicht angeben, können Sie denBefehl estat phtest nicht anwenden.

stcox edu coho2 coho3 lfx pnoj pres women, nohr scaledsch(sca*) schoenfeld(sch*)

estat phtest, rank detailestat phtest, km detailestat phtest, log detail

detail fordert Teststatistik für einzelne Kovariaten und Modell an.

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

estat phtest

Die Ergebnisse zeigen, dass die Proportionalitätsannahme fürdie Variablen Geschlecht und Prestige nicht zutre�end ist.

Also ist das Risiko eines Tätigkeitswechsels z.B. für Männerund Frauen nicht proportional.

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stphplot

Der Befehl stphplot zeichnet ln(-ln(survival)) Kurven für jedeKategorie einer nominalen -oder ordinalen- Variable gegen dielogarithmierten Prozesszeit.

Wenn die Annahme proportionaler Risiken nicht verletzt ist,dann sollten die mit stphplot erzeugten Kurven parallelverlaufen.

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stphplot, by(coho3) - Proportional

−2

02

46

−ln

[−ln

(Sur

viva

l Pro

babi

lity)

]

1 2 3 4 5 6ln(analysis time)

coho3 = 0 coho3 = 1

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stphplot, by(coho3) - Proportional

−2

02

46

−ln

[−ln

(Sur

viva

l Pro

babi

lity)

]

1 2 3 4 5 6ln(analysis time)

coho3 = 0 coho3 = 1

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stphplot, by(women) - Nicht proportional

−2

02

46

−ln

[−ln

(Sur

viva

l Pro

babi

lity)

]

1 2 3 4 5 6ln(analysis time)

women = 0 women = 1

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stphplot, by(women) - Nicht proportional

−2

02

46

−ln

[−ln

(Sur

viva

l Pro

babi

lity)

]

1 2 3 4 5 6ln(analysis time)

women = 0 women = 1

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stcoxkm

stcoxkm vergleicht die Kaplan-Meier Überlebenskurve mit derauf der Basis des Cox Modells geschätzten Kurve.

Die Kurven sollten sich möglichst ähnlich sein.

Generell lässt sich sagen, dass auf der Grundlage beider graphischenVerfahren oft nicht eindeutig entschieden werden kann, ob die

Annahme proportionaler Risiken verletzt ist.

Cox-Regression

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EinführungDas Cox-Modell

Die Cox-Regression in Stata

Die DatenDatensatz vorbereitenCox-RegressionProportionalitätsannahme

stcoxkm, by(women) m(i i i i)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

Sur

viva

l Pro

babi

lity

0 100 200 300 400analysis time

Observed: women = 0 Observed: women = 1Predicted: women = 0 Predicted: women = 1

Cox-Regression