D. ~ U D I G E R , Eingespannte Rechteckplstten mit Schuhvcrzcrrnngen 71

Eingespannte Rechteckplatten mit Schu bverzerrungen Von D. RUDIGER

Fur allseitig eingespannte Rechteckplatten unter konstanter Belastung zcerden L6sungen angegebrn und numerisch ausgewertet. Ein Vergleich mit der klassischen Theorie nzacht den Einflup der Schubverzerrungen deutlich. Partikulare Integrale der inhomogenen Grundgleichungen der R e i s s n er schen Plattentheorie folgen aus einer singularen Losung.

For rectangular plates clamped at all sides and subjected to a constant load solutions are found and nume- rically evaluated. A comparison with the classical theory brings out the part played by the shearing strain. A singular solution contains the particular integrals of the inhomogenous basic equations of R e i s s n e r s theory of plates.

B H a C T O R U l e t p a 6 o ~ e HaIOTCJI peLLleHMR HJIH 3aI<pCIIJIeHHbIX CO BCeX CTOPOH npHMOJTOJlLHbIX lldlaCTl4HOK npM IlOCTOflHHOfi H a r p Y 3 l i e , I l p M B O ~ R T C H WlCJIeHHbIe p e 3 y n b T a T b I . C p a B H e H H e C I inaCCl4seCI iOf l TeOpMCi i I IOKa3bIBaeT BJIPIflHHe Ae#OpMaUMii CHBIWOB . I/I3 CPIHryJlSIpHOrO p e U I e H H R IIOJIyqaWTCfl saCTIIbIC peUICHMH H e O ~ H O p O ~ H O r O Y p a B H e H H R T e O p l l M IIJIaCTMHOK P a t C C H e p a.

1. Einleitung Unter Verwendung eines Variationsprinzipsl), das der allgemeincn Randwertaufgabe in der

RETssNERschen I'lattentheorie aqui\-alent ist, werden mittels des TREsFTzschcn Verfahrens allseitig eingespannte Rechteckplatten untersucht. Bei konstanter Flachenbclastung genugen vier Ansatzfunktionen, um eine ausreichende Genauigkeit der SchnittgroBen und Verschiebungen zu erzielen. Weiterhin wird aus den Grundgleichungen in Polarkoordinaten die singulare Losung fur eine Einzelkraft hergeleitet. Damit ist es moglich, die Partikularlosungen der inhomogenen Grundgleichungen fur beliebige Flachenbelastungen anzugeben und EinfluOfelder zu ermitteln.

Grundlage der Rerechnung sind die Grundgleichungen

der REISSNERschen Plattcntheorie2) in kartesischen Koordinaten z, y. I-Iierin bedeuten Qx, Q, die Querkrafte, Ad,, M?,, M,, = .Vl,,,, die Biege- und Drillmomente, @,, fi?, die Drehwinkel, W die Verschiebung der Plattenmittelflache, h die Plattenstiirke, E den Elastizilatsniodul, v die Quer- dehnungszahl und K die Plattenkonstante.

2. Singulare Losung fiir cine Einzellast Zur Herleitung der singularen Losung fur eine Einzellast P geht man zweckm5Big yon den

Grundgleichungen der REIssNERschen Plattentheorie in Polarkoordinaten r, q

l) D. R ~ D I G E R , Osterr. 1ng.-Arch. 13 (1959), S. 257. 2, Vgl, z. B. M. SCII~FER, ZAMM 30 (1952), 8 . 169. Dcr Einflul3 dcr Dehnungen senkrecht zur P l a t t x -

mittelfliichc 1st fortgelassen.

72 D. RUDIGEE, Eingespanrite Rechteckplatten niit Schubvereerrungen

aus. Diese folgen aus (1) durch Transformation. Wenn man eincn drelisymmetrischen Spannungs-

Q, = M,, = 6 = zngrundelegl; und

ansetzt, ergibt sich ohne weiteres

(3)

Hieraus kann die singulare Losung in kartesischen Koordinaten x, y mit u, u als Angriffs- punkt der Einzellast hergeleitet werden. Die Beziehungen

(41) x = rcosp, + 1 1 , y = rs iny, + u

zwischen den kartesischen Koordinaten und den Polarkoordinaten liefern die Transformations- koeffizienten '

2 - u ax acp

gJ acp

-cosy,=--- ____- - = - r sin p, = - (y - u) , I/(. - U l 2 + (Y - u)2 '

y -L-, J<. - u)2 + (y - u)2

= r cos y, = (x - u) , - - sin cp = (42)

mit denen die gesuchte Losung fur die Einzelkraft erhalten wird:

Y-U __ 2 n ( x - r l j 2 + (y - u)2 '

x - u P Q --_ P Qx = - 2% ( x - u)Z + (y - u)2 ' 1J -

(5)

1 - v M , = -- ( 1 + v) In I/(.- u>2 + (y - u)2 - ___ 2

( x - u)2 - (y - u)2

(5 - u ) 2 + (y - u)2 4n "i 5 [(x - u)2 + (y - u)"2 1 ' 2 h2 +-- (x - U ) Z - (y - u)2

P ( x - u) (y - u) bfxv = - - {(l - v) [(x - U ) Z + (y - u)2] - 4 q . 4 n [ (x - u)2 + (y - u)"2 5

D. RUDIGER, Eingespannte Rechteckplatten mit Schubverzerrungen 73

Durch Integration aller in Punkten u, u der Platte (Flachenelement : df) angreifenden Einzclkrafte p(u, v) df uber die belasteten Teilflachen kann man leicht fur beliebig vorgegebene Flachenbelastungen die Partikularlosungen der inhomogenen Grundgleichungen ermitteln.

einer Rechteckplatte mit den Seiten 2 a und 2 b und ein in Plattenmitte liegendes Bezugssystem

Insbesondere gilt fur eine konstante Flachenbelastung

3. Partikularliisiingen der homogenen Gleichungen

Partikularlosungen der homogenen Grundgleichungen (3) in kartesischen Koordinaten erhalt man ohne Schwierigkeiten mittels eines BERNOuLLIschen Produktansatzes. Tm folgenden ist eine Zusammenstellung einiger Partikularlosungen unter Verwendung hyperbolischer und trigonometrischer Funktionen angegeben. Dabei bedeutet a eine beliebige Konstante, wahrend

1 x = / lo + &2 h2

ist. In den Losungen kann x gegen y ausgetanscht werden und umgekehrt.

K W

Qx

QU

cosh a y cos a x

a c o s h a y s i n a x

T a s i n h a y c o s a x

0

0

1 --v) a2 cosh a y cos a a

. (1 -v) a2cosh a y cos aa

1 -v) a2sinh a y sinaa

a y sinh a y cos a x I 0

2 ( x 2 h2 coshay sin a x i 3 - x cosh xy sin a x I j ~ ( I - v ) a y s i n h a y +-

5 ( I --Y)

s inhay cosax 1 - c a s i n h x y c o s a x ] i 5 ( 1 - V )

2 a 3 c o s h a y s i n a x a2xcosh x y s i n a x , - 2 a3 sinh a y cos a x

~

- a3 sinh x y cos a x

~ 2 [ ( l - - ~ ) a y s i n h a y + ~ ~ - - ~ Y ) C O S ~ ~ ~ ] C O S ~ X ~ 1 a2h2 T a x c o s h x y cosax

1 a2h2 a x cosh xy cos a x (1--Y)aysinhay+ --+2 coshay cosax -__ ) ] 1 5

i" $ + 1 --Y)sinh a y I sina x i T 'a2 h2 (a2+ x2) sinh x y sin a x 911-v) a y cosha y+ __

74 D. RUDIGER, Eingespanntc Rcchtctkplatten mit Schubverzerrungen ~~

(8)

M , _-

M , ~~ ~

M,,

a y cosh a y cos a x ~

(1-v) a2s inhaycosaxla2 (1-v)aycoshay+

-1- " __ ~_

-(l-~)a2sinhaycosas~-a2[(l-r)aycosliay-(- ("48" --;- +2 s inha y cosaa

I-- a2 h2 -1 l-v)coshay/sinas ( I - v ) a2 cosh a y sin ax /a2 [ (1-v) a y sinh a y+ rT 1 __ ~- - ~ ~ _ ~

l

I I 2 a2 h2 5 (1 - v )

~.

K 8 , 1 a s i n h a y s i n a x ~ a a y c o s h a y + ----sinhay s i n a x - -~ ~ ~~~~~ ~

i cosh a y cos a x 2 a2 h2

Boy1 - a a o s h a y c o s a x , -a a y s i n h a y f i 5 (1 - v )

--I QY

2 a3 sinh a y sin a x - ~ __

- 2 a3 cosh a y cos a x

0

h2 x sinh x y sin a x a (1 - v )

a2 h 2

5 (1 -v) -~ acoshxycosax

a2 x sinh x y sin a x

a2 h2 - -ax sinh x y cos a x

A

_ _ a 2 h 2 a x sinh x y cos a x 5

n2h2 - ( a 2 + x 2 ) coshxys inax 10

4. Eingespanntc Rcchteckplattcn iintcr konstantw Bclastung Zur Ermittlung des Spannungs- und Verschiebungszuslandes eingespannter Rechteck-

platten (Bild 1) unter konstanter Relastung 6 wird das unter der FulJnote 1 angegebene Variations- prinzip in Verbindung mit dem 'rREFFTZschen Verfahren benutzt. Der Partikularlosung (6) ist dabei eine homogene Losung W, 6,, 6, so zii uberlagcrn, dafl die Randbedingungen

n n n

erfiillt sind. Dazu wird fiir die homogene Losung der Platte unter Verwendung von (7), dcr willkiirlichen Iconstanten A,, C,, En; B,, D,, F , und der Abkiirzungen T&I

(2 ~~ n - 1) 7c , ft, = - 1 f10-q(ayl12) ; (n = 1, 2, . . .) , 11

--y a, = I 2 (1

der Ansatz Eli1 1 . Eingespannte lleclitcckplatte

n 1 2 a: 11'

5 (1 -v) 6, = 2 [An a, cosh an y + C, an 01, y sinh 01, y + -- ~- ~ cosh a, y

a2 h2 + E, - _ _ ~ ft, cosh 31, y 5 (1 -v)

p; 112

3 (1 -v) + F , ;--- ,urn cosh p, x

I1 i - A, a, sinli 01, y - Cn a+$ a, y cosh

D. R~DIGER, Eingespannte Rechteckplattrn mit Schubverzerrungen 75

n v y n Y Y n v v

gemacht. Wenn fiir den Ansatz (9) zur Abkiirzung u‘ = 2 c W, 6, = 2 c 8., 8# = 2 c 8v und V V V

n Y * n v v

fur die zugehorigen Querkrafte und Schnittmomente Q, = 2 c QZ, Q, = 2 c Qv usw. gesetzt

wird, lauten die TREFFTZSCheIl Gleichungen3) der vorliegenden eingespannten Platte V V

- ( [k ,b=a dy - I‘ [if, (- dx) = 0 ; (v = 1, 2, 3, . . .) J

- b a

Sie bilden ein unendliches lineares Gleichungssystem fiir die Unbekannten A,, C,, En; (n = 1, 2, . . .) und B,, D,, Fm (nz = 1, 2, . . .). \Vie Versuchsrechnungen zeigen, ist es bei nicht zii sehr vom Quadrat abweichenden Rechteckplatten mit ausreichender Genauigkeit moglich, die FOURIER-Reihen in (9) nach dem zweiten Glied (n = 1, 2; m = 1, 2) abzubrechen. Weicht die Platte dagegen vom Quadrat starker ab, so sind zur Erzielung der gleichcn Genauigkeil in Rich- tung der kurzen Seite nur ein Reihenglied (in= 1) und in Iiichtung der langen Seite drei Reihen- glieder (n = 1, 2, 3) erforderlich.

So ergibt sich zum Beispiel fiir einc Platte mit deli Abinessungen 2 c1 = $0 m, 2 b = 4,0 m, h = 0,4 m und der Querdehnungszalil v = 0,2 folgende 1,osung (6 = r ia , 7 = y/h)

-t cos 0,5 7c E (- 46,960 cosh 1,256637 11 + 55,229 7 sin11 1,256637 7

+ cos 1,5 7c [ (- 0,442 . + cos 0,5 n 7 (- 19,430 cosh 1,963495 6 + 20,208 6 sinh 1,963495 6) + cos l ,5 7c 7 (- 2,521 *

cosh 3,769911 7 + 0,545 - lop3 7 siiih 3,769911 7 )

cosh 5,890486 6 + 2,527 * 6 sinh 5,890486 E ) ] , Q ---[-5006 i ; . - 1000

+ sin 0,5 7c 6 (340,684 cosh 1,256637 7 - 61,975 *

+ sin 1,5 n 6 ( 30,254 lom3 cosh 3,769911 7 - 8,349 - + cos 0,5 n 7 (- 155,882 sinh 1,963495 5 + 11,109 *

+ cos 1,5 7c 7 (- 17,538 *

cosh 15,861246 7 )

cosh 16,254605 7 ) sinh 19,861526 6)

sinh 5,890486 5 + 44,783 loF9 sinh 20,623357 E ) ] , Q ----[-4007 i u - 1000

+ cos 0,5 n 5 (- 340,684 sinh 1,256637 7 + 4,910 * lopG sinh 15,861246 7 ) + cos 1,5 n 6 (- 30,254 + sin 0,5 n 7 (155,822 cosh 1,963495 5 - 1,234 * 10- cosh 19,861526 t) $- sin 1,5 n 7 (17,539 * lop2 cosh 5,890486

sinh 3,769911 7 + 1,936 * sinh 16,254605 7 )

cosh 20,623357 E ) ] , - 15,679 *

3, GI. (13) der unter FuBnote 1 genannten Arbeit.

76 D. RUDICRR, Eingespanntc Rechteckplatten mit Schubverzerrungen

; a2 JfZz = - [- 3,839971 + 160 (1 - q2) + 50 (1 - t2) 1000

+ cos 0,5 z 5 (- 133,333 cosh 1,256637 q + 109,018 7 sinh 1,256637 q

+ cos 1,5 n 5 (- 8,414

+ cos 0,5 7c q (- 20,997 cosh 1,963495 6 - 62,329 5 sinh 1,963495 6

+ cos 1,5 z q (34,914.

- 4,984 - cod1 15,861246 q) cosh 3,769911 q + 9,681 - q sinh 3,769911 q

- 20,144 * cash 16,254605 7 )

+ 11,297 * cash 19,861526 6) cosh 5,890486 5 - 70,156 - 5 sinh 5,890486 5

- 4,729 - lop9 cash 20,623357 t)] , ; a2

A f , , == looo [- 3,839971 + 250 (1 - t2) + 32 (1 - q2)

+ cos 0,5 n 6 (- 126,930cosh 1,256637 q - 109,018 q sinh 1,256637 q

+ cos 1,5 z 6 (7,10

+ cos 0,5 n q (- 74,234 cosh 1,963495 6 + 62,329 5 sinh 1,963495 5

4- cos 1,5 n q (- 70,644 * 10- cosh 5,890486 + 70,156 lod3 5 sinh 5,890486 5

+ 4,984 *

+ 20,144

- 11,297

cosh 15,861246 q) cosh 3,769911 7 - 9,681 * lod3 q sinh 3,769911 7 lod8 cod1 16,254605 q)

loM9 cosh 19,861526 6)

- 4,729 - loV9 cash 20,623357 t)] ,

+ sin 0,5 z 6 (- 3,201 sinh 1,256637 q + 109,019 q cosh 1,256637 q - 3,165 - loe6 sinh 15,861246 7

+ sin 1,5 n 6 (- 4,562 *

- 45,764 * sinh 16,254605 q) + sin 0,5 n q (- 26,618 sinh 1,963495 6 + 62,329 5 cosh 1,963495 6

- 57,697 sinh 19,861526 6) + sin 1,5 7c q (- 52,779

- 8,935 *

sinh 3,769911 7 + 9,681 - 10-37 cosh 3,769911 q

sinh 5,890486 6 + 70,156 * 5 cosh 5,890486 5 sinh 20,623357 t)] .

In Plattenmitte betragen Durchbiegung und Biegemomente p" a4 6 a2 6 a2 My(O, 0) = 76,93 - 1000 a

Mz(O, 0) = 51,86 __ 1000 ' W(0, 0) = 13,61 ___ 1000 K '

Die entsprechenden Werte nach der KIRCHHOFFschen Theorie lauten i; a4 6 a2 6 a2 Mv(O, 0) = 76,91 __ 1000 . Mz(O, 0) = 51,Ol __

1000 ' W(0, 0) = 11,98 ___ 1000 K ' In den Bildern 2a und 2b sind die Hauptrnomentenlinien eines Plattenquadranten eingetrageii. Entsprechend der verfeinerten Theorie ergeben sich bei den Querkraften grol3ere Abweichungen von der klassischen Theorie. Den Bildern 3a und 3b kann man den Verlauf der Stutzkrafte ent- nehmen.

In der gleichen Weise wurde eine Platte mit den Abmessungen 2 a = 10,O m, 2 b = 4,6 m, h = 0,4 m und der Querdehnungszahl v = 0,2 berechnet. Entsprechend dem oben Gesagten wurde dabei n = 1 , 2 , 3 und m = 1 gewahlt.

Das Ergebnis ist

+ cos 0,5 n 6 (- 23,653 cosh 0,722567 7 + 38,241 7 sinh 0,722567 7) + cos 1,5 n 5 (+ 14,749 - + cos 2,5 7c 6 (-10,231 . 10" 7 cosh 3,612835 q + 14,091 - + cos 0,5 7c 7 (-92,632 * 10-2 cosh 3,414775

cosh 2,167701 q - 15,137 10-2q sinh 2,167701 7)

+ 92,849 *

q sinh 3,612835 q) 6 sinh 3,414775 t)] ,

D. RUDIGER, Eingespannte Rechteckplatten mit Schubverzerrungen 77

-

-

-

-

-

Uild 2a. Momentenlinien fiir &fmx mit Vorzcichenwechsel

-6OG

-500

-400

-300

-200

--roo

Bild 3s. - Querkraftverlauf Q&, b ) iiaah der ILEISSNERSchen Theorie _ _ _ _ Querkraftverlauf QV(& 6 ) nach der klassischen Tlicoria

Y

Uild 2b. Jlomentenliuieii fiir Jfinin mit Vorzeichonwechsol

Q~ (a, 71 .

Uild 3b. - Querkraftverlauf Qz(a, 7 ) narh dcr REISSNEKSchen Theorie Querkraftverlauf Qz(a, q) uech der klassischen Theorie

_ _ _ _

500 5

+ sin 0,5 7t 5 (410,248 cosh 0,722567 7 - 2,890 . + sin 1,5 7t 5 (-14,615 cosh 2,167701 11 4- 41,006 - + sin 2,5 7t 5 (37,792 - + cos 0,5 7t 7 (-21,649 sinh 3,414775 5 + 14,250 -

cosh 18,197465 q ) cosli 18,311868 q)

cosh 3,612835 7 - 14,722 lo-’ cosli 18,538562 11)

sinli 39,675700 5)] ,

j ) a Q u ( 5 , q ) = [- 230 7

+ cos 0,5 n 5 (-410,248 sinh 0,722567 7 - 11,476 * 10P sinh 18,197465 rl) + cos 1,5 n 5 (14,615 sinh 2,167701 7 - 48,542 *

+ cos 2,5 7t 5 (- 37,792 * 10-2 sinh 3,612835 q + 28,692 * lovs sinh 18,538562 q)

+ sin 0,5 n q (21,649 cosh 3,414775

sinh 18,311868 7)

- 16,557 * cosh 39,675700 5)] ,

4- cos 0,5 7t 6 (-98,099 cosh 0,722563 q + 75,486 7 sinh 0,722567 7 - 5,811 - cosh 18,197465 q) +

'78 D. ~ I~~DIGER, Eirrgesmnutc Rechtecknlattcn mit Schubvcrzerrungen

Y Y

X X

Uild 4% 1\IoIncritrnliiden fur MKnar rnit Voreciclrmrwechsel Uild 4b. Morricnlcniinien Siir itfInin mit Vorzeichenaecl~sel

Bilcl 6a. Ytiitskraftverlauf &(E, b ) Bild 6b. Stiitzkraftverleuf QZ(u, q)

+ cos 1,5 z t (3,152 cash 2,167701 - 2,689 '7 sinh 2,167701 7 + 2,473 * cosh 18,311868 7)

cosh 3,612835 q + 69,538 * + cos 2,5 z t (-56,312

+ cos 0,5 z q (2,205 cosh 3,414775 l - 8,661 6 sin11 3,414775 [

q sinh 3,612835 q - 14,801 . cosh 18,538562 q)

$- 7,237 10F8 cash 39,675700 E l ) , 4 u2

.Uv(t,q) = -__ C250 (1 - 6') 4- 10,58 (1 --.I") - 0,96 1000 + cos 0,5 7~ 6 (- 218,380 cosh 0,722567 v - 75,486 q siiih 0,722567 ri

+ cos 1,5 z 5 (89,792 a 10-2 cosh 2,167701 q + 2,689 q sinh 2,167701 v

+ cos 2,5 z t (- 15,585 - 10-3 cosll 3,612835 q - 69,538 *

+ cos 0,5 7~ rI (- 9,907 cosh 3,414775 6 + 8,661 6 sinh 3,414775 6 - 7,237 cusli 39,675700 91,

+ 58,109 * cosh 18,197465 q)

- 24,734 10-l' tush 18,311868 q) q sinh 3,612835 q

+ 14,801 - cosh 18,538562 q)

+ sin 0,5 z 6 (58,604 sinh 0,722567 q + 75,486 q cosh 0,722567 q - 73,287 . 10- 9 5inh 18,197465 q)

+ sir1 1,s z 6 (1,291 s h h 2,107701 q- 2,689 17 cosh 2,167701 q + 1,059 *

- 39,415 7 1 0 - 9 sinli 18,538562 q )

- 4,235 -

sinh 18,311868 7) + sin 2,5 7~ 6 (-27,441 . 10-3 siiili 3,612833 q + 69,538 10-$ q cosh 3,612835 q

sill 0,5 n q (- 6,010 sinh 3,414775 6 f 8,661 6 cosh 3,414775 sinh 39,673700 91 .

D. KUDIGER, Eingespannte Rechteckplatten mit Schubverzerrungen 79

Fur die Werte in Platterimitte ergibt sich daraus fi a4 p a2 p” u2 My(O, 0) = 32,21 ~

1000 * M z ( O , 0) = 9,142 __ 1000 ’ W(0, 0) = 2,017 ___ 1000 K ’

In den Bilderii 4a, b und 5a, b sind die Hauptirioinentenlinien und der Verlauf der Stiitzltriifle eingetragen.

Manuskripteingang: 6. 2. 1962

Anschrift : Prof. Dr.-Ing. D. RUDIGER, Freiberg/Sachs., StraWe der Einheit 12