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352. A~CH. MATH.
Einige Eigensehaften der Fourier-Stieltjes-Transformation
Von H~n~z KS~IQ in Aachen
1. Einleitung. Unter einer Verteflungsfunktion verstehen wir eine in u ~ 0 mono- ton wachsende und beschr~nkte Funktion ~ (u ) mit r = 0 und
1 r = y (~(~ + O) + ~(u~O))
in u > 0. Eine normierte reellwertige Funktion ~ (u) yon besehr~nkter Variation in u ~ 0 nennen wir eine Belegungsfunktion. Wir betraehten die Fourier-Stieltjes- Transformierte
(1.1) P (t) = f~os tu dq5 (u) in t ~ 0 o
der Belegungsfunktion ~ (u). Die Ergebnisse dieser Arbeit sind im allgemeinen nur fiir Kosinus-Transformierte P (t) richtig.
Den Ausgangspunkt bilden die Arbeiten [3, 4] yon P. L. BuTzE~ und die gemein- same Arbeit [5] mit dem Verfasser, in denen es sich um die Anwendung der Fourier- Stieltjes:Transformation in der Approximationstheorie handelt. Die Hauptrolle in diesen Arbeiten spielen die beiden folgenden Bedingungen an die transformierte Funktion P (t), deren erste yon Herrn BUTZEg und deren zweite vom Verfasser ein- gefiihrt wurde.
I . Die Funktion P(0) -- P(t) t;. besitzt bei der Beweg~ng t --> -~ 0 einen endliehen
Grenzwer~.
I I . Die Funktion P(0) -- P(t) t~ ist als Kosinus-Transformierte einer Belegungsfunk-
tion darstellbar. Hierin ist 2 > 0 eine feste Zahl. Bedingung Iist also eine Folge yon IX. Sie ist
mSglieherweise iiquivalent mit If, aber diese Frage kSnnen wit im folgenden nicht entscheiden.
in der vorliegenden Arbeit behandeln wit die Aufgabe, die Bedingungen I und II unmittelbar als Bedingungen an die Belegungsf, mktion ~(u) zu formulieren. Wit haben zumeist ~5(u) als Verteflungsfunktion und mithin P(t) als positiv-definit im Sinne yon BOCHI~V,R [2] vorauszusetzen. Dann ist notwendig 0 < 2 ~ 2. Der in Ab- sehnitt 2 behandelte Fall A = 2 diirfte yon der Wahrschemliehkeitstheorie her weit- gehend bekannt sein; vgl. etwa Lo~v~ [II] w 12. Hier sind I und II ~quivalent mit
der Endliehkeit des zweiten Momentes f u 2 dr (u), und die l~unktion P(0) -- P(t) ist t z
stets positiv-definit, o
Vol. XI, 1960 EigenschaIten der Fourier-Stieltjes-Transformation 353
Der Fall 0 < 2 < 2 ist wesentlieh sehwieriger. Wir setzen ~v(u) -~ ~5(oo) - - ~i(u) in u ~ 0. Nach Abschnitt 4 ist Bedingung I genau darm erf'fillt, wenn die Funktion uacp(u) bei der Bewegaang u--> r einen endlichen Grenzwert besitzt. Der entschei- dende Punkt ist cter in Absehnitt 3 bewiesene Tauber-Satz, yon dem unten noeh die Rede sein wird. Bedingung I I is~ naeh Abschnitt 5 immer dann erfiillt, wenn die Funktion u~cf(u) in u :> 0 yon beschrgnkter Variation ist. Ein einfaches Re,spiel zeigt abet, dab diese Bedingung im allgemeinen nieht mit I I ~quivalent ist.
In Absehnitt 6 behandeln wit alsdann den Fall 2 = 1 und stellen den Zusammen- . hang der Bedingung I I m i t der Hilbert-Transformation her. Unser Resultat enth~lt
als Speziaffall das Analogon zu einem Satz yon p ~ v . y und WIv.N~.~ [15] fiber kon- jugierte Funktionen im Intervall 0 ~ u ~ 2 g.
Die Betrachtungen der Abschnitte 3 und 4 s~ehen in engem Zusammenhange mit dem Satz yon Hv.~GLOTZ fiber die Poisson-Stieltjes-Integraldarstellung der holo- morphen Funktionen mit nichtnegativem Realteil; vgl. etwa R. N~.VXZ~LnV~A [13] w VII. 2. Wir wenden den Satz au f die reehte Halbebene Re s > 0 an. Unter einer positiven ~'unktion verstehen wir eine in Re s > 0 holomorphe Funktion Z (s) mit niehtnegativem Realt~il Re Z (s) ~ 0 uncl mit Im Z (x) ~- 0 auf der positiv-reeilen Halbgeraden s = x > 0. Alsdann hat man den folgenden Satz; vgl. K 6 ~ m und M_Erx~v.~ [10] Absehnitt 6.
Satz. Die positiven Funlctionen Z (s) sind an/Grund der Relation
oo
(1.2) 0 oo co
= A s -F f e-,' P(t) gt + f e-"(P(O) - - P (t)) in > 0 0 0
umkehrbar eindeutig den VerteilungsJunlctior~n �9 (u) und den Kor~stanten A ~ 0 zu- geordnet.
Aus der Da'rstellung (1.2) liest man ab, dab die l~'unktion Z (xl bei der Bewegung X
x -+ ~ monoton fallend, gegen A strebt. Wit k6nnen A = 0 annehmen. Dama besagt der in Absehnitt 3 bewiesene Tauber-Satz, dab im Falle 0 < 2 < 2 aus
l i m ~ Z(x) = B
die Relation lim u;t cp(u) ---_ ~2B sm-~--" z~it
u-r
folgt. Der Beweis des Satzes beruht auf dem Auswahlsat i~on HEv.LX und ist sehr einfach, l~aeh derselben Methode hat der Verfasser kiirzlieh eh~en neuen Beweis eines bekannten Tauber-Satzes fiir Laplaee-Stieltjes-Integrale gegeb~n [9]. Die Methode erfordert die Kenntnis eines angemessenen Eindeutigkeitssatz~s. Im vorliegenden l~alle is~ das die Eindeutigkeitsaussage des Satzes yon HE~GLOTZ~ der man unmittel- bar das naehstehende Resultat entnehmen kann.
Arda iv de~ M a t h e m a f i k XI 2 4
354 -H. KS~m ~ c m MAT~.
Folgerung. Die Funkt ionen L (u) und E (u) seien nichtnegativ.und meflbar in u ~ O, und es 8el
(1.3) j ~ au = j x 2 + u2 du < ~ in x > o. 0 0
Dann ist L (u) = E (u) /i~r ]ast alle u ;> O.
Der in Rede stehende Tauber-Satz ist in anderer F o r e schon bekannt. Er erweist sich naeh einer nahellegenden Umformung als die Umkehrung des Satzes yon FATO~ im Falle der radialen Ann/~herung an einen Randpunkt der Halbebene Re s ~ 0. Der Satz ist daher in den Ergebnissen yon L o o m s [12] und AL~E~ und KEP~R [1] enthalten; vgl. auch GEH~rNG [7]. Die genannten Autoren stiitzen sieh in ihren Be- weisen aber auf einen yon HAI~DY und LITTLEWOOD [8] gefundenen Tauber-Satz f'tir die Stieltjes-Transformation oder auf die allgemeinen Tauber-Ss yon WI~.~CV.R und PITT. Die vorliegende Arbeit enthglt daher einen neuen und elementaren Beweis der symmetrisehen Umkehrung des Satzes yon FATOU.
Der Verfasser ist Herrn P. L. BVTZER ffir interessante Diskussionen und Literatur- hinweise clankbar.
2. Der Fall ~ ~-- 2. Es sei r eine Verteilungsfunktion. Die Funktion ~ (u) ---- = ~b (c~)~ ~(u) und die Kosinus-Transformierte P(t ) haben immer die in der Ein- leitung fes~gelegte Bedeutung.
Satz 1. Es ist stets O 0
lira P(0)-P( t ) 1 f u2dr t ~ - - 2 0 t-~+0
mit Einschlufl des Wertes oo.
Bewei s . Naeh (1.1) haben wit in t > 0
/ / P(O) -- P(t) 1 -- oostu . . . . 1 -- oostu t2 - - i'~ au~ tu) ~_ /~ d ~ (u)
0 0
ftir R > 0. Hieraus folg%
lim inf P(0) - P(t) } / t~ --> u2 da~(u), t.--~+ 0
lira inf P(O) t~ > u2dqS(u) " t--~-{- 0 ~--- Z 0
OO O o
Der Fall fuUdq~(u) -:- r ist damit erledigt. I m Falle fu2d~)(u) < ~ folgt die Be- 0 0
hauptung aus dem Satz yon L~.Bv, SG~E fiber die m~jorierte Konvergenz. Die beiden folgenden Hilfss~tze gelten fiir jedes 2 > 0.
H i l f s s a t z 1. Es ist stets o o
f u ~da~(u) = ~ f u~-~ (u)du 0 0
Vol. XI, 1960 Eigenschaften der Fourier-Stiehjes-Transformation 355
mit Einschlufl des Wertes ~ . I m Falle f u~a~(u) < ~ is, o
lim u~ q~(u) = O.
Bewe i s . In u > 0 ist
f t * a r (0 _>- u (~ (R) - - r (u)) U
f'tir R > u und daher
7 t ~ d e (t) >= u~(r ( ~ ) - - r (u)) = u ~ (u) . t$
Hieraus folgt die zweite Behauptung. Andererseits liefert eine partielle Integrat ion
R (2.1) f ,~ a r (~) + R ~ ~ (R) = Z f ~-~ ~o (~) au
o o
fiir/~ > O. Hieraus folgt die erste Behauptung.
Hilfssatz 2. Fiir R > 0 ist 2~
[Var u ~" ~o (U)]o ~ -~ 2 ~ f u ~-1 ~ (u) a~. o
Bewe i s . Aus der Ungleiehmng
I v~ ~ (v) - - u ~ q~ (u) [ =< (v ~ - u ~) (p (v) - - u ~ (~ (v) - - q~ (u))
f'tir 0 < u < v folgt
[Var u ~ ~ (u)]g ~ f ~ (u) d (u ~) - - f u ~ d~ (u) = 2 f u ~-~ q~ (u) au + f u ~ dO (u). 0 0 0 0
Hieraus und aus (2.1) folgt die Behauptung:
Satz 2. Es s e i f u2dqb(u) < r Dann ist die Funkt ion P(O) - P(t) t~ positiv-definit. o
B e w e i s . Naeh ttilfssatz 1 ist uq)(u)du < ~ mid daher f~(u)du < ~ . W i t bilden die Verteilungsfunktion o o
lg
q~(u) = f ~ ( t ) d t i nu >=0 o
und die zugehSrige Funktion
~ ( u ) = q ~ ( ~ l - - q ~ ( u ) = f ~p(t)dt i nu > O.
Es folgt
f ~ a ~ (u) = f ~ q~(u) au o o
�9 f i i r R > 0 u n d d a h e r n a c h g i l f s s a t z 1
f ~ a ~ ( ~ ) = f ~ ( ~ ) d ~ < ~ . o o
24*
356 H. KSum A~CH. MATH.
Es sei nun t > 0. Wir haben fiir R > 0 einerseits
R R 1
f sin tu ~ (u) du f cos tu ~vl (u) du = I sin tR q~l (R) + 7 o o
and andererseits R R
f (1 - - cos tu) d e (u) = - - (1 - - cos tR) cZ (R) + t f s i n tu cp (u) du. 0 0
Hieraus folgt f'tir _R --> oo o o
P ( o ) - p(t) f eostu~o~(u)du in t > 0 t2 0 und damit die Behauptung.
3. Ein Tauber-Satz. Es sei r eine Verteilungsfunktion. Wir betrachten die Funktion
o o 're 2
(3.1) - Y ( x ) = / x ~ + u ~ d ~ ) ( u ) i n x > 0 . o
Nach einer partiellen Integrat ion erhalten wit
o o
f F (x) = j (x~ + u2) 2 u q~ (u) du o
und daher ftir R > 0 o o
f i 2x2 (3.2) F ( R x ) = x2 + u2)~ucf(Ru)du i nx > 0. 0
Es sei nun 0 < A '< 2. Wit beweisen die beiden folgenden Siitze.
Satz 3. Die Eunktion x~ F (x) sei in x > 0 beschr~inlct. Dann ist die Funktion u~ qD (u) in u > 0 beschrgnkt.
Bewe i s . Nach (3.1) haben wit in x > 0
0 o
F(x) >__ de(u) _~ v. ( r r = g ~ ( x ) => 0.
Hieraus folgt die Behauptung.
Satz 4. Es sei
(3.3)
Dann ist
(3.4)
lira x a.F (x) = B .
2B ~A lira u ~' ~ (u) = - ~ sin - g - .
Vol. XI, 1960 Eigenschaiten der Fourier-Stiehjes-Transformafion 357
(3.6)
Nun ist
Bewe i s . Nach Satz 3 haben wir 0 ~ u~q~(u) "< M in u >. 0. Wir betrachten eine gegen oo strebende Folge yon positiven Zahlen Sj (j = 1, 2, ...) mit existierendem Grenzwert
] - - * c o
2. @ Wit haben zu zeigen, dag dann C ----- - ~ sin ist.
Auf Grund der Ungleiehtmg
(3.5) 0 < s ~ ( N u ) < - ~ = = u~ in u > 0
sind die monoton fallenden Funktionen S~. cp (S1u) in jedem Interval] u ~ c > 0 gleieh- 1
miiBig besehr/~nkt. Wir wenden sukzessive fiir c = n (n ---- 1, 2 . . . . ) den Satz yon
H~LLY an; vgl. etwa Wn)D]m [18] w 1.16. lqach dem Diagonalverfahren erhalten wit eine in jedem tMnkte u > 0 konvergente Teiffolge R~qD (Rju). Es sei
L(u) = am 2e~ u~(R~u)
Die Funktion L (u) ist megbar und nichtnegativ, und die Funktion L (u)/u ist in u > 0 monoton fallend. Ferner ist L(1) ----- C.
l~ach (3.2) ist in x > 0
(Rsx)ZF(R~x) = / 2x~+~" R~u~(Bju)du (~ + u~)2 �9 0
Auf Grund yon (3.5) diirfen wir den Grenziibergangj -+ oo auf der reehten Seite unter dem Integralzeiehen vollziehen. Nach (3.3) erhatten wir
o o
f 2x2+2 B = j ( z ~ ) 2 L (u) du
o
in x > 0. Wit sehreiben diese Gleiehung in der Form
c o
B f . 2t t~+l - - (t2 + u2)~ L ( u ) du
0
und integrieren bei festem x > 0 tiber das Interval l x <= t < zo. Naeh dem Satz vofi FtrBI~I diirfen wir auf der rechten Seite die l~eihenfolge der Integrationen ver- tausehen. Es folgg
o o
B 1 f L(u) , z x ~ - J 7 4 - - ~ + ~ au in x > O .
0
r / . ~ . ]-1
0
wie man am einfachsten mit dem Residuensatz beweist; vgl. etwa T r r c ~ s H [16]
358 H. KSm~ ~ca . ~A~.
w 3.123. Daher ist o O
f u l - a = [ s in~2~- i I (3.7) j ~ au = ~ k -~-/ ~r in = > 0. 0
Nach (3.6), (3.7) und naeh dam in der Einleitung formulierten Eindeutigkeltssatz haben wit
2B . n2 1 L (u) = ~-Z s m y u ' -
ffir fast alle u > 0 und daher auf Grund der Monotonie der Funktion L (u)/u ftir alle u > 0. Insbesondere ist
2B . zt2 0 = L(1) = ~-T s m - ~ - ,
was zu beweisen war.
B e m e r k u n g . Nach (3.1) lind naeh dem Satz yon FUBI~I haben wit
OO
F ( x ) = - - u =
o
=x?(foe-~t(1--costu)dt)d#,u , :
:
und daher
(3.8) _~(x) = xTe-zt(P(O )-P(t))dt in x > 0. o
Diese Gleiehung kann man auch aus (1.2) ablesen. 1%rner ist nach (1.2) im Falle A = 0
_~(x)=z(x) _ ? 1
0
in x ~ 0. Daher ist die Relation (3.3) ~iquivalent mit
lira z ~ Z(z) _ B.
4. Bedingung Iim Falle 0 < 2 < 2. Aus (1.1) erhalten wir naeh einer partiellen In- tegration
- * 8
(4.1) P(O)--P( t )=t f sintucf(u)du in t > 0 . o
Es sei ~ (u) eine Verteflmagsfunktion. Wit sehreiben die reehte Seite in Form einer unendlichen Reihe; vgl. T~C~A-~SH [17] Theorem 123. Wit haben in t > 0
P (0) - - P (t) = ~ ( - - 1)J Wj (t), i = 0
Vol. XI, 1960 Eigenschaften der Fourier-Stiehjes-Transformation 359
(~+1) :, wj(0 = (--1)Jr s ~.
Aus der Mono~ortie der ~unktion ~ (u) folgr
Wo(t) _>--.. > Wj(t) ~ ws+~(O > " " >_-o tmd daher
22+I 2~
(4.2) ~, ( - - 1 ) J W j ( t ) < = P ( O ) - - P ( t ) ~ ~, (--1)JWj(t) in t > 0 (k = 0,'l, 2, j=o i=o
Es sei nun 0 < 2 < 2. Wit beweisen die beiden folgenden S~ze.
P (o) P (t) Satz 5. Die Funkt ion u~q~ (u) sei in u > 0 beschrSnkt. Dann ist die Funkt ion tz
in t > 0 bezchriinkt.
Beweis . Es sei 0 ~ u~q~(u) ~ M in u > 0 . Wit wenden die rechte Ungleichung (4.2) im Falle k = 0 an. Es folgt
(-7) o_< t~ =< W o ( t ) = j ~ t T / q ~ du<= j - ~ - o o
in t .'> 0 und damit die Behauptmag.
S a t z 6. Es se{
(4.3) u-~cclim ua q~ (u) = ~-22B'sm -~-z~.
Dann ist
(4.4) /ira P(O) -- P(t) = t--~+0 ta 1"(t + 1) "
Beweis . Wir haben (j+l)n
j n
in t > 0 und daher (j+1)=
lira 1 2B sin ~'~ f ~in~ t_~+o7 r Wj(t) = ( . l y e 2 - 9 j ~ du.
j=
Nach (4.2) erhalten ~
(e~+ l),~ -- P (t) 2B sin ~ ~ ' - ' - ~ "-2- jr --~sinu du <--liminf t~+o '
o 2 ~
lim sup P(0) - P(t) < 2__._BB sin --4T-au t - - r + 0 t~ - - ~A
o
Hieraus folgt ftir k --~
l im P(O)-- P(t) __ 2B ,. ~I f s i n u , t--,+o g " =~ sm-'2- J -4Y 'au" "
o
360 H. KSN~6 A~C~. ~ r ~ .
Wit wenden nun die bekannte Beziehung - - ~ o o
J u~ -~ s i n - F(Z) 0
an; vgl. etwa 0B~rrETTr~GER [14] Seite 116 Zefle 1. Alsdann erhalten wit (4.4). Wit fassen unsere Ergebn/sse zusammen. Die Funktion/~(x) babe die in (3.1) und
(3.8) angegebene Bedeutung.
Satz 7. I m _~alle 0 < 2 < 2 sind die ]olgenden drei Aussagen untereinander dquivalent.
1) Die -~unktion uaq~(u) ist in u > 0 beschrdnkt.
2) Die _Funktion P(O) -- P(t) t~ ist in t > 0 beschrdnkt.
3) Die tTunktion x~F (x) ist in x > 0 besehrdnlct.
Satz 8. I m ~alle 0 < 2 < 2 sind die/olgenden drei Aussagen untereinander 5quivalent.
2B . ~r2 ]iir u---~ eo 1) Es konvergiert u~q~ (u) - + - ~ sm -~-
P (0) - P (t) 2) Es konvergiert ~x -+ B//~(2 + 1) //gr t --~ + 0 .
3) Es konvergiert s E (x) --~ B /iir x -~ oo.
Bewe i s . Wit haben in beiden S~itzen nu t noeh den Schlu/3 yon 2) auf 3) auszu- fiihren. In Satz 7 folgt die Behauptung unmit telbar aus (3.8), in SaCz 8 aus einem be- kannten Abel-Satz fiir die Laplace-Transfomat ion; vgl. HA~D~r und LrrTLEWOOD [8] w 4 und DOETSC~t [6] w 14.1 Satz 1.
B e m e r k u n g . Die Ver~eflungsfunktion # (u ) sei in u ~ 0 konkav. ])as bedeuteg u
(u) = f n(t) at in u >_ 0 0
mit einer monoton fallenden und integrierbaren Funktion h (u) ~ 0. In diesem Falle ist die Relation
llm u ~ ~(u) = C
fiir jedes 2 > 0 ~quivalent mit
lira ua+ l h(u) = 0 2 . Ik--~O0
Der Beweis verl~uft wie in DOETSCH [6] w 16.1 Hilfssatz 3.
5. Bedingung I I im Falle 0 < 2 < 2. Wit betrachten zuerst die Funktion ---~oo
sinu (5.1) Q(0 = Q(t, 2) = - -~ -du in t _> 0.
t
Nach einer partiellen Integrat ion erhal~en wit in t > 0 c o
cos t f cos u . Q(t) = - V - - - 2 j u - ~ a u .
Vol. XI, 1 9 6 0 Eigensdaaften der Fourier-Stieltjes-Transformation 361
Hieraus folgt die Ungleiehung
(5.2) [ Q(t)[ t ~ ~ 2
Wir beweisen den folgenden Hilfssatz.
in t > 0 .
Ililfssatz 3. Die Eunktion Q (t) ist 10ositiv.definit.
Beweis . Wit haben
f cos ~t Q (t) dt = -~ H (x) fiir alle x . 0, 4- 1. 0
Hierin ist
H(x) = -~z F(~) cos
x + l l~z log x -- 1 ffir 2 = 1
Vgl. etwa OBE~.TT~a,~G~.'a [14] Seit~e 130, Zeile 6 trod 8. Die Funktion H (x) ist gerade und niehtnegat~iv. Ferner ist
(1 - - t). F(2) cos - - ffir 2 . lira H(x) =~.~oolim x3-~H(x) = 2/~ ftir A = "
o o
Hieraus folgt f H (x) dx < oo. Alsdarm hat man 0
o o
Q (t) = f cos tu H (u) du in t => 0 0
nach bekarmten Umkehr- trod Eindeutigkeitss/itzen; vgl. TITCH~A~S~r [17] w 1.9 Theorem 3 und w 6.4 Theorem i13. Damit ist die Behauptung bewiesen.
Es sei nun ~ (u) eine beliebige Belegungsfurfl~tion. Eine pa~ielte Integration lieferg i n t > 0
/ t R
f Q (tu) d (u ~ ~ (u)) = Q (t R) R ~ qD (R) q- ~ f sin tu q9 (u) du o o
ftir R > 0 . Hieraus und aus (4.1) und (5.2) fo l~ f'dr R -+ oo die Darstellung
. . - ~ o o
(5.3) P ( o ) - P ( t ) fQ(tu)d(u~q~(u)) in t > 0 o
Diese Darstelhmg liefert in Verbindung mit~ ttilfssatz 3 und Satz 7 unmittelbar die naehstehenden Ergebnisse.
Satz 9. Die Funktion u~qz(u) sei in u ~ 0 monoton wachsend. Dann sind die beiden ]olge~en Ausscglen mitei~x~nder dquivalent.
I) Die tVunktion u~q~ (u) ist bei der Bewegung u ---> r beschrSnkt.
2) Die Eunktion P(O) -- P(t) ist l~ositiv-definit. t~
362 H. KSw~ aacn. ~aTm
Satz 10. Die _~unktion u~qo(u) sei in u ~ 0 yon bezchr~inkter Variation. Dann ist die P(o) - v (O Funktion t~ al8 Kosinus.Trans/ormierte einer Be'legungs/unktion darstellbar.
/ )as folgende Beispiel zeigt, dab SaCz 10 nicht umkehrbar ist. Wir beschr/~nken uns der Kiirze halber au f den ~a]l 2 = 1.
Beispiel. Die Verteilungsfunktion
u 1 -- cos t
o
besi~z~ die Kosinus-Transformierte
Die leunktion
i n u ~ O
P(0 = fcos tu l ~ d u = - - cosu ~- (1 - - t) i n 0 _~ t _~ 1 .
o 0 i n t _ ~ l
/ / P ( 0 ) - P ( 0 _ -~ in 0 < t _ ~ l :rg
t ~ in t ~ l
ist~ die t~om'ier-Kosinus-'rransformierte der absolu~ integrierbaren ~'tmktion
~(,,) = J - 5 : d t = ~, + - -
Vergleiehe e~.ra OB~mt~.~Tr~O~ [14] Seite 18 Zeile 4 trod Seite 5t) Zeile 7. _~dererseits erha!ten nach einer partiellen Integration in u > 0
cos u sin u ~sin t (u~Cu))' = . + - - ~ - 2 j - i f-dr.
Daher is~ die ~unk~ion (u ~(u))' nicht absolut integrierbar, so dab die 1%nk~ion u ~(u) in u ~ 0 nicht yon beschr~nkter Variation ist.
6. Zusammenhang mit tier Hflbert-Transformation. I n diesem Abschni t t handelt es sieh um die Bedingung I I im Falle 2 = 1. Wit verwenden zweckm/iBigerweise die ex- ponentielle Fo rm der Fourier-Transformation.
Es sei r eine beliebige Belegungsfunktion. Wit setzen ~5 (u) zu einer ungeraden ~'kmktion a u f - - - ~ < u < ~ fort. Wi t setzen ferner ~ (u) = ~9~ ( - -u ) in u < 0, so dab die Funkt ion F(u) bis au f den Wef t qg(0) = ~ ( ~ ) in ~ o o < u < ~ ungerade wird. Die Kosinus-Transformierte P(t) wird nach (1.1) in - - - ~ < t < co eine gerade Funk- tion. Wi t haben
1 f e ~ d e (u) s alle t.
I-I_ieraus folgt nach der Umkehrformel 2~
1 qS(u) .~ F i re5 / e-~'u-1- it P(t)dt f '~ ane u.
Vgl. e twa BOOH~r~ [2] w 18. Daher ist
Vol. XI, 1960 Eigenschaften der Fourier-Stieltjes-Transformation 363
.- .~oo
2 f sin tu r = -~ j - - / - P(0dt
0
---)-oo
o
In exponentieller Form lautet diese Gleiehung
1 = lira 1__ fe-~,/'(~ dt (6.1) ~ qo(u) ~..., 2zc J --li t
ffir aUe u,
fiir alle u . 0.
fiir alle u . 0,
worin das Integral als Haup~wer~ in bezug auf den BTullpunkt zu nehmen ist. Auderer- seits haben wit naeh (4.1)
(6.2) P ( 0 ) - P ( 0 . 1 ~
In den naehfolgenden Betraehtungen stiitzen wit uns auf die Fourier.Planeherel- Transformation in 2~ z (--oo, eo). Es sei
die Fourier-Plancherel-Transformierte der Funk~i0n ](u) aus L2(----oo, oo). Hierin bezeichnet Lira den Grenzwert in der/)Z-Norm. Es bes~eht die Umkehrformel
(6.3) / (u) du ----- ~ -- it 0 - - o o
VgL e~wa TrrcaMxRSH [17] w 3.1. Wit betrachten ferner die Hilbert-Transformierte
o o
der Funktion ~ (u) aus L 2 (--0% oo). Die Funktion g (u) ist in/)2 (--0% co) und besitz~ die Fourier-Plancherel-Transformierte
(6.5) ~ ( t ) = - - i ( s g n t ) / ( t ) fiir fast alle t:
Vgl. T r r ~ s r r [17] w 5.1--3. BTaeh (6.4) ist die ~ mk t i o n g (u) genau darm gerade, wenn /(u) eine ungerade Flmlrtion isk
Satz 11. Es sei q~ (u) eine Belegungs~unktion. Dann sind die beiden ]olgendoz Aus- sagen miteinander iiquivalent.
1) Die -~unktion P (O) - P ( O ist als Kosinus- Trans]ormierte einer Belegungs]unktion t
darstellbar. 2) Die $' unktion ~ ( u ) ist in L z (---oo, oo), und ihre H ilbert- Trans/ormierte ~v ( u ) ist in
/)1(__.~, oo).
3 6 4 H. KSNIG Allele. MATH.
I n diesem Falle ist oo
(6.6) P ( o ) - P ( 0 - f costu~(u)au int >O. o
Beweis . Es sei V(u) eine Beleg~ngsfunktion und
P ( o ) - P(,) =feostudV(u) in t > 0 . t 0
Naeh ungerader Fortsetzung der Funktion V (u) auf k c ~ < u < r haben wir
o o
P(O)--P(t) 1 [e~tudV(u) f i i ra l le t @0
und daher naeh der Un~ehrformel
1 V(x) -~ lira .1 / e-~--- 1 P(O)~P(t)dt ffir alle x. (6.7) 2 ~o~ ~ J --it
--//
Andererseits ist die Funktion iv(0) - P(t) in L 2 (--r162 co). Nach (6.1), (6.2) ist daher die - - i t
Funktion ~(u) in L 2 ( - - ~ , ~ ) , und P(0)--P(t) - - i t is~ d i e F o u r i e r - P l a n e h e r e l - T r a n s -
i formierte der Funktion ~q~ (u). Es sei v 2 (u) die Hflbert-Transformierte der Funktion
1 ~(u ) . Dann besitzt die Funktion ~-~v(u) nach (6.5) die Fourier-Planeherel-Trans-
p (0) - P (t) formierte itt . Naeh (6.3) haben wir
o o
yJ(u) du = ~ j --'5 dt for alle x. 0 - - o o
Hieraus und aus (6.7) folg~
V (x) = f yJ (u) du Ftir alle x. 0
Daher ist die Funktion ~fl(u) in Ll( - -oo, r und es besteht die Gleiehung (6.6). Der umgekehrte SehluB yon 2) auf 1) ist nach dem Vorangehenden unmittelbar klar.
Auf Grund yon Satz 11 kSnnen wit Satz 10 im Falle i ---- 1 als Aussage fiber die Hflbert -Transformation formulieren.
Satz 12. des sei qD (u) eine ungerade Funktion. Die Funktionen q~ (u) uncl uq~ (u) seien in ~ o o < u < oo yon beschr~inkter Variation. Dann ist die Hilbert. Trans]ormierte yJ (u) der .Funktion ~(u) in L1 (--r oo).
Aus Satz 12 und Hilfssatz 2 im Falle 2 ----- 1 erhalten wit das naehstehende Resultat. Der analoge Satz fiber konjugierte l~unktionen im Intervall 0 ~ u ~ 2~ stammt yon P~a~wx und WI~WR [15] Note II.
Folgerung. Es sei q~ (u) eine ungerade und in u > 0 monoton /allende Funktion aus LZ (--o% ~) . .Dann ist ihre Hilbert.Trans/ormierte ~f(u) in LI ( - - ~ , ~) .
Vol. XI, 1960' Eigenschaften der Fourier-Stiehjes-Transformation 365
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Eingegangen am 28. 3. 1960
