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Physikalisches Praktikum, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer
Ergänzungen zum Kapitel
Fourier-Transformation und Signalanalyse
Methoden der Messtechnik - Signal und Bildverarbeitung
Für die Überlassung des Skripts für die 14. Auflage 'Physikalisches Praktikum' danken wir Prof. Dr.-Ing. habil. P. Lehmann, Universität Kassel, FB 16 - Elektrotechnik/Informatik, Fachgebiet Messtechnik
Skript zur Vorlesung
Methoden der Messtechnik - Signal und Bildverarbeitung
(SiBi)
Herausgegeben von: Dr.-Ing. Peter Lehmann Wintersemester 2005/2006
Fachbereich 4 Produktionstechnik
Fachgebiet 08: Mess-, Steuerungs- und Regelungstechnik
Inhaltsverzeichnis
1 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation 1
1.1 Fourier-Reihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
1.2 Fourier-Integrale und Fourier-Tranformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
1.3 Diracsche-Deltafunktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
2 Faltung und Korrelation 10
2.1 Faltungstheorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10
2.2 Korrelationstheorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11
2.3 Autokorrelationsfunktionen stochastischer und periodischer Signale : : : : : 12
2.4 Faltung und Korrelation mit Deltafunktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : 14
3 Eigenschaften der Fouriertransformation, spezielle Fouriertransformierte 14
3.1 Eigenschaften der Fouriertransformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14
3.2 Spezielle Fouriertransformierte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17
4 Abtastung und diskrete Fouriertransformation 20
4.1 Signalabtastung und Abtasttheorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20
4.2 Diskrete Fouriertransformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24
4.2.1 Diskrete Leistungsdichtespektren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26
4.2.2 Fensterfunktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29
4.2.3 Zero-Padding und spektrale Interpolation : : : : : : : : : : : : : : : : 29
4.3 Diskrete Faltung und Korrelation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33
5 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation 37
5.1 Digitale Filter : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37
5.2 Verrauschte Signale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41
5.2.1 Verrauschte deterministische Signale : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42
5.2.2 Stochastische Signale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46
5.3 Hilbert-Transformation und Zeit-Frequenz-Analyse : : : : : : : : : : : : : : 50
5.3.1 Hilbert-Transformation zur Erzeugung des analytischen Signals : : : 50
5.3.2 Zeit-Frequenz-Analyse : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53
5.4 Korrelationsanalyse : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59
5.4.1 Korrelationsfunktionen diskreter Signale : : : : : : : : : : : : : : : : 59
5.4.2 Anwendungen der Korrelationsanalyse : : : : : : : : : : : : : : : : : 61
6 Digitale Bildverarbeitung 66
6.1 Grundbegri�e der Bildverarbeitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66
6.2 Punktoperationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70
6.3 Lokale Operationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71
6.3.1 Maskenkorrelation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71
6.3.2 Grauwertgl�attung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72
6.3.3 Kanten�lterung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72
6.4 Globale Operationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74
2
6.4.1 2D-Fouriertransformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74
6.4.2 Radon-Transformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 79
1 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation
1.1 Fourier-Reihen
Fourier-Reihenentwicklung periodischer Funktionen f(�) mit der Periodendauer T .
Voraussetzungen (Dirichlet Bedingungen):
� Funktion hat eine endliche Anzahl von Unstetigkeitsstellen in einer Periode
� Funktion hat endliche Anzahl �niter Maxima und Minima pro Periode
� Das Integral+�R��
jf(�)jd� ist endlich.
! Fourier-Reihe: f(�) = a0
2+
1Pn=1
[an cos(n�) + bn sin(n�)]
mit den Koe�zienten
an =1
�
+�Z��
f(�) cos(n�)d�; n = 0; 1; 2; : : :
bn =1
�
+�Z��
f(�) sin(n�)d�; n = 1; 2; : : :
Im allgemeinen geht es um zeitabh�angige Funktionen der Periodendauer T. Dann gilt � =
2� t
T= !t
�t = T�
2�
�,�d� = 2�dt
T
�
! an =2
T
T2Z
�T2
f(t) cos(n!t)dt
bn =2
T
T2Z
�T2
f(t) sin(n!t)dt
f(t) =a0
2+
1Xn=1
[an cos(n!t) + bn sin(n!t)] (1)
In der systemtheoretischen Beschreibung wird h�au�g eine andere Schreibweise bevorzugt:
f(t) =a0
2+
1Xn=1
cn cos(n!t�n) (2)
mit cn =qa2n+ b
2n; n = arctan
�bn
an
�Gleichung (2) bedeutet, da� f(t) zerlegt wird in
� den Mittelwert �uber eine Periode�a0
2
�
� sowie harmonische Cosinuskomponenten als ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz
! mit den Amplituden cn und den Phasen n
1
Das Diagramm cn �uber n! ist das Amplitudenspektrum von f(t). Bei ! = 0 erh�alt man den
"O�set\ von f(t). Das Diagramm n �uber n! ist das Phasenspektrum von f(t). Cn und n
sind diskrete und nicht kontinuierliche Funktionen, man spricht auch von Linienspektren.
Wenn T ansteigt, wird ! kleiner! Linien werden dichter!
Wenn T !1 wird aus dem diskreten Spektrum ein kontinuierliches und die Fourier-Reihe
geht in ein Fourier-Integral �uber.
Symmetrieeigenschaften:
1. F�ur gerade (periodische) Funktionen gilt: f(t) = f(�t)
2. F�ur ungerade (periodische) Funktionen gilt: f(t) = �f(�t)Die Fourier-Reihenentwicklungen von geraden bzw. ungeraden periodischen Funktio-
nen enthalten nur Kosinus- bzw. nur Sinus-Terme.
3. Eine periodische Funktion mit der Periode T enth�alt nur geradzahlige Vielfache von !
(auch Harmonische genannt), wenn gilt: f�t� T
2
�= f(t).
4. Eine periodische Funktion mit der Periode T enth�alt nur ungeradzahlige Vielfache von
! (auch Harmonische genannt), wenn gilt: f�t� T
2
�= �f(t).
5. Jede Funktion kann in gerade und ungerade Anteile zerlegt werden:
f(t) =f(t) + f(�t)
2| {z }gerader Anteil
+f(t)� f(�t)
2| {z }ungerader Anteil
Ausnutzen der Symmetrieeigenschaften beschr�ankt die Anzahl der zu berechnenden
Koe�zienten und den Integrationsbereich (z.B. auf eine halbe Periode) bei der Fourier-
Reihenentwicklung:
zu 1: f(t) = f(�t)! bn = 0; an =4
T
T2R0
f(t) cosh�
2�n
T
�t
idt
zu 2: f(t) = �f(�t)! an = 0; bn =4T
T2R0
f(t) sinh�
2�nT
�t
idt
zu 3: f
�t� T
2
�= f(t)! geradzahlige n:
an =4
T
T2Z
0
f(t) cos(� � �)dt; bn =4
T
T2Z
0
f(t) sin(� � �)dt
ungeradzahlige n: an = bn = 0
zu 4: f
�t� T
2
�= �f(t)! geradzahlige n: an = bn = 0
ungeradzahlige n: an =4
T
T2R0
f(t) cos(� � �)dt; bn =4
T
T2R0
f(t) sin(� � �)dt
2
Beispiele:
1. Periodische Rechteckfunktion:
f(t) =
8>><>>:
0 f�ur �T
2< t < �T
4
f0 f�ur �T
4� t <
T
4
0 f�ur T
4� t <
T
2
f(t) ist gerade Funktion ! bn = 0 f�ur alle n
an =4
T
T2Z
0
f(t) cos(n!t)dt
�mit ! =
2�
T
�
=4f0
n!T
[sin(n!t)]T4
t=0 = 2f0sin
�n�
2
�n�
; n 2 f1; 2; : : :g
a0 =2
T
+T2Z
�T2
f(t)dt
=2
T
� T2� f0 = f0
! f(t) =f0
2+2f0
�
�cos(!t)� 1
3cos(3!t) +
1
5cos(5!t)� 1
7cos(7!t) + � � �
�
! Amplitudenspektrum:
0 ! jc0j = f0
2
! ! jc1j = 2f0�
2! ! jc2j = 0
3! ! jc3j = 2f03�
5! ! jc5j = 2f05�
u.s.w.
Das Phasenspektrum nimmt abwechselnd die Werte 0 und � an, beginnend mit 0 f�ur
n! = 0 und n! = 1!.
2. Periodische Dreieckfunktion mit
f(0) = 0
f
�T
4
�= f0
f
�T
2
�= 0
f
�3T
4
�= �f0
Symmetrieeigenschaften:
f(t) = �f(�t) (3)
3
−1000 −500 0 500 1000−0.5
0
0.5
1
1.5
−1000 −500 0 500 1000−0.5
0
0.5
1
1.5
−1000 −500 0 500 1000−0.5
0
0.5
1
1.5
−1000 −500 0 500 1000−0.5
0
0.5
1
1.5
Abb. 1: Darstellung der Fourier-Reihenentwicklung einer periodischen Rechteckfunktion
mit der Periode 2000 und f0 = 1 bis zur Ordnung n = 5 (oben links), n = 11 (oben rechts),
n = 21 (unten links) und n = 1001 (unten rechts).
4
f
�t� T
2
�= �f(t) (4)
Aus (3): an = 0 (n 2 f0; 1; � � �g)Aus (4): bn = 0 f�ur n 2 f2; 4; 6; � � �g
−1000 −500 0 500 1000−1
−0.5
0
0.5
1
−1000 −500 0 500 1000−1
−0.5
0
0.5
1
−1000 −500 0 500 1000−1
−0.5
0
0.5
1
−1000 −500 0 500 1000−1
−0.5
0
0.5
1
Abb. 2: Darstellung der Fourier-Reihenentwicklung einer periodischen Dreieckfunktion mit
der Periode 2000 und f0 = 1 bis zur Ordnung n = 3 (oben links), n = 7 (oben rechts), n = 15
(unten links) und n = 101 (unten rechts).
Bei zwei Symmetriebedingungen reicht es, �uber T
4zu integrieren, also 0 � t � T
4!
f(t) =�4f0T
�t
! bn =8
T
T4Z
0
4f0
T
!t sin
��2�n
T
�t
�dt
=8f0
n2�2sin
�n�
2
�(partielle Integration)
! f(t) =8f0
�2
�sin!t� 1
32sin(3!t) +
1
52sin(5!t) � 1
72sin(7!t) + � � �
�
Das Phasenspektrum alterniert wieder zwischen 0 und �.
Amplitudenspektrum:
5
! ! jc1j = 8f0�2
3! ! jc3j = 8f0(3�)2
5! ! jc5j = 8f0(5�)2
u.s.w.
Eigenschaften der Charakterisierung von Signalen im Frequenzbereich:
1. Ein O�set g(t) = f(t) + const. wirkt sich nur auf den Koe�zienten a0 aus.
2. Zeitverschiebung: c2n= a
2n+ b
2nbleibt konstant; n �andert sich!
3. Allgemein gilt:
Unstetigkeiten von f(t) bewirken, da� das Amplitudenspektrum mit 1nf�allt (siehe
Beispiel 1). Unstetigkeiten von f0(t) bewirken, da� das Amplitudenspektrum mit 1
n2
f�allt (siehe Beispiel 2).
4. f(t) mu� nicht periodisch sein, wenn f(t) nur auf dem endlichen Intervall �T
2< t <
T
2
approximiert werden soll. Dann kann f(t) mit der Periode T periodisch fortgesetzt
werden.
Exponentielle Form der Fourier-Reihe:
- ist leichter umzuformen
- erlaubt �Ubergang zu Fourier-Integral und Fourier-Transformation
Aus (1) folgt mit der Euler-Gleichung sin(n!t) = 1
2j(ejn!t � e�jn!t),
cos(n!t) = 1
2(ejn!t + e�jn!t):
f(t) =a0
2+
1Xn=1
" an � jbn
2
!ejn!t +
an + jbn
2
!e�jn!t
#
= �0 +1Xn=1
��ne
jn!t + ��ne�jn!t
�; �0 = a0=2
1Xn=1
��ne�jn!t =
�1Xn=�1
�nejn!t
! f(t) =+1X
n=�1
�nejn!t (5)
�n =1
T
T2Z
�T2
f(t)e�jn!tdt (6)
Um zu zeigen, da� die �n gem�a� Gl. (6) die in Gl. (5) einzusetzenden Koe�zienten
sind, nutzen wir einmal mehr die Euler-Gleichung aus:
�n =1
T
T2Z
�T2
f(t)e�jn!tdt (7)
6
=1
T
2664
T2Z
�T2
f(t) cos n!tdt� j
T2Z
�T2
f(t) sinn!tdt
3775 (8)
F�ur n < 0 gilt:
�n =1
T
T2Z
�T2
f(t) cos(jnj!t)dt
| {z }=T
2an
+j
T
T2Z
�T2
f(t) sin(jnj!t)dt
| {z }=T
2bn
(9)
=an + j bn
2; (10)
F�ur n > 0 gilt:
�n =an � j bn
2:
In Gl. (5) nimmt n auch negative Werte an, die auf sogenannte negative Frequenzen
f�uhren, welche keine physikalische Relevanz haben. Sie sind eine Folge des mathemati-
schen Formalismus, der Sinus- und Kosinusfunktionen in Paare von Exponentialfunk-
tionen �uberf�uhrt.
� Bei Schwierigkeiten sollte man sich erinnern, da� die Koe�zienten der Fourier-Reihe
reell sein m�ussen, wenn f(t) eine reelle Funktion von t ist.
� Der Grund f�ur die Exponentialdarstellung liegt darin, da� sie direkt auf das Fourier-
Integral und die Fourier-Transformation f�uhrt, die wichtig sind, um die Frequenzbereichs-
Konzepte auf nichtperiodische Funktionen und ggf. im Hinblick auf die Laplace-
Transformation zu erweitern.
1.2 Fourier-Integrale und Fourier-Tranformation
Die Amplitudenspektren von periodischen Funktionen sind diskret (Linienspektren).
Die relevante Frequenz ! = 2�Twird mit wachsendem T kleiner und die Spektrallinien in den
Amplituden- und Phasenspektren werden dichter.
ImGrenzfall T !1 wird aus dem diskreten Spektrum eine glatte Kurve, das kontinuierliche
Amplitudenspektrum.
F�ur T !1 mu� f(t) nicht mehr periodisch sein. Nichtperiodische Funktionen treten h�au�g
als Systemantworten auf, so da� die Fourier-Reihenentwicklung diesbez�uglich modi�ziert
werden soll:
Folgende �Anderungen in der Notation sind daf�ur n�otig, denn ! = 2�
T! 0 und n werden
bedeutungslos, wenn T !1.
In einem kontinuierlichen Spektrum kann ! jeden Wert annehmen. Eine Rede�nition der
relevanten Gr�o�en gibt die folgende Tabelle an:
Fourier-Reihe De�nition Fourier-Integral
n! harmonische Komponente !
! Fundamentalfrequenz �!
T Periode von f(t) 2�
�!
7
! f(t) =+1X
!�!
=�1
�!ej!t (11)
mit ! = 0; ��!; �2�! � � �
�! =�!
2�
+T2Z
�T2
f(t)e�j!tdt (12)
Einsetzen von (12) in (11) liefert:
f(t) =1
2�
2664
+1X!�!
=�1
T2Z
�T2
f(t)e�j!tdt
3775 ej!t�!
F�ur T !1 folgt:
f(t) =1
2�
+1Z�1
8<:
+1Z�1
f(t)e�j!tdt
9=; ej!td! (13)
Gl. (13) ist die Darstellung von f(t) als Fourierintegral.
! De�nition der Fourier-Transformation:
F (!) =
+1Z�1
f(t)e�j!tdt (14)
und der inversen Fourier-Transormation:
f(t) =1
2�
+1Z�1
F (!)ej!td! (15)
Gln. (14) und (15) hei�en Fourier-Transformations-Paar.
F (!) ist die Fourier-Transformierte von f(t):
F (!) = Fff(t)g;
f(t) ist die inverse Fourier-Transformierte von F (!):
f(t) = F�1fF (!)g:
Das Betragsquadrat F (!)F �(!) = jF (!)j2 des Amplitudenspektrums jF (!)j wird als
Leistungsdichtespektrum bezeichnet.
Beispiel: Amplitudenspektrum eines einzelnen Rechteck-Pulses der Dauer T :
f(t) =
(f0; 0 < t < T
0; 0 � t � T
! F (!) =
TZ0
f0e�j!tdt =
f0
j!
�1 � e�j!T
�
=2f0
!
sin
�!T
2
�e�j(!
T2)
jF (!)j = 2f0
�����sin(!T
2)
!
����� = f0T
�����sin(!T
2)
!T
2
�����8
−15 −10 −5 0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Abb. 3: Betrag jF (!)j der Fourier-Transformierten eines Rechteck-Pulses mit f0T = 1.
(Die Abszisse ist in Vielfachen von !T=2 skaliert.)
Der Verlauf von jF (!)j ist in Abb. 3 dargestellt.
Beispiel: Amplitudenspektrum einer Gau�funktion der Breite �:
f(t) =1p2��
e�t2=(2�2)
! F (!) =
+1Z�1
1p2��
e�t2=(2�2) e�j!tdt
=2p2��
+1Z0
e�t2=(2�2) cos(!t)dt
= e�!2�2=2
= jF (!)j
Abb. 4 zeigt zwei Gau�funktionen unterschiedlicher Breite mit den zugeh�origen Amplitu-
denspektren.
1.3 Diracsche-Deltafunktion
F�ur die digitale Signal- und Bildverarbeitung sowie f�ur die Beschreibung linearer Systeme
ist die Diracsche Deltafunktion �(t) (auch Delta-Puls genannt) von elementarer Bedeutung.
De�nition der Deltafunktion:
F�ur einen Rechteck-Puls mit f0 =1
Tfolgt der Grenzwert
limT!0
f(t) = �(t)
9
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
0.6
0.8
Zeit t (s)
f(t)
−40 −20 0 20 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Kreisfrequenz ω (Hz)
F(ω
)
Abb. 4: linkes Bild: Darstellung von Gau�funktionen der Breite � = 0; 5 s (durchgezogene
Linie) und � = 2 s (gestrichelte Linie) im Zeitbereich; rechtes Bild: zugeh�orige Amplituden-
spektren im Frequenzbereich.
! limT!0
jF (!)j = 1
limT!0
F (!) = 1
Alternative De�nition:
�(t) = lim�!0
1p2��
e�t2=(2�2) =
(1 f�ur t = 0
0 sonst;
+1Z�1
�(t)dt = 1:
Das Spektrum ergibt sich zu:
lim�!0
e�!2�2=2 = 1 :
Es gilt also:
! Das Amplitudenspektrum einer Diracschen Delta-Funktion ist konstant 1.
! Bei Anregung eines linearen Systems durch einen Delta-Puls werden alle Frequenzen
gleicherma�en angeregt.
2 Faltung und Korrelation
2.1 Faltungstheorem
Das Faltungsintegral, das die Faltung zweier Funktionen, z.B. x(t) und h(t) beschreibt, ist
wie folgt de�niert:
y(t) =
1Z�1
x(� )h(t� � )d� = x � h : (16)
Die Funktion y(t) wird als Faltungsprodukt der Funktionen x(t) und h(t) bezeichnet.
10
Die Beziehung zwischen dem Faltungsintegral (16) und dessen Fourier-Transformierter ist
ein wichtiges Instrument der Systemtheorie. Dieser Zusammenhang, als Faltungstheorem be-
kannt, erm�oglicht es, eine Faltung nicht nur imZeitbereich sondern auch als einfacheMultipli-
kation im Frequenzbereich auszuf�uhren. WennH(f) die Fourier-Transformierte von h(t) und
X(f) die Fourier-Transformierte von x(t) ist, dann ist H(f)X(f) die Fourier-Transformierte
von h(t) � x(t). Das Faltungstheorem l�a�t sich somit durch das Transformationspaar
F(h(t) � x(t)) = F(h(t)) � F(x(t)) = H(f)X(f) (17)
mit f = !=(2�) zum Ausdruck bringen. Um dieses Theorem zu beweisen, setzen wir f�ur
h(t� � ) in Gl.(16) die Beziehung gem�a� Gl.(15) ein, wobei ! = 2� f :
y(t) =
+1Z�1
x(� )
24 +1Z�1
H(f)ej2�f(t��)df
35 d� : (18)
Mit der Annahme, da� die Reihenfolge der Integrale vertauscht werden kann, ist diese Be-
ziehung �aquivalent zu
y(t) =
+1Z�1
24 +1Z�1
x(� ) e�j2�f�d�
35H(f) ej2�ftdf : (19)
Gem�a� Gl.(14) l�a�t sich der Term in eckigen Klammern durch X(f) ersetzen.
Mit Hilfe von Gl.((15)) folgt dann:
y(t) =
+1Z�1
Y (f) ej2�ftdf =
+1Z�1
X(f)H(f) ej2�ftdf ; (20)
und somit
Y (f) = H(f)X(f) : (21)
Der Beweis f�ur die Umkehrung des Theorems (Faltung im Frequenzbereich entspricht Mul-
tiplikation im Zeitbereich) erfolgt in �ahnlicher Weise.
2.2 Korrelationstheorem
Das Korrelationsprodukt zweier Funktionen, z.B. x(t) und h(t), (auch einfach Korrelation
genannt) ist eng mit dem Faltungsprodukt verkn�upft. Das Korrelationsprodukt ist wie folgt
de�niert:
�(t) =
+1Z�1
x(� )h(t+ � )d� = x(�t) � h(t) : (22)
Das Ergebnis, die Funktion �(t), wird als Korrelationsfunktion bezeichnet. Um das zweite
Gleichheitszeichen zu beweisen, ersetzen wir � durch ��:
�(t) =
�1Z+1
x(��)h(t� �)(�d�) =+1Z�1
x(��)h(t� �)d� : (23)
11
Da f�ur die Fouriertransformierte
F(f(�t)) = F�(!)
gilt, l�a�t sich aus dem Faltungstheorem unmittelbar das Korrelationstheorem ableiten:
�(t) =
+1Z�1
x(� )h(t+ � )d� = F�1(X�(!)H(!)) : (24)
Unter der Voraussetzung x(t) = h(t) = f(t) stimmt die Korrelationsfunktion �(t) mit der
Autokorrelationsfunktion �uberein. In diesem Fall folgt aus dem Korrelationtheorem die
wichtige Beziehung:
�(t) =
+1Z�1
f(� )f(t+ � )d� = F�1(jF (!)j2) ; (25)
die unter dem Begri� Wiener-Khintchine-Theorem bekannt ist. In Worten ausgedr�uckt
besagt das Wiener-Khintchine-Theorem, da� die Autokorrelationsfunktion einer Funktion
mit der inversen Fouriertransformierten des Leistungsdichtespektrums �ubereinstimmt bzw.
da� die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion gleich dem Leistungsdichtespek-
trum ist.
Ein weiteres wichtiges Theorem, das Parsevalsche Theorem, ergibt sich aus dem Wiener-
Khintchine-Theorem als Spezialfall f�ur t = 0:
�(t = 0) =
+1Z�1
f2(� )d� =
1
2�
+1Z�1
jF (!)j2d!: (26)
Dieses Theorem l�a�t sich als Energieerhaltungsprinzip interpretieren: Durch das Integral
+1Z�1
f2(� )d�
wird die Gesamtenergie des Signals f(t) repr�asentiert. Wenn man sich unter f(t) beispiels-
weise die elektrische Spannung als Funktion der Zeit vorstellt, die an einem 1 Widerstand
anliegt, dann ist jf(t)j2 die elektrische Leistung, die der Widerstand aufnimmt. Die Inte-
gration der Leistung �uber alle Zeiten ergibt die Gesamtenergie des Signals, die gem�a� dem
Parsevalschen Theorem bei der Transformation in den Frequenzbereich unver�andert bleibt.
2.3 Autokorrelationsfunktionen stochastischer und periodischer
Signale
Die De�nition der Autokorrelationsfunktion gem�a� Gl.(25) f�uhrt zu Konvergenzproblemen,
wenn die zu korrelierenden Funktionen nicht zeitbegrenzt sind, wie dies i. allg. bei stocha-
stischen und bei periodischen Funktionen der Fall ist.
12
Allgemein handelt es sich bei diesen Signalen um sogenannte Leistungssignale. Ein Lei-
stungssignal x(t) ist dadurch gekennzeichnet, da� seine Energie "x mit
"x =
+1Z�1
x2(t)dt
alle Grenzen �ubersteigt, so da� die f�ur Energiesignale ("x <1) g�ultige De�nition der Auto-
korrelationsfunktion gem�a� Gl.(25) nicht anwendbar ist. In diesen F�allen wird die De�nition
der Autokorrelationsfunktion wie folgt modi�ziert:
�xx(t) = limT!1
1
T
+T=2Z�T=2
x(� )x(t+ � )d�: (27)
Der Wert der Autokorrelationsfunktion an der Stelle t = 0 entspricht dann genau der Varianz
�2xdes (mittelwertfreien) Signals x(t):
�2x= �xx(t = 0) = lim
T!1
1
T
+T=2Z�T=2
jx(� )j2d�: (28)
Gebr�auchlich ist es dar�uber hinaus, die Autokorrelationsfunktion mit der Varianz zu nor-
mieren. Die auf diese Weise erhaltene normierte AKF,
�xx(t) = limT!1
1
T �2x
+T=2Z�T=2
x(� )x(t+ � )d�; (29)
nimmt an der Stelle t = 0 den Maximalwert 1 an.
Im Fall einer periodischen Funktion x(t) mit der Periode T wird ebenfalls Gl.(29) verwen-
det, allerdings wird die Integrationsl�ange mit der Periodenl�ange gleichgesetzt und auf die
Grenzwertbildung verzichtet. Dieses Vorgehen wird unmittelbar einsichtig, wenn man das
Beispiel x(t) = cos!0t betrachtet, f�ur das sich der Wert �xx(t = 0) = 1=2 ergibt.
13
2.4 Faltung und Korrelation mit Deltafunktionen
Aus der De�nition der Deltafunktion (Abschnitt 1.3) l�a�t sich die sog. Ausblendeigenschaft
ableiten:+1Z�1
�(t)h(t) dt = h(0); (30)
oder allgemeiner:+1Z�1
�(t� t0)h(t) dt = h(t0): (31)
Eine auf der Zeitachse an der Stelle t = t0 lokalisierte Deltafunktion ist durch �(t � t0)
gegeben. Die Ausblendeigenschaft besagt also, da� durch die Multiplikation mit der Delta-
funktion in Verbindung mit der zugeh�origen Integration nur der Funktionswert von h(t) an
der Stelle t = t0 �ubrigbleibt, w�ahrend alle anderen Werte von h(t)"ausgeblendet\ werden.
Die Situation, da� eine beliebige Funktion h(t) im Zeitbereich mit einer Deltafunktion �(t),
die an der Stelle t0 lokalisiert ist, gefaltet wird, kommt in der Signalverarbeitung h�au�g
vor und wird deshalb hier behandelt. Auch die Faltung mit einer Deltafunktion �(f) im
Frequenzbereich spielt in der Signalverarbeitung eine wichtige Rolle.
Das zu Gl.(16) korrespondierende Faltungsintegral hat die Form:
�(t� t0) � h(t) =+1Z�1
�(� � t0)h(t� � ) d� = h(t� t0): (32)
Eine Faltung einer Funktion h(t) mit der Deltafunktion �(t � t0) bewirkt also, da� die
urspr�unglich um t = 0 zentrierte Funktion anschlie�end auf der Zeitachse um den Wert
t = t0 zentriert ist.
Die Faltung einer Deltafunktion an der Stelle f = f0 im Frequenzbereichmit einer spektralen
Funktion H(f) f�uhrt dementsprechend zu folgendem Resultat:
+1Z�1
�(f 0 � f0)H(f � f0) df 0 = H(f � f0): (33)
3 Eigenschaften der Fouriertransformation und
spezielle Fouriertransformierte
3.1 Eigenschaften der Fouriertransformation
1. Linearit�at:
Ffx(t) + y(t)g = Ffx(t)g+ Ffy(t)g;
Ffconst: � x(t)g = const: �Ffx(t)g :
2. Zeitverschiebung
F�ur eine um t = t0 zeitverschobene Funktion h(t) gilt:
Ffh(t� t0)g = e�j2�ft0 H(f);
14
d.h. eine Zeitverschiebung um den Wert t0 bewirkt im Frequenzbereich einen zus�atz-
lichen Phasenterm e�j2�ft0, also eine Phasenverschiebung.
Beweis:
Ffh(t� t0)g =
+1Z�1
h(t� t0) e�j2�ftdt
=
+1Z�1
h(� ) e�j2�f(t0+�)d�
= e�j2�ft0+1Z�1
h(� ) e�j2�f�d�
= e�j2�ft0 H(f):
Das Betragsspektrum bleibt bei der Zeitverschiebung jedoch unver�andert, denn:
je�j2�ft0 H(f)j = jH(f)j :
3. Frequenzverschiebung
F�ur eine um f = f0 frequenzverschobene Funktion H(f) gilt:
F�1fH(f � f0)g = ej2�f0t h(t);
d.h. eine Frequenzverschiebung um den Wert f0 bewirkt im Zeitbereich einen zus�atz-
lichen Phasenterm ej2�f0t, der sich als Modulation des Zeitsignals verstehen l�a�t. Der
Beweis dieses Theorems ist analog zum Beweis des Zeitverschiebungstheorems.
4. Zeitskalierung
Eine Zeitskalierung bedeutet mathematisch die Multiplikation der Variablen t im Ar-
gument einer Funktion h(t) mit einer positiven reellen Konstanten K0. Es gilt:
Ffh(K0 t)g =1
K0
H(f=K0):
Beweis:
Ffh(K0 t)g =
+1Z�1
h(K0 t) e�j2�ftdt
=
+1Z�1
h(� ) e�j2��(f=K0)d�
K0
=1
K0
H(f=K0):
Besondere Vorsicht ist bei der Skalierung von Deltafunktionen geboten, da die Delta-
funktion im streng mathematischen Sinne keine Funktion, sondern eine Distribution
darstellt. Die Deltafunktion macht nur Sinn, wenn sie in Verbindung mit einem Integral
15
verwendet wird, bei dem eine beliebige Funktion im Integranden mit der Deltafunktion
multipliziert wird (siehe Gln. (31), (32)). Bei einer Skalierung gilt folglich:
+1Z�1
�(K0 t)h(t) dt =
+1Z�1
�(� )h(�=K0) d�=K0 =1
K0
+1Z�1
�(t)h(t=K0) dt :
Daraus l�a�t sich f�ur die Deltafunktion das Skalierungstheorem
�(K0 t) =1
K0
�(t)
ableiten. Analog gilt nat�urlich im Frequenzbereich:
�(K0 f) =1
K0
�(f)
5. Frequenzskalierung
F�ur eine Frequenzskalierung gilt:
F�1fH(K0 f)g =1
K0
h(t=K0):
Beweis:
F�1fH(K0 f)g =
+1Z�1
H(K0 f) ej2�ftdf
=
+1Z�1
H(f 0) ej2�f0(t=K0)
df 0
K0
=1
K0
h(t=K0):
6. reelle Funktion im Zeitbereich
Ist die Funktion im Zeitbereich reell, so folgt anhand der Euler-Formel, da� der Realteil
der Fouriertransformierten gerade, der Imagin�arteil ungerade ist.
7. imagin�are Funktion im Zeitbereich
Ist die Funktion im Zeitbereich rein imagin�ar, so resultiert ein ungerader Realteil der
Fouriertransformierten und ein gerader Imagin�arteil.
8. gerade Funktion im Zeitbereich
Ist die Funktion im Zeitbereich gerade, so ist die Fouriertransformierte rein reell.
9. ungerade Funktion im Zeitbereich
Ist die Funktion im Zeitbereich ungerade, so resultiert eine rein imagin�are Fourier-
transformierte.
16
3.2 Spezielle Fouriertransformierte
1. Deltafunktion im Frequenzbereich
Gem�a� Abschnitt 1.3 erh�alt man eine Deltafunktion im Frequenzbereich als
�(f) = lim�!0
1p2��
e�f2=(2�2)
; mit
+1Z�1
�(f)df = 1:
Bei R�ucktransformation in den Zeitbereich ergibt sich (vgl. 2. Beispiel in Abschnitt
1.2):
F�1f�(f)g = lim�!0
F�1n 1p
2��e�f
2=(2�2)
o= lim
�!0e�4�
2t2�2=2 = 1 :
2. Sinusfunktion
F�ur eine Sinusfunktion gilt:
x(t) = x0 sin(2�f0t)
=x0
2j
�ej2�f0t � e�j2�f0t
�
) X(f) =x0
2j
�Ffej2�f0tg � Ffe�j2�f0tg
�:
Die gesuchten Fouriertransformierten ergeben sich direkt aus dem Frequenzverschie-
bungstheorem (Abschnitt 3.1, 3.), wenn dort h(t) = 1 gesetzt wird. In diesem Fall gilt
n�amlich (siehe oben):
H(f) = �(f)
und damit
X(f) =x0
2j
��(f � f0)� �(f + f0)
�
= j
x0
2�(f + f0)� j
x0
2�(f � f0) :
Bereits aus den Symmetrierelationen (Abschnitt 3.1, 6. und 9.) l�a�t sich folgern, da�
die Fouriertransformierte X(f) rein imagin�ar und ungerade sein mu�, da die Sinus-
funktion reell und ungerade ist.
3. Cosinusfunktion
F�ur eine Cosinusfunktion gilt:
x(t) = x0 cos(2�f0t)
=x0
2
�ej2�f0t + e�j2�f0t
�:
Als Fouriertransformierte ergibt sich in Analogie zur Fouriertransformation der Sinus-
funktion:
X(f) =x0
2
��(f � f0) + �(f + f0)
�:
17
4. Dirac-Kamm
Unter einem Dirac-Kamm versteht man eine Folge von �aquidistanten Deltafunktionen
(siehe Abb. 5):
comb(t) =+1X
n=�1
�(t� n�t) :
F�ur die Fouriertransformierte gilt:
Ffcomb(t)g = COMB(f) =1
�t
+1Xn=�1
�(f � n=�t) ;
d.h. im Frequenzbereich resultiert ebenfalls ein Dirac-Kamm, dessen Periode sich zu
der des Zeitsignals reziprok verh�alt (siehe Abb. 5).
Beweisidee:
Zun�achst de�nieren wir einen Dirac-Kamm von endlicher Breite:
h(t) =+NX
n=�N
�(t� n�t) :
Unter Ausnutzung der Beziehung Ff�(t)g = 1 (Abschnitt 1.3) und des Zeitverschie-
bungstheorems (Abschnitt 3.1, 2.) folgt f�ur die Fouriertransformierte von h(t):
H(f) =+NX
n=�N
ej2�nf �t =+NXn=0
ej2�nf �t ++NXn=0
e�j2�nf �t � 1 :
Die beiden Summen lassen sich unter Ausnutzung der geometrischen Reihe+NPn=0
an =
aN+1�1
a�1umformen, und man erh�alt schlie�lich:
H(f) =sin((N + 1
2)2�f �t)
sin(2�f �t=2):
Der Verlauf von H(f) ist f�ur verschiedene N -Werte in Abb. 6 dargestellt. F�ur N = 1
zeigt sich ein cosinusf�ormiger Verlauf mit einem O�set von 1. F�ur gr�o�ere Werte von N
bleibt die Anzahl und die Lage der periodisch auftretenden Hauptmaxima zwar gleich,
jedoch werden diese mit zunehmendem N immer schmaler und h�oher.
Durch Einsetzen von f +1=�t in obige Gleichung l�a�t sich auch mathematisch zeigen,
da� die Funktion H(f) periodisch mit der Periode 1=�t ist. Um zu dem Resultat
COMB(f) f�ur den unendlichenDirac-Kamm imFrequenzbereich zu kommen,mu� noch
gezeigt werden, da� im Limes N ! 1 das Integral �uber eine Periode der Funktion
H(f) gleich 1=�t ist. Also:
limN!1
+ 1
2�tZ�
1
2�t
sin((N + 1
2)2�f �t)
sin(2�f �t=2)df � lim
N!1
+ 1
2�tZ�
1
2�t
sin((N + 1
2)2�f �t)
��t fdf
= 2 limN!1
+ 1
2�tZ0
sin((N + 1
2)2�f �t)
��t fdf =
2
��t
1Z0
sin(�f)
f
df
| {z }=�=2 (Bronstein)
mit � > 0
=1
�t;
18
wobei f�ur das erste Gleichheitszeichen die Funktion sin(2�f �t=2) durch ihre Taylor-
reihenentwicklung bis zur ersten Ordnung um den Wert f = 0 approximiert wird. Dies
ist gerechtfertigt, weil die Hauptmaxima in Abb. 6, die die wesentlichen Beitr�age zum
Integral leisten, mit zunehmendem N immer schmaler werden.
∆t t
comb( )t
∆t f1 /
COMB( )f
Abb. 5: Die Funktion comb(t) =P+1
n=�1 �(t � n�t) und die zugeh�orige Fouriertransfor-
mierte COMB(f) = 1
�t
P+1n=�1 �(f � n=�t).
−2 −1 0 1 2−2
−1
0
1
2
3
4
f
H (
f )
N = 1
−2 −1 0 1 2−2
0
2
4
6
8
f
H (
f )
N = 3
−2 −1 0 1 2
−2
0
2
4
6
8
10
12
f
H (
f )
N = 5
−2 −1 0 1 2
−5
0
5
10
15
20
f
H (
f )
N = 10
Abb. 6: Die Funktion H(f) = sin((N + 1
2)2�f �t)= sin(2�f �t=2) f�ur unterschiedliche
Werte von N .
19
4 Abtastung und diskrete Fouriertransformation
Nachdem in den vorangegangenen Kapiteln die wesentlichen mathematischen Grundlagen
der Signalverarbeitung behandelt wurden, folgen nun einige praktische Konsequenzen, die
sich daraus f�ur die Signalabtastung und die digitale Analyse von Signalen ergeben.
4.1 Signalabtastung und Abtasttheorem
Als geeignetes Hilfsmittel zur mathematischen Beschreibung des Abtastvorganges erweist
sich die Deltafunktion. Wenn h(t) eine stetige Funktion der Zeit t ist (im folgenden auch
als"Zeitsignal\ bezeichnet), l�a�t sich der im Zeitpunkt t = n0�t entnommene Abtastwert
ausdr�ucken als:
h(n0�t) = h(t) �(t� n0�t) : (34)
Dabei ist das Produkt im Sinne der Distributionentheorie zu interpretieren, d.h. es macht nur
im Integranden einer Integralgleichung Sinn (vgl. Ausblendeigenschaft der Deltafunktion).
Werden der Funktion h(t) nun in �aquidistanten Abtastzeitpunkten im Abstand �t Abtast-
werte entnommen, so l�a�t sich dies entsprechend als Produkt
h(n�t) = h(t) comb(t) =+1X
n=�1
h(t) �(t� n�t) (35)
beschreiben. Die Zeitdi�erenz �t zwischen zwei benachbarten Abtastwerten wird als Ab-
tastintervall bezeichnet, der Reziprokwert 1=�t als Abtastfrequenz. Die Abtastung eines
Signals im Zeitbereich ist in Abbildung 7 c) graphisch dargestellt. Abb. 7 a) zeigt das
zugeh�orige kontinuierliche Zeitsignal, Abb. 7 d) den Verlauf des durch die Abtastung dis-
kretisierten Signals.
Im folgenden interessieren wir uns f�ur die Spektren des kontinuierlichen und des diskreten
Zeitsignals. Bei dem kontinuierlichen Signal in Abb. 7 a) handelt es sich um einen sinusf�ormi-
gen Verlauf mit einer (schmalen) Gau�schen H�ullkurve. Es l�a�t sich folglich als Produkt einer
Sinusfunktion mit der Gau�funktion au�assen. Gem�a� dem Faltungstheorem ergibt sich also
das SpektrumH(f) des Signals h(t) durch Faltung der Fouriertransformierten der Sinusfunk-
tion mit der Fouriertransformierten der Gau�funktion. Diese beiden Fouriertransformierten
wurden in Abschnitt 3.2 bzw. Abschnitt 1.2 hergeleitet. F�ur die Sinusfunktion ergibt sich
eine rein imagin�are Fouriertransformierte, die aus zwei Delta-Peaks, einem negativen bei
der positiven Signalfrequenz f0 und einem positiven bei der negativen Signalfrequenz �f0besteht. Die Fouriertransformierte der Gau�funktion ist ebenfalls eine Gau�funktion. Durch
die Faltung mit der Deltafunktion r�uckt diese Gau�funktion im Frequenzbereich an die Stel-
len der Delta-Peaks (vgl. Gl.(32)). Folglich besteht das Leistungsdichtespektrum jH(f)j2 inAbb. 7 aus zwei gleichen Gau�funktionen, die bei +f0 bzw. bei �f0 zentriert sind.Die Signalabtastung entspricht der Multiplikation des kontinuierlichen Zeitsignals mit ei-
nem Dirac-Kamm. Um das Spektrum des diskretisierten Signals zu konstruieren, kann man
auch hier wieder das Faltungstheorem ausnutzen: Im Frequenzbereich wird das Spektrum
H(f) des kontinuierlichen Zeitsignals mit dem des Dirac-Kamms gefaltet. Wie oben ge-
zeigt (siehe Abb. 6), ist die Fouiertransformierte des Dirac-Kamms ein Dirac-Kamm im
Frequenzbereich, dessen Periode 1=�t dem Kehrwert des Abtastintervalls entspricht. Wie
20
bei der Herleitung des Spektrums des kontinuierlichen Signals f�uhrt auch hier die Faltung
mit einer Deltafunktion im Frequenzbereich dazu, da� eine spektrale Funktion entlang der
Frequenzachse verschoben wird. Das Spektrum H(f) des kontinuierlichen Zeitsignals r�uckt
also jeweils an die Stellen der Delta-Peaks des Dirac-Kamms im Frequenzbereich, d.h. es
wird periodisch mit der Periode 1=�t fortgesetzt. Die Periode entspricht dabei der Abtast-
frequenz. Die Abtastung des Signals im Zeitbereich bewirkt demnach im Frequenzbereich
eine periodische Fortsetzung des Spektrums H(f) des kontinuierlichen Signals h(t).
In Abb. 7 e) und f) ist diese periodische Fortsetzung f�ur zwei unterschiedlich gro�e Abtast-
intervalle �t graphisch dargestellt. Im Fall von Abb. 7 e) wurde �t so klein gew�ahlt, da�
sich die um zwei benachbarte Frequenzlinien (z.B. 0 und 1=�t) zentrierten Spektren nicht
�uberlappen. F�ur Abb. 7 f) wurde ein gr�o�eres Abtastintervall vorausgesetzt. Dies f�uhrt
dazu, da� die periodisch fortgesetzten Spektren n�aher aneinander r�ucken und sich ggf. �uber-
lappen. Betrachtet man nur das Frequenzintervall von f = �1=(2�t) bis f = +1=(2�t),
so stimmt das Spektrum in diesem Intervall im ersten Fall (keine �Uberlappung) mit dem
des kontinuierlichen Signals �uberein, w�ahrend im zweiten Fall durch die �Uberlappung eine
Ver�anderung des Spektrums in diesem Intervall hervorgerufen wird. Dieser St�ore�ekt wird
als Aliasing bezeichnet.
Aus diesen �Uberlegungen l�a�t sich unmittelbar das Abtastheorem (auch als Shannon-
Theorem bekannt) ableiten. Es besagt, da� aus den Abtastwerten das urspr�ungliche (d.h.
das kontinuierliche) Signal dann fehlerfrei rekonstruiert werden kann, wenn die Abtastfre-
quenz mindestens doppelt so gro� ist wie die h�ochste im Signal vorkommende Frequenz fmax.
Dies f�uhrt auf folgende zwei Forderungen:
� das Spektrum H(f) des Signals mu� bandbegrenzt sein, d.h. es mu� gelten: H(f) = 0
f�ur f > fmax.
� Die Abtastfrequenz mu� mindestens doppelt so gro� wie fmax gew�ahlt werden, d.h.
1
�t= 2fc � 2fmax :
Die untere Grenze f�ur die Abtastfrequenz, 2fmax, bezeichnet man als Nyquist-Frequenz.
Bei Einhaltung des Abtasttheorems kann zur Rekonstruktion des kontinuierlichen Signals
einmal mehr vom Faltungstheorem Gebrauch gemacht werden. Im Frequenzbereich ergibt
sich das Spektrum des kontinuierlichen Signals, indem alle Spektralwerte f�ur jf j > fc gleich
null gesetzt werden. Es gilt
fc =1
2�t:
Das entspricht einer Multiplikation des (periodisch fortgesetzten) Spektrumsmit einer Recht-
eckfunktion der Form:
1
2fcrect(f=fc) =
(1
2fcf�ur �fc � f � +fc
0 sonst .(36)
Da als Amplitude der Rechteckfunktion der Wert 1=(2fc) gew�ahlt wurde, gilt die Normie-
rungsbedingung:+1Z�1
1
2fcrect(f=fc) df = 1 :
21
t
h(t)
a) kontinuierliches Zeitsignal b) zugehöriges Leistungsdichtespektrumf
|H(f)| 2
t
h(t)
c) Abtastung des Zeitsignals
t
h
d) diskretisiertes Zeitsignal
e) Leistungsdichtespektrum des diskretisierten f1/∆t
|H(f)| 2
Signals unter Beachtung des Abtasttheorems
f) Aliasing als Überlagerung periodischf1/∆t
|H(f)| 2
fortgesetzter Spektren
∆t
Überlappungs-bereich
(n∆t)
f0f0-
0
0
Abb. 7: Die Signalabtastung im Zeitbereich f�uhrt im Frequenzbereich zu einer periodischen
Fortsetzung des Spektrums mit der Periode 1=�t.
22
Die Fouriertransformation einer Rechteckfunktion wurde bereits in Abschnitt 1.2 behandelt.
Bei R�ucktransformation von Gl.(36) in den Zeitbereich ergibt sich:
+1Z�1
1
2fcrect(f=fc) e
j2�ft df =1
fc
fcZ0
cos(2�ft) df =sin(2�fct)
2�fct= sinc(2�fct) : (37)
Die Rekonstruktion des kontinuierlichen Signals aus den Abtastwerten erfolgt also durch
Faltung von h(n�t) mit der Funktion sinc(2�fct): Sie f�uhrt auf das Ergebnis:
h(t) =+1X
n=�1
h(n�t) sinc(2�fc(t� n�t)) = �t+1X
n=�1
h(n�t)sin(2�fc(t� n�t))
�(t� n�t): (38)
In praktischen Anwendungen der Signalanalyse ist die h�ochste im Signal vorkommende Fre-
quenz fmax unter Umst�anden unbekannt. Um in solchen F�allen Aliasing-Probleme zu vermei-
den, wird das kontinuierliche Signal vor der Diskretisierung tiefpa�ge�ltert. Die Eckfrequenz
des Tiefpa��lters entspricht dabei der Frequenz fc. Wenn die hochfrequenten Signalanteile
nun den Wert fc �uberschreiten, d.h. fmax > fc, werden diese durch den Tiefpa� heraus-
ge�ltert, so da� bei der Diskretisierung das Abtasttheorem eingehalten wird. Ein solches
Tiefpa��lter bezeichnet man als Anti-Aliasing-Filter.
Abbildung 8 zeigt den Aufbau eines Systems zur digitalen Analyse kontinuierlicher Signale
mit dem Eingangssignal h(t), welches i. allg. dem zeitlichen Verlauf einer elektrischen
Spannung entspricht, dem tiefpa�ge�lterten Analogsignal h(t) und dem abgetasteten Signal
h(n�t).
TP A/D Digitales Systemh(t) h(t)~ h(~ ∆t)n
Abb. 8: Aufbau eines Systems zur digitalen Analyse eines kontinuierlichen Zeitsignals
h(t): das Tiefpa��lter dient als Anti-Aliasing-Filter; das ge�lterte Signal h(t) wird in einem
Analog-Digital-Wandler diskretisiert und quantisiert und anschlie�end in einem digitalen
System (z.B. Rechner, Micro-Controller) analysiert.
Bei der Digitalisierung wird das Signal zus�atzlich zur Diskretisierung auch noch quan-
tisiert. W�ahrend der Wertebereich eines analogen Eingangssignals i. allg. ein zusam-
menh�angendes Intervall der reellen Achse umfa�t, f�uhrt die Quantisierung dazu, da� das di-
gitale Signal nur bestimmte diskrete Werte annehmen kann. Von einer 1-Bit-Digitalsierung
spricht man z.B. dann, wenn das digitale Signal nur zwei unterschiedliche Werte annehmen
kann. Das bedeutet, da� bei der A/D-Wandlung ein Schwellwert wirksam wird. Signalwerte,
die gr�o�er sind als dieser Schwellwert, werden auf den Digitalwert 1 abgebildet, die kleineren
Signalwerte auf den Digitalwert 0.
Die Anzahl der f�ur die Digitalisierung ma�geblichen"Bits\ wird auch als Au �osung der
Digitalisierung bezeichnet. Eine Digitalisierung mit 8-Bit Au �osung teilt den relevanten
23
Wertebereich beispielsweise in 28 = 256 Digitalwerte ein, die z.B. das Intervall [�128;�127;: : : ; 127] repr�asentieren k�onnen. In der Praxis erweist sich f�ur die meisten Anwendungen
eine 8- bzw. 12-Bit-Digitalisierung als ausreichend.
Dies setzt allerdings voraus, da� die Amplitude des analogen Signals so verst�arkt oder ab-
geschw�acht wird, da� der maximale Analogwert in etwa auf den maximalen Digitalwert ab-
gebildet wird. Wird beispielsweise das Intervall [�5 V, +5 V] mit 8-Bit digitalisiert, so wird
der Wert +5 V z.B. auf den Digitalwert +127 bzw. 255 abgebildet. Um die volle Au �osung
nutzen zu k�onnen, sollte ein auszuwertendes Me�signal in diesem Beispiel den Wertebereich
zwischen �5 und +5 V m�oglichst gut ausf�ullen. Dies kann ggf. durch Verst�arkung oder
Abschw�achung erreicht werden.
4.2 Diskrete Fouriertransformation
Eine h�au�g vorkommendeAufgabe der digitalen Signalanalyse besteht darin, ein abgetastetes
Signal in den Frequenzbereich zu �uberf�uhren. Um dies zu erreichen, bedient man sich der
diskreten Fouriertransformation (DFT).
Ausgangspunkt der Herleitung einer mathematischen Beziehung zur DFT ist ein diskretes
Signal h(n�t), das aus N Abtastwerten besteht, d.h. n 2 f0; : : : ; N�1g. (Es ist �ublich, demersten Abtastwert den Zeitpunkt t = 0 zuzuordnen.) ImGegensatz zum vorigen Abschnitt, in
dem die Gesamtzahl der entnommenenAbtastwerte keine Rolle spielte, wird hier die endliche
Anzahl von N Abtastwerten vorausgesetzt, da in der Praxis nur Signale von Interesse sind,
die w�ahrend eines begrenzten Zeitraums abgetastet werden.
Das zu transformierende Signal ist diskret. Deshalb mu� in der De�nitionsgleichung der
Fouriertransformation (Gl.(14)) zun�achst das Integral durch eine Summe ersetzt werden, die
sich auf alle N Abtastwerte des Signals bezieht. Als Resultat der DFT erwartet man im
Frequenzbereich ebenfalls eine diskrete Funktion, also:
H(k�f) =N�1Xn=0
h(n�t) e�j 2� k�f n�t�t = �tN�1Xn=0
h(n�t) e�j 2� k�f n�t: (39)
Es stellt sich nun die Frage nach dem Diskretisierungsintervall �f im Frequenzbereich. Im
vorigen Abschnitt wurde gezeigt, da� bei Einhaltung des Abtasttheorems das Spektrum des
kontinuierlichen Signals auf dem Intervall �1=(2�t) � f < +1=(2�t) mit dem des diskreten
Signals �ubereinstimmt. Wird nun angenommen, da� bei N Abtastwerten des Zeitsignals
im Frequenzbereich ebenfalls N Abtastwerte vorliegen, dann m�ussen sich diese gleichm�a�ig
�uber das oben angegebene Frequenzintervall erstrecken. Damit folgt f�ur das Abtastintervall
�f im Frequenzbereich:
�f =1
N
�1
2�t� �1
2�t
�=
1
N �t: (40)
Einsetzen von Gl.(40) in Gl.(39) f�uhrt auf
H(k�f) =N�1Xn=0
h(n�t) e�j 2� kn=N : (41)
In Gl.(41) wurde, wie es der gebr�auchlichen De�nition der DFT entspricht, der Vorfaktor �t
aus Gl.(39) vernachl�assigt. Man beachte, da� der Vorfaktor letztlich nur eine Normierung
24
der diskreten Fourierkoe�zienten darstellt. Wird die Normierung gem�a� Gl.(39) gew�ahlt,
so stimmt beispielsweise der Wert an der Stelle f = 0 der kontinuierlichen Fouriertransfor-
mierten einer achsensymmetrischen Rechteckfunktion, der die Fl�ache des Rechtecks angibt,
mit dem Wert der DFT f�ur k = 0 �uberein.
Die inverse DFT zu Gl.(41) hat die Form:
h(n�t) =1
N
N�1Xk=0
H(k�f) ej 2� kn=N : (42)
Um zu zeigen, da� die Gln.(41) und (42) ein Transformationspaar bilden, wird Gl.(42) in
Gl.(41) eingesetzt:
H(k�f) =N�1Xn=0
"1
N
N�1Xl=0
H(l�f) ej 2� ln=N#e�j 2� kn=N
=1
N
N�1Xl=0
H(l�f)
"N�1Xn=0
ej 2� ln=N e�j 2� kn=N#
= H(k�f) ; (43)
wobei f�ur die letzte Umformung von der Orthogonalit�atsbeziehung
N�1Xn=0
ej 2� ln=N e�j 2� kn=N =
(N f�ur k = l
0 sonst
Gebrauch gemacht wurde.
Alternativ kann der Vorfaktor 1=N aus Gl.(42) auch in die Hintransformation gezogen wer-
den. Damit ergibt sich das folgende Transformationspaar (in der gebr�auchlichenKurzschreib-
weise, d.h. hn = h(n�t), Hk = H(k�f)):
Hk =1
N
N�1Xn=0
hn e�j 2� kn=N
; (44)
hn =N�1Xk=0
Hk ej 2� kn=N
: (45)
Unter dem Begri� Fast Fourier Transform (FFT) werden besonders e�ziente Realisierungen
der DFT verstanden, bei denen im allgemeinen N = 2m mit m 2 f2; 3; : : :g vorausgesetzt
wird und redundante Rechenoperationen vermieden werden. Die Anzahl der Rechenschritte
reduziert sich von N2 (komplexen Multiplikationen und Additionen) auf � N ld(N), wobei
mit ld(: : :) der Logarithmus Dualis, d.h. der Loagrithmus zur Basis zwei, bezeichnet wird.
Zur Spektralanalyse wird h�au�g das diskrete Leistungsdichtespektrum Pk herangezogen, das
sich gem�a� Pk = HkH�
kaus den Werten Hk des Amplitudenspektrums ergibt. (H�
kist wieder
das zu Hk konjugiert Komplexe.)
F�ur periodische Signale, d.h. h(t+ Ts) = h(t), mit der Periodenl�ange Ts = 1=fs gilt:
N �t
Ts
= ns =fs
�f;
d.h. die Anzahl ns der abgetasteten Signalperioden entspricht der mit �f normierten Si-
gnalfrequenz. Die Signalfrequenz fs f�allt f�ur ganzzahlige ns mit dem diskreten Frequenzwert
25
ns�f zusammen. Im Fall nicht-ganzzahliger ns tritt der Leck- oder Leakage-E�ekt in Er-
scheinung, der dazu f�uhrt, da� sich die spektrale Leistung des Signals auf mehrere diskrete
Frequenzwerte in der Umgebung von ns�f verteilt. (Dieser E�ekt wird in Abschnitt 4.2.1
noch n�aher erl�autert.) Der diskrete Frequenzwert n0�f (mit n0 2 f1; 2; 3; : : :g), wobei man
n0 durch Runden von ns erh�alt, repr�asentiert dann das Maximum des diskreten Leistungs-
dichtespektrums.
4.2.1 Diskrete Leistungsdichtespektren
Beim Vergleich der diskreten mit der kontinuierlichen Fouriertransformation, fallen drei we-
sentliche Unterschiede auf:
� die Diskretisierung im Zeitbereich, die letztlich auf eine periodische Fortsetzung des
Spektrums und damit u.U. zu Aliasing f�uhrt, wie in Abschnitt 4.1 gezeigt wurde,
� die endliche Anzahl von N Abtastwerten des in die DFT eingehenden Datensatzes, die
gem�a� Gl.(40) die Diskretisierungsschrittweite im Frequenzbereich beein u�t,
� die Diskretisierung im Frequenzbereich, die letztlich auf den Leck- bzw. Leakage-E�ekt
f�uhrt.
Der zweite und dritte Punkt wird in diesem Abschnitt n�aher untersucht.
Im Idealfall wird genau ein ganzzahliges Vielfaches n0 einer Signalperiode abgetastet. Ein
Beispiel hierf�ur stellt das Signal sn = cos(2�n0n=N) dar. Gem�a� Gl.(44) ergibt sich:
Sk =1
N
N�1Xn=0
cos(2�n0n=N) cos(2� k n =N) =
(1=2 f�ur k = �n00 sonst:
Wenn nur der positive Teil des Leistungsdichtespektrums betrachtet wird, nimmt lediglich
Pk=n0 = 1=4 einen von null verschiedenenWert an. Abb. 9 a) zeigt ein solches Signal, das in-
nerhalb des 64 Abtastintervalle umfassenden Abtastfensters genau f�unf Perioden durchl�auft.
Abb. 9 c) zeigt den anderen Extremfall am Beispiel eines cosinusf�ormigen Signalverlaufs, bei
dem sich genau 4,5 Signalperioden innerhalb des Abtastfensters be�nden, so da� in Abb. 9 d)
die Konsequenzen des Lecke�ektes deutlich werden. Das diskrete Leistungsdichtespektrum
ist stark verbreitert, die Signalfrequenz fs = ns�f liegt genau zwischen der 4. und der 5.
Spektrallinie. Die Erkl�arung des Leakage-Ph�anomens kann erneut auf der Grundlage des
Faltungstheorems erfolgen, wenn man die Signalabtastung im Zeit- und im Frequenzbereich
als Multiplikation eines kontinuierlichen Signals mit einem Dirac-Kamm versteht. F�ur die
Diskretisierung im Frequenzbereich bedeutet dies eine Faltung des Zeitsignals innerhalb des
Abtastfensters mit der Fouriertransformierten des Dirac-Kamms, die ihrerseits einen Dirac-
Kamm mit reziproker Periodendauer darstellt (siehe Abschnitt 3.2, Beispiel 4.). Dies f�uhrt
letztlich dazu, da� das Zeitsignal periodisch mit der Periode
T =1
�f= N �t
fortgesetzt wird, so da� es bei nicht-ganzzahligen Signalperioden innerhalb des Abtastfen-
sters zu Unstetigkeiten des Signalverlaufs kommt, die letztlich die Ursache des Leck-E�ektes
26
bilden. Eine �aquivalente Erkl�arung besteht zun�achst in der Interpretation des Abtastfensters
endlicher Breite als Multiplikation eines unendlich langen Signals mit einer Rechteckfunkti-
on, deren Breite N �t mit der Breite des Abtastfensters �ubereinstimmt. Im Frequenzbereich
f�uhrt dies auf eine Faltung der Fouriertransformierten des Signals mit der Fouriertransfor-
mierten des Rechteckfensters, dessen Leistungsdichtespektrum sich durch die Funktion
Pw(f) =
N �t
sin(�f N �t)
�f N �t
!2
= (N �t sinc(�f N �t))2
beschreiben l�a�t. Diese Funktion ist f�ur das in Abb. 9 e) abgebildete Rechteckfenster in Abb.
9 f) als durchgezogene Linie dargestellt. (Hier wurden N = 1024 Abtastpunkte gew�ahlt, um
zu einer hohen Au �osung im Frequenzbereich zu gelangen.) Die Fouriertransformierte der
Cosinusfunktion besteht aus Deltafunktionen bei der positiven und der negativen Signalfre-
quenz. Die Faltung bewirkt, da� sich das Hauptmaximum der Sinc-Funktion gem�a� Abb. 9
f) an der Stelle der Signalfrequenz be�ndet. F�ur ns 2 f1; 2; : : :g f�allt der ns-te Abtastwertmit dem Hauptmaximum zusammen, w�ahrend alle �ubrigen Abtastwerte mit den Nullstellen
der Sinc-Funktion �ubereinstimmen. In ung�unstigen F�allen, wie in Abb. 9 d), liegen dage-
gen zwei Abtastwerte in den jeweiligen Randbereichen des Hauptmaximums, w�ahrend die
�ubrigen Abtastwerte den Bereichen der Nebenmaxima entnommen werden.
Das tats�achlich durch FFT ermittelte Leistungsdichtespektrum wird in Abb. 9 f) durch die
gestrichelte Linie repr�asentiert, die bei h�oheren Frequenzen vom Quadrat der Sinc-Funktion
(durchgezogene Linie) abweicht. An dieser Stelle o�enbart sich erneut das Aliasing-Ph�ano-
men. Dieser E�ekt wird durch die Zeitbereichsabtastung, d.h. durch die Multiplikation des
Zeitsignals mit dem Dirac-Kamm, hervorgerufen, die sich im Frequenzbereich als Faltung mit
dem reziproken Dirac-Kamm niederschl�agt (vgl. Abschnitt 4.1). Dementsprechend liefert
die DFT grunds�atzlich eine periodische Fortsetzung des Leistungsdichtespektrums mit der
Periode N�f . Bei hohen Frequenzen machen sich folglich die hochfrequenten Anteile des
benachbarten, um den Wert N�f zentrierten Spektrums bemerkbar. Um dies quantitativ
zu erfassen, ist die Summe:
Sk =1
N
M�1Xn=0
e�j 2� k n =N ; (46)
bei der M die Breite des Rechteckfensters angibt, zu bestimmen. Im Fall von Abb. 9 e) gilt
M = 32. Einsetzen der Exponentialfunktion gem�a� Gl.(46) in die Summenformel f�ur die
geometrische Reihe,N�1Pn=0
an = 1�aN
1�a, f�uhrt auf:
Sk =1
N
e�j � k (M�1)=N sin (�kM=N)
sin (�k=N)(47)
) jSkj2 =1
N2
sin2 (�kM=N)
sin2 (�k=N): (48)
Mit N = 1024, M = 32 und Normierung auf den Maximalwert 1 liefert diese Gleichung
das in Abb. 9 f) als gestrichelte Linie dargestellte Leistungsdichtespektrum. F�ur den Fall
kleiner k-Werte l�a�t sich die Sinusfunktion im Nenner durch ihr Argument ersetzen, so da�
die diskrete Form der oben angegebenen Sinc-Funktion resultiert und sich somit Leakage
und Aliasing unterscheiden lassen.
27
0 20 40 60−1
−0.5
0
0.5
1
n
s n
a)
0 10 20 3010
−5
100
k|S
k|2b)
0 20 40 60−1
−0.5
0
0.5
1
n
s n
c)
0 10 20 3010
−5
100
k
|Sk|2
d)
0 200 400 600 800 10000
0.5
1
n
s n
e)
−500 0 500
10−2
100
k
|Sk|2 /|S
0|2
f)
Abb. 9: a) Cosinussignal mit 5 Perioden im Abtastfenster (N=64), b) zugeh�origes Lei-
stungsdichtespektrum berechnet mit einem FFT-Algorithmus, c) Cosinussignal mit 4,5 Peri-
oden im Abtastfenster (N=64), d) zugeh�origes Leistungsdichtespektrum; e) Rechteckfunktion
der Breite M = 32, f) normiertes Leistungsdichtespektrum der Rechteckfunktion.
28
4.2.2 Fensterfunktionen
Als Konsequenzen f�ur die Spektralanalyse mittels der diskreten Fouriertransformation erge-
ben sich aus den oben beschriebenen E�ekten zun�achst eine Beschr�ankung der spektralen
Au �osung in Abh�angigkeit von der Anzahl der Abtastwerte des DFT-Eingangssignals sowie
die beschriebene Verbreiterung des spektralen Peaks, die unter Umst�anden weitere Charak-
teristika im Frequenzspektrum �uberdecken kann. Zur Unterdr�uckung st�orender Leakage-
Ein �usse kann das urspr�ungliche Zeitsignal mit einer geigneten Fensterfunktion multipliziert
werden, die zu den R�andern des Zeitbereiches hin abf�allt, wie dies in Abb. 10 f�ur das Signal
gem�a� Abb. 9 c) bzw. 9 a) demonstriert wird. Als Fensterfunktion wird eine Gau�sche
Exponentialfunktion der Form
wn = exph� (n �N=2)2=(n2
�)i
(49)
verwendet.
Abb. 10 a) zeigt das mit einer Gau�schen Fensterfunktion der Breite n� = 32 multiplizierte
Cosinussignal gem�a� Abb. 9 c). Im Leistungsdichtespektrum (Abb. 10 b)) ist bereits ein im
Vergleich zu Abb. 9 d) steilerer Abfall der Flanken des spektralen Maximums zu erkennen.
F�ur Abb. 10 c) und 10 e) wurde die Breite n� = 16 gew�ahlt, d.h. die Signalamplitude
ist an den R�andern des Zeitfensters um den Faktor 1/e4 ged�ampft. In diesem Fall zeigt
sich im Spektrum (Abb. 10 d) bzw. 10 f)) ein steil abfallender spektraler Peak, der um
die Signalfrequenz zentriert, jedoch gegen�uber dem Peak in Abb. 9 b) deutlich breiter ist.
Dies f�uhrt mitunter dazu, da� sich zwei nahe beieinanderliegende spektrale Maxima nicht
mehr getrennt wahrnehmen lassen, d.h. da� die Au �osung der Spektralanalyse durch die
Multiplikation mit Fensterfunktionen reduziert wird. Dennoch erweisen sich Fensterfunk-
tionen in verschiedenen Anwendungen als n�utzlich, vor allem dann, wenn ausreichend viele
Abtastwerte des zu untersuchenden Signals zur Verf�ugung stehen, oder wenn vorausgesetzt
werden kann, da� die charakteristischen spektralen Peaks soweit auseinander liegen, da� es
zu keinen durch die Fensterfunktion bedingten �Uberlappungse�ekten kommt.
Zus�atzlich zu dem oben beschriebenen Gau�fenster sei hier das weit verbreitete Hanning-
Fenster eingef�uhrt, das wie folgt de�niert ist:
wn =1
2
�1 � cos(2�n=N)
�; mit n 2 f0; : : : ; N � 1g : (50)
F�ur n = 0 und f�ur n = N nimmt die Cosinusfunktion den Wert eins an, so da� das Hanning-
Fenster an den R�andern auf null abf�allt. In der Mitte, bei n = N=2 gilt wn = 1.
4.2.3 Zero-Padding und spektrale Interpolation
Eine M�oglichkeit, die Au �osung bei der Frequenz- und der Phasensch�atzung im Spektral-
bereich zu verbessern, besteht im Anh�angen von Nullen an das eigentliche Me�signal, dem
sogenannten"Zero-Padding\. Bei dieser Methode macht man sich Gl.(40) dadurch zunutze,
da� die Gesamtzahl N der Abtastpunkte k�unstlich erh�oht wird, indem der Datensatz mit
Nullen aufgef�ullt wird. Das Prinzip wird durch Abb. 11 veranschaulicht, bei dem die Signale
in den Teilbildern a) und c) mit denen aus Abb. 9 a) und c) �ubereinstimmen. Die durch
das"�\-Symbol gekennzeichneten diskreten Kurvenverl�aufe in Abb. 11 b) und d) stimmen
29
0 20 40 60−1
−0.5
0
0.5
1
n
s n
a)
0 10 20 3010
−5
100
k|S
k|2b)
0 20 40 60−1
−0.5
0
0.5
1
n
s n
c)
0 10 20 3010
−5
100
k
|Sk|2
d)
0 20 40 60−1
−0.5
0
0.5
1
n
s n
e)
0 10 20 3010
−5
100
k
|Sk|2
f)
Abb. 10: a) Cosinussignal gem�a� Abb. 9 c), multipliziert mit Gau�-Fensterfunktion der
Breite n� = 32, die in Gl.(49) de�niert wird, und b) zugeh�origes Leistungsdichtespektrum; c)
Cosinussignal gem�a� Abb. 9 c), multipliziert mit Gau�-Fensterfunktion der Breite n� = 16
und d) zugeh�origes Leistungsdichtespektrum; e) Cosinussignal gem�a� Abb. 9 a), multipliziert
mit Gau�-Fensterfunktion der Breite n� = 16 und f) zugeh�origes Leistungsdichtespektrum.
30
ebenfalls mit den entsprechenden Verl�aufen aus Abb. 9 b) und d) �uberein. Die quasikontinu-
ierlichen, durchgezogenen Kurvenverl�aufe resultieren, wenn die jeweiligen Signal-Datens�atze,
die zun�acht 64 Werte umfassen auf 1024 Werte mit Nullen angef�ullt werden. Hierdurch wird
eine Verringerung der Diskretisierungsschrittweite �f um den Faktor 16 erreicht. Wie Abb.
11 zu entnehmen ist, erlaubt dies eine deutlich bessere Frequenzsch�atzung sowie eine exaktere
Phasensch�atzung. Bei verrauschten Signalen ist es dar�uber hinaus hilfreich, da� die Signal-
analyse auf Werten basiert, die in der N�ahe des Maximums des Leistungsdichtespektrums
liegen und somit den gr�o�tm�oglichen Abstand zum Rauschlevel aufweisen.
0 20 40 60−1
−0.5
0
0.5
1
n
sn
0 10 20 300
10
20
30
40
k
| Sk |
0 20 40 60−1
−0.5
0
0.5
1
n
sn
0 10 20 300
10
20
30
40
k
| Sk |
a) b)
c) d)
Abb. 11: a) Cosinussignal mit 5 Perioden im Abtastfenster (N=64), b) Sternchen: zu-
geh�origes Betragsspektrum berechnet mit einem FFT-Algorithmus mit N = 64, durchgezoge-
ne Linie: zugeh�origes Betragsspektrum berechnet mit einem FFT-Algorithmus mit N = 1024
unter Vorgabe von sn = 0 f�ur 64 � n � 1023 c) Cosinussignal mit 4,5 Perioden im Ab-
tastfenster (N=64), d) Sternchen: zugeh�origes Betragsspektrum berechnet mit einem FFT-
Algorithmus mit N = 64, durchgezogene Linie: zugeh�origes Betragsspektrum berechnet mit
einem FFT-Algorithmus mit N = 1024 unter Vorgabe von sn = 0 f�ur 64 � n � 1023.
Durch Interpolation der Frequenzwerte in der Umgebung des spektralen Peaks kann die
Au �osung bei der Frequenzsch�atzung mittels DFT unabh�angig vom Zero-Padding verbes-
sert werden1. Bei den meisten Verfahren zur Frequenzinterpolation werden die Werte der
1Der Begri�"Au �osung\ bezieht sich hier nicht auf den minimalen Abstand zwischen zwei getrennt wahr-
31
Fouriertransformierten Sk bzw. des Betragsquadrates Pk f�ur die drei Spektrallinien k = n0,
k = n0 � 1 und k = n0 + 1 verwendet. Die Wahl des geeigneten Interpolationsalgorithmus
h�angt wesentlich von der verwendeten Fensterfunktion ab: Aufgrund des Faltungstheorems
wirkt sich die Multiplikation mit der Fensterfunktion im Zeitbereich als Faltung im Fre-
quenzbereich aus. Die Fouriertransformierte der im vorigen Abschnitt als Fensterfunktion
eingef�uhrten Gau�schen Exponentialfunktion hat ebenfalls die Form einer Gau�schen Expo-
nentialfunktion, so da� man im Frequenzbereich eine um die Signalfrequenz ns�f zentrierte
Gau�funktion erh�alt, deren Verlauf bei drei bekannten Funktionswerten approximiert wer-
den kann. Abbildung 12 veranschaulicht das Prinzip der Verbesserung der Frequenzau �osung
durch spektrale Interpolation.
f/
S k| |2
ns
PnPn -1
Pn +10
0
0
n +10n -10 n0 ∆ f
Abb. 12: Spektrale Interpolation zur Verbesserung der Au �osung bei der FFT-basierten
Frequenzsch�atzung.
Die Beziehung zur Bestimmung der Position des Maximums, die der gesuchten Frequenz
ns�f entspricht, lautet:
ns = n0 + � = n0 +1
2
ln(Pn0�1)� ln(Pn0+1)
ln(Pn0�1)� 2 ln(Pn0) + ln(Pn0+1): (51)
Zur Herleitung dieser Beziehung wird der Ansatz
Pk = ece�(k�ns)2=�
2k
zun�achst logarithmiert, so da� die drei Gleichungen:
ln(Pn0) = c� (n0 � ns)2=�
2k;
ln(Pn0�1) = c� (n0 � 1 � ns)2=�
2k;
ln(Pn0+1) = c� (n0 + 1� ns)2=�
2k
(52)
genommenenMaximades Leistungsdichtespektrums sondern auf die Genauigkeit, mit der eine Signalfrequenz
anhand der zur Verf�ugung stehenden Werte des diskreten Leistungsdichtespektrums ermittelt werden kann.
32
resultieren. Durch Eliminieren von c und �k folgt daraus die durch Gl.(51) gegebene Be-
ziehung zur Ermittlung von ns. F�ur die in Abb. 10 d) und 10 f) dargestellten Leistungs-
dichtespektren resultieren mit den entsprechenden Werten f�ur Pk die normierten Frequenzen
ns = 4; 5024 bzw. ns = 4; 9999, die den Vorgaben, ns = 4; 5 bzw. ns = 5; 0, sehr nahe kom-
men. Wird die Gau�-Interpolation dagegen auf die Leistungsdichtespektren gem�a� Abb. 9
d) bzw. 9 b) angewendet, bei denen keine Fensterfunktion verwendet wurde, so resultiert
ns = 4; 5930 und ns = 4; 994, d.h. es zeigen sich durchaus Abweichungen gegen�uber den
Vorgabewerten.
Neben der Signalfrequenz ist vielfach auch die Phasenlage des Signals bzw. die Phasendif-
ferenz gegen�uber einem Referenzsignal von Interesse. Eine Phasen-Sch�atzung l�a�t sich im
Frequenzbereich durchf�uhren, indem f�ur die Spektralwerte Sn0 , Sn0+1 und Sn0�1 zun�achst
die Phasenwerte �n0 , �n0+1 und �n0�1 gem�a� der Beziehung
�k = arctan
Im[Sk]
Re[Sk]
!(53)
bestimmt werden. Der gesuchte Phasenwert �ns ergibt sich dann durch lineare Interpolation:
�ns= (1 � �)�n0 + � �(n0+�=j�j) ; (54)
wobei � der bei der spektralen Interpolation resultierende Parameter ist (z.B. gem�a� Gl.(51)).
F�ur Abbildung 13 wurde ein sinusf�ormiges Signal und ein demgegen�uber um 45� phasen-
verschobenes Signal vorgegeben (Teilbild a)). Die zugeh�origen Betragsspektren (Teilbild b))
sind weitgehend identisch. Die in Teilbild c) �uber der diskreten Frequenz aufgetragene Pha-
sendi�erenz durchl�auft den gesamtenWertebereich von �90� bis +90�. Bei der vorgegebenennormierten Signalfrequenz ns = fs=�f = 4; 5 zeigt sich der gem�a� Gl.(54) zu bestimmen-
de Wert von �2 � �1 = 45�, wenn man Teilbild d) betrachtet, welches einen vergr�o�erten
Ausschnitt aus Teilbild c) darstellt.
Bei bekannter Signalfrequenz f0 kann man den spektralen Koe�zienten und damit die Pha-
senlage des Signals selbstverst�andlich auch direkt, d.h. ohne den Umweg �uber die FFT
bestimmen. Es gilt:
S(f0) =NXn=0
sn wn e�j 2� f0 n�t
; �(f0) = arctan
Im[S(f0)]
Re[S(f0)]
!: (55)
4.3 Diskrete Faltung und Korrelation
Die kontinuierliche Faltung und die kontinuierliche Korrelation wurden in Kapitel 2 behan-
delt. Ebenso, wie die DFT eine diskrete Realisierung der kontinuierlichen Fouriertransfor-
mation darstellt, lassen sich das Faltungs- und das Korrelationsprodukt in diskreter Form
realisieren. F�ur die diskrete Faltung zweier diskreter Funktionen x(n�t) und h(n�t) gilt:
y(n�t) =N�1Xm=0
x(m�t)h((n�m)�t) : (56)
Durch Multiplikation der rechten Seite von Gl.(56) mit �t l�a�t sich dieselbe Skalierung wie
bei der kontinuierlichen Faltung erreichen.
33
0 20 40 60−1
−0.5
0
0.5
1
t / ∆t
s1(t
), s
2(t)
−20 0 200
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
f / ∆f
|S1(f
)|,
|S2(f
)|
−20 0 20
−50
0
50
f / ∆f
φ 2 − φ
1 (G
rad)
3 4 5 630
35
40
45
50
55
60
f / ∆f
φ 2 − φ
1 (G
rad)
a) b)
c) d)
Abb. 13: a) Sinusf�ormiger Signalverlauf mit Gau�scher H�ullkurve (durchgezogene Linie)
und um 45� phasenverschobenes Signal (gestrichelt), beide mit 4,5 Perioden innerhalb des
Abtastfensters; b) die zugeh�origen Betragsspektren, c) anhand der spektralen Koe�zienten
berechneter Frequenz-Phasendi�erenz-Verlauf; d) Ausschnitt aus c): bei dem normierten
Frequenzwert 4,5 resultiert die vorgegebene Phasendi�erenz von 45�.
34
Analog ergibt sich f�ur die diskrete Korrelation der beiden Funktionen x(n�t) und h(n�t)
die Beziehung:
�(n�t) =N�1Xm=0
x(m�t)h((n+m)�t) : (57)
Das Faltungs- und das Korrelationstheorem (vgl. Kap. 2) lassen sich auf den diskreten Fall
�ubertragen, wenn die Konsequenzen der Abtastung im Zeit- und im Frequenzbereich und
die endliche Breite N �t des Abtastfensters ber�ucksichtigt werden. Um die diskrete Faltung
bzw. die diskrete Korrelation m�oglichst e�zient numerisch durchzuf�uhren, emp�ehlt es sich,
das Faltungs- bzw. das Korrelationstheorem in Kombination mit einem FFT-Algorithmus
auszunutzen. Dabei werden die folgenden Schritte durchlaufen:
� diskrete Fouriertransformation der beiden Datens�atze x(n�t) und h(n�t),
n 2 f0; : : : ; N � 1g, mittels FFT,
� Multiplikation von X(k�f) mit H(k�f) bzw. mit H�(k�f), k 2 f0; : : : ; N � 1g,
� inverse diskrete Fouriertransformation des Produktes X(k�f)H(k�f) bzw.
X(k�f)H�(k�f) mittels FFT.
Ein Problem stellt bei dieser Realisierung einer Faltung bzw. einer Korrelation die durch
die Abtastung im Frequenzbereich bedingte periodische Fortsetzung des diskreten Signals
im Zeitbereich dar. Dies wird anhand von Abb. 14 deutlich: Abb. 14 a) zeigt ein Signal
s(n�t), dessen Autokorrelationsfunktion (AKF) bestimmt werden soll. Gem�a� der oben
beschriebenen Vorgehensweise ergibt sich die in Abb. 14 c) gestrichelt dargestellte Kurve, die
aufgrund der periodischen Fortsetzung des Zeitsignals ebenfalls periodisch mit der Periode
N �t ist.
Um den realen Verlauf der AKF des Zeitsignals zu bestimmen, ist die Anzahl der Abtastwerte
des Signals zun�achst zu verdoppeln, indem der N -te bis (2N � 1)-te Abtastwert mit Nullen
belegt werden, wie dies Abb. 14 b) zeigt. Wird dieses Signal mittels der FFT bzw. der
inversen FFT �uber 2N Punkte in der oben beschriebenen Weise verarbeitet, ergibt sich die
in Abb. 14 c) durchgezogen gezeichnete AKF, die f�ur die Abtastwerte 0 bis N � 1 mit
der AKF des diskreten Eingangssignals s(n�t) �ubereinstimmt und zum rechten Rand des
dargestellten Zeitfensters, d.h. f�ur n = N � 1 auf null abf�allt.
35
0 20 40 60−1
−0.5
0
0.5
1
t / ∆t
s(t
)
0 50 100−1
−0.5
0
0.5
1
t / ∆t
s(t
)
0 10 20 30 40 50 60−20
−10
0
10
20
t / ∆t
AK
F(t
)
a) b)
c)
Abb. 14: a) 64 Abtastpunkte umfassender Signalverlauf; b) aus 128 Werten bestehendes
Datenfeld, von denen die ersten 64 mit dem Signal gem�a� a) belegt werden und der Rest
mit Nullen aufgef�ullt wird; c) mittels zweifacher FFT berechnete Autokorrelationsfunktion
f�ur den Signalverlauf gem�a� a) (gestrichelt) sowie gem�a� b) (durchgezogen).
36
5 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation
5.1 Digitale Filter
Der Entwurf digitaler Filter ist ein umfangreiches eigenst�andiges Gebiet innerhalb der digita-
len Signalverarbeitung. Ein umfassendes Verst�andnis der digitalen Filterung w�urde zun�achst
die Einf�uhrung der z-Transformation, dem diskreten Pendant zur Laplace-Transformation,
erfordern. Um auf die z-Transformation verzichten zu k�onnen, soll hier nur eine der zahlrei-
chen M�oglichkeiten des Entwurfs digitaler Filter betrachtet werden, n�amlich die Fourier-
Approximation, die auf der DFT basiert.
Hinsichtlich des Amplitudenganges frequenzselektiver Filter sind die vier in Abbildung 15
zusammengestellten Grundformen zu unterscheiden: der Tiefpa�, der Hochpa�, der Band-
pa� und die Bandsperre. Bandpa� und Bandsperre lassen sich ihrerseits als Kombination
eines Tiefpa��lters mit einem Hochpa� verstehen. Abb. 15 zeigt die idealen Amplituden-
Frequenzg�ange dieser vier Grundformen.
f-fg
1
|H( )|f
fga)
f-fg
1
|H( )|f
fgb)
f-fgh
1
|H( )|f
fghc)
fgl-fgl f-fgh
1
|H( )|f
fghd)
fgl-fgl
Abb. 15: Filter-Grundformen: a) Tiefpa�, b) Hochpa�, c) Bandpa� und d) Bandsperre.
Digitale Filter k�onnen entweder durch ihre �Ubertragungsfunktion im Frequenzbereich
oder durch ihre Impulsantwort (Zeitverhalten des Filters bei Anregung mit einem Del-
tapuls) im Zeitbereich charakterisiert werden. �Ubertragungsfunktion und Impulsantwort
k�onnen durch Fouriertransformation ineinander �uberf�uhrt werden, d.h. sie bilden ein Fou-
riertransformations-Paar. Die Filterung eines Zeitsignales erfolgt nun dadurch, da� das
Zeitsignal mit der Impulsantwort des Filters gefaltet wird. Gem�a� dem Faltungstheorem
entspricht dies im Frequenzbereich der Multiplikation des Fouriertransformierten Zeitsignals
mit der �Ubertragungsfunktion des Filters.
Im folgenden wird exemplarisch der Entwurf eines Tiefpa��lters diskutiert, welches sich
37
idealerweise durch die Amplituden-�Ubertragungsfunktion
jHtp(f)j = rect(f=fg) =
(1 f�ur jf j � fg
0 sonst(58)
beschreiben l�a�t (vgl. Abb. 15 a)). Ein ideales Hochpa��lter hat dementsprechend die
Amplituden-�Ubertragungsfunktion:
Hhp(f) = 1 �Htp(f) :
Wird Htp(f) als reellwertig vorausgesetzt, so ergibt sich die Funktion h0
tp(t) im Zeitbereich
durch inverse Fouriertransformation (vgl. Gl.(37)):
h0
tp(t) = 2fg
sin(2� fg t)
2� fg t: (59)
Die Funktion h0
tp(t) ist gerade und erstreckt sich entlang der gesamten Zeitachse. In prak-
tischen Anwendungen kann deshalb immer nur ein Ausschnitt der Impulsantwort h0tp(t) be-
trachtet werden, der einem Zeitintervall der L�ange N �t entspricht. Dies wird mathematisch
durch die Multiplikation von h0
tp(t) mit der Rechteckfunktion
r(t) = rect�t=(N�t=2)
�=
(1 f�ur jtj � N�t=2
0 sonst(60)
erreicht.
Weiter ist zu ber�ucksichtigen, da� das Antwortverhalten eines Filters kausal sein mu�, d.h.
die Impulsantwort htp(t), die sich auf eine Pulsanregung im Zeitpunkt t = 0 bezieht, mu�
f�ur t < 0 verschwinden. Die Kausalit�at erfordert also eine zeitliche Verschiebung der achsen-
symmetrischen Funktion rect�t=(N�t=2)
�h0
tp(t) um den Wert N�t=2. Gem�a� dem Zeitver-
schiebungstheorem (siehe 3.1) bewirkt die Zeitverschiebung im Frequenzbereich eine Pha-
senverschiebung der urspr�unglich reellen �Ubertragungsfunktion Htp(f) um e�j2�f N�t=2. Da
die Phasenverschiebung linear mit der Frequenz zunimmt, spricht man von linearphasigen
Filtern.
Das Hauptproblem bei dieser Art der digitalen Filterung besteht nun in der Wahl einer
geeigneten L�ange N�t des Zeitfensters: Je gr�o�er N gew�ahlt wird, desto mehr Rechenzeit
wird f�ur die Faltung mit der Impulsantwort des Filters ben�otigt. Abbildung 16 a) zeigt
die Impulsantworten f�ur Filter unterschiedlicher Ordnung. Die Ordnung N0 des Filters
entspricht dabei dem Wert N � 1.
Andererseits nehmen die Abweichungen der realen �Ubertragungsfunktion des Filters von der
in Abb. 15 a) dargestellten idealen �Ubertragungsfunktion mit abnehmender Ordnung immer
mehr zu, wie Abb. 16 b) zeigt. Als Grenzfrequenz des Tiefpa��lters wurde f�ur Abb. 16 der
Wert
fg = 0; 2 fabtast = 0; 2 =�t
vorgegeben.
Die Ursache der Abweichungen vom idealen Filter-Verhalten ist die durch das Zeitfenster
bedingte Faltung der idealen �Ubertragungsfunktion des Filters mit der sinc-Funktion
sinc(�N �t f) =sin(�N �t f)
�N �t f:
38
Eine wichtige Eigenschaft zur Beurteilung von Filtern ist die D�ampfung D, die sich aus dem
Betragsspektrum nach der Beziehung
D = �20 log(jHtp(f)j)
bestimmen l�a�t. Solche D�ampfungskurven sind in Abb. 16 c) f�ur die Betragsspektren aus
Abb. 16 b) dargestellt. Als charakteristischer Wert ergibt sich eine Sperrd�ampfung a = 19
dB, die in Abb. 16 c) als waagerechte Linie (gepunktet) eingezeichnet ist. Die Sperrd�amp-
fung gibt an, wie stark das Filter im Sperrbereich mindestens d�ampft. Ein weiteres Charak-
teristikum zur Kennzeichnung des Filters ist die Breite des �Ubergangsbereichs. Als �Uber-
gangsbereich bezeichnet man die Di�erenz fsp�fdu zwischen der Frequenz fsp, bei der das
Filter vollst�andig sperrt, und der Frequenz fdu, bei der es vollst�andig durchl�a�t. Die Breite
des �Ubergangsbereichs nimmt mit zunehmender Ordnung des Filters ab (vgl. Abb. 16 b)).
Der ideale Tiefpa� gem�a� Abb. 15 a) hat einen �Ubergangsbereich der Breite null.
0 10 20 30 40 50 60−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t / ∆ t
htp
(t)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f / fabtast
|Htp
(f)|
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
20
40
60
80
f / fabtast
Däm
pfun
g (
dB)
N0=12 N
0=32
N0=64
N0=12
N0=64
N0=32
N0=12
N0=32 N
0=64
a)
b) c)
Abb. 16: a) Impulsantworten von Tiefpa�-Filtern der Ordnung N0, die f�ur die relative
Grenzfrequenz f=fabtast = 0; 2 ausgelegt wurden, b) zugeh�orige Betragsspektren jHtp(f)j, c)aus den Betragsspektren resultierende Filterd�ampfung.
Eine Gl�attung der �Ubertragungsfunktion des Filters und eine verbesserte Sperrd�ampfung las-
sen sich erreichen, wenn die Impulsantwort des Filters mit einer geeigneten Fensterfunktion,
39
die um das Maximum der Impulsantwort zentriert ist, multipliziert wird. Entsprechende Er-
gebnisse, bei denen dasHanning-Fenster gem�a� Gl.(50) verwendet wurde, zeigt Abbildung
17. Durch die Fensterfunktion werden die Nebenmaxima der in Abb. 17 a) dargestellten
Impulsantworten ged�ampft. Dies f�uhrt im Frequenzbereich zu einer Gl�attung der zugeh�ori-
gen Betragsspektren (siehe Abb. 17 b)). Bei Verwendung des Hanning-Fensters betr�agt die
Sperrd�ampfung 44 dB, wie Abb. 17 c) zeigt. Noch h�ohere Sperrd�ampfungen lassen sich mit
dem Hamming-Fenster (54 dB) oder mit dem Blackman-Fenster (74 dB) erzielen, auf
die hier jedoch nicht n�aher eingegangen wird.
0 10 20 30 40 50 60−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t / ∆ t
htp
(t)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f / fabtast
|Htp
(f)|
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
20
40
60
80
f / fabtast
Däm
pfun
g (
dB)
N0=12 N
0=32 N
0=64
N0=12
N0=32
N0=64
N0=12 N
0=32
N0=64
a)
b) c)
Abb. 17: a) Impulsantworten von Tiefpa�-Filtern der Ordnung N0 nach Multiplikation mit
einem Hanning-Fenster, b) zugeh�orige Betragsspektren jHtp(f)j, c) aus den Betragsspektren
resultierende Filterd�ampfung.
Ein auf diese Weise ausgelegtes Filter ist von endlicher Ordnung und hat deshalb eine zeit-
begrenzte Impulsantwort. Derartige Filter bezeichnet man als FIR-Filter (FIR = Finite
Impulse Response).
Ist das digitale Filter korrekt ausgelegt, so kann die Realisierung der digitalen Filterung
grunds�atzlich auf zweierlei Weise erfolgen:
1. durch diskrete Faltung gem�a� Gl.(56),
40
2. durch Multiplikation im Frequenzbereich unter Ausnutzung des Faltungstheorems.
Die erste Methode ist leicht zu programmieren und eignet sich vor allem f�ur Filter von
niedriger Ordnung N0 � 40. Die Vorgehensweise bei der zweiten Methode wird im folgenden
beschrieben. Das zu �lternde Signal bestehe aus N -Abtastwerten. Dieses Signal wird, wie in
Abbildung 18 (oben) schematisch dargestellt, zun�achst in Bereiche von je M Abtastwerten
unterteilt. Es wird angenommen, das Filter habe die Ordnung K. Um Probleme mit der
periodischen Fortsetzung des Zeitsignals aufgrund der Abtastung im Frequenzbereich zu
vermeiden, m�ussen die Eingangsdatens�atze der FFT M +K Abtastpunkte umfassen (vgl.
diskrete Korrelation gem�a� Abb. 14). Also sind die folgenden Schritte auszuf�uhren:
� die Impulsantwort der L�ange K + 1 des Filters wird bis zur Gesamtl�ange M +K mit
Nullen aufgef�ullt,
� zur Berechnung der �Ubertragungsfunktion Hk wird eine (M +K)-Punkte FFT durch-
gef�uhrt.
Aus der Gesamtzahl N der Abtastwerte des Signals ergeben sich L-Teilfolgen mit L = N=M .
Jede dieser Teilfolgen umfa�t M Abtastpunkte. F�ur jede Teilfolge werden die folgenden
Schritte ausgef�uhrt (vgl. Abb 18):
� Au��ullen der l-ten Teilfolge des Signals bis zur Gesamtl�ange M +K mit Nullen,
� (M +K)-Punkte FFT der aufgef�ullten Teilfolge,
� elementweise Multiplikation der diskreten Fouriertransformierten der aufgef�ullten Teil-
folge mit Hk,
� inverse (M + K)-Punkte FFT des Produktes liefert die l-te Teilfolge des ge�lterten
Signals,
� �Uberlagerung der l-ten Teilfolge des ge�lterten Signals mit der (l � 1)-ten Teilfolge,
indem die K Werte des �Uberlappungsbereiches addiert werden.
Diese Methode ist unter dem Begri�"Overlap-Add\-Verfahren oder auch als schnelle
Faltung bekannt.
5.2 Verrauschte Signale
In der Praxis kommt es h�au�g vor, da� das eigentlich interessierende Signal, das als de-
terministisches Signal oder als Nutzsignal bezeichnet wird, mit Rauschen behaftet ist.
In diesem Fall wird die DFT f�ur die Signalanalyse verwendet, um den deterministischen
Signalanteil im Frequenzbereich besser vom Rauschen unterscheiden zu k�onnen.
Desweiteren gibt es Prozesse, in denen ausschlie�lich Rauschen am Ausgang vorhanden ist.
Die bei solchen Prozessen resultierenden Me�signale werden als stochastische Signale be-
zeichnet. Die Aufgabe der Signalanalyse besteht hier i. allg. darin, Charakteristika in diesen
Signalen zu ermitteln und zu beurteilen.
41
N t∆...M t∆ M t∆ M t∆
l = 1 l = 2 l = L
M t∆l = 1
K t∆
M t∆l = 2
K t∆
(M+K) t∆(M+K) -Pkte. FFT
(M+K) t∆(M+K) -Pkte. FFT
Überlappungs-bereich
...
...
...
Abb. 18: Realisierung der digitalen Filterung mit einem FIR-Filter mittels der schnellen
Faltung nach dem"Overlap-Add\-Verfahren.
5.2.1 Verrauschte deterministische Signale
Um die Genauigkeit von Algorithmen zur Frequenzsch�atzung beurteilen zu k�onnen, wer-
den verrauschte Signale k�unstlich generiert, bei denen dem Nutzsignal wei�es Rauschen
mit Gau�scher Amplitudenverteilung additiv �uberlagert wird. Wei�es Rauschen hat eine
konstante mittlere Rauschamplitude, die unabh�angig von der Frequenz ist. (Im Gegensatz
dazu spricht man von farbigem Rauschen, wenn die Rauschamplitude eine charakteristische
Frequenzabh�angigkeit zeigt.)
Solche Rauschsignale lassen sich mit Hilfe normalverteilterPseudozufallszahlen erzeugen. Als
Parameter zur Beschreibung der Signalg�ute wird der Wert des Signal-Rausch-Verh�altnisses
(SNR = Signal-to-Noise Ratio) gem�a� der allgemein gebr�auchlichen De�nition
SNR = 10 log10
�2s
�2n
!(61)
vorgegeben. In Gl.(61) stellt �2sdie mittlere quadratische Signalamplitude innerhalb des
Abtastfensters dar und �2ndie Varianz des Rauschsignals, dessen Bandbreite durch die
halbe Abtastfrequenz begrenzt wird. Es sei angemerkt, da� das SNR gem�a� dieser De�nition
nur unter Einbeziehung der Anzahl N der Abtastwerte, mit denen ein gegebenes analoges
Signal diskretisiert wird, eine Aussage �uber die Zuverl�assigkeit der anhand des Spektrums
gesch�atzten Frequenz zul�a�t. Um eine solche Aussage unabh�angig von N zu t�atigen, mu�
eine von Gl.(61) abweichende SNR-De�nition zugrunde gelegt werden, wie im folgenden
gezeigt wird.
Aus der SNR-De�nition gem�a� Gl.(61) (imweiteren als Def. 1 bezeichnet) folgt unter Ber�uck-
sichtigung des Parsevalschen-Theorems (siehe Abschnitt 2.2), da� ein SNR-Sch�atzwert, wie
durch Abbildung 19 veranschaulicht wird, als Verh�altnis der Signalleistung (gegeben durch
42
die Fl�ache unter dem spektralen Peak) zur Rauschleistung (gegeben durch die verbleibende
Fl�ache im Spektrum) bestimmt werden kann. Dabei wird die spektrale Rauschleistung im
Bereich der Signalfrequenz i. allg. vernachl�assigt. Ferner wird die spektrale Rauschleistung
durch die halbe Abtastfrequenz begrenzt. Auch Leakage-E�ekte bleiben unber�ucksichtigt.2
Im dargestellten Beispiel wurde die Breite der H�ullkurve des Zeitsignals so gew�ahlt, da� sich
im Frequenzbereich eine Signal-Bandbreite von 3�f ergibt.
0 32 64 96Zeit (Abtastpunkte)
Am
plitu
de (
will
k. E
inh.
)
0 16 32 48
0
20
40
60
Frequenz (Abtastpunkte)
Spe
ktra
le L
eist
ungs
dich
te [d
B]
Zeitsignal Leistungsdichtespektrum
gehörender Peak
Rauschlevel
zum Nutzsignal
a) b)
Abb. 19: a) Verrauschtes Zeitsignal, b) zugeh�origes Leistungsdichtespektrum.
Simulierte Signale mit unterschiedlichemSNR bestehend aus N = 1024 Abtastwerten sind in
den Abbildungen 20 a) und 21 a) dargestellt. Im Fall von Abb. 20 wurde ein SNR von 15 dB
vorgegeben, bei dem Signal gem�a� Abb. 21 betrug der SNR-Wert -15 dB. Die Abbildungen
20 c) und 21 c) zeigen dieselben Signalverl�aufe, jedoch wurde nur jeder achte Abtastwert
aufgetragen, so da� N = 128 resultiert. Die SNR-De�nition gem�a� Gl.(61) liefert in beiden
F�allen praktisch dieselben Werte wie f�ur die jeweiligen Teilbilder a).
In den Teilbildern 20 b), 21 b), 20 d) und 21 d) sind jeweils die zugeh�origen Leistungsdich-
tespektren aufgetragen und die anhand der Spektren gesch�atzten SNR-Werte gem�a� Def. 1
angegeben. Diese stimmen im wesentlichen mit den theoretischen Vorgaben �uberein. Ver-
gleicht man die in den Teilbildern b) und d) dargestellten Spektren untereinander, so ist
festzustellen, da� die Di�erenz zwischen dem Maximum des jeweiligen spektralen Peaks und
dem Rauschlevel f�ur die h�ohere Abtastrate (N = 1024) jeweils gr�o�er ist. Da die vorgege-
bene Breite des Abtastfensters 32 Signalperioden umfa�t, ist der spektrale Peak stets bei
f = 32�f lokalisiert.
Die weitgehende �Ubereinstimmung der SNR-Sch�atzwerte l�a�t sich dadurch erkl�aren, da� die
halbe Abtastfrequenz mit zunehmender Abtastrate gr�o�er wird, so da� die gesamte Rausch-
leistung bei konstatem Rauschlevel ebenfalls zunimmt. Damit das Verh�altnis aus Signal-
leistung zur Rauschleistung konstant bleibt (vgl. Gl.(61)) mu� folglich die Signalleistung
ebenfalls zunehmen. Dies f�uhrt bei unver�anderter Signalbandbreite zu einer Erh�ohung des
spektralen Peaks relativ zum Rauschlevel.
2Bez�uglich der Kompensation von Leakage-Ein �ussen auf die SNR-Sch�atzung sei auf das Dolph-
Tschebysche�-Fenster verwiesen.
43
0 128 256 384 512 640 768 896
Zeit (Abtastpunkte)
Am
plitu
de
0 32 64 96
Zeit (Abtastpunkte)
Am
plitu
de
0 128 256 384
0
20
40
60
Frequenz (Abtastounkte)
Spe
ktra
le L
eist
ungs
dich
te [d
B]
0 16 32 48
0
20
40
60
Frequenz (Abtastpunkte)
Def. 1: SNR = 15.0 dB
Def. 2: SNR = 37.3 dB
Def. 1: SNR = 15.4 dB
Def. 2: SNR = 28.6 dB
Spe
ktra
le L
eist
ungs
dich
te [d
B]
a) b)
d)c)
Abb. 20: a) Simuliertes Zeitsignal: SNR = 15 dB (gem�a� Def. 1), N = 1024, b) zugeh�origes
Leistungsdichtespektrum, c) Zeitsignal gem�a� dem Datensatz aus a) bei dem jedoch nur jeder
8. Abtastwert verwendet wurde (d.h. N = 128), d) zugeh�origes Leistungsdichtespektrum.
44
0 128 256 384 512 640 768 896
Zeit (Abtastpunkte)
Am
plitu
de
0 32 64 96
Zeit (Abtastpunkte)
Am
plitu
de
0 128 256 384
0
20
40
60
Frequenz (Abtastpunkte)
0 16 32 48
0
20
40
60
Frequenz (Abtastpunkte)
Spe
ktra
le L
eist
ungs
dich
te (
dB)
Def. 1: SNR = -13.9 dB
Def. 2: SNR = 8.4 dB
Def. 1: SNR = -13.5 dB
Def. 2: SNR = -0.3 dB
Spe
ktra
le L
eist
ungs
dich
te (
dB)
a) b)
d)c)
Abb. 21: a) Simuliertes Zeitsignal: SNR = �15 dB (gem�a� Def. 1), N = 1024, b) zu-
geh�origes Leistungsdichtespektrum, c) Zeitsignal gem�a� dem Datensatz aus a) bei dem jedoch
nur jeder 8. Abtastwert verwendet wurde (d.h. N = 128), d) zugeh�origes Leistungsdichte-
spektrum.
45
Da ein hoher spektraler Peak einen geringen Sch�atzfehler bei der Ermittlung der Signal-
frequenz zur Folge hat, emp�ehlt es sich, verrauschte Signale so hochfrequent wie m�oglich
abzutasten. Eine SNR-De�nition, bei der dies ber�ucksichtigt wird, ist durch
SNR2 = 10 log10
�2s(N=2 � 1)
�2nns
!: (62)
gegeben, wobei mit ns die Frequenzbandbreite des Signals bezeichnet wird. Bei dieser SNR-
De�nition wird die Signalleistung zu dem Produkt aus der mittleren spektralen Rauschlei-
stungsdichte (�2n=(N=2 � 1)) und der Signalbandbreite ins Verh�altnis gesetzt. F�ur wei�es
Rauschen ist das auf diese Weise de�nierte SNR2 somit unabh�angig von der Abtastfrequenz.
Resultate der SNR-Sch�atzung gem�a� Gl.(62) sind in den Spektren der Abbildungen 20 und
21 als"Def. 2, SNR\ vermerkt. Ein negativer SNR-Wert hat bei dieser De�nition zur Folge,
da� der spektrale Peak des Signals geringer als der mittlere Rauschlevel ist, so da� anhand
des diskreten Spektrums keine zuverl�assige Frequenzsch�atzung mehr erfolgen kann.
5.2.2 Stochastische Signale
Stochastische Signale sind das Ergebnis von Zufallsprozessen. Sie werden mit den Methoden
der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschrieben, d.h. die Analyse besteht darin, Erwartungs-
werte und Varianzen zu ermitteln. Aufgrund des Wiener-Khintchine-Theorems (siehe Ab-
schnitt 2.2) l�a�t sich das Leistungsdichtespektrum eines Signals durch Fouriertransformation
in die Autokorrelationsfunktion �uberf�uhren. F�ur ein aus N Abtastwerten bestehendes Signal
hn mit n = 0; 1; 2; : : : N � 1 hat die entsprechende diskrete Beziehung die Form
jHkj2 =N�1X
n=�(N�1)
�h(n�t) e�j 2�kn=N
: (63)
Die in Abschnitt 4.3 angegebene De�nition der diskreten Autokorrelationsfunktion wird
hier so abgewandelt, da� auch negative n-Werte zugelassen werden und dar�uber hinaus die
periodische Fortsetzung des Zeitsignals vermieden wird:
�h(n�t) =
8>>><>>>:
1
N
N�1�nPm=0
h(m�t)h((m+ n)�t); f�ur n � 0
1
N
N�1Pm=�n
h(m�t)h((m+ n)�t); f�ur n � 0(64)
Bei Gl.(64) handelt es sich aufgrund der Normierung mit dem Vorfaktor 1=N um die nicht-
erwartungstreue Autokorrelationsfolge. Die erwartungstreue Autokorrelations-
folge erh�alt man, wenn man den Vorfaktor 1=N durch 1=(N � jnj) ersetzt, denn mit der
durch Ef: : :g bezeichneten Erwartungswertbildung gilt3:
E
(1
N � n
N�1�nXm=0
hm hm+n
)=
1
N � n
N�1�nXm=0
E fhm hm+ng
3Der Begri�"Erwartungswert\ ist hier etwas irref�uhrend, da es sich bei der Autokorrelationsfunktion
um eine Funktion der Zeit handelt. Die Erwartungswertbildung bezieht sich nicht etwa auf die zeitliche
Mittelung, sondern auf die Mittelung f�ur eine Vielzahl von unterschiedlichen Realisierungen desselben sto-
chastischen Prozesses. Das Resultat der Erwartungswertbildung der AKF ist nach wie vor eine zeitabh�angi-
ge Funktion. Dementsprechend ist der Erwartungswert des Leistungsdichtespektrums eine Funktion der
Frequenz.
46
=N � n
N � n
E fhm hm+ng
=N � n
N � n
rh(n�t) = rh(n�t): (65)
In der letzten Zeile bezeichnet rh(n�t) den Erwartungswert der Autokorrelationsfunktion.
F�ur die Analyse stochastischer Prozesse spielen Erwartungswerte eine wichtige Rolle. Wird in
Gl.(63) auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens der Erwartungswert gebildet, so resultiert:
EfjHkj2g =N�1X
n=�(N�1)
Ef�h(n�t)g e�j 2�kn=N ; (66)
wobei die Erwartungswertbildung auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens in die Summe
hineingezogen wurde. Die Erwartungswerte des Leistungsdichtespektrums und der (nicht-
erwartungstreuen) AKF bilden also ein Fouriertransformations-Paar.
Diese �Uberlegung sei am Beispiel des wei�en Rauschprozesses n�aher erl�autert: Der Erwar-
tungswert des Leistungsdichtespektrums eines wei�en Rauschprozesses ist eine Konstante
K0. Die Fouriertransformierte einer Konstanten K0 entspricht einer mit K0 multiplizierten
Deltafunktion, d.h. die AKF eines wei�en Rauschprozesses ist ein mit K0 multiplizierter
Delta-Peak an der Stelle t = 0.
Die Abbildungen 22 und 23 veranschaulichen dies: Abb. 22 a) zeigt ein stochastisches Signal,
welches einer Realisierung eines wei�en Rauschprozesses mit Gau�scher Amplitudenvertei-
lung der Varianz 1 entspricht. In den Teilbildern b) und c) sind das zugeh�orige Leistungs-
dichtespektrum, das auch als Periodogramm bezeichnet wird, und die Autokorrelations-
funktion des Signals dargestellt. Beide Kurvenverl�aufe zeigen stochastische Fluktuationen
und besitzen deshalb nur eine begrenzte Aussagekraft im Hinblick auf die Beurteilung der
statistischen Eigenschaften des Prozesses. Erst die gemittelten Resultate gem�a� Abb. 23
lassen R�uckschl�usse auf den Prozess zu, d.h. man kann erkennen, da� es sich tats�achlich um
wei�es Rauschen mit der Varianz 1 handelt.
Wie oben erw�ahnt, interessiert hinsichtlich der Beurteilung stochastischer Signale im Fre-
quenzbereich der Erwartungswert des Leistungsdichtespektrums. Da der Erwartungswert
nicht experimentell zu bestimmen ist, wird nach praktischen M�oglichkeiten zur Sch�atzung
des Erwartungswertes gesucht. Man k�onnte zum Beispiel annehmen, da� das Periodogramm
f�ur N !1 in den Erwartungswert des Leistungsdichtespektrums �ubergeht. Dies h�atte zur
Folge, da� die Varianz des Periodogramms f�ur N ! 1 gegen null geht und man w�urde
von einer konsistenten Sch�atzung sprechen. Die Varianz von jHkj2 berechnet sich nach der
Beziehung:
VarfjHkj2g = Ef�jHkj2 � EfjHkj2g
�2g
= Ef�jHkj2
�2g �
�EfjHkj2g
�2: (67)
Der Grenzwert N ! 1 ist gleichbedeutend mit einer langen Abtastzeit, was wegen �f =
1=(N �t) zu einer hohen Frequenzau �osung des Leistungsdichtespektrums f�uhrt. Durch eine
erh�ohte Au �osung wird jedoch keine Reduzierung der Varianz erzielt, so da� diese Methode
nicht zu einer konsistenten Sch�atzung f�uhrt.
Eine konsistente Sch�atzung des Erwartungswerts des Leistungsdichtespektrums l�a�t sich mit
folgenden drei Methoden erreichen:
47
0 20 40 60 80 100 120−5
0
5
n
hn
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 800
2
4
6
8
f / ∆f
|H(k
∆f)
|2
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80−0.5
0
0.5
1
1.5
t / ∆t
ρh(n
∆t)
a)
b)
c)
Abb. 22: a) Wei�es Rauschsignal mit Gau�scher Amplitudenverteilung, b) zugeh�origes
Leistungsdichtespektrum (mit FFT berechnet), c) durch inverse Fouriertransformation des
Leistungsdichtespektrums ermittelte AKF des Signals.
48
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t / ∆t
Mea
n( ρ
h(n ∆
t))
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 800
1
2
3
4
5
f / ∆f
Mea
n( |H
(k ∆
f)|2 )
a)
b)
Abb. 23: a) Mittelung von 200 Leistungsdichtespektren gem�a� Abb. 22 b) f�ur unterschied-
liche Realisierungen desselben stochastischen Prozesses, b) Mittelung von 200 Autokorrelati-
onsfunktionen gem�a� Abb. 22 c).
49
1. durch die Mittelung einer Anzahl voneinander unabh�angiger Periodogramme eines sto-
chastischen Prozesses (Bartlett-Methode)
Diese Methode wurde oben bereits am Beispiel des wei�en Rauschprozesses er�ortert
(vgl. Abb. 23). Sie basiert darauf, da� die Varianz eines arithmetischen Mittelwertes
bei Mittelung �uber N0 Realisierungen eines Zufallsprozesses sich um den Faktor N0
gegen�uber der Varianz der einzelnen Realisierungen reduziert (vgl. Me�technischer
Grundkurs). Dabei wird vorausgesetzt, da� der zu analysierende Proze� �uber einen
l�angeren Zeitraum station�ar ist, d.h. da� sich die statistischen Eigenschaften nicht
innerhalb des Zeitraumes �andern, in dem die Me�signale mehrfach aufgezeichnet wer-
den.
2. durch Fensterung der Autokorrelationsfolge im Bereich des Maximums (Blackman-
Tukey-Methode)
Wird beispielsweise in Abb. 22 c) die Autokorrelationsfunktion mit einer Fensterfunk-
tion, z.B. Gau�funktion, die um den Nullpunkt zentriert ist, multipliziert, so f�uhrt
dies im Leistungsdichtespektrum zu einer Faltung mit der Fouriertransformierten der
Fensterfunktion. Eine solche Faltung ist gleichbedeutend mit einer Tiefpa��lterung
des Leistungsdichtespektrums, so da� man als Resultat ein gegl�attetes Leistungsdich-
tespektrum erh�alt.
3. durch Fensterung von Datensegmenten des Me�signals (Welch-Methode)
Ein �uber einen l�angeren Zeitraum aufgezeichnetes stochastisches Me�signal wird - wie
bei der Bartlett-Methode - in N0 Teilsegmente von je L Abtastwerten zerlegt. Jedes
dieser Teilsegmente wird mit einer Fensterfunktion multipliziert und anschlie�end mit-
tels DFT transformiert. Die Fensterung bewirkt in diesem Fall eine Tiefpa��lterung
der diskreten Fouriertransformierten. Durch Mittelwertbildung f�ur die N0 Datenbl�ocke
wird eine weitere Reduzierung der Varianz erreicht. Zur Reduzierung der notwendigen
Anzahl von Mittelungen, kann mit Datensegmenten gearbeitet werden, die sich jeweils
um die H�alfte �uberlappen. Dadurch erh�oht sich die Konvergenz des Verfahrens f�ur ein
gegebenes Me�signal.
5.3 Hilbert-Transformation und Zeit-Frequenz-Analyse
5.3.1 Hilbert-Transformation zur Erzeugung des analytischen Signals
Die Hilbert-Transformation ist eine Integraltransformation, die den Zusammenhang zwi-
schen dem Real- und dem Imagin�arteil der Fouriertransformierten eines kausalen Signals
mathematisch ausdr�uckt.
Bei der Herleitung der Hilbert-Transformation geht man von der Sprungfunktion
�(t) =
(1 f�ur t � 0
0 sonst(68)
aus und berechnet die zugeh�orige die Fouriertransformierte:
�(!) = � �(!)� j
!
: (69)
50
Zur Berechnung von Gl.(69) betrachtet man die Ableitung der Signumfunktion:
d
dtsign(t) = 2�(t); (70)
denn es gilt:
�(t) =1
2(1 + sign(t)) : (71)
Wird die Beziehung aus Gl.(70) der Fourier-Transformation unterzogen, so resultiert:
j ! SIGN(!) = 2:
Damit folgt Gl.(69).
Die Multiplikation eines kausalen Signals s(t) mit �(t) f�uhrt zu keiner Ver�anderung im Zeit-
bereich. Im Frequenzbereich bewirkt sie jedoch eine Faltung von S(!) = jS(!)j ej�(!) mit
dem rechten Ausdruck in Gl.(69). Es folgt also:
S(!) =1
2�S(!) ��(!) ;
was letztlich auf die Beziehung
S(!) =1
2S(!)� j
2�P
8<:
1Z�1
S(!0)
! � !0d!0
9=;
f�uhrt. Da der Integrand eine Singularit�at an der Stelle !0 = ! hat, ist es erforderlich,
das obige Integral als Cauchysches Hauptwertintegral (siehe z.B. Bronstein) zu bestimmen,
was durch Pf: : :g symbolisiert wird. Durch Aufspalten der Funktion S(!) in Real- und
Imagin�arteil erh�alt man die folgende Integraltransformation, die als Hilbert-Transformation
bekannt ist.
RefS(!)g =1
�
P
8<:
1Z�1
ImfS(!0)g! � !
0d!0
9=; ; (72)
ImfS(!)g =�1�
P
8<:
1Z�1
RefS(!0)g! � !
0d!0
9=; : (73)
Gem�a� den Gleichungen (72), (73) ergibt sich der Realteil der Fouriertransformierten eines
kausalen Eingangssignals als Hilbert-Transformierte des Imagin�arteils und umgekehrt.
Als Hilbert-Transformierte eines reellen zeitdiskreten Signals sn der Form
sn = s0 cos(2�fsn�t+ �0) (74)
bezeichnet man ein um 90� phasenverschobenes Signal sn, das als Imagin�arteil zusammen
mit dem urspr�unglichen Signal als Realteil das komplexwertige analytische Signal an =
sn + j sn bildet.
Eine M�oglichkeit zur Erzeugung des analytischen Signals besteht in der zweifachen Anwen-
dung eines FFT-Algorithmus. Bei Verwendung von FFT-Algorithmen werden die negativen
Frequenzwerte durch k�f mit k 2 fN=2; : : : ; N �1g repr�asentiert. Wegen der Symmetrieei-
genschaften der Fouriertransformation enthalten sowohl die Anteile des Frequenzspektrums
51
eines reellen Signals, die positiven Frequenzwerten zugeordnet sind, als auch die negativen
Frequenzen zugeordneten Spektralanteile die komplette spektrale Information. Durch die
De�nition
Ak =
8>><>>:
2Sk; 0 < k < N=2
Sk; k = 0
0; k � N=2:
(75)
wird das diskrete SpektrumAk ohne Informationsverlust auf positive Frequenzen beschr�ankt,
so da� es sich im Sinne der Hilbert-Transformation um ein"kausales Signal im Frequenzbe-
reich\ handelt. Zus�atzlich kann der O�set eines Signals eliminiert werden, indem A0 = 0
vorgegeben wird. Die Anwendung der inversen FFT auf Ak liefert dann die komplexen
Abtastwerte an des analytischen Signals, wie in den Abbildungen 24 a), 25 gezeigt wird.
Anhand des Betrages janj l�a�t sich der Verlauf der H�ullkurve des Signals ermitteln (siehe
Abb. 24 b)). Die Signalfrequenz ergibt sich folgenderma�en aus dem analytischen Signal:
Der in Abb. 24 c) angegebene zeitabh�angige Phasenwinkel �n folgt aus
�n = arctan
Im[an]
Re[an]
!(76)
und ist zun�achst auf das Intervall �� � �n < � beschr�ankt. Durch Addition von ge-
eigneten Vielfachen von 2�, sogenanntes"Unwrapping\, erh�alt man einen stetigen Verlauf
�n des Phasenwinkels. Ein einfacher"Unwrapping\-Algorithmus, der auf der Folge �n,
n 2 f1; : : : ; N � 1g basiert, kann wie folgt programmiert werden:
�n0 � �n0�1 > �s ) �n = �n � 2�; 8 n � n0
�n0 � �n0�1 < �s ) �n = �n + 2�; 8 n � n0 ; (77)
wobei �s ein zuvor festgelegter Schwellwert ist, z.B. �s = �.
F�ur die Phase des Signals gem�a� Gl.(74) gilt
�n = 2� fs n�t+ �0 (78)
Also kann die Signalfrequenz fs aus der Steigung einer Regressionsgeraden f�ur �n ermittelt
werden. Wegen der De�nition des analytischen Signals an im Zeitbereich wird diese Methode
als Zeitbereichsmethode interpretiert.
Als erl�auterndes Beispiel sei in diesem Zusammenhang ein Cosinussignal der Form
s(t) = cos(2�f0t) ! F fcos(2�f0t)g =1
2
��(f + f0) + �(f � f0)
�: (79)
betrachtet.
Die Multiplikation mit dem zweifachen der �-Funktion im Frequenzbereich, welche die ne-
gativen Frequenzen zuzuordnenden Anteile des Spektrums abschneidet (vgl. Gl.(75)), f�uhrt
auf:
2�(f)1
2
��(f + f0) + �(f � f0)
�= �(f � f0) : (80)
Durch inverse Fouriertransformation der rechten Seite von Gl.(80) erh�alt man das folgende
analytische Signal:
F�1 f�(f � f0)g = ej 2� f0 t = cos(2�f0t) + j sin(2�f0t) : (81)
52
Der Realteil dieses Signals stimmt mit dem urspr�unglichen Cosinussignal �uberein. Der Ima-
gin�arteil ist ein um 90�, d.h. um �=2, phasenverschobenes Signal, denn es gilt:
sin(2�f0t) = cos(2�f0t� �=2) :
Das analytische Signal hat den Phasenverlauf
arctan
sin(2�f0t)
cos(2�f0t)
!= 2�f0t ;
der linear mit der Zeit ansteigt, und die konstante Amplitude
jej 2� f0 tj = 1 :
Wie oben bereits erw�ahnt, f�uhrt die Abtastung im Frequenzbereich zu einer periodischen
Fortsetzung des Signals im Zeitbereich. Dies schl�agt sich, wie Bild 25 zeigt, in Abwei-
chungen des Imagin�arteils des durch diskrete Hilbert-Transformation (zweifache Anwendung
der FFT) erzeugten analytischen Signals von dem gegen�uber dem Eingangssignal um 90�
phasenverschobenen Signal nieder, die in Bild 25 b) zu Beginn und gegen Ende des Ab-
tastfensters zu erkennen sind. Um in diesem Zusammenhang systematische Fehler bei der
Frequenzsch�atzung zu vermeiden, emp�ehlt es sich, die Frequenzsch�atzung ohne diese Pha-
senwerte durchzuf�uhren, d.h. es werden z.B. nur die Werte �n mit n 2 f10; :::; N � 11g zurFrequenzsch�atzung verwendet.
5.3.2 Zeit-Frequenz-Analyse
Bei den bisher analysierten deterministischen Signalen handelte es sich i. allg. um sinus-
bzw. cosinusf�ormige Signale, die aufgrund ihrer spektralen Eigenschaften auch als Single
Tone-Signale bezeichnet werden. Die Signalcharakteristika, die bei solchen Signalen von
Interesse sind, sind die Signalfrequenz, die Amplitude und ggf. die Phasenlage des Signals
bezogen auf ein Referenzsignal. Im vorigen Abschnitt wurde gezeigt (vgl. Abb. 24 b)), wie
sich eine m�ogliche Amplitudenmodulation eines Signals mittels Hilbert-Transformation
erfassen l�a�t.
S�amtliche bisher betrachteten Signale wurden jedoch als station�ar angenommen, d.h. eine
m�ogliche Zeitabh�angigkeit der Signalfrequenz wurde vernachl�assigt. Eine wichtige Klasse von
Signalen, die bisher ausgeklammert wurde, sind sogenannte frequenzmodulierte Signale,
bei denen die in dem Signal enthaltene Information in Form einer Frequenzmodulation, d.h.
in Form einer zeitlichen �Anderung der Signalfrequenz, codiert ist (z.B. UKW-Signale).
Da frequenzmodulierte Signale in der Praxis eine wichtige Rolle spielen, sollen in diesem Ab-
schnitt ausgew�ahlte Methoden eingef�uhrt werden, mit denen sich eine m�ogliche Frequenzmo-
dulation erfassen l�a�t. Als Beispiel zeigt Abbildung 26 a) ein linear frequenzmoduliertes
Signal, bei dem sich die Signalfrequenz linear mit der Zeit erh�oht. Auch die Signalamplitude
steigt linear mit der Zeit an. In Abbildung 26 b) ist das Gegenteil der Fall: Frequenz und
Amplitude nehmen linear mit der Zeit ab. Die Aufgabe der Signalanalyse besteht bei diesen
Signalen darin, den zeitlichen Frequenz- und Amplitudenverlauf zu quanti�zieren.
Zur mathematischen Beschreibung gehen wir von einem kontinuierlichen reellen Zeitsignal
der allgemeinen Form
s(t) = s0(t) cos(�(t)) (82)
53
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−2
−1
0
1
2
Zeit t/∆t
a(t)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.5
1
1.5
Zeit t/∆t
|a(t
)|
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−100
0
100
Zeit t/∆t
φ(t)
(G
rad)
a)
b)
c)
Abb. 24: a) Analytisches Signal an bestehend aus Realteil (durchgezogen) mit 30 Perioden
im Abtastfenster und Imagin�arteil (gepunktet), der durch diskrete Hilbert-Transformation
erzeugt wurde, b) der Betrag janj gibt den Verlauf der H�ullkurve, d.h. der Amplitude, des
Signals an, c) zeigt den Phasenverlauf �n.
54
0 32 64 96
-1
0
1
Zeit (Abtastpunkte)
Am
plitu
de
0 32 64 96
-1
0
1
Zeit (Abtastpunkte)
Am
plitu
de
a)
b)
Eingangssignal Realteil Imaginärteil
Eingangssignal Realteil Imaginärteil
Abb. 25: Analytische Signale f�ur ein sinusf�ormiges Eingangssignal erzeugt durch diskrete
Hilbert Transformation a) bei 3,0 Signalperioden im Abtastfenster und b) bei 3,3 Signalperi-
oden im Abtastfenster (N=128).
55
aus, bei dem die zeitabh�angige Amplitude durch die Funktion s0(t) repr�asentiert wird und die
Phase durch �(t). Die zeitabh�angige Frequenz f(t) ist proportional zur zeitlichen Ableitung
der Phasenfunktion:
f(t) =1
2�
d�
dt: (83)
Ein cosinusf�ormiger Signalverlauf, wie er durch Gl.(74) beschrieben wird, setzt voraus, da�
die Phasenfunktion �(t) linear von der Zeit abh�angt.
Ist die Phasenfunktion durch
�(t) = 2� f0 t�1 +
�f
2t
�+ �0 (84)
gegeben, so resultiert wegen
f(t) =1
2�
d�
dt= f0 (1 + �f t) (85)
eine lineare zeitliche Frequenzabh�angigkeit (vgl. Abb. 26 a) und b)). Das zu einem fre-
quenzmodulierten Signal geh�orende Leistungsdichtespektrum erstreckt sich i. allg. �uber
einen gr�o�eren Frequenzbereich, wie Abb. 26 c) zeigt. In dem dargestellten Leistungs-
dichtespektrum ist zwar zu erkennen, da� die niederfrequenten Signalanteile eine geringere
Amplitude haben als die h�oherfrequenten, allerdings l�a�t sich nicht unterscheiden, ob es sich
um ein frequenzmoduliertes oder um ein breitbandiges station�ares Signal handelt.
Unter der Voraussetzung, da� das betrachtete Signal ein Single-Tone-Signal ist, kann diese
Problematik auf der Grundlage der aus dem analytischen Signal resultierenden Phasenfunk-
tion �n gel�ost werden. Der gem�a� Gl.(76) bestimmte Phasenverlauf f�ur das Signal aus Abb.
26 a) ist in Abb. 27 a) dargestellt. Es zeigt sich, da� das Zeitintervall, in dem sich die
Signalphase um 2� �andert, immer geringer wird. Durch"Phase-Unwraping\ erh�alt man den
in Abb. 27 b) gezeigten, stetigen Verlauf der Signalphase �n, der sich o�ensichtlich durch
eine Parabel beschreiben l�a�t. Numerisches Di�erenzieren der diskreten Funktion �n liefert
den gesuchten zeitlichen Frequenzverlauf.
Da in praktischen Anwendungsf�allen dem reinen Nutzsignal i. allg. ein mehr oder weniger
gro�er Rauschanteil �uberlagert ist, st�o�t man bei der numerischen Di�erentiation vielfach
auf das Problem, da� die Resultate, die das zeitliche Frequenzverhalten widerspiegeln sollen,
extrem stark stochastisch uktuieren.
Abhilfe kann in diesem Zusammenhang gescha�en werden, wenn man davon ausgehen kann,
da� die zeitliche Frequenz�anderung langsam erfolgt. In solchen F�allen kann der resultierende
Verlauf von �n z.B. durch ein Polynom zweiter Ordnung approximiert werden, welches auf
analytischem Wege zu di�erenzieren ist. F�ur das linear frequenzmodulierte Signal aus Abb.
26 a) w�urde man bei dieser Vorgehensweise ebenfalls den linearen Frequenzanstieg ermit-
teln. Probleme sind hier allerdings z.B. bei cosinusf�ormig frequenzmodulierten Signalen zu
erwarten.
Eine Alternative stellt in diesem Zusammenhang eine Methode dar, die unter dem Be-
gri� Kurzzeit-Fouriertransformation bzw. Short Time Fourier Transform (STFT)
bekannt ist. Das zu analysierende, aus N Abtastwerten bestehende Signal sn wird hier-
bei zun�achst mit einer Fensterfunktion multipliziert, die lediglich in einem Intervall M �t
(M � N) Werte ungleich null annimmt. Das resultierende Produkt dient als Eingangsfunk-
tion eines FFT-Algorithmus, mit dem z.B. die spektrale Leistungsdichte ermittelt wird.
56
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−10
−5
0
5
10
Zeit t/∆t
s 2(t)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−10
−5
0
5
10
Zeit t/∆t
s 2(t)
0 50 100 150 200 2500
0.2
0.4
0.6
0.8
Frequenz f/∆f
Spe
ktra
le L
eist
ungs
dich
te
(a)
(b)
(c)
Abb. 26: a) Beispielsignal s1 mit linear ansteigender Amplitude und Frequenz, b) Beispiel-
signal s2 mit linear abnehmender Amplitude und Frequenz, c) Leistungsdichtespektren f�ur
das Signal s1 (gepunktet) und f�ur die Summe s1 + s2 ohne Fensterfunktion (durchgezogen)
und nach Multiplikation mit dem Hanning-Fenster (gestrichelt).
57
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−150
−100
−50
0
50
100
150
Zeit t/∆t
φ(t)
(G
rad)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
1
2
3
4
5x 10
4
Zeit t/∆t
φ(t)
(G
rad)
a)
b)
Abb. 27: Resultat der Zeit-Frequenz-Analyse des Signals s1 (Abb. 26 a)) auf der Grundlage
des durch Hilbert-Transformation ermittelten analytischen Signals.
58
Die Lage dieses Fensters relativ zum Signal bestimmt nun den Zeitpunkt, dem das durch
FFT ermittelte Spektrum zugeordnet wird.
Wird beispielsweise der erste von null verschiedeneWert der Fensterfunktion mit dem ersten
Abtastwert (s(0�t)) multipliziert so wird zwangsl�au�g das Zentrum der Fensterfunktion
mit dem Abtastwert M=2 multipliziert, d.h. die Fensterfunktion ist um die Position M=2
zentriert. Um zu einer m�oglichst vollst�andigen"Zeit-Frequenz-Analyse\ zu gelangen, mu�
die Fensterfunktion alle Positionen zwischenM=2 und N�M=2�1 durchlaufen, und f�ur jededieser Fensterpositionen ist das Spektrum zu berechnen. Eine 3D-Darstellung, in der die re-
sultierende spektrale Leistungsdichte �uber der jeweiligen Fensterposition aufgetragen wird,
nennt man Spektrogramm. Ein solches Spektrogramm ist in Abbildung 28 dargestellt.
Als Eingangssignal wurde die aus N = 512 Abtastwerten bestehende Summe s1 + s2 der
beiden Signale aus den Abbildungen 26 a) und b) vorgegeben. Die Fensterfunktion bildete
ein Hanningfenster mitM = 64, so da� Leistungsdichtespektren f�ur die diskreten Zeitpunkte
32�t bis 479�t resultieren. Abb. 28 zeigt deutlich, da� das Eingangssignal zwei Signalan-
teile unterschiedlicher Frequenz und Amplitude enth�alt. Es ist auch zu erkennen, da� die
Frequenz und die Amplitude des urspr�unglich niederfrequenten Signalanteils linear mit der
Zeit ansteigt, w�ahrend die Frequenz und die Amplitude des urspr�unglich hochfrequenten
Signalanteils linear mit der Zeit abnimmt.
Hinsichtlich weiterer Methoden der Zeit-Frequenz-Analyse, die jedoch den Rahmen dieser
Einf�uhrung sprengen, sei auf die StichworteWigner-Ville-SpektralanalyseundWavelet-
Transformation verwiesen.
5.4 Korrelationsanalyse
Eine �ahnlich gro�e Bedeutung wie das Leistungsdichtespektrum f�ur die Signalanalyse im
Frequenzbereich einnimmt, kommt bei der Zeitbereichsanalyse der Autokorrelationsfunktion
(AKF) des Signals zu. Der gleich hohe Stellenwert dieser beiden Signalanalysemethoden l�a�t
sich daran erkennen, da� gem�a� dem Wiener-Khintchine-Theorem (Gl.(25)) das Leistungs-
dichtespektrum die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion darstellt (siehe auch
Abschnitt 5.2.2).
5.4.1 Korrelationsfunktionen diskreter Signale
F�ur diskrete Signale nimmt die Gleichung zur Bestimmung der AKF die Form
�xx(m�t) =1
N
N�1Xn=0
x(n�t)x((n+m)�t) (86)
an, die bereits in Abschnitt 5.2.2 verwendet wurde.
Die �Ahnlichkeit zweier aus je N Elementen bestehender Zahlenfolgen x1 und x2 wird durch
den empirischen (Kreuz-) Korrelationskoe�zienten
r12 =
PN
n=1(x1n � �x1)(x2n � �x2)qPN
n=1(x1n � �x1)2P
N
n=1(x2n � �x2)2(87)
ausgedr�uckt, derWerte zwischen +1 und�1 annehmen kann. Mathematisch exakt handelt es
sich bei dem Z�ahler von r12 um den Kreuzkovarianzkoe�zienten, da die arithmetischen
59
Abb. 28: Resultat der auf der Kurzzeit-Fourier-Transformation basierenden Zeit-Frequenz-
Analyse (Spektrogramme) des Summensignals s1 + s2 aus Abb. 26 a), b).
60
Mittelwerte von x1, x2, n 2 f1; : : : ; Ng (in Gl.(87) mit �x1 bzw. �x2 bezeichnet) von den
jeweiligen diskreten Einzelwerten abgezogen werden. Der Nenner stellt das Produkt der
empirischen Standardabweichungen der beiden Folgen dar.
In praktischen Anwendungen der Korrelationsanalyse kommt es vor, da� zwei Datens�atze
eine zun�achst unbekannte Verschiebung gegeneinander aufweisen. In diesen F�allen ist anstelle
von einem einzigen Korrelationskoe�zienten die diskrete Kreuzkorrelationsfunktion zu
berechnen:
r12(m) =
PN
n=1(x1n � �x1)(x2(n+m) � �x2)qPN
n=1(x1n � �x1)2P
N
n=1(x2(n+m) � �x2)2(88)
Der Maximalwert dieser Kreuzkorrelationsfunktion gibt dann ein Ma� f�ur die maximale�Ahnlichkeit der beiden Zahlenfolgen an.
5.4.2 Anwendungen der Korrelationsanalyse
Bez�uglich konkreter Anwendungen der Korrelationsanalyse mu� zwischen stochastischen und
deterministischen Signalen unterschieden werden. Im Falle eines mit Rauschen beaufschlag-
ten deterministischen Signals, z.B. eines Sinussignals, dessen Signalfrequenz ermittelt
werden soll, erweist sich die Berechnung der Autokorrelationsfunktion als wirksames Mittel
zur Rauschunterdr�uckung. Dies l�a�t sich in Abb. 29 erkennen, in der oben ein stark ver-
rauschtes Sinussignal dargestellt ist und unten die zugeh�orige cosinusf�ormige AKF, die die-
selbe Frequenz hat, wie das urspr�ungliche Signal, jedoch weitaus weniger durch das Rauschen
beein u�t wird. Lediglich der erste Abtastwert der AKF, der die gesamte Signalleistung re-
pr�asentiert, zeigt einen deutlich gr�o�eren Wert als ein unverrauschtes Sinussignal. Da� sich
die gesamte Rauschleistung auf diesen einen Wert konzentriert, h�angt damit zusammen, da�
das Rauschsignal aus unabh�angigen Pseudozufallszahlen bestand.
Ein Nachteil der Signalanalyse mittels AKF im Vergleich zur Fourieranalyse l�a�t sich eben-
falls aus dem Wiener-Khintchine-Theorem ableiten. W�ahrend die Fouriertransformierte ei-
nes Signals bestehend aus Real- und Imagin�arteil bzw. aus Betrag und Phase die gesamte
Signalinformation beinhaltet, so da� sich das Originalsignal wieder rekonstruieren l�a�t, geht
bei der Bildung des Leistungsdichtespektrums und somit auch bei der Berechnung der Au-
tokorrelationsfunktion die Phaseninformation verloren.
Der Nutzen der Korrelationsanalyse zur Ermittlung von Charakteristika stochastischer
Signale zeigt sich in Abb. 30, in der zwei verschiedene stochastisch uktuierende Lichtin-
tensit�atssignale und die zugeh�origen Autokorrelationsfunktionen dargestellt sind. Das Signal
gem�a� Abb. 30 a) unterscheidet sich von dem Signal gem�a� Abb. 30 b) dadurch, da� es
eine geringere Anzahl von Intensit�atsmaxima bei gleicher Skalierung der Abszisse umfa�t.
Als Folge dieses Charakteristikums zeigt die AKF gem�a� Abb. 30 c) eine gr�o�ere Breite
als die in Abb. 30 d) dargestellte AKF. Als Ma� f�ur die Breite einer AKF wird h�au�g die
Korrelationsl�ange verwendet, die als der Wert auf der Abszisse der AKF de�niert ist, an
dem die AKF von ihrem Maximalwert auf das 1/e-fache dieses Wertes abgefallen ist.
Als letzter Anwendungsbereich der Korrelationsanalyse sei die Ermittlung von Kreuzkorrela-
tionsfunktionen bzw. von Korrelationskoe�zienten genannt, anhand derer sich zwei beliebige
unterschiedliche Signale bez�uglich ihrer"�Ahnlichkeit\ beurteilen lassen. Dies soll an einem
Beispiel aus der digitalen Bildverarbeitung demonstriert werden. Die Abbildungen 31 und
61
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−3
−2
−1
0
1
2
3
Zeit (Abtastpunkte)
Sig
nala
mpl
itude
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−3
−2
−1
0
1
2
3
Zeit (Abtastpunkte)
AK
F
(a)
(b)
Abb. 29: Verrauschtes Sinussignal mit SNR = 0 dB (oben), zugeh�orige AKF mittels zwei-
facher FFT berechnet (unten).
62
100 200 300 400 5000
50
100
150
200
250
x (Abtastpunkte)
Gra
ustu
fe
100 200 300 400 5000
50
100
150
200
250
x (Abtastpunkte)
Gra
ustu
fe
(a) (b)
−100 −50 0 50 100−0.5
0
0.5
1
x (Abtastpunkte)
AK
F (
norm
iert
)
−100 −50 0 50 100−0.5
0
0.5
1
x (Abtastpunkte)
AK
F (
norm
iert
)
(c) (d)
Abb. 30: Stochastisch uktuierende Intensit�atssignale (als Grauwerte) (a) und (b) sowie
die zugeh�origen Autokorrelationsfunktionen (c) und (d).
Abb. 31: CCD-Aufnahme 1 (512 � 256 Pixel).
63
Abb. 32: CCD-Aufnahme 2 (512 � 256 Pixel).
Abb. 33: Ausgew�ahlter Bereich aus Aufnahme 1 (Gr�o�e: 128 � 128 Pixel).
64
−60−40
−200
2040
60
−50
0
50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆ x (Pixel)∆ y (Pixel)
Kre
uzko
rrel
atio
nsfk
t. (n
orm
iert
)
Abb. 34: Normierte 2D-Kreuzkorrelationsfunktion mit maximalem Korrelationskoe�zien-
ten von 0,94 an der Pixelposition [45;�3].
32 zeigen Ausschnitte von 512 � 256 Pixeln Gr�o�e aus zwei unterschiedlichen, gegeneinan-
der verschobenen CCD-Aufnahmen einer rauhen Ober �ache, die mit koh�arentem Laserlicht
beleuchtet wurde. In Abb. 33 wurde ein Ausschnitt von 128 � 128 Pixeln aus Abb. 31
gew�ahlt. Dieses Bildsegment soll nun mittels Korrelationsanalyse in Abb. 32 wiedergesucht
werden. Zu diesem Zweck werden von den beiden Bildern 31 und 32 zun�achst die jeweiligen
Intensit�atsmittelwerte subtrahiert. Die Bilddaten aus Abb. 31 werden anschlie�end mit der
entsprechenden Fensterfunktion gem�a� Abb. 33 multipliziert, bei der die"schwarzen Pixel\
dem Funktionswert null entsprechen und der verbleibende Rest der Matrix mit dem Wert
eins belegt wird. Die beiden Matrizen (Originalbild 32 abz�uglich des Mittelwertes sowie Ori-
ginalbild 31 abz�uglich des Mittelwertes und nach Multiplikation mit der Fensterfunktion)
werden nun jeweils einer 2D-Fouriertransformation gem�a� der Gleichung
Sk;l = S(k�fx; l�fy) =1
NM
N�1Xn=0
M�1Xn=0
sn;m e�j 2� (k n =N+lm =M); (89)
die die Erweiterung von Gl.(44) auf zwei Dimensionen darstellt, unterzogen. Die Frequenzen
�fx und �fy sind im Fall der Bildverarbeitung, bei der ein ortsabh�angiges Eingangssignal
transformiert wird, sogenannte Ortsfrequenzen. Gl.(89) l�a�t sich durch wiederholte An-
wendung eines eindimensionalen FFT-Algorithmus numerisch berechnen. Als Resultat erh�alt
man zwei komplexe Matrizen S1(k�fx; l�fy) und S2(k�fx; l�fy) mit k 2 f0; : : : ; N � 1g,l 2 f0; : : : ;M � 1g f�ur die beiden Eingangsmatrizen der Gr�o�e M � N . F�ur alle Elemente
dieser Matrizen wird das Produkt S1(k�fx; l�fy)S�
2(k�fx; l�fy) berechnet. Die resultie-
rende Matrix wird einer inversen 2D-FFT unterzogen. Diese Vorgehensweise f�uhrt gem�a�
65
dem Faltungs- bzw. Korrelationstheorem auf die 2D-Kreuzkorrelationsfunktion der beiden
Eingangsbilder. Abb. 34 zeigt einen Ausschnitt der auf den Maximalwert eins normierten
2D-Kreuzkorrelationsfunktion der oben beschriebenen Eingangs-Datens�atze. Es ist ein aus-
gepr�agter Peak zu erkennen, dessen xy-Position die Verschiebung der beiden Originalbilder
(31 und 32) gegeneinander angibt. Au�erhalb dieses Peaks nimmt die Kreuzkorrelationsfunk-
tion bedingt durch die unterschiedliche Feinstruktur der beiden korrelierten Bildsegmente der
Gr�o�e 128�128 Pixel nur Werte zwischen 0,2 und �0; 2 an. Die gro�e �Ahnlichkeit der beiden
zumMaximalwert der Kreuzkorrelationsfunktion f�uhrenden Bildausschnitte l�a�t sich anhand
des Kreuzkorrelationskoe�zienten (siehe Gl.(87), wobei N die Gesamtzahl der Elemente der
zu korrelierenden Datens�atze repr�asentiert, also hier 1282) beurteilen, der in diesem Beispiel
einen Wert von 0,94 annimmt.
6 Digitale Bildverarbeitung
Nachdem im vorigen Abschnitt bereits ein Beispiel aus der digitalen Bildverarbeitung zur
Korrelationsanalyse vorgestellt wurde, dient dieser Abschnitt dazu, systematisch in die di-
gitale Bildverarbeitung einzuf�uhren. Dabei wird vorausgesetzt, da� das zu analysierende
Bild digital vorliegt. Die M�oglichkeiten, digitale Bilder zu erzeugen, sind �au�erst vielf�altig.
Beispielsweise lassen sich digitale Bilder leicht am Rechner generieren. Mit Blick auf me�-
technische Anwendungen kann man davon ausgehen, da� mittels einer optischen Anordnung
ein reales Bild erzeugt wird, welches z.B. von einer CCD-Kamera aufgezeichnet wird. Als
Kamera-Ausgangssignal erh�alt man i. allg. ein Videosignal. Das Videosignal l�a�t sich mit
Hilfe eines Frame-Grabbers in ein digitales Bild umwandeln, das dann numerisch ana-
lysiert werden kann. Beispiele f�ur Standard-Bildformate sind das JPEG-, das TIFF- oder
das BMP-Format. Abbildung 35 zeigt ein auf der Auswertung von Videobildern basierendes
digitales Bildverarbeitungssystem.
6.1 Grundbegri�e der Bildverarbeitung
Zun�achst werden die Grundbegri�e der Video- und CCD-Technik eingef�uhrt:
Videosignal analoges (1-dimensionales) Zeitsignal mit V-sync. Pulsen, die ein neues Halb-
bild anzeigen und H-sync. Pulsen, die innerhalb eines Halbbildes jeweils den Beginn
einer neuen Zeile markieren
(V-sync. = vertikale Synchronisation)
(H-sync. = horizontale Synchronisation)
Videobild aus dem Videosignal erzeugtes Bild, das aus zwei Halbbildern besteht, deren
Zeilen sich abwechselnd zu einem Vollbild erg�anzen
Erstes Halbbild: ungeradzahlige Zeilen
Zweites Halbbild: geradzahlige Zeilen
Standards CCIR: Comit�e Consultatif International de Radiocommunications, Europa, 625
Zeilen, 1/25 s
EIA: Electronics Industries Association (RS-170-Standard), USA, 525 Zeilen, 1/30 s
66
Videotakt (gem�a� CCIR) 20 ms pro Halbbild, d.h. 40 ms pro Vollbild, also 50 bzw. 25 Hz
Bildfolgefrequenz,
die ersten 50 der 625 Zeilen enthalten das V-sync-Signal, d.h. f�ur die Bildinformation
stehen 575 Zeilen zur Verf�ugung
Kamme�ekt E�ekt, der aufgrund der ineinander verzahnten Halbbilder bei bewegten Ob-
jekten auftritt, Abhilfe: Progressive Scan Kameras
CCD-Kamera CCD=Charge Coupled Device
Die CCD-Kamera sammelt auf jedem Pixel des CCD-Chips proportional zur Anzahl
der auftre�enden Fotonen elektrische Ladungstr�ager an. Die gesamte auf einem Pixel
freigesetzte Ladung entspricht dem Grauwert,
g�angige Gr�o�en von CCD-Chips: 1/2"(6,4 x 4,8 mm2), 2/3"(8,8 x 6,6 mm2), 1/3"(4,2
x 3,6 mm2)
Faustregel f�ur 1/200 -Chips:
2 Fotonen erzeugen 1 Elektron
50.000 Elektronen liefern die Maximalamplitude des Videosignals von 1 V,
durch thermische E�ekte werden zus�atzliche Elektronen freigesetzt! Dunkelstrom!Rauschen
Abhilfe: K�uhlen des CCD-Chips
Elektronischer Shutter Der elektronische Shutter bestimmt die Belichtungszeit (auch In-
tegrationszeit) der CCD-Matrix. Die"Shutterzeit\ entspricht der Verschlu�zeit. Typi-
sche Werte reichen bei Standard-CCD-Kameras von 1/50 s bis 1/100.000 s. Zus�atzlich
wird bei CCD-Kameras das Videosignal i.allg. verst�arkt, um den gegebenen Dynamik-
bereich des Videosignal (0 bis 1 Volt) m�oglichst auszusch�opfen.
Farbkameras einfallendes Licht wird mit Hilfe von Filtern und Prismen in die Grundfarben
Rot (R), Gr�un (G), Blau (B) zerlegt:
- 3-Chip-Kameras nehmen f�ur jede Grundfarbe ein separates Bild auf, die drei Bilder
werden zu einem RGB-Bild �uberlagert
- bei 1-Chip-Kameras verteilen kleine Filterstrukturen die Farben auf unterschiedliche
Pixel
Frame-Grabber Ein Frame-Grabber ist eine Digitalisierungskomponente (i.allg. PC-Ein-
steckkarte), die das analoge Videosignal in ein digitales Bilddaten-Array umwandelt.
Dabei wird das Videosignal mit einer Sample-and-Hold-Einheit abgetastet (Abtastfre-
quenz 14,75 MHz bei CCIR). Je nach Leistungsf�ahigkeit des Rechner Busses (z.B. ISA
oder PCI) verf�ugt der Frame-Grabber entweder �uber einen eigenen Bildspeicher oder
nur �uber einen FIFO-Bu�er (wenige kbyte). Beim PCI-Bus werden die digitalisierten
Bilddaten direkt im Arbeitsspeicher des Rechners abgelegt.
typische Pixelzahlen sind: 768 (Spalten) x 576 (Zeilen), bei 8-bit-Quantisierung resul-
tiert ein Speicherbedarf von 768 x 576 x 1 Byte = 0,44 Megabyte f�ur ein S/W-Bild
und von 1,33 Megabyte f�ur ein Farbbild
Ein Bild, das in digitaler Form vorliegt, l�a�t sich allgemein als Intensit�atsfunktion zweier
Ortsvariabler x und y, also I(x; y), interpretieren. Im Gegensatz zu den bisher betrachteten
67
Lichtquelle
Objekt
KameraVideo-signal
Frame-Grabber
Computer / Arbeitsspeicher
digitalesSignal
Abb. 35: Typisches Anwendungsbeispiel f�ur ein auf der Auswertung von Videobildern ba-
sierendes digitales Bildverarbeitungssystem.
Zeitsignalen tritt hier der Ort an die Stelle der Zeit als Variabler. Da es sich bei Bildern um
Gebilde handelt, die sich �uber zwei Raumdimensionen erstrecken, werden zwei Ortskoordi-
naten, z.B. die kartesischen Koordinaten x und y, ben�otigt, um einen Ort im Bild genau zu
lokalisieren.�Ahnlich wie bei der Digitalisierung von Zeitsignalen geht mit der Digitalisierung eines Bil-
des grunds�atzlich eine Diskretisierung einher, d.h. die zun�achst kontinuierliche Funktion
I(x; y) wird in eine diskrete Funktion I(m�x; n�y) mit m 2 f1; : : : ;Mg, n 2 f1; : : : ; Ng�uberf�uhrt. Das Resultat ist ein Pixelbild bestehend aus M � N Pixeln der Gr�o�e �x�y,
das sich durch eine N�M -Matrix beschreiben l�a�t (siehe Abb. 36).4 Bei der Digitalisierung
von Bildsignalen wird die Bildintensit�at �uber die Pixel �ache au�ntegriert. Dies steht im
Gegensatz zu der bisher betrachteten Digitalisierung von Zeitsignalen, bei der die Diskreti-
sierung darin bestand, da� ausschlie�lich zu den Abtastzeitpunkten dem Signal Abtastwerte
entnommen wurden.
Bei der Digitalisierung eines Bildes erfolgt zun�achst eine zweidimensionale Abtastung, die
sich in Analogie zur Abtastung von Zeitsignalen durch eine Multiplikation des kontinuierli-
chen Intensit�atssignals I(x; y) mit einem auf zwei Dimensionen erweiterten Dirac-Kamm der
Form
comb(x; y) =+1X
n=�1
+1Xm=�1
�(x�m�x; y � n�y)
beschreiben l�a�t. Hinzu kommt die Integration �uber die Pixel �ache, die mathematisch einer
Faltung des punktweise abgetasteten Intensit�atssignals I(x; y) comb(x; y) mit der durch die
4Vereinfachend wird hier und im weiteren angenommen, da� die zur Bildaufzeichnung verwendete Ka-
mera einen F�ullfaktor von 1 habe, so da� Pixelabstand und Pixelbreite jeweils identisch sind. Allgemein
bezeichnet der F�ullfaktor das Verh�altnis aus photosensitiver Fl�ache zur gesamten von Pixeln �uberdeckten
Fl�ache einer Kamera. Heutige CCD-Kameras erreichen F�ullfaktoren von nahezu eins.
68
∆y
∆x
Zei
len
SpaltenM
N
Abb. 36: Ein Pixelbild setzt sich aus N Zeilen und M Spalten zusammen, der Pixelabstand
betr�agt in horizontaler Richtung �x, in vertikaler Richtung �y.
Pixelgr�o�e gegebenen Rechteckfunktion
rect(x=(�x=2); y=(�y=2)) =
(1 f�ur � �x
2� x <
�x
2;��y
2� y <
�y
2
0 sonst(90)
entspricht.
Diese �uber die Pixel �ache integrierende Intensit�atserfassung hat zur Konsequenz, da� das
Spektrum des Bildes mit der Fouriertransformierten der Rechteckfunktion
rect(x=(�x=2); y=(�y=2))
multipliziert wird. Die zugeh�orige zweidimensionale Fouriertransformierte ist in Abbildung
37 dargestellt. Die dadurch bedingte Abschw�achung der hochfrequenten Signalanteile l�a�t
sich kompensieren, in dem das Spektrum des digitalisierten Bildes mit der zu Abb. 37
reziproken Funktion multipliziert wird.
Liegt ein Bild in digitaler Form vor, so gibt es vielf�altige M�oglichkeiten, mittels digitaler
Bildverarbeitung die Bildinformation zu analysieren oder das Bild zu manipulieren. Je nach
Gr�o�e des Bildbereiches, auf den die einzelnen digitalen Operationen wirken, unterscheidet
man zwischen
� Punktoperationen,
� lokalen Operationen,
� globalen Operationen.
In den folgenden Abschnitten werden diese unterschiedlichen Operationen anhand von Bei-
spielen erl�autert.
In der konventionellen Bildverarbeitung besteht das Ziel derartiger Operationen darin, zu-
n�achst eine Segmentierung und darauf basierend eine Merkmalsextraktion vorzuneh-
men. Bei der Segmentierung wird der interessierende Teil des Bildes, das"Objekt\, vom
69
−50
0
50
−50
0
5040
50
60
70
80
90
100
fx (mm−1) f
y (mm−1)
FT
{rec
t(2x
/∆x,
2y/
∆y)}
(µm
2 )
Abb. 37: Fouriertransformierte der durch ein quadratisches Pixel der Breite �x = 10�mvorgegebenen Rechteckfunktion.
Hintergrund separiert. Der Merkmalsextraktion kommt die Aufgabe zu, charakteristische
Objekteigenschaften zu bestimmen, die es erlauben, das Objekt einer bestimmten Klasse
zuzuordnen.
Beispielsweise kann die Aufgabe der Bildverarbeitung darin bestehen, �Apfel und Birnen
zu identi�zieren. Daf�ur ist"das Obst\ zun�achst im Bild auszumachen (Segmentierung).
Dann sind bestimmte Merkmale zu ermitteln (z.B. die Farbe, das Verh�altnis aus der L�ange
der Umrandung zur Fl�ache des Objektes, das Verh�altnis aus minimaler Ausdehnung zur
maximalen Ausdehnung des Objektes), auf deren Grundlage zwischen"Apfel\ und
"Birne\
unterschieden werden kann.
6.2 Punktoperationen
Punktoperationen stellen den einfachsten Fall der digitalen Bildverarbeitung dar. Ein zu ei-
nem Pixel, das durch die Koordinaten (m;n) der digitalen Bildmatrix festgelegt ist, geh�oren-
der Intensit�atswert Iin(m;n) wird anhand einer Rechenvorschrift in einen neuen Intensit�ats-
wert Iout(m;n) umgerechnet. Der neu zugewiesene Grauwert h�angt dabei ausschlie�lich von
dem urspr�unglichen Wert ab. Ein typisches Beispiel einer Punktoperation ist die Kontrast-
verst�arkung. Der Kontrast K eines Bildes kann als
K =Imax � Imin
�Imax
de�niert werden, wobei Imax den maximalen Intensit�atswert des Bildes, Imin den minimalen
und �Imax die maximal m�ogliche Intensit�atsdi�erenz bezeichnet.
70
Bilder werden h�au�g mit einer Au �osung von 8 Bit digitalisiert. Das bedeutet, da� - im Fall
eines Schwarz/Wei�-Bildes - Grauwerte zwischen 0 und 255 zur Verf�ugung stehen, wobei
einem Grauwert 0 die Intensit�at 0 (schwarz) entspricht, einem Grauwert 255 die maximale
Intensit�at (wei�).
Wird beispielsweise angenommen, ein reales Bild weise als maximalen Grauwert Imax den
Wert 150 auf, als minimalen Grauwert Imin den Wert 50 auf, so resultiert f�ur den Kontrast
der Wert 100=255. Der Kontrast ist maximal (K = 1), wenn sich die gesamte Grauwertskala
von 0 bis 255 in dem Bild wieder�ndet. Dies l�a�t sich erreichen, wenn jeder Eingabe-
Intensit�atswert Iin(m;n) gem�a� der Rechenvorschrift
Iout(m;n) = (Iin(m;n)� Imin) ��Imax=(Imax � Imin)
in einen Ausgabe-Intensit�atswert Iout(m;n) �uberf�uhrt wird.
Mit �Imax = 255 wird im obigen Beispiel der Eingangs-Intensit�atswert Imin = 50 auf den
Grauwert 0 abgebildet, der Eingangs-Intensit�atswert Imax = 150 auf den Grauwert 255. Die
dazwischen liegenden Werte werden gleichm�a�ig, d.h. linear, auf das Intervall 0 < I < 255
aufgeteilt, so da� der zur Verf�ugung stehende Wertebereich vollst�andig ausgenutzt wird.
Ist die Abbildungskennlinie, mit der die Abbildung der Eingangs-Grauwerte auf die Aus-
gangswerte beschrieben wird, nichtlinear, so spricht man von einer Gammakorrektur des
Bildes, die durch einen -Wert mit 0 < <1 festgelegt ist. Wenn die Kennlinie zu gr�o�e-
ren Intensit�atswerten hin gewichtet ist, d.h. die Kennlinie zeigt mit der konkaven Seite nach
oben (zweite Ableitg. > 0), gilt < 1. Ist die Kennlinie zu kleineren Intensit�atswerten
gewichtet, d.h. die Kennlinie zeigt mit der konkaven Seite nach unten, so gilt > 1. (F�ur
eine lineare Kennlinie folgt also = 1.)
Ein weiteres Beispiel eines Punktoperation ist die Binarisierung eines Pixelbildes. Dabei
wird ein Schwellwert I0 festgelegt und die vorhandenen Intensit�atswerte werden gem�a� der
Rechenvorschrift
Iout(m;n) =
(1 f�ur Iin(m;n) � I0
0 sonst
umgerechnet. Das resultierende Bin�arbild besteht folglich nur noch aus zwei Graustufen,
n�amlich 0 und 1.
6.3 Lokale Operationen
Lokale Operationen sind solche, bei denen zus�atzlich zu dem Eingangswert Iin(m;n) auch
die Intensit�atswerte in der Nachbarschaft des an der Position (m;n) lokalisierten Pixels zur
Berechnung des Ausgangswertes herangezogen werden. Der Ausgangswert mu� dabei nicht
dieselbe physikalische Bedeutung haben wie die Eingangs-Intensit�atswerte.
6.3.1 Maskenkorrelation
Ein Beispiel einer lokalen Operation ist die in Abschnitt 5.4.2 beschriebene Kreuzkorrelation
zwischen einem lokal begrenzten Bildbereich (in dem Beispiel aus Abschnitt 5.4.2 128� 128
Punkte) und einer Maske (die im Beispiel aus Abschnitt 5.4.2 durch den Bildausschnitt
gem�a� Abb. 33 repr�asentiert wird). Die Ausgangswerte dieser lokalen Operation sind die
71
Funktionswerte der diskreten Kreuzkorrelationsfunktion gem�a� Gl.(88). Es liegt nahe, da�
eine Kreuzkorrelation mit einer vorgegebenen Maske zur Mustererkennung verwendet wer-
den kann. Beispielsweise lassen sich auf diese Weise Buchstaben identi�zieren. Damit ein
entsprechender Algorithmus problemlos funktioniert, sollte jedoch die Schriftart der Maske
mit der des zu identi�zierenden Buchstabens �ubereinstimmen. Ferner sind die Schriftgr�o�en
aneinander anzupassen.
6.3.2 Grauwertgl�attung
Ein weiteres wichtiges Beispiel einer lokalen Operation stellt ein Median-Filter dar. In
praktischen Anwendungen kommt es h�au�g vor, da� die Intensit�atswerte einzelner Pixel
"ausrei�en\. Diesen E�ekt bezeichnet man als
"Salz-und-Pfe�er-Rauschen\. Ein Median-
Filter hat die Aufgabe, das"Salz-und-Pfe�er-Rauschen\ zu unterdr�ucken. Dabei wird ein
lokaler Bildbereich mit ungerader Zeilen- und Spaltenanzahl gew�ahlt, in dessen Zentrum sich
das zu ersetzende Pixel be�ndet, z.B. ein Bereich von 3 � 3 Pixeln mit dem zu �lternden
Pixel in der Mitte (vgl. Abb. 38). Sodann werden die Grauwerte dieses Bereichs gem�a� der
H�au�gkeit ihres Auftretens in Klassen eingeteilt. Der Grauwert des zu �lternden Pixels wird
durch den Grauwert, der innerhalb des lokalen Bereiches am h�au�gsten auftritt, ersetzt. Auf
diese Weise lassen sich einzelne"Ausrei�er\ mit gro�er Zuverl�assigkeit eliminieren.
Wird die digitale Filterung, die in Abschnitt 5.1 behandelt wurde, auf zwei Dimensionen
erweitert, so handelt es sich ebenfalls um eine (vielfach ausgef�uhrte) lokale Operation, bei der
ein r�aumlich begrenzter Bildbereich mit Hilfe einer Gewichtsfunktion, der charakteristischen
Filterfunktion, in einen neuen Grauwert umgerechnet wird. Ein auf diese Weise realisiertes
Tiefpa��lter entspricht einer"gleitenden Mittelwertbildung\ und f�uhrt letztlich zu einer
Grauwertgl�attung.
6.3.3 Kanten�lterung
Eine h�au�ge Aufgabe der digitalen Bildverarbeitung besteht darin, in einem aufgenomme-
nen Bild Objekte zu identi�zieren, die sich aufgrund ihres mittleren Grauwertes von der
Umgebung abheben. Zu diesem Zweck ist im Bild die"Umrandung\ eines interessierenden
Objektes zu bestimmen, z.B. die Lage des Winkels in Abb. 39. Dies wird durch sogenannte
Kanten�lter realisiert.
Die Kanten�lterung ist in diesem Zusammenhang - �ahnlich wie die oben erw�ahnte digitale
Filterung - als diskrete Faltung des Eingangsbildes mit einer Filtermatrix von geringer Aus-
dehnung, z.B. 3� 3 Matrix, zu verstehen. Dabei wird die Filtermatrix um die Pixelposition
zentriert, f�ur die ein neuer Ausgangswert berechnet werden soll (vgl. Abb. 38). Im zweiten
Schritt werden die sich �uberlappenden Elemente der Bildmatrix und der Filtermatrix mit-
einander multipliziert und die resultierenden Produkte werden aufaddiert, so da� schlie�lich
der Ausgangswert resultiert.
Durch ein Kanten�lter l�a�t sich ein Grauwertsprung in einer durch die Filtermatrix festge-
legten Richtung feststellen. Die Filtermatrix wird dabei so de�niert, da� die Ausgangsmatrix
z.B. f�ur Bildpositionen, an denen Grauwertspr�unge von"dunkel\ nach
"hell\ auftreten, Wer-
te � 0 aufweist, f�ur Bildpositionen, an denen Grauwertspr�unge von"hell\ nach
"dunkel\
72
Pixelposition m,n
3 x 3 Filtermatrix -te Spalten
-te Zeilem
Abb. 38: Filterung eines Eingangsbildes mit Hilfe einer 3�3 Filtermatrix, in deren Zentrum
sich das zu �lternde Pixel mit der Pixelposition (m;n) be�ndet.
auftreten, Werte � 0 aufweist, w�ahrend die Ausgangswerte f�ur Bereiche konstanter Grau-
werte des Eingangsbildes � 0 sind.
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Abb. 39: Eingabebild.
Um horizontale Kanten zu detektieren, kann die Filtermatrix Fh wie folgt de�niert werden:
Fh =
0BB@
1 2 1
0 0 0
�1 �2 �1
1CCA :
Diese Filtermatrix ist unter dem Begri� Sobel-Filter bekannt.
73
Analog k�onnen vertikale Kanten mit Hilfe der Filtermatrix
Fv =
0BB@
1 0 �12 0 �21 0 �1
1CCA
detektiert werden.
Abb. 40 zeigt das Resultat der Kanten�lterung von Bild 39. Das dargestellte Ergebnis zeigt
die Summe aus der Kanten�lterung mit der Filtermatrix Fh in horizontaler Richtung und
der Filtermatrix Fv in vertikaler Richtung. Die in Abb. 40 schwarz dargestellte Linie gibt
den sichtbaren Teil der Umrandung des Objektes in Abb. 39 wieder.
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Abb. 40: Resultat der Kanten�lterung mit dem Sobel-Filter.
6.4 Globale Operationen
Globale Operationen basieren auf allen Pixeln des Eingabebildes. Einfache Beispiele f�ur
globale Operationen sind die Bildung des arithmetischen Mittelwertes aller Grauwerte eines
Bildes oder die Berechnung des Grauwert-Histogramms.
Zwei weitere Beispiele, die zweidimensionale Fouriertransformation und die Radon-Transfor-
mation, werden in den folgenden Abschnitten vorgestellt.
6.4.1 2D-Fouriertransformation
Ein wichtiges Beispiel einer globalen Operation ist die diskrete Fouriertransformation (DFT)
in ihrer Erweiterung auf zwei Dimensionen. Die De�nitionsgleichung der 2D-DFT wurde
bereits in Abschnitt 5.4.2, Gl. (89) angegeben.
74
Die 2D-DFT ist die diskrete Form der kontinuierlichen 2D-Fouriertransformation, die durch
die Gleichung
G(fx; fy) =
1Z�1
1Z�1
g(x; y) e�j2�fxxe�j2�fyydxdy (91)
beschrieben wird. Die inverse 2D-Fouriertransformation folgt dementsprechend der Glei-
chung:
g(x; y) =
1Z�1
1Z�1
G(fx; fy) ej2�fxxej2�fyydfx dfy: (92)
Als Beispiel sei in diesem Zusammenhang erneut die Fouriertransformierte RECT(fx; fy) der
zweidimensionalen Rechteckfunktion gem�a� Gl.(90) angef�uhrt, f�ur die gilt:
RECT(fx; fy) =
�x=2Z��x=2
�y=2Z��y=2
e�j2�fxxe�j2�fyydxdy
= �x�ysin(2�fx�x=2)
2�fx�x=2
sin(2�fy �y=2)
2�fy �y=2
= �x�y sinc(2�fx�x=2) sinc(2�fy �y=2) (93)
Das Ergebnis ist mit � = 2� fx�x=2 und � = 2� fy �y=2 in Abb. 41 dargestellt (der
Vorfaktor �x�y wurde gleich 1 gesetzt). Es ist eine Erweiterung der Fouriertransformierten
einer eindimensionalen Rechteckfunktion: Die Rechteckfunktion in x-Richtung ruft die sinc-
Funktion in �-Richtung hervor, die Rechteckfunktion in y-Richtung die sinc-Funktion in �-
Richtung. (Abb. 37 stellt einen Ausschnitt aus Abb. 41 in der Umgebung des Ursprungs der
Ortsfrequenzebene dar. Die Gr�o�e dieses Ausschnitts ergibt sich gem�a� dem Abtasttheorem
aus der maximalen Ortsfrequenz f�ur ein gegebenes Abtastintervall, d.h. f�ur einen gegebenen
Pixelabstand)
Die Bedeutung der 2D-Fouriertransformation f�ur die Bildverarbeitung wird anhand der Bild-
folge 42 bis 45 deutlich. Das Eingangsbild (Abb. 42) setzt sich aus drei dominierenden
Geometrieelementen zusammen:
1. einer von oben links nach unten rechts schra�erten, n�aherungsweise rechteckigenFl�ache,
2. einer von unten links nach oben rechts schra�erten, vorwiegend horizontal verlaufen-
den Fl�ache,
3. einer einfarbigen Grund �ache mit zwei kleineren ovalen Elementen.
Abb. 43 zeigt den mittels FFT berechneten Betrag der Fouriertransformierten der Eingangs-
bildmatrix. Der Ursprung der fx; fy-Ebene liegt in der Bildmitte.
Bei der 2D-DFT werden im Prinzip dieselben Mechanismen wirksam, die bereits im Zu-
sammenhang mit der Signalverarbeitung erl�autert wurden. Die 1. Fl�ache l�a�t sich verein-
facht als Produkt einer 2D-Rechtfunktion mit einer schr�ag verlaufenden Sinusfunktion, die
die Schra�ur repr�asentiert, interpretieren. Gem�a� dem Faltungstheorem entspricht dies im
Ortsfrequenzbereich einer Faltung der Fouriertransformierten der 2D-Rechteckfunktion (vgl.
Abb. 41) mit drei �-Peaks, einem am Koordinatenursprung (bedingt durch den O�set), ei-
nem bei der positiven Ortsfrequenz der Sinusfunktion (im rechten oberen Quadranten von
75
−2−1
01
2
−2−1
01
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ξ/(2 π)η/(2 π)
|sin
(ξ)*
sin(
η)/(
ξ η)
|
Abb. 41: Absolutbetrag der 2D-Fouriertransformierten einer Rechteckfunktion.
Abb. 42: Eingangsbild.
76
Abb. 43) und einem bei der negativen Ortsfrequenz der Sinusfunktion (im linken unteren
Quadranten von Abb. 43). Deutlich sind im rechten oberen Quadranten und im linken
unteren Quadranten von Abb. 43 die 2D-sinc-Funktionen als Kreuze zu erkennen.
0
50
100
150
200
250
Abb. 43: Betrag der 2D-Fouriertransformierten des Eingangsbildes.
Analog entstehen durch die Schra�ur der 2. gr�o�eren Fl�ache in Abb. 42 �-Peaks in der Mitte
des linken oberen Quadranten und in der Mitte des rechten unteren Quadranten von Abb.
43. Die dort sichtbare Struktur entspricht der 2D-Fouriertransformierten der zugeh�origen
Fl�ache.
Die dritte, n�aherungsweise einfarbige Fl�ache zeigt keine h�oherfrequenten Anteile. Die 2D-
Fouriertransformierte dieser Fl�ache nimmt daher nur in der Umgebung des Ursprungs der
Ortsfrequenzebene von null verschiedene Werte an.
In Abb. 44 werden alle h�oherfrequenten Bildanteile, die au�erhalb des erkennbaren Krei-
ses um den Ursprung der Ortsfrequenzebene liegen, gleich null gesetzt. Damit wird die
Bilddaten-Menge auf einen Bruchteil des urspr�unglichen Umfangs reduziert.
Das Ergebnis der R�ucktransformation des auf diese Weise ge�lterten Eingangsbildes ist in
Abb. 45 dargestellt. Die wesentlichen Geometrieelemente bleiben erhalten, die hochfre-
quenten Feinstrukturen (Schra�uren) wurden jedoch herausge�ltert. Auch die mittleren
Grauwerte der drei dominierenden Fl�achenelemente haben sich ge�andert.
Das Beispiel o�enbart eine Reihe von Anwendungsm�oglichkeiten der FFT in der Bildverar-
beitung:
� die Analyse charakteristischer Strukturen des Bildes in der Ortsfrequenzebene,
� die gezielte digitale Filterung des Bildes,
� die Kompression von Bilddaten z.B. zur Reduzierung der ben�otigten Speicherkapazit�at.
77
0
50
100
150
200
250
Abb. 44: Multiplikation mit 2D-Tiefpa�-Filterfunktion.
Abb. 45: Resultat nach R�ucktransformation.
78
Wie in Abschnitt 5.4.2 demonstriert, erweist sich die FFT dar�uber hinaus auch als n�utzliches
Hilfsmittel zur schnellen Berechnung von 2D-Korrelationsfunktionen.
6.4.2 Radon-Transformation
Insbesondere bei Bildern wie Abb. 40, in denen Linien als charakteristische Merkmale zu
erkennen sind, bietet sich die Bildanalyse mittels der Radon-Transformation an. Die Matrix
g der Bildaten wird dabei erneut als Funktion der beiden Variablen x und y aufgefa�t, d.h.
g = g(x; y). Die der Radon-Transformation zugrunde liegende Geometrie ist in Bild 46
dargestellt. Die Radon-Transformierte R�(x0) der Funktion g(x; y) berechnet sich wie folgt:
R�(x0) =
1Z�1
g(x0; y0) dy0; (94)
mit x0 = x cos � + y sin� und y0 = y cos�� x sin�.
Aus der FunktionR�(x0) l�a�t sich ablesen, in welchen Bildbereichen
"Geraden\ vorliegen und
wie stark diese ausgepr�agt sind. Weist die Funktion g(x; y) beispielsweise entlang einer zur
y0-Achse parallelen Geraden relativ gro�e Funktionswerte auf, so resultiert f�ur die Radon-
Transformierte R�(x0) f�ur den entsprechenden Drehwinkel � an der Stelle x00, an der die
im Bild vorhandene Geradenstruktur die x0-Achse schneidet, ein gegen�uber der Umgebung
deutlich erh�ohter Funktionswert.
Als praktisches Beispiel ist in Abb. 47 die entsprechende Matrix R(�; x0) f�ur die in Abb.
40 gezeigten Kanten dargestellt. Jede Kante wird in Abb. 47 auf einen hellen Bereich
abgebildet. F�ur die kurze Kante oben rechts in Abb. 40 resultiert der helle Bereich bei
� � 85�. Die lange, n�aherungsweise senkrechte Kante in Abb. 40 f�uhrt auf den hellen
Bereich bei � � 175�.
x
x’
yy’
Θ
Abb. 46: Bei der De�nition der Radon-Transformation zugrunde gelegte Geometrie.
Die Rekonstruktion von Gewebestrukturen in der Computer-Tomographie stellt ein weiteres
wichtiges Anwendungsfeld der Radon-Transformation dar, auf das hier jedoch nicht n�aher
eingegangen werden soll.
79
Winkel θ (Grad)
x´ +
159
(P
ixel
)
20 40 60 80 100 120 140 160 180
50
100
150
200
25010
20
30
40
50
60
Abb. 47: Resultat der Radon-Transformation des ge�lterten Bildes.
Weiterf�uhrende Literatur
- E. O. Brigham: FFT - Schnelle Fourier Transformation.
Oldenbourg-Verlag, M�unchen 1995
- A. Papoulis: Signal Analysis.
McGraw-Hill, New-York 1984
- K. D. Kammeyer, K. Kroschel: Digitale Signalverarbeitung - Filterung und Spektral-
analyse.
Teubner-Verlag, Stuttgart 1992
- A. Oppenheim, R. W. Schaefer: Discrete-Time signal processing.
Prentice Hall, Englewood Cli�s 1989
- N. Fliege: Systemtheorie.
Teubner-Verlag, Stuttgart 1991
- R. C. Gonzalez, P. Wintz: Digital Image Processing.
Addison-Wesley Publishing Company, Mass. 1987
- H. B�assmann, J. Kreyss: Bildverarbeitung Ad Oculos.
Springer-Verlag, Berlin 1998
80
http://www.springer.com/978-3-658-00665-5
