Teknillinen korkeakouluTeknillisen fysiikan ja matematiikan osastoMatematiikan laitos

Juho KönnöKomposiittilaminaattien analyysielementtimenetelmällä

Diplomi-insinöörin tutkintoa varten tarkastettavaksi jätetty diplomityöEspoo, 24. lokakuuta 2007Työn valvoja: professori Rolf StenbergTyön ohjaaja: FT Antti Niemistö

TEKNILLINEN KORKEAKOULU DIPLOMITYÖN TIIVISTELMÄTEKNILLISEN FYSIIKAN JA MATEMATIIKAN OSASTOTekijä: Juho KönnöOsasto: Teknillisen fysiikan ja matematiikan osastoPääaine: MekaniikkaSivuaine: LujuusoppiTyön nimi: Komposiittilaminaattien analyysi elementtimenetelmälläTitle in English: Finite Element Analysis of Composite LaminatesProfessuurin koodi ja nimi: Mat-5 MekaniikkaTyön valvoja: Professori Rolf StenbergTyön ohjaaja: FT Antti NiemistöTiivistelmä: Komposiittirakenteet ovat nykyään käytännön teollisuussovelluksissa yhäyleisempiä, ja niiden tehokas mallintaminen asettaa uusia haasteita laskennallisen meka-niikan näkökulmasta. Tässä työssä käsitellään komposiittilaminaattirakenteiden mallin-tamista Reissner-Mindlin laattateorian avulla, ja teoriaa sovelletaan paperin kupruiluun.Osana tätä työtä on Numerola Oy:n Numerrin-ohjelmistoon lisätty tarvittavat elemen-tit ja luotu paperin mallintamiseen soveltuva malli.Aluksi muotoillaan klassisen laminaatioteorian mukainen matemaattinen malli, jossalaattatehtävä kytketään tasoelastisuustehtävään konstitutiivisen yhteyden avulla. Edel-leen johdetaan tehtävän heikko muoto, sekä osoitetaan tehtävä hyvin määritellyksi jastabiiliksi. Tehtävä ratkaistaan elementtimenetelmällä käyttäen laattatehtävälle MITC-elementtejä, joiden konstruktio esitellään yksityiskohtaisesti, ja johdetaan a priori vir-hearviot koko tehtävälle.Lopuksi esitellään paperin mallintamiseen soveltuva materiaalimalli, joka ratkaistaankäyttäen Numerrin-ohjelmistoa, sekä lasketaan muutamia numeerisia esimerkkejä. Tu-loksiin perustuen komposiittilaattamallin voidaan todeta soveltuvan varsin hyvin pape-rin mallintamiseen, ongelmaksi havaitaan muodostuvan kuitenkin ennenkaikkea tehtä-vän laskennallinen vaativuus.Sivumäärä: 55 Avainsanat: laminaatioteoria, komposiittilaminaatti,elementtimenetelmä, kupruilu, MITCTäytetään osastollaHyväksytty: Kirjasto:

HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ABSTRACT OF MASTER'S THESISDEPARTMENT OF ENGINEERING PHYSICS AND MATHEMATICSAuthor: Juho KönnöDepartment: Department of Engineering Physi s and Mathemati sMajor subje t: Theoreti al and Applied Me hani sMinor subje t: Me hani s of MaterialsTitle: Finite Element Analysis of Composite LaminatesTitle in Finnish: Komposiittilaminaattien analyysi elementtimenetelmälläChair: Mat-5 Me hani sSupervisor: Professor Rolf StenbergInstru tor: Antti Niemistö, Dr.S .Abstra t: Composite stru tures are nowadays very ommon in industrial appli ations,and present a whole new hallenge from the mathemati al point of view. In this thesiswe introdu e a model based on the Reissner-Mindlin plate model and apply it to thepaper o kling problem. As a part of the work the orresponding plate elements andthe me hani al model were implemented to Numerrin, a nite element solver developedby Numerola Oy.First the mathemati al model based on lassi al lamination theory (CLT) is introdu ed,whi h inter onne ts the plate equations with a plane elasti ity problem. Next the prob-lem is shown to be well-dened and stable. Finally the problem is solved with the niteelement method using the MITC element family. The element families used are intro-du ed and an a priori error analysis is performed for the omposite plate problem.Finally a material model suitable for modelling paper is introdu ed and some numeri alexperiments are ondu ted with the Numerrin software. From the results one an de-du e that the model onsidered is well-suited to the modelling of o kling, even thoughsome problems are re ognized regarding the ee tiveness of omputation.Number of pages: 55 Keywords: laminated omposite, CLT, o kling,nite element method, MITCDepartment llsApproved: Library ode:

iAlkusanatTämän diplomityön tekeminen on ollut varsin opettavainen prosessi käytän-nön toteutuksen ja teorian yhteenliittämisestä todellisen fysikaalisen ongel-man käsittelyssä. Olen tehnyt diplomityön Teknillisen korkeakoulun mate-matiikan laitoksella sekä Jyväskylässä Numerola Oy:n palkollisena.Haluan kiittää sekä valvojaani Rolf Stenbergiä että ohjaajaani Antti Nie-mistöä pitkäjänteisestä ohjauksesta ja neuvoista matkan varrella. Erityinenkiitos kuuluu myös Janne Martikaiselle suuresta avusta ohjelmointityön to-teutuksen kanssa. Lisäksi haluan kiittää mukavan työilmapiirin mahdollista-neita työkavereita sekä matematiikan laitoksella että Numerola Oy:ssä.Erityisesti haluan vielä kiittää vanhempiani kannustuksesta ja tuesta kokoopintojeni ajalta.Espoo, 24. lokakuuta 2007Juho Könnö

SISÄLTÖ iiSisältö1 Johdanto 12 Anisotrooppiset materiaalit 32.1 Anisotrooppinen elastisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Ortotrooppiset materiaalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Matemaattinen malli 63.1 Reissnerin-Mindlinin laattamalli . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Komposiittilaatan konstitutiiviset yhteydet . . . . . . . . . . . 73.3 Reissnerin-Mindlinin malli komposiittilaatalle . . . . . . . . . 93.3.1 Variaatiomuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.2 Reunaehtojen määrittäminen . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Ratkaisun olemassaolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Ratkaisun säännöllisyys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5.1 Helmholtzin hajotelma leikkausvoimalle . . . . . . . . . 173.5.2 Säännöllisyys reunalla ja sisäalueessa . . . . . . . . . . 193.5.3 Kytketyn tehtävän säännöllisyys . . . . . . . . . . . . . 214 Elementtimenetelmä MITC-elementeille 234.1 Laattatehtävän analyysi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.1 MITC-elementtiperhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.2 Virhearviot MITC-elementeille . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Yhdistetyn mallin analyysi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Mallin sovellus paperiarkin kupruiluun 395.1 Orientaatio ja anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Materiaaliparametrien määrittäminen . . . . . . . . . . . . . . 405.2.1 Kimmomoduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.2 Poissonin luvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.3 Liukumodulit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Kosteuden aiheuttama muodonmuutos . . . . . . . . . . . . . 445.4 Reunaehtojen valinta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 Mallin toteutus Numerrin-ohjelmistoon 466.1 Tensoreiden vektorinotaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2 Numerrin-kielinen malli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3 Reunaehtojen vaikutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.4 Verkon tiheys ja elementtiapproksimaation aste . . . . . . . . 507 Yhteenveto 53

1 JOHDANTO 11 JohdantoVastoin yleistä mielikuvaa, laminoidut komposiittirakenteet ovat olleet tun-nettuja jo antiikin ajoista. Vuonna 1837 löydettiin Gizan pyramidista noinvuodelta 2750 eKr. [23 peräisin oleva useista kerroksista laminoitu teräslevy,myöhemmin historioitsija Homeros kirjoitti muistiin kuvauksen kulta-, tina-ja pronssikerroksista laminoidusta kilvestä. Lähihistoriassa komposiittiraken-teet ovat avanneet uusia mahdollisuuksia erityisesti avaruus- ja ilmailuteol-lisuudessa. Nykyisin komposiittirakenteet ovat vallanneet alaa myös arkipäi-väisemmissä sovelluskohteissa niiden painoonsa nähden hyvän taivutuskestä-vyyden ansiosta. Komposiittimallia voidaan soveltaa muillekin materiaaleille,kuten esimerkiksi paperille, joka perinteisesti on ollut haastava mallinnettavamonimutkaisen kuiturakenteensa vuoksi.Tutuin esimerkki laminaatista lienee tavallinen vaneri, josta käy hyvin il-mi laminaatille tyypillinen rakenne, jossa laatta jakautuu paksuussuunnassaerilaiset elastiset ominaisuudet omaaviin kerroksiin. Tyypillisesti materiaa-lit koostuvat tietyllä tavalla orientoituneista vetolujuudeltaan voimakkaistakuiduista, jotka ovat heikommasta materiaalista valmistetun matriisin sisällä.Erityisesti kuitujen orientaatiota eri kerroksissa muuttamalla voidaan suures-ti vaikuttaa materiaalin lujuuteen juuri halutussa suunnassa, jolloin kompo-siittimateriaali voidaan optimoida tietylle jännitysjakaumalle. Muita materi-aalien vahvoja puolia ovat hyvä kosteuden ja lämpötilan vaihteluiden kesto se-kä usein hyvät eristysominaisuudet. Lisäksi komposiiteista voidaan piezosäh-köisten elementtien avulla luoda älymateriaaleja, jotka pystyvät sähköises-ti vaimentamaan esimerkiksi tiettyjä värähtelyn ominaistaajuuksia. Toisaal-ta komposiitteja vaivaa tyyppillisesti huono leikkausjännityksen kesto laatansuuntaisia voimia vastaan. Edellämainituista syistä komposiittimateriaaleis-ta onkin viime vuosina tullut eräs laskennallisen mekaniikan tutkituimmistaosa-alueista.Tässä työssä tarkastellaan ensin yleistä klassista laminaatioteoriaa, jo-ka yhdistetään paksuille laatoille soveltuvaan ja nykyisin varsin suosittuunReissnerin-Mindlinin laattamalliin. Laattamalli kytketään tasoelastisuusteh-tävään ja tämä yhdistetty tehtävä ratkaistaan elementtimenetelmän avul-la. Erityisesti painotetaan Reissnerin-Mindlinin mallille kehitettyjen MITC-elementtien virheanalyysiä, sekä verkkostabiloinnin tai kiertymän kuplamuo-tojen avulla saavutettavaa lukkiutumattomuusominaisuutta. Kytketylle teh-tävälle esitetään a priori virhearvio, sekä näytetään että kytketty systeemion hyvin käyttäytyvä.Lopuksi mallia sovelletaan paperiarkin kupruilun simuloimiseen element-timenetelmän avulla, mikä on paperiteollisuudessa varsin mielenkiintoinenongelma erityisesti hyvälaatuista painopaperia tuotettaessa. Erityisen kiin-

1 JOHDANTO 2nostuksen kohteena ovat paperin pinnan pienet muodonmuutokset paperinkuivamisvaiheen aikana. Tässä työssä käytetään Teemu Leppäsen tuorettavuonna 2007 julkaistua materiaalimallia paperin mallintamiseen laattayhtä-löiden avulla. Osana tätä diplomityötä paperin komposiittilaattamalli toteu-tuttiin Numerola Oy:n [18 Numerrin-ohjelmistoon, osa alustavasta työstätehtiin jo syksyn 2006 aikana ohjelmoimalla MITC-elementit ohjelmistoon.Lisäksi tässä työssä esitetään muutamia mallilla laskettuja simulaatiotulok-sia, joista ainakin kvalitatiivisesti saadaan alustava kuva paperin käyttäyty-misestä.

2 ANISOTROOPPISET MATERIAALIT 32 Anisotrooppiset materiaalit2.1 Anisotrooppinen elastisuusKomposiittirakenteiden ominaisuudet ovat luonteenomaisesti eri suuntiin var-sin erilaisia, joten on tarpeen siirtyä isotrooppisista materiaalimalleista ani-sotrooppisiin. Komposiittilaminaattien rakenneominaisuudet ovat useimmi-ten ortotrooppisia, jolloin riippumattomien materiaaliparametrien määrä onhuomattavasti pienempi kuin yleisessä anisotrooppisessa materiaalissa.Jännitystensori σ määritellään tarkastelemalla Kuvan 1 esittämää in-nitesimaalista materiaalikappaletta, jonka sivujen pituudet ovat dx, dy jadz. σ on toisen kertaluvun tensori, jonka komponentit σij kuvaavat akseliaei vastaan kohtisuorassa olevaan tahkoon kohdistuvaa akselin ej suuntaistajännitystä. Tahkoa vastaan kohtisuorassa olevia jännityskomponentteja σiikutsutaan normaalijännityksiksi ja muita komponentteja σij leikkausjänni-tyksiksi.

Kuva 1: Jännitysten määrittely kontrollitilavuudella dxdydz.Venymätensori ε kuvaa kappaleen muodonmuutosta jännityksen alaise-na. Komponentit ǫii kuvaavat referenssitilavuuden dxdydz sivujen pituuk-sien muutoksia vastaavien pääjännitysten suuntaan, komponentit ǫij =γij

2,joille i 6= j kuvaavat referenssitilavuuden kulmien muutoksia suorakulmiostasuunnikassärmiöksi, missä γij on todellinen liukukulma.Seuraava luonnollinen askel on johtaa yhteys venymien ja jännitysten vä-lille. Yksinkertaisin tapaus on lineaarinen materiaalimalli eli kolmiulotteinenHooken laki. Koska sekä venymät että jännitykset ovat toisen kertaluvuntensorisuureita, voidaan materiaalimalli esittää neljännen kertaluvun konsti-tutiivisen tensorin Cijkl avulla1,1Jatkossa tullaan käyttämään tensoreille tarvittaessa Einsteinin indeksinotaatiota [7.

2 ANISOTROOPPISET MATERIAALIT 4σij = Cijklǫkl. (2.1)Yleisessä kolmiulotteisessa tapauksessa konstitutiivisella tensorilla on siis

34 = 81 komponenttia, mutta koska sekä jännitys- että venymätensori ovatsymmetrisiä [9, pätee määritelmän (2.1) perusteella konstitutiiviselle ten-sorille Cijkl = Cjikl = Cijlk. Täten vapaita materiaaliparametreja on enää6 × 6 = 36 kappaletta. Jos lisäksi oletetaan, että muodonmuutosenergiaW = 1

2σijǫij = 1

2ε : C : ε on hyvin määritelty2, täytyy päteä

∂W

∂ǫij= Cijklǫkl. (2.2)Tensorilaskennasta muistetaan, että (2.2) pätee ainoastaan, mikäli tensorille

C pätee Cijkl = Cklij. Täten riippumattomien komponenttien määrä yleiselleanisotrooppislle materiaalille putoaa lopulta 21:een kappaleeseen.2.2 Ortotrooppiset materiaalitUseimmat käytännön komposiittimateriaalit eivät onneksi ole täysin aniso-trooppisia, vaan niissä on voimakkaita tiettyjen akselien suuntaisia symmet-rioita elastisten ominaisuuksien suhteen. Useimmiten materiaaleilla on kolmekeskenään kohtisuoraa symmetria-akselia, jolloin materiaalia kutsutaan orto-gonaalisesti anisotrooppiseksi, tai lyhyemmin ortotrooppiseksi. Tarkastellaanensin materiaalin yhtä symmetriatasoa karteesisissa koordinaateissa.ϕ

x′

1

x2

x1

x′

2

Kuva 2: Yhden symmetriatason tapaus.Olkoon Kuvan 2 (x1, x2) -taso materiaalin elastisten ominaisuuksien sym-metriataso. Tällöin konstitutiivisen tensorin tulee pysyä invarianttina pei-lauksessa x3 → −x3. Tämän kuvauksen Ja obin matriisi T on2Merkitään kahden indeksin kontraktiota aijbij = a : b.

2 ANISOTROOPPISET MATERIAALIT 5T =

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

. (2.3)Sekä venymä- että jännitystensoreille pätee koordinaatistomuunnos

ǫ′ij = TikTjlǫkl, σ′ij = TikTjlσkl. (2.4)Täten siis pätee ǫ′ij = ǫij ja σ′

ij = σij kun i, j = 1, 2 tai i = j = 3. Toisaaltapätee ǫ′13 = −ǫ13 ja σ′13 = −σ13 sekä ǫ′23 = −ǫ23 ja σ′

23 = −σ23. Käyttämällänyt konstitutiivista yhteyttä (2.1) esimerkiksi jännitykseen σ23, saadaanσ′

23 = C2311ǫ′11 + 2C2312ǫ

′12 + 2C2313ǫ

′13 + C2322ǫ

′22 + 2C2323ǫ

′23 + C2333ǫ

′33

σ23 = C2311ǫ11 + 2C2312ǫ12 + 2C2313ǫ13 + C2322ǫ22 + 2C2323ǫ23 + C2333ǫ33Vertaamalla lausekkeita ja ottamalla huomioon koordinaatistomuunnok-sen merkinvaihdot, nähdään että pätee C2311 = C2312 = C2322 = C2333 = 0.Vastaavasti jännitystä σ13 vertaamalla saadaan tulos C1311 = C1312 = C1322 =C1333 = 0. Anisotrooppisen materiaalitensorin 21 riippumatonta komponent-tia vähenevät siis kahdeksalla, joten yhden symmetriatason tapauksessa riip-pumattomia komponentteja on 13 kappaletta.Ortotrooppisella materiaalilla on kolme toisiaan vasten kohtisuorassa ole-vaa symmetriatasoa, joten suorittamalla vastaava tarkastelu myös x1 ja x2-suunnissa, päädytään tulokseen C1211 = C1222 = C1233 = C2313 = 0. Tä-ten ortotrooppisella materiaalilla on yhteensä yhdeksän riippumatonta kons-titutiivisen tensorin komponenttia: C1111, C1122, C1133, C2222, C2233, C3333 sekäC1212, C1313 ja C2323.Ortotrooppisen laatan tapauksessa ei oletuksen mukaan tapahdu muo-donmuutosta laatan paksuussuunnassa, joten C1133 = C2233 = C3333 = 0 jajäljelle jäävät kuusi riippumatonta komponenttia voidaan kirjoittaa materi-aalivakioiden E1, E2, µ12, µ21 sekä G12, G23 ja G31 avulla muotoon [10

C1111 =E1

1 − µ12µ21

, C1212 = G12,

C2222 =E2

1 − µ12µ21

, C2323 = G23,

C1122 =µ12E2

1 − µ12µ21

, C3131 = G31.

3 MATEMAATTINEN MALLI 63 Matemaattinen malliKomposiittilaattamalli eroaa jonkin verran normaalista laattamallista, silläsiinä joudutaan lisäksi huomioimaan tason suuntaiset siirtymät, jolloin rat-kaistava tehtävä itse asiassa koostuu kytketyistä laatta- ja levytehtävistä.Tässä työssä käytetyssä mallissa laattatehtävä perustuu Reissnerin ja Mind-linin kinemaattisiin oletuksiin. Lisäksi tullaan osoittamaan, että mikäli sekälaatta- että levytehtävälle käytetään tunnettuja hyvin käyttäytyviä menetel-miä, on myös kytketty tehtävä hyvin määritelty. Lisäksi laatta- ja levytehtä-vän suppenemisominaisuudet periytyvät myös kytketylle tehtävälle.3.1 Reissnerin-Mindlinin laattamalliKoska komposiittilaatoissa leikkausjännitykset vaikuttavat varsin huomatta-vasti laatan jäykkyyteen, on luonnollista käyttää leikkausjännitykset ensim-mäisen asteen approksimaationa huomioivaa Reissnerin-Mindlinin laattamal-lia. Laattamallin klassiset kinemaattiset oletukset ovat [21(i) Laatan keskiviivaan nähden kohtisuorassa olevat janat pysyvät suorina(ii) Pystysuuntainen siirtymä ei riipu x3-koordinaatista(iii) Keskiviivan pisteet liikkuvat vain x3-suunnassa(iv) Normaalijännitys σ33 häviääβ

∂w∂x

Kuva 3: Taipuman derivaatan ja kiertymän eroavaisuus Reissner-Mindlin laa-tan poikkileikkauksessa.Kiertymän merkitystä on havainnollistettu Kuvassa 3. Oletusten alaisuudessakokonaisvenymän ja kiertymien β sekä pystysiirtymän w välillä pätevät seu-raavat yhteydet, missä ε on lineaarinen jännitystensori ε(u) = 12(∇u+∇uT )ja merkitään lisäksi z := x3, jolloin [19

3 MATEMAATTINEN MALLI 7ǫαβ = zǫαβ(β),

ǫ3α =∂w

∂xα

− βα,

ǫ33 = 0.Kuten edellä mainittiin, komposiittilaattojen tapauksessa joudutaan luo-pumaan oletuksesta (iii) ja tasosiirtymät otetaan huomioon kytkemällä laatta-ja levytehtävät. Tällöin kinemaattiset olettamukset säilyvät muuten ennal-laan, mutta tasonsuuntaisissa venymissä täytyy huomioida levytilan siirtymäu, jolloin venymille saadaan lausekkeet [19

ǫαβ = ǫαβ(u) + zǫαβ(β),

ǫ3α = γ(w,β) :=∂w

∂xα

− βα,

ǫ33 = 0.3.2 Komposiittilaatan konstitutiiviset yhteydetKoska laatta on tasojännitystilassa, voidaan voidaan kalvotilan voimaresul-tantit N = Nαβ ja taivutusmomenttiresultantit M = Mαβ määrittää in-tegroimalla ensin kunkin laminaatin paksuuden yli ja sitten summaamallatäten saadut n kerroskohtaista voima- ja momenttiresultanttia. Samalla ta-voin lasketaan myös leikkausvoiman resultantit S = Sα, jolloin tulokseksisaadaanNαβ =

∫ t/2

−t/2

σαβdz =n∑

k=1

∫ zk

zk−1

σαβdz, (3.1)Mαβ =

∫ t/2

−t/2

σαβzdz =n∑

k=1

∫ zk

zk−1

σαβzdz, (3.2)Sα =

∫ t/2

−t/2

σ3αdz =n∑

k=1

∫ zk

zk−1

σ3αdz. (3.3)Käyttämällä seuraavaksi konstitutiivista yhteyttä (2.1) sekä yllämainit-tuja komposiittilaattamallin kinemaattisia oletuksia, saadaan voimaresultan-tit (3.1) ja (3.2) muotoon

3 MATEMAATTINEN MALLI 8Nαβ =

n∑

k=1

∫ zk

zk−1

Cαβγδ(ǫγδ(u) + zǫγδ(β))dz

=n∑

k=1

(∫ zk

zk−1

Cαβγδdz

)

ǫγδ(u) +n∑

k=1

(∫ zk

zk−1

Cαβγδzdz

)

ǫγδ(β)

Mαβ =n∑

k=1

∫ zk

zk−1

Cαβγδ(ǫγδ(u) + zǫγδ(β))zdz

=n∑

k=1

(∫ zk

zk−1

Cαβγδzdz

)

ǫγδ(u) +n∑

k=1

(∫ zk

zk−1

Cαβγδz2dz

)

ǫγδ(β)Täten Reissner-Mindlin laattamalliin perustuvalle komposiittilaattamal-lille saadaan seuraavat voimaresultantit, joissa siis ε(u) on kalvotilan line-aarinen venymä, ε(β) keskipinnan kaarevuus ja γ(w,β) laatan normaalienliukuma.N = A : ε(u) + B : ε(β), (3.4)M = B : ε(u) + D : ε(β), (3.5)S = A∗· γ(w,β). (3.6)Yhtälöissä neljännen kertaluvun tensorit A,B,D sekä toisen kertaluvun ten-sori A∗ on määritelty

Aαβγδ =n∑

k=1

∫ zk

zk−1

Cαβγδdz =n∑

k=1

(zk − zk−1)Ckαβγδ, (3.7)

Bαβγδ =n∑

k=1

∫ zk

zk−1

Cαβγδzdz =1

2

n∑

k=1

(z2k − z2

k−1)Ckαβγδ, (3.8)

Dαβγδ =n∑

k=1

∫ zk

zk−1

Cαβγδz2dz =

1

3

n∑

k=1

(z3k − z3

k−1)Ckαβγδ, (3.9)

A∗αβ =

n∑

k=1

∫ zk

zk−1

C3α3βdz =n∑

k=1

(zk − zk−1)Ck3α3β, (3.10)missä Ck on kunkin laminaatin konstitutiivinen tensori ilmaistuna laatanpääkoordinaateissa ja n laminaattien lukumäärä. Lisäksi jokainen Ck olete-taan z-suunnassa vakioksi. Tyypillinen komposiittilaatta on esitetty Kuvas-sa 4.

3 MATEMAATTINEN MALLI 9z

zk+1

zk−1

g f

Ω

z

y

xzk

Kuva 4: Komposiittilaatan kaavakuva ja laminaattirakenne.3.3 Reissnerin-Mindlinin malli komposiittilaatalleKun resultanttivoimasuureet on nyt ilmaistu venymien avulla, saadaan laa-tan kokonaisenergia kertomalla jokaista voimasuuretta vastaavalla venymä-suureella ja integroimalla koko laatan alueen ylitse. Täten komposiittilaatanfysikaaliseksi kokonaisenergiaksi Π tulee ylläolevilla merkinnöilläΠ(u, w,β) =

1

2

∫

Ω

N : ε(u)dΩ +1

2

∫

Ω

M : ε(β)dΩ

+1

2

∫

Ω

S· γ(w,β)dΩ −∫

Ω

f ·udΩ −∫

Ω

gwdΩ −∫

Ω

G·βdΩ,(3.11)missä f on kalvotilaan liittyvä kuormafunktio laatan tasossa, G laatan mo-menttikuormitus ja g pystysuora laattatilaan liittyvä kuormitus. Kun tähänsijoitetaan resultantit (3.4)(3.6), päädytään lopulta ainoastaan siirtymäsuu-reiden avulla ilmaistuun lineaarisen mallin energiaan [10

Π(u, w,β) =1

2

∫

Ω

ε(u) : A : ε(u)dΩ +

∫

Ω

ε(u) : B : ε(β)dΩ (3.12)+

1

2

∫

Ω

ε(β) : D : ε(β)dΩ +1

2

∫

Ω

γ(w,β)·A∗· γ(w,β)dΩ

−∫

Ω

f ·udΩ −∫

Ω

gwdΩ −∫

Ω

G·βdΩ,josta pystytään tunnistamaan toiselta riviltä perinteisen Reissner-Mindlinlaatan energia ja ylemmältä riviltä kalvotilaa vastaava energia sekä nämä

3 MATEMAATTINEN MALLI 10tehtävät toisiinsa kytkevä termi. Energian lausekkeesta siis huomataan heti,että komposiittilaatassa myös pelkkä pystysuuntainen kuormitus aiheuttaavälittömästi tasosiirtymiä, toisin kuin isotrooppisessa laatassa.Virheanalyysia varten määritellään seuraava laatan paksuudella skaalat-tu energia, jolle komposiittilaatan virheanalyysi saadaan yksinkertaisempaanmuotoon.Määritelmä 3.1. Skaalataan muttujat, konsitutiiviset tensorit sekä kuormi-tukset siten, että

u → 1tu,

β → β,

w → w

,

A → 1tA,

B → 1t2

B,

D → 1t3

D,

A∗ → 1tA∗

,

f → 1t2

f ,

g → 1t3g,

G → 1t3

G

. (3.13)Sijoittamalla uudet muuttujat fysikaalisen kokonaisenergian lausekkeeseen (3.12)ja skaalaamalla energiaa termillä t−3 saadaan skaalatulle energialle uusienmuuttujien ja skaalattujen tensoreiden avulla lauseke

Π(u, w,β) =1

2

∫

Ω

ε(u) : A : ε(u)dΩ +

∫

Ω

ε(u) : B : ε(β)dΩ (3.14)+

1

2

∫

Ω

ε(β) : D : ε(β)dΩ +1

2t2

∫

Ω

γ(w,β)·A∗· γ(w,β)dΩ

−∫

Ω

f ·udΩ −∫

Ω

gwdΩ −∫

Ω

G·βdΩ,3.3.1 VariaatiomuotoKokonaisenergian minimointia vastaava variaatiomuoto saadaan varioimallalauseketta (3.14) sekä kalvotila- että laattamuuttujien suhteen, jolloin vari-aatiotehtäväksi saadaanTehtävä 3.2. Etsi (u, w,β) ∈ U ×W ×V siten, että ∀(v, ν,η) ∈ U ×W ×V pätee

(A : ε(u), ε(v)) + (B : ε(v), ε(β)) = (f ,v),

(B : ε(u), ε(η)) + (D : ε(β), ε(η))

+t−2(A∗· γ(w,β), γ(ν,η)) = (g, ν) + (G,η),

3 MATEMAATTINEN MALLI 11missä variaatioavaruudet ovat U ×W × V ⊂ [H1(Ω)]2 ×H1(Ω) × [H1(Ω)]2.Virheanalyysiä varten voidaan laattatehtävä muotoilla myös sekaelementti-formulaatiossa, kun käsitellään leikkausvoimaaq = t−2A∗· γ(w,β) (3.15)riippumattomana muuttujana. Tällöin tehtävä tulee muotoonTehtävä 3.3. Etsi (u, w,β, q) ∈ U×W×V ×Γ siten, että kaikilla (v, ν,η, s) ∈

U ×W × V × Γ pätee

(A : ε(u), ε(v)) + (B : ε(v), ε(β)) = (f,v),

(B : ε(u), ε(η)) + (D : ε(β), ε(η)) + (q, γ(ν,η)) = (g, ν) + (G,η),

t2(A∗−1q, s) + (γ(w,β), s) = 0, (3.16)missä U ×W × V × Γ ⊂ [H1(Ω)]2 ×H1(Ω) × [H1(Ω)]2 × [L2(Ω)]2.3.3.2 Reunaehtojen määrittäminenOlennainen osa tehtävää on reunaehtojen määrittäminen. Ensinnäkin laat-tatehtävässä on jokaisella reunalla määrättävissä kiertymän β molempienkomponenttien sekä taipuman w arvo. Taipuma voidaan ekvivalentisti jakaamyös reunan normaalin ja tangentin suuntaisiin komponentteihin βn ja βτ .Tarkastellaan ensin laattatehtävälle asetettavia reunaehtoja. Kiertymienja taipuman arvoja yhdistelemällä saadaan seuraavat viisi fysikaalisesti mer-kityksellistä reunaehtoa.(i) Jäykästi tuetussa (engl. lamped) reunaehdossa kiinnitetään reunallasekä taipuman w että molempien kiertymäkomponenttien βn ja βτ ar-vot. Tällöin laatan kaikki liike reunalla on estetty.(ii) Pehmeässä jäykästi tuetussa (engl. soft lamped) reunaehdossa kiin-nitetään ainoastaan w ja kiertymäkomponentti βn. Tällöin laatta eipääse kiertymään tuen päällä, mutta tuen suuntaista leikkausmuodon-muutosta ei ole rajoitettu.(iii) Yksinkertaisesti tuetussa (engl. simply supported) vain taipuman ar-vo w kiinnitetään reunalla. Tämä vastaa fysikaalista tilannetta jossalaatta pääsee vapaasti kiertymään tuen päällä ja tuen suuntainen leik-kausmuodonmuutos on sallittua.

3 MATEMAATTINEN MALLI 12(iv) Kovassa yksinkertaisesti tuetussa (engl. hard simply supported) reu-naehdossa kiinnitetään taipuman w lisäksi kiertymä βτ , jolloin laattapääsee edelleen vapaasti kiertymään tuen päällä, mutta tuen suuntai-nen leikkausmuodonmuutos on estetty.(v) Vapaassa reunaehdossa siirtymiä ei rajoiteta mitenkään.Tasoelastisuustehtävän osalta voidaan kullakin reunan osalla kiinnittääu:n kumpikin komponentti erikseen, tai ekvivalentisti jakaa u tangentiaali-ja normaalikomponentteihin uτ ja un. Molempien komponenttien kiinnittä-minen vastaa jäykkää kiinnitystä, jolloin muodonmuutos on estetty reunalla.Pelkän normaalikomponentin kiinnittäminen vastaa fysikaalisesti liukutukea,tangentiaalikomponentin taasen rullatuentaa.3.4 Ratkaisun olemassaoloTässä kappaleessa näytetään, että yhdistetylle mallille löytyy ratkaisu jokaon yksikäsitteinen riippumatta laatan kokonaispaksuudesta t, mikäli laattaon jäykästi tuettu ja tasosiirtymät estetty reunalla. Jatkossa oletetaan vir-heanalyysissä aina nämä reunaehdot. Avuksi tarvitaan sekä Kornin epäyh-tälöä että Lax-Milgramin lemmaa, jotka muotoillaan seuraavaksi lyhyesti.Sobolev-avaruuden alkiolle f ∈ Hm(Ω) käytetään Sobolev-normeja

‖f‖2m =

∑

|α|≤m

‖∂αf‖20,missä α on multi-indeksi ja ‖ · ‖0 normaali L2(Ω)-normi. Vastaavasti vekto-reille ja tensoreille käytetään ylläolevia normeja komponenteittain.Lause 3.4 (Lax-Milgram lemma). Olkoon V Hilbertin avaruus, a(· , · ) :

V × V → R jatkuva V -elliptinen bilineaarimuoto ja L : V → R rajoitettulineaarinen funktionaali. Tällöin löytyy yksikäsitteinen u ∈ V , joka ratkaiseevariaatiotehtäväna(u, v) = L(v), ∀v ∈ V. (3.17)Todistus. Lauseen todistus löytyy esimerkiksi viitteestä [6.Toinen välttämätön apuväline elastisuustehtävän tutkimisessa on Korninepäyhtälö, joka karkeasti sanottuna merkitsee, että gradientin normi riippuuoleellisesti vain gradientin symmetrisestä osasta, mikäli jäykän kappaleen liikeon estetty. Epäyhtälön todistus yleisessä tapauksessa on kuitenkin varsinhankalaa, eikä siihen paneuduta tässä työssä. Seuraavassa muotoiltua versiotakutsutaan usein myös Kornin toiseksi epäyhtälöksi.

3 MATEMAATTINEN MALLI 13Lause 3.5 (Kornin epäyhtälö). Olkoon Ω ∈ R3 avoin ja rajoitettu jouk-ko, jonka reuna on paloittain sileä. Oletetaan lisäksi että Γ0 ⊂ ∂Ω on ei-nollamitallinen joukko, jolla on määrätty nollareunaehdot. Tällöin löytyy va-kio C = C(Ω,Γ0) siten, että pätee

∫

Ω

ε(v) : ε(v)dΩ ≥ C‖v‖21, ∀v ∈ [H1

Γ0(Ω)]3. (3.18)Näytetään seuraavaksi, että Tehtävä 3.3 on elliptinen sekä kalvo- ettälaattamuuttujien suhteen. Tätä varten tarvitaan seuraava tulos:Lemma 3.6. On olemassa positiiviset vakiot C1, C2 siten, että jokaisellesymmetriselle tensorille τ ,σ ∈ [L2(Ω)]4 pätee

C1(‖τ‖20 + ‖σ‖2

0) ≤ (A : τ , τ ) + 2(B : τ ,σ) + (D : σ,σ) ≤ C2(‖τ‖20 + ‖σ‖2

0),(3.19)missä A,B,D ovat edellä määritellyt skaalatut tensorit ja oletetaan, ettäkonstitutiivinen tensori C ∈ [L2(Ω)]4×4.Todistus. Kirjoitetaan ensin arvioitava lauseke formaalina matriisitulona jol-loin ottaen huomioon B:n symmetrisyys päätee(A : τ , τ ) + 2(B : τ ,σ) + (D : σ,σ) =

[

τ σ

][

A B

B D

][

τ

σ

]

, (3.20)missä [

A B

B D

]

=n∑

k=1

[

Ak Bk

Bk Dk

]

.Tällöin siis lemman väite pätee, mikäli kerroinmatriisi on rajoitettu ja po-sitiivideniitti. Tarkastellaan yhteen laminaattikerrokseen liittyvää matriisiaja kirjoitetaan se kahden matriisin tulona määritelmien (3.7)(3.9) ja (3.13)avulla muotoon[

Ak Bk

Bk Dk

]

=

[1t(zk − zk−1)

12t2

(z2k − z2

k−1)1

2t2(z2

k − z2k−1)

13t3

(z3k − z3

k−1)

][

Ck 0

0 Ck

] (3.21)Näiden matriisien tulo selvästi kommutoi, sillä toinen on lohkodiagonaali-matriisi, joten symmetrisyys ja positiivideniittisyys pätee tulolle, mikäli sepätee kummallekin matriisille erikseen. Koska tensori Ck on oletuksen mu-kaan symmetrinen ja positiivideniitti, riittää tarkastella ominaisarvoja sym-metriselle 2 × 2 matriisille

3 MATEMAATTINEN MALLI 14Rk :=

[1t(zk − zk−1)

12t2

(z2k − z2

k−1)1

2t2(z2

k − z2k−1)

13t3

(z3k − z3

k−1)

]

. (3.22)Ominaisarvot saadaan 2 × 2 matriisille yhteyksistä [8λ1(Rk) =

tr(Rk)

2

(

1 −√

1 − 4 det(Rk)

tr(Rk)2

)

,

λ2(Rk) =tr(Rk)

2

(

1 +

√

1 − 4 det(Rk)

tr(Rk)2

)

,missä invariantit ovat matriisin determinantti ja jälkidet(Rk) =

1

3t4(z3

k − z3k−1)(zk − zk−1) −

1

4t4(z2

k − z2k−1)

2 =1

12t4(zk − zk−1)

4,

tr(Rk) =1

t(zk − zk−1) +

1

3t3(z3

k − z3k−1).Merkitään laminaatin paksuutta hk = zk − zk−1. Determinantille pätee

det(Rk) =h4

k

12t4> 0ja vastaavasti jäljelle

tr(Rk) ≥1

t(zk − zk−1) =

hk

t> 0,mistä seuraa, että ominaisarvot ovat reaaliset ja positiiviset, sillä

0 <4 det(Rk)

tr(Rk)2≤ h2

k

3t2< 1.Lisäksi kaikilla k pätee zk ∈ [t/2,−t/2], joten jäljelle pätee arvio

tr(Rk) ≤hk

t+

1

3t3((t

2)3 − (

−t2

)3) ≤ 13

12.Ominaisarvot ovat myös rajoitetut eivätkä ne riipu laatan paksuudesta. Kos-ka jokaista laminaattikerrosta vastaava matriisi on symmetrinen ja positiivi-deniitti, on myös nämä summaamalla saatu koko komposiittilaatan matriisisymmetrinen ja positiivideniitti, joten väite pätee.

3 MATEMAATTINEN MALLI 15Sijoittamalla tulokseen muuttujia u ja β vastaavat venymätensorit ja so-veltamalla Kornin epäyhtälöä (3.5) molemmille muuttujille saadaan tehtä-välle elliptisyystulosC(‖u‖2

1 + ‖β‖21) ≤(A : ε(u), ε(u)) + 2(B : ε(u), ε(β)) (3.23)

+ (D : ε(β), ε(β)),missä vakio C ei riipu laatan paksuudesta t. Edellisten lauseiden avulla näy-tetään nyt ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys hyödyntämällä satula-pistetehtäville kehitettyä Brezzin ja Babuskan teoriaa [4. Määritellään vieläavaruus H−1(div,Ω) seuraavastiH−1(div,Ω) = q ∈ [H−1(Ω)]2 | div q ∈ H−1(Ω).Lause 3.7 (Ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys). Jokaisella kiinnite-tyllä laatan paksuudella t tehtävällä (3.3) on ratkaisu (u, w,β, q) ∈ [H1

0 (Ω)]2×H1

0 (Ω) × [H10 (Ω)]2 × [L2(Ω)]2Todistus. Määritellään bilineaarimuoto Υ ja lineaariset operaattorit B ja LΥ(u,v; β,η) = (A : ε(u), ε(v)) + (B : ε(v), ε(β))

+ (B : ε(u), ε(η)) + (D : ε(β), ε(η))

L(v, ν,η) = (f ,v) + (g, ν) + (G,η)

B(w,β; q) = (γ(w,β), q)ja kirjoitetaan tehtävän sekaformulaatio seuraavaan muotoon: etsi (u, w,β, q) ∈[H1

0 (Ω)]2 ×H10 (Ω)× [H1

0 (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 siten, että ∀(v, ν,η, s) ∈ [H10 (Ω)]2 ×

H10 (Ω) × [H1

0 (Ω)]2 × [L2(Ω)]2 pätee

Υ(u,v; β,η) + B(ν,η; q) = L(v, ν,η),

t2A∗−1(q, s) + B(w,β; s) = 0.(3.24)Eliminoimalla tästä leikkausvoima päästään siirtymien suhteen kirjoitettuuntehtävään: etsi (u, w,β) ∈ [H1

0 (Ω)]2×H10 (Ω)×[H1

0 (Ω)]2 siten, että ∀(v, ν,η) ∈[H1

0 (Ω)]2 ×H10 (Ω) × [H1

0 (Ω)]2 päteeΥ(u,v; β,η) +

1

t2(A∗γ(w,β), γ(ν,η)) = L(v, ν,η).Tensori A∗ on symmetrinen ja positiivideniitti, sillä ominaisuus seuraa suo-raan konstitutiivisen tensorin C positiivideniittisyydestä testaamalla tenso-rilla τ , jolle τ3α3β 6= 0 ja muulloin τ = 0. Tensorin A∗ positiivideniittisyy-den perusteella koko vasen puoli on siis koersiivinen jokaiselle t > 0, jolloinLax-Milgramin lemman perusteella ratkaisu on olemassa ja yksikäsitteinen.

3 MATEMAATTINEN MALLI 16Myös leikkausvoiman osalta ratkaisu on olemassa ja yksikäsitteinen. Tä-mä havaitaan tarkastelemalla yhtälöryhmän (3.24) viimeistä riviä, josta näh-dään että kyseessä on elliptinen tehtävä avaruudessa Γ, sillä A∗:n symmet-risyyden ja positiivideniittisyyden perusteella ∀q ∈ Γ on olemassa vakioC > 0 siten, että

t2(A∗−1q, q) ≥ Ct2‖q‖20.Tapauksessa t→ 0 leikkausvoiman säännöllisyyttä häviää, jolloin rajata-pauksessa sekaformulaatiosta saadaan Kir hhon laattamallia vastaava teh-tävä: etsi (u, w,β, q) ∈ [H1

0 (Ω)]2 × H10 (Ω) × [H1

0 (Ω)]2 × H−1(div,Ω) siten,että ∀(v, ν,η, s) ∈ [H10 (Ω)]2 ×H1

0 (Ω) × [H10 (Ω)]2 ×H−1(div,Ω) pätee

Υ(u,v; β,η) + B(ν,η; q) = L(v, ν,η)

B(w,β; s) = 0.Välittömästi nähdään, että kyseessä on satulapistetehtävä siirtymien ja leik-kausvoiman suhteen. Ratkaisun olemassaoloon vaaditaan tällöin [4 bilineaa-rimuodon Υ elliptisyys operaattorin B nolla-avaruudessa,Ker B = (ν,η) ∈ H1

0 (Ω) × [H10 (Ω)]2|(∇ν − η, s) = 0, ∀s ∈ H−1(div,Ω).Koska ∇ν−η ∈ H−1(div,Ω) ja lisäksi Poin arén epäyhtälö on voimassa kuntaipuma kiinnitetään jollakin reunan osalla Γ0, on olemassa vakio C siten,että kun (ν,η) ∈ Ker B pätee

‖ν‖1 ≤ |ν|1 = ‖∇ν‖0

≤ ‖η −∇ν‖0 + ‖η‖0 = ‖η‖0

≤ C‖η‖1.Ottamalla lisäksi huomioon epäyhtälö (3.23), on Υ elliptinen kaikkien siirty-mämuuttujien suhteen B:n nolla-avaruudessa, eli löytyy vakio C siten, ettäΥ(v,v; η,η) ≥ C(‖v‖2

1 + ‖η‖21 + ‖ν‖2

1). (3.25)Toinen välttämätön ja riittävä ehto on niin kutsuttu Babuska-Brezzi -stabiilisuusehto [4:sup

(ν,η)∈H10(Ω)×[H1

0(Ω)]2

(∇ν − η, s)

‖ν‖1 + ‖η‖1

≥ C‖s‖H−1(div,Ω)Tämä nähdään arvioimalla vasenta puolta seuraavasti:

3 MATEMAATTINEN MALLI 17sup

(ν,η)∈H10(Ω)×[H1

0(Ω)]2

(∇ν − η, s)

‖ν‖1 + ‖η‖1

≥ sup(ν,η)∈H1

0(Ω)×[H1

0(Ω)]2

(C1(ν, div s)

‖ν‖1

+ C2(η, s)

‖η‖1

)

= C1‖s‖−1 + C2‖div s‖−1

≥ C‖s‖H−1(div,Ω).Kun nämä ehdot ovat voimassa, myös ratkaisun yksikäsitteisyys rajatapauk-sessa t→ 0 seuraa suoraan satulapisteteoriasta.3.5 Ratkaisun säännöllisyysKomposiittilaattatehtävän säännöllisyysestimaattien haastava osa on laatta-tehtävän säännöllisyyden määrittäminen, missä tarvitaan avuksi muutamiamatemaattisia apuvälineitä. Tasoelastisuustehtävän säännöllisyys on epätri-viaali seuraus biharmonisen ja Stokesin tehtävän säännöllisyysominaisuuk-sista.3.5.1 Helmholtzin hajotelma leikkausvoimalleAluksi esitetään L2(Ω) ja H−1(div,Ω) -funktioille niin kutsuttu Helmholtzinhajotelma, jonka avulla ne voidaan kirjoittaa gradientin ja roottorin sum-mana tietyistä funktioista [4. Roottori on nyt määritelty skalaariarvoisellesuureelle p siten, ettärot p = (∂2p,−∂1p).Lause 3.8 (Helmholtzin hajotelma). Olkoon q ∈ H−1(div,Ω). Tällöin löytyyyksikäsitteiset ψ ∈ H1

0 (Ω) ja p ∈ L2(Ω)/R siten, että pätee

q = ∇ψ + rot p

‖q‖2H−1(div,Ω) = ‖ψ‖2

1 + ‖p‖20.

(3.26)Todistus. Ottamalla (3.26):n ensimmäisestä yhtälöstä divergenssi puolittainja huomioimalla, että div q ∈ H−1(Ω) saadaandiv q = div ∇ψ + div rot p = ∆ψ ⇔

(∇ψ,∇v) = (q,∇v) ∀v ∈ H10 (Ω).

3 MATEMAATTINEN MALLI 18Koska q ∈ H−1(div,Ω), on ψ tämän Poissonin tehtävän yksikäsitteinen rat-kaisu. Lisäksi div (q −∇ψ) = 0. Koska divergenssitön funktio voidaan ainakirjoittaa roottorin avulla, pätee q − ∇ψ = rot p, missä p ∈ L2/R. Kos-ka div rot p = 0 mielivaltaisella p, ovat hajotelman osat sisätulon suhteenortogonaaliset, jolloin normiestimaatti pätee.Vastaavasti viitteen [4 perusteella kun q ∈ [L2(Ω)]2 löytyy Helmholtzinhajotelma siten, että (ψ, p) ∈ H1(Ω)× [H1(Ω)∩L20(Ω)]. Helmholtzin hajotel-man avulla voimme todistaa lopulta koko tehtävälle seuraavan säännöllisyys-estimaatin seuraten laattatehtävän osalta viitteen [15 esitystä. Sovelletaansiis Helmholtzin hajotelmaa leikkausvoimalle

q = ∇ψ + rot p, (3.27)ja vastaavalle testifuktiolles = ∇ϕ+ rot q. (3.28)Tällöin sijoittamalla lausekkeet tehtävään (3.24) ja huomioimalla edellämai-nittu ortogonaalisuus(∇ψ, rot p) = 0,saadaan ekvivalentti tehtävä, joka sisältää kolme kytkettyä tehtävää. Ensim-mäinen yhtälö on tavallinen Poissonin tehtävä, samoin kuin viimeinen kahdenkeskimmäisen yhtälön muodostaessa Stokesin tehtävää muistuttavan tehtä-vän. Merkitään a(β,η) = (D : ε(β), ε(η)), jolloin laattatehtävälle saadaanmuotoTehtävä 3.9. Etsi (β, w, ψ, p) ∈ [H1

0 (Ω)]2×H10 (Ω)×H1

0 (Ω)×[H1(Ω)∩L20(Ω)]siten, että pätee

(∇ψ,∇ν) = (g, ν) ∀ν ∈ H10 (Ω),

a(β,η) − (rot p,η) = (∇ψ,η) + (G,η) ∀η ∈ [H10 (Ω)]2,

t2A∗−1(rot p, rot q) = (rot q,β) ∀q ∈ [H1(Ω) ∩ L20(Ω)],

(∇ϕ,∇w) = (∇ϕ,β) − t2A∗−1(∇ψ,∇ϕ) ∀ϕ ∈ H10 (Ω),

(3.29)missä voima g on laatan poikittaissuuntaista kuormitusta vastaava voima jaG on laatan momenttikuormitus.

3 MATEMAATTINEN MALLI 193.5.2 Säännöllisyys reunalla ja sisäalueessaRajalla t → 0 pätee B(w,β; s) = 0, ∀s ∈ Γ, jolloin rajatehtävän t = 0ratkaisu (w0,β0) toteuttaa Kir hon laattatehtävän, ja ratkaisulle päteeβ0 = ∇w0.Tällöin koko tehtävän ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon

w = w0 + wr ja β = β0 + βr.Koska w0 on Kir hon laattatehtävän ratkaisu, voidaan soveltaa tunnet-tuja estimaatteja [3, jolloin konveksissa alueessa Ω pätee‖w0‖3 ≤ C‖g‖−1. (3.30)Samoin Tehtävän 3.9 ensimmäiselle osatehtävälle saadaan Poissonin teh-tävän H2-säännöllisyydestä konveksissa alueessa estimaatti

‖ψ‖s ≤ C‖g‖s−2, s = 1, 2. (3.31)Ottamalla huomioon, että kahdessa dimensiossa roottori ja gradientti ovatπ/2-rotaatiota vaille sama operaattori, voidaan määrittämällä η = (η2,−η1)tehtävän (3.9) kaksi keskimmäistä yhtälöä kirjoittaa rajatapauksessa t = 0uuden muuttujan η avulla standardin Stokesin tehtävän muotoon [1: etsi(β0, p0) ∈ [H1

0 (Ω)]2×[H1(Ω)∩L20(Ω)] siten, että ∀(η, q) ∈ [H1

0 (Ω)]2×[H1(Ω)∩L2

0(Ω)] pätee

a(β0, η) − (p0, div η) = (∇ψ, η) + (G, η)

(q, div β0) = 0.(3.32)Lisäksi selvästi pätee ‖β‖s = ‖β‖s. Soveltamalla standardiestimaatteja [1tehtävälle (3.32) ja huomioimalla (3.31) saadaan rajatehtävälle t = 0 sään-nöllisyystulos

‖β0‖2 + ‖p0‖1 ≤ C(‖G‖0 + ‖ψ‖1) ≤ C(‖G‖0 + ‖g‖−1). (3.33)Koska parit (β0, p0) ja (β, p) toteuttavat tehtävän (3.9) toisen ja kolmannenrivin vastaavasti tapauksissa t = 0 ja t 6= 0, saadaan tulosa(β0 − β,η) − (rot (p− p0),η) + (β − β0, rot q)

+ t2A∗−1(rot (p− p0), rot q) = (β, rot q) + t2A∗−1(rot (p− p0), rot q)

= t2A∗−1(rot p0, rot q),

3 MATEMAATTINEN MALLI 20josta valitsemalla testifunktioiksi η = β −β0 ja q = p− p0 seuraa estimaatti‖β − β0‖2

1 + t2‖p− p0‖21 ≤ Ct2‖p0‖1‖p− p0‖1.Huomioimalla lisäksi (rot p, rot q)-termin H2-säännöllisyys, saadaan tulos

‖β − β0‖1 + t‖p− p0‖1 ≤ Ct‖p0‖1 ≤ Ct(‖G‖0 + ‖g‖−1).Tämän perustella siis‖p‖1 ≤ C(‖G‖0 + ‖g‖−1). (3.34)Koska Tehtävän 3.9 toinen yhtälö on H2-säännöllinen elliptinen tehtävä, pä-tee standardiestimaattien ja yhtälön (3.31) perusteella

‖β‖2 ≤ C(‖p1‖ + ‖ψ‖1 + ‖G‖0) ≤ C(‖G‖0 + ‖g‖−1). (3.35)Lopuksi tarkastelemalla kolmatta riviä ja muistamalla, että β0 on tehtävänt = 0 ratkaisu, saadaan (rot p, rot q) termin H2-säännöllisyyden nojalla arvio

‖p‖2 ≤ Ct−2‖β − β0‖1 ≤ Ct−1(‖G‖0 + ‖g‖−1). (3.36)Kokoamalla yhteen yhtälöiden (3.31),(3.34),(3.35) ja (3.36) tulokset, päädy-tään estimaattiin‖ψ‖1 + ‖β‖2 + ‖p‖1 + t‖p‖2 ≤ C(‖G‖0 + ‖g‖−1). (3.37)Tarvitaan vielä estimaatti poikittaissiirtymän osalle wr = w − w0. Nyt

wr toteuttaa Tehtävän 3.9 ensimmäisen rivin perusteella viimeisen yhtälönmuodossa(∇wr,∇ϕ) = (β − β0,∇ϕ) + t2A∗−1(g, ϕ),jolle pätee standardi Poissonin tehtävän estimaatti

‖wr‖2 ≤ C(‖β − β0‖1 + t2‖g‖0) ≤ C(t‖G‖0 + t‖g‖−1 + t2‖g‖0). (3.38)Estimaatit (3.37) ja (3.38) yhdistämällä saadaan lopulta koko laattatehtä-välle seuraava säännöllisyystulosLause 3.10. Konveksissa alueessa Ω riittävän sileällä kuormalla tehtävänratkaisulle pätee‖w0‖3 + t−1‖wr‖2 + ‖β‖2 + ‖ψ‖1 + ‖p‖1 + t‖p‖2 (3.39)

≤ C(‖g‖−1 + t‖g‖0 + ‖G‖0).

3 MATEMAATTINEN MALLI 21Lisäksi sisäalueessa voidaan johtaa seuraava parempi säännöllisyysestimaat-ti [15.Lause 3.11. Edellämainittuun konveksiin alueeseen Ω kompaktisti upotetus-sa alueessa Ωi pätee‖w0‖s+2,Ωi

+ t−1‖wr‖s+1,Ωi+ ‖β‖s+1,Ωi

+ ‖ψ‖s,Ωi+ ‖p‖s,Ωi

+ t‖p‖s+1,Ωi

+t2‖p‖s+2,Ωi≤ C(‖g‖s−2 + t‖g‖s−1 + ‖G‖s−1). (3.40)Lopuksi tarvitaan vielä säännöllisyysestimaatti kytkemättömälle tasoe-lastisuustehtävälle Diri hlet'n reunaehdoilla. Tehtävän heikko muoto onTehtävä 3.12. Etsi u ∈ [H10 (Ω)]2 siten, että ∀v ∈ [H1

0 (Ω)]2 pätee(A : ε(u), ε(v)) = (f ,v).Tehtävä on elliptinen tensorin A symmetrisyyden ja positiivideniitti-syyden nojalla. Viitteessä [2 on näytetty nojautuen biharmonisen yhtälön

H4-säännöllisyysteen sekä standardin Stokesin tehtävän tunnettuihin esti-maatteihin isotrooppisessa tapauksessa tulos‖u‖2 ≤ C‖f‖0, (3.41)missä kerroin C ei riipu Lamén vakiosta λ, kun toinen Lamén vakio µ ∈

[µ1, µ2]. Mikäli konstitutiivinen tensori oletetaan riittävän säännölliseksi onsyytä olettaa, että myös Tehtävälle 3.12 pätee konveksissa alueessa arvio (3.41).3.5.3 Kytketyn tehtävän säännöllisyysEdellä näytettiin, että molemmat osatehtävät ovat erikseen H2-säännöllisiä.Kytketyn tehtävän säännöllisyys on kuitenkin epätriviaali ominaisuus ja pys-tytään näyttämään toistaiseksi vain tietyillä tehtävien säännöllisyysvakioitakoskevilla rajoituksilla. Kytketyssä mallissa Tehtävän 3.9 toinen rivi saa kir-joittamalla termi Υ(· , · ; · , · ) auki muodon

(A : ε(u), ε(v)) + (B : ε(β), ε(v)) = (f ,v),

(D : ε(β), ε(η)) + (B : ε(u), ε(η)) − (p, div η) = (∇ψ,η) + (G,η).Siirtämällä kytkentätermit vasemmalle puolelle ja osittaisintegroimalla saa-daan yhtälöryhmä muotoon

(A : ε(u), ε(v)) = (f ,v) + (div (B : ε(β)),v),

(D : ε(β), ε(η)) − (p, div η) = (∇ψ,η) + (G,η) + (div (B : ε(u)),η).(3.42)

3 MATEMAATTINEN MALLI 22Pitämällä ensimmäisessä yhtälössä β vakiona, saadaan ensimmäisen rivinsäännöllisyyden nojalla joillakin vakioilla C1, C2 > 0

‖u‖2 ≤ C1(‖f‖0 + ‖div (B : ε(β))‖0) ≤ C1‖f‖0 + C2‖β‖2. (3.43)Vastaavasti pitämällä toisessa yhtälössä u vakiona pätee edeltävien estimaat-tien perusteella vakioilla C3, C4 > 0

‖β‖2 + ‖p‖1 ≤ C3(‖G‖0 + ‖g‖−1 + ‖div (B : ε(u))‖0)

≤ C3(‖G‖0 + ‖g‖−1) + C4‖u‖2. (3.44)Sijoittamalla nyt estimaatti (3.43) epäyhtälöön (3.44) ja laskemalla näin saa-tu epäyhtälö yhteen epäyhtälöm (3.43) saadaan arvio(1 − C4(1 + C2))‖β‖2 + ‖p‖1 + ‖u‖2 ≤ C(‖G‖0 + ‖f‖0 + ‖g‖−1). (3.45)Haluttu säännöllisyystulos kytketylle tehtävälle siis saadaan ainoastaanmikäli oleellisesti kytkentätermin tensorin B normista ja alueesta Ω riippu-valle vakiolle C4 pätee

C4(1 + C2) < 1 ⇔ C4 <1

1 + C2

< 1. (3.46)

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 234 Elementtimenetelmä MITC-elementeilleTässä kappaleessa johdetaan virhearviot komposiittilaattatehtävälle. Virhear-viot lasketaan tavallisen H1-normin sijaan verkkoriippuvassa normissa, jo-ka ottaa huomioon Reissnerin-Mindlinin mallin puuttellisen säännöllisyyden,kun t→ 0. Käyttämällä tätä normia, saadaan tehtävän virheen käyttäytymi-sestä tarkempaa tietoa kuin H1-normissa laatan ollessa ohut, mikä on varsinyleistä komposiittirakenteiden tapauksessa.Yhdistetyn komposiittilaattamallin analyysi suoritetaan kahdessa osassa.Ensin määritetään virhearviot erikseen laatta- ja kalvotilalle, jonka jälkeennäytetään, että mikäli käytettävissä on hyvin toimiva laattaelementti, jokayhdistetään toimivaan tasoelementtiin, saadaan lopulta hyvin käyttäytyvämenetelmä myös koko tehtävälle.4.1 Laattatehtävän analyysiVaikka tässä työssä käytetään ainoastaan MITC-elementtejä laattatehtävälle,pätee seuraava Reissnerin-Mindlin laattamallin virheanalyysitekniikka pie-nin muutoksin yleisemmälle elementtiperheelle astetta k, olettaen että dis-kretaatio täyttää tiettyjä perusvaatimuksia. Yleisyyden lisäksi tuloksista tu-lee suoraviivaisempia eikä analyysissä tarvita epätriviaalisti voimassa olevaadiskreettiä Helmholtzin hajotelmaa. Jatkossa oletetaan verkko yksinkertai-suuden vuoksi kvasisäännölliseksi, mutta tulos pätee myös epäsäännölliselleverkolle [17.4.1.1 MITC-elementtiperheTarkastellaan siis normaalia Reissnerin-Mindlinin laattamallia viitteen [22suuntaviivoja noudattaen. Kirjoitetaan ensin satulapistetehtävä (3.16), jossasiis nyt A = B = 0 ja merkitään a(β,η) = (D : ε(β), ε(η)), muotoonTehtävä 4.1. Etsi (β, w, q) ∈ [H10 (Ω)]2×H1

0 (Ω)×[L2(Ω)]2 siten että ∀(η, v, r) ∈[H1

0 (Ω)]2 ×H10 (Ω) × [L2(Ω)]2 pätee

A(β, w, q; η, v, r) = (G,η) + (g, v), (4.1)missä bilineaarimuoto A on määriteltyA(β, w, q; η, v, r) := a(β,η) + (∇v − η, q) + (∇w − β, r) − t2(A∗−1q, r).Olkoon Th alueen Ω kvasiuniformi kolmiointi ja h verkon tiheysparamet-ri. Kun α on vapaasti valittava stabilointiparametri, määritellään diskreetti

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 24bilineaarimuoto seuraavasti:Ah(β, w, q; η, v, r) :=a(β,η) + (Rh(∇v − η), q) + (Rh(∇w − β), r)

− (αh2 + t2)(A∗−1q, r).Tällöin vastaava diskreetti tehtävä approksimaatioavaruudessa Vh × Wh ×Γh ⊂ V ×W × Γ on muotoaTehtävä 4.2. Etsi (βh, wh, qh) ∈ Vh × Wh × Γh siten, että ∀(η, w, q) ∈Vh ×Wh × Γh pätee

Ah(βh, wh, qh; η, v, r) = (G,η) + (g, v). (4.2)MITC-elementtien perusajatus on leikkausvoiman modiointi diskreetissätehtävässä. Tätä varten diskreetti bilineaarimuoto Ah määritellään reduktio-operaattorin Rh : Vh → Γh avulla, joka otetaan käyttöön, jotta vältyttäi-siin lukittumiselta leikkausvoiman suhteen. MITC-elementtien tapauksessareduktio-operaattori Rh on määritelty siten, että päteeRh∇w = ∇w, ∀w ∈ Wh. (4.3)Sekä taipuma että kiertymät suppenevat optimaalisesti, jos löytyy ava-ruus Qh ∈ L2

0 siten, että seuraavat ominaisuudet pätevät [5:P1. ∇Wh ⊂ Γh.P2. rot Γh ⊂ Qh.P3. rot Rhη = Phrot η, missä Ph : L2 → Qh on L2-projektio.P4. Jos s ∈ Γh:lle pätee rot s = 0, löytyy v ∈ Wh siten, että s = ∇v.P5. (V ⊥h , Qh) on stabiili ratkaisuavaruus Stokesin tehtävälle.Roottori on edellä määritelty vektoriarvoiselle suureelle q siten, että

rot q = ∂1q2 − ∂2q1 = div q⊥.Täten voidaan määritellä avaruusH0(rot,Ω) = q ∈ [L2(Ω)]2 | rot q ∈ L2(Ω), q· τ |∂Ω = 0.Nyt voidaan seurata viitteessä [5 esitettyä konstruktiota sopivien variaatio-avaruuksien löytämiseksi:

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 25• Valitaan pari (Vh, Qh) ∈ [H1

0 (Ω)]2×L20(Ω) stabiiliksi Stokesin tehtävälle

• Koska Qh on kiinnitetty, etsitään avaruus Γh ja operaattori Rh sitenettä seuraava kaavio kommutoi[H1

0 (Ω)]2rot

- L20(Ω)

Γh

Rh

?rot

- Qh.

Ph

?

• Valitaan avaruus Wh siten, että∇Wh = s ∈ Γh | rot s = 0.Tässä työssä käytettyyn Numerrin-ohjelmistoon MITC laattaelementit onrakennettu valitsemalla elementtiavaruudet siten, että ainoastaan lineaaris-ten elementtien kanssa tarvitaan verkkostabilointia, korkeamman asteen ele-menteissä suppeneminen saavutetaan käyttämällä kiertymälle kuplamuotoja,jolloin voidaan siis valita α = 0. Nämä ominaisuudet saavutetaan valitsemal-la ensin

Vh = η ∈ [H10 (Ω)]2 | η|T ∈ Vk(T ),∀T ∈ Th.Kolmioelementeille Vk määritellään

Vk(T ) =

[Pk(T )]2 kun k = 1,

[Sk(T )]2 kun k = 2, 3,missä avaruus Sk on määriteltySk(T ) = v ∈ Pk+1(T ) | v|E ∈ Pk(E) jokaiselle reunalle E ⊂ ∂T.Nelikulmiolle puolestaan valitaan kaikilla k:n arvoilla

Vk(T ) = [Qk(T )]2.Stokesin tehtävän apuavaruus Qh on kaikilla k:n arvoilla sekä kolmio- ettänelikulmioelementeilläQh = p ∈ L2

0 | p|T ∈ Pk−1(T ),∀T ∈ Th.

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 26Leikkausvoiman avaruudeksi valitaan nyt kolmioelementeillä π/2 verrankierretty Raviart-Thomas-avaruus ja vastaavasti nelikulmioille käytetään Brezzi-Douglas-Fortin-Marini-avaruutta [4, jolloin siis kolmioilleΓh = s ∈ H0(rot) | s|T ∈ [Pk−1(T )]2 + (x2,−x1)Pk−1(T ),∀T ∈ Thja nelikulmioilleΓh = s ∈ H0(rot) | s|T ∈ (Pk(T )\ξk) × (Pk(T )\ηk),∀T ∈ Th.Taipumalle valitaan kolmiolle

Wh = w ∈ H10 (Ω) | w|T ∈ Pk(T ),∀T ∈ Thja nelikulmioille

Wh = w ∈ H10 (Ω) | w|T ∈ Qk(T ) ∩ Pk+1(T ),∀T ∈ Th.Reduktio-operaattori voidaan määritellä Raviart-Thomas- ja Brezzi-Douglas-Fortin-Marini -elementtien vapausasteita vastaavasti sekä nelikulmioiden ettäkolmioiden tapauksessa

∫

E

((Rhs − s)· τ )ν = 0, ∀ν ∈ Pk−1(E),∫

T

(Rhs − s)· r = 0, ∀r ∈ [Pk−2(T )]2.Lisäksi tulee huomata, että lineearisen elementin toiminnan kannalta verk-kostabilointi on olennaista, joten kun k = 1 valitaan α erisuureksi kuin nol-la, yleisia arvoja parametrille ovat α = 0.1, ..., 0.25. Toisaalta kun k > 1valitaan α = 0. On huomioinarvoista, että tapauksessa k > 1 tarvittaisiinverkkostabiloiduille elementeille toisen asteen derivaattoja sisältäviä lisäter-mejä bilineaarimuotoon, mutta näiden käytöltä vältytään käyttämällä kierty-mälle sopivaa kuplamuotoa. Tämä toteutustapa valittiin lähinnä käytännönsyistä, voidaan nimittäin osoittaa että nämä kaksi stabilointitekniikkaa ovatekvivalentit [14. Näillä valinnoilla nelikulmioavaruus on alkuperäinen MITCavaruus ja kolmioelementeillä avaruus on viitteen [5 ensimmäinen element-tiperhe.4.1.2 Virhearviot MITC-elementeilleOletetaan, että käytetty verkko on kvasisäännöllinen eli elementin koko hon vakio. Määritellään seuraavaksi normit, joissa a priori -arviot johdetaan.

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 27Reduktio-operaattorin vuoksi normit määritellään ainoastaan aliavaruuksissaVh,Wh ja Γh. Siirtymäsuureille määritellään

‖|(η, v)|‖2h := ‖η‖2

1 + ‖v‖21 +

1

h2 + t2‖Rh(∇v − η)‖2

0, (4.4)ja leikkausvoimalle vastaavasti‖|r|‖2

h := (t2 + h2)‖r‖20 (4.5)Edellä määriteltyjen verkkoriippuvien normien käyttö ei ole ehkä intuitii-visesti kovin selvää, mutta sitä, miksi juuri nämä normit ovat oikea valintavirheen mittaamiseen, voidaan perustella seuraavasti. Laatan paksuuden t lä-hestyessä nollaa, palautuu alkuperäinen tehtävä Kir hon laattamallia vas-taavaksi tehtäväksi, jonka ratkaisu on avaruudessa H2(Ω). Koska käsiteltäväntehtävän ratkaisu liikkuu jossain ääripäiden H1(Ω) ja H2(Ω) välillä, saadaan

h:sta ja t:stä riippuvan termin lisäyksellä lisäinformaatiota siitä, kuinka lä-hellä ratkaisu on Kir hhon tehtävän ratkaisua.Jatketaan itse virhearvion todistamista näyttämällä seuraava normiekvi-valenssi, jonka avulla päästään kiinni tehtävän stabiiliuteen:Lemma 4.3. Löytyy vakio C > 0 siten, että jokaiselle (η, v) ∈ Vh × WhpäteeC‖|(η, v)|‖2

h ≤ ‖η‖21 +

1

h2 + t2‖Rh(∇v − η)‖2

0 ≤ ‖|(η, v)|‖2h (4.6)Todistus. Oikeanpuoleinen epäyhtälö pätee triviaalisti. Toisaalta käyttämälläPoin arén epäyhtälöä sekä huomioimalla että löytyy vakio C1 jolle 1√

2C1>

hT > 0, 1√2C1

> t > 0 nähdään, että‖v‖2

1 ≤ ‖∇v‖20 ≤ 2(‖∇v −Rhη‖2

0 + ‖Rhη‖20)

≤ C1‖Rh(∇v − η)‖20 + C2‖η‖2

0

≤ C(1

h2 + t2‖Rh(∇v − η)‖2

0 + ‖η‖21),jossa on käytetty avuksi sitä, että operaattori Rh on rajoitettu vakiolla C2sekä ominaisuutta (4.3). Tällöin myös vasemmanpuoleinen epäyhtälö on tosi.Lisäksi tarvitaan seuraava lemmaLemma 4.4. Kun k = 2, 3 voidaan valita η ∈ Vh ja v ∈ Wh siten, ettämielivaltaisella q ∈ Γh pätee

Rh(∇v − η) = h2q. (4.7)

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 28Todistus. Variaatioavaruuksien valinnan perusteella kaikilla sivuilla E päteesekä kolmioilla että nelikulmioilla η· τ ∈ Pk(E) ja ∇v· τ ∈ Pk−1(E). Jat-kuvuuden takaamiseksi avaruuksissa Vh ja Wh oletetaan kantafunktioidenarvot kulmapisteissä kiinnitetyiksi, jolloin polynomiapproksimaatio on var-masti solmuissa jatkuva. Tämän jälkeen määritetään sivuilla olevien ylimää-räisten momenttivapausasteiden avulla loput kantafunktiot siten, että (4.7)pätee. Tällöin saavutetaan välittömästi myös jatkuvuus sivujen yli, sillä q:ntangentiaalikomponentti on jatkuva elementin reunan ylitse. Selvästi sisäva-pausasteilla pätee yksi yhteen vastaavuus leikkaus- ja kiertymäavaruuksienvälillä.Tarkastellaan ensin tapausta k = 2. Tällöin momenttivapausastetta vas-taava kantafunktio reunalla on toisen asteen polynomi, joka häviää päissä,joten η· τ on symmetrinen ja parillinen reunan keskipisteen suhteen. Mo-menttivapausastetta vastaava derivaatta taasen on lineaarinen ja häviää välinkeskipisteessä, joten ∇v· τ on reunan keskipisteen suhteen pariton. Tällöin∫

E

(∇v − η)· τ (a+ bs)ds = a

∫

E

∇v· τ︸ ︷︷ ︸pariton ds− a

∫

E

η· τ︸︷︷︸parillinen ds

+ b

∫

E

∇v· τs︸ ︷︷ ︸parillinen ds− b

∫

E

η· τs︸ ︷︷ ︸pariton ds

= b

∫

E

∇v· τsds− a

∫

E

η· τds.Koska sekä BDFM- että RT-elementtien vapausasteet ovat tangentiaalikom-ponentin ensimmäinen ja toinen momentti reunan yli, voidaan kiertymä jataipuma valita yksikäsitteisesti. Tapauksessa k = 3 tulos voidaan todistaasamanlaisella päättelyketjulla huomioimalla lisäksi projisoitavien kantafunk-tioiden lineaarinen riippumattomuus ja muodostamalla näistä sopivia line-aarikombinaatioita.Tämän avulla voidaan todistaa diskreetin tehtävän stabiiliusLause 4.5. Jokaisella (β, w, q) ∈ Vh×Wh×Γh löytyy (η, v, r) ∈ Vh×Wh×Γhsekä vakio C siten, ettäAh(β, w, q; η, v, r) ≥ C(‖|(β, w)|‖2

h + ‖q‖2h), (4.8)missä

‖|(η, v)|‖h + ‖r‖h ≤ C(‖|(β, w)|‖h + ‖q‖h).

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 29Todistus. Olkoon (β, w, q) ∈ Vh ×Wh × Γh annettu. Todistetaan väite kol-messa osassa:Valitaan ensin r1 = −q,η1 = β ja v1 = w. Tällöin bilineaarimuodolle Ahpätee Kornin epäyhtälön (3.18) perusteellaAh(β, w, q; β, w,−q) = a(β,β) + (t2 + αh2)(A∗−1q, q)

≥ C1(‖β‖21 + (t2 + αh2)‖q‖2

0).Seuraavaksi valitaan testifunktioiksi r2 = (t2 +αh2)−1Rh(∇w−β), v2 = 0 jaη2 = 0, jolloinAh(β, w, q;0, 0,

1

t2 + αh2Rh(∇w − β))

=1

t2 + αh2(Rh(∇w − β), Rh(∇w − β)) − t2 + αh2

t2 + αh2(q, Rh(∇w − β))

≥ 1

t2 + αh2‖Rh(∇w − β)‖2

0 − (t2 + αh2)1/2‖q‖01

(t2 + αh2)1/2‖Rh(∇w − β)‖0

≥ 1

t2 + αh2‖Rh(∇w − β)‖2

0 −1

2(t2 + αh2)‖Rh(∇w − β)‖2

0 −t2 + αh2

2‖q‖2

0

≥ C21

t2 + αh2‖Rh(∇w − β)‖2

0 − (t2 + αh2)‖q‖20).Tällöin valitsemalla sopiva konveksi kombinaatio λ(η1, v1, r1)+(1−λ)(η2, v2, r2)saadaan stabiloidussa tapauksessa α > 0 tulos

Ah(β, w, q;λ(η1, v1, r1) + (1 − λ)(η2, v2, r2)) ≥ λC1(‖β‖21 + ‖q‖2

h)

+ (1 − λ)C2(1

t2 + αh2‖Rh(∇w − β)‖2

0 − ‖q‖2h),jolloin sopivalla parametrin arvolla λ ∈ [0, 1] saadaan alaraja varmasti po-sitiiviseksi ja bilineaarimuoto Ah on stabiili. Ilman verkkostabilointia α = 0ja estimaattiin ei saada leikkausvoiman normin h:sta riippuvaa osaa. Sen si-jaan edelleen voidaan valita r2 = (t2 + h2)−1Rh(∇w − β), jolloin estimaattisaadaan ‖| · |‖h normissa taipumalle w ja kiertymälle β.Verkkostabiloimattomassa tapauksessa valitaan vielä r3 = 0. Lemman 4.4perusteella voidaan valita pari (v3,η3) siten, että ∀q ∈ Γh pätee Rh(∇v3 −

η3) = h2q. Lisäksi skaalausargumentti ja η3:n määritelmä huomioiden pätee‖η3‖1 ≤ Ch−1‖η3‖0 ≤ Ch−1‖h2q‖0 = Ch‖q‖0.

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 30Valitsemalla ǫ < 2Cnähdään

Ah(β, w, q; η3, v3, 0) = a(β,η3) + (h2q, q) = a(β,η3) + h2‖q‖20

≥ − 1

2ǫ‖β‖2

1 −ǫ

2‖η3‖2

1 + h2‖q‖20

≥ − 1

2ǫ‖β‖2

1 + (1 − Cǫ

2)h2‖q‖2

0

≥ − 1

2ǫ‖β‖2

1 + Ch2‖q‖20,missä C > 0. Jälleen valitsemalla konveksi kombinaatio parametreilla λ1, λ2,saadaan estimaatin

Ah(β, w, q;λ1(η1, v1, r1) + λ2(η2, v2, r2) + (1 − λ1 − λ2)(η3, v3, r3))

≥ λ1C1(‖β‖21 + t2‖q‖2

0) + λ2C2(1

t2 + h2‖Rh(∇w − β)‖2

0 + t2‖q‖20)

+ (1 − λ1 − λ2)(−‖β‖21 + C3h

2‖q‖20)alarajasta varmasti positiivinen. Lisäksi valituille testifunktioille pätee

‖|η1, v1|‖h + ‖r1‖h = ‖|β, w|‖h + ‖q‖h,

‖|η2, v2|‖h + ‖r2‖h ≤ ‖|β, w|‖hja‖|η3, v3|‖2

h + ‖r3‖2h = ‖η3‖2

1 +1

t2 + h2‖h2q‖2

0 ≤ C‖q‖2h.Täten väittämä on siis todistettu sekä verkkostabiloidussa että stabiloimat-tomassa tapauksessa.Koska leikkausvoimaa on diskreetissä tapauksessa modioitu, diskreettibilineaarimuotoAh ei ole konsistentti alkuperäisen bilineaarimuodonA kans-sa. Virhearvion laskemiseksi tarvitaan siis ensin estimaatti konsistenssivir-heelle. Sijoittamalla bilineaarimuotoon Ah tehtävän tarkka ratkaisu (β, w, q)voidaan ∀(η, v, r) ∈ V ×W × Γ kirjoittaa

Ah(β, w, q; η, v, r) = a(β,η) + (Rh(∇w − β), r) + (Rh(∇v − η), q)

− (t2 + αh2)(A∗−1q, r)

= a(β,η) + (∇w − β, r) + (∇v − η, q) − t2(A∗−1q, r)

+ ((Rh − I)(∇v − η), q) + ((Rh − I)(∇w − β), r)

− αh2(A∗−1q, r)

= (G,η) + (g, v) + E(q; η, v, r).

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 31Huomioimalla, että tarkalle ratkaisulle päteeq =

A∗

t2· (∇w − β) ⇔ ∇w − β = t2A∗−1· q,saadaan konsistenssivirhe E muotoon

E(q; η, v, r) := ((Rh−I)(∇v−η), q)+t2(A∗−1(Rh−I)q, r)−αh2(A∗−1q, r).Virheanalyysin läpiviemiseksi tarvitaan muutamia aputuloksia. Ensinnä-kin pienillä verkkoa koskevilla rajoituksilla reduktio-operaattorilla Rh on op-timaaliset interpolaatio-ominaisuudet [20.Lemma 4.6. Jokaisella η ∈ [Hm(Ω)]2, missä 1 ≤ m ≤ k, on olemassa vakioC siten, että pätee

‖η −Rhη‖0,T ≤ Chm‖η‖m,T .Lisäksi voidaan johtaa seuraava tulos [17.Lemma 4.7. Jokaisella s ∈ [Hm−1(Ω)]2, missä 1 ≤ m ≤ k on olemassavakio C siten, että pätee|(s,η −Rhη)T | ≤ hm‖s‖m−1,T‖η‖1,T .Todistus. Mikäli m = 1 tulos seuraa suoraan S hwarzin epäyhtälöstä ja lem-masta 4.6. Kun 2 ≤ m ≤ k, määritellään apuavaruus A(T ) elementeittäin,

A(T ) = [Pk−2(T )]2.Lisäksi merkitään PT : [L2(T )]2 → [L2(T )]2 Piolan munnostaPT s = |JT |JT s, s ∈ [L2(T )]2.Tällöin operaattorin Rh määritelmän perusteella valituille variaatioavaruuk-sille pätee elementillä T mielivalteisella s ∈ A(T )

(PT s,η −Rhη)T =

∫

T

PT s· (η −Rhη)) dxdy

=

∫

T

|JT |−1JT s· (η − J−TT RhJ

TT η))|JT | dξdη

=

∫

T

s· (JTT η − RhJ

TT η)) dξdη = 0.Määritellään seuraavaksi L2-projektio elementillä T referenssielementin avul-la,

ΠT = PT ΠTP−1T ,

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 32missä ΠT : [L2(T )]2 → A(T ) on L2-projektio referenssielementillä. Tällöinpätee mielivaltaiselle s ∈ [Hm−1(Ω)]2

(ΠT s,η −Rhη)T = 0.Lisäksi tunnetaan interpolaatioestimaatti [20‖s − ΠT s‖0,T ≤ Chm−1

T ‖s‖m−1,T .Näiden avulla saadaan lopulta haluttu tulos seuraavasti:(s,η −Rhη)T = (s − ΠT s,η −Rhη)T ≤ ‖s − ΠT s‖0,T‖η −Rhη‖0,T

≤ Chm−1T ‖s‖m−1,T‖η‖1,T .Tällöin konsistenssivirhettä voidaan arvioida seuraavasti [17.Lemma 4.8. Konsistenssivirheelle pätee

E(q; η, v, r) ≤ Chm(‖q‖m−1 + t‖q‖m)Todistus. Käyttämällä hyväksi ominaisuutta (4.3) sekä verkkoriippuvan nor-min määritelmää saadaan konsistenssivirhetermille seuraava arvio sovelta-malla ensimmäiseen termiin Lemmaa 4.7 ja toiseen Lemmaa 4.6. Lisäksi kunm ≥ 2, valitaan α = 0, sillä verkkostabilointi ei ole kuplamuotojen kanssatarpeen.E(q; η, v, r) = (η −Rhη, q) + (tA∗−1(Rh − I)q, tr) − αh2(A∗−1q, r)

≤ tC1‖Rhq − q‖0t‖r‖0 + C2hm‖q‖m−1‖η‖1 + C3αh‖q‖0h‖r‖0

≤ C4(‖|(η, 0)|‖h + ‖r‖h)(thm‖q‖m + hm‖q‖m−1)Lisäksi huomioimalla, että stabiilisuusestimaatin perusteella pätee

‖|(η, v)|‖h + ‖r‖h ≤ C5saadaan haluttu arvio.Jatkoanalyysia varten määritellään taipumalle w erityinen interpolanttiIh:Määritelmä 4.9. Interpolantti Ih : H1

0 (Ω) → Wh määritellään elementeit-täin seuraavista ehdoista operaattorille Ih|T = IT

((v − ITv) FT ) = 0 kaikissa T :n kärkipisteissä, (4.9)∫

E

((v − ITv) FT )r ds = 0, ∀r ∈ Pk−2(E) elementin reunoilla E (4.10)ja∫

T

((v − ITv) FT )sdξdη = 0, ∀s ∈ Pk−3(T ) elementissä T . (4.11)

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 33Interpolantti on määritelty siten, että päteeLemma 4.10. Kaikille v ∈ Hs(Ω), missä s > 1, päteeRh∇(v − Ihv) = 0.Todistus. Merkitään jälleen E referenssielementin T sivua sekä n sivun nor-maalia ja τ sivun tangenttia. Tällöin ominaisuuksien (4.9) ja (4.10) perus-teella referenssielementillä pätee ∀r ∈ Pk−1(E)

∫

E

∇((v − ITv) FT )· τ rds =

∫

E

∂

∂s((v − ITv) FT )rds

=

∫

∂E

((v − ITv) FT )r −∫

E

((v − ITv) FT )∂r

∂sds = 0,sillä ∂r

∂s∈ Pk−2(E). Valitaan sitten s ∈ [Pk−2(T )]2, jolloin siis div s ∈

Pk−3(T ). Tällöin ominaisuuksista (4.10) ja (4.11) saadaan käyttämällä Gauÿinkaavaa∫

T

∇((v − ITv) FT )· s dξdη =

∫

∂T

((v − ITv) FT )s· n ds

−∫

T

((v − ITv) FT )div s dξdη = 0.Merkitään reduktio-operaattorin rajoittumaa elementille T lyhyesti Rh|T =RT . Soveltamalla ylläolevia tuloksia operaattorin Rh määritelmään, nähdäänvälittömästi, että referenssielementillä pätee

RT ∇((v − ITv) FT ) = 0.Täten siis elementillä T päteeRT∇(v − ITv) = J−T

T RTJTT ∇((v − ITv) FT )

= J−TT RT ∇((v − ITv) FT ) = 0.Lisäksi voidaan osoittaa, että operaattorilla Ih on optimaaliset interpolaatio-ominaisuudet [17:Lemma 4.11. Kaikille v ∈ Hm(T ), missä 1 < m ≤ k + 1, löytyy vakio Csiten, että pätee

‖v − Ihv‖s,T ≤ Chm−s‖v‖m,T , s = 0, 1.

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 34Edellä todistettujen ominaisuuksien avulla voidaan lopulta näyttää to-deksi seuraava virhearvio kaikille ratkaistaville suureille halutuissa normeissajäykästi tuetun laatan tapauksessa.Lause 4.12. Olkoon Ω konveksi monikulmio ja laatta jäykästi tuettu. Lisäksioletetaan kuorma riittävän säännölliseksi siten, että tarkan ratkaisun sään-nöllisyydelle s pätee 1 ≤ s ≤ k, missä k on polynomiapproksimaation aste.Olkoon Ωi ⊂⊂ Ω ja hi verkkoparametri sisäalueessa ja hb reunalla. Tällöinpätee‖β − βh‖1 + ‖w − wh‖1 + t‖q − qh‖0 + ‖q − qh‖−1 ≤Chk

i (‖g‖s−2,Ωi+ t‖g‖s−1,Ωi

+ ‖G‖s−1,Ωi) + hb(‖g‖−1 + t‖g‖0 + ‖G‖0).Lisäksi verkko oletettiin kvasiuniformiksi, joten hi = hb = h.Todistus. Olkoon β Lagrangen interpolantti ratkaisulle β, Ihw edellä määri-telty interpolantti 4.9 taipumalle w ja q RT- tai BDFM-vapausasteiden avul-la määritetty interpolantti leikkausvoimalle (kts. [4). Lauseen 4.5 perusteellaon olemassa (η, v, r) ∈ Vh ×Wh × Γh siten, että

‖|(η, v)|‖h + ‖q‖h ≤ C,joille pätee huomioimalla Lemma 4.10‖|(βh − β, wh − Ihw)|‖h + ‖|qh − q|‖h

≤ Ah(wh − Ihw,βh − β, qh − q; η, v, r)

= Ah(w − Ihw,β − β, q − q; η, v, r) − E(q; v,η, r)

= Ah(0,β − β, q − q; η, v, r) − E(q; η, r).Nyt virhetermin ensimmäistä osaa voidaan arvioida seuraavasti:Ah(0,β − β, q − q; η, v, r) = a(β − β,η) + (Rh(β − β), r)

+ (Rh(∇v − η), q − q) − (t2 + αh2)(A∗−1(q − q), r)

≤ a(β − β,η) + (1

t2 + αh2‖Rh(β − β)‖2

0)1/2((t2 + αh2)‖r‖2

0)1/2

+ (1

t2 + αh2‖Rh(∇v − η)‖2

0)1/2((t2 + αh2)‖q − q‖2

0)1/2

+ C((t2 + αh2)‖q − q‖20)

1/2((t2 + αh2)‖r‖20)

1/2

≤ C‖β − β‖1 + (1

t2 + αh2‖Rh(β − β)‖0)

1/2 + ‖q − q‖h,

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 35sillä jälleen pätee‖r‖h + ‖|(η, v)|‖h ≤ C.Seuraavaksi arvioidaan termiä

1

t2 + αh2‖Rh(β − β)‖0.Ottamalla huomioon Lemma 4.6 pätee

1

t2 + αh2‖Rh(β − β)‖2

0 ≤ h−2‖(β − β) − (β − β) +Rh(β − β)‖20

≤ h−2‖β − β‖20 + h−2‖Rh(β − β) − (β − β)‖2

0

≤ h−2‖β − β‖20 + C‖β − β‖2

1Koska β oli valittu Lagrangen interpolantiksi, saadaan standardiestimaateillatulos‖β − β‖2

1 +1

t2 + αh2‖Rh(β − β)‖2

0 ≤ Ch2s‖β‖2s+1,kun oletetaan ratkaisun säännöllisyydeksi β ∈ [Hs+1(Ω)]2. Ylläolevat tulok-set kokoamalla saadaan siis Lemman 4.8 sekä q:n optimaalisten interpolaatio-ominaisuuksien (kts. [4) avulla välitulos

‖|(βh − β, wh − Ihw, qh − q)|‖ ≤ CE, (4.12)missäE2 = h2s‖β‖2

s+1 + h2s‖q‖2s−1 + t2h2s‖q‖2

s.Ottamalla lisäksi huomioon normien määritelmät sekä valittujen interpo-lanttien optimaaliset interpolaatio-ominaisuudet, päästään kolmioepäyhtälönavulla tulokseen‖β − βh‖1 + ‖w − wh‖1 + ‖q − qh‖h ≤ CE. (4.13)Nyt käyttämällä Pitkärannan ja Verfürthin estimaattia, saadaan leikkaus-voimalle virhearvio duaalinormissa seuraavasti käyttämällä ensin duaalinor-min määritelmää

‖q − qh‖−1 = supη∈V

(q − qh,η)

‖η‖1

. (4.14)Valitaan seuraavaksi mielivaltaiselle η sen Cleméntin interpolantti ηc ∈ Vh [13,jolloin

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 36‖q − qh‖−1 = sup

η∈V

(q − qh,η − ηc) + (q − qh,ηc)

‖η‖1

. (4.15)Osoittajan ensimmäiselle termille pätee interpolaatio-ominaisuuksien perus-teella(q − qh,η − ηc) ≤ h2‖q − qh‖2

0h−2‖η − ηc‖2

0 ≤ ‖|q − qh|‖h‖η‖1. (4.16)Vastaavasti huomioimalla, että sekaformuloidun laattamallin tarkalle jadiskreetille formulaatiolle pätee ∀ηc ∈ V

a(β,ηc) + (q,ηc) = 0,

a(βh,ηc) + (qh, Rhη

c) = 0.Vähentämällä alempi rivi ylemmästä saadaan toiselle termille estimaatti käyt-tämällä hyväksi Lemman 4.6 mukaisia interpolaatio-ominaisuuksia(q − qh,η

c) = (q,ηc) − (qh, Rhηc) + (qh, Rhη

c) − (qh,ηc)

= a(β − βh,ηc) + (qh, Rhη

c − ηc)

= a(β − βh,ηc) + (q, Rhη

c − ηc) + (qh − q, Rhηc − ηc)

≤ C‖β − βh‖1‖ηc‖1 + ‖q‖0‖Rhηc − ηc‖0

+ ‖q − qh‖0‖Rhηc − ηc‖0

≤ C‖η‖1‖β − βh‖1 + h‖q‖0 + h‖q − qh‖0Tällöin siis duaalinormin virheelle saadaan arvio‖q − qh‖−1 ≤ C(h‖q − qh‖0 + h‖q‖0 + ‖β − βh‖1), (4.17)jonka avulla päästään tulokseen

‖β − βh‖1 + ‖w − wh‖1 + t‖q − qh‖0 + ‖q − qh‖−1 ≤ CE. (4.18)Lopulliseen tulokseen päästään soveltamalla säännöllisyysestimaatteja 3.10ja 3.11. Merkitsemällä hb:llä verkkoparametria alueen reunalla ja vastaavastihi:llä sisäalueessa, pätee asteen k elementeille tällöin

E2 = (h2k‖β‖2k+1 + h2k‖q‖2

k−1 + t2h2k‖q‖2k)

1/2

= Chki (‖g‖s−2,Ωi

+ t‖g‖s−1,Ωi+ ‖G‖s−1,Ωi

)

+ hb(‖g‖−1 + t‖g‖0 + ‖G‖0).

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 37Huomion arvoista on, että lausekkeen (4.12) avulla saadaan interpolantilleIhw superkonvergenssitulos verkkoriippuvan normin ansiosta, kts. [16. Tulosei kuitenkaan päde normissa ‖| · |‖h erotukselle w−wh, vaan tälle estimaattisaadaan ainoastaan normissa ‖ · ‖1.4.2 Yhdistetyn mallin analyysiKuten aiemmin todettiin, on tasoelastisuustehtävä Diri hlet'n reunaehdoillaH2-säännöllinen. Ominaisuuden (3.23) perusteella tiedetään, että kytkentälaatta- ja levytehtävän välillä on luonteeltaan elliptinen. Lisäksi levy- ja laat-tatehtävät kytkevän bilineaarimuodon

Υ(u,v; β,η) = (A : ε(u), ε(v)) + (B : ε(v), ε(β)) (4.19)+ (B : ε(u), ε(η)) + (D : ε(β), ε(η))suhteen kytketty tehtävä on selvästi konsistentti. Tällä tarkoitetaan tässä yh-teydessä sitä, ettei laattaestimaateissa termin a(β,η) korvaaminen kytketyntehtävän termillä Υ(u,v; β,η) vaikuta konsistenssivirheeseen E(q; η, v, r).Tällöin pätee jollakin vakiolla C > 0 arvio

‖uh − u‖1 + ‖βh − β‖1 ≤ C(‖u − u‖1 + ‖β − β‖1) (4.20)missä u on Lagrangen interpolantti tasoelastisuustehtävälle ja β edellä käy-tetty interpolantti kiertymälle.Mikäli oletetaan, että tasoelastisuus- ja laattatehtävän välinen kytkensä säi-lyttää osatehtävien säännöllisyysominaisuudet, saadaan kolmioepäyhtälön jatasoelastisuustehtävän säännöllisyyden perusteella arvio‖uh − u‖1 + ‖βh − β‖1 ≤ Chs(‖β‖s+1 + ‖u‖s+1).Säännöllisyysominaisuuksien periytyminen osatehtäville pätee tietyillä osa-tehtävien säännöllisyysvakioita koskevilla rajoituksilla, katso (3.46). Tässätapauksessa yhdistämällä tämä edellä johdettuun laattatehtävän virhear-vioon ja laskemalla lausekkeet yhteen, saadaan lopulta tulosLause 4.13. Olkoon Ω konveksi monikulmio ja laatta jäykästi tuettu. Lisäksioletetaan kuorma riittävän säännölliseksi siten, että tarkan ratkaisun sään-nöllisyydelle s pätee 1 ≤ s ≤ k, missä k on polynomiapproksimaation aste.Tällöin pätee

‖β − βh‖1 + ‖w − wh‖1 + t‖q − qh‖0 + ‖q − qh‖−1 + ‖u − uh‖1 ≤Chk

i (‖g‖s−2,Ωi+ t‖g‖s−1,Ωi

+ ‖F ‖s−1,Ωi) + hb(‖g‖−1 + t‖g‖0 + ‖F ‖0),(4.21)

4 ELEMENTTIMENETELMÄ MITC-ELEMENTEILLE 38missä F sisältää sekä levy- että momenttikuormitukset,‖F ‖2

s = ‖f‖2s + ‖G‖2

s.Edellä hb on jälleen verkkoparametri reunalla ja hi sisäalueessa, erityisestikvasisäännölliselle verkolle hb = hi = h.

5 MALLIN SOVELLUS PAPERIARKIN KUPRUILUUN 395 Mallin sovellus paperiarkin kupruiluunPaperi on anisotrooppinen ja heterogeeninen materiaali, joten sen mallin-taminen on ongelmallista haluttaessa tutkia kosteuden vaikutuksia paperinkupruiluun. Kupruilulla tarkoitetaan lokaalia paperin pinnan muodonmuu-tosta, toisin sanoen tehtävässä ei olla varsinaisesti kiinnostuneita paperiar-kin globaalista muodonmuutoksesta, kuten käyristymisestä. Jatkossa tullaankäyttämään viitteessä [12 esitettyä mallia, jossa paperi jaetaan ohuisiin ker-roksiin, joissa materiaali oletetaan homogeeniseksi.5.1 Orientaatio ja anisotropiaMallissa paperi jaetaan ohuisiin kerroksiin ja jokainen kerros edelleen pie-niin paloihin. Vaikka paperin kuitusuunnat saattavat olla lokaalisti varsinsattumanvaraisia, jokaisessa laminaatissa voidaan kuitenkin soveltaa ortot-rooppista materiaalimallia, kunhan datan määrittämiseen käytetty verkko onriittävän tiheä. Merkitään Θ:lla pääkuitusuuntaa, joka määritellään kulmanakoneen suunnan MD (Ma hine Dire tion) ja kuitujen pääsuunnan välillä, se-kä ξ:llä anisotropian astetta. Koneen suuntaan kohtisuorassa olevaa suuntaamerkitään CD (Cross Dire tion).

n2

b

a

n1MD

CD

Θ

Kuva 5: Orientaatiokulman Θ ja anisotropian ξ määrittäminen.Orientaatiokulma Θ määritetään suurimman kuitukonsentraation suun-nan n1 ja MD:n välisenä kulmana. Anisotropia ξ, joka kertoo kuituorien-taation voimakkuuden määritellään suurimman kuitukonsentraation voimak-

5 MALLIN SOVELLUS PAPERIARKIN KUPRUILUUN 40kuuden suhteena tätä vastaan kohtisuorassa olevaan kuitukonsentraatioon,ξ = a/b. Tilannetta voidaan havainnollistaa Kuvan 5 avulla, jossa kuitukon-sentraation pääsuunnat on piirretty ellipsin pääakseleiksi.5.2 Materiaaliparametrien määrittäminenPaperiarkin ominaisuuksien määrittelemisessä oletetaan käytetyn viittees-sä [12 esitetyn kaltaista menetelmää, jossa ensimmäisenä paperista mitataanstereofotometrisesti kosteuden aiheuttama todellinen kupruilu, jonka jälkeenarkki jaetaan kahdeksaan 96 × 96:een ruutuun jaettuun kerrokseen, joissakuituorientaatio mitataan.Kuituorientaation mittaus perustuu delaminoituneen paperin kuva-ana-lyysiin, jossa näytteet skannataan noin 30 µm / pikseliresoluutiolla heijasta-vaa valoa vasten. Tällöin kuitujen reunat erottuvat voimakkaina kontrasti-gradientteina. Datasta lasketaan kulmahistogrammifunktion

H(α) =∑

m,n

|∇f(m,n)|δα,α(m,n)avulla lopulta materiaaliparametrien määrittämiseksi tarvittavat anisotropia-ja kulmasuureet. Näiden lisäksi tarvitaan lokaaleissa koordinaateissa liuku-ja kimmomodulin sekä Poissonin lukujen arvot. Seuraavassa esitetään viit-teessä [11 käytetty malli lokaalien arvojen määrittämiseen.5.2.1 KimmomoduliPaperin materiaaliparametreista määritetään yleisesti vain koneen suuntai-nen ja poikittainen kimmomoduli EMD ja ECD, joista lasketaan anisotropianavulla lokaalit kuidun suuntainen ja sitä vastaan kohtisuora kimmomoduli.Ensinnä oletetaan, että lokaalit kimmomodulit E1 ja E2 riippuvat ainoastaankosteudesta β sekä anisotropian asteesta ξ. Toiseksi oletetaan, että kaikissamittausalueissa kuitukonsentraatio on yhtäsuuri sekä riittävän iso luotetta-vaan materiaaliparametrien määrittämiseen.Aloittamalla tapauksesta jossa on vain kaksi kohtisuorassa olevaa kuitua,tulee päteä E1/E2 = 1. Vastaavasti mikäli n1-suunnassa on kaksi kuitua,pätee E1/E2 = 2 ja niin edelleen. Tässä yksinkertaisessa tapauksessa anisot-ropia voidaan siis kirjoittaa lokaalien kimmomodulien avulla muotoonE1

E2

= ξ. (5.1)Tiedetään [11, että kimmomodulien geometrinen keskiarvo Eg =√EMDECDpysyy lähes vakiona anisotropian vaihtelusta riippumatta, joten lokaaleille

5 MALLIN SOVELLUS PAPERIARKIN KUPRUILUUN 41kimmomoduleille pätee tällöin yhteysE =

√

E1E2. (5.2)Täten lokaalien kimmomodulien lausekkeet voidaan kirjoittaa käyttämällähyväksi yhteyksiä (5.1) ja (5.2) anisotropian ξ ja keskimääräisen kimmomo-dulin E avulla muotoonE1 = E

√

ξ,

E2 =E√ξ.Useiden tutkimusten perusteella tiedetään [11, että paperin kosteuspro-sentin kasvaessa kimmomodulit EMD ja ECD pienenevät. Lisäksi eri paperi-laaduilla tehdyt mittaukset osoittavat, että geometrisen keskiarvon Eg riip-puvuus kosteudesta on kaikissa tapauksissa karkeasti arvoituna lineaarista,joten keskimääräiselle kimmomodulille voidaan empiiristen kokeiden perus-teella valita riippuvuus [11

E = −0.25β + 6.5 GPa, (5.3)missä β on paperin kosteusprosentti. Tällöin lokaalit kimmomodulit ovatE1 =

√

ξ (−0.25β + 6.5) GPa,

E2 =1√ξ

(−0.25β + 6.5) GPa.Tulee kuitenkin huomata, että mallia voidaan käyttää vain alhaisille kos-teuksille, sillä kun β > 26%, saa kimmomoduli negatiivisia arvoja ja materi-aalimalli muuttuu epästabiiliksi.5.2.2 Poissonin luvutPoissonin lukujen kohdalla ei ole selvää, onko anisotropian ja Poissonin lu-kujen välillä suoraa yhteyttä. Hyväksi voidaan kuitenkin käyttää elastisuus-teoriassa pätevää Maxwellin yhteyttä [11µ12

µ21

=E1

E2

, (5.4)johon sijoittamalla kimmomodulien lausekkeet, saadaan Poissonin lukujen jaanisotropian välille yhteys

5 MALLIN SOVELLUS PAPERIARKIN KUPRUILUUN 42

0

5

10

0

10

20

300

5

10

15

20

25

AnisotropiaKosteusprosentti 0

5

10

0

10

20

300

2

4

6

8

10

12

AnisotropiaKosteusprosenttiKuva 6: Kimmomodulit E1 ja E2 anisotropian ja kosteuden funktiona.µ12

µ21

= ξ. (5.5)Vastaavasti kuin kimmomodulien tapauksessa, geometrinen keskiarvo µ =√µ12µ21 on karkeasti ottaen vakio anisotropian suhteen, joten Poissonin lu-vut voidaan kirjoittaa tehollisen Poissonin luvun µ ja anisotropian ξ avullamuotoon.

µ12 = µ√

ξ,

µ21 =µ√ξ.Jälleen kokeellisten tulosten perusteella voidaan valita teholliselle Poisso-nin luvulle lineaarinen vastaavuus kosteusprosenttiin, tässä työssä käytetäänviitteessä [11 esitettyä empiirisiin tuloksiin perustuvaa arviota

µ = 0.015β + 0.150. (5.6)Huomion arvoista on, että anisotropian ξ saadessa arvon yksi, kuituo-rientaatiota ei voida määrittää, sillä tällöin materiaali on isotrooppista. Ny-kyisessä mallissa toteutuu tässä tapauksessa lujuusopilliselta näkökannaltaselvät vaatimukset E1 = E2 ja µ12 = µ21 isotrooppiselle materiaalille, li-säksi Maxwellin yhteys (5.4) on Poissonin lukujen määritelmän vuoksi ainavoimassa.

5 MALLIN SOVELLUS PAPERIARKIN KUPRUILUUN 43

0

5

10

0

10

20

300

0.5

1

1.5

2

AnisotropiaKosteusprosentti 0

5

10

0

10

20

300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

AnisotropiaKosteusprosenttiKuva 7: Poissonin luvut µ12 ja µ21 anisotropian ja kosteuden funktiona.5.2.3 LiukumodulitKäytetyssä mallissa oletetaan laatan paksuussuuntaiset liukumodulit riippu-mattomiksi anisotropiasta ja kosteudesta, ja käytetään näille mitattuja tau-lukkoarvoja. Mielenkiintoinen suure on sen sijaan (x, y)-tason liukumoduliG12, joka isotrooppisessa materiaalissa on

G12 =E

2(1 + µ). (5.7)Kuten edellä todettiin, geometristen keskiarvojen avulla määritelty teholli-nen kimmomoduli ja Poissonin luku eivät riipu anisotropiasta. Täten liuku-moduli voidaan kirjoittaa muotoon

G12 =Eg

2(1 + µg)=

√E1E2

2(1 +√µ12µ21)

=E

2(1 + µ), (5.8)johon sijoittamalla lausekkeet (5.3) ja (5.6) saadaan liukumoduliksi

G12 =6.5 − 0.25β

2.3 + 0.03βGPa. (5.9)Paksuussuuntaisille liukumoduleille käytettiin viitteessä [12 esitettyjä tau-lukkoarvoja

G23 = 0.09 GPa,

G31 = 0.34 GPa.

5 MALLIN SOVELLUS PAPERIARKIN KUPRUILUUN 445.3 Kosteuden aiheuttama muodonmuutos

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Kosteusprosentti

G12

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

−3

Anisotropia

Kos

teus

laaj

enem

iske

rtoi

met

Kuva 8: Vasemmalla liukumoduli G12 kosteuden funktiona ja oikealla kertoi-met α1 (sininen) ja α2 (punainen) anisotropian funktioina.Kupruilua ja käyristymistä paperissa aiheuttaa kosteuden vaihtelusta syn-tyvä muodonmuutos. Koska paperin kuiturakenne on voimakkaasti anisot-rooppinen, täytyy tämä ottaa huomioon kosteuden vaikutuksia mallinnet-taessa, ja muodonmuutosta tulee tutkia kerroksittain jokaisessa orientaatio-alueessa erikseen. Tällöin voidaan käyttää viitteessä [12 esitettyä karkeastiempiirisiin tuloksiin perustuvaa mallia, jossa yhden alueen kosteudesta joh-tuvalle venymälle päteeε

[12]0 =

[

α1(ξ) 0

0 α2(ξ)

]

. (5.10)Kertoimet ovat anisotropian ξ fuktioinaα1(ξ) = 0.0006 − 0.00015

√

ξ − 1,

α2(ξ) = 0.0006 +√

7 × 10−8(ξ − 1).Täten siis kosteuden aiheuttama alkuvenymä tulee laskea joka elemen-tissä ja joka kerroksessa erikseen. Tämän jälkeen venymät muunnetaan ele-menteittäin konstitutiivisen yhteyden avulla vastaaviksi jännityksiksi, jotkavoidaan lopulta laskea yhteen laminaatin paksuuden yli. Huomion arvoistaon, että anisotropia ξ on aina arvoltaan suurempi tai yhtäsuuri kuin yk-si, joten kertoimet pysyvät reaalisina, ja isotrooppisessa tapauksessa ξ = 1laajeneminen tapahtuu yhtä voimakkaana molempiin suuntiin.

5 MALLIN SOVELLUS PAPERIARKIN KUPRUILUUN 455.4 Reunaehtojen valintaPaperin kupruilua simuloitaessa on tarkkojen reunaehtojen määrittäminenvaikeaa, sillä ilmiö tapahtuu monimutkaisen prosessin aikana paperin val-mistuksessa kostean paperin kuivaessa.Paperikoneessa materiaali on kuitenkin koko ajan jännityksen alaisena,jolloin käyristymistä ei pääse suurissa määrin tapahtumaan. Täten onkin loo-gista estää z-suuntainen siirtymä arkin kaikilla reunoilla. Tämä tarkoittaasiis Reissnerin-Mindlinin laattamallissa yksinkertaisesti tuettua reunaehtoa.Toisaalta Reissnerin-Mindlinin laattamallissa on poikittaissiirtymän lisäksireunalla määrättävissä myös kiertymän β arvo. Mikäli kiertymää β ei kiin-nitetä reunalla, vastaa tämä yksinkertaisesti tuettua reunaehtoa, jossa laat-ta pääsee reunalla kiertymään vapaasti. Toisaalta kiinnittämällä molemmatkiertymät saadaan reunalle jäykkä tuenta, jossa kaikki liike reunalla on estet-ty. Kahdella muulla kiertymien kombinaatiolla saavutetaan vielä variaatiotkummastakin edellämainitusta reunaehdosta.Tässä työssä päädyttiin kokeilemaan sekä yksinkertaisesti tuettua ettäjäykästi tuettua reunaehtoa. Kumpaakin voidaan pitää realistisena käytän-nön toteutuksen kannalta, sillä ensimmäinen vastaa tilannetta jossa paperimakaa vapaasti reunaltaan tukea vasten, kun taas jälkimmäisessä paperinreunan voidaan ajatella sijaitsevan esimerkiksi kiinteässä puristimessa.Tasosiirtymille reunaehdot valittiin perustuen laattatehtävän reunaeh-toon ja fysikaaliseen tilanteeseen. Yksinkertaisesti tuetun mallin tapauksessaluonnolliselta valinnalta vaikuttaa olla rajoittamatta paperin tasosiirtymiämitenkään, sillä paperin voidaan ajatella liikkuvan tuen päällä tason suun-nassa. Toisaalta jäykästi tuettun reunaehdon toteuttaminen käytännössä onhankalaa rajoittamatta myös tasosiirtymiä, joten tälle tapaukselle järkevältävaikuttaisi lukita tasosiirtymät kaikilla reunoilla. Reunaehtojen vaikutustakupruiluun tarkastellaan numeerisesti seuraavassa osiossa. Lisäksi periodis-ten reunaehtojen asettaminen koneen suunnassa MD saattaisi olla eräs käyt-tökelpoinen valinta reunaehdoksi.

6 MALLIN TOTEUTUS NUMERRIN-OHJELMISTOON 466 Mallin toteutus Numerrin-ohjelmistoonKomposiittilaattamallin numeerinen toteutus tehtiin Numerola Oy:n Numer-rin-ohjelmiston [18 avulla. Numerrin on erityisesti elementtimenetelmäänkeskittynyt kaupallinen laskentaohjelmisto, johon syksyn 2006 aikana to-teutettiin yhteistyössä Teknillisen korkeakoulun kanssa Reissnerin-Mindlininlaattamallin mukainen MITC-elementteihin perustuva ratkaisija, joten alus-tana ohjelmisto oli entuudesta tuttu.Numerrin-ohjelmiston käyttö onnistuu graasen käyttöliittymän ja oh-jelmistoa varten kehitetyn Numerrin-kielen avulla. Vaikka MITC-elementitolivat jo valmiiksi ohjelmistossa, jouduttiin myös ohjelman Fortran-kieliseenytimeen tekemään muutamia muutoksia laatta- ja levytehtävän yhteen nito-miseksi.6.1 Tensoreiden vektorinotaatioOhjelman toteutuksessa päädyttiin käyttämään lopulta ohjelmiston muok-kaustarpeen vähentämiseksi niin kutsuttua insinöörinotaatiota jännitys - javenymätensoreiden esittämiseen vektorimuodossa, jolloin neljännen kertalu-vun tensorit saatettiin korvata matriisisuureilla.Koska venymä- ja jännitystensorit ovat aina symmetrisiä, on niissä kah-den muuttujan tapauksessa kolme rippumatonta komponenttia. Täten siishalutaan korvata 2 × 2 -matriisisuureet 3-vektoreilla. Oleellinen suure vari-aatiomuodossa on venymä- ja jännitystensorin välinen tensoritulo, joka halu-taan nyt korvata uusien vektorisuureiden pistetulolla. Määritellään venymä-ja jännitysvektorit ε ja σ alkuperäisten tensorisuureiden komponenttien avul-la seuraavasti:ε =

[

ǫ11 ǫ22 2ǫ12

]T (6.1)jaσ =

[

σ11 σ22 σ12

]T

. (6.2)Huomioimalla tensoreiden symmetrisyys päteeε : σ = ǫijσij = ǫ11σ11 + ǫ22σ22 + 2ǫ12σ12 = ε· σ. (6.3)Tunnetusti tensorisuureet muuttuvat koordinaatistomuunnoksissa otta-malla kontraktio jokaisen indeksin suhteen muunnosmatriisin T kanssa, mis-sä T on tavanomainen koordinaatistomuunnoksen Ja obin matriisi, koordi-naatiston kierron kulmalla Θ tapauksessa siis

6 MALLIN TOTEUTUS NUMERRIN-OHJELMISTOON 47T =

[

cos Θ − sin Θ

sin Θ cos Θ

]

.Tällöin kierretyissä 12-koordinaateissa esitetty venymätensori ε[12] onǫ[12]ij = TikTjlǫ

[xy]jl , (6.4)josta summaus aukikirjoittamalla voidaan muunnos kirjoittaa 3×3 -matriisin

R avulla muodossaε[12] = R σ[xy], (6.5)missä R-matriisin komponentit ovat

R =

cos2 Θ sin2 Θ − cos Θ sin Θ

sin2 Θ cos2 Θ cos Θ sin Θ

2 cos Θ sin Θ −2 cos Θ sin Θ cos2 Θ − sin2 Θ

. (6.6)Huomion arvoista on, että jännitysvektorin muunnosmatriisi on erilainen, sil-lä viimeisessä komponentissa ei ole kerrointa kaksi, kuten venymävektorissa.Täten jännityksen muunnosmatriisiksi saadaan

cos2 Θ sin2 Θ −2 cos Θ sin Θ

sin2 Θ cos2 Θ 2 cos Θ sin Θ

cos Θ sin Θ − cos Θ sin Θ cos2 Θ − sin2 Θ

. (6.7)Jatkossa merkitään selvyyden vuoksi vastaavia vektorisuureita myös sym-boleilla ε ja σ. Lisäksi huomataan, että muunnosmatriiseja vastaavat kään-teismuunnokset saadaan vaihtamalla kulma Θ → −Θ, jolloin ainoastaan si-nitermien merkki muuttuu edellämainituissa matriiseissa, ja että materiaali-mallissa käytetty orientaatiokulma φ on kuitusuunnan ja MD:n välinen kul-ma, joten Θ = π/2 − φ.Jännitys- ja venymätensorin välillä pätee konstitutiivinen yhteys (2.1),josta saadaan komponentit auki kirjoittamalla vektorisuureilla vastaava kons-titutiivinen yhteys

ε = C σ, (6.8)missä matriisi C on alkuperäisen neljännen asteen konstitutiivisen tensorinCijkl komponenttien avulla esitettynä, aiemmin esitetyt tensorin symmet-riaominaisuudet sekä ortotrooppisen materiaalin tapauksessa ominaisuudenC1112 = C1222 = 0 huomioiden

6 MALLIN TOTEUTUS NUMERRIN-OHJELMISTOON 48C =

C1111 C1122 C1112

C1122 C2222 C1222

C1112 C1222 C1212,

=

C11 C12 0

C12 C22 0

0 0 C33

.Tällöin konstitutiivinen yhteys voidaan kirjoittaa koko laatalle yhteisessä xy-koordinaatistossa muotoon

σ[xy] = C [xy] ε[xy] = RT C [12]Rε[xy],jolloin siis konstitutiivinen matriisi xy-koordinaateissa onC [xy] = RT C [12]R. (6.9)Koska koordinaatistomuunnos tapahtuu vain xy-tasossa, pätee tällöinmuunnostensorille

T3i = δ3i.Siispä konstitutiivisen tensorin viimeiset komponentit muuntuvat seuraavas-ti:C

[12]3i3j = T3pTiqT3rTjsCpqrs = TiqTjsC3q3s,josta kirjoittamalla summaus auki ja huomioimalla ortotrooppiselle materiaa-lille pätevä ominaisuus C3132 = C3231 = 0 saadaan tensorille xy-koordinaateissa

C[xy]3i3j =

[

C3131 cos2 Θ + C3232 sin2 Θ (C3131 − C3232) cos Θ sin Θ

(C3131 − C3232) cos Θ sin Θ C3131 sin2 Θ + C3232 cos2 Θ

]

. (6.10)Näiden matriisien avulla pystytään muodostamaan kaikkien klassisen la-minaatioteorian tensoreiden (3.7)(3.10) vektorinotaatiovastineet vastaavas-ti summaamalla laatan kerrosten paksuuden yli. Matriiseja voidaan suo-raan soveltaa Numerrin-kielessä, jonka SymGrad-rutiinit tuottavat määri-telmän (6.1) mukaisen venymävektorin.6.2 Numerrin-kielinen malliMallin toteutus Numerrin-kielellä onnistui melko suoraviivaisesti, kunhantarvittavat osaset saatiin toimimaan ohjelman ytimessä. Numerrin-kielenperusajatuksen mukaisesti malli voidaan ohjelmoida kirjoittamalla tehtävän

6 MALLIN TOTEUTUS NUMERRIN-OHJELMISTOON 49heikko muoto residuaalimuotoon ja vaatimalla tämä nollaksi. Itse jäykkyys-matriisin kokoamiseen ei käyttäjän tarvitse vaikuttaa, sillä laattaelementtejävarten tehty reduktio-operaattori Rh toimii ohjelmistossa täysin automaatti-sesti, ja määrittely sisältää automaattisesti yhteensopivien funktioavaruuk-sien valinnan sekä taipumalle että kiertymälle.Konstitutiivisten tensorien määrittäminen on käytetyssä mallissa melkomonimutkainen operaatio, joten tätä varten kirjoitettiin erillinen elemen-teittäin suoritettava aliohjelma, joka käyttää hyväkseen tiedostoista luetta-via anisotropia- ja orientaatiotietoja. Koska anisotropia- ja orientaatiotietojajoudutaan lukemaan joka elementissä erikseen, on konstitutiivisten tensorei-den muodostaminen myös aikaavievä operaatio. Lisäksi vapausasteiden mää-rä kasvaa nopeasti varsin suureksi jo ensimmäisen asteen elementeillä käytet-täessä riittävän tiheää verkkoa, realistisella verkon tiheydellä tehtävässä onusein muutamia satoja tuhansia vapausasteita.Konstitutiivisen tensorin muodostamista yritettiin myös nopeuttaa laske-malla ensin tensorit valmiiksi kaikissa data-alueissa, mutta vaikutus nopeu-teen ei ollut mainittava.6.3 Reunaehtojen vaikutusNumeerisesti laskemalla testattiin reunaehdon valinnan vaikutusta paperinkupruiluun. Kokeissa käytettiin laattatehtävälle joko yksinkertaisesti tuet-tua tai jäykästi tuettua reunaehtoa, ja yhdistettiin tämä joko kiinnitettyihintai vapaisiin levytehtävän reunaehtoihin. Tulokset on esitetty Kuvissa 912.Käytetyn neliöverkon koko on 96 × 96 ja kosteusprosentti β = 7.5.Kuten simulaation tuloksista on selvästi huomattavissa, on tasosiirty-mien reunaehdon valinnalla huomattavasti suurempi vaikutus kupruiluun,kuin laattatehtävän reunaehdon valinnalla. Laattatehtävän reunaehdon va-linta vaikuttaa lähinnä ratkaisun yksityiskohtiin, mutta kvalitatiivisesti rat-kaisut ovat likipitäen samanlaisia käytökseltään. Laattatehtävän reunaehdonosalta tarkempi vertailu erityisesti kokeellisiin tuloksiin olisi tarpeen oikeanvalinnan vahvistamiseksi. Tasosiirtymien estäminen taasen muuttaa ratkai-sun luonnetta täysin. Vertaamalla viitteessä [11 esitettyihin kokeellisiin jasimuloituihin tuloksiin, näyttää siltä, että vapaa reunaehto on oikea valin-ta tasotehtävälle. Tämä on myös fysikaalisesti järkevää, sillä tasosiirtymienollessa estettyjä aiheutuu kosteuslaajenemisesta laatan tason suuntaisia jän-nityksiä, jotka kytkeytyvät kinemaattisten oletusten kautta laattatehtävänkiertymiin. Nämä taasen aiheuttavat globaalisti laattaan momenttikuormi-tuksen, joka tuottaa suuren globaalin taipuman, mikä ei liene kupruilun mal-lintamisessa fysikaalisesti järkevää.

6 MALLIN TOTEUTUS NUMERRIN-OHJELMISTOON 506.4 Verkon tiheys ja elementtiapproksimaation asteKoska materiaalidata oli kerätty 96×96 verkolta, oli tämä luonnollinen lähtö-kohta verkon tiheydelle. Tällöin siis jokaista datasolua vastaa yksi elementti.Lisäksi laskettiin vertailukohdaksi ratkaisu 192 × 192 verkolla, ja toisaaltasäännöllisellä 48 × 48 kolmioverkolla, jälkimmäisessä tapauksessa myös toi-sen asteen elementeillä. Kaikki laskut suoritettiin kosteusprosentin arvollaβ = 7.5 sekä käyttämällä laatalle yksinkertaisesti tuettua ja tasosiirtymillevapaata reunaehtoa.Tuloksista huomataan, että lineaarinen approksimaatio harvalla kolmio-verkolla (Kuva 13) toimii huonosti, sillä materiaaliparametrit vaihtuvat nytjokaisen elementin sisällä eikä lineaarinen approksimaatio pysty ottamaan tä-tä huomioon. Sitävastoin toisen asteen elementeillä (Kuva 14) tulokset ovatharvallakin verkolla samankaltaisia kuin tiheämmillä neliöverkoilla ja lineaa-risilla elementeillä lasketut tulokset. Vapausasteiden määrä kasvaa kuitenkintoisen asteen approksimaatiota käytettäessä harvallakin verkolla verrattainsuureksi, noin 56 000:een vapausasteeseen.Toisaalta verkon tiheyden kaksinkertaistaminen 96 × 96 verkolta (Ku-va 15) 192 × 192 verkolle (Kuva 16), ei näytä tuovan merkittävää lisäarvoatuloksiin verrattuna vapausasteiden määrän kasvuun, joka kasvaa harvan ver-kon 47000:sta tiheän verkon 158000:een, jolloin tehtävän vaatima laskenta-aika kasvaa varsin radikaalisti. Koska komposiittilaattamallissa on jokaistasolmua kohden viisi vapausastetta, on myös jäykkyysmatriisin viivanleveyskohtalaisen suuri, mikä edelleen korostuu kasvaneessa laskenta-ajassa ja muis-tintarpeessa.Järkevimmältä ratkaisulta vaikuttaa siis laskennallisesti tehokkaan line-aarisen elementin käyttö ja tarkkuuden parantaminen tihentämällä verkkoa.Tällöin on mahdollista myös käyttää erilaisiin a posteriori -virheindikaatto-reihin perustuvia adaptiivisia tihennysmenetelmiä, joiden avulla toisaalta va-pausasteiden määrä pysyy hallinnassa, mutta ratkaisun tarkkuutta saadaanparannettua käyttämällä ongelmallisilla alueilla tiheämpää verkkoa.

6 MALLIN TOTEUTUS NUMERRIN-OHJELMISTOON 51

Kuva 9: Vapaasti tuettu reunaehto,tasosiirtymiä ei rajoitettu.

Kuva 10: Jäykästi tuettu reunaehto,tasosiirtymiä ei rajoitettu.

Kuva 11: Vapaasti tuettu reunaehto,tasosiirtymät kiinnitetty.

Kuva 12: Jäykästi tuettu reunaehto,tasosiirtymät kiinnitetty.

6 MALLIN TOTEUTUS NUMERRIN-OHJELMISTOON 52

Kuva 13: Ensimmäisen asteen ele-menttiapproksimaatio 48×48 verkol-la.

Kuva 14: Toisen asteen elementtiap-proksimaatio 48 × 48 verkolla.

Kuva 15: Ensimmäisen asteen ele-menttiapproksimaatio 96×96 verkol-la.

Kuva 16: Ensimmäisen asteen ele-menttiapproksimaatio 192× 192 ver-kolla.

7 YHTEENVETO 537 YhteenvetoKlassisen laminaatioteorian mukainen komposiittilaattamalli todettiin hyvinkäyttäytyväksi, kun laatta- ja tasoelastisuustehtäville käytetään hyvin käyt-täytyviä elementtiapproksimaatioita. Reissnerin-Mindlinin malliin soveltu-valle MITC-elementtiperheelle näytettiin lisäksi optimaaliset suppenemiso-minaisuudet erityisessä verkkoriippuvassa normissa, joka ottaa huomioon laa-tan paksuuden vaikutuksen tehtävän säännöllisyyteen. Myös komposiittira-kenteen rikkoutumisen kannalta erittäin tärkelle leikkausvoimalle johdettiinoptimaaliset a priori virhearviot.Numeeristen kokeiden perusteella laattamallin vahvoja puolia paperinmallintamisessa ovat mahdollisuus vaikuttaa reunaehtojen valinnalla moni-puolisesti mallin käyttäytymiseen, sekä MITC-elementtien hyvät suppene-misominaisuudet jo käytettäessä lineaarisia elementtejä. Erityisiä ongelmiapaperin mallintamisessa verrattuna normaaliin komposiittilaattamalliin tuokuituorientaation voimakas vaihtelu, mikä kasvattaa konstitutiivisten ten-sorien laskemiseen tarvittavaa työmäärää merkittävissä määrin. Erityisestitällä osa-alueella mallin toteutus vaatinee vielä hiomista tensoreiden käsit-telyn nopeuttamiseksi, lisäksi suuri vapausasteiden määrä vaatii tarkkuuttaohjelman muistinkäyttöä suunniteltaessa.Virheanalyysin tärkein jatkotutkimusta vaativa kohde vaikuttaa olevankytketyn tehtävän säännöllisyysominaisuuksien säilymisen tarkka määrittä-minen. Muita jatkokehitysmahdollisuuksia ovat erityisesti laskennallisesti ke-vyiden a posteriori-estimaattoreiden soveltaminen adaptiiviseen verkon ti-hennykseen sekä suurten muodonmuutosten teorian, eli Reissner-Mindlin-Von Karman kinemaattisten oletusten soveltaminen komposiittilaattamal-liin. Lisäksi eräs mahdollisuus on kuituorientaation optimoiminen kytke-mällä komposiittilaattamalli tavoiteoptimointitehtävään. Tätä sekä suurtenmuodonmuutosten teoriaa on jo aikaisemmin käsitelty esimerkiksi viittees-sä [10. Kuituorientaation optimoinnilla on myös sovellusmahdollisuuksia pa-perin valmistuksessa, sillä valmistusprosessin aikana pystytään rajoitetustisäätelemään kuitujen suuntaa.

VIITTEET 54Viitteet[1 Douglas N. Arnold ja Ri hard S. Falk. A uniformly a urate nite ele-ment method for the Reissner-Mindlin plate. SIAM Journal on Nume-ri al Analysis, 26:12761290, 1989.[2 Constantin Ba uta ja James Bramble. Regularity estimates for solutionsof the equations of linear elasti ity in onvex plane polygonal domains.Z. angew. Math. Phys., 54:874878, 2003.[3 Dietri h Braess. Finite Elements. Cambridge University Press, 2001.[4 Fran o Brezzi ja Mi hel Fortin. Mixed And Hybrid Finite Element Met-hods. Springer, 1991.[5 Fran o Brezzi, Mi hel Fortin, ja Rolf Stenberg. Error analysis of mixed-interpolated elements for Reissner-Mindlin plates. Mathemati al Modelsand Methods in Applied S ien es, 2:125151, 1991.[6 Philippe G. Ciarlet. The Finite Element Method for Ellipti Problems.North Holland, 1987.[7 Wilhelm Flügge. Tensor Analysis and Continuum Me hani s. Springer,1972.[8 Roger A. Horn ja Charles R. Johnson. Matrix Analysis. CambridgeUniversity Press, 1985.[9 Feng Kang ja Shi Zhong-Ci. Mathemati al Theory of Elasti Stru tures.Springer, 1996.[10 Petri Kere ja Mikko Lyly. Nonlinear analysis and design of lamina-ted omposites using Reissner-Mindlin-Von Karman type plate model.Teoksessa ECCOMAS 2004. 2004.[11 Teemu Leppänen. Ee t of Fiber Orientation on Co kling of Paper.Väitöskirja, University of Kuopio, 2007.[12 Teemu Leppänen, Joonas Sorvari, Anna-Leena Erkkilä, ja Jari Hämä-läinen. Mathemati al modelling of moisture indu ed out-of-plane defor-mation of a paper sheet. Modelling and Simulation in Material S ien eand Engineering, 13(7):841850, 2005.

VIITTEET 55[13 Carlo Lovadina ja Rolf Stenberg. A posteriori error analysis of the linkedinterpolation te hnique for plate bending problems. SIAM J. Numer.Anal., 43:22272249, 2005.[14 Mikko Lyly. On the onne tion between some linear triangular Reissner-Mindlin plate bending elements. Numeris he Mathematik, 85(1):77107,2000.[15 Mikko Lyly, Jarkko Niiranen, ja Rolf Stenberg. A rened error analysisof MITC plate elements. Mathemati al Models and Methods in AppliedS ien es, 16(7):967977, 2006.[16 Mikko Lyly, Jarkko Niiranen, ja Rolf Stenberg. Super onvergen e andpostpro essing of MITC plate elements. Comput. Methods Appl. Me h.Engrg., 196:31103126, 2007.[17 Mikko Lyly ja Rolf Stenberg. Stabilized nite elements for Reissner-Mindlin plates. Tekninen Raportti 4, Universität Innsbru k, Institut fürMathematik und Geometrie, 1999.[18 Numerola Oy. http://www.numerola.fi.[19 J.N. Reddy. Me hani s of Laminated Composite Plates and Shells. CRCPress, 2004.[20 Jean Marie Thomas. Sur l'Analyse Numérique des Méthodes d'ÉlémentsFinis Hybrides et Mixtes. Väitöskirja, Université Pierre et Marie Curie,1977.[21 Stephen P. Timoshenko ja S. Woinowsky-Krieger. Theory of Plates andShells. M Graw-Hill, 1959.[22 Louren o Beirao Da Veiga, Claudia Chinosi, Carlo Lovadina, ja RolfStenberg. A-priori and a-posteriori error analysis for a family ofReissner-Mindlin plate elements. Submitted to the Journal of Computa-tional and Applied Mathemati s, 2007.[23 Jerey Wadsworth ja Donald R. Lesuer. An ient and modern steels andlaminated omposites ontaining steels. MRS bull., 27:980987, 2002.