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Ingenieur-Arehiv 53 (1983) 145--163 Ingenieur-Archiv �9 Springer-Verlag 1983
Elastisehe Stabilitiit ebener Laminate
It . Buffer urld tI . Kennerknecht, S tut tgar t
[~'bersieht: Es wird eine exakte Methode zur Bcstimmung dm kritischen Stauehung S ~ 1 eines Systems, das aus beliebigen ebenen einaehsig vorgespannten elastisch-orthotropen Schichten besteht, angegeben. AnschlieBend erfolgt die Spezialisierung auf ein alternierend aus steifen Tragschiehten und weichen Fiill- schichten aufgebauten Laminats. An ihm werden die verschiedenen lang- und kurzwelligen Instabilit~ts- erseheinungen numerisch studiert. Zur ~pproxim~tiven Besehreibung wird der SandwiehkSrper (~ inhomo- series klassisches Kontinuum) durch ein homogenes Kontinuum mit Mikrostruktur ersetzt. Beim Grenz- fibergang zu einer unendlieh feinen Sehiehtung entf~llt dei EinfluB der Mikrostrukmr. Die Brauchbarkeit der Approximationen wird numeriseh untersucht.
Elastic Stability of Plane Laminates
Summary: In this paper an exact method to calculate the critical compressive strain S ~ 1 of a system con- sisting of arbitrary plane elastic-orthotropic layers under uniaxial initial stress is developed. There follows a specialisation to a laminate composed of alternating stiff reinforcing sheets and soft matrix layers. For this system numerical results are obtained describing the short- and longwave types of instability. In order to get an approximative description the sandwich (= inhomogeneous classical continuum) is transformed into a homogeneous continuum with microstrueture. In the limiting case of a very large number of very thin layers the influence of the mierostrueture vanishes. The usefulness of the approximations mentioned above is investigated numerically.
1 Einleitung
Das bekannteste Beispiel eines Laminats ist eine Dreischichtplatte, die aus zwei steifen Trag- schichten und einer weicheren Fiillsehieht besteht. Unterwirft man diese einer einaehsigen Druek- beanspruehutlg, so kann man je naeh den Abmessungen und Steifigkeiten der individuellen Sehiehten folgende Ph~;nomene beobaehten: (a) DaB langwellige Knieken naeh Art des Euler- Stabes, bei dam die Querseh~:itte eben und orthogonal zur verformten Stabaehse bleiben; (b) das langwellige Knieken, b e i d e m die Quersehnitee eine Sehubdeformation erleiden, wodureh die kritisehe Belastung gegeniiber der Euler-Last deutlieh abnimmt; (e) das (nur bei relativ diinnen Tragsehiehten auftretende) kurzwellige Ausbeulen (Knittern), bei dam sieh die Tragsehiehten nach Art eines Balkans auf nachgiebiger Unterlage verhalten; (d) das kurzwellige (Eulersehe) Knicken der individuellen Tragsehiehten, auf das die Fiillsehieht praktiseh keinen Einflu/3 hat; (e) das yon den Krafteinleitungsfl/tehen ausgehende, naeh dam Inneren abklingende ,,Rand- knit tern". Eine einheitliehe Theorie, welehe die vier Erseheinungen (a) bis (d) effal3t, wurde yon Neuber [1] angegeben und lguft auf umfangreiehe Bereehnungen hinaus.
Die genannten Ph/inomene kSnnen aueh bei einem ebenen Vielschichtsystem auftreten. Blot besehr/~nkt sieh dabei in [2] auf das kurzwellige Ausbeulen (e) und behandelt in [3] das Rand- knit tern (e). Ebenso wie Blot legen Clmng und Testa [4] ekt regelmb;~iges Vielsehiehtsystem zu- grunde. Letztere idealisieren die (als jeweils gleieh angenommenen) Tragsehiehten als Balkan und verwenden fiir die (ebenfalls als jeweils gleieh angenommenen) Ftillsehiehten die Gleiehungen der ebenen, isotropen Elastizitgtstheorie. Augerdem maehen sic unter anderem die Annahme, dal~
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die an den beiden Oberfls einer inneren Tragschicht wirkenden Kontaktspannungen gleich sind und erreiehen damit gegeniiber Blot [2] eine wesentliche Vereinfachung der Rechnung, die allerdings auch auf das langwellige Knicken (b) und das kurzwellige Knicken (d) beschr/*nkt bleibt. Demgegeniiber hat Buffer bereits in [5] bzw. [6] eine die Phgnomene (a) bis (d) erfassende, such numerisch stabile Methode zur Bestimmung der Druckstabilitgt reehteckiger bzw. kreis- f6rmiger, jeweils aus beliebig vielen verschiedenen isotropen Trag- und Fiiltschichten bestehenden Verbundplatten angegeben und in [7] auf querisotropes Material erweitert. Dabei ist lediglich vorausgesetzt, dab die (der kritischen Belastung zugeordnete) Vorstauchung klein gegeniiber 1 und die Dicke der Tragschieht klein gegeniiber der Wellenl/~nge der Eigenformen ist. Die nume- rische Ausarbeitung beschrgnkte sich aus Vergleichsgriinden auf eine Zwei- bzw. Dreischicht- platte, last sich aber ohne Miihe such fiir ein Vielschichtsystem durchfiihren.
In Unkenntnis yon [5] und daher in der ~Jberzeugung, dal~ eine alle Details einer 8chichtung beriicksichtigende Theorie praktisch unbrauehbar sein mii/~te, entwickelten Kiusalaas und Jann- zemis [8] eine Kontinuumstheorie /i~r ei'n vorgespanntes regelmii/3iges Vielschichtsystem, dessen Bestandteile steife Tragschiehten (diinne Platten) und weiche Fiillsehiehten sind. Ersatzmodell ist eine aus Trag- und Fiillschiehten bestehende ,,Elementarzelle" mit einem jeweils in Dicken- riehtung beztiglich einer lokalen Mikrokoordinate linearen Versehiebungsansatz. Die ,,Versehmie- rung" erfolgt dureh Ersatz der Differenzenquotienten der Versehiebungskomponenten der Punkte der Fiillsehichtmittelfl~chen mittels Differentialquotienten im Energieausdruck. Das Prinzip des stationg, ren Gesamtpotentials ]iefert hieraus in iiblicher Weise die (zweidimensionalen) Gleichgewichtsbedingungen und die statischen t~andbedingungen; beide sind yon ienen der klassischen Kontinuumstheorie versehieden, was wesentlich vom Einfluft der Dehnungsgradienten herriihrt. Davon ausgehend fiihren Kiusalaas, Jaunzemis und Conway in [9] weitere Verein- faehungen ein und gelangen so zu einem iibersiehtlichen Ergebnis, das jedoeh die Phgmomene (a), (c) und (e) nieht erfal~t.
Eine weitere niehtklassisehe Kontinuumstheorie fiir zusammengesetzte Balken stammt von Sun [10]. Die alternierenden Sehiehten aus zwei versehiedenen elastisehen Stoffen kSnnen dabei Dieken bzw. Materialsteifigkeiten derselben GrSl3enordnung aufweisen, so dal3 beide fiir die Aufnahme der Druekbelastung maggebend sind. Eine Zusammendriiekung in Diekenriehtung ist nieht vorgesehen, die Sehubdeformation hingegen wird beriieksiehtigt. Als kinematisehe Variable fungieren die seitliehe Versehiebung, die Drehung eines eben bleibenden fiktiven Gesamtquersehnitts und die Drehung des Quersehnitts einer gandsehieht. Dutch eine ver- sehmierende energetisehe Betraehtung wird der Schiehtbalken auf einen makrohomogenen Balken mit Mikrostruktur transformiert. Damit kSnnen die langwelligen Kniekerseheinungen (a) und (b) sowie das kurzwellige Knieken (d) n~herungsweise erfafit werden. Ferner wird gezeigt, dal? der Ersatz eines Laminats dureh eine einzige homogene Sehieht mit ,,effektivem" Elasti- zits bzw. Sehubmodul zu ganz falsehen Ergebnissen fiihrt; dabei wird der ,,effektive" Elasti- zit/~ts- bzw. Sehubmodul dureh die mittels der einzelnen Volumenanteile gewiehteten Summe der Module der beiden Bestandteile (Mischungsgesetz) gebildet.
Mit der vorliegenden Arbeit soil qualitativ und quantitativ untersucht werden, inwieweit der Ersatz eines vorgespannten elastisehen Laminats dutch ein vorgespanntes homogenes ortho- tropes Kontinuum ohne bzw. mit Mikrostruktur mSglieh ist. Zu diesem Zweek werden in Ab- sehnitt 2 unter der einzigen Annahme kleiner Vorstauehung S ~ 1 die linearisierten Beziehungen fiir die inkrementellen GrSfien einer vorgespannten orthotropen Sehieht in Form einer Matrizen- l~bertragungsgleiehung aufbereitet. Auf dieser Grundlage ist die exakte Erfassung des Stabilit~ts- verhaltens eines beliebig zusammengesetzten ebenen Mehrsehiehtsystems mSglieh. In Absehnitt 3 wird der Sonderfall eines regelmggigen, alternierend aus steifen Tragsehichten und weiehen Ftillsehichten bestehenden Systems betraehtet (,,Sandwiehtheorie") und numeriseh ausgewertet, wobei 2, r 8, 16 und 32 Tragsehiehten zugrunde gelegt und die Phgnomene (a) his (d) heraus- kristallisiert werden. In Absehnitt 4 erfolgt -- ansgehend yon der Matrizen-{Jbertragungs- gleiehung des Mehrschichtsystems -- mittels eines Versehmierungsprozesses die Approximation des Sandwiehsystems dureh eine homogene orthotrope Sehieht mit Mikrostruktur (,,Mikro- struktur-Kontinuumstheorie"). Dieses Ersatzmodell untertiegt weniger gestriktionen als jenes in [9] bzw. [10] und erfagt -- wie ein Vergleich mit dem Ergebnis der Sandwiehtheorie zeigt -- die Phgnomene (a), (b) und (d) quantitativ reeht gut. Das (nut bei relativ diinnen Tragsehiehten
~. Buffer und H. Kennerknecht: Elasgische Stabilitgt ebener L~minate 147
auftretende) Phiinomen (e) kommt zwar im Gegensatz zu [9 und 10] qualitativ aueh deutlieh heraus, zeigt abet durch die Abweiehungen gegeniiber dem genauen Ergebnis die Grenzen der Mikrostruktur-Kontinuumstheorie auf. AnsehlieBend wird der Grenziibergang zu unendlieh vielen und unendlieh diinnen Sehiehten durehgefiihrt, wobei der EinfluB der Mikrostruktur entf/illt. Das Instabilit~tsverhalten entsprieht dann jenem einer vorgespannten homogenen orthotropen Schieht, bei dem (als Verallgemeinerung des sehon yon Kreutzer [11] behandelten Falles der Isotropie) nur die Ph~nomene (a) und (b) auftreten. Diese werden tats~ehlieh gut wiedergegeben, was bei Zugrundelegung des Misehungsgesetzes ffir die Elastizit~tsmoduln nieht zutrifft [10].
2 Grundgleichungen einer einaehsig vorgespannten elastisch-orthotropen Schicht
und eines allgemeinen Laminats
Wir betraehten neben dem Grundzustand (Verschiebungsvektor Ui, Greenseher Verzerrungs- tensor E i ] = Eji, Kirehhoffscher Spannungstensor Zij ~--rid einen infinitesimalen Naehbar- zustand (Ui @ ui, E i ] + ei~-, 2,)] + a0) bei derselben Belastung, wobei die Inkremente mit ui, eli und all bezeiehnet werden. Beziiglieh der inkrementellen Gr6!3en bestehen dann die Gleich- gewichtsbeclingungen (s. z. B. [12])
--[((~i~ + Ui3:) ajk],i = (-~flcuL~),] in V, (2.1)
die statisehen Randbedingungen
--nj(Olk + Ui,k) aik = n~-~ikui,~, auf OV~ (2.2)
(hi Normalenvektor der Oberflgehe vor der Verformung), die Verzerrungs-Versehiebungs-i~elation
ei] ~ Symm. (ciki -+- Uk.i) uk,j in V, (2.3)
die geometrischen l%andbedingungen
ui ---- 0 auf ~V~ (2.4)
und das (als linear angenommene) Elastizitb;tsgesetz
--1 eij = Ei]kl(Ykl in V. (2.5)
Fiir elnen mit :Bezug auf die xi-xs-Ebene ebenen S1)annungszustand sowie orthotropes Material- verha]ten gilt
[ 811] ~33 /
m
1 v' 0
E E'
- - 0 E' E'
0 0 1 2G'
0"12] G331 0"13 j
(2.53
w/~hrend mit 2Jll -- Z und 2:ij ~- 0 fiir i j :~ 11 (einachsige gleichm/igige Vorspannung) bei Ver- naehl//ssigung der Vordehnungen UI,~ und U2,~ gegeniiber 1 (2.1) bis (2.4) iibergehen in
aji,j @ u i ,nX = 0 in V (i, ] ----- 1, 3), (2.1')
a]inj @ n~ui,~Z = 0 auf BV,, (2.2')
1 eis = -~ (u~,] + uj, i) in V, (2.3')
ui = 0 auf OVa. (2.4')
148 Ingenieur-Archiv 53 (1983)
Die Beziehungen (2.1', 2.3') und (2.5') lassen sich mi t den Abkiirzungen xl = x, x 3 = z, (Yll : - f iX,
0"33 = ffz, (713 ~ T , U i ~ g , 7~ 8 - - W sowie mi t
E* E* u * = h* u, w* h* w (2.6)
(E* Bezugselast izi tgtsmodul, h* Bezugsdicke) auf folgende Formen bringen i
E 5u* E (Tz = E--- 7 h* Ox -4- v' ~-7 a~, (2.7)
T,
w*
& u*
...2'
oder kurz
0 0 S --E h* ~ Ox E * ~x 2
E ~ E 0 ~ - -v ' - - - - 0 - - - - h* - -
E ' ~x E * Ox ~
E * 0 Symm.
G'h*
_ _ 1 _ _ , p ' 2
E'h*
~z
T
W *
(2.s)
~ a = A a (2 .8 ' ) ~z
m i t a als Zus tandsvek to r und A als Opera torenmatr ix . Dabei wurde die Vors tauchung S gemgg
2: = - - E S (2.9)
eingefiihrt und im Element (2, 3) der Opera to renmat r ix A die GrSl3e S gegeniiber 1 vernach-
lgssigt. I m Hinbl ick auf die zu untersuchenden indifferenten Gleichgewichtslagen setzen wir fiir die
symmetr i schen Knickfo rmen - die an t i symmetr i schen ]assen sich auf ghnliche Weise erfassen - -
% = ~x cos ~x (2.10)
und
bzw.
k *j
sin (Ax)
sin (),x) I1:
--cos (2~) - -~*_
(2.11)
a = Ffi ( 2 . 11 ' )
an und erhal ten m i t der Abki i rzung
).* = 2h* (2.12)
schlieNich
E 2"~* + v' E ~x = E-- ~ ~ (2.13)
1 Vgl. [7], wo der ebene bzw. axialsymmetrische Formgnderungszustand zugrunde gelegt ist und die Vor- stuuehung erst naehtrgglieh beriicksichtigt wird.
H. Buffer und H. Kennerknecht: Elastische Stabilit~t ebener Laminate 149
und
bzw.
d
dz ~*
I =~
0
E
E '
0
- - - - 1 - - ~/2 E'
--2* 0
E 0 - - 2 .2
E*
E * G--;- Symm.
sE-- ~ .
--yg*
(2.~4)
d~ - - = i f i . ( 2 . 1 4 ' ) dz
Durch Integrieren fiber die Schiehtdicke h folgt die sog. Ubertragungsmatrix
~(h) = jh~(0) = ~a(0), (2.15)
zu deren gesch]ossener Berechnung die Kenntnis der Eigenwerte #2,-..,/~4 der Matrix Ah er- forderlieh ist. Diese lau~en
~1,2 = 4-2hql , /~3,4 = 4-),hq2 (2.16)
mit
und
ql,2 = 1 / 1 ( ~X ~ ]/0r -- 4~) (2.17)
E---;E [E'-~7 ( '2 E ~ ~__ = - 2 v ' - - S 1 - - ~ ~-7)/, (2.18)
E 1 G' S (2.19) f l = E - - - - - - '
wobei die Diskriminante a: ~ - - 4fl grSger, gleieh oder kleiner Nail sein kann. Jedenfalls werden die Kombinat ionen
1
Q~'~ = 7 (~ ~ q~) (2.20)
entweder positiv reell oder imagin~r. Die l~'bertragungsmatrix T errechnet sich nun fiber das Cayley-ttamiltonsche Theorem unter der Annahme voneinander versehiedener Eigenwerte #~ zu
mit J
tll t12 t13 t14 = t21 t22 t2a
t3~ t32 Symm.
t4~
(2.21)
tH -~ 1 - - ~ t i t i i - ~ S - - 1 - - ~ ' 2 cicii , E '
t , 2 - 2 E-- ~ ' ! Q ~ - Q ~ t~
_ _ _ _ t i : r E' Q~ Q~I
(2.22)
150 Ingenieur-Archiv 53 (1983)
t13 ~ ----
1 t14 = -
2
I E { [ _ 1 ] . [ _ 1 ] }
{ o( t22 = 1 + ~ ~ 1 + S ~ 1 - - v'2 tltli ClCH,
1 2 , E { s E 1 } t2a = -2 E --~ (tI @ tit) -- E' Q2 _ Q~ (tI - t I I ) cIcII'
tal -- 2 ~,* E' 1 @ V' V' tltli ClClI,
1 1 E* 1 Q~-0421-]-~-7 1 - v '2 - t ~ = ~ ~ * G ' Q~ - Q~I
t4~-- 2 X* G' Q~ - Q~I + ~ - 7 1 - - v '~ ti
; ~* {E~ [1 -- SJ/ E ] tItII} cIeII,
2, E 1 { [ E ]} E* Q~ - Q~I t l I - tI @ s (ti - tli) -~ (Q~ - Q~I) (tl q- tII) clclI,
(2.22)
CICII
In (2.22) bedeuten
ci = cosh (Qi2h), ( ? I I = eosh (Qii)th),
tanh (Qi;ih) tanh (Qii~h) (2.23) t I -- , tlI --
QI QII
Die Matrix (2.21) beh/ilt aueh im Falle zusammenfallender Wurzeln (ql = q2) Giiltigkeit: In den Elementen (2.22) ist dann der Grenzprozeg QII ~ 0 durehzufiihren:
tli = lim tanh (Qii,~h) _ _ lh, eli = ]. O~l-~0 Q I I
Liegen imagin/ire Werte von QI(= i0i) und QII(= i(~ii) vor, so treten die trigonometrischen Funktionen
tan (0i,~h) ci = cos ( ~ i Z h ) , ti - - O~
und entsprechend eli und tii auf, wobei sgmtliche Matrixelemente reell bleiben (vgl. hierzu [7]). Wir betrachten nun das (inkrementelle) gandwertproblem einer einachsig vorgespannten
Schicht. ~Die l~andbedingungen (2.2') bzw. (2.4') lauten bei x = - - L / 2 und x = L/2 rait s = - - X / E ~ 1
~w a x = 0 oder u = 0 und v-}-~x 27 0 oder w = 0 (2.24)
sowie bei z = 0 und z = h
C z = 0 oder w = 0 und v = 0 oder u = 0 . (2.25)
H. Buffer and H. Kennerknecht: Elastische Stabiliti~t ebener Laminate 151
Ffir die Stirnfl/~chen gelten gem~I~ Bild l a die gandbedingungen (2.24/2) und (2.24/3); sie 2z
werden durch den Ansatz (2.11) mit 2 = - - n (n = 1, 2 . . . . ) identisch erfiillt. Ebenso kSnnen L
an den Stirnflgchen des Brides l b die gandbedingungen (2.24/1) und (2.24/4) dutch den Ansatz
(2n -- 1) befriedigt werden. (An den Stirnfl/~chen ist hier eine Schubspannungs- (2.11) mit ,~
Gleichgewichtsgrulope vorhanden). Die homogenen gandbedingungen an den Deckflgchen (2.25) liefern die Eigenwertgleichung ftir die kritische Stauchung S, bei der eine indifferente Gleich- gewichtslage mSglich ist. Zum Beispiel folgt im Falle freier Deckfl/~chen aus (2.25/1) und (2.25/3) in Verbindung mit der lJbertragungsgleichung (2.15) und der ~'bertragungsmatrix (2.21) die transzendente Eigenwertgleichung
t13 ti4 = t~a - - t14t2a = 0, (2.26) t23 tla
welche die kritisehe Stauehung S als Funktion yon ), zu berechnen gestattet. Bei Isotropie ergibt sich Ubereinstimmung mit Kreutzer [ 11].
z~
a ]" t [
b
Bild l a und b. Einachsig vorgespannte Schicht bei zwei verschiedenen Lagerungsfgllen
Liegt ein System aus N beliebigen, dutch ihre jeweilige Ubertragungsmatrix T~ eharakteri- sierten Sehiehten vor, so versehafft man sieh die Gesamtiibertragungsmatrix T, die sowohl den statischen als aueh den geometrisehen l~bergangsbedingungen exakt Reehnung trggt, gemg~
= Ts, ... T 2 �9 T 1 (2.27)
mad wendet (2.26) sinngem//13 an. Dabei kann -- insbesondere bei kleinen Wellenl/ingen der Eigenformen -- aus numerisehen Griinden das Umsteigen auf Determinantenmatrizen not- wendig werden [5, 7]. Jedenfal]s hat man mit der Ubertragungsmatrix (2.21) bzw. der hieraus ableitbaren Determinantenmatrix ein leistungsfghiges Werkzeug zur Bereehnung vorgespannter elastisch-orthotroper Laminate be]iebiger Zusammensetzung und beliebiger Schichtzahl; bis auf die Voraussetzung S ~ 1 wird dabei yon keinerlei Vernaehl~ssigungen Gebrauch gemacht.
3 RegelmiiNges, aus steifen Trag- und weichen Fiillschiehten bestehendes vorgespann/es Laminat
(Sandwiehtheorie)
Sind die T r a g s c h i c h t e n wesentlich steifer als die Fiillschichten, so zeigen sie ein platten- bzw. balken/ihnliches Verhalten, das man dutch die Spezialisierungen E ' = cx~ (keine Zusammen- drtiekbarkeit in Diekenriehtung) und G' = c~ (keine Sehubdeformation) besehreiben kann. Fiir die F i i l l s c h i c h t hingegen ist h/~ufig die Annahme E = 0 (vernaehl~ssigbare Steifigkeit in Lgngs- riehtung) gereehtfertigt. In den genannten Fg~llen vereinfacht sieh die l~bertragungsmatrix (2.21)
152 Ingenieur-Archiv 53 (1983)
wesentlieh (die Indices T bzw. F weisen auf die Trag- bzw. Fiillschicht hin):
1 --~*h*~
0 1
0 0
0
E*~ (~*h*~)~ 2h* T E*~
(~*h~)~ hT Symm.
m
,.-7- hr
(3.1)
T F ~
m
1 --,~*h~
0 1 h * . .
E7
0 0
6E~ ()~ *h~)~ Symm.
0--
(3.2)
I-Iierin bedeuten
hr hs h) h* h) h*
und
(3.3)
E, , ,, = __E~ a7 = --.a~ (3.~) E*T = --~ EF E*' E*
Aus s~mtliehen zweireihigen Unterdeterminanten yon (3.1) bzw. (3.2) errechnet sich die zu- geh6rige Determinantenmatrix T~T bzw. T~ mit den Elementen tk~; der erste Index k bezieht sich hierbei auI die Zeilen- und der zweite Index auf die Spaltenkombination, wobei die Kom- binationen 1,2; 1,3; 1,4; 2,3; 2,4; 3,4 durch die Indices 1, 2, 3, 4, 5, 6 gekennzeichnet sind. Das Ergebnis hute t
T,F ~-~
mit
"tfl tf~
il II
t~l t~ t~ t2~
t~3 = tf~ tf~
t~3 Symm.
w
t~ - 1 e
i i k
T,F e
w
a b b c d
0 1 O 0 0 Symm.
0
T,F
(3.5)
E~ (~*h~)~, b~w. aT ~ ]~Z
E*~ (~,h~)3, bT-- 2-h*T
C~ = E*T (~*h~)2 [ 1 (~*h~)2 -- S 1 h~
d~, = - ~ (~*h*~)~ - ~ (Z*~*~)~ -- S ,
e T ~ O~
/T = --g*h~,
a F = 0 ,
b F ~ 0 ~
C F ~ O,
d F ~ 0 ~
h~ [E 7 1 ] ~ = E - ~ / ~ - + ~ (~*h~)~,
/~ = - ; t*h~ , (3.6)
tI. Buffer und It. Kennerknecht: Elas~ische Stabilit/~t ebener Laminate 153
9 r = (; t*h~) 2, g~' = (;~*h~) ~,
l h*F * * - - ). hF, i T = O , i~ 2 E'~
kr = O, k~ = - ~. , EF
[T - - O, [F - - ~, .2 + (2"h~)2 LG7 J
Dabei bezieht sich die erste Spalte auf die Tragschicht und die zweite auf die Fiillschicht.
(3.6)
I
E
~-- - - -N- ]
k__
1 - - 0 - - 0
Bild 2. Regelm~iges Schichtsystem, bestehend aus m Tragschichten und (m -- 1) Frill- schichCen
Wir betr~chten nun ein regelmi~fiiges Lamina t der Dicke H, das aus m Tragschichten und m -- 1 Ffillschichten besteht (Bild 2). Das Verh~ltnis yon Tragschicht- zu Ffillschichtvolumen des gesamten Laminats sei mit ~ bezeichnet. D~nn grit
h T m - - 1 H ~ H 1 - - - - ~; hT = - - - - - ~ ; hF = - - . (3.7)
hF m m l + m - - l l + ~
Die kritische S tauchung folgt bei freien Deckflgchen aus der (2.26) entsprechenden Beziehung fiir die Elemente der Gesamti iber t ragnngsmatr ix s [5, 7]
= (%TT) m. (3.S)
Numerisch vortei lhafter ist es, die Produkt -Dete rminan tenmat r ix
~A --A--A m = (TrT z) (3.9)
zu bilden und das Element (1, 6) Nul] zusetzen:
t~ = 0. (3.10)
Fiir die numerische Auswertung werden folgende Bezugsgr6ften gew/~h]t : h* = H, E* = E~. Ferner werden die Steifigkeitsverh~ltnisse
E~ - - ET -- 700; G~ ~ _ G~ _ 0,38333; E 7 = 1 E~ E~
zugrunde gelegt und das Volumsverhi~ltnis ~ sowie die Gesamtdicke H jeweils kons tan t gehalten. Die sich aus (3.10) numerisch nach dem RestgrSl~enverfahren ergebenden kritischen Stauchungen
S sind in den Bildern 3 und 4 in Abhi~ngigkeit yon 2* = ~T/([ halbe Wellenl~nge der Eigen- l
2 Das gedankliche Hinzufiigen der obersten Ffillschicht in Bild 2 (gestrichelt) gestaltet die l~echnung rationeller und/~ndert nichts am Ergebnis
154 Ingenieur-Arohiv 53 (1983)
Iormen) mi t der Tragschichtzahl m a l s Parameter aufgetragen. Die Diagramme in Bild 3 gelten fiir $ = 0,04 (sehr diinne Tragschichten) und jene in Bild 4 fiir $ = 0,1 (etwas dickere Trag- schichten).
Man erkennt in Bild 3 die vier in der Einlei tung diskutierten Phgnomene: (a) Das langwellige (globale) Knieken naeh Art des sehlanken Euler-Stabes (mit 1 = L/2 im Fall des Brides l a und l = L im Fall des Bildes lb) , bei dem die Quersehnitte eben und orthogonal zur verformten Stabaehse bleiben. Die Asymlaeote fiir sehr kleine Werte yon 2" erreehnet sieh hier zu
[ ( 1)1 - - l @ ( m 2 - 1) 1 + ( , ~ * < 1 ) (3.11) 12 (1 + $ )2m 2 m - - 1 $
Asymptoien Asymptoten
101" ' m ='-~'~ - I ~ / I "
10- 2 r 6 s10- z 4 s 8 1 z 4 6 8 Q z 4 6 810 z 4 5 si03
Bild 3. Kritische St~uchung eines regelm~gigen Lamin~ts ($ = 0,04) - - Sandwichtheorie; . . . . . Mikros~r uktur -Kontinuums~heorie
2
10 4 8 5
2
8
4
Asympbten Asymptoten
2
10-4104 2 4 ~ s'lO -1 2 4 @ 8 1 2 4 5 ~ 10 z ~ 6 8102
Z*
BUd 4. Kritische St~uchung eines regelm~Bigen Luminats (r : 0,1) - - S~ndwichtheorie; . . . . . Mikrostruktur -Kontinuumstheorie
2 4 ~ 810 3
H. Buffer und g. Kennerknecht: Elastische Stabilitgt ebener Laminate 155
und geht ffir eine unendlieh feine Sehichtung (m = o~) fiber in den Eulersehen Ausdruck
! S = -2- ,~,2 (~* ~ 1). (3.].2)
12
(b) Das langwellige (aueh noeh globale) Knieken oinks weniger schlanken Laminats (mit l = L / 2 im Fall des Bildes 1 a u n d I ~ L i m Fall des Bildes 1 b), bei dem die Schubdeformation wesentlieh beteiligt ist und bei dem die kritisehe Stauchung gegenfiber dem Euler-Wert deutlieh zurtick- bleibt. (e) Das kurzwellige Ausbeulen (Knittern) der individuellen Tragsehiehten mit l ~ L analog jenem eines gedriiekten Balkens auf naehgiebiger Unterlage. Dureh den Minimumpunkt (2~, SB) der jewieligen S-2*-Kurve sind sowohl die Beulstauehung SB als aueh die zugeh6rige halbe Wellenl/inge 1 ~ lB unabhgngig v o n d e r L/inge des Laminats L festgelegt ~. Die links vom Beul- punkt (~* < 2~) verlaufende Knrve ist nur ira Bereieh S < SB yon Bedeutung. Die Gr613e SB selbst gndert sieh nur wenig mit der Anzahl der Tragsehiehten und kann lediglieh bei sehr kurzen Laminaten (flit 2.* > 2~) iibersehritten werden. Dann liegt (d) das kurzwellige (Eulersehe) Knieken der individuellen Tragsehiehten der Lb;nge L < 1B vor, wobei wie bei (a) and (b) 1 = L / 2 bzw. L gilt; die Fiillsehieht hat hierauf praktisch keinen Einflug. Ftir die Asymptote folgt
S = 12 12 1 $ (;~* >~ 1). (3.13)
In den Beispielen des Bildes 4 fehlt das kurzwellige Ausbeulen (e) vollst~ndig, wi/hrend die Ph~nomene (a), (b) und (d) analog zu Bild 3 herauskommen.
4 Kontinuumstheorie zur n~iherungsweisen Erfassung eines regelmiilligen Laminats
Die Sandwichtheorie in Abschnitt 3 erlaubt die exakte Bestimmung der kritisehen Stauchung fiir das dort zugrunde gelegte regelm/igige Laminar; sie ist im Gegensatz zu [4] frei yon irgend- welehen Annahmen. In diesem Abschnitt soll untersueht werden, inwieweit ein Kontinuums- modell ein regelm~l~iges Laminat besehreiben kann.
Ausgangspunkt sind die Beziehungen (2.7) und (2.8), die auf eine Tragschieht (E~ = G T = oc) und auf eine Ftillsehieht (EF -- 0) spezialisiert werden. Dann folgt zun/iehst
E~ h* ~u* axT E- ~ ~x ' ax~ : 0 (4.1, 4.2)
some
mit
~a ~a ~z A~a, ~z AFa (4.3, 4.4)
A T ~ -
o - • o as ~x E* ~x 2
, ET 82 0 0 - - h - - - -
E * Ox s
0 Symm.
0
(4.5)
3 Es muB jedoeh im Fall des ]3ildes la L = 2nl mid im Fall des Brides lb L = (2n -- 1) i mi~ ganzzah- ligem n sein
156 Ingenieur-Archiv 53 (1983)
A F =
0
0
0
E* h*E'F
a o o
~x
o o
E* Symm.
h*G)
und hieraus dureh formales Integrieren fiber z
a(hT) = eA~h~a(0) = T~(hT) a(0) und
a(h~) = eAd'~a(O) = TF(hr) a(O) mit
und
1
0
T T = 0
0
__hT 3 DT h,h2T ~ h,hT [(BT a-~ 2E* 0x ~ E-*
DT ~2 1 E* h*hT - - ~x ~
0 Symm.
T F
1
0 E* h~
2DF h* 0x
E* hr
I)F h*
(4.6)
(4.v)
(4.8)
E* ~z - ~ + ~ 7 S --~x ~
(4.9)
- - hF ~ x
1
Symm.
0 0
0 (4.1o)
( m - - 1) ~ hF - - 1 - - ~s, (4 .15 )
(m-- 1) ~ d- m' h
oder ~quivalent ~ -- 1 und ~ (Bild 2)
a~+l = TFTTa~-I bzw. a~ ~ TFTTa~_I,
die sich auch in Form der Differenzengleichung
a~ -- a~_~ TFTT -- I hr § hv hr + hF
schreiben l~[tt, gekennzeichnet. Mit (3.7) wird
(m - 1) ~ § m hT h = h T @ h F = H m ( m _ 1)(1 @~)' h
(4.14)
(4.13)
worin als Abkiirzungen die bezogenen Dehnsteifigkeiten DT, Dr, die bezogene Biegesteifigkeit BT und die bezogene (hShere) Dehnnachgiebigkeit Ns
1 ETh~, (4.1U D T = ET, BT ~---~
1 h~ (4.12) D F = G , N F = 1--i
vorkommen, deren riehtige Plazierung in (4.9) und (4.10) im Anhang noeh naehgewiesen wird. Der Ansatz (2.11) fiihrt (4.9) und (4.10) unmittelbar in (3.1) und (3.2), die Bausteine der Sandwich- theorie, fiber. Letztere ist dureh eine finite Beziehung in Dickenriehtung des Lamin~ts, n~mlieh dureh die (~bertragungsgleichung einer Doppelschicht mit den Randnummern k -- 1 und k + 1
und
nach
Ein
setz
en y
on (
4.9)
und
(4.
10)
l~I~
t sic
h (4
,14)
am
schr
eibe
n in
~ --
~
-1
h -
-
M(h
) a~
_~,
(4.1
6)
wob
ei d
ie O
pera
tore
nmat
rix
M i
n (4
.17)
aus
fiih
r]ic
h ge
schr
iebe
n is
t. D
abei
ist
die
Abh
s de
r D
oppe
lsch
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dick
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und
des
Ver
h~lt
niss
es
yon
der
Anz
ahl
m d
er T
rags
chic
hten
gem
~[~
(4.1
5/1)
un
d (4
.15/
2)
zu b
each
ten.
Es
gilt
:
m
0
M(h
) =
(1--
~)2
E*
h a
�9
~x
0 1 E
*
h 2
t 2
(1 +
(p
)(1
-- (
p)z D
~ h*
ax ~
E*
1--~
D+,
, h*
2 D
~ h*
tx
1 E
* h
t ,_ a
~ (1
-- ~2)
2 D
~ h*
ax
~ (2
-
v) v
~-7
~*
~ --
~
x a
DT
~2
l--~
--
h,
* --
I
E*
~x ~
] I D
T (04
--
~-- (
1 -
-
~)~
+ --
h
8
,,
I 4
Dr
~x ~
(1--
~)~
DT
h(i
~
] .
..
..
..
.
[ 1
DT
~a
r -~
(1
--
~
)--
--
I D
F
Ox a
l I I [
a2 )
t~
- -
N~
~ ~x
-- ~
~:c
2
4 E
* ~x
2
h*
h-
2 E
* ~x
a
1 B
T D
T ]
a2
ET
1 ~3
•
ax-- ~ +
-~ S
j ax
-- ~
+
O 3
a X
~x 3
~x
~2
OT
]
~2
x O
x---
~-I=
-~FS
j h
-- ~x
2
(4.1
7)
| E
9~
9z
r
158 Ingenieur-Archiv 53 (1983)
Zu einer kontinuumsmggigen Beschreibung des Laminats ersetzen wir die diskontinuierliche Variable ~ - - 1 dureh die kontinuierliehe Variable z (Bild 2). Damit geht der Zustandsvektor a.-1 in a(z) fiber. Der Grenziibergang m -+ 0o bei konstant gehaltenem Materialvolumenverhgltnis
und konstant gehaltener Dieke H des Laminats entsprieht naeh (4.15/1) bzw. (4.15/2) den Grenzfiberggngen h -~ 0 bzw. ~ --> ~o~ mit
(4.18)
Wegen (4.11/2) und (4.12/2) gilt dabei BT --> 0 und N~ -+ 0. In diesem Fall entsteht aus (4.16) mit (4.11/1) und (4.12/1) die Beziehung
mit
~a - - = M ( o ) a ( 4 . 1 9 ) 8z
M(o) - -
m m
0 8 0 S E T ~2 ~x E* ~ h * ~x---~2
ET 82 0 0 - - - - ~ h * -
E* ~x 2
0 Symm. G'F h*
E * (1 - - ~ )
E'r h*
(4.20)
welche exakt ein unendlich/ein geschichtetes Laminat reprgsentiert. Wie aus dem Vergleieh yon (4.19) mit (2.8) hervorgeht, entspricht dieses einem klassischen orthotropen Kontinuum mit den Stoffkonstanten
E~ a ' - G~ ~' = 0, (4.21) E = ~ E T , E ' 1 -- ~ 1 - - ~ "
E ~u* dessen Normalspannung ax = - h* gelngg ax = ~ S x r mit ffxT naeh (4.1) festgelegt
E* ~x ist. Die Konstanten in (4.21) ergeben sieh aueh direkt dadurch, dab man das Laminat einem homogenen Spannungszustand unterwirft und die Dehnungen und die Winkelverzerrung jenen eines gleichbeanspruchten homogenen orthotropen Kontinuums gleichsetzt.
Will man ein L~minat mit endlich vielen Schichten kontinuumsmggig beschreiben, so mug man seine Mikrostruktur berficksiehtigen, deren wesentliehe Bestandteile in der auf die Lgngen- einheit in Dickenriehtung bezogenen Biegesteifigkeit der Tragsehichten BT und ,,hSheren" Dehnnachgiebigkeit der Ffillsehiehten NF erfagt sind; d .h . diese Gr513en sind bei der Durch- fiihrung des Grenzfibergangs h -+ 0 in (4.16) konst~nt zu halten. Auf diese Weise entsteht
mit
N =
84 = 5Ta (4.22) &
0 0 ~x
DT ~2 0 0 E* h * ~ 8x--- ~
0 E* 1 -- ~s~ -- NF Symm. h-- -7-
E* 1 -- ~
D F h *
B T ~ DT ) (;92" h*v~ -k-7 ax--~ + -~7 S --ax~
(4.23)
H. Buffer und g. Kennerknecht: Elastische Stabiliti~g ebener La.minate 159
In (4.22) wird -- bedingt durch die gegeniiber (4.19) hShere Ordnung der Differentialgleichung -- ein niehtklassisehes Kontinuum besehrieben, bei dem in den Sehnittfl~iehen x ---- const Momenten- spannungen auftreten. In diesem Fall komm~ zu den Randbedingungen (2.24) zusgtzlieh
~w = ~V~NT-----0 oder - - = 0 (siehe Anhang); aueh diese werden dureh den Ansatz (2.11)
automatisch erfiillt. ~x Fiir die S~abilit/~tsuntersuchung verwenden wit in (4.22) den Ansatz (2.ll), der zu
_~a _- ~ (4.24) dz
fiihrt, wobei N aus A in (2.14) mit 1
E : q)~ET, E' = E~ G' = 1 -- ~ v' = 0 (4.25) - - ' 1 G ~ 1 - - ~ o o , 1 ~ 1 + - - = ( -2 / ~'
12EF~rr~- 1 ] sowie dutch die SubstRution
S -+ S -- 1 ( - ~ 2 " ) (4.26)
H hervorgeht, (3.7) zu beachten ist und wie friiher 2* = 7~ - - bedeutet. Folglich ist auch die beim
l
Integrieren von (4.24) anfallende l'Jbertragungsmatrix e gH in (2.21) enthalten, wenn man dort (4.25) und (4.26) beaehtet sowie h dutch H ersetzt. Die der Ermittlung der kritischen Stauehung dienende transzendente Eigenwertgleichung (2.26) lautet ausffihrlich
~/~,~t;~ + t~ - t;~ - [(~ + 21/~) t; - (~ - 2 ~ / ~ ) ~ j ~ = o , (4.27)
wobei tz,~r in (2.23), Q~,~r in (2.20), qL2 in (2.17) definiert s/nd sowie
(~ + ~)~ \0~ E~' ' (1 + ~)~ E--~ (1 + ~); ~=7- ,
~ = s - - - 1 2 1 [ ~ ( l ~ + ~) ~,1 ~, ( ; ~ = G;,
1 + 1 7 ~ ( m - 1 ) ( 1 + r
bedeuten. Fiir ;L* ~ 1 (unter der Voraussetzung m(1 -~ ~) ptotischen Darstellungen
1 2, 2 (2* ~ 1) S=l- ~ bzw.
(4.2s)
s = -(1 + ~) + - ~ ~/~ *
2
(4.27')
s = i2 ,~(1 ~) (2* >> 1) (4.30)
in lJbereinstimmung mit (3.12) bzw. (3.13). Falls die Querdehnnachgiebigkeit der Fiillschicht unberiicksichtigt bleibt, (1/E~ = 0), erhi/lt
n3an
!
- (1 + ~)~ ~ ' ~ = o, 0~ = ~ , (4.2s')
und die Eigenwertgleichung (4.27) kann nach D~rchfiihrung des Grenz/ibergangs fl --> 0 explizit nach S aufgel6st werden:
_ _ ] 2 ] 1) bzw. 2">~ 1 gelten die asyin-
(4.29)
160 Ingenieur-Archiv 53 (1983)
Fiir 2* ~ 1 bzw. +l* >> 1 folgen wiederum (4.29) bzw. (4.30), da ftir 2* >> 1 der zweite Term in (4.27') zu vernachl/~ssigen ist.
])as unendtich ]ein 9eschichtete Laminar ist in (4.27) bis (4.30) sowie in (4.27') und (4.28') als Sonderfall enthalten: Man braucht lediglich in (4.28/3) und (4.28/4) m - + eo zu nehmen. Fiir 2* >> 1 gilt dann
S -- (1 + r G} _ eonst (~* >> 1), (4.31) Er
w//hrend ftir 2* ~ 1 (4.29) zutrifft. Im Fall m -+ o~ verschwindet wegen Br = 0 und NF = 0 der Einflul3 der Mikrostruktur vollst~ndig.
Das Ergebnis der numerischen Auswertung der Eigenwertgleichung (4.27) ist in Bild 3 und Bild 4 zus~tzlieh zum exakten Ergebnis nach der Sandwichtheorie eingetragen. Es zeigt sich, dab das Mikrostruktur-Kontinuumsmodell die Phgnomene (a) bis (d) gut zu beschreiben in der Lage ist. Lediglich beim kurzwelligen Knit tern (c) -- das ohnehin nur bei relativ sehr diinnen Tragschichten auftreten kann -- sind quantitativ deutliche Abweichungen festzustellen (Bild 3). Der Grund hierfiir besteht darin, dal3 das Kontinuumsmodell nur langsam mit den Ortskoordi- naten ver/inder]iche Felder zul~13t, w/ihrend in Wirklichkeit beim Knit tern die Normalspannung (r~e und die zugehSrige ])ehnnng in benachbarten Ftillschichten verschiedene Vorzeichen an- nehmen kSnnen.
Bemerkenswerterweise besehreibt selbst das klassische Kontinuumsmodell (m ---- ~ ) mit den Materialkonstanten (4.21) die PhEnomene (a) und (b) vSllig zureiehend; jedoch erfaBt es weder das Knit tern noch das Ansteigen der kritischen Stauchung ffir 2* >> 1, d. h. bei sehr kurzen Sehichten. Die yon Sun [10] festgestellte Unbrauehbarkeit des Modells einer klassischen homo- genen Schieht mit effektivem Elastizit/its- bzw. Sehubmodul (als Ersatz fiir ein Laminat) beruht tats/~chlich auf der falschen Wahl der Stoffkonstanten, die dort entsprechend dem verwendeten Mischungsgesetz ein isotropes Material simulieren.
5 Anhang
In (4.9) und (4.10) kommen neben den Dehnsteifigkeiten Dr und D~ separat die Biegesteifigkeit BT bzw. die (h6here) Dehnnaehgiebigkeit N F yon Trag- bzw. Fiillsehieht vor. Diese GrSgen k6nnen nur dutch Betraehtung der Mikrostruktur yon Trag- und Fiillsehieht erfal3t werden, wie naehfolgend gezeigt wird.
5.1 Die Tragschicht
Auf Grund der in Abschnitt 3 postulierten Eigenschaften der Tragschicht gilt
~ = ~ + \ - 5 - Z I ~ ~ , (5.1)
wobei die Mikrokoordintae gT = hT --~- -b Zr yon ihrer Mittelebene aus z/~hlt und der Index m sich
auf diese bezieht, l~ber das Hookesche Gesetz ~r~T = ETexT lassen sich dann die mittlere Spannung 6~r und die Momentenspannung mT gem/il3
h~12
O.~.T = ~ (rxr dsT = DTemT mit DT = ET (5.2)
--hT/2
und h 7~12
1 a ~ T d ~ = BT / t m mit B T = - -~ 2
--h~12
(5.3)
H. Buffer und H. Kennerknecht: Elastische Stabilit~t ebener Laminate 161
definieren. Es bestehen die Gleiehgewiehtsbedingungen (Bild 5)
d~xT dtT ~ - hT, ~ 4- ~T~ -- ~'~ = O, hT ~,x 4- a~T~ - - (~T~ 4- hTZ d~W~dx ~ = O,
d fft r 1
dx
/ ~r~dx
(Z+axr)hr r z
io'~ndx Bild 5. Gleichgewicht am Tragschichtelemen~
(5.4)
und die kinematischen Relationen
WT1 - - W T 2 ~ O , gT1 - - UT~ -~ hT dwT ~exT, d2WT dX ' ~ T dx ~ '
2 ~x
(5.5)
Die Gleiehungen (5.5/1) bzw. (5.5/2) sind bereits mit der vierten bzw. dritten Zeile yon (4.9) identiseh. Die zweite Zeile ergibt sieh aus (5.4/1), wenn man dort a~r gemiig (5.2), em~- gemi/g (5.5/4) und uT~ gem/~6 (5,5/2) eliminiert. Die erste folgt sehlieglieh dureh Elimination yon tT
auS (5.4/2) mittels (5.4/3), yon N~, mittels (5.3), yon vr: mittels (5.4/1), yon 8~T gem/~6 (5.2), yon ~z~T/~Sr mittels (5.5/3), yon %T mittels (5.5/4) und yon ur2 mittels (5.5/2). Wie man aus (5.3) erkennt, bedeutet BT = 0 die Aussehaltullg des Einflusses des Dehnungsgradienten ~ezT/~gT,
5.2 Die F,~llschicht
Die Gleichgewichtsbedingungen eines Elements lauten bei Beachtung von a~F = 0 (Dehn- sehlaffheit in x-gichtung)
~TF = 0, 0~r ~ 8~F = 0. (5.6)
ttieraus folgt VF ~ vrl = rE2 ~ ~(X) und
Das Hookesehe Gesetz reduziert sieh auf
1 1 1 8zF ~ : ~ f f z r , ~2 F := - ~ 72 F ~ - ~ T F 1 . (5.8)
E~ GF --F
Mit (5.8/1) kann man die mittlere Dehnung #~r und die ,,hShere" Oehnung ~ gem/~B
hFl2 1 ~ 1
S~F =:~F f l e~PdSF=~FF ~ r mit D r - ~ E f (5.9)
-- hF/2
162 Ingenieur-Arehiv 53 (1983)
und
hF[2
--he/2
m i t N F - 12E~.
(5.10)
definieren. Fe rne r werden die k inemat i schen Gleichungen
OwF ~UF ~WF (5.11) ~ - ~sF' 7F = es--~+ ~--~-
benSt igt . Aus (5.6/2) erh~lt m a n
6 Z F 2 - - f f z F l = - -hF ~TF1 (5.12) ~x
und d a m i t die erste Zeile von (4.10), w~hrend die zweite die Aussage TF~ - - TF1 = 0 be inhal te t . Die vier te Zeile folgt aus (5.9) m i t (5.11/1) und (5.7) mi t 5r = - - h J 2 sowie (5.6/2). We i t e rh in e rg ib t sich aus (5.8/2) und (5.11/2) nach dem In tegr ie ren
wobei
h[,/2 I / OwF "--7 TmhF = uF~ - - UF1 4- d ~ , r
--hE/2
hF/2 h2,[2
.J --hF[2 --hF[2
und wegen (5.10) und (5.6/2)
b y / 2
f ~ ~zF ~2TFI
--hF[2
ist. Das l iefert schliel~lich nach E l imina t ion yon wF2 mi t te l s der l e tz ten Zeile von (4.10) die dr i t t e Zeile in (4.10). Aus (5.10) istc ersichtl ich, daS N F = 0 der Ausscha] tung des Einflusses des Span- nungsgrad ien ten ~a~F[~5F gle ichkommt.
Literatur
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dere in der Elastizit~tstheorie. Ing.-Arch. 45 0976) 229--242
Eingegangen am 19. Februar 1982
Prof. Dr.-Ing. H. Buffer
Dr.-Ing. tt. Kennerknccht insti tut for Mechanik (Bauwesen) Universit~t Stuttgart Pfaffenwaldring 7 D - 7000 Stuttgart 80 Bundesrepublik Deutschland
