%. awew. Math. Me&. Bd. 25/27 Nr. 5 /6 Aug./Sep€'. 1947 A. Angewandte Mathematik

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Zur Uurchfulirung dieser Fehlerschrankenbestimmung werden zwei linear unabhangige Naherungslijsungen benotigt. Um mit einer nach einem Naherungsverfahren berechneten Losung auszukommen und urn die independente Fehlerabschatzung auch im voraus durchfiihren zu konnen, werden die folgenden Abschatzungen en twickelt, die durch den Koeffizienten der Differential- gleichung und die Anfangsbedingungen gegeben sind.

C . A b s c h a t z u n g e n f u r y u n d y i n (1). IJnter der Voraussetzung c ( t ) 2 C > 0 fiihren wir die Funktion ein:

L'nler andereii crgchen sit41 danii die hbschatzungeii :

(Po, yo, . . . Wertc an der Ausgangsstelle). K( x, z ) , h-'(z, z ) lassen sich als Losungen dcr Diffe- rentialgleicliung (4) mit Q = 0 ebenfalls abschatzen. Erweilerungeu auf unstetige c- Gesetze und auf die inhomogene Differentialgleichung sind moglich. Ebenso konnen gewisse nichtlineare Differenlialgleichungen behandelt werden. Fur allgemeine c-Gesetze lassen sich aus anderen oberlegungen heraus weitere Abschatzungen herleiten.

Die Erfahrung hat gezeigt, daB in vielen Fallen die entwickelten Methoden anderen Nahe- rungsverfahren zur Auflosung der Diffcrentialgleichung 2. Ordnung, z. B. dem Verfahren nach R u n g e - K u t t a - N y s t r o m , uberlegen sind, ganz abgesehen von der hier moglichen Fehler- abschat zung .

Elementare Behandlung des Helmholtzschen Raumproblems. Von Gtinter Pickert in 'Tiibingen.

Bei einer Uarstellung der analytischen Geonictric wird der fjbergang voii der affineii zu melrischen Geometrie, also die Einfuhrung der pytliagorcischen Metrik, am anschaulichsten in der Behandlungsweise des I-I e 1 m h o 1 t z schen Raumproblems bewerkstelligt : An eine gewisse Gruppe linearer homogener Transformationen, der ,,Drehungen um den Nullpunkt", wird die Forderung der freien Beweglichkeit gestcllt, cl. h. jedes System inzidenter Richtungselemente - im dreidirnensionalen Falle reprasentierl durch Halbgcrade und Halbebene - sol1 durch genau ein Gruppenelement in ein beliebig vorgegebenes derartiges System iibergefiihrt werden; dann gib t es eine beziiglich der Gruppe invariante posiliv-definite quadratische Form, und die Gruppe bestcht genau aus denjenigen Transformationen positiver Determinante, die diese Form invariant lassen. Dcr damit aiisgesprochene Gruppensatz ist jedoch bisher Iiur unter geometrisch schlecht ausdruckbaren Zusatzvoraussetzungen und nicht elementar bcwiesen worden. Seine vorgeschlagene Verwendung wird ersl dadurch moglicli, da13 er im folgenden fur den dreidimensionalen Rauni elementar - insbesondere also ohne Benutzung infinitesimaler Transformationen - und ohnt Zusatzvoraussetzungen hergeleitet wird.

Kleine deuische Buchstaben bedeuten Vektoren, kleine lateinische reelle Zahlen, und die Elemente der in Frage slehenden Gruppe C4 vierden mit grogen lateinischen Buclistaben als Links- operatoren geschrieben, wobei E die identische Transformation bedeutet. Die Forderung der freien Beweglichkeil 1aBt sich im tlreidimensionalen Fall zerlegen in

I : \Venn (I, 6 und c. b jc linear-unabhangig sind, so gibt es ein R € 8 rnit Ra = re ( r > 0),

11: \Venn 11, 0 linear-unabliiingig sind und An = n a (a> O), R 6 = C(I + d b (d > 0) gilt, so

Uurch Bctrachlung der eine Ebene in sich uberfithrenden Elemenle von 8 zeigt man nun, es zu vorgegebenem a =+ 0 genau ein R El (g mil Ra = a, R2 = E, R $: E gibt. Diese Transfor- mation besitzt nur noch -1 als weiteren Eigenwert, so da13 die zu diesem gehorigen Eigenvek- toren eine durch (I eiiitleutig bestimmte Ebene Q, bilden. Fur b $. 0 ist dann die Bezeichnung b 6 E,, synimetrisch i n a, b und definiert das Senkrechtstehen der beiden Vektoren aufeinander. Der Nullvektor wird als zu jedem Vektor senkrecht .bezeichnet. Der so eingefiihrte Orthogonali- tatsbegriff ist invariant gegenuber @. Der Betrag a eines Vektors a wird nach Wahl eines ,,Ein- hcitsvektors" e =/= 0 in Xachbildung des tatsachlichen MeBvorganges als diejenige Zahl a 2 0 bczeichnet, zu der es ein R niit Ra = ae gibt. Die Unabhangigkeit des Faktors a von R und dabei

R b = s c + t b (t> 0).

ist R = E .

die Uerechtigung der Definition folgt aus der ‘Tatsache, da13 Re = ze (z> 0) stels z = 1 nacli sich zieht . I>er Hetrag erweist sich als charakteristische Invarianle eines Vektors. Jedtr Vektor b 1aBt sich nun eindeutig nacli a und @, zerlegen, (1. h. es gibt cine durch a, b eindeutig bestinimte Invariante p , so darj 6-90 senkrecht zu (z ist. Ilurch

ist j e t z l cine invariante symme.trisclic Uilinearform definiert, so daW wir in la 12 die gewunschle positiv-definite quadratisc he Form gefunden hahcn. Wird die Gruppe der diese Form invarian 1 lassenden linearen homogenen Transformationen mil b l , die IJntergrrippe derjenigen von posi- tiver Determinante mit b, hezeichnet, so erltennt Inan b3 .- c M, also, da w t y p I1 nicht @ = h,!! sein kann, (3 = b3.

Fur zwei Dimensionen ist der entsprechende Satz ohne weitere Zusatzvoraussetmngen

)mit o ~x < 2n, I’alsch : Ein Gegenbeispiel wird durcli die Gruppe der Matrizen

unstetigem ,f, f ( z + y ) ==f(s) + f ( y ) , f ( n ) = 0 geliefert. Fur n> 3 gelang wedcr die Aufstcllung cines Gegenbeispiels noch dcr Ueweis des Satzes. Aus dcr abgeiinderten Voraussetzung

I f ‘ : Aus 11 $I 0 untl Rn == n a ( u > 0) folgl n =- 1

und 1 folgt aber allgemein irri n-dimensionalen liauin (n 2 3 ) die Existenz einer invarianten positiv- dcfinilen quadratischen Form. Aus I, als dem n-dimensionalen Analogon von I und der Existenz einer solchcn Form ergibt. sich weiter, dqI3 @ entweder = b, oder -- b;, ist. Die zweite Miiglich- keit karin etwa durch dic Forderung

111,: Sind die a i ( i = 1,. . ,n--I) linear unabhangig, so folgt aus Riri =: C I ~ (i- 1,. . ,n-l) I3 =1 E’

ausgeschlossen werden. Aus den anscliaulich plausiblen Fordrrungen I,,, II’, 111, 1aBt sich also auch alIgemein fiir n 2 3 die metrische Geomet.rie gewinnen.

cosz s i n z -sin cos (

Uber die Anwendung der affinen Abbildung in der Geodasie: Von H . dlerkel in Karlsruhe.

In dvr Geodasic. ergibt sich (if tcrs die Aufgabe, cin sekundAres lrigonomelrisches Xetz an ein crneuertes Hauptnetz an.zuschlierJcn, mit andercn Worten, ein Festpunktfcld so auf ein anderes abzubilden, darj glcichnamige identische Punkte zusarnmenfallen und gleichzeitig gewisse prak- tisehe Bedingungen erfiillt werden. Die strenge Durchfiihrung der beltannten AnschluBverfahren ist sehr zeitraubend und umstandlich. Eine brauchbare Liisung der Aufgabe liefert die affine Abbildung, wobei durch eine masehenwieise Anwendung die I7orderungen der Praxis in einfacher Wrise zu crreichen sind.

Neuere Ergebnisse uber Sphiiroid-Funktionen. Von J . Meixnsr in Aachen.

Die IXfferentialgleichung der Spharoid-Funktionen

wo 2, y und m Parameter sind, entsteht bei der Separation der Wellengleichung in rotationsellipti- schen Koordinaten. Ihre Liisungen, die Sphiiroid-Funktionen, sind in den letzten Jahren ver- schiedenllich unlersucht worden. lh rc l i Arbeiten von U o u w k a m p I), C h u und S t r a t - t o n 2 ) , G e p p e r t und Mitarheilcrn3) rind durcli den Verfasserq) hat die Theorie der Sphiiroitl- Funktionen soviel Ftirderung erfahren, darj ihrer praktischen Anwendung auf Iiandwertprobleme aus Physik und ‘I’echnik im allgenieinen keine besonderen Schwierigkeitcn mehr entgegenslehen.

Ober einige weitere ISrgebnisse sei im folgenden kurz berichtet. Die in 4, angegebenen asynip- totischcn Ikihen nach fallenden Potenzen von y fiir die Eigenwerte I der Differentialgleichung (1) konnten uni zwei (;lieder erweitert werden: sic sind damit ehensoweit bekannt wie die asymy-

I ) C h. J . B o u w k a IU p : 1)ius. Groningcn 1941. e, I;. C h u wid J . A. S t r a t t o n: Journ. Math. Physics 20 (1941). S. 259. 3, H. G e p p e r t und *Mitarbeitcr: Zwei Herichte der ZW13 1944. ’) J. JI e i x xi c r : Bericht -dcr ZWU 1944.