Endliche verallgemeinerte metrische Ebenen mit starren Richtelementen

Vol. 30, 1978 27

Endliche verallgemeinerte metrische Ebenen mit starren Richtelementen

Yon

G~I~TER H~I~BECK

In [9] hat R. Wag~er eine Charakterisierung yon metrischen Beweg~ngsgruppen angegeben. Ausgegangen wird yon einem n-dimensionalen projektiven Raum fiber einem kommutativen euklidischen archimedisch-angeordneten KSrper. Ein J~icht- element -- das ist eine maximale Ket te ineinanderliegender Unterri~ume -- heii~t starr bezfiglieh einer Gruppe yon Projektivitaten, wenn seine Standuntergruppe die Ordnung 2 n und den Exponenten 2 hat. Das Hauptergebnis besagt, dal~ eine Gruppe yon Projektivitaten, ffir die es ein starres, lokal frei bewegliehes Richtelement gibt, eine metrische Bew%o~angsgruppe ist. Dieses Ergebnis ist zwar unter sehr scharfen Voraussetzungen gewonnen, doch verdient die Tatsache Beaehtung, dai~ hier - - im Gegensatz zu den bekaImten Begriindungen der absoluten Geometrie yon Kinder und Ewald -- alle Geometrien im Sinne yon Cayley und Klein erfaSt sind.

Meine Bemiihungen in [5] zielten unter anderem darauf ab, die Tragf~higkeit des Starrheitsbe~oTiffes zu erkunden. Einen Versuch in dieser Richtung gebe ieh hier wieder. Eine endliche verallgemeinerte metrische Ebene, in der alle Richtelemente starr sind beziiglich der Bewegungs~oTuppe, ist -- yon einem einzigen Falle abgesehen - - eine metrische Ebene im Sinne yon Baehmann (vgl. Satz 3).

Ieh mSehte es nicht vers~umen an dieser Stelle Herrn Professor Dr. R. Wagoner fOx seine Unterstiitzvmg, die er mir angedeihen liefl, meinen Dank auszusprechen. Den Herren Professoren Dr. H. Heineken und Dr. H. Lfineburg danke ich fiir Hin- weise.

1. Yerallgemeinerte metrische Ebenen. Wir geben zuns das Axiomensystem ffir verallgemeinerte met~sche Ebenen an und fixieren die Bezeichnungsweise. Einer verallgemeinerten metrischen Ebene liegt eine mit einer Orthogonalit~tsrelation • zwischen Geraden ausgestattete Inzidenzstruktur (~, | I , _L) zu~oTunde; die Ele- mente yon ~ heiBen Punkte (P, Q, R . . . . ), die yon @ Geraden (g, h,/c . . . . ). Eine orthogonale KoUineation ist eine bijektive Abbildung der Punkte und Geraden je auf sich, die Inzidenz und Senkrechtstehen erhiilt. Unter einer Spiegelung an der Geraden g e | versteht man eine involutorische orthogonale Kollineation, die g punktweise lest l~Bt. (~, @, I , i ) heil3t eine verallgemeinerte metrische Ebene, wenn folgende Axiome erf'dllt sind (vgl. [2], S. 24 und S. 305).

28 G. HE!MBECK ARCH. MATH,

1. I n z i d e n z a x i o m e .

a) Je zwei verschiedene Punlcte haben genau eine Verbindungsgerade.

b) Es gibt mindestens zwei Punkte.

2. O r t h o g o n a l i t s

a) _j_ ist symmetrisch.

b) Zwei Geraden, die zueinander senl~recht sind, haben einen .Punkt gemeinsam.

c) Dutch ]eden Punk( gibt e~ eine Gerade, die au/ einer vorgegebenen senkreeht 8teht.

d) Dutch einen Punkt einer Geraden geht nut eine zu dieser senkrechte Gerade.

3. S p i e g e l u n g s a x i o m .

Jede Gerade ist Achse einer Spiegelung.

Eine verallgemeinerte metrische Ebene heil3t metrische Ebene, wenn zus/~tzlich gilt das

A x i o m y o n d e n d r e i S p i e g e l u n g e n .

Ein ProduIct yon drei Spiegelungen an Geraden, die einen Punkt oder ein Lot gemeinsam haben, ist eine Geradenspiegelung.

In der Bezeichnungsweise halte ich reich weitgehend an [2]. (P, Q) bedeutet die Verbindungsgerade 4er verschiedenen Punkte P und Q. Die rmch [2], S. 27, Satz 3 eindeutig bestimmte Spiegelung an der Geraden g wird mit cg bezeichnet. Zwei Ge- raden stehen genau dann aufeinander senkrecht, wenn das Produkt ihrer Spiegelungen involutorisch ist ([2], S. 28, (5)). Setzt man zwei Spiegelungen an zueinander senk- rechten Geraden dutch den Punkt P zusammen, so erhiilt man eine Spiegelung am Punkt P, d.h. eine Involution, die P geradenweise fest l~Bt. I~'ach [2], S. 27, Satz 4 gibt es nur eine solche Spiegelung; wir bezeichnen sie mit ap. Ein Punkt P liegt genau dann auf einer Geraden g, wenn apag involutorisch ist ([2], S. 28, (6)). Gibt es durch den Punkt P zwei verschiedene, zu p senkrechte Geraden, so heiBen P und p polar. Gem~B [2], S. 27, Satz 5 sind P und p genau dann polar, wenn ap = ~ gilt. Die Bewegungsgruppe B einer verallgemeinerten metrischen Ebene ist erkls als Erzeugnis der Geradenspiegelungen.

2. Endliche Ebenen. Im weiteren betrachten wit ausschlieBlich endliche verallgemeinerte metrische Ebenen. Als erstes wollen wir iiberlegen, wie sich die Zusatz- forderung der Endlichkeit auswirkt.

Satz 1. Die einer endlichen verallgemeinerten metrisehen Ebene zugrunde liegende lnzidenzstruktur ist eine a]/ine Ebene und zwar eine Translationsebene ungerader Ordnung. Ein Produkt von drei Spiegelungen an Geraden mit einem gemeinsamen Lot ist eine Geradenspiegelung.

Beweis . In [8] werden endliche, mit einer Orthogonalit~tsrelation fiir Geraden ausgertistete Inzidenzstrukturen untersucht, die den Axiomen 1 a und 2 geniigen und in denen es ein Dreiseit mit genau einem rechten Winkel ~bt . Es ~drd bewiesen,

Vol. 30, 1978 Endliche verallgemeinerte metrische Ebenen 29

dab jede solehe Inzidenzstruktur eine~affine Ebene ungerader Ordnung ist ([8], S. 1079, Theorem 1). Da die Existenz des erforderlichen Dreiseits in unserem Falle miihelos sichergestellt werden kann, erweist sieh die einer endlichen verallgemeinerten metrisehen Ebene zugTunde liegende Inzidenzstruktur als eine affine Ebene ungerader Ordnung. Weft es zu jedem Punkt P eine Spiegelung ap gibt, ist die Ebene nach [7], S. 158, Satz 3 eine Translationsebene. Der Beweis des eben zitierten Satzes zeigt, dal3 jede Translation als Produkt yon zwei Punktspiegelungen dargestellt werden kann; dariiber hinaus ist einer der beiden Faktoren frei vorgebbar. Also ist das System der Punktspiegelungen dreispiegelig. Hieraus e r~bt sich die in unserem Satz behauptete Dreispiegelungseigenschaft. Haben n~mlich die Geraden g, h, k ein ge- meinsames Lot l, so ist (ag~n o-k)al ~-- (O-g O'l)(ah o-l)((7k o-l) ein Produkt yon drei Spie- gelungen an tbml~ten yon l, das l lest l~$t. Weft bei einer Punktspiegelung einer affmen Ebene nur die Geraden dureh das Zentrum lest bleiben, ist (o-g o-a o-k)az eine Spiegelung an einem Punkt yon 1. Daraus folgt, dal3 o-a aa o-k eine Geradenspiegelung ist.

Im AnschluB an den eben bewiesenen Satz wollen wir drei auf der Hand liegende Bemerkungen einffigen. Erstens gibt es in einer endlichen verallgemeinerten metrischen Ebene kein polares Paar Punkt-Gerade, weft Punktspiegelungen und Geraden- spiegelungen versehieden sind. Demnach sind alle Lore eindeutig bestimmt. Zweitens sind Existenz eines gemeinsamen Lores, Lotgleichheit und Parallelits fiir zwei Ge- raden gleiehwertige Eigenschaften. Zwei verschiedene Geraden mit einem gemeinsamen Lot haben keinen Punkt gemeinsam, sind also parallel. Sind zwei Geraden g, h parallel, so f~lle man yon einem Punkt P I g ein Lot l auf h. Die zu I senkreehte Gerade durch P ist die Parallele zu h durch P, also gleieh g und somit ist 1 ein ge- meinsames Lot yon g und h. Diese Uberleg~ng zeig~c, dal3 das Lotbiischel yon g in dem yon h enthalten ist; weft man g und h vertauschen darf, sind die Geraden lot- gleich. Drittens ist wegen Satz 1 eine endliehe verallgemeinerte metrische Ebene genau dann eine metrisehe Ebene, wenn die Geradenspiegelungen der Standunter- gruppe Bp eines Punktes P dreispiegelig sin&

Ehe wir unsere Betraehtungen fortffihren, notieren wir eine einfaehe Folgerung aus Satz 1.

Hilfssatz 1. In der Bewegungsgruppe B einer endlichen verallgemeinerten metrischen Ebene gilt:

a) Die Standuntergrup~e Bp eines Punktes P ist ein Komplement der Translations- gruppe T.

b) Die Grul~pe Bp wird yon ihren Geradenspiegelungen erzeugt.

Bewei s . a) Weft Translationen @= id fixpunktfrei sind, ist Bp n T = {id}. T operiert transitiv auf den Punkten, also ~ l t B ---- Bp- T. b) H c Bp sei das Erzeug~is der Geradenspiegelungen aus Bp. H . T enths alle Geradenspiegelungen, stimmt also mi t /3 fiberein. Demnach ist H ebenfalls ein Komplement yon T, es folgt H = Bp.

Als ns nehmen wir uns vor, eine ~bersicht fiber die endlichen verallgemeinerten metrischen desarguesschen Ebenen zu gewinnen. Der Koordinatenk6rper einer solchen Ebene, deren Ordnung wir mit n bezeichnen, ist das Galoisfeld GF (n) mit

30 G. HEIMBECK ARCH. MATH.

yon 2 verschiedener Charakteristik :p. Die Geradenspiegelungen werden dargestellt dureh lineare Involutionen mit Determinante - -1 . Also kann man sieh die Stand- untergruppe Bp eines Punktes P a l s Gruppe yon linearen Transformationen mit 4- 1 als Determinante vorstellen. Die Untergruppe Sp der Abbildungen aus B~, die P geradenweise lest lassen, besteht aus Streekungen; sie enth~lt in jedem Falle (ap). Wegen der Determinantenbedingung ist Sn entweder (ap} oder eine zyklische Gruppe (c~) der Ordnung 4 mit co 2 = an. Auf der Ferngeraden induziert Bp eine zu B~ : ~ Bp/Sp isomorphe Untergruppe yon PGL~ (n). Weft man PGL2 (n) in PSL2 (n 2) einbetten kann, ist ]~p isomorph zu einer Untergruppe yon PSL~ (n2). Naeh einem Satz yon Diekson ([6], S. 213, 8.27) hat PSL2(n 2) nut Untergruppen folgender Typen : Elementar-abelsche p-Gruppen und gewisse Erweiterungen solcher Gruppen, zyklische Gruppen, Diedergruppen, 9~4, | 9/5, PSL2(p~), PGL2 (pk). Bn enth~lt kein Element der Ordnung ~0, denn jede Abbildung =~icl aus Bp hat wegen der In- varianz der Rechtwinkelinvolution entweder keinen Fixpunkt oder zwei. Aul~erdem erzeugen die �89 + 1) Bilder der Geradenspiegelungen die Gruppe Bn. Also ist Bp isomorph zu einer Diedergruppe oder zu | oder zu 9/5 . Wir gehen nun die verschiedenen M6glichkeiten, die sich ergeben haben, der Reihe nach durch. Den kanonisehen Homomorphismus Bn ---> B y deuten wir dutch ~berstreiehen an.

I. ord Sn ~ 2.

Man bemerkt:

(*) .Fiir Geradenspiegelungen al, a2, a3 e Bp ist al as a3 ~ id.

Ws ala~a3 ----- id, so h~tte man ala2 ----- a3 oder ala2 ~ a3ap. Beides ist lmm6g- lich, delm ein Produkt von zwei vertausehbaren Geradenspiegelungen ist an oder id.

Aul~erdem gilt :

(**) Sincl die .Bilder der Geradenspiegelungen dreis2iegelig, so auch die Geraden- spiegelungen selbst.

1. Bn ist eine Diedergruppe.

,r ord 13p ---- 4.

Zwei Involutionen aus ~p werden yon Geradenspiegelungen induziert, die dritte wegen (*) nicht. Die Bilder der Geradenspiegelungen in Bn haben die Dreispiegelungs- eigenschaft, wegen (**) hat man eine metrische Ebene fiber G~v(3).

ft. ord ~n ~> 4.

i. Die Zentrumsinvolution yon tip kann nicht durch eine Geradenspiegelung induziert werclen.

Die Involutionen der Nebenklasse verteilen sich auf h6ehstens zwei Konjugierten- klassen. Gibt es zwei Klassen, so erzeugt eine Klasse alleine /~n nicht. Also werden alle Nebenklasseninvolutionen yon Geradenspiegelungen induziert. Die Bilder der Geradenspiegelungen sind dreispiegelig, wegen (**) ist die Ebene eine metrische Ebene. ii. Die Zentrumsinvolution yon ~n wird yon einer Geradenspiegelung a0 induziert.


Wegen (*) induzieren die Geradenspiegelungen ~ a o , aoap nur die eine Kon- jugiertenklasse yon Involutionen in der Nebenklasse. Diese Klasse enth/ilt

-l-(n + ~) - i = -l-(n - ~)

Involutionen. Fiir eine Geradenspiegelung a 4 ao, ffoap ist ~ ~0 wegen (*) eine In- volution aus der Konjugiertenklasse yon Involutionen, die nicht yon den Geraden- spiegelungen induziert werden. Also ist �89 ungerade, - -1 ist Nichtquadrat in GF(n). Die Geradenspiegelungen sind nicht dreispiegelig.

2. / ~ --~ |

Wenigstens eine ungerade Involution karm durch eine Geradenspiegelung induziert werden und dann alle. Wegen (*) sind die geraden Involutionen nieht durch Ger~den- spiegelungen induzierbar. | enths 6 Transpositionen, somit ist ~-(n § 1 ) = 6, d.h. n = 11. Die Geradenspiegelungen sind nicht dreispiegelig.

3. ~ P ~ 5

ist unm6glich. Mindestens eine Involution aus ]3~ wird durch eine Geradenspiegelung induziert, wegen der Konjugiertheit der Involutionen in ~5 dann a]le. Das fiihrt auf einen Widerspruch zu (*).

II . ord Sp = 4.

Jetzt ist -- 1 ein Quadrat in GF (n). Die Streckung co e S~ ist wegen det co = -- 1 Produkt einer ungeraden Anzahl yon Geradenspiegelungen. Also haben weder die Geradenspiegelungen noch ihre Bilder in 13p die I)reispiegelungseigenschaft.

1. ]~p ist eine Diedergruppe.

0r ord/3p = 4.

Mindestens zwei Involutionen aus /~p werden dutch Geradenspiegelungen induziert, naeh der Vorbemerkung dann aueh die dritte. Folglich ist �89 1 ) = 3, d.h. n---- 5.

ft. ord Bp > 4. Der Vorbemerkung zufolge hat /gp eine Zentrumsinvolution, und diese wird yon

einer Geradenspiegelung induziert.

2. PP----- ~4. Weft die Bilder der Geradenspiegelungen 1~ erzeugen, sind die ungeraden Involu-

tionen aus ~p durch Geradenspiegelungen induzierbar. Auch die geraden Involu- tionen werden dutch Geradenspiegelungen induziert, derm sonst wSre n = 11, - -1 Nichtquadrat. Also ist 1 ~-(n+ 1 ) = 9 , d.h. n = 1 7 .

3. Bp ~ ?/5.

Die 15 Involutionen aus Bp werden yon Geradenspiegelungen induziert, folglich ist ~- (n~ 1 ) = 15, d.h. n = 2 9 .

Nun wollen wir das Resultat dieser Analyse in fibersichtlicher Weise wiedergeben. Die obige Diskussion hat acht denkbare F$11e ergeben, die wir jetzt ordnen. Auf


metrisehe Ebenen fiihren 1.1.cr und 1.1./35. In den F~llen 1.1./3.ii und 11.1./3 ist /~p eine DiedergTuppe mit einer Ordnung :> 4; sie besitzt eine Zentrumsinvolution, die yon einer Geradenspiegelung herriihrt. Demuach h a t / ] p mindestens die Ordnung 8, auf der Ferngeraden liegen mehr als 4 Punkte, es folgt n > 3. Weft die Zentrums- involution mit allen yon Geradenspiegelungen induzierten Abbildungen vertauschbar ist, st immt sie auf der Ferngeraden -- yon ihren Fixpunkten abgesehen -- mit der Rechtva'nkelinvolution iiberein. Die Rechtwinkelinvolution geht also aus der Zen- trumsinvolution dadureh hervor, dab deren Fixpunkte einander zugeordnet werden. Dies gilt sinngem~B aueh f'ur den Fall II.l .=. Ebenen dieser Art bezeichne ich als modi]izierte MinIr Ubrig bleiben die drei Einzelfs 1.2, II.2 und 11.3. Wit fassen dies zusammen.

Satz 2. Die endlichen verallgemeinerten metrischen Ebenen, in denen der Satz yon Desargues gilt, lasse~ sich ~n drei Klassen einteilen.

A. Metrische Ebenen.

B. Mod{fizierte Minkowski-Ebenen (n > 3):

Die Rechtwinkelinvolution geht aus einer fixlounktbeha/teten lorojektiven Involu- tion au] der Ferngeraden dutch Zuordnung der Fixlounkte hervor.

C. Einzel/~lle :

" I i1

17

29

~p ord Sp

| 2

| 4

9~z 4

1Wun bleibt zu kl~ren, ob die angegebenen l~l le realisierbar sind. Gibt man auf der Ferngeraden einer endiichen desarguesschen affinen Ebene eine fixpunktfreie Involu- tion ~ vor und nelmt man zwei Geraden or~hogonal, wenn sie die Ferngerade in zugeordneten Punkten sehneiden, so sind die Orthogonalitiitsaxiome erfiillt. Um das Spiegelungsaxiom zu verifizieren, muB man zeigen, dab jeder Punkt der Ferngeraden :Fixpunkt einer mit ~ vertauschbaren projektiven Involution ist. Aus diesen Involu- tionen ge~iunt man dann die erforderlichen Geradenspiegelungen.

Die Realisierbarkeit der modifizierten Minkowski-Ebenen ist leieht zu sehen. Man nehme eine fixpunktbehaftete projektive Involution ~' auf der Ferngeraden. Die durch Zuordnung der Fixpunkte gewonnene fixpunktfreie Involution sei ~. Jede mit ~' vertauschbare Projektivit~t ist auch mit ~ vertausehbar. Also ist jeder Punkt der rerngeraden Fixpunkt einer mit 0r vertauschbaren projektiven Involution.

Nun zu den Einzelf&llenI t~iir n = 11, 17, 29 sei H eine zu ~4, ~4, 9Xs isomorphe Untergruppe yon PGL2 (11), PSLz (17), PSL2 (29). Jede PGL2 (n) enth~lt eine zu ~4 isomorphe Gruppe; das siehert die Existenz yon H i m F a l l e n = 11. In den Fs n = 17, 29 existiert naeh dem Satz yon Dickson eine Gruppe H der verlangten Art. ~'iir n = 17, 29 sind alle Involutionen aus H fiXl0Unktbehaftet. Bei n --: 11 sind die


ungeraden Involutionen fixpunktbehaftet, die geraden fixpunktfrei. Zwei versehie- dene Involutionen aus H haben keinen Fixpunkt gemeinsam, denn sonst enthielte H ein Element der Ordnung n. Jeder Punkt der projektiven Geraden fiber GF(n) ist nunmehr Fixpunkt genau einer Involution aus H; durch die fixpunktbehafteten Involutionen aus H sind die n + 1 Punkte gepaart. Diese Paarung z denke man sich auf der Ferngeraden einer affinen Ebene fiber GF (n) gegeben und verwende sie zur Einffihrung einer Orthogonalit~tsrelation. Jeder Punkt auf der Ferngeraden ist Fixpunkt einer mit ~ vertauschbaren Involution aus H, so dab gem~B Vorbemerkung jeweils eine verallgemeinerte metrische Ebene gewonnen ist.

3. Endliche Ebenen mit starren Richtelementen. Ein inzidentes Paar Punkt-Gerade nenne ieh -- [9] folgend -- ein Richtelement. Die Standuntergruppe B(p.g} eines Richt- elements {P, g} in einer verallgemeinerten metrischen Ebene enth~lt in jedem Falle die Vierergruppe {~p, ~g, ~p ~g, id}.

Definition. Das Richtelement {P, g} heiBt start bezfiglich B, wenn B{p,g} eine Vierergruppe ist.

Die Standuntergruppe B{p,g} eines Richtelements ist offenbar der Zentralisator der Vierergruppe {ap, ~g, ~pag, id} in B. Die Starrheit eines Richtelements ist also gleichwertig damit, dab die zu diesem Richtelement gehSrige Vierergruppe in B zentralisatorgleieh ist. Sind g, h zueinander senkrechte Geraden durch den Punkt P, so stimmen die Standuntergruppen der Richtelemente {P, g} und {P, h} fiberein. Also folgt aus der Starrheit des einen die des anderen. Klar ist auch, dab Bewegungen starre Richtelemente in ebensolche fiberfiihren, weil die zugeh6rigen Standunter- gruppen in B konjugiert sind.

Als einfache Folgerung aus Satz 2 erhalten wir das folgende

Korollar. Die e~dlichen verallgemeinerten metrischen desarguesschen Ebenen, in denen es ein bezi2glich der Bewegungsgrulope starres Richtelement gibt, sind

die metrischen Ebenen,

die modi/izierten MinkowJci-Ebenen mit n - - - 1 rood 4 (n > 3)

und die Ebene i~ber GF( l l ) mit ~p _~ ~4.

Beweis . In einer metrischen Ebene sind naeh [2], S. 52, Satz 26 alle Riehtelemente starr bezfiglich B. Von den iibrigen Fs in Satz 2 brauchen wir nur die mit ord Sp = 2 zu priifen. Daher steht yon den EinzelFallen nur n = 11 zur Diskussion. Hier ist ord Bp = 48, /~p enth~lt 12 Geradenspiegelungen; diese bilden eine Kon- jugiertenklasse yon Bp, well Bp auf der Ferngeraden transitiv operiert. Folglich hat die Standuntergruppe eines Richtelements dureh P die Ordnung 4, alle Richtelemente sind starr beziiglich B.

Von den modifizierten Y[inkowski-Ebenen kommen nach der Analyse, die dem Satz 2 voranging, nur die mit n ~ -- 1 mod 4 in Frage (Fall I.l.fl.ii). Ffir eine solche

Archly der Mathematik 30

321 G. HEIMB:ECK ARCH. MATH.

ist o r d / ~ = 4 . �89 - - 1) = 2(n - - 1), also ord Be = 4(n - - 1). Eine Geradenspiege- lung a0, welche die Zentrumsinvolution y o n / ~ p induziert, 1/tl~t ihre Achse und die zu dieser senkrechte Gerade durch P lest. Jede andere Gerade durch P wird durch o0 in die Senkrechte fibergeffihrt. Die n - - 1 Geradenspiegelungen aus Be, die eine Konjugiertenklasse in Bp induzieren, bilden datum eine Konjugiertenklasse in Be . Folglich sind die n - - 1 Richtelemente dutch P, die man mit den Achsen dieser 8piegelungen bilden kann, s tarr beziiglich B.

5Tun lassen wir die Voraussetzung der Giiltigkeit des Satzes yon Desargues fallen.

Satz 3. Die endlichen veraUgemeinerten metrischen Ebenen mit h6chstens zwei bezitglich der Bewegungsgruppe B nicht starren Richtelementen dutch einen Punkt sind

die metrischen Ebenen,

die modi[izierten Minkowski-Ebenen mit n =-- - - 1 rood 4 (n >3 )

und die Ebene fiber G F ( l l ) mit Bp _~ 64.

B e w eis. Wir wollen zuns eine Sprechweise vereinbaren. Die hier betrachteten Ebenen sind Translationsebenen, folglich sind die Richtelemente, die man mit einer Geraden g bilden kann, entweder alle starr oder alle nicht starr beziiglich B. Ich nenne eine Gerade g start, wenn sie in ein beziiglich B starres Richtelement eingebettet werden kann. I s t das nicht mSglich, so nenne ich die Gerade isotrop. Wie bisher bezeichnen wit die Ordnung der Ebene mit n. Die folgenden Betrachtungen spielen sich fiberwiegend in der Standuntergruppe Bp eines beliebig fixiert gedachten Punk- tes P ab. Mehrfach benutzen wir die Tatsache, dab Punkt- und Geradenspiegelungen voneinander verschieden sind. ]:)as ist eine Folge der Abwesenheit yon polaren Paaren.

(*) Ein Produlct von drei GeradenspiegeIungen aus B ist 4=id.

Nach diesen Vorbemerkungen kSnnen wir mit dem Beweis begirmen.

a) Spiegelt man eine starre Gerade g I P an allen Geraden dutch P, so erMilt man �89 -}- 1) Bilder.

Bewei s . Sind h,/c verschiedene Geraden durch P mit g~ = g~ so l~il3t oaak das starre Richtelement {P, g} lest, ist daher involutorisch und folglich gilt h _[_ k. ]:)as zeigt, dal~ die Bilder yon g bijektiv den Paaren orthogonaler Geraden durch P ent- sprechen.

zJ bezeichne die Be-Bahn einer starren Geraden (lurch P. Es gilt ord Bp = 4 l zi I ; nach a) ist f A I ~ �89 ~- 1).

b) I m Falle IAI = �89 + 1) ist die Ebene eine metrische Ebene.

Bewe i s . Be enth/ilt neben den n~ -1 Geradenspiegelungen ol . . . . , an+l die Ele- mente id, ola2, . . . , o lan+l . Wegen (*) sind diese 2(n-}-1) Elemente paarweise verschieden, wit haben alle Elemente yon Be vor uns. Je tz t ergibt sich mit (*), dab ein Produkt al a io l oj = a~a j �9 in der Form al o~ darstellbar ist. Demnach ist

{id, G1~2, . . . , ~1o~+1}


eine UntergTuppe, die in Bp den Index 2 hat. Ihre Nebenklasse ist {al . . . . , an+l}, ein Produkt yon drei Spiegelungen an Geraden dutch P ist eine Spiegelung an einer Geraden dutch P.

o) I~l > � 8 9 = n + l .

Bewei s . Weft die Bp-Bahn einer starren Geraden durch P mindestens die L~nge �89 (n q- 1) hat, nimmt 2 im Falle ]zJ ] > ~- (n q- 1) alle starren Geraden durch P auf. Der Voraussetzung unseres Satzes zufolge ist ] z J ] ~ n - - 1 . Weft die Anzahl der starren Geraden dureh P gerade ist, bleibt nur ]d ] = n • 1.

Nun kls wit den Fall ]3] - - - - n - 1.

d) ] A i [ ~ n - - l ~ n - - - l m o d 4 .

Bewe i s . Wir ffihren die Annahme 4] n - - 1 zu einem Widersprueh. Betraehtet man Bp als Permutat ions~uppe auf der Ferngeraden, so induzieren die Geradenspiege- lungen gerade Involutionen. a e Be sei eine Geradenspiegelung mit starrer Achse, T e Bp eine mit isotroper Achse. a wechselt die beiden isotropen Geraden (lurch P aus. Folglich ist r a -----rae, (~a) 2 = ap. Weft ~a nicht involutorisch ist, l~l~t es keine starre Gerade durch P lest; die beiden isotropen Geraden durch P werden ausgeweehselt. Daher induziert ~a auf der Ferngeraden eine fixpunktfreie Involu- tion, die wegen 4 I n - 1 ungerade ist.

e) I m Falle 14 ] = n - - 1 hat das Erzeugnis DR der Spiegelungen an starren Geraden dutch P i s Bp den Index 2. Ein Produkt von drei Spiegelungen an starren Geraden durch P ist eine Spiegelung an einer starren Geraden dutch P.

Beweis . Wir betrachten Bp als Permutationsgruppe auf A. Wegen 4 ~ ' n - 1 induzieren die Spiegelungen an starren Geraden gerade, die an isotropen Geraden ungerade Involutionen. Folglieh ist Dp =~ Bp. Andererseits enthi~lt Dp die n - - 1 Spiege- lungen an starren Geraden und die Zweierprodukte derselben, wegen (*) also mindestens 2 (n - -1 ) Elemente. Je tz t haben wit die Aussage fiber den Index. Der Rest ergibt sich wie in b).

f) F/~r [ A ] - - - - n - 1 ist die Ebene desarguessch, also eine modi]izierte Minkowski- Ebene.

Bewei s . Die Gesamtheit der isotropen Geraden in der Ebene besteht aus zwei Parallelenbfischeln/7, 17'. Wir fassen nun die lYlenge der Spiegelungen an starren Geraden und ihr Erzeugnis ins Auge.

~ 0 : = {zgIg e (~ - ( /7 u / 7 ' ) } , B0 : = ( ~ 0 ) .

Weft durch jeden Punkt eine starre Gerade geht, enth~lt B0 alle Punktspiegelungen. Die Gruppe B0 mit dem Erzeugendensystem ~0 erffillt das Axiomensystem ~ " fiir die Minkowskisehe Geometrie in [10], S. 148/49. Die Verifikation der einzelnen Axiome geht ohne Schwierigkeiten vonstatten; ich verzichte darauf, dies hier aus- zuffihren.

3*

36 C. HEIMBECK ARCH. MATH.

Die Inzidenzstruktur der Gruppenebene yon (B0, ~0) ist isomorph zu 5 ' : = (~, ~ - ( / /w/ / ' ) , I) .

In [10] wird die Gruppenebene (lurch I-Iinzunahme neuer Geraden unter Bei- behaltung der Punktmenge zu einer Idealebene erweitert; diese erweist sich als eine affine Ebene, in weleher der Satz yon Pappus gilt (vgl. [10], S. 167/68; S. 176, 5.10; S. 179, 6.2). Die Inzidenzstruktur 5 :----- (~, | I ) unserer endlichen verallgemeinerten metrisehen Ebene ist eine Erweiterung yon 5' zu einer affinen Ebene unter Bei- behaltung der Punktmenge. Drei kollineare l~mkte der Idealebene sind auch in 5 kollinear; andernfalls hgtten zwei yon ihnen eine starre, d.h. bereits zu 5' gehSrige Verbindungsgerade und in der Idealebene noch eine weitere. Auf Grund dieser Be- merkung kalm man einen Isomorphismus zwisehen ~ und der Idealebene herstellen.

Bei der Behandlung des Falles ILl ] = n + 1 werden zwei wohlbekannte, einfache Hilfssgtze aus der Gruppentheorie benStigt, die ich in Ermangelung einer Literatur- stelle angebe.

Hilfssatz 2. Eine endliche Gruppe mit zyklischer 2-Sylowgruppe ~-{1} hat eine Untergruppe vom Index 2.

]3 e w ei s. In der regulgren Darstellung induziert ein Element maximaler 2-Potenz- ordnung eine ungerade Permutation.

Hilfssatz 3. Hat die Kommutatorgruppe K (G) einer Gruppe G den Index 2 in G, so besitzt K (G) keine Untergruppe yore Index 2.

Beweis . Wgre L eine Untergruppe yore Index 2 in K(G), so ggbe es genau eine in G zu L konjugierte Untergruppe L':4: L. Die Faktorgruppe yon G nach dem Normalteiler L ~ L ' wgre eine Gruppe der 0rdnung 8 mit einer Kommutatorgruppe der 0rdnung 4.

Nun wenden wir uns dem Fall IAI ---- n + 1 zu. getzt karm jede Gerade g I P vermSge Bp um den Punkt P naeh Beheben bewegt werden. Alle Richtelemente sind starr.

g) Das Erzeugnis B + der Zweierprodulcte yon S19iegelungen an Geraden dutch P hat den Index 2 in Bp. B + hat lceine Untergrul~pe vom Index 2.

Bewei s . Wegen Hilfssatz lb ) ist der Index yon B + in Be entweder 2 oder 1. Um B + ~= Bp einzusehen, betraehten wir Bp als Permutationsgamppe auf der Bp- Balm eines beliebig gewghlten Punktes Q ~= P. ~(e, q) u n d i d sind die einzigen Be- wegungen aus Bp, die Q lest lassen. ~olghch ist die Lgnge der Bahn yon Q gleich } ord Bp = 2(n + 1). Auf Glalnd der unbeschrgnkten Bewegbarkeit der Geraden trifft die Balm yon Q jede Gerade durch P, und zwar in genau zwei Punkten. Eine Geradenspiegelung aus Be induziert in der Bahn yon Q eine ungerade Involution, jetz~ folgt B~ =~ Be. Jedes Zweierprodukt yon Geradenspiegelungen aus Be ist wegen der Konju~er thei t der Geradenspiegelungen in Be ein Kommutator , folglich ist B + in K(Bp) enthalten und dalm gleich K(Bp). Hilfssatz 3 erweist jetzt die zweite Behauptung als zutreffend.

Vol. 30, 1978 Endliche verallgemeinerte metrische E:benen 37

h) Die p-Sylowgruppen yon B~ sind fiir 19 > 2 zyklisch und /iir p -~ 2 verallgemeinerte Quaternionengruppen.

Beweis . Mit der Translationsgruppe T bilden wir die Gruppe B+ :_--B + - T. Wegen T c B + enth~lt sie s~mtliche Untergruppen B~- mit Q e ~. Zwei verschiedene der B~- haben nur id gemeinsam, derm eine Bewegung mit zwei Fixpunkten ist eine Geradenspiegelung oder id. Augerdem enth~lt eine Gruppe 1 ~ keine Trans- lation :~id. Nun folgt

I = ITI + I V I ( I B -I- = n'- § 1 ) = I I Q ~

= 2 (n + 1) n 2 ---- ord B + �9 ord T = ord B + .

Jedes Element ~ i d aus B + liegt in genau einer der Untergruppen T, + ( B Q ) e ~ . Wir haben eine Parti t ion vor tms! I)iese ist normal, d.h. das Komponentensystem besteht aus Konjugiertenklassen yon Untergruppen. Ferner sind die Komponenten B~ normalisatorgieich in B +. Fiir eine Part i t ion dieser Art -- man spricht yon einer Frobeniuspartition -- ~ l t nach einem Satz yon Baer ([3], S. 343, Satz 4.1), dab die normMisatorgleiehen Komponenten keine elementar-abelschen Untergruppen der Ordnung p2 enthalten. Also haben die p-Sylowgruppen yon B + je nur eine Unter- gruppe der Ordnung p. Hieraus folgt nach [6], S. 310, Satz 8.2, dab die p-Sylow- gruppen yon B + fiir io =~ 2 zyklisch and f'tir p ---- 2 zyklisch oder verallgemeinerte Quaternionengruppen sind. Weil B ) keine UntergTuppen yore Index 2 hat, sind nach Hilfssatz 2 die 2-Sylowgruppen nicht zyklisch.

Wir untersuchen jetzt die yon Bp auf der Ferngeraden induzierte Gruppe. Diese k6nnen wir mit / ~ :----Bp/<al,> identifizieren, denn ap and id sind die einzigen Bewegungen aus Bp, welehe die Ferngerade punktweise test lassen. Die kanonisehe Surjektion Bp --> Bp deuten wit wieder durch Uberstreichen an.

i) Jede involution aus B~, -- 8 + wird von einer Geradenspiegelung induziert.

B e w ei s. Well eine verallgemeinerte Quaternionengruppe mindestens die Orduung 8 hat, folgt aus h), dal3 8lord B + ---- 2(n + 1), also 4 In + 1 gilt. Die Geradenspiege- lungen induzieren daher auf der Ferngeraden ungerade Involutionen, daraufhin ist jedes Element aus Bp - - / ~ + eine ungerade Permutation. Folglich hat jede Involu- tion aus Bp - - /~+ auf der Ferngeraden einen Fixpunkt und wird also yon einer Geradenspiegelung bewirkt.

/~ bezeichne den grSl3ten Normalteiler ungerader Ordnung y o n / ~ , r := ord/~.

k) Es gilt .~+ /I~ ~-- PSL2(q) mit einer ungeraden Primzahl g.

Beweis . Wegen h) sind die 2-Sylowgruppen yon B~ Diedergruppen. Daher ist ein Satz yon Gorenstein und Walther ([4], S. 462) anwendbar. Danaeh ist J~+//~ isomorph zu einer PSL~(q ~) umfassenden Untergruppe yon PI 'L2(q ~) (q > 2 Prim- zahl) oder zu 27 oder zu einer 2-Sylowgruppe yon /~+. / ~ / / ~ ist keine 2-Gruppe, denn sonst h/~tte B~ und darm auch B + eine Untergruppe yore Index 2. g[7 kommt nicht in Betracht, weil die 3-Sylowgruppen derselben nicht zyklisch sind. Je tz t steht nur noch die erste M6giiehkeit zur Diskussion! PSL2 (qk) enth/~lt elementar-abelsche Gruppen der Ordnung qe, h) erzwingt k = 1. Nun ist PI'L2(q) = PGL2(q). Wegen


(PGL2(q):PSL2(q)) ---- 2 hat man nur noeh zu bedenken, dab t]+//~ keine Unter- gruppe vom Index 2 hat.

Als charakteristische Untergruppe yon /~+ i s t /~ ein Normalteiler yon /gp . Mit K bezeichnen wir das Urbild y o n / ~ beziiglich der kanonisehen Surjektion Bp --> ~p. Es liegt in B + und ist normal in Bp, man hat B~/K ~--- 19p/K.

1) K stimmt mit gem Zentrum Z (B +) yon B + i~berein. Bp/K -- B+/K enthSlt genau (n q- 1)/2r ~ 2 Involutionen ; diese bilden eine Kon]ugiertenklasse in Bp/K.

Beweis . Die 2-Sylowgruppe yon K ist <ap}. Nach Hilfssatz 2 hat K eine Unter- gruppe K0 vom Index 2 ; diese besteht aus den Elementen ungerader Ordnung in K, ist daher char~kteristisch in K, also normal in Bp. Weit eine Beweg~ng ~=id aus K0 jede Gerade dureh P bewegt, induziert eine Geradenspiegelung ans Bp in K0 einen involutorisehen fixpunktfreien Automorphismus, also die Inversenbildung ([4], S. 336, Theorem 1.4). Ein Produkt yon zwei Geradenspiegelungen ans Bp ist daher mit jedem Element yon K0 vertauschbar, folglieh geh6rt K0 und dann aueh K dem Zen- t rum yon B + an. Weft die Gruppe B~/K _~ ]~+/K wegen k) kein Zentrum hat, folgt K = Z (B +). K0 ist abelseh, nach h) darm zykliseh. Fiir eine Geradenspiegelung r e Bp ist <G K0) eine Diedergruppe der Ordnung 2r oder eine zyklisehe Gruppe der Ordnung 2. Die Involutionen yon <g, K0) sind Konju~er te yon G also Geraden- spiegelungen. :Nun ist klar, dab die Nebenklasse ~K aus 2r Geradenspiegelungen besteht. Die n q- 1 Geradenspiegelungen ans Bp verteilen sich also auf (n q- 1)/2r l~ebenklassen yon K; diese bilden in der Faktorgruppe Bp/K eine Konjugiertenklasse und gehSren natiirlieh zu Bp/K -- B~/K. Wegen 41 n q- 1 ist (n q- 1)/2r gerade, also ~ 2. Um einznsehen, dab es in der iXebenklasse yon B +/K keine weiteren In- volutionen gibt, nehmen wir eine Involution ~K aus Bp/K -- B+/K und bemerken, dab ~ sein Quadrat ins Inverse transformiert. Folglich ist a2 ~ <~p), gemgB i) ent- hglt ~<~p} eine Geradenspiegelung, und dann ist ~ selbst eine Geradenspiegelung.

m) Bp/K_~ ~4.

B e w eis. Weil B +/K kein Zentrum hat, enthMt ihr Zentralisator beziiglich Bp/K h6ehstens ein Element ~= 1 ; t in solches w&re eine Zentrumsinvolution yon Bp/K in der l~ebenklasse Bp/K -- B+/K, was naeh 1) nicht mSglieh ist. Folglieh ist Bp/K isomorph zu einer Untergruppe yon Aut (B~/K) ~ Aut (PSL2 (q)) _~ PGL2 (q), aus Ordnungsgriinden folgt Bp/K~_ PGL2(q). Ein Vergleich der Gruppenordnungen

4 ( n + i) ergibt 2 r (q + 1)q (q -- i). Je naehdem, weleher Restklasse r o o d / _ \ 4 q ange-

hSrt, ist die Anzahl der Involutionen in P G L 2 ( q ) - PSL2(q)g le i eh~q: l~oder

( q ~ . Mit l) folgr daher n q- 1 (q q- 1)q oder q(ff-- 1 ) . Der zweite Fall\ ~ ]scheidet \ 2 ] 2 r 2 2 aus, weft er auf q = 1 ffihrt. Man bekommt q = 3, also B p / K ~ PGL~(3) ~ ~4.

n) Die Ebene ist desarguessch, es gilt n = 11 und Bp ~_ ~4.

]3 e wei s. Die Ordnung einer endliehen Translationsebene ist bekanntlich eine Prim- zahlpotenz. Also ist n -~ pg mit einer ungeraden Primzahl p. Wir nehmen an, es


ist d > 1. Nach [1], S. 358, Korol lar 2 gibt es da~u einen Primteiler tlp2~ - - 1 mit t ~ p ~ - - i fiir alle / c m i t 1 < : / ~ - - < 2 d - - 1 . Wegen t I p ~ + 1 = n + 1 gibt es eine Bewegung T e B + mi t ord ~ = t. Nun ist t ~ (p - - 1 )p(p + 1), also t > 3. Mit m) folgt jetzt ~ e K. Der Zentralisator yon ~ in Be enthi~lt nach l) B + , ist also nicht zyklisch. Andererseits lassen wir die Gruppe Bp dureh Transformieren auf der Translat ionsgruppe T wirken und erhalten so eine t reue lineare Darstel lung mit (T, GF(p)) als Darstel lungsraum. P ist der einzige F ixpunk t yon ~, folglich ist mit keiner Translat ion ~ id ver tauschbar . Naeh Wahl yon t induziert z eine lineare Abbi ldung ohne invar iante Unterrgume. Auf Grund des Sehursehen Lemmas ist der Zentralisator yon ~ Untergruppe der mult ipl ikat iven Gruppe eines endlichen KSr- pers, demnach zylclisch, und wir haben den gewiinsehten Widerspruch. Unsere Ebene ist also eine Translationsebene yon Primzahlordnung, naeh einem bekannten Satz damn desarguessch. Wegen ] / I ] = n + 1 folg~ aus dem Korollar, dal~ der ange- gebene Fall vorliegt.

Mit welchen Ph~nomenen zu rechnen ist, wean man in Satz 3 nur die Existenz eines starren Richtelementes verlangt , weiB ich rdeht.

Literaturverzeichnis

[1] E. A~Tr~, The orders of the linear groups. Comm. Pure Appl. Math. 8, 355--365 (1955). [2] F. B A C ~ A ~ , Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. 2. Auflage, Berlin-

Heidelberg-New York 1973. [3] R. B~,EI~, Partitionen endlieher Gruppen. Math. Z. 75, 333--372 (1961). [4] D. GOR~ST~.~, Finite Groups. ~New York 1968. [5] G. HEI~B~CK, Gruppen mit starren Richtelementen. Diss., Wiirzburg 1974. [6] B. HUPPERT, Endliche Gruppen I. Berlin-Heidelberg-New York 1967. [7] R. LI~E~TJ3E~G, Grundlagen der Geometrie I. Mannheim 1969. [8] F. A. SnERK, Finite incidence structures with orthogonality. Can. J. Ys 19, 1078--1083

(1967). [9] R. WAG~R, Projektive Bewegungsgruppen I, II. Math. Ann. 134, 308--335, 336--354

(1958). [1O] H. WOLFF, Minkowskische und absolute Geometrie I, II. Math. Ann. 171, 144--164, 165--193

(1967).

Eingegangen am 1.10. 1975

Anschrift des Autors:

Gfinter Heimbeck NLthematisches Institut der UniversiNit Am Hubland D-8700 Wiirzburg

Documents

Endliche verallgemeinerte metrische Ebenen mit starren Richtelementen