EULEN IDEALE BEULSPANNUNGEN VON RECHTECKIGEN … · 2020. 8. 12. · Plattenbeulen cr,P Eigenwert für das Plattenbeulen cr, cr ideale Beulspannungen k , k Beulwerte 2.1 Spannungsgrößen

Rolf Kindmann

Henning Uphoff

FE-BEULEN

IDEALE BEULSPANNUNGEN VON RECHTECKIGEN BEULFELDERN

Entwurf vom 05.06.2014

Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl-, Holz- und Leichtbau Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann

Herausgeber: Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau Fakultät für Bau- und Umweltingenieurwissenschaften Ruhr-Universität Bochum Universitätsstr. 150 D-44801 Bochum Tel.-Nr.: +49 (0)234/32-22575 Fax-Nr.: +49 (0)234/32-14646 E-Mail: [email protected] http://www.rub.de/stahlbau

2014 Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum

Alle Rechte, auch das der Vervielfältigung, des auszugsweisen Nachdrucks, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten.

2.1 Spannungsgrößen 3

Inhaltsverzeichnis

1 Leistungsumfang 1

2 Grundlagen 2


2.2 Verschiebungsgrößen 4

2.3 Ermittlung von Beulwerten und Beulflächen 5

2.4 Längs- und querausgesteifte Beulfelder 6

3 Eingabe 10

4 Ausgabe 14

5 Berechnungsbeispiele 15

5.1 Vorbemerkung 15

5.2 Einzelfeld unter Druck- und Schubbeanspruchung 15

5.3 Ausgesteiftes Beulfeld 21

Literatur 27

1 Leistungsumfang

Das Programm FE-Beulen ist ein Finite-Elemente-Programm zur Stabilitäts-

untersuchung von ebenen Flächentragwerken, die scheibenartig beansprucht werden.

Im Stahlbau handelt es sich dabei meist um zumindest teilweise gedrückte oder durch

Schubspannungen beanspruchte dünne Bleche. Hauptanwendung des Programms ist

die Berechnung idealer Beulspannungen und Beulwerten von rechteckigen Blechen,

die durch Normalspannungen oder Schubspannungen beansprucht werden. Der

Umfang des Programms lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Ermittlung idealer Beulspannungen und Beulwerte von rechteckigen Blechen (Beulfeldern)

Berücksichtigung von konstanten oder linear veränderlichen

Normalspannungen x und y sowie Schubspannungen

Berücksichtigung beliebiger Lagerungsbedingungen an den Rändern

Stabilitätsuntersuchungen unausgesteifter sowie ausgesteifter Beulfelder durch Berücksichtigung beliebiger Steifentypen in Längs- und in Querrichtung

Ermittlung des 1. bis 20. Eigenwertes des Stabilitätsproblems Plattenbeulen sowie Ausgabe der zugehörigen Eigenform (Beulfigur)

FE-Beulen liefert somit die Möglichkeit Beulwerte für eine Vielzahl von unter-

schiedlichen Beulfeldern zu ermitteln. Mit den ermittelten Beulwerten bzw. Beul-

spannungen können anschließend die Nachweise gegen das Plattenbeulen gemäß DIN

EN 1993-1-5 [1] geführt werden, bspw. mit der Methode reduzierter Spannungen

unter Verwendung von Abminderungsfaktoren.

Besonders hervorgehoben sei an dieser Stelle das Buch „Finite-Elemente-Methoden

im Stahlbau“ [3] von Rolf Kindmann und Matthias Kraus. Es enthält eine komplette

und umfangreiche Darstellung der im Folgenden kurz behandelten theoretischen

Hintergründe und enthält zahlreiche weitere Beispiele.

Zusätzlich wird eine schnelle und einfache Methode zur visuellen Stabilitäts-

untersuchung ausgesteifter Beulfelder zur Verfügung gestellt.

2 Grundlagen 2

2 Grundlagen

FE-Beulen untersucht das Stabilitätsverhalten von ebenen Flächentragwerken im

Stahlbau, das Plattenbeulen. Die Ermittlung der Eigenwerte und den zugehörigen

Beulfiguren, Beulwerten und idealen Beulspannungen erfolgt mittels der Methode der

finiten Elemente.

Bei Flächentragwerken handelt es sich um Bauteile, deren Dicke im Verhältnis zu

Länge und Breite klein ist. Es ist daher ausreichend die Flächentragwerke auf ihre

Mitteleben zu reduzieren. Dieses Vorgehen ist vergleichbar mit der Reduktion eines

Stabes auf seine Stabachse.

Es gilt folgende Definitionen zu beachten:

Koordinaten, Ordinaten

x, y Achsen in der Ebene des Flächenelementes

z Achse senkrecht zur Mittelebene

Spannungsgrößen

x, y Normalspannungen in Richtung der x- bzw. y-Achse

xy, yx Schubspannungen

Verschiebungsgrößen

w Verschiebung in z-Richtung

w′ Verdrehung um die y-Achse

w• Verdrehung um die x-Achse

w′•, w•′ Verdrillung ′ bzw. Änderung der Verdrehung y in y-Richtung

Werkstoff

E Elastizitätsmodul

G Schubmodul

Querkontraktionszahl, Poissonsche Zahl

Querschnittswerte

t Blechdicke

I Trägheitsmoment der Steife, inklusive Steineranteil des mittragenden

Plattenquerschnitts ohne Eigenträgheitsmoment der Platte

I Wölbflächenmoment der Steife, ohne Anteile des mittragenden

Plattenquerschnitts


IT Torsionsflächenmoment, ohne Anteile des mittragenden

Plattenquerschnitts

A Querschnittsfläche der Steife, ohne Anteile des mittragenden

Plattenquerschnitts

Plattenbeulen

cr,P Eigenwert für das Plattenbeulen

cr, cr ideale Beulspannungen

k, k Beulwerte

2.1 Spannungsgrößen

Die Lasten beulgefährdeter Bleche wirken in ihrer Ebene. Der Belastung nach handelt

es sich somit um Scheiben, s. Bild 2.1. Aus den Belastungen Fx, px bzw. Fy, py in

Richtung der Mitteleben resultieren Normalspannungen x und y sowie Schub-

spannungen xy = yx.

Bild 2.1 Ebene Flächentargwerke: Scheiben und Platten

Bild 2.2 zeigt die Wirkungsrichtungen der Spannungen an den positiven Schnitt-

flächen x = konst. und y = konst. Es soll lediglich die Richtungen und Bezeichnungen

aufzeigen, ohne auf das Gleichgewicht am Element einzugehen.

2 Grundlagen 4

Bild 2.2 Spannungen bei einem Scheibenelement

2.2 Verschiebungsgrößen

Das Stabilitätsproblem Plattenbeulen ist dadurch charakterisiert, dass durch Be-

lastungen in Richtung der Blechebene Verschiebungen senkrecht zur Mittelebene

auftreten. Im Sinne der Verschiebungen handelt es sich bei den untersuchten Flächen-

tragwerken somit um Platten.

Zur Stabilitätsuntersuchung der rechteckigen Beulfelder mit FE-Beulen werden die

Beulfelder in rechteckige finite Plattenelemente mit vier Eckknoten aufgeteilt. In

jedem Eckknoten hat das Plattenelement vier Knotenfreiheitsgrade, s. Bild 2.3.

Bild 2.3 Verschiebungsgrößen der Plattenelemente

Die Verschiebungsgröße w beschreibt die Verschiebung in z-Richtung bzw. die

Durchbiegung der Platte. Die Ableitungen der Durchbiegung w′ und w• beschreiben

die Verdrehung um die y- bzw. x-Achse. Analog zu den Verschiebungsgrößen an

einem Stabelement gilt: y -w′ und w• = x. Hinzu kommt mit w′• die

Ableitung der Durchbiegung w nach x und y. Diese Verschiebungsgröße entspricht

der Verdrillung ′ bei Stäben. Es gilt w′• = w•′, so dass diese Verschiebungsgröße

auch der Veränderung der Verdrehung y in y-Richtung entspricht, d.h. w′• -y•.

2.3 Ermittlung von Beulwerten und Beulflächen 5

2.3 Ermittlung von Beulwerten und Beulflächen

Die Ermittlung der Beulwerte und zugehörigen Beulflächen erfolgt mit der Methode

der finiten Elemente. Für das Eigenwertproblem „Plattenbeulen“ ergibt sich folgende

homogene Matrizengleichung:

rcr,p,rK + α G v = 0 (2.1)

Auf die Herleitung der Steifigkeitsmatrix K und der geometrischen Steifigkeitsmatrix

G für Beulfelder wird an dieser Stelle verzichtet. Sie können explizit aus der

virtuellen Arbeit für Scheiben und Platten formuliert werden. Eine vollständige

Darstellung der virtuellen Arbeit und die Herleitung der Steifigkeitsmatrizen kann

Kapitel 6.5, 6.7 und 6.8 [3] entnommen werden.

In Gleichung (2.1) ist cr,p,r der Verzweigungslastfaktor für das Plattenbeulen, der für

die Berechnung der Beulwerte und idealen Beulspannungen benötigt wird. rv ist der

Eigenvektor, der die Beulfläche beschreibt. Durch den Index „r“ ist die Nummer des

Eigenwertes gekennzeichnet.

Die Lösung des Eigenwertproblems erfolgt mit einem Matrizenzerlegungsverfahren.

Die Ermittlung der zugehörigen Eigenform bzw. Beulfläche erfolgt mittels inverser

Vektoriteration. Kapitel 9 [3] enthält umfangreiche Informationen zur Lösung des

Eigenwertproblems. Im Kapitel 2.4.4 der Erläuterungen zu FE-STAB [5] wird die

Lösung des Eigenwertproblems für Stäbe erläutert. Allerdings ergeben sich für das

Plattenbeulen drei wesentliche Unterschiede:

Der Rechenaufwand für die Matrizenzerlegung ist aufgrund der häufig großen Bandbreite der Matrizengleichung (2.1) deutlich größer.

Beim Plattenbeulen wird in vielen Fällen nicht nur der 1. Eigenwert benötigt. Vor allem bei ausgesteiften Beulfeldern ist oftmals die Kenntnis höherer

Eigenwerte und der zugehörigen Beulflächen notwendig, s. Kapitel 5.3.

Die Eigenwerte liegen beim Plattenbeulen oftmals sehr dicht beieinander. Die Lösungsverfahren müssen entsprechend modifiziert werden.

Da die Eigenwerte relativ nahe beieinander liegen können, sollte die Toleranz der

Matrizenzerlegung mit 10-3 gewählt werden. Damit die Beulflächen korrekt ermittelt

werden, sollte die Toleranz der Vektoriteration mit mindestens 10-5 angegeben

werden.

FE-Modellierung von Beulfeldern

Beulfelder sollten so aufgeteilt werden, dass sich annähernd quadratische Platten-

elemente ergeben. Wie viele Plattenelemente zu wählen sind hängt in erster Linie von

der untersuchten Problemstellung ab. Da nur Knotenfreiheitsgrade berücksichtigt

werden, muss sichergestellt sein, dass die Anzahl der gewählten Elemente ausreicht

2 Grundlagen 6

um die sich einstellende Beulfläche ausreichend genau beschreiben zu können. Durch

genaue Betrachtung der Beulfläche sollte man stets feststellen können, ob Wellen

auftreten, die durch die gewählte Aufteilung nicht korrekt dargestellt werden können.

Eine sinnvolle erste Wahl für baupraktische Problemstellungen stellt die Aufteilung

des Beulfeldes in 10 bis 20 Plattenelemente in Längsrichtung und 5 bis 20

Plattenelemente in Querrichtung dar. Für genauere Untersuchungen empfiehlt sich

eine Konvergenzstudie.

2.4 Längs- und querausgesteifte Beulfelder

Um Beulfelder auszusteifen werden Längs- oder Quersteifen angeordnet, so dass ein

ausgesteiftes Beulfeld entsteht. Bild 2.4 zeigt den Ausschnitt aus einem durch eine

Längs- und eine Quersteife ausgesteiftes Beulfeld. Es ist zu sehen, dass Steifen stets

auf Kanten von Plattenelementen anzuordnen sind.

Bild 2.4 Beulfeld mit einer Längs- und einer Quersteife

Zur Stabilitätsuntersuchung des ausgesteiften Beulfeldes mit der finiten Elemente

Methode werden die Steifen als Stabelemente aufgefasst. Bild 2.5 zeigt je ein Stab-

element in x-Richtung (Längssteife) und ein Stabelement in y-Richtung (Quersteife)

mit der Zuordnung der vier Freiheitsgrade der Plattenelementknoten.

Zur Lösung des Eigenwertproblems, s. Kapitel 2.3, werden neben den Steifigkeits-

beziehungen der Plattenelemente die Steifigkeitsmatrizen der Stabelemente gemäß

Kapitel 2.4 der Erläuterungen zu FE-STAB [5] berücksichtigt. Die Steifigkeits-

matrizen der Stabelemente sind entsprechend den Plattenfreiheitsgraden auszuwerten.

Da in die Steifigkeitsbeziehungen der Stabelemente auch Streckenfedern cw und c

eingehen, können diese ebenfalls für das Plattenbeulen berücksichtigt werden. In der

geometrischen Steifigkeitsmatrix der Stabelemente sind für das Plattenbeulen nur die

von der Normalkraft N abhängigen Elemente relevant. Wobei zu beachten ist, dass

Mrr ebenfalls von der Normalkraft N abhängig ist.


Bild 2.5 Stabelement in x- und y-Richtung sowie Zuordnung der Plattenfreiheitsgrade

FE-Modellierung von ausgesteiften Beulfeldern

Bild 2.6 zeigt beispielhaft ein durch eine Längssteife ausgesteiftes Beulfeld. Das

Beulfeld ist an allen vier Seiten gelenkig gelagert und wird durch eine konstante

Normalspannung x beansprucht.

Bild 2.6 Beulfeld mit einer Längssteife und Querschnittswerten der Steife

2 Grundlagen 8

Für die FE-Berechnung wird die Platte in Längs- und Querrichtung in finite Platten-

elemente aufgeteilt, hier werden beispielhaft sechs Plattenelemente in Querrichtung

gewählt, s. Bild 2.6b. Die Plattenelemente weisen eine Plattenbiegesteifigkeit auf und

werden durch Scheibenspannungen beansprucht. Die Steifen werden einseitig zur

Plattenmittelfläche angeordnet, s. Bild 2.6a. Da es sich bei Beulfeldern meist um

Bestandteile von Gesamtsystemen handelt, wird die Spannung x näherungsweise als

konstant über die Höhe angesetzt. Steifen werden durch Stabelemente idealisiert. Sie

weisen Biegesteifigkeiten EIy sowie Torsionssteifigkeiten GIT und EI auf. Für die

Stabilitätsuntersuchung der Steifen mittels Theorie II. Ordnung werden die wirkende

Normalkraft N = x ∙ A und N ∙ ip2 zur Aufstellung der geometrischen

Steifigkeitsbeziehungen benötigt. Bei der Berechnung der Werte gilt es folgendes zu

beachten:

Trägheitsmoment Iy – Biegesteifigkeit Das ausgesteifte Blech wirkt als Obergurt der Steife mit, d.h. das Trägheits-

moment Iy ist unter Berücksichtigung der effektiven Gurtbreiten (b1 + b2) des

ausgesteiften Bleches zu berechnen. Allerdings darf das Eigenträgheitsmoment

der Platte nicht berücksichtigt werden, sondern ausschließlich der Steiner-

Anteil, da die Blechbiegung bereits in der Steifigkeitsmatrix des Platten-

elementes berücksichtigt wird.

Torsionsträgheitsmoment IT – primäre Torsion Es darf nur das Torsionssteifigkeitsmoment der Steife selbst und nicht das des

anteiligen Blechfeldes berücksichtigt werden, da die Torsionssteifigkeit des

Bleches bereits in der Steifigkeitsmatrix des Plattenelementes enthalten ist.

Wölbwiderstand I – sekundäre Torsion Da sich die Platte seitlich nicht verschieben kann, wird der Drehpunkt D zur

Ermittlung des Wölbwiderstandes I in Plattenmitte angenommen, s. Bild 2.6.

Sowohl bei Handrechnungen als auch bei FE-Berechnungen werden allerdings die

Torsions- und Wölbsteifigkeiten oftmals vernachlässigt, so dass angenommen wird

GIT = EI = 0.

Drucknormalkraft N – Biegeknicken Zur Stabilitätsuntersuchung der Steifen wird die Normalkraft in den Steifen

benötigt. Die Normalkraft ergibt sich zu N = x ∙ A. A ist dabei die Fläche des

Steifenquerschnittes. Vergleichbar mit der Ermittlung des Trägheitsmomentes

Iy darf auch hier die anteilige Gurtbreite des ausgesteiften Bleches nicht

berücksichtigt werden, da die Druckspannung x bereits in der Steifigkeits-

matrix des Plattenelementes enthalten ist.

Bei der Stabilitätsuntersuchung ausgesteifter Beulfeldern mittels FE-Berechnung

können Einzelfeldbeulen, Gesamtfeldbeulen und Knicken der Steife auftreten. Bild

2.6c zeigt das Einzelfeldbeulen des ausgesteiften Blechfeldes und Bild 2.6d das


Ausbeulen des gesamten Beulfeldes. Beim Gesamtfeldbeulen weicht die Steife nach

unten, bzw. nach oben aus. Das Biegeknicken der Steife stellt somit den wesentlichen

Stabilitätsfall dar. Sofern die Stützung der Plattenränder keinen oder nur kaum

Einfluss hat, spricht man vom knickstabähnlichen Verhalten des Beulfeldes.

3 Eingabe 10

3 Eingabe

Im Tabellenblatt „Eingabe“ erfolgt durch die Eingabe der System- und Berechnungs-

parameter die Definition des zu berechnenden Systems. In den Zeilen „Projekt“ und

„Kommentar“ besteht die Möglichkeit, die durchgeführte Berechnung kurz zu

beschreiben.

Bild 3.1 Eingabemaske FE-Beulen: Systemparameter


Mit den Materialparametern E-Modul, Schubmodul G und Querkontraktionszahl ist

das verwendet Material für die Berechnung ausreichend definiert.

Gemäß Bild 3.2 können die Abmessungen des rechteckigen Beulfeldes eingegeben

werden und die Anzahl der Elemente zur Berechnung mit der Methode der finiten

Elemente pro Richtung festgelegt werden. Bei der Anzahl der gewählten Elemente ist

darauf zu achten, dass eine ausreichende Anzahl gewählt wird, da die Methode der

finiten Elemente nur Ergebnisse in den Elementknoten ausgibt. Allerdings nimmt der

Rechenaufwand und damit verbunden die Rechenzeit bei zunehmender Element-

anzahl zu. Ein guter Anhaltswert für eine erste Berechnung ist die Wahl 10 bis 20

Plattenelementen in Längsrichtung und 5 bis 20 Plattenelementen in Querrichtung mit

annähernd quadratischer Größe.

Bei der Untersuchung von ausgesteiften Beulfeldern ist darauf zu achten, dass die

Elementanzahl an die Steifenlage anzupassen ist, da Steifen stets auf einer Element-

kante liegen müssen. Sollen bspw. in x-Richtung orientierte Längssteifen in den

Drittelspunkten des Feldes angeordnet werden, muss die Anzahl der Elemente in y-

Richtung ny durch drei teilbar sein.

Bild 3.2 Eingabemaske FE-Beulen: Koordinatensystem

Die Normalspannungen x und y sowie die Schubspannung sind entsprechend

Bild 3.2 einzugeben. Falls die Normalspannungen linear veränderlich wirken, ist die

entsprechende Option auszuwählen, s. Bild 3.4.

Lagerbedingungen können pro Freiheitsgrad und Seite frei gewählt werden. Dafür

sind in der Tabelle, s. Bild 3.1, die Kennzahlen „0“ (frei) oder „-1“ (fest) einzutragen.

Wird eine Zahl > 0 eingetragen, fasst das Programm dies als Drehfedersteifigkeit auf.

Voreigestellt ist im Programm die Navier-Lagerung. Sie stellt eine gelenkige

Lagerung aller vier Seiten des Beulfeldes dar.

3 Eingabe 12

In der Tabelle „Steifentypen definieren“ können bis zu 9 Steifentypen definiert

werden. Das Trägheitsmoment I muss entsprechend dem in Bild 3.2 gezeigten

Koordinatensystem wirken, so dass ggf. eine Transformation der Hauptträgheits-

momente des verwendeten Steifenquerschnitts notwendig ist.

Bild 3.3 Eingabemaske FE-Beulen: Steifen und Berechnungsparameter


Die Lage der Steifen wird gemäß dem in Bild 3.2 dargestellte Koordinatensystem

definiert. Wie bereits erwähnt müssen Steifen stets auf Elementkanten angeordnet

werden. Es können sowohl Längssteifen, mit Ausdehnung in x-Richtung, als auch

Quersteifen, mit Ausdehnung in y-Richtung, angeordnet werden.

Das Programm FE-Beulen ermöglicht die Ermittlung des 1. bis 20. positiven Eigen-

wertes. Entsprechend sind die Zahlen 1 bis 20 in das Feld „gesuchter Eigenwert“

einzutragen, s. Bild 3.3.

Die Toleranz für den Abbruch der inversen Vektoriteration, zur Ermittlung der

Eigenform, sollte im Bereich von ca. 10-5 bis 10-6 gewählt werden und ist damit

deutlich höher als die Toleranz der Matrizenzerlegung zur Berechnung des

Eigenwertes. Die Toleranz für den Abbruch der Matrizenzerlegung sollte im Bereich

von ca. 10-3 bis 10-4 liegen.

Bild 3.4 Eingabemaske FE-Beulen: Berechnungsoptionen

Zusätzlich zu den Standartausgaben, s. Kapitel 4, können weitere Hilfsausgabe

angezeigt werden. Es ist möglich, dass die Steifigkeitsmatrizen K und G ausgegeben

werden. Dies erzeugt allerdings eine erhebliche Steigerung des Rechenaufwandes. Es

sollte daher in der Regel von der Matrizenausgabe abgesehen werden. Zusätzlich sind

die Ausgabe der Spannungsverteilung im Blech sowie die Ausgabe von

Informationen zur iterativen Eigenwertermittlung möglich.

Der Button „Berechnung starten“ startet die Berechnung.

Der Button „Informationen anzeigen“ zeigt eine kurze Zusammenfassung des

Programms und der wichtigsten Eingaben.

4 Ausgabe 14

4 Ausgabe

Die Ausgabe der Ergebnisse erfolgt im Tabellenblatt „Ausgabe“. Es wird der

ermittelte Eigenwert ausgegeben und es erfolgt die grafische Ausgabe der

zugehörigen Eigenform bzw. Beulfigur. Zusätzlich erfolgt die Ausgabe der zum

gewählten Eigenwert korrespondierenden idealen Beulspanungen und der zu-

gehörigen Beulwerte.

Die Ausgabe aller System- und Berechnungsparameter im Tabellenblatt „Ausgabe“

ermöglicht das eindeutige Nachvollziehen der durchgeführten Berechnung.

Das Tabellenblatt „Ausgabe“ ist so formatiert, dass es ohne weiter Skalierung auf

zwei Seiten des Formats DIN-A4 passt.

Zusätzlich können weiter Hilfsausgaben angezeigt werden (s. Kapitel 4), die in den

Tabellenblättern „K-Matrix“, „G-Matrix“, „Spannungen“ und „Iteration“ zu finden

sind.

5.1 Vorbemerkung 15

5 Berechnungsbeispiele

5.1 Vorbemerkung

In den Kapiteln 1 und 2 werden der Leistungsumfang sowie die wichtigsten

Grundlagen des Programms FE-Beulen erläutert. In den Kapiteln 3 und 4 folgen

detaillierte Erläuterungen zur Eingabe von System- und Berechnungsparametern

sowie eine Beschreibung der Ergebnisausgabe. Zur weiteren Veranschaulichung von

FE-Beulen und insbesondere der Ergebnisausgabe folgen an dieser Stelle zwei

Berechnungsbeispiele:

Gelenkig gelagertes Einzelbeulfeld unter Druck- und Schubbeanspruchung

Ausgesteiftes Stegblech eines Durchlaufträgers

Anhand der beiden vorliegenden Beispiele sollen die Möglichkeiten der Stabilitäts-

und Eigenwertsanalyse mit FE-Beulen behandelt werden. Da das Programm keine

Nachweise gegen das Stabilitätsproblem Plattenbeulen beinhaltet, wird auf diese an

dieser Stelle nicht näher eingegangen. Hinweise zur weiteren Nachweisführung

können bspw. [2] entnommen werden.

Die Ergebnisse der Berechnungen befinden sich auf dem Tabellenblatt „Ausgabe“, s.

Kapitel 4. Zur Begrenzung des Umfangs werden hier nur ausgewählte Teile der Ein-

und Ausgabe wiedergegeben.

5.2 Einzelfeld unter Druck- und Schubbeanspruchung

Bild 5.1 zeigt das untersuchte Beulfeld. Die zusammengesetzte Beanspruchung aus

Druck- und Schubspannungen erfordert einen kombinierten Nachweis für den

zunächst eine Eigenwertberechnung für die Wirkung der Normalspannung x und für

die Schubspannung erfolgen muss.

Bild 5.1 Gelenkig gelagertes Beulfeld mit zusammengesetzter Beanspruchung


Zur Stabilitätsuntersuchung und Eigenwertberechnung des Beulfeldes mit FE-Beulen

wird die Anzahl der Plattenelemente in x- und y-Richtung so gewählt, dass jeweils

quadratische Plattenelemente mit einer Fläche von 10x10 cm² entstehen. Die

angezeigte Beulfigur und die berechneten Ergebnisse lassen darauf schließen, dass

die Anzahl der gewählten Elemente ausreichend ist. Da die Rechenzeit nur wenige

Sekunden beträgt, ist eine eventuelle Reduzierung der Elementanzahl unnötig.

Bei alleiniger Wirkung von x ergibt sich ein Eigenwert von cr,x = 1,85 mit einer

zugehörigen Beulfigur mit zwei Welle in Längsrichtung. Die Beulfigur zeigt, dass

das Blech im unteren Bereich ausbeult, wo die Druckspannungen wirken. Die ideale

Beulspannung ergibt sich zu x,cr = 33,31 kN/cm2 und der Beulwert zu k = 23,89.

Bild 5.2 zeigt die Ausgabe in FE-Beulen in gekürzter Form.

Die Ergebnisse der entsprechenden Eigenwertanalyse für die Schubspannung sind

in Bild 5.3 dargestellt. Der Eigenwert berechnet sich zu cr, = 4,15. Die Berechnung

der idealen Beulspannung bzw. des Beulwertes führt zu cr = 8,30 kN/cm2 und

k = 5,96. Die Ausgabe der Beulfigur zeigt ein für das Schubbeulen charakteristisches

Ausbeulen des Bleches.

Eine Berechnung der idealen Beulspanungen mittels Handrechnung und Berechnung

der Bezugsspannung e führt zu nahezu identischen Ergebnissen wie bei der FE-

Berechnung:

2 2

e 2

100 t 100 12 kNσ = 1,898 = 1,898 = 1,394

b 1400 cm

für Baustahl S 235

x,cr σ e 2

kNσ = k σ = 23,9 1,394 = 33,32

cm

cr t e 2

kNτ = k σ = 5,91 1,394 = 8,24

cm

Allerdings müssen neben diesen Formeln noch weitere Formeln zur Bestimmung der

Beulwerte k und k ausgewertet werden, so dass die Berechnung mit FE-Beulen eine

schnell Alternative darstellt.

Für das Beulfeld mit zusammengesetzter Beanspruchung muss der Nachweis gegen

Plattenbeulen bei gleichzeitiger Wirkung von Drucknormal- und Schubspannungen

erfolgen. Die Nachweisführung mit der Methode der reduzierten Spannungen gem.

Kapitel 10 DIN EN 1993-1-5 [1] benötigt den Eigenwert der zusammengesetzten

Beanspruchung. Bild 5.4 zeigt das Ergebnis der FE-Berechnung mit FE-Beulen. Der

Eigenwert ergibt sich zu cr,p = 1,7109. Alternativ kann cr per Handrechnung

ermittelt werden, gem. Gleichung (10.6) [1]:


2 2

x x xcr2 2 2 2

cr cr,x cr,x cr,x cr,τ

1- -11 + ψ 1 + ψ 1 - ψ1 1 1-1 1-1 1 = + + + = + + + α =1,690

α 4 α 4 α 2 α α 4 1,85 4 1,85 2 1,85 4,15

Mit: x,2xx,1

σ -18ψ = = = -1

σ 18

Vergleicht man die Ergebnisse der Handrechnung mit den Ergebnissen der

Berechnung mit FE-Beulen sieht man, dass FE-Beulen günstigere Ergebnisse liefert.

Allerdings liegen für das unausgesteifte Beulfeld die Ergebnisse der Handrechnung

und der FE-Rechnung nahe beieinander. Aber gerade für zusammengesetzte

Beanspruchungen aus Druck- und Schubspannungen müssen für die Handrechnung

eine Reihe Formeln ausgewertet werden, was bei der Berechnung mit FE-Beulen

entfällt.


Bild 5.2 FE-Beulen Ausgabe: Eigenwertberechnung bei Normalspannungswirkung


Bild 5.3 FE-Beulen Ausgabe: Eigenwertberechnung bei Schubspannungswirkung


Bild 5.4 FE-Beulen Ausgabe: Eigenwertberechnung der zusammengesetzten Beanspruchung


5.3 Ausgesteiftes Beulfeld

Ein typisches Beispiel für beulgefährdete Bleche sind hohe Stegbleche von

Durchlaufträgern wie sie bspw. im Brückenbau vorkommen. Im Bereich der Stützen

des Durchlaufträgers werden die Stegbleche infolge vertikaler Lasten durch linear

veränderliche Normalspannungen x und Schubspannungen beansprucht. Die große

Höhe der Stegbleche erfordert die Verwendung von Steifen. Bild 5.5 zeigt das aus-

gesteifte Beulfeld, das zwischen zwei kräftigen Vertikalsteifen im Abstand von

3,0 m liegt. Zur Aussteifung werden Längssteifen aus Winkelprofilen 100x50x6 in

den Drittelspunkten der Blechöhe verwendet. Weitere Informationen zum Beispiel

können Kapitel 11.12.4 [2] entnommen werden.

Bild 5.5 Ausgesteiftes Stegblech eines Durchlaufträgers

Für die Berechnung mit FE-Beulen wird das Beulfeld in jeweils 30 Plattenelemente

in x- und y-Richtung aufgeteilt, damit die Längssteifen in den Drittelspunkten der

Höhe, bzw. Ly angeordnet werden können. Die berechneten Ergebnisse und

Beulfiguren zeigen, dass die Anzahl der Elemente ausreichend ist. Um die Rechenzeit

zu reduzieren, könnte die Elementanzahl allerdings reduziert werden.

Als Längssteifen werden Winkelprofile der Abmessung 100x50x6 verwendet, siehe.

[4]. Die Fläche der Steife ohne anteiliges Stegblech beträgt 8,71 cm². Das Trägheits-

moment Iy des Profils muss zunächst in das Koordinatensystem des Blechfeldes

transformiert werden. Unter Berücksichtigung des Steineranteils der effektiven mit-

wirkenden Breiten des Stegbleches ergibt sich das anzusetzende Trägheitsmoment

Isl,1,eff = 479 cm4. Das Torsionsträgheitsmoment IT des offenen Steifenquerschnitts

wird auf der sicheren Seite liegend vernachlässigt.

Für das ausgesteifte Beulfeld muss sowohl das Einzelfeldbeulen als auch das Gesamt-

feldbeulen untersucht werden.


Einzelfeldbeulen

Die Eigenwertberechnung für die alleinige Wirkung der Normalspannung x liefert

den 1. Positiven Eigenwert cr,x,1 = 2,8181, s. Bild 5.6. Die zugehörige Beulfigur

zeigt das Ausbeulen des unteren Einzelbeulfeldes zwischen dem Rand und der

unteren Steife, in dem die größten Druckspannungen auftreten. Die FE-Berechnung

ergibt eine ideale Beulspannung von x,cr = 36,63 kN/cm². Die Berechnung der

idealen Beulspannung per Handrechnung, s. Kapitel 11.12.4 [2] liefert mit

x,cr = 32,29 kN/cm² einen deutlich kleineren Wert. Bei der Berechnung mit FE-

Beulen werden die aussteifenden Effekte des restlichen Bleches auf das untersuchte

Einzelbeulfeld berücksichtigt. Mit der Handrechnung ist das nicht möglich. Die FE-

Berechnung liefert somit günstigere Ergebnisse als die Handrechnung.

Die Stabilitätsuntersuchung des Einzelbeulfeldes bei wirkender Schubspannung

liefert für die ersten zwanzig positiven Eigenwerte kein Einzelfeldbeulen. Zwar ist ab

dem achten Eigenwert cr,,8 = 5,5144 eine Tendenz zum Einzelfeldbeulen zu

erkennen, allerdings liegt immer auch ein Ausweichen der Längssteifen vor. Eine

Überprüfung des hw/t-Verhältnisses gemäß [1] zeigt, dass für die Schubspannungen

eine Beulgefahr ausgeschlossen werden kann.

Gesamtfeldbeulen

Die Stabilitätsuntersuchung des ausgesteiften Beulfeldes bei alleiniger Wirkung x

zeigt für den vierten positive Eigenwert cr,x,4 = 3,1405 das Beulen des Gesamtfeldes

an, s. Bild 5.7. Bei alleiniger Wirkung der Schubspannung tritt bei der zum ersten

positiven Eigenwert cr,,1 = 2,5573 korrespondierenden idealen Beulspannung

cr = 17,90 kN/cm² Gesamtfeldbeulen auf, s. Bild 5.8. Alternativ zur FE-Berechnung

müssten diese Ergebnisse mit den Beultwerttafeln für ausgesteifte Rechteckplatten

nach Klöppel/Scheer [6] bzw. Klöppel/Möller [7] bestimmt werden.

Der für den Nachweis mit Abminderungsfaktoren nach DIN EN 1993-1-5 [1]

benötigte Eigenwert cr,p = 1,6829 für die zusammengesetzte Beanspruchung aus

Normalspannung x und Schubspannung lässt sich mit dem Programm FE-Beulen

einfach bestimmen, s. Bild 5.9.


Bild 5.6 FE-Beulen Ausgabe: Berechnung des 1. positiven Eigenwertes der

Normalspannung x



Normalspannung x



Schubspannung


Bild 5.9 FE-Beulen Ausgabe: Berechnung des 1. positiven Eigenwertes

zusammengesetzten Beanspruchung aus x und

Literatur

[1] DIN EN 1993-1-5 (12/10), Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-5: Plattenförmige Bauteile; nationaler Anhang (12/10)

[2] Kindmann, R.: Stahlbau -Teil 2: Stabilität und Theorie II. Ordnung, 4. Auflage. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2008

[3] Kindmann, R., Kraus, M.: Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2007

[4] Kindmann, R., Kraus, M., Niebuhr, H. J.: STAHLBAU KOMPAKT Bemessungshilfen, Profiltabellen, 3. Auflage. Verlag Stahleisen, Düsseldorf

2014

[5] Kindmann, R., Uphoff, H.: Berechnungen mit den RUBSTAHL-Programmen. FE-STAB, Tragfähigkeit und Stabilität von Stäben bei zweiachsiger Biegung

mit Normalkraft und Wölbkrafttorsion. Veröffentlichung des Lehrstuhls für

Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum 2014

[6] Klöppel, K., Scheer, J.: Beulwerte ausgesteifter Rechteckplatten. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 1960

[7] Klöppel, K., Möller, K. H.: Beulwerte ausgesteifter Rechteckplatten, II. Band. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 1968

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