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Prof. Dr. Johann Graf LambsdorffUniversität Passau

SS 2012

11a. Anhang zur Bestimmung der optimalen Taylor-Regel

Literatur:Ball, L. (1997), Efficient Rules for Monetary Policy

Rules, NBER Working Paper No. 5952Romer, D. (2006), Advanced Macroeconomics, 3.,

Aufl., 534-536

• Eine optimale Taylor-Regel lässt sich folgendermaßen bestimmen. • Die Zentralbank kann die zukünftige Entwicklung durch Änderungen des aktuellen Realzinses r bestimmen. Solche Änderungen wirken auf das in der nächsten Periode erwartete Inlandsprodukt, E(Y+1). Dies wirkt wiederum auf die Inflationsrate der übernächsten Periode, E(+2). Für +2 gilt gemäß (1):

• Zum Zeitpunkt t=0 wird daher folgendes erwartet: 2 1 1 2= + y

2 1 1(4) E E E= + y

• Der Erwartungswert von +1 ist gemäß (1):

• Derjenige von E(y+1) gemäß Gleichung (2):

• Mit Hilfe der Taylor-Regel lässt sich jeder beliebige Realzins setzen. Daher kann die Aufgabe der Zentralbank auch darin gesehen werden, E(y+1) zu bestimmen.

1E 1y = y b r

1(5) E = + y

• Mit Hilfe des aktuellen Realzinses lässt sich somit die Inflationsrate in zwei Perioden bestimmen. Diese Wahl wird von der Größe des Terms beeinflusst. • Daher muss die Taylor-Regel der Form

genügen. Der Parameter q>0 muss im Folgenden bestimmt werden. • Wird berücksichtigt, dass realisierte Werte sich von früher erwarteten Werten nur durch einen Zufallsterm unterscheiden, sowie , so folgt aus (5):

+ y

1 1(6) E E 1y q y-b r q + y

1 1 1E E E= + y

1E= 1Ey y

• Gemäß (6) gilt E-1(y)=-qE-1(). Einsetzen erbringt:

• Werden beide Seiten quadriert und der Erwartungswert hiervon gebildet, so folgt:

• Langfristig wird bei einer konstanten Varianz von und auch diejenige der Inflationsrate konstant sein, unabhängig von den Anfangswerten. Dies impliziert:

1 1 1E E E= + -q

1 1E 1 E= q

2 2 2 21 1E E 1 E E= q

2 21 1E E E E=

• Wird dies berücksichtigt, so folgt:

• Da erwartete Werte sich von realisierten nur durch den Zufallsterm unterscheiden, , folgt:

• Analog gilt und damit:

• Gemäß (6) gilt:

2 22

1 2E E21 1

=q qq

1E=

222

-1E E E2

= + = +q q

1Ey= y

22-1E E Ey = y +

1 1E Ey q

• Einsetzen erbringt:

• Die Zentralbank minimiert die erwarteten Kosten E[K]=E[2+E[y]2=Var +Var y. Einsetzen mit

2=1 und

2=1 erbringt:

• Ableitung nach q erbringt die Bedingung 1. Ordnung:

222

1E E E2

2 2q qy = q + +

q q

2 21E 1

2 2

2 2q qK = + + +q q q q

2 2 2 2 2

22 2

2 2 1 2 2 1 2 2 10

2

2q q q q q q

q q

• Der Zähler muss gleich Null sein:

• Ein negativer Wert für q führt zu unendlichen Varianzen. Dieser Wert kann ausgeschlossen werden. Daher lautet die Lösung:

und die Taylor-Regel:

2

1,24

2q

2 22 2 2 2 2 2 02q q q q q q

1 2 1 02 2q q q q q

1 02q q

2 42

q

2 4

2 1 1

r + y yb b