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Inhaltsverzeichnis

I. Einleitung..........................................................................................................2 II. Herleitung des Gravitationsgesetzes...........................................................3 III. Bestimmung der Gravitationskonstante.....................................................61) Die Gravitationsdrehwaage von Cavendish.........................................................................6 a) Allgemeiner Versuchsaufbau (siehe Abbildung 1)...............................................................6 b) Allgemeine Versuchsdurchfhrung.....................................................................................7 c) Herleitung der Physikalischen Zusammenhnge zur Berechnung von ............................8 2) Versuchsdurchfhrung mit Eigennachbau........................................................................11 a) Bau einer Gravitationsdrehwaage ....................................................................................11 b) Versuchsdurchfhrung......................................................................................................13 c) Fehleranalyse ..................................................................................................................14 3) Versuchsdurchfhrung mit Modell aus der Physiksammlung.........................................15 a) Instandsetzung der Gravitationsdrehwaage......................................................................15 b) Versuchsdurchfhrung und Auswertung...........................................................................15 c) Fehleranalyse...................................................................................................................16

IV. Schluss.........................................................................................................17 V. Materialanhang.............................................................................................18 VI. Quellen- und Literaturverzeichnis.............................................................20 VII. Selbststndigkeitserklrung.....................................................................21

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I. Einleitung

Die gesamte Geschichte der Menschheit ist ein fortschreitender Prozess wissenschaftlicher Weiterentwicklung, der sich in verschiedene Zweige untergliedern lsst. In diesem Prozess haben die Naturwissenschaften in den letzten Jahrhunderten wahrscheinlich die grten Vernderungen mit sich gebracht. Fast alle Annehmlichkeiten, wie Strom, Verkehrsmittel, Medikamente und etliche mehr, die fr uns heute selbstverstndlich sind, sind Folge der Industrialisierung. Der technische Fortschritt bringt allerdings auch eine groe Verantwortung mit sich, denn die wissenschaftlichen Erkenntnisse lassen nicht nur den Lebensstandart einer Gesellschaft steigen. Alle neuzeitlichen Massenvernichtungswaffen sind auf die Forschungsergebnisse der Naturwissenschaften zurckzufhren, und stellen eine groe Verantwortung dar. Wenn man die beiden Weltkriege betrachtet, bekommt man ein Bild davon, was passiert, wenn eine Gesellschaft noch nicht fr ihre wissenschaftlichen Errungenschaften bereit ist. Dabei war das Ziel der Wissenschaft nur die Lsung von unbegreiflich erscheinenden Ereignissen in der Natur. Zum Beispiel ist die Menschheit seit dem Beginn ihrer Existenz vom Sternenhimmel und seinen komplexen Strukturen fasziniert. Lange betrachtete man die Sterne und Planeten als Wunder Gottes, bis man allmhlich herausfand, dass auch diese gewissen Naturgesetzenmigkeiten folgen. Im 17. Jahrhundert gelang es Johannes anderem Kepler auch die Bewegungen fr der das Himmelskrper von zur Newton in drei Gesetzmigkeiten festzulegen. Diese drei Keplerschen Gesetze legen unter den Grundstein mir im aufgestellte der Gravitationsgesetz, was Weiteren Berechnung

Gravitationskonstante dienen wird.

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II. Herleitung des Gravitationsgesetzes1

Zur Herleitung des Gravitationsgesetzes betrachtete Newton einen beliebigen um die Sonne kreisenden Planeten. Ausgehend von der Annahme, dass sich der Planet auf einer Kreis hnlichen Bahn um die Sonne bewegt, folgerte er, dass es eine Kraft geben muss, die bei konstanter Winkelgeschwindigkeit eine konstante Zentralbeschleunigung auf den Planeten ausbt. Diese Kraft nennt man die Gravitationskraft zwischen zwei Krpern. Die Gravitationskraft kann man durch das Produkt der Masse des Krpers und der Zentralbeschleunigung beschreiben:

1 F =m Pla

Die

Beschleunigung

a

berechnete

Newton

aus

dem

Quadrat

der

Geschwindigkeit durch den Abstand r des Planeten zur Sonne:m Plv v 2 F = r r

a=

Die Bahngeschwindigkeit lsst sich mit Hilfe der Kreisbahnlnge und der Umlaufdauer T wie folgt ermitteln:2 r T

3 v=

1

Herleitung des Gravitationsgesetz http://www.fys-online.de/wissen/ph/gravitation/gravitationskonstante.htm

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Setzt man jetzt (3) in (2) ein, bekommt man folgende Gleichung:

4 F =

4 rm Pl T

Das 3. Keplersche Gesetz besagt, dass die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier Planeten sich wie die 3. Potenzen ihrer groen Halbachsen a1 und a2 der Bahnellipsen verhalten. In unserer vereinfachten Form entsprechen a 1 und a2 den Radien r1 und r2 der Kreisbahnen:T 1 r1 T 1 T 2 = = =const. T 2 r 2 r 1 r 2

5

Die Konstante c1 hngt von der Masse mSo der Sonne ab und ist fr jeden Krper, der die Sonne umkreist gleich. Mit ihr kann man nun T in der ursprnglichen Gleichung ersetzen:4 m Pl T =c 1 T =c 1r 6 F = r c 1r

Da

4 c 1 konstant ist, muss die Gravitationskraft F direkt proportional zur Masse

mPl des Planeten und indirekt proportional zum Quadrat des Abstands r zur Sonne sein. mPl r

P 1 F~

Seite 6 | 23 Newtons 3. Axiom besagt, dass der Planet eine Kraft gleichen Betrages auf die Sonne ausben muss (Krftegleichgewicht):4 m So c 2r

7 F =

Die Konstante c2 hngt von der Masse des jeweiligen Planeten mPl und nicht von der Sonnenmasse mSO ab. Daraus folgt, dass die Gravitationskraft F auch direkt proportional zur Masse mSO ist.

P 2 F ~mSo

Aus (P1) und (P2) ergibt sich folgende Proportionalitt: mPlmSo r

P 3 F ~

Um diese Proportionalitt nun in Gleichungsform darzustellen, bentigt man einen Proportionalittsfaktor, in vorliegendem Fall die Gravitationskonstante . Abgeleitet daraus, ergibt sich Newtons Gravitationsgesetz:

m m m m 8 F = So Pl = 1 2 r r

Setzt man F mit FG gleich, so erhlt man folgende Gleichung:

m m F G =m 1g = 1 Erde r m Erde gr g = 9 m Erde= r

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Mit dieser Gleichung kann man nicht nur die Umlaufbahnen der Planeten erklren und berechnen, sondern hat auch das erste Mal die Mglichkeit die Erdmasse zu ermitteln. Newton fehlte allerdings die Gravitationskonstante . Er wusste zwar, dass sie existierte, fand aber keinen Weg sie zu berechnen.Sie wurde erst 1798 von Henry Cavendish das erste Mal bestimmt.

III. Bestimmung der Gravitationskonstante

1) Die Gravitationsdrehwaage von Cavendish

Die Gravitationsdrehwaage wurde von Geologe John Michell 1793 zur Bestimmung der Gravitationskonstante entwickelt. Dieser war allerdings aufgrund seines raschen Todes kurz nach Fertigstellung der Apparatur nicht in der Lage, Messungen durchzufhren. Vier Jahre nach seinem Tod befasste sich Henry Cavendish von neuem mit der Bestimmung der Gravitationskonstante, um damit die Erdmasse zu bestimmen. Cavendish verbesserte die Gravitationsdrehwaage entscheidend, indem er viele Strfaktoren, wie kleinste Temperaturschwankungen, ausschaltete. Er fhrte den Versuch beispielsweise aus einem anderen Raum durch und beobachtete ihn mit einem Fernrohr.

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a) Allgemeiner Versuchsaufbau (siehe Abbildung 1)2

Die Gravitationsdrehwaage besteht aus einer Stange, die an einem in ihrer Mitte befestigten Torsionsfaden hngt. Dort ist mittig ein kleiner Spiegel angebracht, der einen Laserstrahl auf eine Skala wirft. An den Enden der Stange sind jeweils zwei kleine Bleikugeln der Masse m1 befestigt. In genaueren Apparaturen sind diese Teile der Gravitationsdrehwaage Metallgehuse vor von einem verflschenden Abbildung 1

Luftstrmungen geschtzt. Auerhalb des Gehuses befindet sich eine weitere Stange, an deren zwei grere Bleikugeln der Masse m 2 befestigt sind. Diese Stange lsst sich um ihren Mittelpunkt drehen. Dieser Mittelpunkt liegt direkt unter dem der ersten Stange.

b) Allgemeine Versuchsdurchfhrung

Bei der Durchfhrung des Versuchs wird als erstes die Schwingungsdauer T der Apparatur am Torsionsfaden gemessen. Dabei ist es sinnvoll den Mittelwert aus mehreren Schwingungen zu bestimmen, um evtl. Messfehler gering zu halten. Hat man T dokumentiert, muss gewartet werden, bis sich die Stange mit den kleinen2

Versuchsaufbau der Gravitationsdrehwaage

http://www.pi5.uni-stuttgart.de/lehre/hauptseminar2001/Gravitationskonstante/Gravitation_2ndversionDateien/image044.jpg

Abbildung 2

Seite 9 | 23 Kugeln wieder in ihrer Ruhelage befindet. Bewegt sich das Pendel nicht mehr, zielt man mit dem Laser auf den Spiegel an der Stange. Der Laserstrahl wird auf eine Wand reflektiert. Dort wird die Skala so angebracht, dass der Laserstrahl im Nullpunkt justiert ist. Die groen Kugeln werden in Position 1 gebracht (siehe Abbildung 2)3. Jetzt ist zu erwarten, dass die kleinen Kugel von den groen angezogen werden. Dieser Effekt lsst sich durch eine Vernderung auf der Skala ablesen. Die Vernderung wird dokumentiert und die groen Kugeln in Position 2 gebracht (siehe Abbildung 2). Die Skala wird erneut abgelesen. Beide Vernderungen auf der Skala sollten den gleichen Betrag haben, da beide Male dieselben Krfte, nur in entgegengesetzter Richtung, wirken. Nun hat man alle Messungen, die zur Bestimmung der Gravitationskonstante notwendig sind.

c)

Herleitung

der

Physikalischen

Zusammenhnge

zur

Berechnung von

Um aus den Messwerten zu ermitteln, muss man eine Beziehung herstellen, in der die einzige Unbekannte ist. Zudem muss man versuchen die wirkende Kraft durch den Drehwinkel auszudrcken, der mit Hilfe der Messwerte der Skala zu errechnen ist. Man beginnt dabei mit der berlegung, dass es bei der von der Gravitationskraft F bewirkten Drehung der Stange am Torsionsfaden ein Drehmoment M gibt, was sich folgendermaen definiert:

M =Fr

Wobei r der Abstand von den Kugeln zum Mittelpunkt der Stange ist. F ist die Rckstellkraft des Torsionsfadens, die in der Extremlage den gleichen Betrag wie FG hat, deren Formel wir aus dem Gravitationsgesetz von Newton kennen.3

Eigene Skizze der physikalischen Gren der Gravitationsdrehwaage

Seite 10 | 23 Setzt man jetzt (8) in (9), bekommt man folgende Beziehung:

10 M =

m1m 2 r d

Da wir zwei unterschiedliche r haben, nenne ich den Abstand zwischen m1 (Masse der kleinen Kugeln) und m2 (Masse der groen Kugeln) in d um. Bevor wir M nher beschreiben, mssen wir beachten, dass zwischen beiden Kugelpaaren Gravitationskrfte wirken. Diese Krfte bewirken an der Stange eine Drehung in diegleiche Richtung. Die gesamt wirkende Drehkraft ist also doppelt so gro, womit sich auch das Drehmoment verdoppelt:

m 1m 2 11 M Dreh =2 r d

M wird durch das Produkt aus dem Winkel und der Winkelrichtgre D ersetzt:

12 M =D

stellt den Winkel zwischen Ruhe- und Extremlage der Stange dar. Die Winkelrichtgre D ist durch folgende Gleichung definiert.

4 13 D= J T

Seite 11 | 23 J ist das Trgheitsmoment des Torsionspendels, das sich in zwei einzelne Komponenten unterteilt: a) Das Trgheitsmoment der beiden Kugeln:

14 J Kugeln=2rm 1

b) Das Trgheitsmoment der Stange, an der die beiden Kugel befestigt sind:

2r 4r 15 J Stab=m Stab =m Stab 12 12

Fasst

man

(14)

und

(15)

zusammen,

bekommt

man

das

gesamte

Trgheitsmoment J :

4 m Stab m Stab 4r 16 J =2rm 1m Stab =r2m1 =r2m1 12 12 3

Setzt man jetzt (16) in (13) ein, sieht das ganze so aus:

17 D=

m 4 r 2m 1 Stab T 3

Seite 12 | 23 Jetzt mssen wir nur noch durch uns bekannte Gren ersetzten. Da die Entfernung l zwischen Skala und Versuchsanordnung und die Vernderung S auf der Skala bekannt ist, knnen wir den Winkel zwischen dem Laserstrahl in der Ruheposition und dem in der Extremlage berechnen. Dieser ist genau doppelt so gro wie , da sich zustzlich zur Drehung der Stange auch genauso der Einfallswinkel vergrert und damit auch der Ausfallwinkel. Damit gilt:

tan 2=

S l

Da es sich hier um einen extrem kleinen Winkel handelt, kann man in diesem Fall 18 2=tan 2 setzten. Setzt man nun (18) und (17) in (12) ein, bekommt man:

19 D=

m Stab m Stab 4 r 4 rS 2m 1 = 2m1 T 3 2Tl 3

Jetzt setzt man Gleichung (19) mit Gleichung (11) gleich: 20 2 m1m2 m m 2 rS rSd r = 2m1 Stab = 2m1 Stab d Tl 3 Tlm1m2 3

Setzt man nun in Gleichung (20) die Messwerte aus dem Versuch ein, kann man berechnen. Was in der Gleichung allerdings nicht bercksichtigt ist, ist die auftretende Luftreibung. Diese ist aber auch klein genug, um vernachlssigt zu werden.

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2) Versuchsdurchfhrung mit Eigennachbau

Nachdem der Versuch aus der Physiksamlung zuerst unauffindbar war, habe ich selbst eine Gravitationsdrehwaage nach dem Vorbild von Cavendish gebaut und mit ihr versucht, die Gravitationskonstante zu ermitteln.

a) Bau einer Gravitationsdrehwaage

Abbildung 3 Der erste Teil meiner Gravitationsdrehwaage stellt die drehbare Befestigung der groen Kugeln dar (siehe Abbildung 3). Wichtig dabei ist, dass zwischen den beiden Drehelementen eine Beilagscheibe verschraubt ist, damit die Kugeln schnell von Position 1 in Position 2 gebracht werden knnen.

Seite 14 | 23 Den zweiten Teil stellt das Stativ (siehe Abbildung 4) dar, an dem der Torsionsfaden und das Pendel der zwei kleinen Kugeln befestigt ist. Die Stange soll dabei waagrecht mit ihren Mittelpunkt direkt ber der Mitte der Anordnung aufgehngt sein. Zudem befindet sich das Pendel in einem Plexiglasbehlter, der nach oben hin offen ist und dazu dient, vor Luftzgen zu schtzen.

Abbildung 4 Als letztes wird der Laser angebracht, sodass er auf den Spiegel zeigt. Am Bildpunkt des Lasers wird die Skala auf Null justiert (siehe Abbildung 5).

Abbildung 5

Das grte Problem beim selbststndigen Bau einer Gravitationsdrehwaage ist die Beseitigung von Strfaktoren. Dabei stellte es sich als fast unmglich heraus, die Verflschungen durch den von Bewegungen erzeugten Luftzug zu verhindern. Ein weiteres Problem war, dass ich als Ersatz fr den Torsionsfaden eine dnne Gitarrenseite benutzte. Durch diese beiden groen Strfaktoren war von vornherein eine genaue Bestimmung von unwahrscheinlich.

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b) Versuchsdurchfhrung

Bei der Durchfhrung des Versuchs ergab sich das Problem, dass so gut wie keine Vernderung auf der Skala messbar war. Deshalb habe ich mich dazu entschlossen die Gleichung (20) nach S aufzulsen und fr den Literaturwert zu verwenden. Das ganze hat den Sinn, herauszufinden, ob das Scheitern des Versuchs an ueren Strfaktoren lag, oder ob der Winkel einfach zu klein fr eine Messung war. Dazu bentigt man zuerst die Messwerte der bentigten physikalischen Gren:

Masse m1 Masse m2 Masse mStab

0,964 Kg Stangenradius r 1,49 Kg Kugelabstand d 0,163 Kg Skalaentfernung l

0,1 m 0,045 m 5,0 m Kg-1

Schwingungsdauer T 65 s

Gravitationskonstante 6,673 10-11 m s-2

Diese setzt man in die nach S aufgelste Gleichung (20) ein:

=

m rSd 2m1 Stab S= Tlm1m2 3

Tlm1m2 2m 1mstab rd 3

m 65 s 5 m0,964 Kg1,49 Kg sKg 4 S= =5,1110 0,51 mm 0,163 Kg 0,1 m 0,045 m 20,964 Kg 3 6,6731011

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c) Fehleranalyse

Da wir S nur auf einen Millimeter genau bestimmen knnen, ist eine Vernderung S von 0,5 mm fr uns nicht messbar. Damit ist der Versuch leider nicht zur Bestimmung von ungeeignet. Die Skala Vernderung S ist deshalb so klein, weil die Stahlgitarrenseite eine zu groe Rckstellkraft besitzt. Um den Versuch brauchbar zu machen, msste man entweder grere Kugeln benutzen oder eine weichere Gitarrenseite verwenden.

3) Versuchsdurchfhrung mit Modell aus der Physiksammlung

a) Instandsetzung der GravitationsdrehwaageNachdem der Nachbau nicht die Ergebnisse lieferte, die erhofft wurden, und eine alte Versuchsanordnung in der Physiksammlung gefunden wurde, habe ich mich dazu entschlossen, den Versuch noch einmal durchzufhren. Allerdings war bei der alten Gravitationsdrehwaage der ursprngliche Torsionsfaden gerissen. Also habe ich diesen ersetzt. Auf der Suche nach einem Ersatz bot sich das menschliche Haar als einzige wirkliche Alternative an. Also machte ich mich an die Arbeit und versuchte das Torsionspendel an einem Haar zu befestigen (siehe Abbildung 6). Nach mehreren Versuchen gelang es mir, den Versuchsaufbau solange in Takt zu halten, um wenigstens notdrftig die ntigen Messungen durchzufhren.

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b) Versuchsdurchfhrung und Auswertung

Vor der Versuchsdurchfhrung wurden folgende Werte gemessen:

Masse m1 Masse m2 Masse mStab

0,02 Kg 1,49 Kg 0,004 Kg

Drehradius r Kugelabstand d Skalaentfernung l

0,03 m 0,043 m 5,0 m

Um T zu messen, stoppt man die Zeit einer bestimmten Anzahl von Schwingungen ( in meinem Fall waren es drei) und errechnet daraus den Durchschnitt.

Zeitintervall: 819s / 13 min und 39 s

Schwingungsanzahl: 3

Durchschnittswert 273s

Danach beginnt der eigentliche Versuch zur Ermittlung von S. Dabei wartete man, bis das Pendel zur Ruhe gekommen ist, justiert die Skala so, dass der Laserstrahl im Nullpunkt liegt, und bringt die groen Kugeln in Position 1 (siehe Abbildung 7). Die auftretende Vernderung an der Skala wird dokumentiert. Nachdem die groen Kugeln in Position 2 (siehe Abbildung 8) gebracht worden sind, wird erneut die Vernderung auf der Skala gemessen. Bei diesem Versuch ergaben sich folgende Werte (siehe Abbildung 9): Abstand S1 0,023 m Abstand S2 0,025 m Durchschnittswert fr S 0,024 m

Seite 18 | 23 Jetzt setzt man die Werte in Gleichung (20) ein:

=

m Stab 0,03 m0,024 m0,043 m rSd 0,004 Kg 2m 1 = 0,04 Kg Tlm 1m 2 3 273 s 5 m0,02 Kg1,49 Kg 3

11 Mit diesen Werten errechnet sich fr der Wert 4,890510 sKg .

m

c) Fehleranalyse

Der Literaturwert von liegt bei

6,67310

11

m sKg

. Das heit es liegt ein

Fehler von 26,7% vor. Dieser Fehler ergibt sich anhand von Ungenauigkeiten bei den Messungen. Jeder Wert kann nur bis zu einer bestimmten Kommastelle genau gemessen werden. So knnen alle weiteren Nachkommastellen variieren, was bedeutet, dass experimentell ermittelte Werte immer zu einem bestimmten Grad ungenau sind. Um unseren Messfehler nachvollziehen zu knnen, muss man bei allen gemessenen Werten den maximalen Messfehler analysieren und errechnen, wie sich dieser Fehler auf das Gesamtergebnis auswirkt:

Seite 19 | 23 Physikalische Gren: Schwingungsdauer T Masse m1 Masse m2 Masse mstab Stangenradius r Kugelabstand d Skalaentfernung l Gesamt 0,02 Kg 1,49 Kg 0,004 Kg 0,03 m 0,043 m 5m 0,005 Kg 0,005 Kg 0,001 Kg 0,005 m 0,001 m 0,001 m 0,005 m 0,053 | - 0,053 0,017 | - 0,016 0,039 | - 0,039 1,019 | - 1,019 0,163 | - 0,163 0,23 | - 0,225 0,005 | - 0,005 273 s Messwert: Max. Messfehler: 1s Gesamtfehler 10-11 0,036 | - 0,036 in m sKg

Skalavernderung S 0,024 m

--------------- --------------------- 1,718 | - 1,407

Der folgenschwerste Messfehler tritt beim Ablesen der Skala auf. Grund dafr war vermutlich, dass durch Luftstrme im Raum die Versuchsanordnung nie in den Extremlagen zur Ruhe kam, sondern immer etwas pendelte, was eine genauer Ablesung unmglich machte. Da es eher unwahrscheinlich ist, dass bei allen Messergebnissen die max. Messfehler auftreten, muss fr den Fehler noch etwas anderes verantwortlich sein. Bei meiner Versuchsanordnung war dies wahrscheinlich die Tatsache, dass das Pendel beim Drehen ab und zu am Versuchsaufbau geschliffen hat. Die dabei auftretende Reibung bewirkt ein , was bei einen Fehler ins Negative zur Folge hat.

IV. Schluss

Durch meine Arbeit im theoretischen sowie praktischen Bereich rund um die Ermittlung der Gravitationskonstanten, habe ich viele neue Erfahrungen sammeln knnen. Als ich mich das erste mal mit dem Thema befasste, dachte ich, es gehe nur um die Bestimmung einer Konstanten. Allerdings wurde mir schnell klar, dass das Thema viel umfassender war als angenommen. Wenn

Seite 20 | 23 man sich erst einmal in die Materie eingearbeitet hat merkt man, dass man auf dem Weg ist Gleichungen aufzustellen, mit denen man ohne fremde Hilfe Gren, wie die Erdmasse berechnen kann. Diese Tatsache macht aus einer langweiligen Arbeit so etwas wie ein Abenteuer. Diese These ist schwer nachzuvollziehen, aber man entdeckt eben, die schon bekannten Formel und Gleichungen fr sich neu.

V. Materialanhang

Abbildung 6

Abbildung 7

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Abbildung 8

Abbildung 9

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VI. Quellen- und Literaturverzeichnis(1) http://www.fys-online.de/wissen/ph/gravitation/gravitationskonstante.htm (2) http://de.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler (3) http://www.juliantrubin.com/bigten/de/henry_cavendish_de.html (4) http://www.lern-online.net/physik/pdf/facharbeit-physik-12lkgravitationskonstante.pdf (5) http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/umwelttechnik/10_gravkonst/gravikon.htm (6) http://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationskonstante (7) http://www.wgg-neumarkt.de/texte/physik/grav.php (8) http://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsches_Gravitationsgesetz (9) http://leifi.physik.unimuenchen.de/web_ph11/grundwissen/09_keplergesetze/keplergesetze.h tm

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VII. Selbststndigkeitserklrung

Ich erklre hiermit, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angefhrten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe..............................................., den ....................... ..........................................................

Ort

Datum

Unterschrift des Kollegiaten