Fakultät für Ingenieurwissenschaften Fachgebiet ... · und am Empfänger additiv mit weißem normalverteiltem Rauschen überlagert. Die folgenden Die folgenden Parameter charakterisieren

Fakultät für Ingenieurwissenschaften

Fachgebiet Kommunikationstechnik

Schriftliche Prüfung

Mobilkommunikationstechnik

Prüfungsdatum MktMuster4

Bearbeitungsdauer 90 Minuten

Erreichbare Gesamtpunktzahl 90 Punkte

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Matrikel-Nr. .............................................................................................

W i c h t i g e H i n w e i s e

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Schriftliche Prüfung MktMuster4

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Aufgabe 1 : Seite 1 von 6

KommunikationsTechnik

Aufgabe 1 19 Punkte Bei UMTS werden verschiedene Frequenzbänder unterschieden, für

• „FDD” UMTS Terrestrial Radio Access (UTRA) Frequency Division Duplex, • „TDD“ UTRA Time Division Duplex, • „Sat.“ UMTS Satellite.

Darüber hinaus kann eine Einteilung je nach Senderichtung erfolgen: o „Up“ Uplink, o „Down“ Downlink.

1.1 Die folgenden sechs Bilder verwenden die fünf oben eingeführten Abkürzungen auf einer Frequenzachse. Welches zeigt die korrekte Frequenzeinteilung in Deutschland?

[5 Punkte]

FDD verwendet für Up- und Downlink immer weit voneinander getrennte Frequenzbänder. TDD verwendet für Up- und Downlink immer dasselbe Frequenzband. UMTS-Satellit verwendet wegen der großen Distanz FDD. E) A)

B)

C)





D)

E)

F)

G)

Keine der angegebenen Möglichkeiten.





Es wird eine vierwertige Phasenmodulation, engl. Quaternary Phase-Shift Keying (4-PSK), betrachtet.

1.2 Welche der nachfolgenden Sätze von Konstellationspunkten beschreiben das Konstellationsdiagramm einer 4-PSK?

[4 Punkte]

H), denn alle anderen haben variable Amplituden und/oder sind rein reell oder rein imaginär. H) 𝑢1 = 1; 𝑢2 = j; 𝑢3 = −1; 𝑢4 = −j

I) 𝑢1 = 𝑒0; 𝑢2 = 𝑒𝜋/2; 𝑢3 = 𝑒𝜋; 𝑢4 = 𝑒−𝜋/2

J) 𝑢1 = 12

+ j 12; 𝑢2 = −√3

2+ j √3

2; 𝑢3 = −1

2− j 1

2; 𝑢4 = √3

2− j √3

2

K) 𝑢1 = cos �𝜋2�; 𝑢2 = sin �𝜋

2�; 𝑢3 = sin (𝜋); 𝑢4 = cos (𝜋)

L) 𝑢1 = j ⋅ cos �𝜋2�; 𝑢2 = j ⋅ sin �𝜋

2�; 𝑢3 = j ⋅ sin (𝜋); 𝑢4 = j ⋅ cos (𝜋)

M) Keine der angegebenen Möglichkeiten.

Bild 1.1 zeigt den Aufbau eines Quadratur-Amplituden-Modulators. Das komplexe Basisbandsignal u(t) mit dem Realteil i(t) und dem Imaginärteil q(t) wird mit der rechtsdrehend komplexen Schwingung e-j∙2πf0t gemischt, bevor das Ausgangssignal s(t) als Realteil des Produkts berechnet wird.

Bild 1.1. QAM-Modulator.

1.3 Bestimmen Sie das Ausgangssignal s(t). [5 Punkte]

𝑢 ⋅ 𝑒−𝑗⋅2𝜋𝑓0𝑡 = (𝑖 + j𝑞) ⋅ �cos(−2𝜋𝑓0𝑡) + j ⋅ sin(−2𝜋𝑓0𝑡)�

= 𝑖 ⋅ cos(−2𝜋𝑓0𝑡) + j2 ⋅ 𝑞 ⋅ sin(−2𝜋𝑓0𝑡) + j ⋅ �𝑖 ⋅ sin(−2𝜋𝑓0𝑡) + 𝑞 ⋅ cos(−2𝜋𝑓0𝑡)�

Re�𝑢 ⋅ 𝑒𝑗⋅2𝜋𝑓0𝑡� = 𝑖 ⋅ cos(−2𝜋𝑓0𝑡) − 𝑞 ⋅ sin(−2𝜋𝑓0𝑡) = 𝑖 ⋅ cos(2𝜋𝑓0𝑡) + 𝑞 ⋅ sin(2𝜋𝑓0𝑡)

P)





N) 𝑠(𝑡) = 𝑖(𝑡) ⋅ sin(2𝜋𝑓0𝑡) + 𝑞(𝑡) ⋅ cos(2𝜋𝑓0𝑡)

O) 𝑠(𝑡) = 𝑖(𝑡) ⋅ sin(2𝜋𝑓0𝑡) − 𝑞(𝑡) ⋅ cos(2𝜋𝑓0𝑡)

P) 𝑠(𝑡) = 𝑖(𝑡) ⋅ cos(2𝜋𝑓0𝑡) + 𝑞(𝑡) ⋅ sin(2𝜋𝑓0𝑡)

Q) 𝑠(𝑡) = 𝑖(𝑡) ⋅ cos(2𝜋𝑓0𝑡) − 𝑞(𝑡) ⋅ sin(2𝜋𝑓0𝑡)

R) 𝑠(𝑡) = 𝑖(𝑡) ⋅ 𝑒j⋅2𝜋𝑓0𝑡 + j ⋅ 𝑞(𝑡) ⋅ 𝑒j⋅2𝜋𝑓0𝑡

S) 𝑠(𝑡) = 𝑖(𝑡) ⋅ 𝑒j⋅2𝜋𝑓0𝑡 − 𝑞(𝑡) ⋅ 𝑒−j2𝜋𝑓0𝑡 T) Keine der angegebenen Möglichkeiten.





Das Datenwort

( )T1; 1; 1; 1; 1; 1= − + − + + +d

soll mit einer OQPSK (engl. Offset Quadrature Phase Shift Keying)-Modulation mit rechteckiger Pulsform moduliert werden. Mit der Symbolperiode T gilt für das modulierte komplexe Basisbandsignal u(t):

11

0

1( ) j rect2 2

Nk

kk

t kTu t dT

−+

=

− = ⋅ ⋅ −

∑

Die hierbei verwendete Rechteckfunktion ist definiert zu:

( )1 ; 1 2

rect0 ; 1 2

xx

x <= ≥

1.4 Welches der fünf nachfolgenden Bilder zeigt das korrekt modulierte komplexe Basisbansignal u(t)?

[5 Punkte]

𝒌 = (0; 1; 2; 3; 4; 5) 𝑗𝑘+1 = (+𝑗; −1; −𝑗; +1; +𝑗; −1) 𝒅 = (−1; +1; −1; +1; +1; +1) 𝒖 = (−𝑗; −1; +𝑗; +1; +𝑗; −1) Y) U)

V)





W)

X)

Y)

Z)

Keine der angegebenen Möglichkeiten.





Aufgabe 2 17 Punkte

Es werden Symbole 𝑠𝑖 ∈ {a; b; c} einer diskreten Informationsquelle übermittelt. Bild 2.1 zeigt ihre diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Bild 2.1. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung der Symbole 𝑠𝑖 ∈ {a; b; c}.

2.1 Wie groß ist die Informationsentropie H{𝑠𝑖} eines Symbols 𝑠𝑖? [4 Punkte]

H{𝑠𝑖}/bit = 12⋅ log2(2) + 1

3⋅ log2(3) + 1

6⋅ log2(6) = 0,5 + 0,53 + 0,43 = 1,46 B)

A) H{𝑠𝑖} < 1 bit

B) 1 bit ≤ H{𝑠𝑖} < 1,5 bit

C) 1,5 bit ≤ H{𝑠𝑖} < 2 bit

D) 2 bit ≤ H{𝑠𝑖} < 2,5 bit

E) 2,5 bit ≤ H{𝑠𝑖} < 3 bit

F) H{𝑠𝑖} ≥ 3 bit G) Keine der angegebenen Möglichkeiten.

Im Folgenden soll eine Informationsquelle betrachtet werden, deren Symbole 𝑥 stetige Zufallsvariablen sind. 𝑥 ist variabel; Bild 2.2 zeigt ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.





Bild 2.2. Stetige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Variablen 𝑥.

Die Symbole 𝑥 sind im Intervall 0 ≤ 𝑥 < 2 stetig gleichverteilt.

2.2 Wie groß ist die Informationsentropie H{𝑥} eines Symbols 𝑥? [5 Punkte]

H{𝑥}/bit = ∫ 12⋅ log(2) d𝑥2

0 = 12⋅ log(2) (2 − 0) = log(2) = 1 I)

H) H{𝑥} < 1 bit

I) 1 bit ≤ H{𝑥} < 1,5 bit

J) 1,5 bit ≤ H{𝑥} < 2 bit

K) 2 bit ≤ H{𝑥} < 2,5 bit

L) 2,5 bit ≤ H{𝑥} < 3 bit

M) H{𝑥} ≥ 3 bit N) Keine der angegebenen Möglichkeiten.

In einem Kommunikationssystem werden Nachrichten von einem Sender an einen Empfänger übertragen. Das dazu verwendete Kommunikationssignal wird bei der Übertragung gedämpft und am Empfänger additiv mit weißem normalverteiltem Rauschen überlagert. Die folgenden Parameter charakterisieren das Kommunikationssystem:

• Sendeleistung 𝑃TX = 1 W • Dämpfung zwischen Sender und Empfänger 𝑎 = 20 dB

• Rauschleistung im Empfänger 𝑃N = 100 µW • Systembandbreite 𝐵 = 400 kHz

2.3 Bestimmen Sie die Kanalkapazität 𝐶. [4 Punkte]

𝐶AWGN = 𝐵 ⋅ log2 �1 + 𝑆𝑁� = 400 kHz ⋅ log2 �1 + 1 W⋅10−20/10

100 µW�





= 4 ⋅ 105 ⋅ log2 �1 + 10−2

10−4� s−1 = 4 ⋅ 105 ⋅ log2(1 + 102) s−1 = 2,66 Mbit/s R)

O) 𝐶 < 500 kbit/s

P) 500 kbit/s ≤ 𝐶 < 1 Mbit/s

Q) 1 Mbit/s ≤ 𝐶 < 2 Mbit/s

R) 2 Mbit/s ≤ 𝐶 < 3 Mbit/s

S) 𝐶 ≥ 3 Mbit/s T) Keine der angegebenen Möglichkeiten.

Für die Datenübertragung in einem Kommunikationssystem soll Orthogonal Frequency-Division Multiplexing (OFDM) mit einer 64-QAM als Subträgermodulation eingesetzt werden (𝑀 = 64). Auf der Systembandbreite von 𝐵sys = 30,72 MHz wird eine 2048-dimensionale schnelle Fourier-Transformation (FFT) eingesetzt: 𝑁FFT = 2048. Von den sich ergebenden 2048 Subträgern werden jedoch nur 𝑁SC = 1200 Subträger für die Datenübertragung verwendet. Die verbleibenden 848 Subträger dienen als Guard-Band, werden also nicht für die Übertragung genutzt. Bild 2.3 zeigt den Betrag des Spektrums des äquivalenten Tiefpasssignals.

Bild 2.3. Betrag des Spektrums des dem Kommunikationssignal äquivalenten Tiefpasssignals.

2.4 Mit welcher Datenrate 𝑅max kann bei beliebig gutem Signal-zu-Rausch-Verhältnis maximal übertragen werden?

[4 Punkte]

𝑓g = 𝐵sys2⋅ 𝑁SC𝑁FFT

𝑅max = 𝐵sys ⋅𝑁SC𝑁FFT

⋅ log2(𝑀) = 30,72 ⋅ 106 s−1 ⋅ 12002048

⋅ log2(64) = 108 ⋅ 106 bit/s X)

U) 𝑅max < 20 Mbit/s

V) 20 Mbit/s ≤ 𝑅max < 40 Mbit/s

W) 40 Mbit/s ≤ 𝑅max < 80 Mbit/s

X) 80 Mbit/s ≤ 𝑅max < 120 Mbit/s

Y) 𝑅max ≥ 120 Mbit/s Z) Keine der angegebenen Möglichkeiten.





Aufgabe 3 9 Punkte Bild 3.1 zeigt einen stationären Sender (Tx) und einen Empfänger (Rx), der sich mit einer Geschwindigkeit 𝒗 mit konstantem Betrag |𝒗| auf einer Kreisbahn bewegt. Der Sender (Tx) befindet sich außerhalb dieses Kreises. Es wird ein Signal mit der Frequenz 𝑓0 = 2120 MHz vom Sender (Tx) zum Empfänger (Rx) übertragen.

Bild 3.1. Stationärer Sender (Tx) und der sich auf einem Kreis bewegende Empfänger (Rx).

Der Empfänger (Rx) misst das Verzögerungsleistungsspektrum 𝜌T(𝜏) sowie das Dopplerspektrum 𝑆c(𝑓d). Bild 3.2 zeigt das normierte Verzögerungsleistungsspektrum pρT(𝜏) = 𝜌T(𝜏)/∫𝜌T(𝜏)d𝜏. Das normierte Dopplerspektrum pSc(𝑓d) = 𝑆c(𝑓d)/∫𝑆c(𝑓d)d𝑓d ist in Bild 3.3 dargestellt.

Bild 3.2. Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Verzögerung 𝜏.

Bild 3.3. Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Dopplerfrequenz 𝑓d.

Gehen Sie davon aus, dass die Messungen von 𝜌T(𝜏) und 𝑆c(𝑓d) nahezu unendlich lange dauern, und dass sich Sender (Tx) und Empfänger (Rx) dabei stets auf gleicher Höhe befinden.





3.1 Wie groß ist der konstante Betrag |𝒗| der Geschwindigkeit 𝒗, mit der sich der Empfänger (Rx) bewegt?

[5 Punkte]

𝑓d,max = 29,4444 Hz = 𝑣0𝑐0⋅ 𝑓0 𝑣0 = 𝑑d,max

𝑓0⋅ 𝑐0 = 29,4444

2120⋅106⋅ 3 ⋅ 108 m

s= 4,1667 m

s

𝑣0 = 4,1667 ⋅ 3,6 kmh

= 15 kmh

A)

A) |𝒗| ≤ 20 km/h

B) 20 km/h < |𝒗| ≤ 50 km/h

C) 50 km/h < |𝒗| ≤ 80 km/h

D) 80 km/h < |𝒗| ≤ 150 km/h

E) 150 km/h < |𝒗| ≤ 200 km/h

F) |𝒗| > 200 km/h G) Keine der angegebenen Möglichkeiten.

3.2 Wie groß ist der Durchmesser 𝑑 des Kreises, auf dem sich der Empfänger (Rx) bewegt? [4 Punkte]

𝑇M = max(𝜏) − max(𝜏) = 2,5 µs − 1,5 µ𝑠 = 1 µs = 𝑑𝑐0

𝑑 = 𝑇m ⋅ 𝑐0 = 10−6 s ⋅ 3 ⋅ 108 ms

= 300 m M)

H) 𝑑 ≤ 20 m

I) 20 m < 𝑑 ≤ 50 m

J) 50 m < 𝑑 ≤ 80 m

K) 80 m < 𝑑 ≤ 150 m

L) 150 m < 𝑑 ≤ 200 m

M) 𝑑 > 200 m N) Keine der angegebenen Möglichkeiten.





Aufgabe 4 6 Punkte In einem Mobilfunksystem hängen die Bit-Fehler-Wahrscheinlichkeit 𝑃b und die Ausfallwahrscheinlichkeit 𝑃out von der Systemlast 𝐿S ab, mit der das Funksystem ausgelastet wird. Bild 4.1 zeigt die Bit-Fehler-Wahrscheinlichkeit 𝑃b für vier Systemlasten 𝐿S in Abhängigkeit vom Verhältnis aus Bitenergie 𝐸b zur spektralen Rauschleistungsdichte 𝑁0. Bild 4.2 zeigt die Wahrscheinlichkeiten 𝑃out = Pr(𝐶/𝐼 < 𝛤) dafür, dass das Verhältnis aus empfangener Nutzsignalleistung 𝐶 zur Interferenzleistung 𝐼 einen Wert 𝛤 unterschreitet, ebenfalls für vier Systemlasten 𝐿S.

Bild 4.1. Bit-Fehler-Wahrscheinlichkeiten 𝑃b bei verschiedenen Systemlasten 𝐿S.

Bild 4.2. Ausfallwahrscheinlichkeiten bei verschiedenen Systemlasten 𝐿S.





Gehen Sie davon aus, dass das Verhältnis 𝐸b/𝑁0 aus Bitenergie zur spektralen Rauschleistungsdichte in dem betrachteten Bereich gleich dem Verhältnis 𝐶/𝐼 aus empfangener Nutzsignalleistung zur Interferenzleistung ist: 𝐸b/𝑁0 = 𝐶/𝐼.

Unberücksichtigt der zur Verfügung gestellten Dienstgüte (QoS), habe die spektrale Effizienz 𝜂 bei Volllast, d.h. wenn die Systemlast 𝐿S = 100 % ist, den Wert

𝜂max = 𝜂(𝐿S = 100 %) = 1bit

s ⋅ Hz.

4.1 Welche spektrale Effizienz 𝜂1 kann maximal erreicht werden, wenn die Bitfehlerwahrscheinlichkeit 𝑃b den Wert 𝑃b,max = 10−4 nicht überschreiten soll und gleichzeitig die Ausfallwahrscheinlichkeit 𝑃out den Wert 𝑃out,max = 10−3 nicht überschreiten soll?

[6 Punkte]

Aus den Bildern ersichtlich:

L_S /[%] 25 50 75 100 10*log_10(Eb/N0) /[dB] @Pb=10^-4 13,5 14 14,5 15 10*log_10(C/I) /[dB] @Pout=10^-3 16 14 12 10 (C/I)_max >= (Eb/N0)_min WAHR WAHR FALSCH FALSCH

𝐿S = 50 % 𝜂(𝐿S = 50 %) = 50 % ⋅ 𝜂(𝐿S = 100 %) = 0,5 bits⋅Hz

D)

A) 𝜂1 ≤ 0,1 bits⋅Hz

B) 0,1 bits⋅Hz

< 𝜂1 ≤ 0,2 bits⋅Hz

C) 0,2 bits⋅Hz

< 𝜂1 ≤ 0,4 bits⋅Hz

D) 0,4 bits⋅Hz

< 𝜂1 ≤ 0,6 bits⋅Hz

E) 0,6 bits⋅Hz

< 𝜂1 ≤ 0,8 bits⋅Hz

F) 0,8 bits⋅Hz

< 𝜂1 ≤ 1,0 bits⋅Hz

G) 𝜂1 > 1,0 bits⋅Hz

H) Keine der angegebenen Möglichkeiten.





Aufgabe 5 17 Punkte Bei der Funkübertragung von einem Sender (TX) an einen Empfänger (RX) hängt die mittlere logarithmische Funkfelddämpfung 𝑎�/dB über folgenden Zusammenhang von der Distanz 𝜌 zwischen Sender (TX) und Empfänger (RX) ab:

𝑎�/dB = 123 dB + 30 ⋅ log10(𝜌/km) Aufgrund des langsamen Schwunds ist die tatsächliche aktuelle logarithmische Funkfelddämpfung 𝑎 mit dem Mittelwert 𝐸{𝑎} = 𝑎� und der Standardabweichung 𝜎a = 4 dB normalverteilt. Der Abstand zwischen Sender (TX) und Empfänger (RX) ist 𝜌0 = 10 km. Die Sendeleistung ist 𝑃TX,0 = 1 W. Die Ausfallwahrscheinlichkeit aufgrund des langsamen Schwunds ist 𝑃out,0 = 50 %.

5.1 Auf welchen Wert 𝑃TX,1 muss die Sendeleistung mindestens gesteigert werden, um die Ausfallwahrscheinlichkeit von 𝑃out,0 = 50 % auf 𝑃out,1 = 5 % zu senken?

[6 Punkte]

𝑀log = √2𝜎a ⋅ erf−1(1 − 2𝑃out) = √2 ⋅ 4 dB ⋅ erf−1(1 − 2 ⋅ 0,05) = √2 ⋅ 4 dB ⋅ erf−1(0,9)

erf(1,16) = 0,899 ; erf(1,17) = 0,902 erf−1(0,9) ≈ 1,165

𝑀log ≈ √2 ⋅ 4 dB ⋅ 1,165 ≈ 6,59 dB

𝑀log�𝑃out,0 = 50 %� = 0 dB ; 𝑀log�𝑃out,1 = 5 %� = 6,59 dB 𝑀log muss um 6,59 dB gesteigert werden 𝑃TX muss um 6,59 dB gesteigert werden.

𝑃TX,1 = 𝑃TX,0 ⋅ 10𝑀log10 = 1 W ⋅ 100,659 = 4,56 W C)

A) 𝑃TX,1 < 2 W

B) 2 W ≤ 𝑃TX,1 < 4 W

C) 4 W ≤ 𝑃TX,1 < 8 W

D) 8 W ≤ 𝑃TX,1 < 16 W

E) 16 W ≤ 𝑃TX,1 < 32 W

F) 32 W ≤ 𝑃TX,1 < 64 W

G) 𝑃TX,1 ≥ 64 W






Um die Reichweite auf 𝜌2 = 20 km zu verdoppeln, soll senderseitig eine Richtantenne mit einem Antennengewinn 𝐺TX,2 eingesetzt werden.

5.2 Welcher logarithmische Antennengewinn 𝑔TX,2/dB = 10 ⋅ log10�𝐺TX,2� verdoppelt die Reichweite unter Berücksichtigung des gegebenen Vorhersagemodells für die mittlere Funkfelddämpfung?

[6 Punkte]

Der Dämpfungsexponent ist 𝛼 = 3 (vgl. das gegebene Vorhersagemodells für die mittlere Funkfelddämpfung). 𝑃RX ∝

1𝜌𝛼

= 1𝜌3

= 1𝜌03⋅23

= 1𝜌03⋅8

Bei Verdopplung der Distanz 𝜌

sinkt die Empfangsleistung um Faktor 2𝛼 = 23 = 8. Um dies auszugleichen muss der Antennengewinn um Faktor 𝐺TX,2 = 8 steigen, bzw. 𝑔TX,2/dB = 10 ⋅ log10(8) = 9 dB. O)

I) 𝑔TX,2 < 1 dB

J) 1 dB ≤ 𝑔TX,2 < 2 dB

K) 2 dB ≤ 𝑔TX,2 < 3,5 dB

L) 3,5 dB ≤ 𝑔TX,2 < 5 dB

M) 5 dB ≤ 𝑔TX,2 < 6,5 dB

N) 6,5 dB ≤ 𝑔TX,2 < 8 dB

O) 𝑔TX,2 ≥ 8 dB

P) Keine der angegebenen Möglichkeiten.





Es soll die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Empfangsleistung 𝑃e/W bestimmt werden, wobei davon ausgegangen wird, dass die logarithmische Empfangsleistung

𝑝e/dB = 10 ⋅ log10(𝑃e/W)

normalverteilt ist. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist:

ppe(𝑝e/dB) =1

√2𝜋𝜎a⋅ exp�−

�𝑝e/dB − (𝑝s/dB − 𝑎�/dB)�2

2 ⋅ 𝜎a2�

5.3 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Empfangsleistung 𝑃e/W. [5 Punkte]

1. 𝑝e/dB = 10 ⋅ log10(𝑃e/W)

2. d𝑝ed𝑃e

= dd𝑃e

10 ⋅ ln(𝑃e/W)ln(10) = 10

ln(10) ⋅1𝑃e

pPe(𝑃e/W) = ppe �𝑝edB

= 10 ⋅ log10(𝑃e/W)� ⋅ 10ln(10) ⋅

1𝑃e

U)

Q) pPe(𝑃e/W) = 1√2𝜋𝜎a

⋅ exp�−�10⋅log10�

𝑃eW�−�𝑝sdB−

𝑎�dB��

2

2⋅𝜎a2�

R) pPe(𝑃e/W) = 1√2𝜋𝜎a

⋅ exp�−�10⋅log10�


𝑎�dB��

2

2⋅𝜎a2� ⋅ ln(10)

10⋅ 𝑃e

S) pPe(𝑃e/W) = 1√2𝜋𝜎a

⋅ exp�−�10⋅log10�


𝑎�dB��

2

2⋅𝜎a2� ⋅ 10

ln(10) ⋅ 𝑃e

T) pPe(𝑃e/W) = 1√2𝜋𝜎a

⋅ exp�−�10⋅log10�


𝑎�dB��

2

2⋅𝜎a2� ⋅ ln(10)

10⋅ 1𝑃e

U) pPe(𝑃e/W) = 1√2𝜋𝜎a

⋅ exp�−�10⋅log10�


𝑎�dB��

2

2⋅𝜎a2� ⋅ 10

ln(10) ⋅1𝑃e

V) pPe(𝑃e/W) = 1√2𝜋𝜎a

⋅ exp �− (𝑃e/𝑃s)2

2⋅𝜎a2⋅𝑎�2� ⋅ 10

ln(10)

W) pPe(𝑃e/W) = 1√2𝜋𝜎a

⋅ exp �− (𝑃e/𝑃s)2

2⋅𝜎a2⋅𝑎�2� ⋅ ln(10)

10

X) Keine der angegebenen Möglichkeiten.





Aufgabe 6 10 Punkte Ein zellulares Mobilfunknetz verwendet als Vielfachzugriffsverfahren einen frequenzgeteilten (FDMA) Zeitmultiplex (TDMA) mit 𝐾F = 8 Zeitschlitzen. Es soll mit einer Clusterordnung (reuse factor) von 𝑟 = 3 betrieben werden. Im verfügbaren Frequenzband stehen 𝑁F = 60 Trägerfrequenzen zur Verfügung. Das Mobilfunknetz soll 𝑁T = 18 ⋅ 106 (achtzehn Millionen) Kunden bedienen, die sich gleichmäßig über das Gebiet des Mobilfunknetzes verteilen, und von denen jeder ein Verkehrsangebot von 𝜆T = 0,03 Erl erzeugt.

6.1 Welche Anzahl 𝑁BTS von Basisstationen wird mindestens benötigt, um das gesamte Verkehrsangebot bedienen zu können?

[6 Punkte]

𝑁BTS ⋅𝑁F𝑟⋅ 𝐾F ≥ 𝑁T ⋅ 𝜆T 𝑁BTS ≥

𝑁T⋅𝜆T⋅𝑟𝑁F⋅𝐾F

= 18⋅106⋅0,03⋅360⋅8

= 3375 A) 𝑁BTS < 100

B) 100 ≤ 𝑁BTS < 200

C) 200 ≤ 𝑁BTS < 500

D) 500 ≤ 𝑁BTS < 1000

E) 1000 ≤ 𝑁BTS < 2000

F) 𝑁BTS ≥ 2000 G) Keine der angegebenen Möglichkeiten.





Im Folgenden sollen sowohl statistische Schwankungen des Angebots pro Zelle als auch ungleichmäßige Verteilungen im Zellnetz berücksichtigt werden. Betrachten Sie hierzu drei Zellen mit den untenstehend gegebenen Anzahlen 𝐾Zelle von Kanälen pro Zelle und den mittleren Angeboten �̅�Z pro Zelle:

• Zelle 1: 𝐾Zelle,1 = 16; �̅�Z,1 = 8 Erl • Zelle 2: 𝐾Zelle,2 = 32; �̅�Z,2 = 16 Erl • Zelle 3: 𝐾Zelle,3 = 32; �̅�Z,3 = 8 Erl

Aufgrund der statistischen Schwankungen der Angebote 𝜆Z kommt es in der i-ten Zelle mit der Wahrscheinlichkeit 𝑃B,𝑖 zur Blockierung.

6.2 In welchem Verhältnis stehen die Blockierwahrscheinlichkeiten 𝑃B,𝑖 der gegebenen Zellen zueinander?

[4 Punkte]

Zelle 3 hat das kleinste normierte Angebot 𝜌3 = 𝜆�Z,3𝐾Zelle,3

= 14 und gleichzeitig die meisten

Kanäle 𝐾Zelle,3 = 32. Darum hat Zelle 3 auch die kleinste Blockierwahrscheinlickeit: 𝑃B,3 < 𝑃B,𝑖; 𝑖 = 1; 2

Zelle 2 und Zelle 3 haben die gleichen normierten Angebote 𝜌1 = 𝜆�Z,1𝐾Zelle,1

= 12

= 𝜆�Z,2𝐾Zelle,2

= 𝜌2. Aber Zelle 2 profitiert durch ihre Größe von einem Bündelgewinn und hat darum die kleinere Blockierwahrscheinlickeit: 𝑃B,2 < 𝑃B,1

𝑃B,1 > 𝑃B,2 > 𝑃B,3 M)

H) 𝑃B,1 = 𝑃B,2 < 𝑃B,3

I) 𝑃B,1 = 𝑃B,2 > 𝑃B,3

J) 𝑃B,1 < 𝑃B,2 < 𝑃B,3

K) 𝑃B,1 < 𝑃B,2 > 𝑃B,3

L) 𝑃B,1 > 𝑃B,2 < 𝑃B,3

M) 𝑃B,1 > 𝑃B,2 > 𝑃B,3

N) Keine der angegebenen Möglichkeiten.





Aufgabe 7 8 Punkte Ein Übertragungssystem wird durch die Systemgleichung

𝒓 = 𝑨 ⋅ 𝒔 + 𝒏 beschrieben. Das gesendete Signal wir durch den Datenvektor 𝒔 = (𝑠1; 𝑠2; 𝑠3)T repräsentiert. Die Systemmatrix

𝑨 = �31

03

00

00

10

31

�

beschreibt den Übertragungskanal. Der Vektor 𝒏 repräsentiert ein Störsignal oder Rauschen, welches zum empfangenen Signal addiert wird. 7.1 Durch Mehrwegeausbreitung kommt es zu Intersymbolinterferenzen. Wie viele Wege

𝑊 hat der hier beschriebene Übertragungskanal? [3 Punkte]

Zweiwegekanal mit 𝑤1 = 3; 𝑤2 = 1 𝑊 = 2 B) A) 𝑊 < 1,5 B) 1,5 ≤ 𝑊 < 2,5 C) 2,5 ≤ 𝑊 < 3,5 D) 3,5 ≤ 𝑊 < 4,5 E) 4,5 ≤ 𝑊 < 5,5 F) 5,5 ≤ 𝑊 < 6,5 G) 𝑊 ≥ 6,5 H) Keine der angegebenen Möglichkeiten.

7.2 Welches Signal 𝒓 wird empfangen, wenn der Datenvektor 𝒔 = (1;−1; 1)T übertragen

wird und der Rauschvektor 𝒏 gleich dem Nullvektor 𝟎 ist? [5 Punkte]

𝒓 = 𝑨 ⋅ 𝒔 = �31

03

00

00

10

31

� ⋅ �1−11� = �

31 − 3−1 + 3

1

� = �3−221

� L)

I) 𝒓 = (0; 0; 0)T J) 𝒓 = (1; −1; 1)T K) 𝒓 = (2; −2; 3)T L) 𝒓 = (3; −2; 2; 1)T M) 𝒓 = (1; −1; 1; 3; 1; 0)T N) 𝒓 = (3; −3; 3; 1; −1; 1)T O) 𝒓 = (3; 1; −3; −1; 3; 1)T P) Keine der angegebenen Möglichkeiten.





Aufgabe 8 4 Punkte Bild 8.1 zeigt das Ersatzschaltbild eines idealisierten Übertragungssystems mit einem idealen Tiefpassfilter der Bandbreite B im Sender und einem ebensolchen im Empfänger. Die Übertragungsfunktion eines idealen Tiefpassfilters ist

𝐻TP(𝑓) =1√𝐵

⋅ rect �𝑓𝐵�.

Der zeitvariante WSSUS-Mobilfunkkanal wird durch die normierte Kanalimpulsantwort h(τ,t) beschrieben, für die gilt: E�∫ |ℎ(𝜏, 𝑡)|2d𝜏∞

−∞ � = 1. Es ist ein W-Wegekanal, bei dem der k-te Weg die Verzögerung 𝜏𝑘, die Dopplerfrequenz 𝑓d,𝑘 und die Nullphasendrehung 𝛷𝑘 erfährt.

Bild 8.1. Ersatzschaltbild des Übertragungssystems.

8.1 Bestimmen Sie die Impulsantwort ℎg(𝜏, 𝑡) des gesamten in Bild 8.1 dargestellten Übertragungssystems, bestehend aus Sendefilter, Kanal und Empfangsfilter.

[4 Punkte]

𝐻g(𝑓, 𝑡) =1√𝐵

⋅ rect �𝑓𝐵� ⋅ 𝐻(𝑓) ⋅

1√𝐵

⋅ rect �𝑓𝐵�

𝐻g(𝑓, 𝑡) =1𝐵⋅ rect �

𝑓𝐵� ⋅ 𝐻(𝑓)

ℎg(𝜏, 𝑡) =1𝐵⋅ 𝐵 ⋅ si{𝜋𝐵 ⋅ 𝜏} ∗

1√𝑊

⋅�𝑒𝑗𝛷𝑘 ⋅ 𝑒𝑗2𝜋𝑓d,𝑘𝑡 ⋅ 𝛿(𝜏 − 𝜏𝑘)𝑊

𝑘=1

ℎg(𝜏, 𝑡) =1√𝑊

⋅�𝑒𝑗𝛷𝑘 ⋅ 𝑒𝑗2𝜋𝑓d,𝑘𝑡 ⋅ si{𝜋𝐵(𝜏 − 𝜏𝑘)}𝑊

𝑘=1

E)

Kanal ( )h τ

Ideales Tiefpassfilter Bandbreite B

Ideales Tiefpassfilter Bandbreite B

( )s t ( )q t

Sender Empfänger





A) ℎg(𝜏, 𝑡) = 1√𝑊

⋅ ∑ 𝑒𝑗𝛷𝑘 ⋅ 𝑒𝑗2𝜋𝑓d,𝑘𝑡 ⋅ 𝛿(𝜏 − 𝜏𝑘)𝑊𝑘=1

B) ℎg(𝜏, 𝑡) = 1√𝑊

⋅ ∑ 𝑒𝑗𝛷𝑘 ⋅ 𝑒𝑗2𝜋𝑓d,𝑘𝑡 ⋅ rect{𝜋𝐵(𝜏 − 𝜏𝑘)}𝑊𝑘=1

C) ℎg(𝜏, 𝑡) = 1√𝑊

⋅ ∑ 𝑒𝑗𝛷𝑘 ⋅ 𝑒𝑗2𝜋𝑓d,𝑘𝑡 ⋅ rect{𝜋(𝜏 − 𝜏𝑘)}𝑊𝑘=1

D) ℎg(𝜏, 𝑡) = 1√𝑊

⋅ ∑ 𝑒𝑗𝛷𝑘 ⋅ 𝑒𝑗2𝜋𝑓d,𝑘𝑡 ⋅ rect{𝜋(𝜏 − 𝜏𝑘)/𝐵}𝑊𝑘=1

E) ℎg(𝜏, 𝑡) = 1√𝑊

⋅ ∑ 𝑒𝑗𝛷𝑘 ⋅ 𝑒𝑗2𝜋𝑓d,𝑘𝑡 ⋅ si{𝜋𝐵(𝜏 − 𝜏𝑘)}𝑊𝑘=1

F) ℎg(𝜏, 𝑡) = 1√𝑊

⋅ ∑ 𝑒𝑗𝛷𝑘 ⋅ 𝑒𝑗2𝜋𝑓d,𝑘𝑡 ⋅ si{𝜋(𝜏 − 𝜏𝑘)}𝑊𝑘=1

G) ℎg(𝜏, 𝑡) = 1√𝑊

⋅ ∑ 𝑒𝑗𝛷𝑘 ⋅ 𝑒𝑗2𝜋𝑓d,𝑘𝑡 ⋅ si{𝜋(𝜏 − 𝜏𝑘)/𝐵}𝑊𝑘=1



Formeln und Konstanten: Seite 1 von 2


Naturkonstanten :

Lichtgeschwindigkeit km300000 s

≈c Ruhemasse des Elektrons:

319,1095 10 kgem −= ⋅

Magnetische Feldkonstante:

70

Vs4 10Am

m π −= ⋅ Boltzmannkonstante: -23 Ws1,381 10 K

k = ⋅

Elektrische Feldkonstante:

120

As8,854 10Vm

ε −= ⋅ Planck'sches Wirkungsquantum:

34 26,626 10 Wsh −= ⋅

Elementarladung: 191,602 10 Ase −= ⋅

Additionstheoreme trigonometrischer Funktionen:

2 2sin ( ) cos ( ) 1x x+ = sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( )x y x y x y± = ±

cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )x y x y x y± =

( )2 1sin ( ) 1 cos(2 )2

x x= − ( )2 1cos ( ) 1 cos(2 )2

x x= +

Komplexe trigonometrische Funktionen:

( )sin2

jz jze ezj

−−=

( )cos2

jz jze ez−+

=

0 !

∞

=

=∑n

z

n

zen

Kanalkapazität:

( )( )

0

loglimT

M TC

T→∞=

AWGN log 1 SC BN

= +

Wahrscheinlichkeit dass k von K Kanälen belegt sind (nach Erlang):

0

! , 0

!0 , sonst

=

≤ ≤=

∑

k

nKk

n

k k KP

n

λ

λ

Logarithmischer Sicherheitsabstand bei lognormalverteiltem Schwund: ( )1

log out2 erf 1 2−= −aM Pσ


Formeln und Konstanten: Seite 2 von 2


Fehlerfunktion

( ) 2

0

2erf dπ

xtx e t−= ∫

x erf(x) x erf(x) x erf(x) x erf(x) x erf(x)

0,01 0,011 0,34 0,369 0,67 0,657 1,00 0,843 1,33 0,940 0,02 0,023 0,35 0,379 0,68 0,664 1,01 0,847 1,34 0,942 0,03 0,034 0,36 0,389 0,69 0,671 1,02 0,851 1,35 0,944 0,04 0,045 0,37 0,399 0,70 0,678 1,03 0,855 1,36 0,946 0,05 0,056 0,38 0,409 0,71 0,685 1,04 0,859 1,37 0,947 0,06 0,068 0,39 0,419 0,72 0,691 1,05 0,862 1,38 0,949 0,07 0,079 0,40 0,428 0,73 0,698 1,06 0,866 1,39 0,951 0,08 0,090 0,41 0,438 0,74 0,705 1,07 0,870 1,40 0,952 0,09 0,101 0,42 0,447 0,75 0,711 1,08 0,873 1,41 0,954 0,10 0,112 0,43 0,457 0,76 0,718 1,09 0,877 1,42 0,955 0,11 0,124 0,44 0,466 0,77 0,724 1,10 0,880 1,43 0,957 0,12 0,135 0,45 0,475 0,78 0,730 1,11 0,884 1,44 0,958 0,13 0,146 0,46 0,485 0,79 0,736 1,12 0,887 1,45 0,960 0,14 0,157 0,47 0,494 0,80 0,742 1,13 0,890 1,46 0,961 0,15 0,168 0,48 0,503 0,81 0,748 1,14 0,893 1,47 0,962 0,16 0,179 0,49 0,512 0,82 0,754 1,15 0,896 1,48 0,964 0,17 0,190 0,50 0,520 0,83 0,760 1,16 0,899 1,49 0,965 0,18 0,201 0,51 0,529 0,84 0,765 1,17 0,902 1,50 0,966 0,19 0,212 0,52 0,538 0,85 0,771 1,18 0,905 1,51 0,967 0,20 0,223 0,53 0,546 0,86 0,776 1,19 0,908 1,52 0,968 0,21 0,234 0,54 0,555 0,87 0,781 1,20 0,910 1,53 0,970 0,22 0,244 0,55 0,563 0,88 0,787 1,21 0,913 1,54 0,971 0,23 0,255 0,56 0,572 0,89 0,792 1,22 0,916 1,55 0,972 0,24 0,266 0,57 0,580 0,90 0,797 1,23 0,918 1,56 0,973 0,25 0,276 0,58 0,588 0,91 0,802 1,24 0,921 1,57 0,974 0,26 0,287 0,59 0,596 0,92 0,807 1,25 0,923 1,58 0,975 0,27 0,297 0,60 0,604 0,93 0,812 1,26 0,925 1,59 0,975 0,28 0,308 0,61 0,612 0,94 0,816 1,27 0,928 1,60 0,976 0,29 0,318 0,62 0,619 0,95 0,821 1,28 0,930 1,61 0,977 0,30 0,329 0,63 0,627 0,96 0,825 1,29 0,932 1,62 0,978 0,31 0,339 0,64 0,635 0,97 0,830 1,30 0,934 1,63 0,979 0,32 0,349 0,65 0,642 0,98 0,834 1,31 0,936 1,64 0,980 0,33 0,359 0,66 0,649 0,99 0,839 1,32 0,938 1,65 0,980

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Fakultät für Ingenieurwissenschaften Fachgebiet ... · und am Empfänger additiv mit weißem normalverteiltem Rauschen überlagert. Die folgenden Die folgenden Parameter charakterisieren