Jürgen Roth Didaktik der Geometrie - Universität · PDF fileJürgen Roth • Didaktik der Geometrie 2.6 Was ist ein Begriff? Begriffe sind die Bausteine des Wissens, charakterisieren

2.1Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie

Didaktik der GeometrieModul 5: Fachdidaktische Bereiche

Jürgen Roth


Inhalt

Didaktik der Geometrie

1 Ziele und Inhalte

2 Begriffsbildung

3 Konstruieren

4 Argumentieren und Beweisen

5 Problemlösen

6 Entdeckendes Lernen


Kapitel 2: BegriffsbildungDidaktik der Geometrie


Inhalt

Kapitel 2: Begriffsbildung

2.1 Was macht einen Begriff aus?

2.2 Wie lernt man einen Begriff?

2.3 Unterrichtsphasen beim Erarbeiten zentraler Begriffe

2.4 Begriffe klassifizieren

2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt

2.6 Objektbegriffe: Dreieck und Viereck

2.7 Abbildungsbegriffe: Kongruenzabbildungen

2.8 Winkelbegriff


2.1 Was macht einen Begriff aus?Kapitel 2: Begriffsbildung


Was ist ein Begriff?

Begriffe sind die Bausteine des Wissens,charakterisieren eine ganze Klasse von Objekten,werden gewonnen durch

Konstruktion (genetische Definition), Spezifikation aus einem Oberbegriff (charakterisierende Definition),

verdichten Informationen,organisieren das Verhalten, sind die Grundlage der sprachlichen Kommunikation, beeinflussen die Leistungen des Gedächtnisses und das Problemlösen.


Begriffe und ProblemlösenBegriffe als …

Quelle von Problemstellungen

Mittel zum Präzisieren von Problemstellungen

Lösungshilfen für Probleme

Lösungen von Problemen

Mittel zur Sicherung von Problemlösungen

Begriff: Umkreis Welche Polygone besitzen einen Umkreis?

„Wann sind Figuren ähnlich?“Begriff: Ähnlichkeitsabbildung

DreieckskonstruktionBegriff: Ortslinie

Schnittfläche beim Schneiden einer WurstBegriff: Ellipse

Wo liegen die Orte, von denen man eine Strecke unter einem rechten Winkel sieht?Begriff: Thaleskreis


Rolle von Begriffen

Vollrath, Roth (2012): Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe.

Spektrum Akademischer Verlag, S. 227f


2.2 Wie lernt man einen Begriff?Kapitel 2: Begriffsbildung


Modelle langfristigen Begriffslernens: Lernen …

durch ErweiterungNeue Objekte beseitigen Grenzen, auf die man beim Operieren mit bisherigen Objekten stößt. → Vertrautes erscheint in neuem Licht.Beispiele:

Erarbeitung des FlächeninhaltsbegriffsDrehung als doppelte Achsenspiegelung

als Ersteigen von StufenReflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens führt zu Wissen höherer Qualität. → Höhere StufeVgl. Stufen des Begriffsverständnisses

Weigand et al. (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, S. 119ff


Viereck

symmetr.TrapezParallelo-

gramm

Raute

Quadrat

Rechteck

Drachen-viereck

Stufen des Begriffsverständnisses

Intuitives BegriffsverständnisDer Begriff als Phänomen.Beispiele (er)kennen.

Inhaltliches BegriffsverständnisDer Begriff als Träger von EigenschaftenEigenschaften kennen.

Integriertes BegriffsverständnisDer Begriff als Teil eines BegriffsnetzesBeziehungen von Eigenschaften untereinander und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen.

Formales BegriffsverständnisEinbettung des Begriffs in einen axiomatischen Aufbau der Geometrie.Beispiele: (1) Gesetzmäßigkeiten bewiesen.

(2) Gleichwertigkeit verschiedener Definitionen erkennen.

Weigand et al. (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, S. 119ff

Seiten

Rechteck

https://www.geogebra.org/m/UAM8pW9t


Vorgänge beim Lernen geometrischer Begriffe

Aufbau angemessener Vorstellungen (mentaler Modelle) durchHandlungenan konkreten ObjektenWahrnehmungenan Gegenständen und BildernBeschreibungenvon geometrischen Objekten (z.B. Kopfgeometrie)

Erwerb von KenntnissenKenntnis charakteristischer Eigenschaften.

Aneignung von FähigkeitenKonstruieren von FigurenBerechnen von Längen, Flächen- & RauminhaltenFähigkeit zum Problemlösen

Weigand et al. (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, S. 103-111

http://www.juergen-roth.de/dynageo/vierecke/folienstreifenviereck.html

https://www.geogebra.org/m/DUXXFEC4


Verstehen eines Begriffs

Lernende haben einen Begriff verstanden, wenn sie

Bezeichnung des Begriffs kennen,

Beispiele angeben und jeweils begründen können, warum es sich um ein Beispiel handelt,

Gegenbeispiele angeben und begründen können, weshalb etwas nicht unter den Begriff fällt,

charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen (Dies umfasst die Fähigkeit zur Angabe von Definitionen.),

Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen,

mit dem Begriff arbeiten können (z. B. beim Konstruieren und beim Problemlösen).


Erarbeiten eines Begriffs

Erfahrungen zum Begriff sammelnHandlungen (enaktive Repräsentation)

Objekte darbietenBeispiele für Begriffe (ikonische Repräsentation)

Merkmale entdeckenPrinzip der VariationPrinzip des KontrastsSprache (benennen, beschreiben)


Erarbeiten eines Begriffs

Definition erarbeitenGenetische DefinitionCharakterisierende Definition

Oberbegriff angebenDefinierende Eigenschaft notwendige und hinreichende Bedingung für den Begriff

Kritisch ReflektierenDefinition durch möglichst „schwache“ ForderungBezeichnung

Herkunftevtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache

Weigand et al. (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, S. 111-115

Präsenzübung:Geben Sie für den Begriff Parallelogramm mehrere verschiedene Definitionen an.


2.3 Unterrichtsphasen beim Erarbeiten zentraler Begriffe



Unterrichtsphasen bei zentralen Begriffen

EinstiegIn einem geeigneten Problemkontext können erste Vorstellungen vom Begriff entwickelt werden.

ErarbeitungUmfang und Inhalt des Begriffs herausarbeiten.

SicherungErgebnisse festhaltenLernerfolg überprüfen (z. B. Beispiele und Gegenbeispiele für den Begriff identifizieren lassen)

VertiefungQuerverbindungen zu anderen Begriffen herstellenSpezialfälle (insbesondere Grenzfälle) betrachten(Z. B. auch Variation der definierenden Eigenschaften)Anwendungen …


RelationsbegriffTangente an einen Kreis

EinstiegWie viele Punkte können ein Kreis und eine Gerade gemeinsam haben?

ErarbeitungLagemöglichkeiten von Gerade und Kreis untersuchen.

SicherungErgebnisse festhalten

Passante ⇒ keine gem. PunkteTangente ⇒ ein BerührpunktSekante ⇒ 2 Schnittpunkte(Zentrale ⇒ Sekante durch M)

Lernerfolg überprüfenTangente zeichnen!

https://www.geogebra.org/m/WWf7MvD3



Beispiel: Tangente an einen Kreis

Vertiefung:Besitzt die Figur aus Kreis und Tangente eine Symmetrieachse?Ja! ⇒ Tangente steht senkrecht auf dem Berührpunktradius.Wie kann man die Tangente konstruieren?




M P

Beispiel: Tangente an einen Kreis

Vertiefung:Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den Punkt P?Skizziere Sie!Wie kann man die Tangenten konstruieren?



2.4 Begriffe klassifizierenKapitel 2: Begriffsbildung


Welche Arten geometrischer Begriffe gibt es?

Inhaltliche EinteilungFigurenbegriffeAbbildungsbegriffeMaßbegriffe

Logische EinteilungObjektbegriffe (bzw. Eigenschaftsbegriffe)RelationsbegriffeFunktionsbegriffe

Axiomatische EinteilungGrundbegriffe

Kein Grundbegriff sollte mit Hilfe anderer Grundbegriffe definiert werden können!

definierte Begriffe

Strukturelle EinteilungEin geometrischer Objekt-oder Abbildungsbegriff heißt invariant gegenüber einer Abbildungsgruppe 𝐺𝐺, falls jede Abbildung aus 𝐺𝐺 den Umfang des Begriffs auf sich abbildet.


Inhaltliche Einteilung geometrischer Begriffe

EbeneBegriffe

Räum-licheBegriffe

Figurenbegriffe Abbildungsbegriffe MaßbegriffeGerade

VieleckKreis

parallelkongruent

achsensymmetrisch

Strecke

Ebene

Kugelparallel

kongruentebenensymmetrisch

Geradenspiegelung

Kongruenzabbildungzentrische Streckung

Drehung (Punkt)

Ebenenspiegelung

Kongruenzabbildungzentrische Streckung

Drehung (Achse)

Länge

FlächeninhaltWinkelgröße

Volumen


Logische Einteilung geometrischer Begriffe

Objektbegriffe Relationsbegriffe Funktionsbegriffe

beschreiben Beziehungen

zwischen geometrischen

Figuren.

Relation in einer

Figurenmenge

Relation zwischen zwei

Figurenmengen

Objekte einer Grundmenge G

(z. B. ebene Figuren, räumliche Figuren,

bijektive Abbildungen)

die gemeinsame Eigenschaften besitzen lassen

sich zu einer Untermenge

zusammenfassen, die den Umfang eines Objektbe-griffs in G bildet.

Die wichtigsten Funktionsbegriffe in der Geometrie sind

die Maßbegriffe. (Länge, Winkelmaß,

Flächeninhalt & Volumen)

Sie sind Funktionen, deren

Definitionsbereich eine spezielle

Figurenmenge und deren Zielmenge eine Menge von

Größen ist.


Relationsbegriffe in einer Figurenmenge (Beispiele)

Relation Figurenmenge

ist kongruent zu

ist ähnlich zu

ist zerlegungsgleich zu

ist parallel zu

ist orthogonal zu

ist Wechselwinkel zu

Figuren der Ebene oder des Raumes

Figuren der Ebene oder des Raumes

Vielecke oder Körper

Geraden der Ebene oder des Raumes;Ebenen des Raumes

Geraden der Ebene oder des Raumes;Ebenen des Raumes

Winkel der Ebene


Relationsbegriffe zwischenzwei Figurenmengen

Relation Vorbereich

ist orthogonal zu

ist Tangente an

hat als Tangente

ist Mittelsenkrechte von

hat als Mittelsenkrechte

ist Umkreis von

Geraden im Raum

Geraden

Kreise

Geraden

Strecken

Kreise

hat als Umkreis Dreiecke

Nachbereich

Ebenen

Kreise

Geraden

Strecken

Geraden

Dreiecke

Kreise


Funktionsbegriffe

Funktion Definitionsmenge

hat als Mittelsenkrechte

hat als Umkreis

LängenmaßfunktionWinkelmaßfunktion

Flächeninhaltsfunktion

Volumenmaßfunktion

Menge d. Strecken

Menge d. Dreiecke

Menge d. StreckenMenge d. Winkel

Menge d. Vielecke

Polyeder

Für diese Maßfunktionen ist in den jeweiligen Mengen eine Addition „+“ und eine Kleinerrelation „<“definiert. Diese Struktur ist zur Struktur der nichtnegativen reellen Zahlen bzgl. Addition undKleinerrelation isomorph. Zahlnamen können zur Bezeichnung der Größen benutzt werden.

Zielmenge

Menge d. Geraden

Menge d. Kreise

Menge d. LängenMenge der WinkelmaßeMenge der FlächeninhalteMenge der Volumina




Hinweis: Die Vorlesungen am 13. und 20.11.2017 finden nicht live statt. Bitte sehen Sie sich statt dessen folgende Videos an (Panopto):• Did. Geometrie, Kapitel 2, Teil 1

ab Kapitel 2.4 Begriffe klassifizieren (ab Zeitpunkt 1:24:40)• Did. Geometrie, Kapitel 2, Teil 2

von Beginn bis Zeitpunkt 1:27:55


Inhalt


2.5.1 Grundvorstellungen als Basis und Bezugsnorm

2.5.2 Diagnostische Kompetenz

2.5.3 Kernideen des Messens

2.5.4 Grundlegende Strategien zur Flächen- und Rauminhaltsmessung

2.5.5 Themenkreis Flächeninhalt

2.5.6 Rauminhaltsbegriff


2.5.1 Grundvorstellungen als Basis und Bezugsnorm



HeMaS-Konzept

Siller/Roth (2016). Herausforderung Heterogenität: Grundvorstellungen als Basis & Bezugsnorm − das Beispiel Terme. PM 70, S.2-8

Lernen im Gleichschritt

Individualisiertes Lernen

Diff

eren

zier

en

Kompetenzerfahrung

Diagnose Selbst-regulation

Kompetenzaufbau

Arbeits-weisen

Schüler-aktivierung

Grundvor-stellungen

Wissensspeicher

Grund-wissen

Grund-fertigkeiten


Definition der Begriffe

Grundvor-stellungen

• Tragfähige mentale Modelle für einen Begriff oder ein Verfahren

Grund-wissen

• Für einen Inhaltsbereich grundlegende Fakten (Begriffsdefinitionen, Formeln, Sätze, …)

• Sollten auswendig gewusst werden

Grund-fertig-keiten

• Anwendung von Routinekalkülen

• Anwendung des Grundwissens in einer typischen Situation (geforderte Operation vorgeben)

Wichtige.Grundlagen

für das Verstehen.


Grundfertigkeiten

Beispiel: Grundfertigkeiten zu den Kernideen des Messens (vgl. Folie 56)

Maßeinheit festlegen bzw. nutzen können Einheitsquadrat, Handspanne, Bleistift, Meter, …

Zu messende Größe mit der Maßeinheit auslegen können

Die zum Auslegen benötigte Anzahl der gewählten Maßeinheit (strukturiert) zählen können

Die Maßeinheit bei Bedarf sinnvoll verfeinern können


Wissensspeicher

Was soll in den Wissensspeicher aufgenommen werden?Grundvorstellungen organisieren Grundwissen und Grundfertigkeiten

Häufig auftretende ProblemeZu viel Nicht alles ist Grundwissen!Zu schwer Basiswissen: Weiteres

kann erarbeitet werden.Zu unstrukturiert Wichtigkeit von Grundvorstellungen

Diese Fragen könne die Auswahl erleichtern:Was wird in (fast) jeder Mathematikstunde benötigt?Was braucht man um den Alltag zu bestehen?Was halten alle Kolleg/inn/en der Fachschaft für Grundwissen?(Schnittmenge bilden!)


Kernpunkte des Grundvorstellungskonzepts

Grundvorstellungenrepräsentieren abstrakte Begriffe anschaulich,ermöglichen Verbindungen zwischenMathematik und Anwendungssituationen,zu einem mathematischen Begriff sind inhaltliche Deutungen des Begriffs, die diesem Sinn geben.

Zwei Typen von GrundvorstellungenPrimäre Grundvorstellungen Sekundäre Grundvorstellungen

vom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014): Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7


Primäre Grundvorstellungen

vom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014). Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7

Wurzeln in gegenständlichen Handlungserfahrungen


Sekundäre Grundvorstellungen

Dargestellt mit mathematischen Repräsentationenvom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014): Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7

https://www.geogebra.org/m/GxfP39GY

Beispiel:Zuordnung bei Maßfunktionen(Nutzung der Kernideen des Messens vgl. Folie 56)

https://www.geogebra.org/m/GxfP39GY


Ziele beim Ausbilden von Grundvorstellungen

• Anknüpfen an bekannte Situationen oder Handlungsvorstellungen

Sinnzusammenhänge herstellen

• Ermöglichen mentales operieren mit ihnen

Aufbau visueller Repräsentationen

• Erkennen der Struktur in Sachzusammenhängen

• Modellieren des Phänomens mit Hilfe der mathematischen Struktur

Fähigkeit zur Anwendung des Inhalts auf die

Wirklichkeit

Roth, J. & Siller S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, S. 2-8


2.5.2 Diagnostische Kompetenz2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt


Diagnostische Kompetenz (DK)

Diagnostische Kompetenz hilft Lernprozesse zu gestaltenDK ist „ein Bündel von Fähigkeiten, um

den Kenntnisstand, die Lernfortschritte und die Leistungsprobleme

sowie die Schwierigkeiten verschiedener Lernaufgaben

im Unterricht fortlaufend beurteilen zu können,

sodass das didaktische Handeln auf diagnostischen Einsichten aufgebaut werden kann.“

Weinert (2000). Lehren und Lernen für die Zukunft - Ansprüche für das Lernen in der Schule, Päd. Institut Bad Kreuznach, S. 16

Schüler-diagnose

Aufgaben-diagnose

Unterrichts-handeln

einzelner Schüler,


Prozess des Diagnostizierens

Geeignete Daten sichten / selbst erheben

Förderrelevante Beobachtungen beschreiben

Beobachtungen differenziert deuten

Ursachen ergründen

Konsequenzen für Förderung ableiten

Beretz, von Aufschnaiter & Lengnink (2016). Bearbeitung diagnostischer Aufgaben durch Lehramtsstudierende. In Maurer [Hrsg.]Implementation fachdidaktischer Innovation im Spiegel von Forschung und Praxis. Gesellschaft für Didaktik der Chemie und Physik

Jahrestagung in Zürich 2016. Regensburg: Universität Regensburg 2017, S. 244-247


2.5.3 Kernideen des Messens2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt


Rechtecksflächeninhalt 𝒂𝒂,𝒃𝒃 ∈ ℕ

FlächenmessungAuslegen mit Einheitsquadraten𝑏𝑏 Reihen, zu je 𝑎𝑎 Einheitsquadraten ⇒ 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 · 𝑏𝑏

Vgl. Benz, Peter-Koop, Grüßing (2015). Frühe mathematische Bildung. Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum. S. 234f

𝟏𝟏 𝐋𝐋𝐋𝐋²

𝒂𝒂

𝒃𝒃

Kernideen des Messens

(1) Maßeinheit finden bzw. nutzen

(2) Mit der Maßeinheit auslegen

(3) Maßeinheiten zählen (4) Maßeinheit ggf.

verfeinern


Schülerschwierigkeiten bei der Flächen- und Volumenmessung

Begriffsverständnis Maßbegriffe

Umfang (Länge) ↔ FlächeninhaltFlächeninhalt ↔OberflächeninhaltVolumen (Rauminhalt) ↔ Oberflächeninhalt

FigurenbegriffeOberfläche ↔ FlächeWürfel ↔ QuadratWürfel ↔ RechteckWürfel ↔ Quader

Formeln aufstellen und nutzen 𝐴𝐴 = 2 ⋅ 400 𝑚𝑚 + 𝑓𝑓+2 ⋅ (𝑓𝑓 + 𝑙𝑙 + 𝑏𝑏)

Einheiten und Umrechnungs-faktoren

𝐴𝐴 = 600 cm= 6 m2

Kadunz; Sträßer (2007). Didaktik der Geometrie in der Sekundarstufe I. Hildesheim: Franzbecker, S. 205


2.5.4 Grundlegende Strategien zur Flächen- und Rauminhaltsbestimmung



Strategien zur Flächen- und Rauminhaltsbestimmung

Indirekter Vergleich mit einem Objekt als Vermittler

Direkter Vergleich

Vergleichdurch

Zerlegenbzw.

Ergänzen

Messendurch aus-legen mit selbst-

gewählterMaßeinheit

Berechnendurch

Anwenden von

Formeln

Kernideen des Messens(1) Maßeinheit finden/nutzen(2) Mit Maßeinheit auslegen(3) Maßeinheiten zählen(4) Maßeinheit ggf. verfeinern

Messendurch aus-legen mit vorge-

gebenerMaßeinheit

Vergleichen Messen Berechnen


Vergleichen: Direkter Vergleich


Vergleichen: Zerlegen






Vergleichen: Ergänzen

𝒄𝒄²𝒃𝒃²

𝒂𝒂²


4

2

31

3

1

4

2


𝒄𝒄²𝒃𝒃²

𝒂𝒂²



3

1

4

2

𝒄𝒄²

4

2

31

𝒃𝒃²𝒂𝒂²

4

2

31




3

1

4

2

𝒄𝒄²

4

2

31


4

2

31



Vergleichen: Indirekter Vergleich


Vergleichen: Indirekter Vergleich


Messen: Auslegen mit selbstgewählter Maßeinheit


Messen: Auslegen mit standardisierter Maßeinheit


Berechnen: Anwenden einer Formel

𝒍𝒍

𝒃𝒃

𝒉𝒉𝑽𝑽𝑸𝑸𝑸𝑸𝒂𝒂𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 = Länge ⋅ Breite ⋅ Höhe

= 𝒍𝒍 ⋅ 𝒃𝒃 ⋅ 𝒉𝒉


Videovignetten zur Analyse von Unterrichtsprozessen

Bartel & Roth (2017). Diagnostische Kompetenz von Lehramtsstudierenden fördern − Das Videotool ViviAn. In Leuders et al. (Hrsg.): Mit Heterogenität im Mathematikunterricht umgehen lernen − Konzepte und Perspektiven für eine zentrale Anforderung an die

Lehrerbildung. Springer: Wiesbaden, 2017

http://vivian.uni-landau.de

Schülerebene

Arbeitsauftrag

Schüler-dokumente

Materialien

Lernumgebung: Thema und Ziele Metaebene

Schülerprofile

Diagnose-auftrag

S4

S2

S1

S3

Zeitliche Einordnung

http://vivian.uni-landau.de/

https://www.uni-landau.de/vivian/Vorlesungsvignetten/01.php


2.5.5 Themenkreis Flächeninhalt2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt

https://www.mentimeter.com/s/8c0af75be20fafffd6a628aebd961bd6/9da9de0921bf


Beispiel: Themenkreis Flächeninhalt

Seitenlängenaus ℝ+

Zerlegungs-gleichheit

Ergänzungs-gleichheit

Flächen-messung

Flächen-vergleich

Axiome des Flächeninhalts

Flächeninhalt?!

Seitenlängenaus ℕ

Seitenlängenaus ℚ+


Stufen bei der Behandlung von Größen

1. Stufe: Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln

2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten

3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter Maßeinheiten

ein drittes Objekt als Vermittler benutzenein Objekt als selbst gewählte Einheit benutzen

4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten, Messen mit verschiedenen Messgeräten

5. Stufe: Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten

6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen

7. Stufe: Rechnen mit Größen

Franke, M. (2003): Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule. Spektrum Akademischer Verlag, S. 201-215


Axiome des Flächeninhalts

NichtnegativitätDie Maßzahl 𝐴𝐴 des Flächeninhalts ist nichtnegativ. (𝐴𝐴 ≥ 0)

NormierungEin Quadrat der Seitenlänge 1 LEhat den Flächeninhalt 𝐴𝐴 = 1 LE2.

AdditivitätDer Flächeninhalt einer Figur ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Teilfiguren, in die die Fläche zerlegt werden kann.

KongruenzaxiomKongruente Figuren haben denselben Flächeninhalt.

1 LE

1 LE

1 LE2


Rechtecksflächeninhalt 𝒂𝒂,𝒃𝒃 ∈ ℕ

FlächenmessungAuslegen mit Einheitsquadraten𝑏𝑏 Reihen, zu je 𝑎𝑎 Einheitsquadraten ⇒ 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 · 𝑏𝑏

Vgl. Benz, Peter-Koop, Grüßing (2015). Frühe mathematische Bildung. Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum. S. 234f

𝟏𝟏 𝐋𝐋𝐋𝐋²

𝒂𝒂

𝒃𝒃

Kernideen des Messens

(1) Maßeinheit finden bzw. nutzen

(2) Mit der Maßeinheit auslegen

(3) Maßeinheiten zählen (4) Maßeinheit ggf.

verfeinern


Rechtecksflächeninhalt 𝒑𝒑𝒒𝒒

, 𝑸𝑸𝒔𝒔∈ ℚ+

IdeeEin Rechteck mit den Kanten-längen 𝑝𝑝

𝑞𝑞, 𝑟𝑟𝑠𝑠∈ℚ lässt sich nicht

mit Einheitsquadraten auslegen.Verfeinern der Einteilung beiderKantenlängen führt zu 𝑝𝑝�𝑠𝑠

𝑞𝑞�𝑠𝑠, 𝑟𝑟�𝑞𝑞𝑠𝑠�𝑞𝑞

∈ℚ.

In das Einheitsquadrat passenfolglich 𝑞𝑞 � 𝑠𝑠 � 𝑞𝑞 � 𝑠𝑠 = 𝑞𝑞 � 𝑠𝑠 2

kleine Teilquadrate. (Im Beispiel: 3 � 5 � 3 � 5 = 3 � 5 2 = 152 = 225)

Ein Teilquadrat besitzt also den Flächeninhalt 1

𝑞𝑞�𝑠𝑠 2 LE² = 1225

LE².

Flächenmessung Auslegen mit Teilquadraten ergibt 𝑝𝑝 � 𝑠𝑠 Zeilen mit je 𝑟𝑟 � 𝑞𝑞 Quadraten.

𝐴𝐴 = 𝑝𝑝 � 𝑠𝑠 � 𝑟𝑟 � 𝑞𝑞 � 1𝑞𝑞�𝑠𝑠 2 = 𝑝𝑝�𝑠𝑠 � 𝑟𝑟�𝑞𝑞

𝑞𝑞�𝑠𝑠 2 = 𝑝𝑝�𝑠𝑠�𝑟𝑟�𝑞𝑞𝑞𝑞�𝑠𝑠�𝑞𝑞�𝑠𝑠

= 𝑝𝑝�𝑟𝑟𝑞𝑞�𝑠𝑠

= 𝑝𝑝𝑞𝑞� 𝑟𝑟𝑠𝑠

𝑝𝑝𝑞𝑞

=23

𝑟𝑟𝑠𝑠 =

45 =

4 � 35 � 3 =

𝑟𝑟 � 𝑞𝑞𝑠𝑠 � 𝑞𝑞

=2 � 53 � 5

=𝑝𝑝 � 𝑠𝑠𝑞𝑞 � 𝑠𝑠


Rechtecksflächeninhalt 𝒂𝒂,𝒃𝒃 ∈ ℝ+

𝑎𝑎1 𝑎𝑎2

𝑎𝑎3𝑎𝑎4

𝐴𝐴1𝐴𝐴2

𝐴𝐴3𝐴𝐴4

𝒂𝒂

𝐵𝐵1𝐵𝐵2𝐵𝐵3

𝐵𝐵4

𝑏𝑏1

𝑏𝑏2𝑏𝑏3

𝑏𝑏4𝒃𝒃

𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑛𝑛;𝐴𝐴𝑛𝑛𝑏𝑏 = {[𝑏𝑏𝑛𝑛;𝐵𝐵𝑛𝑛]}mit𝑎𝑎𝑛𝑛, 𝑏𝑏𝑛𝑛,𝐴𝐴𝑛𝑛,𝐵𝐵𝑛𝑛∈ℚ+

⇒ {[𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛;𝐴𝐴𝑛𝑛𝐵𝐵𝑛𝑛]} = 𝑎𝑎𝑏𝑏ist eine Intervallschachtellungfür den Flächeninhalt


TangramZerlegungsgleichheit

http://www.juergen-roth.de/dynageo/tangram/katze.html

http://www.juergen-roth.de/dynageo/tangram/katze.html


TangramZerlegungsgleichheit


Flächeninhaltsbestimmung

RechteckFlächenmessung, d. h. Auslegen mit Einheitsquadraten (bzw. Intervallschachtelung)

DreieckFlächenvergleich mit dem Rechteck

PolygonTriangulierung (Einteilen in Dreiecke)

KreisIntervallschachtellung

http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/dreiecke/6-f.html

g

h

A B

C

A

B

C

h

http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/dreiecke/6-f.html


Kreisinhaltsbestimmung

http://www.geogebratube.org/student/m279

http://www.geogebratube.org/student/m279


Fläche der Antarktis

Schätze die Fläche der Antarktis, indem du den Maßstab der Karte benutzt.

Schreibe deine Rechnung auf und erkläre, wie du zu deiner Schätzung gekommen bist.

(Du kannst in der Karte zeichnen, wenn dir das bei deiner Schätzung hilft.)

PISA-Aufgabe

0200 400 600 800

1000

Kilometer


Idee: „Auslegen“ mit Einheitsquadraten




PISA-Aufgabe

0200 400 600 800

1000

Kilometer

Fläche mit Schelfeistafeln:13 975 000 km2


Idee: Vergleichen mit einer einfachen Fläche




PISA-Aufgabe

0200 400 600 800

1000

Kilometer

Fläche mit Schelfeistafeln:13 975 000 km2


Parallelogramm

A B

D C

A B

D C


Parallelogramm

A B

CD EFParallelogrammflächen, die in der Länge einer Seite und der zugehörigen Höhe übereinstim-men sind zerlegungsgleich.

Beweisidee: ΔADF ~ ΔBCE

A B

CDEF

Voraussetzung: [CD] ∩ [EF] ≠ ∅


Parallelogramm

𝑨𝑨 𝑩𝑩

𝑪𝑪𝑫𝑫


Flächeninhaltsbestimmung beim Trapez



𝒄𝒄

𝒂𝒂

𝒉𝒉 𝒉𝒉

𝐴𝐴𝑇𝑇𝑟𝑟𝑇𝑇𝑝𝑝𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝐴𝐴𝑃𝑃𝑇𝑇𝑟𝑟𝑇𝑇𝑃𝑃𝑃𝑃𝑇𝑇𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑇𝑇𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝐴𝐴𝐷𝐷𝑟𝑟𝑇𝑇𝐷𝐷𝑇𝑇𝐷𝐷𝐷𝐷= 𝒄𝒄 ⋅ 𝒉𝒉 + 1

2(𝒂𝒂 − 𝒄𝒄) ⋅ 𝒉𝒉

= 𝒄𝒄 ⋅ 𝒉𝒉 + 12𝒂𝒂 ⋅ 𝒉𝒉 − 1

2𝒄𝒄 ⋅ 𝒉𝒉

= 12𝒂𝒂 ⋅ 𝒉𝒉 + 1

2𝒄𝒄 ⋅ 𝒉𝒉 = 𝒂𝒂+𝒄𝒄

2⋅ 𝒉𝒉



𝒄𝒄

𝒂𝒂

𝒉𝒉 𝒉𝒉

𝐴𝐴𝑇𝑇𝑟𝑟𝑇𝑇𝑝𝑝𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝐴𝐴𝐷𝐷𝑟𝑟𝑇𝑇𝐷𝐷𝑇𝑇𝐷𝐷𝐷𝐷1 + 𝐴𝐴𝐷𝐷𝑟𝑟𝑇𝑇𝐷𝐷𝑇𝑇𝐷𝐷𝐷𝐷2= 1

2𝒄𝒄 ⋅ 𝒉𝒉 + 1

2𝒂𝒂 ⋅ 𝒉𝒉

= 𝒂𝒂+𝒄𝒄2⋅ 𝒉𝒉


2.5.6 Rauminhaltsbegriff2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt


Rauminhaltsbegriff

HerleitungWeitgehend analog zum FlächeninhaltsbegriffAber: Satz von Dehn beachten!

Satz von Dehn (vgl. Text!)Zwei rauminhaltsgleiche Polyeder sind im Allgemeinen weder zerlegungs- noch ergänzungsgleich.

Quadervolumen

Volumen Dreiecksprisma

Volumen gerades Prisma

Videos aus: www.madin.net → Grundbegriffe der Geometrie

http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf


http://www.madin.de/


Rauminhaltsbegriff

Zylindervolumen PyramidenvolumenVgl. Text!






Rauminhaltsbegriff

Satz von Cavalieri (vgl. Text!)Zwei Körper gleicher Höhe sind volumengleich, wenn sie in jeweils gleicher Höhe flächen-gleiche Querschnitte haben.

Text lesen!Prinzip von CavalieriSatz von DehnVolumen der PyramideKugelvolumen/Kugeloberfläche

KugelvolumenHerleitung über den Satz von Cavalieri (vgl. Text)





https://www.geogebra.org/m/jN9Q4mGG


Kugelvolumen

https://www.geogebra.org/m/a7SkNSWh

𝑸𝑸 𝑸𝑸

𝒉𝒉 𝒉𝒉

𝒉𝒉

𝝆𝝆

𝑸𝑸45°



Kugelvolumen


Es muss noch gezeigt werden, dass die Flächeninhalte der Schnittflächen in der Höhe ℎ in beiden Körpern gleich groß sind. 𝐴𝐴Schnittfläche = 𝜌𝜌2 ⋅ 𝜋𝜋

= 𝑟𝑟2 − ℎ2 ⋅ 𝜋𝜋𝐴𝐴Schnittfläche = 𝑟𝑟2 ⋅ 𝜋𝜋 − ℎ2 ⋅ 𝜋𝜋

= 𝑟𝑟2 − ℎ2 ⋅ 𝜋𝜋

Nach dem Prinzip von Cavalieri gilt also:𝑉𝑉Halbkugel = 𝑉𝑉Zylinder − 𝑉𝑉Kegel = 𝐺𝐺 ⋅ 𝑟𝑟 −

13⋅ 𝐺𝐺 ⋅ 𝑟𝑟

=23⋅ 𝐺𝐺 ⋅ 𝑟𝑟 =

23⋅ 𝑟𝑟2𝜋𝜋 ⋅ 𝑟𝑟 =

23⋅ 𝑟𝑟3𝜋𝜋 ⇒ 𝑉𝑉Kugel =

43⋅ 𝑟𝑟3𝜋𝜋

𝑸𝑸 𝑸𝑸

𝒉𝒉 𝒉𝒉

𝒉𝒉

𝝆𝝆

𝑸𝑸45°



Exkurs: Netze von KörpernVideos aus: www.madin.net → Grundbegriffe der Geometrie





2.6 Objektbegriffe: Dreieck und Viereck



Haus der ViereckeStrukturierung: Seiten & Winkel

http://www.juergen-roth.de/dynageo/vierecke/viereck_begriffshierarchie.html

Viereck

Trapez

Drachen-viereck

symmetr.Trapez

Parallelo-gramm

Quadrat

Rechteck Raute

… ist Oberbegriff des …

http://www.juergen-roth.de/dynageo/vierecke/viereck_begriffshierarchie.html


… ist Oberbegriff des …Symmetrieachse (durch die Seitenmitten)

Symmetrieachse (durch die Eckpunkte)

Symmetriezentrum (Punktsymmetrie)

Drehzentrum (Drehwinkel: Vielfache von 90°)

Haus der ViereckeStrukturierung: Symmetrie

Viereck

symmetr.TrapezParallelo-

gramm

Raute

Quadrat

Rechteck

Drachen-viereck


Haus der ViereckeStrukturierung: Innenwinkel

Parallelo-gramm

Viereck

Trapez Sehnen-viereck

Rechteck

… ist Oberbegriff des …


ObjektbegriffeDreiecksgrundformen

Dreiecksbegriffe rechtwinkligspitzwinkligstumpfwinkliggleichschenkliggleichseitig

als „bewegliche“ Strukturen aufbauen.

„Merkbild“Im Merkbild sind Bewegungen kondensiert.Wissensabruf benötigt Bewegliches Denken

ZielBegriffe deutlich flexibler verfügbar machen als mit statischen Prototypen

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/index.html



Gleichschenklige Dreiecke

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/

α β

γ

A B

C75 °

45 °60 °

4,5 cm 3,6 cm

5 cm

1) Bewege den Punkt 𝐶𝐶 so, dass Dreiecke entstehen, diea) gleichschenklig mit |𝐴𝐴𝐶𝐶| = |𝐵𝐵𝐶𝐶| sind,b) gleichschenklig mit |𝐴𝐴𝐶𝐶| = |𝐴𝐴𝐵𝐵| sind,c) gleichschenklig mit |𝐵𝐵𝐶𝐶| = |𝐴𝐴𝐵𝐵| sind.

2) Angabe von Kurven (Begründung)

3) Widerlegen bzw. vertrauens-bildende Maßnahme durch Binden von 𝐶𝐶an die Kurven.

4) Beobachtung der Innenwinkel → Basiswinkelsatz

5) Gleichseitige Dreiecke



Dreiecksgrundformen„Merkbild“

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/dreiecksgrundformen_zusammenschau.html

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Eckpunkt wandertauf einer Kurve

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/eckpunkt_auf_parabel.html

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Prüfungsaufgabe

Roth (2011). Computerwerkzeuge und Prüfungen – Probleme, Lösungsansätze und Chancen.

In: Kortenkamp et al. (Hrsg.): Computerwerkzeuge und Prüfungen (S. 67-79). Hildesheim: Franzbecker

𝑼𝑼

𝑽𝑽𝑾𝑾

Aufgabe

Der Punkt 𝑽𝑽wird entlang der eingezeichneten Kurve nach links unten bewegt.

Welche Dreiecksgrund-formen nimmt das Dreieck 𝑼𝑼𝑽𝑽𝑾𝑾 dabei der Reihe nach an?


Objektbegriffe im Alltag


2.7 AbbildungsbegriffeKapitel 2: Begriffsbildung


Kongruenzabbildungen

http://www.mcescher.com/

http://www.mcescher.com/


Kongruenzabbildungenhttp://www.uni-koeln.de/math-nat-fak/didaktiken/mathe/Projekte/VisuPro/

http://www.juergen-roth.de/dynageo/bewegungen/bewegungen.html


http://www.uni-koeln.de/math-nat-fak/didaktiken/mathe/Projekte/VisuPro/


Achsenspiegelung und Drehung


Punktspiegelung


Verschiebung und schiefe Achsenspiegelung

Achtung: Die schiefe Achsen-spiegelung ist keine Kongru-enzabbildung! Sie dient als

Kontrastbeispiel!


Typen von Kongruenzabbildungen

α2

A

A′

g

A

A′

Z

A

α

A'

A*

A′

s

v→

v→

v→ A

A'A

Z

v→Geradenspiegelung

Drehung

Punktspiegelung

ParallelverschiebungSchub-spiegelung

α


Kongruenzabbildungen?




Kongruenzabbildungen?




Hierarchie der Ähnlichkeitsabbildungen

Ähnlichkeitsabbildung

Umwendung(ungleichsinnig)

(echte) Bewegung(gleichsinnig)

Drehung Verschiebung

zentrischeStreckung Kongruenzabbildung

Punkt-spiegelung

Geraden-spiegelung

(echte) Gleit-spiegelung

… ist Oberbegriff der …


2.8 WinkelbegriffKapitel 2: Begriffsbildung


Winkelbegriffe

elementar-geometrisch

Winkel einesungeordnetenPaares von

Halbgeradenin

unorientierterEbene,

bestimmtzwischen 0° und

180°

analytisch-geometrisch

Winkel einesgeordnetenPaares von

Geradenin

orientierterEbene,

bestimmtmod π

gonio-metrisch

Winkel einesgeordnetenPaares von

Halbgeradenin

orientierterEbene,

bestimmtmod 2π

stereo-metrisch

Winkel einesungeordnetenPaares von

Geradenin

unorientierterEbene,

bestimmtzwischen 0° und

90°


Winkelbegriffe

Die Schnitt- bzw. Vereinigungsmenge zweier Halbebenen,deren Randgeraden sich in einem Punkt 𝑺𝑺 schneiden, heißtspitzer bzw. überstumpfer Winkel.Eine Halbgerade nennt man auch Nullwinkel, eine Halbebeneauch gestreckter Winkel.

Durch eine Gerade 𝒈𝒈 werden in der Zeichenebenezwei Halbebenen bestimmt. Eine Halbebene ist dieMenge aller Punkte, die auf einer Seite von 𝒈𝒈liegen, einschließlich 𝒈𝒈 selbst.

𝑺𝑺 𝑺𝑺

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Jürgen Roth Didaktik der Geometrie - Universität · PDF fileJürgen Roth • Didaktik der Geometrie 2.6 Was ist ein Begriff? Begriffe sind die Bausteine des Wissens, charakterisieren