FE-BGDK 27 11 01 - isa.fh-trier.de · PDF fileInside haben muß, ist eine exorbitant teure 3D-Grafikkarte nicht notwendig. Da RSTAB und FE-BGDK in der Regel sehr rechenintensiv genutzt

1 LEISTUNGSÜBERSICHT VON FE-BGDK

FE-BGDK FÜR WINDOWS © 2001 BY ING.-SOFTWARE DLUBAL GMBH 1

Programm

FE-BGDK für PCs unter Windows 95/98/ME/NT 4.0/2000

Biegedrillknicksicherheitsnachweis

nach Biegetorsionstheorie II. Ordnung

Benutzer-Handbuch

Fassung März 2001

Alle Rechte, auch das der Übersetzung, vorbehalten. Ohne ausdrückliche Genehmigung

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INHALTSVERZEICHNIS

FE-BGDK FÜR WINDOWS © 2001 BY ING.-SOFTWARE DLUBAL GMBH I

1. LEISTUNGSÜBERSICHT VON FE-BGDK ...............................1

2. INSTALLATION VON FE-BGDK ..............................................3 2.1 SYSTEMANFORDERUNGEN ............................................................3 2.2 INSTALLATIONSVORGANG .............................................................3

3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN............................................5 3.1 ALLGEMEINE VORBEMERKUNGEN UND GRUNDLAGEN DES

BERECHNUNGSVERFAHRENS, THEORIE II. ORDNUNG .....................5 3.1.1 Allgemeines .................................................................................................. 5 3.1.2 Grundlagen des Berechnungsverfahrens ................................................. 7 3.1.3 Bestimmung der Vorverformung................................................................ 7 3.1.4 Berechnung nach Theorie II. Ordnung....................................................... 8 3.2 DEFINITION DER QUERSCHNITTSGRÖßEN, KNOTENVERSCHIEBUNGEN,

SCHNITTGRÖßEN, ELEMENT- UND EINZELFEDERN, LASTEN, RANDBEDINGUNGEN.....................................................................9

3.3 SPANNUNGSBERECHNUNG..........................................................14 3.4 ERMITTLUNG GEBUNDENER DREHACHSEN ...................................17 3.5 ERMITTLUNG VON FEDERSTEIFIGKEITEN ......................................20 3.5.1 Drehfedern .................................................................................................. 20 3.5.2 Wegfedern ................................................................................................... 22 3.5.3 Wölbfedern.................................................................................................. 23 3.6 NACHWEISE NACH DIN 18800 TEIL 1 [7] UND 2 [8] .....................26 3.6.1 Ersatzstabverfahren nach DIN 18800 ....................................................... 27 3.6.2 Bestimmung der Vorverformungen.......................................................... 30 3.6.3 Tragfähigkeitsnachweis nach Theorie II. Ordnung, Verfahren elastisch-

elastisch ...................................................................................................... 31 3.6.4 Traglasten FT oder FG, Traglast FV............................................................ 32

4. ARBEITEN MIT FE-BGDK......................................................33 4.1 FE-BGDK STARTEN..................................................................33 4.2 MASKEN....................................................................................33 4.3 EINGABEMASKEN.......................................................................34 4.3.1 Maske 1.1 Allgemeine Angaben................................................................ 34 4.3.2 Maske 1.2 Material und Querschnitte....................................................... 35 4.3.3 Maske 1.3 Auflager..................................................................................... 36 4.3.4 Maske 1.4 Elastische Stabbettung ........................................................... 40 4.3.5 Maske 1.5 Stabendfedern .......................................................................... 48 4.3.6 Maske 1.6 Stabendgelenke........................................................................ 50 4.3.7 Maske 2.1 Knotenlasten............................................................................. 51 4.3.8 Maske 2.2 Stablasten ................................................................................. 53 4.3.9 Maske 2.3 Imperfektionen.......................................................................... 54 4.4 ERGEBNISMASKEN .....................................................................56 4.4.1 Maske 3.1 Spannungen in den Querschnitten ........................................ 57 4.4.2 Maske 3.2 Spannungen in Stabzügen ...................................................... 58 4.4.3 Maske 3.3 Spannungen in x-Stellen ......................................................... 58 4.4.4 Maske 3.4 Spannungen in Spannungspunkten....................................... 59 4.4.5 Maske 3.5 Schnittgrößen ........................................................................... 59 4.4.6 Maske 3.6 Verformungen........................................................................... 60 4.4.7 Maske 3.7 Auflagerreaktionen................................................................... 61 4.4.8 Maske 3.8 Kritische Lastfaktoren zur Ermittlung von Nki und Mki ......... 62 4.5 PULLDOWNMENÜS .....................................................................62 4.5.1 Datei............................................................................................................. 63 4.5.2 Hilfe.............................................................................................................. 64

INHALTSVERZEICHNIS

II FE-BGDK FÜR WINDOWS © 2001 BY ING.-SOFTWARE DLUBAL GMBH

5. ERGEBNISSE .........................................................................65 5.1 BILDSCHIRMANZEIGE..................................................................65 5.2 AUSDRUCKEN............................................................................65

6. BERECHNUNGSBEISPIELE FE-BGDK.................................69 6.1 TRÄGER MIT/OHNE ELASTISCHER BETTUNG UNTER EINZELLAST ....69 6.1.1 Reine Biegung ohne Drehbettung ............................................................ 69 6.1.2 Reine Biegung mit Drehbettung ............................................................... 70 6.2 TRÄGER MIT GLEICHLAST ...........................................................70 6.3 KRAGTRÄGER MIT WÖLBBEHINDERUNG UNTER TORSIONSMOMENT71 6.4 KRAGTRÄGER UNTER GLEICHLAST..............................................72 6.4.1 Kragarm ohne Lagerung in x = l ............................................................... 72 6.4.2 Kragarm mit seitlicher Stützung in x = l .................................................. 72 6.5 TRÄGER MIT GLEICHLAST ...........................................................73 6.6 DURCHLAUFTRÄGER UNTER ZWEI EINZELLASTEN .........................74 6.7 DURCHLAUFTRÄGER MIT ZWEI UNTERSCHIEDLICHEN FELDERN UNTER

GLEICHLASTEN..........................................................................74 6.8 DURCHLAUFTRÄGER MIT DREI FELDERN UNTER GLEICHLASTEN.....76 6.9 TRÄGER MIT ELASTISCHER BETTUNG UNTER NORMALKRAFT .........77 6.10 DACHTRÄGER EINES BÜROGEBÄUDES.........................................78 6.11 EINFELDTRÄGER UNTER EXZENTRISCHEN STRECKENLASTEN.........82 6.12 HALLENRAHMEN ........................................................................83

ANHANG A: LITERATUR.............................................................94



1. Leistungsübersicht von FE-BGDK

FE-BGDK führt den Nachweis gegen Biegeknicken und Biegedrillknicken. Das Programm basiert auf der Methode der finiten Elemente. Es führt den Nachweis gegen Biegeknicken und/oder Biegedrillknicken am Gesamtsystem. Dazu werden nach Theorie II. Ordnung Schnittgrößen, Verformungen und Spannungen von räumlich beanspruchten Tragwerken bestimmt. Weiterhin ermittelt das Programm für eine gegebene Lastkombination die Stabi-litätslast oder die maximal aufnehmbare Last bei Einhaltung der Normal-, Schub- und Ver-gleichsspannungen. Das Programm ermöglicht in der Version 1.1 unter anderen den Nachweis von folgenden Tragsystemen:

• Pfetten

• Riegeln

• Stützen

• Kragträgern

• Kranbahnträgern

• Rahmen Dabei können die Querschnitte an beliebigen Stellen elastisch gebettet sein. Dies ermög-licht eine praxisgerechte Modellierung von

• Dachhaut (z. B. Trapezbleche durch Federn)

• Stützungen (z. B. Wölbfedern)

• Verbänden (z. B. außermittig im Querschnitt angreifende Einzelfedern) Der Nachweis kann gemäß DIN 18800 nach verschiedenen Verfahren durchgeführt werden. In FE-BGDK geschieht dies durch

• Berechnung der kritischen Lasten am perfekten System. Dies liefert - die ideelle Biegeknicklast Nki,z um die z-Achse (aus der Systemebene heraus), - die ideelle Drillknicklast Nki,ϑ bzw. - das ideelle Biegedrillknickmoment Mki um die y-Achse.

Mit diesen ideellen Werten kann dann der Stabilitätsnachweis nach DIN 18800, Teil 2 für I-Profile nach dem Ersatzstabverfahren, z. B. mit dem Programm BGDK [9] ge-führt werden.

• Berechnung der maximalen aufnehmbaren Last FT bevor ein Stabilitätsverlust unter Einhaltung der vorgegebenen elastischen Grenzspannung eintritt (Durchschlagslast) oder Ermittlung der elastischen Grenzlast FG, bei der die elastische Grenzspannung er-reicht wird. (Diese Berechnungen erfolgen am imperfekten System).

• Nachweis der Spannungen unter γ-facher Last Fd am imperfekten System (d. h. mit Vorverformungen nach DIN 18800).

Im einzelnen sind die Möglichkeiten von FE-BGDK stichpunktartig aufgeführt. Die folgenden Querschnitte können mit FE-BGDK berechnet werden:

• dünnwandige offene Profile - Profildaten von genormten Walzprofilen (Auswahl über Kurzsymbol) - einfachsymmetrische I-Profile, - doppeltsymmetrische I-Profile, - T-Profile, - L-Profile, - U-Profile, - C-Profile - DUENQ-Profile


2 FE-BGDK FÜR WINDOWS © 2001 BY ING.-SOFTWARE DLUBAL GMBH

• dünnwandige geschlossene Profile - Kreisringprofile und - Hohlkastenprofile.

Für diese Querschnitte werden Normal- und Schubspannungen berechnet. Des weiteren können Querschnittswerte für beliebige Profile in FE-BGDK eingelesen werden. Als Bemessungswerte der Einwirkungen (Belastungen) ist in FE-BGDK die Vorgabe von

• Einzelkräften und – momenten,

• Linear veränderliche Streckenlasten,

• Streckenmomenten und

• Wölbmomenten möglich. Einzellasten können an beliebigen Stellen des Querschnitts angreifen. Die Durchführung der Berechnung erfolgt nach Biegetorsionstheorie II. Ordnung. FE-BGDK bietet dabei die folgenden Möglichkeiten:

1. Nachweis am Gesamtsystem (berücksichtigt z. B. die Einspannwirkungen für die bie-gedrillknickgefährdeten Bauteile in systemgerechter Weise).

2. Imperfektionen werden durch eine Eigenwertanalyse am Anfang der Berechnung be-stimmt. Der skalierte Eigenvektor wird als Vorverformung auf das System aufgebracht.

3. Der Einfluß von Verbänden und anderen stützenden Bauteilen kann durch Anbringen von außermittig im Querschnitt angreifenden Knotenfedern erfaßt werden. Weiterhin können auch Wölbeinspannungen über entsprechende Einzelfedern idealisiert werden, siehe Kapitel „Ermittlung von Einzelfedern“ und [9].

4. Die elastische Drehbettung durch die Trapezbleche der Dachhaut und/oder Verbands-schubsteifigkeiten können durch verteilte Federn und Drehfedern berücksichtigt wer-den. Die Federn können in beiden Querschnittskoordinatenrichtungen wirken.

5. Eine eventuell vorhandene gebundene Kippachse kann durch die Vorgabe entspre-chender Randbedingungen realisiert werden.

Der Nachweis gegen Biegedrillknicken wird mit FE-BGDK nach DIN 18800 in folgender Form geführt:

1. Spannungsnachweis mit den unter γ-fachen Lasten mittels Theorie II. Ordnung berech-neten Schnittgrößen. Dies geschieht am imperfekten System unter den Lasten Fd.

2. Berechnung der maximal aufnehmbaren Belastung bevor das Systemversagen eintritt. • Berechnung der Stabilitätslast unter der Voraussetzung, daß die elastischen

Grenzspannungen eingehalten sind (FT ≤ FG). • Einhaltung der elastischen Grenzspannungen (Normal-, Schub- und Vergleichsspan-

nung, (FG ≤ FT).

2 INSTALLATION VON FE-BGDK


2. Installation von FE-BGDK

2.1 Systemanforderungen Folgende Mindestvoraussetzungen sollte Ihr Rechner für die Nutzung der Möglichkeiten von RSTAB 5 und RSIMP für Windows erfüllen: • Benutzeroberfläche Windows 95 / 98 / ME / NT 4.0 / 2000, • Prozessor mit 200 MHz, • 32 Megabyte Arbeitsspeicher, • CD-ROM- und 3,5-Zoll-Diskettenlaufwerk für die Installation, • 2 Gigabyte Gesamtfestplattenkapazität, davon zirka 50 Megabyte für die Installation, • Grafikkarte mit einer Auflösung von 1024 x 768 Pixel. Mit Ausnahme des Betriebssystems sprechen wir aber bewußt keine Produktempfehlungen aus, da RSTAB und seine Zusatzmodule grundsätzlich auf allen Systemen laufen, die vor-genannte Leistungsanforderungen erfüllen. Ebenso wenig wie Ihr Rechner unbedingt Intel Inside haben muß, ist eine exorbitant teure 3D-Grafikkarte nicht notwendig. Da RSTAB und FE-BGDK in der Regel sehr rechenintensiv genutzt werden, soll natürlich nicht ver-schwiegen werden, daß in einem vernünftigen Rahmen gilt: Je mehr desto besser!

2.2 Installationsvorgang Als lizenzierter FE-BGDK- Anwender wählen Sie an der entsprechenden Stelle des Instal-lationsprozesses die Option [Standard], um alle für Sie zugelassenen Programme – inklusi-ve FE-BGDK – zu installieren. Dabei werden auch alle anderen grundsätzlich verfügbaren, nicht erworbenen, Windows-Zusatzmodule als funktional eingeschränkte Demoversion in-stalliert.

Installationsart

Alternativ könnten Sie an vorgenannter Stelle die Option [Benutzerdefiniert] aufrufen, um manuell die zu installierenden Programme auszuwählen.

2 INSTALLATION VON FE-BGDK


Komponenten wählen

Sofern Sie Speicherplatz auf Ihrer Festplatte sparen möchten oder müssen, wählen Sie [Mi-nimum]. Dabei werden nur die lizenzierten Vollversionen installiert. Das weitere Vorgehen inklusive Autorisierung geschieht analog der RSTAB- Installation.

3 THEORETISCHE GRUNDLAGEN


3. Theoretische Grundlagen

3.1 Allgemeine Vorbemerkungen und Grundlagen des Berechnungsver-fahrens, Theorie II. Ordnung

3.1.1 Allgemeines Das Biegedrillknicken stellt einen Stabilitätsfall dar, bei dem einer primären Biegeverfor-mung eine seitliche Verschiebung mit Drillung überlagert wird. Biegedrillknicken ist mit Kippen verwandt. Der Unterschied besteht darin, daß in der üblichen Sprachregelung Bie-gedrillknicken mit Beanspruchung aus exzentrischer Druckkraft verknüpft ist, während Kippen infolge Biegung auftritt. Es kann jedoch auch der Fall einer Druck-Biege-beanspruchung vorliegen. In allen Fällen hat die Lage der Wirkungslinie der auf einen Stab aufgebrachten Lasten einen erheblichen Einfluß auf die Größe der Stabilitätslast. Alle vor-genannten Stabilitätsprobleme lassen sich mit dem Programm FE-BGDK behandeln. Zur Berechnung des Biegedrillknickens oder Kippens von Trägern können unterschiedliche Verfahren angewendet werden. Einige Methoden seinen hier kurz aufgeführt.

• Ersatzstabverfahren nach DIN 18800, Teil 1 und 2, siehe Programm BGDK [9].

• Berechnung der Eigenwerte (Mki, Nki) für Durchlaufträger oder beliebige Stabwerke unter dreidimensionaler Beanspruchung (FE-BGDK).

• Grenzlast- oder Stabilitätsberechnung von Stabwerken unter dreidimensionaler Bean-spruchung nach der Theorie II. Ordnung am imperfekten System (FE-BGDK).

• Grenzlast- oder Stabilitätsberechnung von Stabwerken unter dreidimensionaler Bean-spruchung nach einer geometrisch exakten Theorie am imperfekten System.

Für viele baupraktische Belange reicht das Ersatzstabverfahren vollständig aus. Dieses Ver-fahren ist in der DIN 18800, Teil 1 [7] und 2 [8], und in vielen Veröffentlichungen be-schrieben und verifiziert worden. Programmtechnische Umsetzungen finden sich z. B. in dem Programm BGDK [9], das den Biegedrillknicksicherheitsnachweis für Stäbe mit ein-fach- oder doppeltsymmetrischem Doppel-T-Querschnitt führt, die einer Beanspruchung aus Einfach- oder Doppelbiegung und konstanter Normalkraft unterliegen. Das Ersatzstabverfahren nach der DIN 18800 ist in seiner Anwendung auf spezielle Quer-schnitte (siehe oben) beschränkt. Weiterhin sind vom Anwender die Randbedingungen für den Ersatzstab zu definieren, was bei allgemeinen Stabtragwerken häufig nicht einfach ist und somit nur eine Abschätzung sein kann. Will man hier genauer rechnen, so muß man das Stabtragwerk unter dreidimensionaler Beanspruchung nach der Theorie II. Ordnung be-rechnen können. In der Regel geht es dabei um die Berechnung der elastischen Stabilitäts-last eines Ein- oder Mehrfeldträgers oder eines Rahmens. Das Stabprogramm FE-BGDK, das auf der Methode der finiten Elemente basiert, kann für die Berechnung der Stabilitätslasten angewendet werden. Dabei wird elastisches Material-verhalten bei geometrisch nichtlinearem Verhalten angenommen. Folgende grundsätzliche Voraussetzungen werden bei der Wölbtorsionstheorie gemacht:

1. Formtreue Querschnitte (damit lokale Instabilitäten sind ausgeschlossen)

2. Bernoullische Biegung,

3. Moderate Verschiebungen und Verdrehungen, die insgesamt klein gegenüber den Sy-stemabmessungen sind.

Die Berechnungen werden dreidimensional nach Biegetorsionstheorie II. Ordnung durchge-führt, wobei die einzelnen Stabelemente als gerade angesehen werden.



Vorverformungen können bei der Analyse als skalierte Eigenvektoren des Systems ange-setzt werden. Die Berechnung von außermittig angreifenden Lasten, z. B. am Ober- oder Untergurt, ist möglich. In Abhängigkeit von der geometrischen Form des Tragwerkes, den Einwirkungen und den Vorverformungen (Imperfektionen) können unterschiedliche maximale Versagens- und/oder Grenzzustände auftreten. Diese sind grundsätzlich in Bild 2.1 dargestellt.

F

FV

FG

f

FT

Fd

Fki

F/2 F/2

f

Bild 2.1: Grundsätzliche Tragwerksantwort

FE-BGDK liefert je nach Anwendung die folgenden Ergebnisse (siehe auch Bild 2.1

1. Die Verzweigungslast Fki, d. h. • Das ideelle Biegedrillknickmoment Mki,y, • Die ideelle Biegeknicklast Nki,z, bzw. • Die ideelle Drillknicklast Nki,ϑ

Vom Programm wird stets die kleinste Verzweigungslast des Systems ausgerechnet. Hier werden keine Vorverformungen berücksichtigt. Diese ideellen kritischen Lasten sind bei der Anwendung des Ersatzstabverfahrens erforderlich, siehe dazu Kapitel 2.6.

2. Die Traglast FT infolge Stabilitätsverlust (Durchschlaglast) unter Einhaltung der elasti-schen Grenzspannung (am imperfekten System). Die Durchschlaglast FT wird unter der Voraussetzung eines rein elastischen Werkstoffverhaltens mit Begrenzung durch eine vorzugebende elastische Grenzspannung ermittelt.

3. Die elastische Grenzlast FG am imperfekten System. Dies ist die Last, die das System aufnehmen kann, ohne daß in irgend einem Querschnittsteil die Normalspannung, die Schubspannung oder die Vergleichsspannung (nach v. Mises) größer als die entspre-chenden Grenzspannungen werden. Diese Berechnung ist nur bei Vorgabe von Vorver-formungen durchzuführen.

4. Die mögliche Traglast Fv infolge Stabilitätsverlust bei Vorgabe von Vorverformungen ohne Einhaltung der elastischen Grenzspannungen.

5. Führt unter den Bemessungslasten Fd den Nachweis der Grenzspannungen am imper-fekten System mittels Theorie II. Ordnung durch.

Damit ist das Programm FE-BGDK in der Lage, basierend auf der Theorie II. Ordnung, Verzweigungs-, Durchschlags- oder elastische Grenzlasten automatisch zu finden. Diese werden vom Programm iterativ berechnet. Will man die Durchschlaglast FT oder die elastische Grenzlast FG, siehe Bild 2.1, bestim-men, so ist auf das Stabwerkssystem eine Vorverformung aufzubringen. Diese wird im Programm FE-BGDK automatisch aus der ersten, niedrigsten Eigenform generiert, da diese der Knickfigur der niedrigsten Stabilitätslast entspricht. Die Skalierung dieser Eigenform erfolgt nach DIN 18800, Teil 2, kann jedoch auch direkt vom Anwender vorgegeben wer-den, siehe Kapitel 2.6 und 3.



Das Programm FE-BGDK berechnet die Profildaten für Walzprofile, einfach- und doppelt-symmetrische I-Profile, U-Profile, T-Profile, Rechteckprofile, C-Profile, Hohlprofile und Kreisringprofile. FE-BGDK ist in der Lage, die Spannungen nach Theorie II. Ordnung für die oben genann-ten Profile zu berechnen. Auf diesen Spannungsberechnungen, die an den maßgeblichen Punkten im Querschnitt durchgeführt werden, basiert dann die Bestimmung der elastischen Grenzlast FG, siehe Punkt 3 bzw. der Grenzspannungsnachweis, siehe Punkt 5. Weiterhin können auch beliebige Querschnittswerte eingegeben werden. Diese werden di-rekt vom Program RSTAB übernommen. Die Spannungsnachweise werden wieder in FE-BGDK geführt. Federn können in FE-BGDK als Einzelfedern oder als kontinuierliche Federn mit beliebi-gem Angriffspunkt im Querschnitt vorgegeben werden. Dies ist in der Regel dann notwen-dig, wenn die aussteifende Wirkung von Dacheindeckungen (z. B. Trapezbleche) berück-sichtigt werden muß. Sowohl Einzellasten als auch Streckenlasten können an beliebigen Stellen im Querschnitt angreifen.

3.1.2 Grundlagen des Berechnungsverfahrens Die theoretischen Grundlagen des Programmes FE-BGDK sind sehr umfangreich und kön-nen daher hier nicht im Detail diskutiert werden. Die entsprechenden Abhandlungen finden sich z. B. in Petersen [2] oder in Ramm, Hofmann [10]. Für Biegetorsionsaufgaben, die nichtlineare Verformungsabhängigkeiten einschließen, exi-stieren in der Regel keine analytischen Lösungen. Daher wird hier die Methode der finiten Elemente (FEM) angewandt, um Näherungslösungen der in [2] oder [10] angegebenen Dif-ferentialgleichungen zu bestimmen. Die Genauigkeit der Lösung hängt dann von der Wahl der Anzahl der finiten Elemente ab, siehe auch Kapitel 5. Für die FE-Diskretisierung werden Elemente mit zwei Knoten verwendet. Als Ansätze in-nerhalb der Elemente werden kubische Hermite-Polynome für die Verschiebungen in y- bzw. z-Richtung und für die Verdrehung um die x-Achse gewählt. Die Längsverschiebung in x-Richtung wird durch einen linearen Polynomansatz beschrieben. Diese Ansätze lösen die homogene Differentialgleichung der zugehörigen linearen Theorie exakt, stellen jedoch Näherungen für die Theorie II. Ordnung dar. Es hat sich bei der praktischen Anwendung der Methode gezeigt, daß in der Regel 8 Elemente pro Feld eines Trägers ausreichen, um Verformungen mit Abweichungen von weniger als 5 % von der konvergierten Lösung zu berechnen. Eine Lösung wird als konvergiert bezeichnet, wenn sich bei jeweils verdoppel-ter Elementanzahl keine Änderungen mehr in der Lösung zeigen, siehe Beispiel 5.2. Mit diesen Ansätzen ergeben sich insgesamt sieben Freiheitsgrade pro Elementknoten: ux, vy, wz, ϕx, ϕy, ϕz, ϕ´x. Hier ist ux die Längsverschiebung in Stabrichtung, vy bzw. wz sind die Verschiebungen in y- bzw. z-Richtung, ϕx, ϕy, ϕz sind die Verdrehungen um die x-, y- bzw. z-Achse und ϕ´x ist die Verwölbung.

3.1.3 Bestimmung der Vorverformung Die Bestimmung der Vorverformung erfolgt durch Lösen des Eigenwertproblems

(K - λI) Φ = 0 Hierin ist die Steifigkeitsmatrix K eine Funktion der Normalkräfte und Momente des Grundlastzustandes. I ist die Einheitsmatrix. Durch Lösen des Eigenwertproblems mit ei-nem iterativen Verfahren wird der zum niedrigsten Eigenwerte gehörende Eigenvektor ΦΦΦΦ bestimmt, der dann die Form der Vorverformung bestimmt. Die Skalierung der Vorverfor-mung erfolgt nach DIN 18800, Teil 2.



3.1.4 Berechnung nach Theorie II. Ordnung Für die Berechnung nach der Theorie II. Ordnung werden folgende Voraussetzungen und Annahmen getroffen:

• die Querschnitte sind dünnwandig und abschnittsweise konstant

• die einzelnen Stabelemente werden als gerade angesehen

• die Querschnittsform soll bei der Verformung des Stabes erhalten bleiben, damit sind lokale Instabilitäten ausgeschlossen und durch Querschnittsaussteifungen zu verhin-dern

• für die Biegebeanspruchung gilt die Beroullihypothese vom Ebenbleiben der Quer-schnitte

• die Verschiebungen und Verdrehungen sind klein gegenüber den Systemabmessungen. Die nach Theorie II. Ordnung ermittelten Schnittgrößen sind bereits auf das verschobene und verdrehte Koordinatensystem bezogen und brauchen deshalb für die Spannungsberech-nung nicht transformiert werden. Der Nachweis für ein Biegetorsionsproblem kann in FE-BGDK unterschiedlich ausgeführt werden. Dazu gehört

1. die Bestimmung des kritischen Lastfaktors am unverformten System,

2. die Bestimmung des kritischen Lastfaktors am verformten System,

3. der Nachweis der Spannungen unter Bemessungslast und

4. die Berechnung der maximal aufnehmbaren Last unter Einhaltung der Spannungen. Grundsätzlich erfolgt die Berechnung iterativ, wobei sich die Steifigkeitsmatrix K infolge bereits berechneter Schnittgrößen und Verformungen ändert. Für die Nachweise nach Punkt 2, 3 und 4 werden vor der eigentlichen iterativen Berechnung die Eigenformen mit den Schnittgrößen des ersten Schrittes ermittelt und gemäß Abschnitt 2.6 berücksichtigt. Die Bestimmung des kritischen Lastfaktors nach Punkt 1 oder 2 liefert die Stabilitätslast des untersuchten Tragwerkes. Diese ist in einer numerischen Berechnung dadurch gekenn-zeichnet, daß entweder die Determinante der Matrix K zu null wird oder bei der Berech-nung für sehr kleine Lastzuwächse sehr große Verschiebungen auftreten. In beiden Fällen erkennt FE-BGDK, daß der zugehörige Gleichgewichtszustand nicht mehr stabil ist. Praktisch läuft die Berechnung so ab, daß zunächst die Schnittgrößen, Verformungen und Spannungen für die vom Benutzer vorgegebenen Laststufen berechnet werden. (Berech-nung der Spannungen, siehe Abschnitt 2.3). An dieser Stelle gibt es zwei Möglichkeiten:

a) Die vom Benutzer vorgegebenen Laststufen sind stabile Gleichgewichtszustände. In diesem Fall erhöht FE-BGDK automatisch die Last über die vorgegebene Maximallast hinaus solange, bis eine Instabilität eintritt. Der zugehörige Wert wird dann durch eine geschachtelte Iteration genau bestimmt.

b) Die vom Benutzer vorgegebenen Laststufen können nicht alle erreicht werden. In die-sem Fall schachtelt FE-BGDK die zu der Instabilität gehörende Laststufe ein, wobei von der letzten stabilen Laststufe ausgegangen wird.

Damit ist dann der kritische Lastfaktor bekannt, der zur Verzweigungslast Fki (Biegedrill-knicklast) gehört. Im Fall von Punkt 1 erhält man damit die zum unverformten System ge-hörende Biegedrillknicklast. Das maximale Biegemoment My entspricht dann dem ideellen Biegedrillknickmoment. Im Fall von Punkt 2 erhält man die mögliche Traglast FV infolge Stabilitätsverlustes. In beiden Fällen wird vom Programm nicht überprüft, ob die Grenz-spannungen eingehalten werden. Es finden sich aber in der Ausgabe die Spannungen, wo-bei Überschreitungen gekennzeichnet sind. Die Berechnung des Systems mit Vorverfor-mung, siehe Punkt 2, kann jetzt noch so in FE-BGDK ausgeführt werden, daß die vom Be-nutzer vorgegebenen Grenzspannungen eingehalten werden. Dann führt FE-BGDK die un-ter a) und b) genannten Schritte durch, prüft dabei aber, ob die Grenzspannungen eingehal-ten sind. Schließlich kann auch noch der Nachweis nach Theorie II. Ordnung am biege-drillknickgefährdeten System unter Bemessungslast, siehe Punkt 3, mit FE-BGDK durchge-führt werden. Kann FE-BGDK in diesem Fall Gleichgewicht finden, dann ist der Nachweis



direkt erbracht, wenn alle Grenzspannungen eingehalten sind. Für alle besprochenen Fälle finden sich entsprechende Beispiele im Kapitel 5.

3.2 Definition der Querschnittsgrö-ßen, Knotenverschiebungen, Schnittgrößen, Element- und Ein-zelfedern, Lasten, Randbedin-gungen

a) Koordinaten und Verschiebungen Im Bild 2.2 sind die Querschnittskoordinaten und die positiven Verschiebungsgrößen dargestellt:

x

y

z

S

M

S: SchwerpunktM: Schubmittelpunkt

zM vMϕyM

ϕzM

uS

ϕxM

ϕ'xMwM

Bild 2.2: Querschnittskoordinaten und Verschiebungsgrößen

Hier werden die Bezeichnungen nach DIN 18000 benutzt. In RSTAB werden die loka-len Stabachsen anders bezeichnet:

DIN 18800 RSTAB

X-Achse 1-Achse

Y-Achse 2-Achse

Z-Achse 3-Achse

Während die Längsverschiebung uS auf den Schwerpunkt S bezogen ist, sind die Ver-schiebungen vM und wM sowie die Verdrehungen ϕxM, ϕyM, ϕzM sowie die Verwölbung ϕ• ‘xM auf den Schubmittelpunkt M bezogen. Die Verschiebungen v, w und u eines be-liebigen Querschnittspunktes kassen sich mit der bei der Theorie II. Ordnung üblichen Linearisierung durch die Verschiebungsgrößen des Schubmittelpunktes ausdrücken:

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) xMMMxMMxMMM

xMMMxMMxMMM

yywsinyycos1 zzww

zzvsinzzcos1 yyvv

ϕ−+≈ϕ−+ϕ−−−=

ϕ−−≈ϕ−−ϕ−−−=

Gleichungen 2.1

Die Verschiebung u eines Punktes resultiert aus der Translation des Querschnittes in x-Richtung, der Rotation um die y- und z-Achse und aus der Verwölbung infolge Torsion:



o'xM

'M

'MS - yvz wuu ωϕ−−=

Gleichung 2.2

Mit ωo als Einheitsverwölbung.

b) Schnittgrößen Im Bild 2.3 sind die verwendeten Schnittgrößendefinitionen dargestellt.

x

y

z

S

MVy

Mz

Vz

Mx

Mω

N

My

Bild 2.3: Schnittgrößendefinitionen am positiven Schnittufer

Die Querkräfte Vz und Vy sowie das Torsionsmoment Mx und das Wölbmoment Mω sind auf den Schubmittelpunkt M bezogen, die Biegemonmente My und Mz sowie die Normalkraft N auf den Schwerpunkt S.

c) Einzelfedern und kontinuierliche Federn Elastische Stützungen können durch Berücksichtigung von Einzelfedern (zentrisch oder exzentrisch) oder/und kontinuierlichen Federn (Elementfedern) realisiert werden. Im Bild 2.4 sind die zentrischen Einzelfedern am Knoten K dargestellt, diese Federn sind auf das globale Koordinatensystem (KOS) bezogen.

xy

z

S

M

CXK

CZK

CYK

S = KKnoten K im Schwerpunkt

globales Koordinatensystem

lokales Koordinatensystem

X

Z

Y

y

z

x

K



CXK Knotenfederkonstante in globaler X-Richtung in (kN/cm) CYK Knotenfederkonstante in globaler Y-Richtung in (kN/cm) CZK Knotenfederkonstante in globaler Z-Richtung in (kN/cm) CϕXK Knotendrehfederkonstante um globale X-Achse in (kNcm) CϕYK Knotendrehfederkonstante um globale Y-Achse in (kNcm) CϕZK Knotendrehfederkonstante um globale Z-Achse in (kNcm) CωK Wölbfederkonstante in (kNcm³)

Bild 2.4: Mittige Knotenfedern

Die außermittigen Knotenfedern am Knoten K sind auf das lokale Koordinatensystem bezogen, siehe Bild 2.5.

x

y

z

S=K

M

CyK

CzK

zS

yS

CϕxK

x,y,z lokales Koordinatensystem CyK, CzK Knotenfederkonstante in lokaler y- bzw. z-Richtung in (kN/cm) CϕxK Drehfederkonstanten um die lokale x-Achse in (kNcm) CωK Wölbfederkonstante in (kNcm3) bezogen auf die lokale x-Achse (im Bild nicht dargestellt) yS Abstand der Feder CzK vom Schwerpunkt S zS Abstand der Feder CyK vom Schwerpunkt S

Bild 2.5: Außermittige Knotenfedern

Die kontinuierlichen Federn (auch als Elementfedern bezeichnet) sind in Bild 2.6 de-finiert. Diese Bettungziffern sind auf das lokale Koordinatensystem bezogen und sind längs des Stabes konstant. Sie werden programmintern auf den Schubmittelpunkt M bezogen und umgerechnet.



y

z

M

cy

cz

zS

yS

cϕx

Sx

cy, cz kontinuierliche Federn in lokaler y- bzw. z-Richtung in (kN/cm²)

(konstant über Stablänge) cϕx elastische Drehbettung um die lokale x-Achse in (kNcm/cm) zS Abstand der Feder cy vom Schwerpunkt S yM Abstand der Feder cz vom Schwerpunkt S

Bild 2.6 Elementfedern 1) auf S 2) lokal um x-Achse durch S

d) Lasten Im Bild 2.7 sind die Einzellasten, die als zentrische Knotenlasten definiert sind, darge-stellt

xy

z

S=K

M


lokales Koordinatensystem

X

Z

Y

y

z

x

K

FZ

FYFX

MX

MZ

MY

FX Einzellast Knoten K in globaler X-Richtung bezogen auf M FY Einzellast in globaler Y-Richtung bezogen auf M FZ Einzellast in globaler Z-Richtung bezogen auf M MX Einzelmoment um die globale X-Achse, bezogen auf M MY Einzelmoment um die globale Y-Achse, bezogen auf M MZ Einzelmoment um die globale Z-Achse, bezogen auf M

Bild 2.7: Zentrische Einzellasten



Greifen die Einzellasten zentrisch im Knoten K an und weisen in Richtung der lokalen Koordinaten, so besteht die einfache Möglichkeit, diese Lasten lokal als exzentrische Lasten einzugeben (Bild 2.8), wobei die entsprechenden Koordinaten zu Null gesetzt werden. Die Definitionen der außermittigen (exzentrischen) Einzellasten sind in Bild 2.8 darge-stellt.

x

y

z

S=K

M

yz

Fz

Fy

z y

Fy Einzellast in lokaler y-Richtung zy Abstand der Last Fy vom Schwerpunkt in z-Richtung Fz Einzellast in lokaler z-Richtung yz Abstand der Last Fz vom Schwerpunkt in y-Richtung

Bild 2.8: Exzentrische Einzellasten

Im Bild 2.9 sind die Streckenlasten definiert.

xy

z

S

M


lokales KoordinatensystemX

Z

Y

y

z

x

K

I

yS

qz

qy

z S

qxI

qxK

qXIqXK

qX

qx

qx, qX Streckenlast in lokaler x- bzw. globaler X-Richtung qy, qY Streckenlast in lokaler y- bzw. globaler Y-Richtung zS lokale z-Koordinate (bezogen auf S) der Streckenlasten qy qz, qZ Streckenlast in lokaler z- bzw. globaler Z-Richtung yS lokale y-Koordinate der Streckenlast qz



mx,mX lokales bzw. globales Streckentorsionsmoment bezogen auf S ∆T konstante Temperaturdifferenz in °C Wichtig: die globalen Streckenlasten werden automatisch in M angenommen, die

lokalen Streckenlasten werden in Bezug auf den Schwerpunkt eingege-ben.

Bild 2.9: Streckenlasten

Die Streckenlasten können sowohl global als auch lokal eingegeben werden. Dabei ist zu beachten, daß exzentrische Streckenlasten nur lokal eingegeben werden können. Die Lasten sind zur Eingabe auf den Schwerpunkt S bezogen und werden programmintern auf den Schubmittelpunkt M umgerechnet. Die globalen Streckenlasten werden vom Programm automatisch als im Schubmittelpunkt M angreifend angenommen. Die Bin-dungen des Tragwerkes durch Auflagerreaktionen (Randbedingungen) müssen in globa-ler Richtung vorgegeben werden, siehe Bild 2.10.

e) Randbedingungen Im Bild 2.10 sind die verwendeten Kinematen zur Festlegung der Randbedingungen dargestellt

S

M

globales Koordinatensystem X

Z

Y

w

v u

ϕZ

ϕX ϕ'X

ϕY

Bild 2.10: Randbedingungen

Die Randbedingungen werden in globaler Richtung vorgegeben, wobei die einzelnen Verschiebungs- und Verdrehungskomponenten durch Vorgabe von Kennziffern zu Null gesetzt oder freigegeben werden.

3.3 Spannungsberechnung In FE-BGDK werden sowohl Normal- als auch Schubspannungen sowie die v. Mises`sche Vergleichsspannung an maßgebenden Querschnittspunkten i ausgerechnet. Die geschieht automatisch für die folgenden Querschnittstypen:

• Walzprofile

• Einfach- oder doppeltsymmetrische I-Profile



• T-Profile,

• U-Profile,

• C-Profile und

• Kreisring- und Hohlkastenprofile Die Querschnittspunkte sind im folgenden durch die Koordinaten (yi, zi) gekennzeichnet und werden weiter unten definiert. Alle Spannungen werden aus Schnittgrößen bestimmt, die nach der Theorie II. Ordnung unter γF-facher Belastung berechnet sind. Infolge der Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion treten bei den Normalspannungen σx nicht nur Anteile aus Normalkraft und Biegung, sondern auch aus dem Wölbbimoment auf. Insgesamt erhält man für die Normalspannung in einem Punkt i des Querschnitts.

)z,y(IM

)z,y(WM

)z,y(W

M

AN

iiMiiz

z

iiy

yi,x ω−−+=σ

ω

ω

Gleichung 2.3

Die hierin enthaltenen Größen sind in der folgenden Tabelle erläutert.

Größe Erläuterung

N Normalkraft My Biegemoment um y-Achse Mz Biegemoment um z-Achse Mw Wölbbimoment A Querschnittsfläche Wy(yi,zi) Widerstandsmoment um y-Achse für Punkt (yi,zi) Wz(yi,zi) Widerstandsmoment um z-Achse für Punkt (yi,zi) Iω Wölbflächenmoment 2. Grades auch CM ωM Hauptverwölbung am Punkt (yi,zi)

Die Schubspannungen setzen sich aus Querkrafts- und Torsionsanteilen zusammen. Die Beziehung zur Bestimmung der primären Schubspannungen ist durch

)z,y(W

M

)z,y(sI

)z,y(SV

)z,y(tI

)z,y(SV

iiT

p,x

iiy

iiyz

iiz

iizypi +

⋅⋅

+⋅⋅

=τ

Gleichung 2.4

gegeben. Die hier auftretenden Bezeichnungen sind in der folgenden Tabelle erläutert:


Vy Querkraft in Richtung der y-Achse Vz Querkraft in Richtung der z-Achse Mx,p Primäres Torsionsmoment Iy Trägheitsmoment bzgl. y-Achse Iz Trägheitsmoment bzgl. z-Achse Sy(yi,zi) Statisches Moment bzgl. y-Achse für Punkt (yi,zi) Sz(yi,zi) Statisches Moment bzgl. z-Achse für Punkt (yi,zi) t(yi,zi) Dicke der Maßgebenden Querschnittsteile im Punkt (yi,zi) s(yi,zi) Dicke der Maßgebenden Querschnittsteile im Punkt (yi,zi) WT(yi,zi) Torsionswiderstandmoment für Punkt (yi,zi)

Weiterhin kann auch noch die sekundäre Schubspannung infolge des sekundären Tor-sionsmomentes Mx,s ausgerechnet werden.

( )( )ii

iis,xi s z,ytI

z,yAM

⋅⋅

=τω

ω



Gleichung 2.5

Diese Option ist für die folgenden Profile in FE-BGDK realisiert: Walzprofile, einfach- und doppeltsymmetrische I-Profile und Hohlkastenprofile. Es liegt bei FE-BGDK im Ermessen des Anwenders, ob die sekundären Schubspannungen bei der Spannungsberechnung berücksichtigt werden sollen. Falls die sekundären Schub-spannungen in die Spannungsberechnung eingehen sollen, so werden sie direkt zu den pri-mären Schubspannungen addiert. Die auftretenden Bezeichnungen finden sich in der fol-genden Tabelle.


Mx,s Sekundäres Torsionsmoment Aω(yi,zi) Wölbfläche im Punkt i Iω Wölbwiderstandsmoment T(yi,zi) Querschnittsdicke im Punkt i

Die Vergleichsspannung nach von Mises berechnet sich aus der Normal- und Schubspan-nung wie folgt:

2i s,p

2i xVi 3τ+σ=σ

Gleichung 2.6

Im Standardfall wird bei der Vergleichsspannungsberechnung davon ausgegangen, daß die sekundären Schubspannungen vernachlässigt werden können. Falls der Anwender diese aber berücksichtigen möchte, siehe oben, so wird für τp,s die Summe aus primärer und se-kundärer Schubspannung eingesetzt. Die Schubspannungen infolge des primären Tor-sionsmomentes gehen in Gleichung (2.6) gemäß der Beziehung (2.4) immer ein. Die Normal- und Schubspannungen sowie die v. Mises`sche Vergleichsspannung werden für alle Punkte im Querschnitt, die bei der beim Biegedrillknicken entstehenden dreidimen-sionalen Beanspruchung maßgebend sein können, berechnet. In der Ausgabe wird dann die Stelle für jede Spannung (Normalspannung, Schubspannung und Vergleichsspannung) aus-gegeben, bei der der maximale Wert auftritt. Bei den Grenzlastberechnungen wird diejenige Grenzlast FG berechnet, bei der an keiner Stelle im Querschnitt des Tragwerkes infolge der γ-fachen Einwirkungen die zulässigen Werte für die Spannungen überschritten werden. Dazu muß die maximale Spannung im Querschnitt bestimmt werden. Es sind demnach die Bedingungen

M

k,yi V

iM

k,yi s,p

iM

k,yi x

i

f)(max ;

3

f)(max ;

f)(max

γ≤σ

∗γ≤τ

γ≤σ

Gleichungen 2.7

einzuhalten. Erfolgt der Nachweis nach Element (121) DIN 18800, Teil 2 (und Element (749), Teil 1), so dürfen die Normal- bzw. Vergleichsspannungen diese Grenzwerte um 10% überschreiten, siehe Abschnitt 2.6. Die maßgebenden Punkte zur Spannungsermittlung hängen von der Querschnittsform ab. Sie sind in dem nachfolgenden Bild dokumentiert. Die in der Zeichnung angegebenen Nummern entsprechen den in der Ausgabe angegebenen Nummern.



Bild 2.11: Punkte für die Spannungsberechnung

In FE-BGDK gelangt man zu diesem Dialog, indem man in der Maske 1.2 auf die Schalt-fläche [Querschnitts-Details] klickt und in folgenden Dialog Details auf die Schaltfläche [Werte] neben Spannungspunkte klickt.

3.4 Ermittlung gebundener Drehach-sen

Konstruktiv bedingt liegt bei praktischen Konstruktionen häufig ein Biegedrillknickpro-blem mit gebundener Drehachse im Abstand zD vom Schwerpunkt vor. Diese Zwangsdreh-achse wird im Programm durch kontinuierliche oder diskrete Wegfedern in y-Richtung rea-lisiert, wobei für die Federsteifigkeiten Werte in der Größenordnung von 108 bis 1010 für cy anzusetzen sind, um die Verschiebungen in der Zwangsdrehachse zu unterdrücken.

z D

M

S

Pfette, Verband, Dachhaut, etc.

M

S=

S

z

y

z

y

gebundene Drehachsecy → ∞

cy

Bild 2.12: gebundene Drehachse



Die gebundene Kippachse darf jedoch bei Nachweis einer ausreichenden seitlichen Ver-formungsbehinderung nach DIN 18800 T2 [8] angesetzt werden. Eine ausreichende Behin-derung kann z.B. durch ständig am Druckgurt anschließendes Mauerwerk erfolgen. Wenn am Träger Trapezprofile nach DIN 18807 [12] angeschlossen sind, und die Bedingung

vorh. S ≥ erf. S

mit

Gleichung 2.8

2p

2p2

2

zT2

2

ah

70h

l 4I EI G

lI ESS .erf

π++π== ω

Gleichung 2.9

für eine Befestigung in jeder Sicke erfüllt ist, dann darf die Anschlußstelle als in der Tra-pezblechebene unverschieblich gehalten angesehen werden. Hierin bedeutet Sa den auf den untersuchten Träger entfallenden Anteil der Schubfestigkeit der Trapezbleche nach DIN 18800, Teil 1 [7] bei Befestigung in jeder Profilrippe. Hierzu ist l die Spannweite des auszusteifenden Trägers und hp seine Profilhöhe (I-Profil vorausgesetzt). Erfolgt die Befe-stigung der Trapezprofile nur in jeder zweiten Profilrippe, so gilt

,S 5SS .erf ab ==

Gleichung 2.10

mit Sa nach Gleichung (2.9) und der Befestigung in jeder zweiten Rippe. Die Bedingungen (2.9) und (2.10) zur Bestimmung der seitlichen Unverschieblichkeit eines Trägers (gebun-dene Drehachse) kann bei entsprechender Ausbildung der Anschlußstellen auch für andere Bekleidungen als Trapezbleche angewendet werden (Anmerkung zu Element (308) [8]). Der ideelle Schubmodul eines Trapezbleches ergibt sich zu

mkN in

LK

100K

10G

s

21

4

s

+=

Gleichung 2.11

mit den Schubfeldwerten:

kNm in K und kN

m in K2

21

nach der Trapezblechzulassung. Ls ist die Schubfeldlänge in cm, siehe Bild 2.13. Für die auf den auszusteifenden Träger (z.B. den Riegel in Bild 2.13) entfallende Schubsteifigkeit folgt damit

,kN in G 100

aS sT =

Gleichung 2.12

mit dem Abstand a (in cm) der auszusteifenden Träger (Riegel).



Windverband

Trapezbleche

Pfosten

Diag.

α b

a a L = n a s

Riegel

Windverband

l

.

Bild 2.13: Riegel mit Trapezblechen und Verbänden

Die Schubfestigkeit der Wind- und Stabilisierungsverbände kann mit in Rechnung gestellt werden. Für die ideelle Schubsteifigkeit eines Verbandes mit schlupffreien Anschlüssen er-gibt sich (siehe [8] und [1])

α

+αα

=

cotA E1

cossinA E

1

1S

p2

D

V

Gleichung 2.13

mit SV in kN AD Fläche der Diagonalen in cm2 AP Fläche der Pfosten in cm2

α Winkel zwischen Diagonale und Riegelgurt In der obigen Formel werden nur die Zugdiagonalen des Kreuzverbandes berücksichtigt. Sind verschiedene Pfosten bzw. Diagonalen vorgesehen, so sind die minimalen Quer-schnittsflächen für AP bzw. AD einzusetzen. Die Gleichung (2.13) läßt sich noch zu

p

3

D

322

2

V

Aa

A

ba

E b aS

+

+=

Gleichung 2.14

umstellen. Damit läßt sich näherungsweise die auf einen Riegel oder Träger entfallende Schubsteifigkeit (nur aus den Verbänden) berechnen

,SLa

mS Vs

R =

Gleichung 2.15

wobei m die Anzahl der aussteifenden Verbände in der Dachebene ist. Werden nun die Schubsteifigkeiten aus Trapezblecheindeckung und Verband gleichzeitig angesetzt, so folgt mit Gleichung (2.9), (2.14), (2.15) und (2.12) a) Befestigung in jeder Sicke



RT SSS .vorh +=

Gleichung 2.16

b) Befestigung in jeder zweiten Sicke

RT SS 51

S .vorh +=

Gleichung 2.17

Der Nachweis erfolgt dann mit

aSS .erfS .vorh =≥

mit Sa nach Gl. (2.9).

Eine kontinuierliche gebundene Drehachse wird dann im Programm entsprechend durch kontinuierliche seitliche Wegfedern cy mit großer Steifigkeit

cmcm/kN

10.B.z 6

idealisiert, siehe Beispiel im Kapitel 5. Seitliche Halterungen, z.B. durch auf den Riegel aufliegende Einzelpfetten, die in Längs-richtung unverschieblich gehalten sind, werden durch direkte Einzelfedern cy in diesen Punkten idealisiert, z. B. mittels

cy = EA/l, l Länge der Pfette bis zum Lagerpunkt, E Elastizitätsmodul, A Querschnittsfläche der Pfette.

Ist der Nachweis einer gebundenen Kippachse nach DIN 18800 T2 [8] nicht erfüllt, so kann über die ermittelte ideelle Schubsteifigkeit vorh. S eine kontinuierliche Wegfeder berechnet werden, siehe Kapitel 2.5.2.

3.5 Ermittlung von Federsteifigkeiten

3.5.1 Drehfedern Die Berechnung des vorhandenen Drehbettungskoeffizienten liegt das Modell von mehre-ren hintereinandergeschalteten Federn zugrunde [8,] [13].

k,Pk,Ak,Mk, c1

c1

c1

c vorh1

ϑϑϑϑ++=

Gleichung 2.18

Aus Vereinfachungsgründen sind die Gleichungen (2.18) und (2.19) in der DIN 18800 mit den charakteristischen Werten formuliert. In (2.18) bedeutet

ka

I Ec a

k,M =ϑ

Gleichung 2.19

die theoretische Drehbettung aus der Biegesteifigkeit Ia des abstützenden Bauteils a bei An-nahme einer starren Verbindung. Es gilt weiterhin:

Ia Trägheitsmoment des abstützenden Bauteils in cm4/cm a Stützweite des abstützenden Bauteils in cm k = 2 für Ein- und Zweifeldträger, Endfeldträger k = 4 für Durchlaufträger mit drei oder mehr Feldern



Bei nichtkontinuierlicher Drehbettung - z.B. durch Pfetten - wird das Trägheitsmoment I des abstützenden Bauteils auf eine kontinuierliche Abstützung gemäß Ia = I / e umgerech-net, wobei e der Abstand der abstützenden Einzelträger - z.B. Pfetten - ist. Falls der gestützte Träger sich nur in einer Richtung verdrehen kann, darf der cϑ,M,k -Wert nach Gleichung (2.19) mit dem Faktor 3.0 multipliziert werden. Dies ist z.B. der Fall, wenn der gestützte Träger in einem Dach mit Dachneigung Verwen-dung findet. cϑ,A,k ist die Drehbettung aus der Verformung des Anschlusses. Bei Anschluß von Einzelträgern durch Schrauben ohne Schlupf (wechselseitig links und rechts vom Steg des auszusteifenden Profils) kann näherungsweise von einer starren Verbindung ausgegan-gen werden, d.h. cϑ,A,k ist unendlich groß und entfällt in Gleichung (2.18). Bei drehelasti-scher Stützung ergibt sich (z.B. durch Trapezbleche):

0,210

b 1,25 für

10

bc 25,1c

25,110

b für

10

bcc

11k,Ak,A

12

1k,Ak,A

≤<

=

≤

=

ϑϑ

ϑϑ

Gleichung 2.20

Hierin ist b1 die Breite des Gurtes des gestützten Trägers in cm.

Der charakteristische Wert für die Anschlußsteifigkeit kA,,cϑ von Trapezprofilen aus Stahl

wird der Tabelle 7 der DIN 18800 [8] entnommen. Weitere Werte für kA,,cϑ finden sich im

Kommentar zur DIN 18800 T2 [14], Seite 265-267. Ist das Verhältnis b1/10 > 2.0, so wird in Gleichung (2.20) das Verhältnis auf der sicheren Seite liegend auf 2.0 begrenzt. Nach Osterrieder [15] (Anmerkung dort im Abschnitt 4) können für kA,,cϑ auch größere Werte -

als die in der Tabelle 7 [8] angegebenen - eingesetzt werden. Falls der Beiwert kA,,cϑ nach Tabelle 7 [8] ermittelt wird und die verwendeten Trapezpro-

file größere Blechdicken als 0.75 mm aufweisen, so dürfen diese Tabellenwerte nähe-rungsweise mit dem Faktor

])mm[ in t( 75,0

t .vorh2

vergrößert werden. cϑ,P,k ist die Drehbettung aus der Profilverformung des gestützten Trägers. Sie berechnet sich aus der Gleichung (für I-Profile)

31

13

2k,P

t

b5,0

s

h1

)1( 4

Ec

+µ−=ϑ

Gleichung 2.21

Hierin bedeuten b1, t1 Breite bzw. Dicke des Druckgurtes des gestützten Trägers in cm, s Stegdicke des gestützten Trägers in cm h Abstand der Gurtschwerelinien des gestützten Trägers in cm E, µ Elastizitätsmodul und Querkontraktionszahl von Stahl,

.3,0 ,cm

kN21000E 2 =µ=

Die Ermittlung von cϑ,P,k nach Gleichung (2.21) setzt nach [14] zwingend voraus, daß im Falle der nichtkontinuierlichen Drehbettung die Einzellasten aus dem stützenden Bauteil (weitergeleitet in den gestützten Träger) nur maximal 50 % der Traglasten für steifenlose Konstruktion, siehe z.B. [7], erreichen. Weitere Werte finden sich im Handbuch zum Programm BGDK [16] und im Kommentar [14], dort Seite 169. Die kontinuierlichen Drehfedern nach Gleichung (2.18)



vorh. cϑ,k = cϑ,x können als diskrete Drehfeder (Einzelfeder) verwendet werden, wenn die kontinuierliche Feder mit der zugehörigen Einflußbreite multipliziert wird.

3.5.2 Wegfedern Für den in der Praxis relativ häufig vorkommenden Fall, daß ein Trägerfeld (z.B. Rahmen-riegel, Bühnenträger, Deckenträger) durch einen oder mehrere Verbände stabilisiert wird, lassen sich Wegfedern cy ermitteln, siehe [2]:

π=

mm/kN

l

S .vorhc2

2

y

Gleichung 2.22

z. B. drucksteife Pfetten oder Rohre

α

a AP

AD

bl

ls

seitlichelastisch

gehalteneTräger

Bild 2.14: Riegel mit Trapezblechen und Verbänden

Der Verband sollte eine regelmäßige Struktur aufweisen, da die Gleichung für cy durch eine “gleichförmige Verschmierung” des Verbandes über die Länge l hergeleitet wurde.

vorh. S die auf einen Träger entfallende Schubsteifigkeit nach Gl. (2.16) oder Gl. (2.17) l Verbandslänge

Die Schubsteifigkeiten aus Verband und Trapezblech dürfen nur dann addiert werden, wenn die zu haltenden Träger durch seitlich angeschlossene drucksteife Profile und gleich-zeitig oben aufliegende Trapezbleche an den Verband angeschlossen sind, siehe Bild (2.15).



Trapezblech

Druckprofil alsVerbindung zum Verband

Bild 2.15: Aussteifung durch Trapezblech und Druckprofile

Das Trapezblech und der Verband wirken dann wie parallel geschaltete Federn, die additiv zu einer Gesamtfeder zusammengefaßt werden. Sind die Träger nur durch aufliegende Pfet-ten miteinander verbunden (auf denen evtl. dann wiederum Trapezbleche auflagern), so darf in vorh. S nur der Anteil SR aus dem Verband angesetzt werden. Ein Beispiel für die Ermittlung einer seitlichen Wegfeder cx findet sich bei Petersen [2], Kap. 7.17.3. In [2] und im Stahlbau Handbuch [16], Kap. 3.2 sind weitere Berechnungshinweise für Ersatzsteifig-keiten gegeben.

3.5.3 Wölbfedern Die Behinderung der Verwölbung erhöht die Torsionssteifigkeit eines Trägers mit offenem dünnwandigen Querschnitt. Diese Erhöhung kann durch diskrete Wölbfedern Cω erfaßt werden. a) Wölbbehinderung durch eine Stirnplatte [2], [9] Die Wölbfeder ergibt sich zu

3t h b G 31

C =ω

Gleichung 2.23

G Schubmodul

b

h

t

Stirnplatte h x b x t auf I-Profil

Bild 2.16: Wölbfeder aus Stirnplatte

b) Wölbwiderstand durch einen Trägerüberstand [2]



ω

ω

=λ

λλ

=

I EI G

)l ( h tan1

I G C

T

kT

Gleichungen 2.24

IT St. Vernantsches Torsionsträgheitsmoment lk Überstandslänge

lk

w = 0

x

y

z

Bild 2.17: Wölbfeder durch Überstand

Der Überstand kann auch direkt durch Anordnung eines Elements modelliert werden. c) Wölbfeder durch ein drillsteifes Querschott Von den Wölbfedern gemäß a) und b) geht nur eine relativ geringe Stützung aus. Effektiver ist der planmäßige Einbau drillsteifer Querschotte in Form eingeschweißter U- oder Win-kel-Profile [2]. Um die z-Achse (Hochachse) entsteht dann ein geschlossener Kastenquer-schnitt.

bu

t

s

h

hu

Bild 2.18: Wölbfeder durch Querschott



( )

+

⋅==

∑ω

sh

tb

2

tb 4h G

tl

A4h G C

uu

2uu

i

i

2m

Gleichung 2.25

Am von der Mittellinie eingeschlossene Fläche

∑i

i

tl

Summe über die Seitenlängen dividiert durch die jeweilige Blechdicke

d) Wölbwiderstand durch einen Stützenanschluß Die Wölbfeder für den Riegel ergibt sich zu

h GIC T=ω

Gleichung 2.26

h

Bild 2.19: Wölbfeder aus Stützenanschluß

h Abstand der Flanschmittellinien des Riegels IT ist das St. Vernantsche Torsionsträgheitsmoment der Stütze:

geschlossene Profile

∑=

i

i

2m

T

tl

A 4I

Gleichung 2.27

offene Profile

+= ∑

5

i

i

i

i3iiT l

t052,0

l

t0,63-1 t l

31

I



Gleichung 2.28

Der Klammerausdruck ist ein Korrekturfaktor, der die Dickwandigkeit der einzelnen Rechteckteile (Länge li, Dicke ti) berücksichtigt, dieser Faktor kann bei dünnwandigen Pro-filen zu Eins gesetzt werden. Am ist die von der Profilmittellinie eingeschlossene Fläche des geschlossenen Profils.

3.6 Nachweise nach DIN 18800 Teil 1 [7] und 2 [8]

Im Bild 2.20 sind die möglichen DIN 18800-konformen Nachweismöglichkeiten darge-stellt, die vom Programm FE-BGDK unterstützt werden.

Berechnung des ebenen Tragwerks nach Th. II. O. mit Vorverformungen

Berechnung am imperfektenGesamtsystem oder amimperfekten herausgelöstenEinzelstab (Ansatz von Vor-verformungen) Kap. 2.6.1nach räumlicher Th. II. O.

Bestimmung der Vorverformungenaffin zum niedrigsten EigenwertSkalierung durch den Anwendernach DIN 18 800 Kap. 2.6.2

Berechnung nach räum-licher Theorie II. Ordnung

Berechnung unter den γ-fachen Lasten Fd?

nein

ja

Soll bei der iterativen Ermittlungder Grenzlast die elastischen Grenz-spannungen eingeschatet werden?

nein

ja

Nachweis Biegedrillknicken am herausgelösten Einzelstab

nach dem Ersatzstabverfahren?

Ermittlung der ideellen kritischenLasten am perfekten System (Einzel-stab), d. h. ohne Vorverformung. Festlegung der kritischen LastenMki,y, Nki,z bzw. Nki,ϑ siehe Kap. 2.6.1

nein

Nachweis nach dem Ersatzstabverfah-ren (für spezielle Profile) nach DIN18 800, siehe Programm BGDK [9]

ENDE

Verfahren elastisch-elastischσ, σv ≤ 1,1 fy,d Kap. 2.6.3

ENDE

Berechnung der Traglast Fv

infolge StabilitätsverlustKapitel 2.6.4

iterative Ermittlung der elastischen Durschlagslast FT

oder der elastischen Grenzlast FG Kapitel 2.6.4

Stabilitätsnachweisa)

b)

räumlicheTheorie II. Ordnung

ja

Bild 2.20: Nachweise nach DIN 18800 mit Hilfe von FE-BGDK

a) Ebene Berechnung nach Theorie II. Ordnung b) Räumliche Berechnung nach Theorie II. Ordnung

Die Berechnung des Verzweigungslastfaktors am Gesamtsystem nach Theorie II. Ordnung bzw. der Nachweis der elastischen Grenzspannungen unter den (γ-fachen) Bemessungsla-sten nach Theorie II. Ordnung am Gesamtsystem sollte immer Vorrang vor einem Ersatz-stabverfahren haben, da nur am Gesamtsystem die realen Rand- und Übergangsbedingun-gen erfaßt werden. Die ideellen kritischen Lasten, die als Größen in die Ersatzstabverfahren



eingehen, können ebenfalls mittels FE-BGDK am Gesamtsystem ermittelt werden (also ge-nauer als mittels analytischer Formeln, die Rand- und Übergangsbedingungen nur annä-hernd erfassen), jedoch müssen die kritischen Lasten genau qualifiziert werden, siehe Bei-spiel im Kapitel 2.6.1.

3.6.1 Ersatzstabverfahren nach DIN 18800 Nach der DIN 18800 Teil 2 werden vereinfachend die Nachweise für Biegeknicken und Biegedrillknicken getrennt geführt. In der Regel wird der Nachweis des Biegeknickens in der Tragwerksebene durch eine Berechnung des ebenen Tragwerks nach Theorie II. Ord-nung als Spannungsnachweis unter den Bemessungslasten und unter Ansatz von Vorver-formungen geführt, siehe Bild 2.21.

Momentenverlaufnach Th. II. Ordnung

Nachweis des Biegeknickens am ebenen Gesamttragwerk als Spannungsnachweis

Nachweis des Biegedrillknickens an heraus-gelösten Einzelstäben (Ersatzstabverfahren)

Bild 2.21: Nachweis eines Tragwerks

- Biegeknicken in der Ebene - Biegedrillknicken am Einzelstab

Der Biegedrillknicknachweis wird an einem aus dem Gesamtsystem herausgelösten Einzel-stab mit den folgenden Randbedingungen und Lasten geführt:

- Lasten der Einzelstab wird durch die Bemessungslasten und an den Stabenden durch die am

Gesamtsystem ermittelten Schnittgrößen belastet

- geometrische Randbedingungen und elastische Stützungen



die beim gedanklichen Herauslösen des Einzelstabes aus dem Gesamtsystem frei wer-denden kinematischen Bedingungen sind als Randbedingungen vorzugeben, vor allem die hinsichtlich des Ausweichens senkrecht zur Tragwerksebene und Torsionsbehinde-rungen. Elastische Stützungen durch angrenzende Bauteile können dabei durch Ersatz-federn nach Kapitel 2.5 berücksichtigt werden.

Für den so definierten Einzelstab gibt es zwei Möglichkeiten für den Nachweis des Biege-drillknickens (siehe auch Bild 2.20): 1) Ersatzstabnachweis Vereinfachter Nachweis nach DIN 18800 Teil 2 [8] (Elemente 306,307,311,320,323). Diese Nachweisform ist im wesentlichen auf doppelt- oder einfachsymmetrische I-Profile be-schränkt (Anmerkung 1 zu Element (311)) und nur für ausgewählte Belastungen anwend-bar. Die ideellen kritischen Werte, wie

Mki,y ideelles Biegedrillknickmoment nach der Elastizitätstheorie bei alleiniger Wirkung von Momenten My ohne Normalkraft

Nki,z Normalkraft unter der kleinsten Verzweigungslast nach der Elastizitätstheorie (die kleinste Last aus Knicken um die z-Achse oder Biegedrillknicken um diese Achse oder Drillknicken, siehe z. B. [9]).

Diese ideellen kritischen Lasten lassen sich mittels FE-BGDK am nicht vorverformten Ein-zelstab (perfektes System) berechnen. Da das Programm stets die kleinste Verzweigungs-last liefert, beim Ersatzstabverfahren aber die Werte Mki,y und Nki,z eingehen, ist zu überprü-fen, ob die vom Programm berechnete Verzweigungslast diesen Größen entspricht (siehe auch Beispiel 5.9, wo Nki,y kleiner ist als Nki,ϑ). Anhand des folgenden Beispieles soll die Problematik näher erleuchtet werden.

x 8 m

N d = 700 kN U 400, St 52

y

z

S

linkes Lager u = v = w = ϕx = 0 rechtes Lager v = w = ϕx = 0 zentrische Druckkraft Nd = 700 kN

Bild 2.22: U-Profil mit zentrischer Druckkraft

Es ergeben sich die kritischen Lasten Biegeknicken:

kN 0,274800

84621000

l

I EN

kN 3,6590800

2035021000

l

I EN

2

2

2

2y

y,ki

2

2

2

2z

z,ki

=π⋅=π

=

=π⋅=π=

Nki,ϑ nach [9] (Drill- bzw. Biegedrillknicklast)

( )

( )5,94 5,8939

04,1654,10

21,1554,1041

54,102

04,1654,109,14

800

ic

i c41

c 2

icil

i

I EN

v2v

222

22

2

222

22M

2

2p

2

2

2M

22

z

2v

2z

2v

2z

,ki

=λ⇒=λ

+

⋅⋅+⋅

+⋅

=

+++

=λ

λπ=ϑ



Mit den Flächenwerten folgt:

kN 2,21259,145,94

2035021000N

cm 54,10c

cm 15,1112035021000

6,818100

80020350221000

c

I EI G

l

II

c

cm 04,16)11,5(21,15zii

cm11,5z

cm 21,1504,39,14iii

22

2

,ki

22

22

z

T2

2

z

2

222M

2yM

M

222z

2yp

=⋅

π⋅⋅=

=⇒

=⋅⋅

π+=

π+=

=−+=+=

−=

=+=+=

ϑ

ω

Nki,y ist die Biegeknicklast um die y-Achse in der Tragwerksebene, Nki,z ist die Biegeknick-last für Knicken um die z-Achse – also Ausweichen in Richtung der y-Achse – und Nki,ϑ stellt die Drillknicklast dar, bei der der Querschnitt in y-Richtung verschoben und gleich-zeitig um die x-Achse verdreht wird. Da Nki,ϑ < Nki,z ist, ist dieser Wert für den Ersatzstab-nachweis maßgebend, und Element (306) und (304) folgt: Knickspannungslinine c → α = 0,49

[ ]

kN 5,29945,911,1

36N

530,0017,1217,1217,1

1

217,1017,1)2,0017,1( 49,01 5,0k

017,19,925,94

d,pl

22z

2

a

kk

=⋅=

=−+

=κ

=+−+=

==λλ=λ

Nachweis

0,144,05,299453,0

700N

Nd

d,plz

≤=⋅

=κ

Damit wäre der Nachweis gegen Biegedrillknicken erfüllt, während der Biegeknicknach-weis für Knicken um die y-Achse wegen Nd = 700 kN > Nki,y = 274 kN nicht erfüllt wäre. Das Programm FE-BGDK liefert nur die kleinste Verzweigungslast Nki,y = 274 kN, zur Er-mittlung der maßgebenden kritischen Last für Ausweichen in y-Richtung müßte z. B. in Feldmitte ein Lager in z-Richtung (w(x=l/2)=0) angebracht werden. Es ergeben sich die in der Tabelle zusammengestellten Werte:

Nki analytisch

FE-BGDK w(l/2)≠0 273,8 y,kiN =̂ Nki,y = 274,0 kN

FE-BGDK w(l/2)=0 2451 ϑ= ,kiN ˆ Nki,ϑ = 2125,2 kN

Die ideellen Werte Mki,y (ohne Normalkraft!) und Nki,z bzw. Nki,ϑ (unter alleiniger Wirkung einer zentrischen Normalkraft) müßten getrennt mittels FE-BGDK ermittelt werden, also in zwei Rechengängen am jeweils perfekten System. Man erkennt anhand dieses Beispieles die Problematik des Ersatzstabverfahrens. Eine bessere Methode stellt deshalb die Mög-lichkeit 2 für den Einzelstab dar:



2) Tragsicherheitsnachweis mit Berechnung des räumlich imperfekten

Einzelstabes nach der Elastizitätstheorie II. Ordnung nach Element (121) in Verbindung mit (201) mit Hilfe von FE-BGDK. Die maximale Vergleichsspannung muß bei stabilem Gleichgewicht kleiner als die Grenzspannung fy,d sein, in kleinen Bereichen darf die Vergleichsspannung die Grenzspannung fy,d um 10 % überschreiten, siehe Kapitel 2.6.3. Die Imperfektionen sind dabei konform zur DIN 18800 Teil 2 (Kap. 2.6.2) anzusetzen. Damit entspricht dieses Vorgehen dem Verfahren elastisch-elastisch.

3.6.2 Bestimmung der Vorverformungen Nach DIN 18800 Teil 2 sind bei Berechnung nach Theorie II. Ordnung zur Berücksichti-gung geometrischer und struktureller Imperfektionen geometrische Ersatzimperfektionen vorzugeben. Dies sind in der Regel bei verschieblichen Systemen Vorverdrehungen infolge von Stabdrehwinkeln und bei unverschieblichen Systemen Vorverkrümmungen in Form von sinus- oder parabelförmiger Halbwellen. Der Verlauf der Vorverformung sollte affin zur niedrigsten Knick- bzw. Biegedrillknickeigenform angesetzt werden, siehe Element (202) [8]. Nach dem Kommentar zur DIN 18800 [14] ist es ausreichend, die Vorverfor-mung so zu wählen, daß eine genügend große Komponente der niedrigsten Eigenform ent-halten ist. Damit soll sichergestellt werden, daß die Lastverformungskurve gegen dem er-sten Eigenwert strebt.

Im Programm FE-BGDK wird deshalb die zum kleinsten Eigenwert gehörende Eigenform berechnet (vorweggeschaltete Eigenwertanalyse) und diese als Vorverformungsfigur ge-wählt. Dabei werden die Vorverformungsfiguren in Richtung der Hauptachsen y und z un-tersucht und die zum kleinsten Eigenwert gehörende Ausweichrichtung gewählt (Vorver-formung in y-Richtung vv, in z-Richtung wv). Unter Berücksichtigung dieser Vorverfor-mungen ergeben sich beim eben belasteten Träger Biegemomente um beide Querschnitt-sachsen sowie Torsionsmomente.

Der Imperfektionsansatz erfolgt nun durch eine Skalierung der Eigenform durch den An-wender. Dieser hat nun die nachstehenden Möglichkeiten (menügeführt und vom Pro-gramm unterstützt, siehe Kapitel 4.3.9):

- Direkte zahlenmäßige Vorgabe des maximalen Vorverformungsstiches über eine grafi-sche Darstellung der Eigenform und der Stelle der Maximalverschiebung

- Berechnung des Krümmungsstichmaßes nach Element (204) Tabelle 3 [8] unter Vorgabe der maßgebenden Knickspannungslinie und der Bezugslänge oder Berechnung der Vor-verdrehung nach Element (205) mit Einbeziehung der Reduktionsfaktoren r1 und r2. Bei Ermittlung der Vorverdrehung werden vom Anwender die notwendigen Daten, wie Be-zugslängen und die Anzahl n der voneinander unabhängigen Ursachen für die Vorverdre-hungen von Stäben, abgefragt.

Die nach [3] Kapitel 2.2 und 2.3 anzusetzenden Vorverformungen dürfen unter bestimmten Voraussetzungen reduziert werden. Diese Reduktion erfolgt menügeführt durch den An-wender: Reduktion 1) nach Element (201) [8] Die von den Knickspannungslinien abhängigen Vorkrümmungsstiche bzw. die Vorverdre-hungen ϕo dürfen bei Anwendung des Verfahrens elastisch-elastisch mit dem Faktor 2/3 re-duziert werden. Reduktion 2) nach Element (202) [8] Beim Nachweis des Biegedrillknickens dürfen die Amplituden der Vorkrümmungen aus der Hauptbeanspruchungsebene heraus nochmals um 50 % abgemindert werden. Die Reduktion 2 ist nicht unproblematisch, darf doch diese Reduktion nur dann vorgenom-men werden, wenn die Vorverformungsfigur für das Biegedrillknicken zur kleinsten Eigen-form gehört. Dies soll anhand des Bildes 2.23 erläutert werden.



v,y

z,w

Nd Nd

qd

qd Nd

Nd

qd

v,y

z,w a) v-Richung b) w-Richtung maßgebend maßgebend

Bild 2.23: Zur Reduktion nach Element (202) [8], maßgebende Vorverformung

Vom Programm werden beide Hauptachsenrichtungen y und z untersucht, da in Abhängig-keit der räumlichen Anordnung des Stabes und der Lastkonstellation entweder die w- oder die v-Richtung maßgebend für das Biegedrillknicken sein kann. Im Falle a) entspricht v der Ausweichrichtung für das Biegedrillknicken, gehört die niedrigste Eigenform zu dieser Richtung darf die Reduktion um 50 % vorgenommen werden. Im Falle b) (Bild 2.23) ent-spricht die Verschiebungsfigur w gedanklich der Vorverformungsfigur in Richtung von v nach DIN 18800 Teil 2 [8], d. h. hier darf nur dann eine Reduzierung um 50 % vorgenom-men werden, wenn die zum niedrigsten Eigenwert gehörende Eigenform (die dann vom Anwender zu skalieren ist) in w-Richtung geht. Eine genaue Beschreibung der Vorverformungsermittlung findet sich im Kapitel 4.3.9.

3.6.3 Tragfähigkeitsnachweis nach Theorie II. Ordnung, Verfahren elastisch-elastisch

Das Programm FE-BGDK ermittelt die Schnittgrößen nach der Theorie II. Ordnung unter Berücksichtigung von räumlichen Vorverformungen (Kapitel 2.6.2). Beim Nachweisverfahren elastisch-elastisch nach Element (121) [8] ist nachzuweisen, daß unter den Bemessungseinwirkungen (γF-fache Lasten)

M

k,yd,yv

d,yd,yx

ffmax

f3

1max ;fmax

γ=≤σ

≤τ≤σ

Gleichungen 2.29

ist. In kleinen Bereichen darf die Vergleichsspannung σv die Grenzspannung um 10 % ü-berschreiten, siehe Element (749) [7]:

d,yv f 1,1max ≤σ

Gleichung 2.30

Für die Stäbe mit Normalkraft und Biegung kann ein kleiner Bereich unterstellt werden, wenn gleichzeitig gilt (siehe [7]):

d,yz

z

d,yy

y

f 8,0yIM

AN

und f 8,0z I

M

AN

≤+

≤+

Gleichung 2.31



In der Regel tritt die maximale Beanspruchung an einer Profilkante auf, an der die Schub-spannungen aus den Querkräften zu Null werden, dann reduzieren sich die Nachweise auf den Nachweis der Normalspannungen.

3.6.4 Traglasten FT oder FG, Traglast FV Das Programm FE-BGDK bietet noch die Möglichkeit, den Tragwerksnachweis durch den Vergleich der Grenzlasten (Traglasten) mit den Bemessungslasten zu führen. Von prakti-scher Bedeutung ist dabei nur der Nachweis

dGdT FF oder FF ≥≥

Gleichung 2.23

Das Lastniveau FT bzw. FG wird vom Programm durch eine iterative Laststeigerung ermit-telt, siehe auch Bild 2.1: FT Traglast infolge Stabilitätsverlust (Durchschlagslast) am imperfekten System unter Ein-

haltung der elastischen Grenzspannung FG elastische Grenzlast am imperfekten System (alle Schub- Normal- und Vergleichsspan-

nungen sind kleiner gleich der jeweiligen elastischen Grenzspannung). Die noch vom Programm berechenbare Traglast FV infolge Vorverformungen ohne Einhal-tung der elastischen Grenzspannung ist nur von theoretischem Interesse.

4 ARBEITEN MIT FE-BGDK


4. Arbeiten mit FE-BGDK

4.1 FE-BGDK starten Das Modul FE-BGDK kann entweder aus dem Pulldownmenü Zusatzmodule → Bemessung aufgerufen werden oder über den entsprechenden Eintrag unter [Zusatzmodule] im Positi-on- beziehungsweise im Projektnavigator.

Aufruf von FE-BGDK über das Pulldownmenü Zusatzmodule oder den Navigator

Die zu bemessende Position muß bereits vor dem Start von FE-BGDK in RSTAB geöffnet sein. Das Modul FE-BGDK bietet die Möglichkeit, die Belastungen aus beliebigen Lastfällen und Lastfallgruppen (nicht Lastfallkombinationen) aus RSTAB für die interne Neuberech-nung der Schnittgrößen zu übernehmen.

4.2 Masken Sowohl die Eingaben zur Definition der FE-BGDK-Fälle als auch die numerische Ausgabe der Ergebnisse auf dem Bildschirm geschehen in Masken. Im rechten Teil des FE-BGDK-Fensters werden Ihnen je nach Maske zusätzliche Grafiken angezeigt. Links sehen Sie nach dem Aufruf von FE-BGDK den FE-BGDK-Navigator. Darüber be-findet sich eine Pulldownliste mit den eventuell bereits vorhandenen Bemessungsfällen. Durch Drücken von [Pfeil-nach-unten] wird die Liste aufgerollt und Sie können den ge-wünschten Bemessungsfall durch Anklicken aktivieren. Die Ansteuerung aller Masken kann wahlweise durch Anklicken des entsprechenden Ein-trages im FE-BGDK-Navigator oder sequentielles Durchblättern geschehen. Geblättert werden kann entweder mit den Tasten [F2] und [F3] oder durch Anklicken der Schaltflä-chen [<<] und [>>]. Mit der Schaltfläche [Berechnung] wird nach Abschluß aller Eingaben die Berechung ge-startet. Mit der Schaltfläche [Grafik] wechseln Sie in die grafische Ergebnisanzeige, wo automa-tisch der aktuelle FE-BGDK-Fall eingestellt ist. Weitere Informationen zum Thema Ergeb-nisanzeige und -ausgabe finden Sie im Kapitel 5 dieses Handbuches.



[OK] sichert vor dem Verlassen von FE-BGDK die Eingaben und Ergebnisse, während [Abbruch] FE-BGDK verlässt, ohne zuvor die Daten zu sichern. [Hilfe] beziehungsweise die Taste [F1] aktivieren die Online-Hilfe.

4.3 Eingabemasken In den Eingabemasken sind alle für den Nachweis notwendigen Angaben zu machen und die gewünschten Parametereinstellungen vorzunehmen.

4.3.1 Maske 1.1 Allgemeine Angaben Nach dem Aufruf von FE-BGDK wird das FE-BGDK-Fenster mit der Maske 1.1 Allgemei-ne Angaben eingeblendet.

Maske 1.1 Allgemeine Angaben

Um die Bemessung mit FE-BGDK durchzuführen ist es notwendig, Stabzüge zu definieren. Wurden in RSTAB bereite Stabzüge festgelegt, so können deren Nummern in der Liste Zu bemessende Stabzüge eingetragen werden bzw. können mit [Pick] die Stabzüge grafisch ausgewählt werden. Wird das Kontrollkästchen Alle aktiviert, dann werden alle definierten Stabzüge bemessen. Wenn in RSTAB noch keine Stabzüge festgelegt wurden, dann ist de-ren Definition mit [Neu] möglich. Darunter finden Sie die Listen Existierende Lastfälle und LF-Gruppen. Die Lastfälle bzw. die LF-Gruppen, nach denen die Bemessung erfolgen soll, werden zunächst durch Anklik-ken markiert und mit [>] in die rechte Liste gebracht. [>>] überträgt alle Lastfälle bzw. LF-Gruppen in die rechte Liste. Analog dazu können mit [<] einzelne oder mit [<<] alle Ein-träge aus der rechten Liste entfernt werden. Die Auswahl von Lastfallkombinationen ist nicht möglich, weil zur Bemessung eindeutige Schnittgrößen erforderlich sind. LF-Kombinationen enthalten für jede Stelle zwei Werte, Minimum und Maximum. Im Textfeld Kommentar kann jeder FE-BGDK-Fall mit Anmerkungen versehen werden. In [Details] werden eine Vielzahl von Einstellmöglichkeiten angeboten, um die Berechnung zu beeinflussen.



FE-BGDK, Details

Im Abschnitt Berechnungs-Einstellungen kann eingestellt werden, ob der kritische Lastfak-tor nur infolge Stabilitätsverlust berechnet werden soll (es wird angenommen, daß das Ma-terial unendlich elastisch ist) oder ob die Grenzspannung berücksichtigt werden soll. Im allgemeinen können bei Torsionsbeanspruchungen die sekundären Schubspannungen vernachlässigt werden. Siehe dazu Abschnitt 3.3 (S.14). Wenn diese Spannungen trotzdem in der Berechnung berücksichtigt werden sollen, dann muß diese Kontrollfeld aktiviert wer-den. Im Eingabefeld Maximale Länge eines FEM-Elementes kann die voreingestellte Größe der FEM-Elemente beeinflußt werden. Die Anzahl der Elemente sollte pro Stab zwischen 8 und 16 liegen. Achtung! Mehr Elemente vergrößern nicht unbedingt die Genauigkeit, führen aber unter Umständen zu numerischen Problemen. Im rechten Teil des Dialoges können die in FE-BGDK verwendeten Einheiten eingestellt werden. Außerdem kann ggf. der Teilsicherheitsbeiwert γM geändert werden. Für den Tragsicherheitsnachweis ist γM auf 1,1 zu setzten. Wenn nur der kritische Lastfak-tor ermittelt werden soll, dann ist γM=1,0.

4.3.2 Maske 1.2 Material und Querschnitte In dieser zeiteiligen Maske werden im oberen Teil 1.2.1 Material die Grenzspannungen an-gegeben, mit denen die berechneten Spannungen verglichen werden. Für die meisten Stahl-sorten sind die entsprechenden Spannungen bereits in der Grenzspannungsbibliothek ge-speichert und werden automatisch von FE-BGDK übernommen. Die Werte können jedoch jederzeit manuell geändert werden oder durch andere Materialien aus der Grenzspannungs-bibliothek ersetzt werden.



Maske 1.2, Material und Querschnitte

Wenn sich der Cursor in der Tabelle befindet, dann können Sie die Grenzspannungsbiblio-thek durch Drücken der Taste [F7] oder durch Klicken auf die Schaltfläche [Grenzspan-nungs-Bibliothek] aufrufen. Im unteren Maskenteil 1.2.2 Querschnitte werden alle zu bemessenden Querschnitte aufge-listet. Befindet sich der Cursor in einer Zelle der Spalte Querschnittsbezeichnung, dann er-schein am Ende der Zelle eine Schaltfläche [...]. Mit dieser Schaltfläche können Sie ebenso wie mit der Schaltfläche [Querschnitts-Bibliothek] andere Profile aus der Querschnittsbi-bliothek auswählen. In der Spalte Anmerkungen finden Sie unter Umständen Fußnoten, die im Feld Anmerkun-gen erklärt werden, falls sich der Cursor in der entsprechenden Zeile befindet. Mit der Schaltfläche [Querschnitts-Details] können alle statisch relevanten Querschnitts-werte angezeigt werden. Die Schaltfläche [Querschnitts-Bibliothek] öffnet die RSTAB-Querschnittsbibliothek mit allen bekannten Zugriffs- und Editierfunktionen. Im rechen Teil der Maske werden die Querschnitte grafisch dargestellt. Durch die entspre-chenden Kontrollkästchen können die Spannungspunkte und deren Nummerierung einge-blendet werden.

4.3.3 Maske 1.3 Auflager In der Maske 1.3 werden die Auflagerbedingungen des Tragwerkes definiert. Die in RSTAB eingegebenen Auflager werden übernommen und können ggf. verändert werden. Außerdem ist es möglich, zusätzliche Auflager einzugeben.



Maske 1.3, Auflager

Um zusätzliche Auflager einzufügen, setzen Sie den Cursor in eine freie Zelle der Spalte A und wählen in der Pulldownliste den entsprechenden Stabzug aus. In der Spalte B können die zu lagernden Knoten eingegeben werden. Mit der Schaltfläche [...] ist eine grafische Auswahl möglich. In den Spalten C bis H werden die Auflagerbedingungen für die ausgewählten Knoten fest-gelegt. Durch Klicken in die Kontrollkästchen werden die Auflager in den entsprechenden Freiheitsgraden aktiviert bzw. deaktiviert. Alternativ können die Auflager durch das Kon-textmenü der entsprechenden Zelle geändert werden. Die Kontrollkästchen können auch mit einen entsprechenden Zahlenwert für eine Weg-, Dreh- oder Wölbfeder überschrieben werden. Mit der Schaltfläche [Bearbeiten] können die Auflagerbedingungen ebenfalls geändert wer-den.

Dialog Auflager bearbeiten

In der Liste Knotennummern werden die ausgewählten Knoten geändert. Mit der Schaltflä-che [Pick] ist eine grafische Auswahl möglich. Um mit der Maus mehrere Knoten zu mar-kieren drücken Sie beim Klicken die [Strg]-Taste. Durch Klicken in die entsprechenden Kontrollkästchen werden die entsprechenden Frei-heitsgrade gebunden oder gelöst. Bei gelösten Freiheitsgraden kann wieder eine Weg-, Dreh- oder Wölbfederkonstante angegeben werden.



Die Wölbfederkonstante kann vom Programm berechnet werden. Klicken Sie dazu auf die Schaltfläche [Ermitteln]. Die Wölbfeder kann für

• Stirnplatten, • in das Profil eingeschweißte U- oder Winkel-Profile, • angeschlossene Stützen und • Trägerüberstand

ermittelt werden. Die Auswahl erfolgt im oberen Teil des Dialoges. Je nach Auswahl ändert sich der untere Teil des Dialoges. Theoretische Erläuterungen zur Ermittlung der Wölbfedern finden Sie im Kapitel 3.5.3 (S. 23). Wölbfeder aus Stirnplatte ermitteln

Dialog Wölbfeder ermitteln, Stirnplatte

Im Eingabefeld Material kann das Material für die Wölbfeder definiert werden. Sinnvol-lerweise ist hier Stahl voreingestellt. Über die Schaltfläche [Bibliothek] steht wieder die Materialbibliothek zur Verfügung. Im mittleren Teil des Dialoges werden die Abmessungen der Stirnplatte festgelegt. Mit der Schaltfläche [Setze aus Profil] können Höhe und Breite vom Stahlprofil übernommen wer-den. Im unteren Teil des Dialoges ist die ermittelte Wölbfederkonstante zu sehen. Diese kann mit [OK] übernommen werden. [Abbruch] verläßt den Dialog, ohne die Wölbfederkonstan-te zu übernehmen. Wölbfeder aus eingeschweißten U-Profil ermitteln

Dialog Wölbfeder ermitteln, U-Profil



Im mittleren Teil werden die Abmessungen des U-Profils eingetragen. Mit der Schaltfläche [Walzprofile U...] kann ein U-Profil aus den verschiedenen Reihen der Profilbibliothek ausgewählt werden. Mit dem Kontrollfeld Beidseitige Anordnung wird ausgewählt, ob das U-Profil nur auf einer Seite des Steges oder auf beiden Seiten eingepaßt ist. Unter den Ab-messungen für das U-Profil müssen noch die Abmessungen für das Profil angegeben wer-den. Die Höhe hm bezeichnet dabei der Abstand von den Flanschmitten und s die Stegdik-ke. Mit [Pick] kann aus der Liste aller im Stabzug verwendeter Profile das Profile ausge-wählt werden, dessen Verwölbung durch die Feder behindert wird. Die Profilabmessungen hm und s werden dann automatisch ermittelt. Im unteren Teil des Dialoges ist die ermittelte Wölbfederkonstante zu sehen. Diese kann mit [OK] übernommen werden. [Abbruch] verläßt den Dialog, ohne die Wölbfederkonstan-te zu übernehmen. Wölbfeder aus eingeschweißten Winkel-Profil ermitteln

Dialog Wölbfeder ermitteln, Winkel-Profil

Der Aufbau des Dialoges ist analog zum Dialog Wölbfeder aus eingeschweißten U-Profil. Durch [Walzprofil L...] kann aus der Profilbibliothek ein Winkelprofil gewählt werden, dessen Querschnittsabmessungen in die Eingabefelder übernommen werden. Wölbfeder aus angeschlossener Stütze ermitteln

Dialog Wölbfeder ermitteln, angeschlossene Stütze

Im mittleren Teil können mittels zwei Pulldownlisten aus allen verwendeten Profilen die Profile für Stütze und Riegel ausgewählt werden. Mit [Pick] ist eine grafische Auswahl möglich. Mit [Bibliothek] können für die Stütze beliebige Profile aus der Profilbibliothek



definiert werden. Außerdem wird der Abstand hm von Flanschmitte bis Flanschmitte des Riegels benötigt. Der untere Teil des Dialoges ist wieder analog zu den oben beschriebenen aufgebaut. Wölbfeder aus Trägerüberstand ermitteln

Dialog Wölbfeder ermitteln, Trägerüberstand

In der Pulldownliste wird das Riegelprofil aus den verwendeten Profilen ausgewählt. Mit [Pick] ist eine grafische Auswahl möglich. Im Eingabefeld Überstand wird die Länge des Trägerüberstandes eingegeben. Mit [Pick] kann grafisch ein Stab ausgewählt werden, dessen Länge in das Eingabefeld eingetragen wird. Der untere Teil des Dialoges ist wieder analog zu den oben beschriebenen aufgebaut.

4.3.4 Maske 1.4 Elastische Stabbettung In der Maske 1.4 können elastische Stabbettungen für das Tragwerk definiert werden. Bei-spielsweise liegen auf Rahmenriegel oftmals Trapezbleche auf, die eine Drehbettung des Rahmenriegels bewirken und außerdem als Schubfeld wirken. Auch kann die stabilisieren-de Wirkung von Pfetten und Verbänden hier erfaßt werden. Angaben zur Ermittlung der Federkonstanten finden Sie in den Abschnitten 3.5.1 (S.20) und 3.5.2 (S.22). Werden Trapezbleche als Schubfelder eingesetzt, dann müssen unbedingt die in den Nor-men definierten Bedingungen eingehalten werden. Siehe dazu [12].



Maske 1.4, Elastische Stab-Bettungen

Um eine neue Stabbettung einzugeben klicken Sie in eine freie Zelle der Spalte A und wäh-len aus der Pulldownliste den entsprechenden Stabzug aus. In der Spalte B können die Nummern der zu bettenden Stäbe eingegeben werden. Mit der Schaltfläche [...] ist eine gra-fische Auswahl möglich. In den Spalten D bis E werden die Federsteifigkeiten für die Ver-schiebung in den lokalen Achsen und die Verdrehung um die Stabachse definiert. Meistens wirken die Bettungen nicht im Schwerpunkt. Die Drehbettung durch Trapezblech wirkt z.B. am Obergurt des Riegels. Deswegen können noch Außermittigkeiten der Bettungen in den lokalen Stabachsen 2 und 3 angegeben werden. Mit der Schaltfläche [Bearbeiten] können die Stabbettungen ebenfalls geändert werden.

Dialog Elastische Stabbettung

In der Liste der Stabnummern werden die gebetteten Stäbe eingetragen bzw. mit [Pick] gra-fisch ausgewählt. Um mit der Maus mehrere Stäbe auszuwählen drücken Sie beim Klicken die [Strg]-Taste. In den entsprechenden Eingabefeldern können die Weg- bzw. Drehfederkonstanten direkt eingetragen werden. Mit [Ermitteln] können diese komfortabel in Abhängigkeit von den Randbedingungen vom Programm berechnet werden.



Dialog Weg- und Drehfedern aus Schubfeld ermitteln

Im linken oberen Bereich des Dialoges muß mittels der entsprechenden Kontrollkästchen angegeben werden, ob nur die seitliche Behinderung, nur die Drehbettung oder beide Wir-kungen berücksichtigt werden sollen. Die seitliche Behinderung kann aus der Wirkung von Verbänden, von Trapezblech oder aus beiden resultieren. Die seitliche Behinderung wirkt in der Regel in Richtung der Stabachse 2. Mit dem Auswahlfeld In Richtung der Stabachse: kann jedoch auch die andere Stabachse eingestellt werden. Je nachdem, ob das Dachblech pfettenlos zwischen den Riegeln spannt oder auf Pfetten verlegt ist, erfolgt die Drehbettung der Riegel durch das Trapezblech oder die Pfetten. Im Auswahlfeld Aus Trapezblech / Aus Pfetten muß der entsprechende Fall angegeben werden. Im mittleren und rechten Bereich des Dialoges werden die ermittelten Weg- und Drehbet-tungen angezeigt. Diese werden mit [OK] übernommen. [Abbruch] verläßt den Dialog, oh-ne daß diese Werte übernommen werden. Das Register Schubfeld

Register Schubfeld



Im Register Schubfeld werden nur die Länge des Schubfeldes und der Abstand der zu stabi-lisierenden Riegel eingegeben. Alle anderen benötigten Kennwerte werden im Register Trapezblech erfragt. Die Eingabe der Werte kann direkt in die entsprechenden Felder erfolgen. Mit [Pick] ist auch eine grafische Eingabe möglich. Dazu markieren Sie 2 Knoten. Der Abstand der Kno-ten wird in das Feld eingetragen. Um mehrere Knoten mit der Maus zu markieren drücken Sie beim Klicken die [Strg]-Taste. Das Register Verband

Register Verband

Ist im oberen linken Teil des Dialoges Weg- und Drehfeldern aus Schubfeld ermitteln das Kontrollfeld Aus Verband aktiviert, dann kann dieses Register ausgewählt werden. Im Abschnitt Geometrie wird im Drehfeld Anzahl der Verbände eingestellt, wie viele Ver-bände die Dachebene stabilisieren. Im Eingabefeld Abstand der Pfosten b wird der Ver-bandspfostenabstand entweder direkt eingegeben oder mit [Pick] werden zwei Knoten gra-fisch ausgewählt. Deren Abstand wird dann automatisch eingetragen. Im Abschnitt Querschnitt Diagonalen wird die Querschnittsfläche der Diagonalen ermittelt. Dazu kann aus der Pulldownliste ein bereits in der RSTAB-Position vorhandenes Profil ausgewählt werden. Die Auswahl ist mit [Pick] auch grafisch möglich. Mit [Bibliothek] kann ein beliebiges Profil aus der Profilbibliothek von RSTAB verwendet werden. Im Ein-gabefeld Querschnitts-Fläche A-Diag wird die Querschnittsfläche des für die Diagonale gewählten Profils eingesetzt, kann jedoch noch per Hand verändert werden. Im Abschnitt Querschnitt Pfosten erfolgt die Ermittlung der Querschnittsfläche der Ver-bandspfosten analog zu den Diagonalen. Im Abschnitt Material Diagonalen und Pfosten wird der E-Modul ermittelt. Dazu kann in der Pulldownliste ein bereits in RSTAB verwendetes Material ausgewählt werden. Mit [Pick] ist wieder eine grafische Auswahl möglich und mit [Bibliothek] kann ein beliebiges Material aus der Materialbibliothek von RSTAB ausgewählt werden. Der ermittelte E-Modul kann per Hand noch verändert werden.



Das Register Trapezblech

Register Trapezblech

Sind im oberen linken Bereich des Dialoges die Kontrollfelder Seitliche Behinderung / Aus Trapezblech und / oder Drehbettung / Aus Trapezblech aktiviert, dann kann das Register Trapezblech ausgewählt werden. Hier werden alle für die Drehbettung und Schubfeldwir-kung des Trapezbleches wichtigen Daten erfaßt. Im Abschnitt Trapezblech wird im Eingabefeld Bezeichnung der Name des verwendeten Trapezbleches eingegeben. Mit [Bibliothek] steht eine umfangreiche Bibliothek aller ge-bräuchlichen Trapezblechtypen zur Verfügung. Die Eingabefelder Schubfeld-Beiwert K-1, K-2 Trägheitsmoment I-ef und Blechdicke werden mit den Werten aus der Bibliothek auto-matisch ausgefüllt. Bei Bedarf ist eine Änderung per Hand jedoch möglich. Im Auswahlfeld Befestigungsart kann eingestellt werden, ob das Trapezblech in jeder oder nur in jeder 2. Sicke befestigt ist. Diese Einstellung hat erheblichen Einfluß auf die Dreh-bettung. Wird das Trapezblech auf den Riegeln mindestens als Dreifeldträger verlegt, dann kann das Kontrollfeld Durchlaufwirkung über mindestens 3 Felder aktiviert werden. Im Abschnitt Drehbettung aus Anschluß kann im Eingabefeld c-Theta,A,k quer die Dreh-bettung eingegeben werden. Mit [Pick] wird die Tabelle 7 der DIN 18800 T2 angezeigt. Je nach den Randbedingungen kann auf die entsprechende Zeile geklickt werden. Der Wert

für k,Ac ϑ wird automatisch in das Eingabefeld übertragen.



DIN 18800 T2, Tabelle 7

Für die Ermittlung von k,Acϑ kann nach zwei verschiedenen Verfahren erfolgen: einmal

nach der Gleichung (11b) der DIN 18800 T2 oder nach dem (günstigeren) Verfahren von LINDNER / GROESCHEL. Im Auswahlfeld Ermitteln nach wird das entsprechende Verfahren gewählt. Beim Verfahren nach LINDNER / GROESCHEL sind noch weitere Angaben notwen-dig. Zu dem entsprechenden Dialog gelangt man mit [Details].

Dialog c-Th,A,k nach Lindner / Groeschel

Im Abschnitt Trapezblech wird im Eingabefeld Befestigungsbreite b die Auflagerbreite des Trapezbleches auf dem Riegel eingegeben. Außerdem wird im jeweiligen Auswahlfeld an-gegeben, ob das Trapezblech in Negativ- oder Positivlage verlegt wird. Im Eingabefeld Auflagerkraft A wird der Bemessungswert der Trapezblech-Auflagerkraft eingetragen. Die Korrekturfaktoren k-b, k-t und k-A werden aus diesen Werten errechnet. Der Wert für

k,Ac ϑ kann wie im Dialog zuvor direkt aus der Tabelle 7 der DIN 18800 T2 ausgewählt wer-

den Im letzten Abschnitt zeigt die ermittelte Drehfeder an. Mit [OK] wird der Dialog beendet und die Werte werden übernommen. Mit [Abbruch] wird der Dialog beendet, ohne daß die Werte übernommen werden. Nähere Erläuterungen zur Drehbettung durch Trapezbleche sind im Abschnitt 3.5.1 (S.20) zu finden.



Das Register Pfetten

Register Pfetten

Das Register Pfetten kann nur dann ausgewählt werden, wenn im oberen linken Bereich das Kontrollfeld Drehbettung aktiviert ist und das Auswahlfeld Aus Pfetten gewählt wurde. Im Abschnitt Geometrie wird im Eingabefeld der Pfettenabstand erfaßt. Der Abstand kann mit [Pick] grafisch ermittelt werden, indem mit der Maus 2 Knoten ausgewählt werden. Zum Auswählen mehrerer Knoten muß beim Klicken die [Strg]-Taste gedrückt werden. Im Abschnitt Material kann in der Pulldownliste das Material ausgewählt werden. Der E-Modul wird automatisch im Eingabefeld eingetragen, kann jedoch bei Bedarf angepaßt werden. Mit [Pick] kann grafisch ein Stab ausgewählt werden, dessen Material dann über-nommen wird. Mit [Material-Bibliothek] kann ein beliebiges Material ausgewählt werden. Im Abschnitt Querschnitt wird das Profil der Pfetten festgelegt. Mit [Pick] kann grafisch aus dem RSTAB-Modell ein Stab ausgewählt werden, dessen Profilname in die Eingabezei-le übernommen wird. Ebenso kann ein Profil aus der Profilbibliothek übernommen werden. Das Flächenträgheitsmoment wird in das entsprechende Eingabefeld eingetragen und kann hier bei Bedarf noch abgeändert werden. Werden die Pfetten als Durchlaufträger über mindestens drei Felder verlegt, dann kann das Kontrollfeld im untersten Abschnitt aktiviert werden. Im rechten Teil des Dialogs wird das gewählte Pfettenprofil grafisch dargestellt. Mit [Info] können die Profilkennwerte angezeigt werden.



Das Register Profil

Register Profil

Um die Drehbettung aus der Profilverformung bei der Ermittlung der Gesamtdrehbettung zu berücksichtigen, muß das entsprechende Kontrollfeld aktiviert werden. Im Abschnitt Profil wird der Profilname des elastisch gebetteten Stabes eingegeben. In der Pulldownliste kann aus den bereits in RSTAB verwendeten Profilen ausgewählt werden. Mit [Pick] ist eine grafische Auswahl eines Stabes möglich, dessen Profilname in dann übernommen wird. Außerdem kann mit [Bibliothek] ein beliebiges I-Profil aus der Profil-bibliothek ausgewählt werden. In den Eingabefeldern Druckgurtbreite b-1, Druckgurtdicke t-1, Stegdicke s und Gurt-schwerelinien-Höhe hm werden entsprechend der Profilauswahl die Werte eingetragen. Mit [Pick] wird das Profil angezeigt und mit der Maus kann ein entsprechender Profilteil mar-kiert werden. Dessen Abmessung erscheinen dann in dem entsprechenden Eingabefeld.

grafisches Auswählen von Querschnittsteilen

Im rechten Teil des Dialogs ist das Profil grafisch dargestellt. Mit [Info] kann man die Querschnittskennwerte angesehen.



4.3.5 Maske 1.5 Stabendfedern In der Maske 1.5 können Federn an den Stabenden definiert werden. Diese Federn können Weg-, Dreh- und Wölbfedern sein. Hier kann beispielsweise die Wölbbehinderung des Riegels durch einen Kopfplattenan-schluß definiert werden.

Maske 1.5, Stabend-Federn

In der Spalte A wird in der Pulldownliste der entsprechende Stabzug ausgewählt. In der Spalte B werden die Stäbe definiert, an deren Enden sich die Feldern befinden. Dies kann entweder durch die Eingabe der entsprechenden Stabnummer geschehen oder mit [...] wird der Stab grafisch ausgewählt. In der Spalte C kann eingestellt werden, an welchen Enden der Stab federnd gehalten ist. In den Spalten D bis G können die Federkonstanten direkt eingegeben werden. Wenn die Federn nicht in der Schwerelinie des Profils angreifen, dann müssen Exzentrizitäten in den lokalen Stabachsen 2 und 3 angegeben werden. Mit [Bearbeiten] ist ein komfortableres Bearbeiten der Stabendfedern im Dialog möglich.

Dialog Stabende-Federn



Im Abschnitt Stabendfedern an Stäben werden im Eingabefeld Stab-Nr. die Stabnummern der federnd gehaltenen Stäbe eingetragen. In der Pulldownliste wird angegeben, an welchen Stabenden die Feder wirkt. Mit [Pick] ist eine grafische Auswahl der Stäbe möglich. Im Abschnitt Weg- und Drehfeder können die Federkonstanten direkt in die Eingabefelder eingetragen oder mit [Ermitteln...] berechnet werden. Wegfedern ermitteln

Dialog Wegfeder durch anschließendes Bauteil ermitteln

Wird ein Stabende in einer der lokalen Achsen 2 oder 3 gestützt, dann kann in diesem Dia-log die entsprechende Federsteifigkeit ermittelt werden. Im Abschnitt Anschließendes Bau-teil werden Material, Querschnitt und Stablänge des anschließenden Bauteils definiert. Ma-terial und Querschnitt können in der entsprechenden Pulldownliste ausgewählt werden. Für diese beiden Kenngrößen stehen wieder über [Bibliothek] die RSTAB-Bibliotheken zur Verfügung. Die Länge kann entweder in das Eingabefeld eingetragen werden oder es wird grafisch mit [Pick] ein Stab gewählt, dessen Länge dann automatisch übernommen wird. Mit [Alle Eigenschaften vom gepickten Stab übernehmen] werden Material, Querschnitt und Länge von einen grafisch ausgewählten Stab übernommen. Im unteren Anschnitt wird der Wert der ermittelten Wegfeder angezeigt. Mit [OK] wird dieser Dialog verlassen und die ermittelte Federkonstante wird übernom-men. Drehfeder ermitteln

Dialog Drehfeder durch anschließende Stütze ermitteln

Wenn beispielsweise ein Rahmenriegel an der Stütze angeschlossen wird, dann ist das ei-gentlich keine Gabellagerung, sondern eine elastische Einspannung um die Stabachse. Die Drehfederkonstante kann hier ermittelt werden. Im Abschnitt Stütze werden Material und Querschnitt der Stütze aus den entsprechenden Pulldownlisten ausgewählt. Darin werden alle bereits verwendeten Materialien bzw. Quer-schnitte angezeigt. Mit [Alle Eigenschaften vom gepickten Stab übernehmen] kann ein Stab grafisch ausgewählt werden, dessen Eigenschaften automatisch in die entsprechenden Ein-gabefelder übernommen wird.



Im Abschnitt Lagerungsart der Stütze um Achse 3 wird die Lagerungsbedingung der Stütze um die schwache Achse definiert. Im Auswahlfeld kann zwischen gelenkig, eingespannt und elastisch eingespannt gewählt werden. Falls elastisch gewählt wurde kann im Drehfeld Einspannung der Einspanngrad zwischen 0 und 100% variiert werden. Im unteren Anschnitt wird der Wert der ermittelten Drehfeder angezeigt. Mit [OK] wird dieser Dialog verlassen und die ermittelte Federkonstante wird übernom-men. Wölbfedern ermitteln

Dialog Wölbfeder ermitteln

Genau wie im Abschnitt 4.3.3 können hier Wölbfedern für die Stabenden ermittelt werden. Der Unterschied zu Abschnitt 4.3.3 ist jedoch, dass hier die Wölbfeder nicht an ein Auf-lager gebunden ist, sondern an einem beliebigen Stabende definiert werden kann. Der Dialog ist ausführlich im Abschnitt 4.3.3 (S. 38) beschrieben. Hier wird deswegen dar-auf verzichtet.

4.3.6 Maske 1.6 Stabendgelenke In der Maske 1.6 können unabhängig von RSTAB Stabendgelenke definiert werden. Die in RSTAB eingegebenen Gelenke werden übernommen.

Maske 1.5, Stabend-Gelenke



Nachdem in der Spalte A der Stabzug und in der Spalte B die Stabnummer gewählt wurde, muß in der Spalte C angegeben werden, ob sich das Gelenk am Stabanfang, am Stabenden oder an beiden Stabseiten befindet. Durch Anklicken der Kästchen in den Spalten ist das Einfügen eines Gelenkes für den entsprechenden Freiheitsgrad möglich. Mit [Bearbeiten] können die gleichen Informationen in einem Dialog eingegeben werden.

Dialog Stabend-Gelenk

Im Abschnitt Stabend-Gelenk am Stab werden Stabnummer und Stabseite gewählt. In den folgenden Abschnitten können durch Aktivieren der Kontrollfelder für die entsprechenden Freiheitsgrade die Gelenke definiert werden.

4.3.7 Maske 2.1 Knotenlasten Die Eingabe der Belastung verteilt sich auf drei Untermasken:

• 2.1 Knotenlasten, • 2.2 Stablasten und • 2.3 Imperfektionen.

Zwischen den Untermasken wechselt man, indem man auf die Register am unteren Rand klickt. Im Navigator auf der linken Seite kann ein Lastfall oder eine Lastfallgruppe ausge-wählt werden. Im Navigator erscheinen die Lastfälle bzw. Lastfallgruppen, die in der Mas-ke 1.1 zur Bemessung ausgewählt wurden. Wurden in RSTAB bereits Belastungen definiert, dann sind diese bereits in den Tabellen eingetragen. Alle von RSTAB übergebenen Belastungen können natürlich bei Bedarf geändert oder er-gänzt werden. Vorsicht! Leiten Bauteile, die nicht zum Stabzug gehören, Lasten ein, dann werden die La-sten nicht aus RSTAB übernommen und müssen unbedingt ergänzt werden. Das trifft be-sonders für Hallenrahmen mit Kranbahnkonsolen und auf 3-D-Hallen mit Pfettendächern zu.



Maske 2.1, Knotenlasten

Nachdem in den Spalten A der Stabzug und B die Knotennummer eingegeben wurden kön-nen in den Spalten C bis I die entsprechenden Belastungskomponenten eingegeben werden. Mit [Bearbeiten] ist wieder eine Eingabe per Dialog möglich.

Dialog Knotenlast

Im Abschnitt Last am Knoten wird die entsprechende Knotennummer gewählt und in den Abschnitten Knotenkraft, Knotenmoment und Knoten-Wölbmoment werden die entspre-chenden Lastkomponenten eingetragen.



4.3.8 Maske 2.2 Stablasten

Maske 2.2, Stablasten

Nachdem in der Spalte A der Stabzug und in der Spalte B der Stab für die Last definiert wurde kann in der Spalte C der Lasttyp festgelegt werden. Folgende Lasttypen stehen zur Auswahl:

• Linienlast • Einzellast auf dem Stab • n Einzellasten • 2 × 2 Einzellasten • 2 unterschiedliche Einzellasten • Einzelmoment • n Einzelmomente • 2 × 2 Einzelmomente • 2 unterschiedliche Einzelmomente • Trapezlast • Dreieckslast • Temperaturdifferenz • Temperaturab- / zu-nahme • Vorspannung durch Kraft • Vorspannung durch Längenänderung

Im unteren Teil der Maske wird jeweils zur eingestellten Lastart eine Grafik angezeigt, die die Bedeutung der Stablast-Parameter in den Spalten E bis H erläutert. In der Spalte D wird die Richtung der Last definiert. Vertikale Lasten greifen im Allgemeinen nicht im Schubmittelpunkt des Profils an, sondern in der Schwereachse. Das muß bei einfachsymmetrischen Profilen wie U-Stahl berücksich-tigt werden, bei denen Schubmittelpunkt und Schwerpunkt nicht zusammenfallen. In der Spalte I kann diese Außermittigkeit angegeben werden, so daß die planmäßige Torsion des Profils von FE-BGDK berücksichtigt werden kann. Die Belastung greift meist auch vertikal nicht in Höhe des Schubmittelpunktes an sonder oft an der Profiloberseite. Diese Exzentrizität kann in der Spalte J angegeben werden. Ach-tung! Wenn die Belastung an der Oberseite angreift, dann ist für e-3 ein negativer Wert einzugeben. Bitte beachten Sie, daß Exzentrizitäten nur für Lasten, die in lokalen Stabachsen wirken, angegeben werden können. Ansonsten sind die Spalten I und J deaktiviert. Mit [Bearbeiten] kann die Belastungseingabe in einem Dialog erfolgen.



Dialog Stablast

Im Abschnitt Last an Stäben werden die belasteten Stäbe ausgewählt. Mit [Pick] ist eine grafische Auswahl möglich. Die oben beschriebenen Lasttypen werden Abschnitt Lasttyp im Auswahlfeld angegeben. Auf der rechten Seite des Dialogs wird eine erläuternde Grafik angezeigt, die die Bedeu-tung der Eingabefelder im Abschnitt Werte der Belastung beschreibt. Abschnitt Richtung wird im Auswahlfeld die Lastrichtung ausgewählt. Die Außermittigkeit der Belastung kann im Abschnitt Last-Exzentrizität entweder manuell eingetragen werden (dabei ist wie oben beschreiben auf das Vorzeichen von e-3 zu achten) oder es wird mit [Pick] der Lastangriffspunkt grafisch ausgewählt.

Dialog Lastangriffspunkt wählen

In der linken Liste wird das Profil des Stabes ausgewählt. In der Grafik auf der rechten Sei-te kann ein Punkt als Lastangriffspunkt mit der Maus markiert werden. Dessen Koordinaten werden mit [OK] übernommen. Im unteren Teil der Maske 2.2 kann in einem Kontrollfeld angegeben werden, ob das Stab-eigengewicht berücksichtigt werden soll oder nicht. Wenn das der Fall ist dann muß der Faktor, mit der das Eigengewicht berücksichtigt werden soll, in Eingabefeld der ent-sprechenden Richtung (in der Regel Z) eingetragen werden. Der Faktor ist sinnvollerweise mit 1,35 in Richtung Z voreingestellt, kann jedoch auch verändert werden.

4.3.9 Maske 2.3 Imperfektionen Nach DIN 18800 T2 sind die Imperfektionen entsprechend der Verformungsfigur anzuset-zen, die zum niedrigsten Knickeigenwert gehört. Diese niedrigste Eigenform wird automa-tisch von FE-BGDK ermittelt. Die Größe der Verformung (Stichmaß) muß jedoch noch bestimmt werden. Das erfolgt in dieser Maske. Weitere theoretische Erläuterungen zur Im-perfektion finden Sie im Kapitel 3.6.2 (S.30).



Maske 2.3, Imperfektion

In der Spalte C kann die Nummer der Eigenform ausgewählt werden. Voreingestellt ist die erste Eigenform, die meistens maßgebend ist. es ist aber auch möglich, daß eine höhere Ei-genform für Biegedrillknicken maßgebend wird. Eventuell müssen verschiedene Eigenfor-men probiert werden. Die gewählte Eigenform kann mit [Grafik der Imperfektion] im unte-ren Teil der Maske überprüft werden. Das Stichmaß s kann direkt in der Tabelle eingegeben werden, indem in der Spalte A der Stabzug ausgewählt wird und in der Spalte B die Größe der Verformung eingegeben wird. Komfortabler ist jedoch die Berechnung mit dem Dialog Stichmaß ermitteln. Das Stichmaß kann entweder über die Vorverdrehung oder über die Vorkrümmung berech-net werden. Im oberen Abschnitt wird in einem Auswahlfeld angegeben, über welche der beiden Möglichkeiten die Verformung bestimmt werden soll. Je nach Auswahl ändert sich das Aussehen des Dialoges. Stichmaß durch Vorverdrehung

Dialog Stichmaß ermitteln, Vorverdrehung

Die Ermittlung der Verformung nach dieser Methode ist bei verschieblichen Systemen sinnvoll. Im Abschnitt Stab- bzw. Bezugslänge wird die Länge des maßgebenden Stabes eingetragen, bei einem Rahmen ist das in der Regel die Länge des Stiels. Mit [Pick] kann dieser Stab auch grafisch ausgewählt werden. Die Stablänge wird in das Eingabefeld über-nommen. Diese Stablänge wird benutzt, um den Reduktionsfaktor r1 nach DIN 18800 T2 Element (205) und das Stichmaß s zu berechnen.



Im Abschnitt Imperfektion-Parameter muß die Anzahl der Stiele angegeben werden. Diese wird benötigt, um den Reduktionsfaktor r2 zu berechnen. Dabei ist zu beachten, daß nur die Stiele berücksichtigt werden dürfen, die mindesten 25% der Normalkraft des maximal bela-steten Stieles haben (siehe DIN 18800 T2, Element (205)). Wird das Nachweisverfahren elastisch-elastisch angewendet, dann dürfen die Imperfektio-nen nach DIN 18800 T2 Element (201) auf • der Werte abgemindert werden. Um diese Abminderung durchzuführen aktivieren Sie das Kontrollfeld im unteren Abschnitt des Dia-logs. Im mittleren Teil des Dialogs werden die ermittelten Werte der Abminderungsfaktoren r1 und r2, die Stabvorverdrehung und das daraus resultierende Stichmaß angezeigt. Mit [OK] wird das Stichmaß in die Maske 2.3 übernommen. Stichmaß durch Vorkrümmung

Dialog Stichmaß ermitteln, Vorkrümmung

Die Ermittlung der Verformung nach dieser Methode ist bei unverschieblichen Systemen sinnvoll. Im Abschnitt Imperfektion-Parameter muß in der Pulldownliste Knickspannungslinie des Querschnitts die entsprechende Knickspannungslinie nach DIN 18800 T2 Tabelle 5 festzu-legen. Die Größe der Vorkrümmung kann wieder beim Nachweisverfahren elastisch-elastisch auf • abgemindert werden. Außerdem ist eine zusätzliche Abminderung auf 0,5*v0 nach DIN 18800 T2 Element (202) möglich. Um von diesen Abminderungen Gebrauch zu machen aktivieren Sie die entsprechenden Kontrollfelder im unteren Teil des Dialoges. Im mittleren Teil des Dialoges wird die aus der Knickspannungslinie ermittelte Vorkrüm-mung und das Stichmaß angezeigt. Das ermittelte Stichmaß wird mit [OK] in die Maske 2.3 übernommen. Nachdem nun alle Angaben vollständig sind kann mit der Schaltfläche [Berechnen] die Be-rechung gestartet werden. Nach Abschluß der Berechung wird der FE-BGDK-Navigator um die Masken mit den Ergebnissen ergänzt.

4.4 Ergebnismasken In den Ergebnismasken sind sämtliche Ergebnisse der Berechnung in Tabellenform darge-stellt. Die Ergebnismasken können nur angezeigt werden, wenn bereits die Berechnung durchgeführt wurde. In den Masken 3.1 bis 3.3 werden auf der rechten Seite Grafiken des Spannungsverlaufes angezeigt. Dabei werden immer die Spannungsverläufe der in der Tabelle angewählten Stä-be dargestellt. Mit [Details] können die Querschnittswerte des aktuellen Profils angezeigt werden. Die Lupen unter der Grafik ermöglichen Zoomen und Verschieben der Quer-schnittsgrafik.



4.4.1 Maske 3.1 Spannungen in den Querschnit-ten

Maske 3.1, Spannungen in Querschnitten

Hier werden die maximalen Normal-, Schub- und Vergleichsspannungen dargestellt, die im Stabzug auftreten. Für jede Spannungsart werden

• Stabnummer, • x-Stelle, • maßgebender Spannungspunkt, • maßgebender Lastfall bzw. Lastfallgruppe, • vorhandene Spannung, • Grenzspannung und • Ausnutzung

angezeigt. Durch den Ausnutzungsgrad in der letzten Spalte kann man schnell ein Überblick über die Auslastung der Profile des Stabzuges gewinnen. Allerdings ist dabei noch zu beachten, daß das Tragwerk nur dann ausreichend bemessen ist, wenn auch in der Maske 3.7 für alle Lastfälle ein kritischer Lastfaktor größer 1 ermittelt wurde (siehe auch Kapitel 3.1.4, S. 8).



4.4.2 Maske 3.2 Spannungen in Stabzügen

Maske 3.2, Spannungen in Stabzügen

Hier werden die maximal in jeden Stabzug auftretenden Spannungen dargestellt. Ansonsten ist der Aufbau dieser Maske identisch mit Maske 3.1.

4.4.3 Maske 3.3 Spannungen in x-Stellen

Maske 3.3, Spannungen in x-Stellen

Zur Berechnung nach der FE-Methode werden die Stäbe in einzelne Elemente unterteilt. In dieser Maske werden die Spannungen angezeigt, die an diesen Unterteilungen auftreten Die Größe dieser Elemente kann im Dialog Details vor der Berechnung eingestellt werden.



4.4.4 Maske 3.4 Spannungen in Spannungs-punkten

Maske 3.4, Max. Spannungen in den Spannungspunkten

In dieser Maske werden die ermittelten Spannungen in allen für das Profil definierten Spannungspunkten dargestellt. Wie in der vorherigen Maske werden die Spannungen je-weils an jeder Unterteilung durch ein FEM-Element angezeigt.

4.4.5 Maske 3.5 Schnittgrößen

Maske 3.5, Schnittgrößen

In dieser Maske werden für jeden Stab und für jede Lastfallgruppe die an den Unterteilun-gen ermittelten Schnittgrößen angezeigt. Die folgenden Schnittgrößen sind in der Tabelle dargestellt:



• N, Normalkraft • Q-2, Querkraft in Richtung der lokalen Stabachse 2 • Q-3, Querkraft in Richtung der lokalen Stabachse 3 • M-T, Torsionsmoment • M-2, Biegemoment um die lokale Stabachse 2 • M-3, Biegemoment um die lokale Stabachse 3 • M-Om, Wölbbimoment • M-Tpri, primäres Torsionsmoment (St. Vernantsche Torsion) • M-Tsek, sekundäres Torsionsmoment (Wölbkrafttorsion)

4.4.6 Maske 3.6 Verformungen

Maske 3.6, Verformungen

In dieser Maske werden für jeden Stab und jede Lastfallgruppe die Verformungen an den Unterteilungen angezeigt. Folgende Verformungen sind in der Tabelle dargestellt:

• u-1, Verschiebung in Richtung der lokalen Stabachse 1 • u-2, Verschiebung in Richtung der lokalen Stabachse 2 • u-3, Verschiebung in Richtung der lokalen Stabachse 3 • Phi-1, Verdrehung um die lokale Stabachse 1 • Phi-2, Verdrehung um die lokale Stabachse 2 • Phi-3, Verdrehung um die lokale Stabachse 3 • Om, Verwölbung



4.4.7 Maske 3.7 Auflagerreaktionen

Maske 3.7, Auflagereaktionen

In dieser Maske werden für jedes Auflager und für jede Lastfallgruppe die Auflagerreaktio-nen angezeigt. Folgende Reaktionen sind in der Tabelle dargestellt:

• P-X, Auflagekraft in der globalen x-Richtung • P-Y, Auflagekraft in der globalen y-Richtung • P-Z, Auflagekraft in der globalen z-Richtung • M-X, Auflagermoment um die globale x-Achse • M-Y, Auflagermoment um die globale y-Achse • M-Z, Auflagermoment um die globale z-Achse • M-Om, Wölbbimoment am Auflager



4.4.8 Maske 3.8 Kritische Lastfaktoren zur Er-mittlung von Nki und Mki

Maske 3.8, Kritische Lastfaktoren zur Ermittlung von Nki und Mki

In dieser Maske werden sehr wichtige Angaben zur Stabilität des Tagwerkes dargestellt. Für jeden Stabzug und jeden Lastfall wird der kritische Lastfaktor, die Anzahl der nötigen Iterationen und der Grund für den Abbruch der Berechnung angezeigt. Ein kritischer Lastfaktor von 3,16 heißt, daß die Belastung der Lastfallgruppe 3 um den Faktor 3,16 gesteigert werden muß, damit das System instabil wird (Diagonalkoeffizient wird kleiner null). Dabei wird von einem elastischen Verhalten des Werkstoffs ausgegan-gen. Wird ein kritischer Lastfaktor von <1 ermittelt, dann bedeutet dies, daß das System schon vor dem Erreichen der Bemessungslast instabil wird. Wenn ein kritischer Lastfaktor von 0 ermittelt wurde, dann konnte die Berechnung nicht durchgeführt werden. Es sind dann die Auflagerbedingungen und Stäbe mit Gelenken zu überprüfen. Wahrscheinlich ist das System kinematisch. Nachdem die Berechnung durchgeführt wurde muß also außer der Spannungsausnutzung auch überprüft werden, ob die kritischen Lastfaktoren für jede Lastfallgruppe >1 sind.

4.5 Pulldownmenüs Die Pulldownmenüs enthalten alle notwendigen Funktionen zum Handling der FE-BGDK-Fälle und –resultate. Sie aktivieren ein Pulldownmenü durch Anklicken des Menünamens in der Menüleiste oder durch Drücken von [Alt] gefolgt von der Taste des in der Menütitels unterstrichenen Buchstabens. Im Falle des Pulldownmenüs Datei wäre dies die Tastenfolge [Alt+D]. Die im Pulldownmenü enthaltenen Funktionen rufen Sie dann analog dazu auf, indem Sie wiederum die Taste des im Funktionsnamen unterstrichenen Buchstaben drük-ken.



4.5.1 Datei ... dient der Handhabung der FE-BGDK-Fälle.

Menü Datei

Neu [Strg+N] ...erlaubt das Anlegen eines neuen FE-BGDK-Falles.

Neuer FE-BGDK-Fall

Vergeben Sie dazu für den neuen FE-BGDK-Fall eine Nummer und eine Bezeichnung. [Pfeil-nach-unten] listet alle bereits verwendeten Bezeichnungen auf. Sie können auch auf einen davon zurückgreifen. [OK] legt den neuen Fall an. Umbenennen ... könne Sie den aktuellen FE-BGDK-Fall, indem Sie die Bezeichnung ändern und eventu-ell auch einen andere Nr. wählen.

FE-BGDK-Fall umbenennen

Löschen ... zeigt nach dem Aufruf zunächst alle vorhandenen FE-BGDK-Fälle in einer Liste an.



Fälle löschen

Den zu löschenden Fall markieren Sie durch Anklicken, um ihn dann mit [OK] zu löschen. Wenn Sie mehrere Fälle markieren wollten, dann halten Sie beim Klicken die [Strg]-Taste gedrückt.

4.5.2 Hilfe ... öffnet die Online-Hilfe.

5 ERGEBNISSE


5. Ergebnisse

5.1 Bildschirmanzeige Nach erfolgter Berechnung können Sie mit [Grafik] in die grafische Ergebnisdarstellung wechseln. Dort ist dann automatisch der aktuelle FE-BGDK-Fall eingestellt.

Grafische Ergebnisanzeige

Sie sehen den Spannungsverlauf der Struktur und das Fenster FE-BGDK. In diesem Fenster können die anzuzeigenden Spannungen und der Abstand der Spannungslinien von den Stä-ben der Struktur eingestellt werden. Mit [Setz] übernehmen Sie den geänderten Faktor für den Spannungslinienabstand in die Anzeige des aktuellen Fensters. [Alle] wendet den Wert auf sämtliche Fenster an. [FE-BGDK] bewirkt die Rückkehr in das Modul FE-BGDK. Mit [Drucken] können Sie die Ergebnisgrafik entweder direkt ausdrucken oder in das Aus-druckprotokoll integrieren.

5.2 Ausdrucken Um die numerischen Ergebnisse auszudrucken müssen Sie zuerst zu RSTAB zurückkehren und dort das Ausdruckprotokoll aufrufen.

5 ERGEBNISSE


FE-BGDK-Daten und –ergebnisse im Ausdruckprotokoll

Sie haben im Ausdruckprotokoll sämtliche Bearbeitungs- und Gestaltungsmöglichkeiten, wie sie bereits ausführlich im RSTAB-Handbuch beschrieben sind. In der Selektion stehen zusätzliche Selektionsregister zur Verfügung. Um die Register an-zuzeigen muß in der linken Liste Programm FE-BGDK aktiviert werden.

Selektion FE-BGDK, Haupt-Selektion

In der Hauptselektion legen Sie unter Anzeigen von global die anzuzeigenden Oberkapitel fest. Wenn Sie nicht alle FE-BGDK-Fälle anzeigen lassen wollen, dann deaktivieren Sie das ent-sprechende Kontrollfeld und wählen in der linken Liste Vorhandene FE-BGDK-Fälle die anzuzeigenden Fälle aus. Mit [Hinzufügen ] übertragen Sie die ausgewählten Fälle in die rechte Liste Zu zeigende FE-BGDK-Fälle.

5 ERGEBNISSE


Durch Aktivieren des Kontrollfeldes Inhalt anzeigen wird das Inhaltsverzeichnis um die FE-BGDK-Kapitel ergänzt.

Selektion FE-BGDK, Eingabedaten

Im Register Eingabendaten können Sie die Anzeige von Basisangaben, Grenzspannungen, Querschnitten, Auflagern, elastischen Stabbettungen, Stabendfedern und Stabendgelenke steuern. Mit den Pulldonlisten ist detailliertere Auswahl möglich. Dazu klicken Sie auf [Pfeil-nach-unten], wählen die Leerzeile an und geben dann numerisch die gewünschten Materialien, Querschnitte usw. ein.

5 ERGEBNISSE


Selektion FE-BGDK, Ergebnisse

Schließlich können Sie im Register Ergebnisse bestimmen, welche Ergebnisse angezeigt werden sollen. Mittels der Pulldownlisten können wie oben beschrieben bestimmte Teile selektiert werden. In jedem Register können Sie mit [OK] die Einstellungen übernehmen oder mit [Abbruch] den Dialog beenden, ohne daß die Einstellungen übernommen werden.

6 BERECHNUNGSBEISPIELE FE-BGDK


6. Berechnungsbeispiele FE-BGDK

In diesem Abschnitt sollen einige Beispiele aus der Literatur angegeben werden, die zur Verifikation des Programmes FE-BGDK dienen. Für die Beispiele existieren in der Regel keine analytischen Lösungen. Die in der Literatur verwendeten Lösungsansätze sind entweder numerischer Art, oder sie beruhen auf der An-wendung von RITZ- oder GALERKIN-Verfahren mit ein- oder mehrgliedrigen Ansätzen, die für sich auch Näherungslösungen der das Biegedrillknicken beschreibenden Differenti-algleichungen darstellen. Aus diesem Grund kann nicht erwartet werden, daß die Ergebnis-se von FE-BGDK mit den in der Literatur angegebenen Ergebnissen vollständig überein-stimmen.

6.1 Träger mit/ohne elastischer Bet-tung unter Einzellast

Q = 75 kN

l = 2,68 m Querschnittswerte und Material: IPE200, St37 Das System ist an beiden Rändern gabelgelagert, aber nicht wölbbehindert. Daraus resultie-ren die Randbedingungen: linkes Lager: u = v = w = ϕx = 0 rechtes Lager: v = w = ϕx = 0 Es sollen zwei Fälle berechnet werden: erster Fall: reine Biegung ohne Drehbettung zweiter Fall: reine Biegung mit Drehbettung

6.1.1 Reine Biegung ohne Drehbettung (N = 0, cΘ = 0). Das ideelle Biegedrillknickmoment nach Roik, Carl, Lindner [3] beträgt in diesem Fall:

z

T2

M2

z2

y,ki II l 039,0C

l

I E M

+πς=

mit ζ = 1,35 ergibt sich nach Einsetzen der entsprechenden Werte:

Mki=83,9 kNm

Gleichung 5.1

Das Programm FE-BGDK liefert die folgenden Lastfaktoren, ν, und ideellen Momente Mki,y, wenn eine Vorverformung von l/400 angesetzt wird:



Vorverformung Verschiebungsrichtung ν FEMy,kiM

keine 1,68 50,25*1,68=84,42 Eigenvektoren v 1,66 50,40*1,66=83,66

Das ideelle Moment sollte immer ohne Vorverformung berechnet werden, da es zu der Verzweigungslast des Systems gehört. Setzt man bei der Berechnung des ideellen Momen-tes eine Ververformung an, dann ist das so berechnete ideelle Moment kleiner als das ohne

Vorverformung bestimmte. Der Wert von kNm 84,42M FEMy,ki = sollte bei der Berechnung

nach dem Ersatzstabverfahren nach DIN 18800 T2 verwendet werden (Programm BGDK).

6.1.2 Reine Biegung mit Drehbettung (N = 0, cΘ = 50 kNm/m) Verwendet man hier die Formel für das ideelle Torsionsträgheitsmoment

G

lcII

2

2

Tid T π+= Θ

so ergibt sich

kNm 1,191M y,ki =

Gleichung 5.2

Das Programm FE-BGDK liefert den Lastfaktor und das zugehörige ideelle Moment (Vor-verformung l/400).

Vorverformung Verschiebungsrichtung ν FEMy,kiM

keine 3,67 50,25*3,67=184,42 Eigenvektoren v 3,55 50,40*3,55=178,92

6.2 Träger mit Gleichlast

q = 34 kN/m

l = 6,00 m

q

Querschnittswerte und Material: IPE400, St37, siehe Schneider Bautabellen (11. Aufl., S. 8.46) [5]. Das System ist an beiden Rändern gabelgelagert, aber nicht wölbbehindert. Daraus resultie-ren die Randbedingungen: linkes Lager: 0wvu x =ϕ===

rechtes Lager: 0wv x =ϕ==

Die Gleichlast q greift am Obergurt des Trägers an. Das Programm FE-BGDK liefert ohne und mit Vorverformung erwartungsgemäß unter-schiedliche elastische Stabilitätslasten. Diese sind in der Tabelle zusammengefaßt, wobei eine Konvergenzstudie durchgeführt wurde, um die Genauigkeit der Berechnung in Abhän-gigkeit der Elementanzahl festzustellen. Für die Berechnung mit Vorverformung durch Ei-genvektoren wurde in diesem Beispiel exemplarisch als Stich l/400 angesetzt.



Elemente ν FEMy,kiM Eν FEM

maxq

4 1,31 153,0*1,31=200,4 1,29 0,84*34=28,56 8 1,28 153,0*1,28=195,8 1,25 0,82*34=27,88

16 1,27 153,0*1,27=194,3 1,25 0,82*34=27,88 32 1,26 153,0*1,26=192,8 1,25 0,82*34=27,88 64 1,26 153,0*1,26=192,8 1,25 0,82*34=27,88

128 1,26 153,0*1,26=192,8 1,25 0,82*34=27,88 In dieser Tabelle bedeutet ν den Lastfaktor am perfekten System und νE den Lastfaktor des Imperfekten Systems. Aus den Ergebnissen erkennt man, daß bei allen Berechnungsarten (mit/ohne Vorverformung und bei Spannungsbegrenzung) bereits mit 8 Elementen eine Genauigkeit von 99 % erreicht wird. Die Lösung mit 32 Elementen stellt hier die konver-gierte Lösung dar, da die weiteren Berechnungen mit jeweils doppelter Anzahl von Ele-menten keine Abweichungen zu der Lösung mit 32 Elementen aufweisen. Nach Schneider Bautabellen [5] erhält man den Wert Mki,y = 169 kNm. Die Beschränkung der elastischen Spannung auf fy,k = 24 kN/cm² liefert mit FE-BGDK die maximale aufnehmbare Gleichlast von qmax = 0,82 · 34 = 27,88 kN/m. Dieser Wert ist geringer als der in [5] auf S. 8.46 angegebene. Dies liegt daran, daß die plastische Reserve des Querschnittes bei der Bestimmung der elastischen Grenzlast FG nicht berücksichtigt ist. Dies kann in diesem Beispiel jedoch mit dem Programm BGDK erfolgen.

6.3 Kragträger mit Wölbbehinderung unter Torsionsmoment

In diesem Beispiel soll das Wölbmoment Mω berechnet werden.

MT = 6,5 kNm

l = 2,50 m Querschnittswerte und Material: HEB240, St37 Der Querschnitt ist an der Einspannung wölbbehindert. Daraus resultieren die Randbedin-gungen am linken Rand:

0wvu zyx =ω=ϕ=ϕ=ϕ===

Die Berechnung des Wölbmomentes und der Spannungen in Schneider Bautabellen [5], Aufl. 11, Seite 8.20, liefert:

2kNcm 70494M −=ω Die Berechnung mit FE-BGDK führt auf:

22 kNcm 70400kNm 04,7M −=−=ω

Die zugehörige Verdrehung ist Θ = 6,3°, FE-BGDK berechnet ΘFEM = 0,110· 180/π=6,30°. Für die Spannungen werden die in Schneider Bautabellen [5] angegebenen Werte mit denen von FE-BGDK verglichen. Normalspannung infolge Mω (x = 0):

.cm/kN 35,19 ,cm/kN 4,19 2FEM2 ±=σ±=σ ωω Schubspannung infolge Mx,s (x = 0) (sekundär):



.cm/kN 1,072 ,cm/kN 34,1 2FEM2 =τ=τ Schubspannung infolge Mx,p (x = l) (primär):

.cm/kN 8,732 ,cm/kN 5,8 2FEMFlansch

2Flansch =τ=τ

6.4 Kragträger unter Gleichlast In diesem Beispiel, das Petersen [2], S. 732 entnommen ist, soll die Kipplast und das zuge-hörige ideelle Kippmoment berechnet werden.

q = 1

l = 3,00 m

a b c dLastangriff im Profil

kNm

150 mm

Querschnittswerte und Material: IPE200, St37

6.4.1 Kragarm ohne Lagerung in x = l Der Querschnitt ist an der Einspannung wölbbehindert. Daraus resultieren die Randbedin-gungen: linkes Lager: 0wvu zyx =ω=ϕ=ϕ=ϕ===

rechtes Lager: keine Randbedingungen.

Lastfall FEM4ν FEM

4 Eν FEM8ν FEM

8 Eν FEM64ν FEM

64 Eν Petersenν

oben (a) 20,27 20,19 20,52 20,31 20,56 20,41 19,06 Schwerpunkt (b) 36,81 35,81 37,78 36,56 38,06 36,81 38,13

unten (c) 52,75 50,75 54,02 51,63 54,25 52,06 57,19 untergehängt (d) 66,56 63,75 67,75 64,75 68,25 65,13 76,25

Die Werte ν haben folgende Bedeutung: FEMnν ist das Ergebnis von FE-BGDK ohne Vor-

verformung für n Elemente und FEMn Eν mit Vorverformung mittels skalierter Eigenvektoren,

wobei die Skalierung mit dem Wert 0,75 cm (Verschiebung senkrecht zur Zeichenebene an der Kragarmspitze) erfolgte. Man erkennt, daß auch hier die Elementierung mit 8 Elemen-ten nahe bei der konvergierten Lösung liegt.

6.4.2 Kragarm mit seitlicher Stützung in x = l Der Querschnitt ist an der Einspannung wölbbehindert und an der rechten Seite seitlich durch einen Verband gehalten und gleichzeitig ist eine Verdrillung am Kragende behindert. Daraus resultieren die Randbedingungen:



linkes Lager: 0wvu zyx =ω=ϕ=ϕ=ϕ===

rechtes Lager: 0v x =ϕ=

Lastfall FEMν FEMEν Petersenν

oben (a) 68.75 68.75 67,10 Schwerpunkt (b) 90.56 90.56 91,51

unten (c) 114.50 114.50 115,9 untergehängt (d) 146.30 146.30 149,5

Die Werte ν haben folgende Bedeutung: νFEM ist das Ergebnis von FE-BGDK ohne Vorver-

formung und FEMEν mit Vorverformung mittels skalierter Eigenvektoren. Wie man sieht,

spielt hier die Vorverformung keine Rolle. Die Werte für den Lastfaktor ν, die in Petersen [2] aus Kippnomogrammen folgen, werden durch das Programm mittels 8 Elementen mit einer maximalen Abweichung von 3 % von der Lösung in Petersen [2] wiedergegeben.

6.5 Träger mit Gleichlast

ν · qq = 1 kN/m

l = 15,00 m

q

Querschnittswerte und Material: HEB800, St37, siehe Petersen [2], S. 731. Das System ist an beiden Rändern gabelgelagert, aber nicht wölbbehindert. Daraus resultie-ren die Randbedingungen: linkes Lager: 0wvu x =ϕ===

rechtes Lager: 0wv x =ϕ==

Die Gleichlast q greift am Obergurt, im Schwerpunkt und am Untergurt des Trägers an. Das Programm FE-BGDK liefert unterschiedliche kritische Lasten, die in der Tabelle zu-sammengefaßt sind

Lastfall Petersenν FEMν FEMEν

oben 39,50 37,63 37,38 mitte 48,61 46,88 46,13

unten 57,73 58,25 57,63 Die Ergebnisse stimmen sehr gut mit denen von Petersen [2] überein. Als Größe der Vor-

verformung wurde bei der Berechnung von FEMEν der Wert l/400 angenommen.



6.6 Durchlaufträger unter zwei Einzel-lasten

Für den folgenden Zweifeldträger findet man Berechnungen in Lindner [6] und Dickel et. al. [4]. Der Träger besteht aus einem IPE 200 Walzprofil, St. 37. Die beiden Einzellasten der Größe F = 37,5 kN greifen beide jeweils in Feldmitte im Trägerschwerpunkt an

l = 5 m l = 5 m

F F

Der Träger ist in allen Auflagern gabelgelagert. Dies führt auf die Randbedingungen: linkes Lager: 0wvu x =ϕ=== ,

mittleres Lager: 0wv x =ϕ== ,

rechtes Lager: 0wv x =ϕ== .

Die Berechnung wird mit 8 Elementen durchgeführt. Es ergeben sich die folgenden Werte für die ideellen Biegedrillknickmomente Mki,y über der Stütze:

Lindnery,kiM .al et Dickel

y,kiM BGDKFEy,kiM − BGDKFE

E y,kiM −

51,24 51,06 1,46*35,16=51,33 1,43*35,13=50,24 Die Ergebnisse von FE-BGDK stimmen sehr gut mit denen von [4] und [6] überein. Für die Größe der Vorverformung wurde der Wert l/400 angenommen.

6.7 Durchlaufträger mit zwei unter-schiedlichen Feldern unter Gleichlasten

Für den folgenden Zweifeldträger findet man die ideellen Biegedrillknickmomente in Dik-kel et. al. [4]. Der Träger besteht aus einem HEA 300 Walzprofil, St. 37. Die Gleichstrek-kenlasten der Größe q = 10 kN/m ist konstant über den ganzen Träger. Sie greift am Ober-gurt (zq = -14,5 cm) an.

q = 10 kN/m

10 m

q

5 m Der Träger ist in allen Auflagern gabelgelagert. Dies führt auf die Randbedingungen: linkes Lager: 0wvu x =ϕ=== ,

mittleres Lager: 0wv x =ϕ== ,




Die Berechnung wird mit 18 Elementen durchgeführt. Es ergeben sich die folgenden Werte für die ideellen Biegedrillknickmomente Mki,y über der Stütze und die zugehörige Gleich-streckenlast qz ki:

Dickel et al. [4] FE-BGDK Petersen [2] Roik et al [3]

qki 42,84 kN/m 42,8 kN/m 35,86 kN/m 37,08 kN/m Mki,y 401,6 kNm 401,2 kNm 336,2 kN/m 347,58 kNm

Die Ergebnisse von FE-BGDK stimmen sehr gut mit denen von [4] überein. Die Berechnung der Spannungen am vorverformten System liefert maximale Vergleichs-spannungen für verschiede Gleichstreckenlastordinaten. Ferner bestimmt FE-BGDK auto-matisch die maximale Gleichstreckenlast, bei der noch die Spannung (hier σv = 24 kN/cm²) eingehalten wird, siehe nachfolgende Tabelle:

q [kN/m] max σv kN/cm² 10 7,537 20 17,43

29,0 24,0 Eine analytische Vergleichsrechnung mit den in [9] angegebenen Formeln ergibt (ry=zM=0) für das ideelle Feldmoment:

kNm 65,289kNcm 28965z 5,0cz 25,0l

EI M p

22p2

z2

y,ki ==

++πζ=

mit ζ = 1,08 (siehe unten) und zp = -14,5 cm und

22

2

z2

T2

z

2 cm 9,717631021000

2,85810010006310

1200000

EI

GI lII

c =⋅⋅π

⋅⋅+=π

+= ω

Der ζ-Wert nach [3] stellt den Korrekturfaktor dar, mit dem die Lösung Mki,y eines beidsei-tig gabelgelagerten, durch gleiche Endmomente beanspruchten Stabes zu multiplizieren ist. Nach [3] folgt:

l1 = 5 ml2 = 10 ml1 l2

0,5 l2

Mo

22

22

22

o l q 078125,0l q2

09375,08l

qM =−=

(Mo wurde in [3] zur Berechnung von νki, d. h. Mki herangezogen, das in [3] angegebene ideelle Biegedrillknickmoment ist also auf die Feldmitte Feld 2 bezogen!)

( )037,0

2,8581001000

10120021000

I G l

I E2

3

T2

=⋅⋅⋅⋅==χ ω

Tafel 5.23 [3]

22

21 l q 09375,0l q 375,0 =



( )

08,1 75,0809375,0

lq09375,0M 8l q

M 22Stütze

22

≅ζ⇒=⋅=ψ⇒

⋅−⋅ψ=ψ=−=

Damit beträgt das ideelle Stützenmoment (dieses ist das größte Moment und wurde von FE-BGDK berechnet und von Dickel [4]):

kNm 58,3471008,3709375,0M

m/kN 08,37q

65,28910q 078125,0M

2Stütze,ki

ki

2kiFeld y,ki

=⋅⋅=

=⇒

=⋅=

Nach Petersen [2], Tafel 7.23 ergeben sich für das Endfeld eines Durchlaufträgers mit 0,09375/0,125 . 100 = 75 % Einspannungsgrad die folgenden ideellen Werte:

kNm 2,3361086,3509375,0)Stütze( M

mkN

86,35I G I El

q 5,37

04,0I GI E

l

z ,0365,0

I G l

I E

2ki

Tz3ki

kiki

T

z2

p

T2

=⋅⋅=⇒

=γ=⇒≅γ⇒

=

+=χ==µ ω

Die nach [3] bzw. [4] ermittelten ideellen Werte sind kleiner als die hier ermittelten, da in den analytischen Formeln die Stützeffekte durch die Wölbbehinderung des ersten Feldes nicht eingehen.

6.8 Durchlaufträger mit drei Feldern unter Gleichlasten

Für den folgenden Durchlaufträger findet man die ideellen Biegedrillknickmomente in Pe-tersen [1], S. 405, und Dickel et. al. [4]. Der Träger besteht aus einem IPE 360 Walzprofil, St. 37. Die Gleichstreckenlasten der Größe q = 30,5 kN/m ist konstant über den ganzen Träger. Sie greift am Obergurt (zq = -18,0 cm) an.

q = 30,5 kN/m q

6 m 6 m 6 m

Der Träger ist in allen Auflagern gabelgelagert. Dies führt auf die Randbedingungen: linkes Lager: 0wvu x =ϕ=== ,

mittlere Lager: 0wv x =ϕ== ,


Die Berechnung wird mit 18 und 72 Elementen durchgeführt. Es ergeben sich die folgen-den Werte für die ideellen Biegedrillknickmomente Mki,y über der Stütze und die zugehöri-ge Gleichstreckenlast qz ki:



Petersen [1] Dickel et al. [4] FE-BGDK (18 Elm.) FE-BGDK (72 Elm.)

qki 45,32 kN/m 48,8 kN/m 1,30*35,5=46,15 kN/m 1,25*35,5=44,38 kN/m Mki,y 163,2 kNm 175,7 kNm 1,66*109,8=182,3 kNm 1,63*109,8=179,0 kNm

Die Ergebnisse von FE-BGDK stimmen gut mit denen von [1] und [4] überein. Für eine Vorverformung von l/400=600/400 = 1,5 cm erhält man unter der vorgegebenen Streckenlast eine maximale Vergleichsspannung σv = 15,41 kN/cm². Die maximal auf-nehmbare Last beträgt bei einer Beschränkung auf σv = 24 kN/cm² qmax = 44,38 kN/m. Im zweiten Fall wird das mittlere Feld anstelle von q = 30,5 kN/m nur durch eine Strek-kenlast von g = 5,5 kN/m belastet (siehe Bild).

q = 30,5 kN/m q

6 m 6 m 6 m

g = 5,5 kN/m

Es folgt für die ideellen Biegedrillknickmomente das in der nachfolgenden Tabelle angege-bene Ergebnis. In diesem Fall ist nicht das Stützenmoment, sondern das Feldmoment der äußeren Felder maßgebend.

Petersen [1] Dickel et al. [4] FE-BGDK

Mki,y 137,8 kNm 162,24 kNm 1,59*104,8=166,6 kNm Die Ergebnisse von FE-BGDK stimmen mit denen von [1] und [4] überein. Sie sind ≈ 5 % größer als die in [4] angegebenen. Die in [1] angegebenen Werte liegen stark auf der siche-ren Seite, weil die Wölbbehinderungen über den Stützen sowie die Stützeffekte durch die Wölbbehinderung des weniger stark belasteten Nachbarfeldes dort vernachlässigt wurden. Für eine Vorverformung von l/400=600/400 = 1,5 cm erhält man unter der vorgegebenen Streckenlast eine maximale Vergleichsspannung σv = 18,62 kN/cm². Die maximal auf-nehmbare Last beträgt bei einer Beschränkung auf σv = 24 kN/cm² qmax = 1,15*30,5=35,08 kN/m und einer entsprechenden Erhöhung gmax = 1,15*5,5=6,33 kN/m.

6.9 Träger mit elastischer Bettung un-ter Normalkraft

In diesem Beispiel wird ein gabelgelagerter Träger betrachtet, der seitlich am Obergurt ge-halten und zusätzlich drehelastisch gelagert ist. Die analytische Lösung kann der Veröffent-lichung von Wittemann [11] entnommen werden, in der die ideelle Biegedrillknicklast ei-nes drehelastisch gebetteten Druckstabes mit gebundener Drehachse bestimmt wurde. Die dort berechneten Werte für Nki,ϑ sollen den mit dem Programm FE-BGDK ermittelten Wer-ten gegenübergestellt werden. Dazu wird das folgende System betrachtet:



F

l = 29 m

cϑ

y

z Querschnittswerte und Material: IPE400, St37 Das System ist an beiden Rändern gabelgelagert, aber nicht wölbbehindert. Daraus resultie-ren die Randbedingungen: linkes Lager: 0wvu x =ϕ===

mittlere Lager: 0wv x =ϕ==

Der Träger ist am Obergurt seitlich durch eine Aussteifung gehalten. Diese seitliche Halte-rung wird im Programm FE-BGDK durch eine sehr steife Federung realisiert. Weiterhin liegt eine Drehbettung von cϑ = 9,936 kNm/m vor. Die Berechnung, die ohne Vorverformung abläuft, liefert zunächst den Wert

.kN 0,5707,5*100N FEBGDKy,ki ==

Dies entspricht jedoch der Knicklast um die starke Achse

,kN 0,5702900

2313021000N 2

2

y,ki =π⋅⋅=

die automatisch von FE-BGDK mit ermittelt wird, wenn sie geringer als die Biegedrill-knicklast ist. Durch Einführen eines vertikalen Lagers, d.h. ( ) ,0w 2

l = in Trägermitte wird

diese Knicklast vervierfacht, ohne daß sich die Biegedrillknicklast ändert. Jetzt liefert FE-BGDK den Wert

.kN 227878,22*100N FEBGDK,ki ==ϑ

Das Resultat ist in guter Übereinstimmung mit dem analytischen Verfahren nach Wit-temann [11], das für dieses Beispiel

kN 1,1941N ,ki =ϑ

ergibt. Man sieht also, daß durchaus auch Biegeknicken maßgebend sein kann. Für FE-BGDK ist die Ursache des Stabilitätsverlustes nicht entscheidend, das Programm liefert den jeweils kleinsten Wert für das Versagen.

6.10 Dachträger eines Bürogebäudes Die Dachträger IPE270 aus St.37 liegen im Abstand von 5,0 m. Die Dachträger sind ausge-steift durch ein aufliegendes Trapezblech Thyssen T135, t=0,75 und durch einen ange-schlossenen Kreuzverband. Die Schubfeldlänge des Trapezbleches beträgt Ls = 20 m. Der Kreuzverband besteht aus nur einem Feld mit gekreuzten Diagonalen und 2 Pfosten. Der Steigungswinkel der Diagonale beträgt demnach α = arctan (5,0/7,75) = 32,8°. System

7,75 m

qd IPE 270, St37



Aufgrund der Querkraftanschlüsse mittels Stirnplatten an die seitlich gehaltenen Stützen (durch Vertikalverband) kann von einer beidseitigen Gabellagerung des Trägers ausgegan-gen werden: linkes Lager u = v = w = 0, ϕx = 0 rechtes Lager v = w = 0, ϕx = 0 Dachebene

LS = 20 m

AP

l = 7

,75

m

IPE

270

T135α AD

Durch das Trapezblech ist der Dachträger in Höhe seines Obergurtes seitlich elastisch ge-stützt und drehelastisch gefedert:

y

z

vorh. cϑ

S,M

vorh. cy

qd

zP = -13,5 cm(Lastangriff am Obergurt)

Die Bemessungslast beträgt (aus Eigengewicht und Schnee) qd = 1,35 g + 1,5 p = 11,79 kN/m. Berechnung der Horizontalfeder, siehe Kap. 2.5.2. Schubsteifigkeit aus dem Dachverband [2], [9]

2

2

ay lS.vorhc

π= kontinuierliche seitliche Wegfeder

RTa SS5

1S.vorh +=

Da das Trapezblech nur in jeder 2. Sicke befestigt ist, darf ST nur mit 1/5 bei der Ge-samtschubsteifigkeit angesetzt werden.

Verband:

Vs

R Sl

amS ∗∗=

m=1 ein Verband a=5,0 m ls=20,0 m

( )P

3

D

322

2

V

A

a

A

ba

EbaS

++

∗∗=



a=5,0 m = 500 cm b=7,5 m = 750 cm E=21000 kN/cm² AD = 2,63 cm2 Diagonalfläche AP = 8,00 cm2 Pfostenfläche SV=13389 kN SR=3347 kN Trapezblech:

ST G100

aS ∗=

s

21

4

S

l

k100k

10G

∗+=

ideeller Schubmodul

k1=0,275 m/kN k2=56 m²/kN ls=20 m GS=3252 kN/m ST=16250 kN vorh.Sa=6599 kN

cy=1158 kN/m² Die Feder wird am Obergurt seitlich angesetzt. Berechnung der Drehfeder aus dem aufliegenden Trapezblech [9], [2], [8]

k,Pk,Ak,Mk, c

1

c

1

c

1

c .vorh

1

ϑϑϑϑ

++=

Drehbettung aus der Biegesteifigkeit Ia = 297 cm4/m des Trapezbleches (k = 4 für Durch-laufträger mit drei Feldern)

cm

kNcm4994

500

97,221000k

a

EIc a

ka,M =⋅⋅=⋅=ϑ

Drehbettung aus der Profilverformung des gestützten Trägers (b1 Flanschbreite des Druck-gurtes)

( )

( ) cm

kNcm6,59

02,1

5,135,0

66,0

02,1271

3,014

21000

t

b5,0

s

h1

14

Ec

33

2

31

13

2k,P

=+−−

=

+µ−=ϑ

Drehbettung aus der Verformung des Anschlusses für 1,25 ≤ b1/10 ≤ 2,0:

cm

kNcm23,5

10

5,1325,11,3

10

b25,1cc 1

Ak,k,A =⋅=⋅= ϑϑ

mit dem charakteristischen Wert für die Anschlußsteifigkeit k,Acϑ nach Tabelle 7 der DIN

18800 Teil 2 [8] (Befestigung in jeder zweiten Sicke). Damit folgt für die vorhandene Drehbettung

cm

kNcm76,4c .vorh

20999,06,59

1

23,5

1

499

1

c .vorh

1

k,

k,

=

=++=

ϑ

ϑ



Die Berechnung des elastisch gestützen Trägers erfolgt nach der Theorie II. Ordnung am imperfekten System, wobei eine Vorverformung in Richtung v mit dem Parabelstich (Kapi-tel 2.6.2)

cm 03,1750

l

250

l

3

25,0v0 ==⋅=

nach Tabelle 3 [8] für Knickspannungslinie b und den Reduktionen nach Element (201) und (202) [8]. An diesem Beispiel wird deutlich, wie wichtig die Wahl der richtigen Eigenform für die Vorverformung: 1. Eigenwert:

2. Eigenwert:



3. Eigenwert:

Die 1. Eigenform ist für Biegedrillknicken nicht maßgebend, weil das Ausweichen in der Belastungsebene erfolgt. Von Bedeutung sind die Eigenformen 2 und 3. Es werden beide Eigenformen untersucht, obwohl nach Norm nur die niedrigste Eigenform berücksichtigt werden müßte. Als Stichmaß wird angesetzt: 2. Eigenform

cm 5166,0750

5,0*l

250

l

3

25,0v0 ==⋅=

Es wird nur die Länge einer Halbwelle als Bezugsmaß angesetzt 3. Eigenform

cm 03,1750

l

250

l

3

25,0v0 ==⋅=

FE-BGDK

2. Eigenform 3. Eigenform

σV [kN/cm²] 19,43 19,97

6.11 Einfeldträger unter exzentrischen Streckenlasten

Es wird ein Stahlträger HEB600 unter Doppelbiegung nach Theorie II. Ordnung berechnet. Die Ecknormalspannung im Punkt 1 wurde von Petersen [2] (Tafel 7.29) analytisch berech-net. Die Lasten greifen 5 cm oberhalb des Obergurtes an.



8 m

qyd, qzd

y

z

S,M

beidseitige Gabellagerung qzd = 68 kN/mqyd = 6,8 kN/mzP = -35 cmyP = 0

qyd

qzd

(1)

30 m

5 m

Es erfolgt eine Einteilung des Balkens in 4 und 8 Elemente. Als Imperfektion wird eine Vorverformung in y-Richtung mit dem maximalen Stich (Tabelle 3 [8])

cm 07,1250

l32

5,0v0 =⋅⋅=

vorgegeben. Es ergibt sich:

FE-BGDK

Petersen [2] 4 Elemente 8 Elemente

σxII in (1)

(kN/cm²) 22,55 24,69 24,74

Verdrehung ϕx (l/2)

3,645 . 10-2 4,7 . 10-2 5,0 . 10-2

6.12 Hallenrahmen Grundsätzliche Anmerkungen: Das Zusatzmodul FE-BGDK ist fest in RSTAB integriert und übernimmt einzelne Stabzüge aus RSTAB zur Analyse nach Biegetorsionstheorie II. Ordnung. Bei der Arbeit mit dem Zusatzmodul ist folgendes grundsätzlich zu beachten: 1. Stabzüge werden aus RSTAB herausgelöst FE-BGDK löst ebene Stabzüge, die auch geknickt sein können, aus einem räumlichen oder ebenen RSTAB-Modell heraus. Nach der Übernahme in FE-BGDK sind diese Stabzüge ohne vollständige Kopplung zu den ursprünglichen Stabzügen in RSTAB. Lediglich Quer-schnittsänderungen oder Geometrieänderungen in RSTAB werden automatisch in FE-BGDK transferriert. Lasten sind fest an die Stabnummern gekoppelt und können in FE-BGDK ergänzt oder auch geändert werden. Gleiches gilt für Auflager, die an die Knoten-nummer gebunden sind und ebenfalls frei editierbar sind. Imperfektionen werden nicht aus RSTAB importiert, da FE-BGDK eine eigene Imperfektionsbehandlung in Anpassung an Eigenformen durchführt. FE-BGDK übernimmt Daten aus RSTAB nur in einer Richtung. Ein Datenaustausch von FE-BGDK nach RSTAB ist nicht möglich. 2. Auflager müssen gegebenenfalls ergänzt oder modifiziert werden. Wenn Stabzüge, die in RSTAB nicht gelagert sind, bzw nur durch anschließende Stäbe ge-halten werden, so ist nicht eindeutig klar, wie die Lagerung hierfür in FE-BGDK vorge-nommen werden soll. Um überhaupt eine Berechnung für die meisten Fälle zu ermöglichen, setzt FE-BGDK beim Import automatisch Gabellager an den Stabenden, die vom Benutzer



aber überprüft und an die tatsächliche Situation angepasst werden müssen. Ebenso müssen anschließende Stäbe mittels Federn oder Auflager definiert werden, falls diese mit in die Berechnung eingehen sollen. FE-BGDK bietet hierfür eine Reihe von Hilfsmitteln, wie die-se Ersatzfedern berechnet werden können. 3. Lasten Lasten stehen nach dem Import immer im Profilschwerpunkt. Eventuelle Exzentrizitäten müssen manuell in FE-BGDK eingetragen werden. Änderungen der Lastwerte sind in FE-BGDK prinzipiell möglich, werden aber, wie bereits erwähnt, nicht nach RSTAB zurück-transferriert. Nicht alle RSTAB-Lastarten, wie Vorspannung und Temperaturlasten (in Zu-kunft geplant) sind in FE-BGDK realisiert. Lasten, welche aus angrenzenden RSTAB-Stäben in den Stabzug übertragen werden (im RSTAB-Modell), müssen in FE-BGDK ma-nuell aus den RSTAB Schnittgrößen errechnet und angesetzt werden. Die Möglichkeit, ge-knickte Rahmen in einem Arbeitsgang zu berechnen, wird daher empfohlen, da hier die Lastweiterleitung in die Stützen im System erfolgt. Falls die Stütze separat berechnet wer-den sollte, dann müsste sich der Anwender selbst darum kümmern, daß die entsprechenden Normalkräfte in der Stütze, die aus dem Riegel resultieren, als FE-BGDK Last manuell an-gebracht werden. 4. Berechnung FE-BGDK führt eine von RSTAB völlig unabhängige Berechnung und Spannungsermitt-lung durch. Dies bedeutet, daß jeder Stabzug statisch ausreichend gelagert sein muß. Es dürfen keine kinematischen Ketten entstehen. Vorgehensweise in RSTAB - FE-BGDK Im folgenden wird die Vorgehensweise für den Nachweis eines Zweigelenkrahmens darge-stellt. Es wird dabei vom folgenden 3-D-Modell einer Halle ausgegangen:

Der Nachweis soll hier für die Rahmen 1 und 5 erfolgen.

1. Es werden alle Stäbe des Rahmens 1 markiert und zu einem Stabzug zusammengefaßt.



2. Festlegen eines Namens für den Stabzug.

3. Wiederholen von 1 und 2 für den Rahmen 5.

4. Starten des Zusatzmoduls FE-BGDK.

5. In der Maske 1.1 werden im Eingabefeld Zu bemessende Stabzüge die Stabzüge 1 und 2 eingetragen. Alternativ ist mit [PICK] eine grafische Auswahl möglich.

6. Hinzufügen aller Lastfallgruppen zur Liste Zu bemessen.

7. In der Maske 1.4 werden die elastischen Stabbettungen durch das Trapezblech und den Dachverband erfaßt.



a. In der Spalte A einen Stabzug auswählen.

b. Mit [Bearbeiten] gelangen Sie in den Dialog elastische Stabbettung.

c. Die elastisch gebetteten Stäbe im Eingabefeld angeben oder mit [PICK] aus-wählen.

d. Die Schaltfläche [Ermitteln] öffnet den Dialog zur Ermittlung der Dreh- und Wegfederkonstanten.



e. Die seitlicher Behinderung erfolgt in diesem Fall durch einen Verband und durch ein Trapezblech, die Drehbettung durch das Trapezblech.

f. Im Register Schubfeld wird die Länge des Schubfeldes und der Riegelabstand eingegeben. Mit [PICK] ist eine grafische Eingabe der Längen durch Markie-ren von 2 Knoten möglich.

g. Im Register Verband werden Verbandspfostenabstand, die Profile der Ver-bandspfosten und Verbandsdiagonalen mit [PICK] im 3-D-Modell gewählt.

h. Im Register Trapezblech wird mit [Bibliothek] das verwendete Trapezblech ausgewählt. Der Werte für c-Theta,A,k quer kann mit [PICK] aus der Tabelle 7 der DIN 18800 T2 übernommen werden.



i. Im Register Profil wird in der Pulldownliste Bezeichnung das Riegelprofil ausgewählt. Im oberen Teil des Dialoges werden nun die ermittelten Feder-konstanten angezeigt. Mit [OK] werden die Werte übernommen

j. Das Riegelprofil wird durch das Trapezblech am Obergurt gestützt. Deswegen muß im Dialog Elastische Stabbettung eine Exzentrizität angegeben werden. Mit [PICK] kann im Dialog der Wirkungspunkt der Feder festgelegt werden.



k. Für den Stabzug 13 sind nun alle Daten zur Stabbettung erfaßt. In der Maske 1.4 können für den Stabzug 14 die Daten aus der 1. Zeile mit [F8] übernom-men werden, oder es können wie oben beschrieben andere Daten für die Fe-dern ermittelt werden.

8. In der Maske 1.5 können Stabendfedern eingegeben werden, z.B. Wölbfedern aus Stirnplattenanschlüssen zwischen Riegel und Stütze.

a. In der Spalte A den Stabzug wählen.

b. [Bearbeiten] öffnet den Dialog Stabend-Federn.

c. Stabnummer des Stabes mit Stirnplatte eingeben oder mit [PICK] auswählen und in der Liste Stabseite Anfang auswählen.

d. Im Abschnitt Wölbfeder auf die Schaltfläche [Ermitteln] klicken.

e. Im Dialog Wölbfeder ermitteln die Stirnplattenabmessungen eingeben.



f. Die ermittelte Federkonstante kann wieder mit [F8] für die anderes Seite des Rahmenriegels und für den 2. Rahmen übernommen werden.

9. Eingabe der Belastung in der Maske 2.2. Wenn in RSTAB bereits Stablasten definiert wurden, dann werden diese entsprechend der Lastfallgruppe kombiniert und über-nommen. Ansonsten müssen hier Bemessungslasten eingegeben werden.



10. Definieren der Imperfektion für jede Lastfallgruppe in der Maske 2.3.

a. In der Spalte A den Stabzug auswählen.

b. Mit [PICK Imperfektion] kann die maßgebende Imperfektion eingestellt wer-den. Meistens stellt die 1. Eigenform das Ausweichen in Rahmenebene dar. Deswegen ist oft eine höhere Eigenform für Biegedrillknicken maßgebend. Im Zweifelsfall sollten mehrere Eigenformen getestet werden. Es kann auch vor-kommen, daß für Rahmenriegel und für Rahmenstiel unterschiedliche Eigen-formen maßgebend werden. Dann sind getrennte Nachweise (verschiedene Bemessungsfälle) durchzuführen.



c. Mit [Stichmaß ermitteln] die Größe der Imperfektion festlegen.

d. Wiederholen von a bis c für alle Stabzüge und alle Fastfallgruppen.

11. Berechnung durchführen.

12. Kontrolle der Maske 3.2. Hier ist der Stabzug 13 (Rahmen 5) zu 80,6% ausgelastet.



Kontrolle der Maske 3.8. Der Kritische Lastfaktor liegt für alle Stabzüge und alle Lastfall-gruppen über 1,0.

Die beiden Rahmen sind damit auf Biegedrillknicken nachgewiesen. Nachdem das Modul FE-BGDK mit [OK] verlassen wurde, ist der Nachweis im Ausdruckprotokoll verfügbar.

LITERATUR


Anhang A: Literatur 1. Petersen, Chr.: Stahlbau, Verlag Friedrich Vieweg und Sohn, Braun-

schweig/Wiesbaden 1988.

2. Petersen, Chr.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, Verlag Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig/ Wiesbaden, 2. Auflage 1982

3. Roik, K.; Carl, J.; Lindner, J.: Biegetorsionsprobleme gerader dünnwandiger Stäbe, Verlag von Wilhelm Ernst und Sohn, Berlin, München, Düsseldorf 1971

4. Dickel, T.; Klemens, H.-P.; Rothert, H.: Ideale Biegedrillknickmomente, Vieweg und Sohn, Braunschweig/Wiesbaden, 1991

5. Schneider Bautabellen, 11. Auflage, Werner Verlag, 1995

6. Lindner, J.: Biegedrillknicken in Theorie, Versuch und Praxis. In: Berichte aus der Forschung und Entwicklung, DASt Heft 9/1980, Köln, Stahlbau-Verlags-GmbH, 1980

7. DIN 18800, Teil 1, Stahlbauten; Bemessung und Konstruktion

8. DIN 18800, Teil 2, Stahlbauten; Stabilitätsfälle, Knicken von Stäben und Stabwerken

9. Handbuch BGDK (Programm zum Biegedrillknicksicherheitsnachweis nach DIN 18800, Teil 1 und 2), Dlubal GmbH, 1999

10. Ramm, E.; Hofmann, T. J.: Stabtragwerke, in Der Ingenieurbau, Bausta-tik/Baudynamik, Wilhelm Ernst und Sohn, Berlin, 1996

11. Wittemann, K.: Ideale Biegedrillknicklast für einen drehgebetteten Druckstab mit ge-bundener Drehachse, Stahlbau, 61, 126-127, 1992.

12. DIN 18807, Stahltrapezprofile.

13. Lindner, J.: „Stabilisierung von Biegeträgern durch Drehbettung – eine Klarstellung“, Der Stahlbau, 12, 365-373, 1987.

14. Erläuterungen zu DIN 18800 Teil 1 bis 4, Beuth-Kommentar, Beuth-Verlag und Ernst & Sohn, 2. Auflage 1994.

15. Osterrieder, P.; Voigt, M.; Saal, H.: „Zur Neuregelung des Biegedrillknicknachweises nach E DIN 18800 Teil 2 (Ausgabe März 1988)“, Der Stahlbau 58, 341-347, 1989.

16. Stahlbau Handbuch, Band 1, Stahlbau Verlags GmbH, Köln 1982.

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FE-BGDK 27 11 01 - isa.fh-trier.de · PDF fileInside haben muß, ist eine exorbitant teure 3D-Grafikkarte nicht notwendig. Da RSTAB und FE-BGDK in der Regel sehr rechenintensiv genutzt