FE-STAB T S B N - Ruhr-Universität Bochum · Das Programm FE-STAB ist ein leistungsfähiges FE-Programm für ... Biegung mit Normalkraft und ... Schubspannungen infolge St. Venantscher

Rolf Kindmann

Henning Uphoff

FE-STAB

TRAGFÄHIGKEIT UND STABILITÄT VON STÄBEN

BEI ZWEIACHSIGER BIEGUNG MIT NORMALKRAFT

UND WÖLBKRAFTTORSION

Entwurf vom 05.06.2014

Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl-, Holz- und Leichtbau Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann

Herausgeber: Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau Fakultät für Bau- und Umweltingenieurwissenschaften Ruhr-Universität Bochum Universitätsstr. 150 D-44801 Bochum Tel.-Nr.: +49 (0)234/32-22575 Fax-Nr.: +49 (0)234/32-14646 E-Mail: [email protected] http://www.rub.de/stahlbau

2014 Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum

Alle Rechte, auch das der Vervielfältigung, des auszugsweisen Nachdrucks, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten.

Inhaltsverzeichnis

1 Leistungsumfang 1

2 Grundlagen 2

2.1 Koordinatensystem, Normierung und Definitionen 2

2.2 Werkstoffgesetz 8

2.3 Prinzip der virtuellen Arbeit 10

2.4 Methode der finiten Elemente 12

2.4.1 Elementsteifigkeitsmatrix und Lastvektor für ein Stabelement 12

2.4.2 Gesamtsteifigkeitsmatrix und Lastvektor 14

2.4.3 Verschiebungs- und Schnittgrößen 14

2.4.4 Eigenwerte und Eigenformen 17

2.5 Teilschnittgrößenverfahren 18

3 Eingabe 19

3.1 Vorbemerkung 19

3.2 Berechnungsoption und baustatisches System 19

3.3 Lager und Punktfedern 21

3.4 Streckenfedern und Schubsteifigkeiten 23

3.5 Querschnittswerte 24

3.6 Einzellasten 26

3.7 Gleichstreckenlasten und Torsionsstreckenmomente 26

3.8 Vorverformungen 27

3.9 Start der Berechnung 28

4 Ausgabe 29

5 Berechnungsbeispiele 31

5.1 Vorbemerkung 31

5.2 Biegedrillknicken eines Zweifeldträger 31

5.3 Rahmenstiel eines Zweigelenkrahmens 39

5.4 Rahmenriegel eines Zweigelenkrahmens 46

Literatur 54

1 Leistungsumfang

Das Programm FE-STAB ist ein leistungsfähiges FE-Programm für stabförmige

Bauteile. Das Programm basiert auf der vollständigen Stabtheorie (zweiachsige

Biegung mit Normalkraft und Wölbkrafttorsion), so dass sowohl räumliche

Beanspruchungen als auch das räumliche Tragverhalten von Stabstrukturen erfasst

werden können. Dabei ist die Berechnung auf gerade Stäbe mit gleichbleibenden

Querschnitten beschränkt. Die wesentlichen Anwendungsgebiete des Programms

lassen sich wie folgt zusammenfassen:

Berechnung von Verformungen und Schnittgrößen nach der Elastizitätstheorie

I. oder II. Ordnung

Ermittlung der kleinsten Eigenwerte, bzw. Verzweigungslasten, und den

dazugehörigen Eigenformen, bzw. Knickbiegelinien für die

Stabilitätsprobleme Biegeknicken und Biegedrillknicken

Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit für Stäbe mit

Standardquerschnitten

Berücksichtigung von Vorverformungen bzw. geometrischen

Ersatzimperfektionen

Berücksichtigung aussteifender Konstruktionen durch Feder- und

Schubsteifigkeiten

Berücksichtigung beliebiger Querschnittsformen

Berechnung von Auflager- und Federkräften

Es besteht somit die Möglichkeit stabilitätsgefährdete, räumliche Stabstrukturen mit

geringem Aufwand realitätsgetreu abzubilden und zu untersuchen. Das Programm

ermöglicht die direkte Berücksichtigung geometrischer Ersatzimperfektionen und

liefert den Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach der Plastizitätstheorie für

Standardquerschnitte. Mit FE-STAB und dem Ersatzimperfektionsverfahren lassen

sich schnelle und wirtschaftliche Tragsicherheitsnachweise für im Stahlbau übliche

stabilitätsgefährdete Stäbe führen.

Besonders hervorgehoben sei an dieser Stelle das Buch „Finite-Elemente-Methoden

im Stahlbau“ [4] von Rolf Kindmann und Matthias Kraus. Es enthält eine komplette

und umfangreiche Darstellung der im Folgenden kurz behandelten theoretischen

Hintergründe und enthält zahlreiche weitere Beispiele.

FE-STAB ist in Visual Basic programmiert. Als Programmoberfläche dient Microsoft

Excel. Das vorliegende Programmpaket 2014 der RUBSTAHL-Programme ist

kompatibel mit den aktuellen Versionen von MS-Excel bis einschließlich Excel 2013.

2 Grundlagen 2

2 Grundlagen

Grundlage der Tragwerksberechnung mit dem Programm FE-STAB ist die

vollständige Stabtheorie. Es können Stäbe berechnet werden, die durch Normalkraft,

zweiachsige Biegung und Wölbkrafttorsion beansprucht werden. FE-STAB

berücksichtigt alle sieben Verschiebungsgrößen.

Die Tragwerksberechnung erfolgt mittels der Methode der finiten Elemente. Die

hierfür nötigen Steifigkeitsbeziehungen zwischen Verschiebungs- und Lastgrößen

werden mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit hergeleitet. Neben den

Arbeitsanteilen der linearen Stabtheorie I. Ordnung am unverformten System werden

die zusätzlichen Arbeitsanteile gemäß Theorie II. Ordnung berücksichtigt, so dass das

geometrisch nichtlineare Tragverhalten stabilitätsgefährdeter Stabstrukturen

abgebildet werden kann.

Neben der Systemberechnung der Tragstruktur wird für Standardquerschnitte der

Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit geführt. Das

Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [3] erfasst dabei neben den fünf

Schnittgrößen aus Normalkraft und zweiachsiger Biegung auch die drei

Torsionsschnittgrößen Mxp, Mxs und M. Das Programm enthält eine umfangreiche

Datenbank von Querschnittswerten für übliche Walz- und Hohlprofile. Zusätzlich

können Querschnittswerte für Drei- bzw. Zweiblechquerschnitte ermittelt werden.

Die Eingabe beliebiger Querschnitte ist ebenfalls möglich. Allerdings entfällt für

beliebige Querschnitte die Möglichkeit des Nachweises der plastischen

Querschnittstragfähigkeit.

Die hier vorliegende Darstellung der theoretischen Grundlagen des Programms ist

stark zusammengefasst, um dem Anwender eine Übersicht zu geben. Zum weiteren

Studium der einzelnen Themen wird an entsprechender Stelle auf ausgewählte

Literaturstellen verwiesen.

2.1 Koordinatensystem, Normierung und Definitionen

Sowohl auf Querschnitts- als auch auf Stabebene folgt FE-STAB einer eindeutigen

Normierung [3]. Die korrekte Anwendung des Programms erfordert die Einhaltung

dieser Normierung und dem damit verbundenen Koordinatensystem.

Das Programm berücksichtigt die sieben Verschiebungsgrößen des räumlichen

Tragverhaltens. Gemäß Bild 2.1 stellt die Stabachse die x-Achse dar und geht durch

den Schwerpunkt des Querschnitts S. Die Achsen y und z entsprechen den

Hauptachsen des Querschnitts. Die Verschiebungsgrößen beziehen sich auf den

Schwerpunkt. Bild 2.2 und zeigt die Verschiebungsgrößen auf Stabelementebene.


Die Schnittgrößen beziehen sich sowohl auf den Schwerpunkt (N, My und Mz), als

auch auf den Schubmittelpunkt M (Vz, Vy und Mx). Bild 2.4 zeigt zusätzlich die

Wirkungsrichtung der Spannungen an einem Flächenelement. Das Wölbbimoment

Mbezieht sich neben dem Schubmittelpunkt auf die normierte Wölbordinate .

Die Schnittgrößen ergeben sich als Resultierende der Spannungen. Der Zusammen-

hang zwischen Spannungen und resultierenden Schnittgrößen ist in Tabelle 2.1 dar-

gestellt.

Bild 2.1 Definition positiver Verschiebungsgrößen

Koordinaten, Ordinaten und Bezugspunkte

x Stablängsrichtung

y, z Hauptachsen in der Querschnittsebene

normierte Wölbordinate

S Schwerpunkt

M Schubmittelpunkt (y = yM, z = zM)

Verschiebungsgrößen

u Verschiebung in x-Richtung

v Verschiebung in y-Richtung

w Verschiebung in z-Richtung

v′ Verdrehung um die z-Achse

w′ Verdrehung um die y-Achse

Verdrehung um die x-Achse

′ Verdrillung

2 Grundlagen 4

Bild 2.2 Definition positiver Verschiebungsgrößen auf Stabelementebene

Bild 2.3 Definition positiver Schnittgrößen auf Stabelementebene

Schnittgrößen

N Normalkraft

Vy, Vz Querkräfte

My, Mz Biegemomente DIN EN 1993-1-1:

Mx Torsionsmoment T

Mxp, Mxs primäres und sekundäres Torsionsmoment Tt, Tw

M Wölbbimoment B


Bild 2.4 Spannungen und Schnittgrößen an der positiven Schnittfläche eines Stabes

Tabelle 2.1 Schnittgrößen als Resultierende der Spannungen

Bedingung Schnittgröße Definition

xF 0 : Normalkraft x

A

N dA

yV 0 : Querkraft y xy

A

V dA

zV 0 : Querkraft z xz

A

V dA

xM 0 : Torsionsmoment

x xz M xy M

A

x xp xs

M y y z z dA

M M M

yM 0 : Biegemoment y x

A

M z dA

zM 0 : Biegemoment z x

A

M y dA

Wölbbimoment x

A

M dA

Spannungen

x, y, z Normalspannungen

xy, xz, yz Schubspannungen

Die Richtung positiver Lastgrößen und ihre Angriffspunkte korrespondieren mit

denen der Schnittgrößen. Die Angriffspunkte und Wirkungsrichtungen sind in

Bild 2.3 und Bild 2.5 dargestellt. Lastgrößen, die nicht in Richtung der Hauptachsen

wirken, müssen transformiert werden. Das Gleiche gilt für vom Schwerpunkt bzw.

2 Grundlagen 6

Schubmittelpunkt abweichende Lastangriffspunkte. Exzentrisch wirkende Lasten

können in FE-STAB berücksichtigt werden. Die Transformation auf den Schwer-

punkt bzw. Schubmittelpunkt erfolgt automatisch.

Bild 2.5 Positive Wirkungsrichtung und Angriffspunkte der Lastgrößen

Einwirkungen, Lastgrößen

qx, qy, qz Streckenlasten

Fx, Fy, Fz Einzellasten

mx Streckentorsionsmoment

MxL Lasttorsionsmoment

MyL, MzL Lastbiegemoment

ML Lastwölbbimoment

Zusätzlich gilt es folgende weitere Definitionen zu beachten:

Querschnittswerte

A Fläche

Iy, Iz Hauptträgheitsmomente

I Wölbwiderstand

IT Torsionsträgheitsmoment

Wy, Wz Widerstandsmomente

Sy, Sz statische Momente

iM, ry, rz, r Größen für Theorie II. Ordnung und Stabilität

Teilsicherheitsbeiwerte

M Beiwert für die Widerstandsseite (material)

F Beiwert für die Einwirkung (force)


Indizes

Index el: Grenzschnittgrößen nach der Elastizitätstheorie

Index pl: Grenzschnittgrößen nach der Plastizitätstheorie

Index Rd: Bemessungswert der Beanspruchbarkeit

Index Ed: Bemessungswert der Beanspruchung

Biegeknicken und Biegedrillknicken

Ncr ideale Drucknormalkraft (Verzweigungslast)

Mcr,y ideales Biegedrillknickmoment

cr Verzweigungslastfaktor (Eigenwert)

2 Grundlagen 8

2.2 Werkstoffgesetz

FE-STAB basiert auf der Elastizitätstheorie. Für die Berechnung der Verformungen

und Schnittgrößen wird daher linearelastisches Werkstoffverhalten vorausgesetzt, es

gilt das Hookesche Gesetz. Für Querschnittsnachweise nach der Plastizitätstheorie

wird das in Bild 2.6 dargestellte linearelastisch-idealplastische Werkstoffverhalten

angenommen.

Bild 2.6 linearelastisch-idealplastisches Werkstoffverhalten

Werkstoffkennwerte

E Elastizitätsmodul

G Schubmodul

Querkontraktionszahl, Poissonsche Zahl

fy Streckgrenze

fu Zugfestigkeit

u Bruchdehnung

Index k: charakteristischer Werkstoffkennwert

Index d: Bemessungswert (design)

Bei der Berechnung von Tragwerken aus Baustahl sind in der Regel folgende

Bemessungswerte anzunehmen:

E = 21000 kN/cm2

G = E/(2 ∙ (1 + )) ≈ 8100 kN/cm2

= 0,3

2.2 Werkstoffgesetz 9

In Tabelle 2.2 sind die Streckgrenzen und Bruchdehnungen üblicher Baustähle gemäß

DIN EN 1993-1-1 [1] zusammengefasst. Die allgemeinen Baustähle S 235 und S 355

machen dabei mehr als 95 % der im Stahlbau verwendeten Menge aus.

Weitere Informationen zum Werkstoffverhalten können Kapitel 2 Kindmann/Frickel

[3] entnommen werden.

Tabelle 2.2 Nennwerte der Streckgrenze fy und der Zugfestigkeit fu für ausgewählte Baustähle gemäß DIN EN 1993-1-1 (Auszug)

Werkstoffnorm

Stahlsorte

Erzeugnisdicke t in mm

t ≤ 40 mm 40 mm < t ≤ 80 mm

fy [N/mm2] fu [N/mm2] fy [N/mm2] fu [N/mm2]

EN 10025-2 unlegierte Baustähle

S 235 S 275 S 355 S 450

235 275 355 440

360 430 490 550

215 255 335 410

360 410 470 550

2 Grundlagen 10

2.3 Prinzip der virtuellen Arbeit

Die Formulierung des Gleichgewichts im Tragwerk erfolgt mit dem Prinzip der

virtuellen Arbeit. Eine umfangreiche Herleitung kann Kapitel 2.9 Kindmann/Frickel

[3] entnommen werden.

Ein Tragwerk befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Summe der virtuellen

Arbeiten gleich Null ist. Die Bedingung

W = Wext + Wint = 0 (2.1)

ist daher die allgemeine Forderung, dass Gleichgewicht vorhanden ist. In

Gleichung (2.1) ist Wext die virtuelle Arbeit der äußeren eingeprägten Kräfte

(ext = external) und Wint die virtuelle Arbeit der entstehenden inneren Spannungen

(int = internal).

Daraus lässt sich die virtuelle Arbeit für im Programm verwendete gerade Stäbe

herleiten. Tabelle 2.3 enthält eine Zusammenstellung der virtuellen Arbeit nach der

linearen Stabtheorie (Theorie I. Ordnung) sowie die zusätzlichen Arbeitsanteile für

die Theorie II. Ordnung.

Dabei werden folgende Arbeitsanteile berücksichtigt:

Anteil von Wint resultierend aus Normalspannungen x sowie

Schubspannungen infolge St. Venantscher Torsion. Dabei kann für Stäbe das

Volumenintegral in Integrale über die Querschnittsfläche und die Stablänge

aufgeteilt werden (dV = dA ∙ dx) [3].

Anteil von Wext resultierend aus Einzellasten Fx, Fy und Fz. Dabei greifen Fx

im Schwerpunkt S an und Fy sowie Fz im Schubmittelpunkt M. Zusätzlich

werden Außermittigkeiten in y- und z-Richtung berücksichtigt. F ist die

Wölbordinate im Lastangriffspunkt von Fx.

Anteil von Wext infolge Streckenlasten qx, qy und qz sowie

Streckentorsionsmomente mx. Es wird angenommen, dass qx im Schwerpunkt

S angreift und die Wölbordinate dort gleich Null ist.

Arbeitsanteile aus Punktfedern Ci, Streckenfedern ci und Schubsteifigkeiten S*.

Die Federn korrespondieren zu den Verformungsgrößen v, w und . Die

Streckenfeder cw wirkt im Schubmittelpunkt M, die Streckenfeder cv sowie die

Schubsteifigkeit S* können in z-Richtung außermittig zu M wirken.

Arbeitsanteile gemäß Theorie II. Ordnung als Näherung für die geometrisch

nichtlineare Stabtheorie sowie für Stabilitätsuntersuchungen. Somit können

Verformungen und Vorverformungen (geometrische Ersatzimperfektionen)

mit für baupraktische Anwendungen ausreichender Genauigkeit erfasst

werden.

2.3 Prinzip der virtuellen Arbeit 11

Tabelle 2.3 Virtuelle Arbeit W = Wext + Wint für gerade Stäbe

Lineare Stabtheorie (Theorie I. Ordnung):

S x M y M z x

S x M y M z M zL M yL xL L

M x F M x F x F y F M z F M

( u q v q w q m ) dx

u F v F w F v M w M M M

v F y w F z F F z z F y y

S S M z M M y M T

M v M M w M M M M v cv M

2

v cv M M v cv M M S M

S M M

u EA u v EI v w EI w EI GI dx

v c v w c w c v S v v c z z

c z z v c z z v S z z

S z z v

2

S M

S u S M v M M v M M w M M w M

M v cv M v cv M M

2

v cv M

S z z dx

u C u v C v v C v w C w w C w

C C v C z z C z z v

C z z

Zusätzliche Arbeitsanteile für die Theorie II. Ordnung und Stabilität:

dxwyywvzzvwwvvN MMMMMMMMMMMM

M y y M M z z M rr( v M M v w M M w M ) dx

y q M z q M y F M z F M( q (y y ) q (z z ) dx F y y F z z

M x F x F M M x F x F Mv F z F z v w F y F y w

mit:

A

zyyz2M

2M

2Mxrr rMrMrMiNdA)yy()zz(M

2M

2M

2p

2M zyii

Ai

zy2p

II

A

22 dA)zy(1

rI

A

M22

zy y2dA)zy(y

1r

I

A

M22

yz z2dA)zy(z

1r

I

2 Grundlagen 12

2.4 Methode der finiten Elemente

Die Tragwerksberechnung in FE-STAB erfolgt mit der Methode der finiten

Elemente. Im folgenden Abschnitt sind die wichtigsten Grundlagen und Annahmen,

die dem Programm zugrunde liegen, zusammengefasst. Eine ausführliche Darstellung

der theoretischen Zusammenhänge der FE-Methoden für Stabtragwerke, wie sie in

FE-STAB verwendet werden, und weitere Anwendungsbeispiele können den Kapitel

3 und 4 aus Kindmann/Kraus [4] entnommen werden.

2.4.1 Elementsteifigkeitsmatrix und Lastvektor für ein Stabelement

Mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit, s. Kapitel 2.3, wird die Steifigkeitsmatrix

für ein Stabelement hergeleitet. Bild 2.7 zeigt ein Stabelement. Zur Beschreibung der

Stablängsrichtung wird die dimensionslose Koordinate = x/l eingeführt. Der Knoten

a liegt per Definition bei = 0 und der Knoten b bei = 1.

Bild 2.7 Stabelement

Die Steifigkeitsmatrix des Stabelementes beschreibt den Zusammenhang zwischen

den Schnittgrößen an Elementknoten mit den korrespondierenden

Verformungsgrößen. Die Gleichgewichtsbedingung eines Stabelementes kann so in

der Matrizenschreibweise formuliert werden, die grundlegend für die FE-Methode ist.

Unterscheiden werden muss zwischen der Theorie I. Ordnung (lineare Stabtheorie)

ee e e es = s = K v + p (2.2)

und der Theorie II. Ordnung:

ee e e e 0,es = K + G v + p + p (2.3)

mit: es Vektor der 14 Gleichgewichtsschnittgrößen an den Elementenden

es Vektor der 14 Nachweisschnittgrößen an den Elementenden

eK Elementsteifigkeitsmatrix (14×14)

eG geometrische Elementsteifigkeitsmatrix (14×14)

ev Vektor der 14 Knotenverformungen des Stabelements

e

p Vektor der 14 Lastgrößen infolge von Lasten im Stabelement

e 0,e0,ep = G v Lastgrößen infolge von Vorverformung


Die Größe der Matrizen bzw. Vektoren resultiert aus der Berücksichtigung von

sieben Verschiebungsgrößen pro Elementknoten.

Es wird zwischen Gleichgewichts- und Nachweisschnittgrößen differenziert. Die

Gleichgewichtsschnittgrößen („^“) entsprechen den dargestellten Schnittgrößen aus

Bild 2.3. Ihre Wirkungsrichtung ändert sich bei Belastung und Verformung des

Stabelementes nicht. Die Nachweisschnittgrößen hingegen werden auf die verformte

Stabachse bezogen. Weitere Erläuterungen dazu enthält Kapitel 2.4.3.

Aus der in Tabelle 2.3 formulierten virtuellen Arbeit resultieren die Element-

steifigkeitsmatrix, die geometrische Elementsteifigkeitsmatrix sowie der Lastvektor.

Dabei werden folgenden Annahmen berücksichtigt:

Die Beschreibung der Verformungen im Stabelement erfolgt durch

Hermite’sche Interpolationspolynome, da die Verschiebungen in den

Elementknoten und deren Ableitungen berücksichtigt werden. Die

Längsverschiebung u() wird durch eine lineare Ansatzfunktion approximiert,

die Verschiebung vM(), wM() und die Verdrehung () werden durch

kubische Ansatzfunktionen approximiert.

Der Querschnitt ist konstant über die Länge des Stabelementes.

Die Größen cv, cw, c, qx, qy, qz, mx, N und Mrr sind im Stabelement konstant.

Der Aufbau der Steifigkeitsmatrizen und des Lastvektors sowie die ausgewerteten

Steifigkeitsbeziehungen und Einträge des Lastvektors können [4] in Kapitel 3.2.5 und

Kapitel 4.5 entnommen werden.

Bei der Berechnung nach Theorie II. Ordnung können zusätzliche Vorverformungen

des Stabes berücksichtigt werden. Hierzu wird der Lastvektor 0,e

p formuliert. Die

angegebenen Vorverformungen werden mithilfe der Geometrischen Element-

steifigkeitsmatrix in äquivalente Knotenlasten umgerechnet. Zum Aufstellen der

geometrischen Elementsteifigkeitsmatrix werden die Schnittgrößen N, My, Mz und

Mrr benötigt, so dass zunächst eine Systemberechnung nach Theorie I. Ordnung

erfolgt.

Damit ergeben sich die gesamten Verformungen aus der Summe der Verformungen

und der Vorverformungen:

vM,ges = vM + v0,M

wM,ges = wM + w0,M

ges = + 0

(2.4)

In FE-STAB erfolgt keine Ausgabe der Gesamtverformungen, da es sich bei bau-

praktischen Berechnungen bei den Vorverformungen um geometrische Ersatz-

imperfektionen handelt, die nur teilweise reale Vorverformungen, d.h. geometrische

Imperfektionen, enthalten.

2 Grundlagen 14

2.4.2 Gesamtsteifigkeitsmatrix und Lastvektor

Die Methode der finiten Elemente zerteilt das baustatische System in eine finite

Anzahl von Stabelementen. In Kapitel 2.4.1 werden die Steifigkeitsbeziehungen und

Lastvektoren für ein Stabelement erläutert. Zur Berechnung des gesamten Systems

müssen die Steifigkeiten und Lastvektoren der einzelnen Elemente zusammengefasst

werden. Die Assemblierung der Gesamtsteifigkeitsmatrix und der Lastvektoren

erfolgt durch Addition der Steifigkeitsbeziehungen und Lastgrößen an den jeweiligen

Elementknoten. Die Größe der Gesamtsteifigkeitsmatrix und des Lastvektors ergibt

sich somit aus der Anzahl der Stabelementenden, bzw. -knoten und der Anzahl der

berücksichtigten Verschiebungsgrößen pro Knoten.

Es ergibt so somit das folgende Gleichungssystem nach Theorie I. Ordnung, das unter

Berücksichtigung der geometrischen Randbedingungen, d.h. vorhandenen Lagerungs-

bedingungen, gelöst werden kann:

K v = p (2.5)

Nach Theorie II. Ordnung ergibt sich folgendes Gleichungssystem, dass mit den

Ergebnissen der Berechnung nach Theorie I. Ordnung gelöst werden kann:

0

K G v = p + p (2.6)

mit: K Gesamtsteifigkeitsmatrix

G geometrische Gesamtsteifigkeitsmatrix

v Vektor der Knotenverformungen des Stabes

p Vektor der Lastgrößen des Stabes

0

p Vektor der Lastgrößen infolge von Vorverformungen

2.4.3 Verschiebungs- und Schnittgrößen

Durch das Lösen der Gleichungssysteme (2.5) und (2.6) werden die

Verschiebungsgrößen des Stabes berechnet. Da die Gleichungssysteme so wie sie in

Kapitel 2.4.2 formuliert sind singulär sind, müssen zur Lösung die geometrischen

Randbedingungen herangezogen werden. Durch die Berücksichtigung der Lagerungs-

bedingungen des Stabes kann das Gleichungssystem gelöst und damit die

Verschiebungsgrößen bestimmt werden.

Zur Lösung des Gleichungssystems wird das Cholesky-Verfahren verwendet, s.

Kapitel 8 [4] und [7]. Die Lösung des Gleichungssystems (2.5) liefert die

Verschiebungsgrößen nach Theorie I. Ordnung. Das Gleichungssystem (2.6) liefert

die Verschiebungsgrößen nach Theorie II. Ordnung. Die Berechnung nach Theorie II.

Ordnung setzt eine Berechnung nach Theorie I. Ordnung voraus, da zum Aufstellen


der geometrischen Steifigkeitsmatrix die Schnittgrößen N, My, Mz und M benötigt

werden.

Die Ermittlung der Schnittgrößen erfolgt mit den Gleichungssystemen (2.2) und

(2.3). Es wird unterschieden zwischen Gleichgewichts- und Nachweisschnittgrößen.

Die Gleichgewichtsschnittgrößen („^“) wirken in Richtung der unverformten

Stabachse gemäß Bild 2.3. Die Nachweisschnittgrößen wirken in Richtung der

verformten Stabachse bzw. senkrecht dazu. Für den Fall der Biegung mit

Normalkraft in der x-z-Ebene ist dieser Zusammenhang in Bild 2.8 prinzipiell

dargestellt.

Bild 2.8 Gleichgewichts- und Nachweisschnittgrößen bei Biegung mit Normkraft in der x-z-Ebene

Die Nachweisschnittgrößen dienen zur Ermittlung von Spannungen bzw. zum

Nachweis der ausreichenden Querschnittstragfähigkeit. Zur Klarstellung muss hier

erwähnt werden, dass die Nachweisschnittgrößen den in Tabelle 2.1 definierten

Schnittgrößen (Spannungsresultierenden) entsprechen, und dass nur für diese

Schnittgrößen die üblichen Methoden zur Spannungsermittlung gelten.

Für Berechnungen nach Theorie I. Ordnung entsprechen die Nachweisschnittgrößen

den Gleichgewichtsschnittgrößen, da die Schnittgrößen am unverformten System

ermittelt werden.

ee e e es = s = K v + p (2.7)

Bei der Berechnung nach Theorie II. Ordnung werden zunächst die

Gleichgewichtsschnittgrößen („^“) mit dem formulierten Gleichungssystem und der

darin enthaltenden statischen Gleichgewichtsbedingung ermittelt.

2 Grundlagen 16

ee e e e 0,es = K + G v + p + p (2.8)

Mithilfe der Verformungen und der Verdrehung sowie deren Ableitungen können aus

den Gleichgewichtsschnittgrößen die Nachweisschnittgrößen ermittelt werden. Dabei

wird vorausgesetzt, dass es sich um kleine Verdrehungen handelt (sin( ≈ ,

cos() ≈ 1). Die gesamten Transformationsbeziehungen zwischen Gleichgewichts-

und Nachweisschnittgrößen können Kapitel 4.8 [4] entnommen werden.

Die Schnittgrößen N, My, Mz und Mgehen in die geometrische Steifigkeitsmatrix

ein. Standardmäßig berechnet FE-STAB daher zunächst die Schnittgrößen nach

Theorie I. Ordnung um daraus die geometrische Steifigkeitsmatrix zu ermitteln mit

der die Berechnung nach Theorie II. Ordnung erfolgen kann. Da die benötigten

Schnittgrößen nur als Näherung nach Theorie I. Ordnung vorliegen, kann die

Berechnung nach Theorie II. Ordnung in FE-STAB bei Bedarf wiederholt werden.

Ab der ersten Wiederholung der Berechnung werden dann die ermittelten

Nachweisschnittgrößen nach Theorie II. Ordnung zur Ermittlung der geometrischen

Steifigkeitsmatrix herangezogen. So kann die Genauigkeit der Ergebnisse iterativ

verbessert werden.

Die Ausgabe der Schnittgrößen in FE-STAB erfolgt nach der gebräuchlichen

Vorzeichenkonvention („Vorzeichenkonvention 1“). Positive Schnittgrößen wirken

an positiven Schnittflächen entsprechend Bild 2.4 bzw. entsprechend dem

Elementende b in Bild 2.3. An negativen Schnittflächen gelten für positive

Schnittgrößen die entgegengesetzten Wirkungsrichtungen, so dass die am

Elementende a in Bild 2.3 gezeigten Wirkungsrichtungen entsprechend umzudrehen

sind.

In der Berechnung der Schnittgrößen wird an verschiedenen Stellen im Programm

FE-STAB die Annahmen kleiner Verdrehungen verwendet. Die Voraussetzung

kleiner Verdrehungen v′M, w′

M und wird bei der Herleitung der virtuellen Arbeit,

der Formulierung der Steifigkeitsmatrix sowie bei der Berechnung der Schnittgrößen

verwendet. Damit die Näherung sin( ≈ & cos() ≈ 1 gilt, müssen die

Verdrehungen begrenzt werden. Bei baupraktischen Berechnungen sind die Ver-

drehungen v′M und w′

M in der Regel klein, so dass eine Begrenzung der Verdrehung

als unproblematisch angesehen werden kann und somit im Programm entfällt. Die

Verdrehung hingegen kann jedoch große Winkel annehmen, insbesondere bei

reiner Torsion. Im Programm wird daher die Begrenzung

≤ 0,3 (2.9)

vorgenommen. Die Programmrechnung bricht ab, sollte dieser Grenzwert über-

schritten werden.


2.4.4 Eigenwerte und Eigenformen

Zur Stabilitätsuntersuchung von Stäben werden in der Regel der kleinste positive

Eigenwert und die zugehörige Eigenform benötigt. Anstelle von Eigenwert ist im

Stahlbau der Ausdruck „Verzweigungslastfaktor“ gebräuchlich.

Das Eigenwertproblem lässt sich mit der Methode der finiten Elemente lösen. Die

Bedingung zur Bestimmung von cr lautet:

crK + α G v = 0 (2.10)

Um die geometrische Steifigkeitsmatrix aufzustellen, müssen die Schnittgrößen

bekannt sein. Es erfolgt zunächst eine Ermittlung der Schnittgrößen nach Theorie I.

Ordnung.

Mit der Bedingung „Determinante gleich Null“ und dem homogenen Gleichungs-

system (2.10) kann cr bestimmt werden:

crdet K + α G = 0 (2.11)

Die Lösung dieser Bedingung erfolgt iterativ mit einem Matrizenzerlegungs-

verfahren. Anschließend erfolgt die Ermittlung der zugehörigen Eigenform mit der

inversen Vektoriteration:

i+1 iStartK + α G v = G v (2.12)

Ausführliche Erläuterungen zum Matrizenzerlegungsverfahren und zur inversen

Vektoriteration sind in Kapitel 8 und 9 [4], [8], [10] und [11] enthalten.

2 Grundlagen 18

2.5 Teilschnittgrößenverfahren

Für bestimmte Querschnittstypen, siehe Kapitel 3.5, erfolgt in FE-STAB automatisch

die Ermittlung der Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren

nach Kindmann/Frickel [3]. Es handelt sich um einen Nachweis der plastischen

Querschnittstragfähigkeit, der im Gegensatz zu den Interaktionsbeziehungen in DIN

EN 1993-1-1 [1] die gleichzeitige Wirkung der acht Schnittgrößen N, My, Mz, M,

Vy, Vz, Mxp und Mxs erfasst, die bei allgemeiner Belastung des Querschnitts auftreten.

Die Nachweisbedingungen für I-Querschnitte mit beliebigen Schnittgrößen können

Kapitel 5.7 [6] entnommen werden. [3] enthält zusätzlich die Nachweisbedingungen

für kreisförmige Profile, rechteckige Hohlprofile und Zwei- bzw. Dreiblech-

querschnitte jeweils für beliebige Beanspruchungen.

Das Teilschnittgrößenverfahren teilt die wirkenden Schnittgrößen in Teilschnitt-

größen auf, die örtlich in bestimmten Querschnittsteilen wirken. Die Geometrie des

Querschnitts muss daher bekannt sein. Es kann daher bei der Eingabe beliebiger

Querschnitte (Typ1) kein Nachweis mit dem Teilschnittgrößenverfahren geführt

werden.

3.1 Vorbemerkung 19

3 Eingabe

3.1 Vorbemerkung

Als Programmoberfläche dient MS-Excel. Im Tabellenblatt „Eingabe“ erfolgt die

Eingabe sämtlicher Berechnungsparameter. Bei Eingabe der Querschnittswerte

werden automatisch weitere Tabellenblätter geöffnet. Als Maßeinheiten der

Eingabewerte müssen kN und cm verwendet werden.

3.2 Berechnungsoption und baustatisches System

Bild 3.1 zeigt einen Auszug aus der Eingabemaske von FE-STAB. In den ersten

Zeilen „Projekt“ und „Kommentar“ besteht die Möglichkeit die durchgeführte

Berechnung kurz zu beschreiben.

Bild 3.1 Eingabemaske FE-STAB: Berechnungsoptionen und baustatisches System

Theorie

Das Programm führt die Tragwerksberechnung wahlweise nach Theorie I. oder II.

Ordnung durch. Entsprechend ist in das Feld eine „1“ oder eine „2“ einzutragen.

Wird eine Zahl größer als 2 eingegeben, erfolgt die Berechnung nach Theorie II.

Ordnung mehrfach (n-1 mal). Wird eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung

durchgeführt und der Eigenwert wird überschritten, d.h. cr < 1, erfolgt keine

3 Eingabe 20

Ausgabe der Schnittgrößen und Verformungen. Es erfolgt keine automatische

Begrenzung der Verformungen. Diese sind vom Anwender zu begrenzen.

Werkstoffkennwerte und Teilsicherheitsbeiwerte

Die Kennwerte Elastizitätsmodul E, Schubmodul G, Streckgrenze fy,k des

verwendeten Werkstoffs sowie der für die Nachweisführung maßgebende

Teilsicherheitsbeiwert für die Beanspruchbarkeit M werden vom Benutzer

vorgegeben. Sie sind konstant über den ganzen Stab. Der Bemessungswert der

Streckgrenze ergibt sich zu:

fy,d = fy,k / M (3.1)

Der Elastizitätsmodul E und der Schubmodul G sind für die Berechnung nach

Theorie II. Ordnung gemäß DIN EN 1993-1-1 [1] nicht durch den Teilsicherheits-

beiwert abzumindern.

Eigenwert bzw. Verzweigungslastfaktor cr

Die Ermittlung des Eigenwertes cr erfolgt ausschließlich bei einer

Tragwerksberechnung nach Theorie II. Ordnung. Ist die Option „cr berechnen“

gewählt, erfolgt die Berechnung automatisch nach Theorie II. Ordnung. Das

Programm ermittelt den 1. positiven Eigenwert, auch wenn dieser kleiner als 1 ist.

Die maximale Anzahl der Iterationsschritte zur Bestimmung des Eigenwertes sowie

die geforderte Genauigkeit von cr können festgelegt werden. In den meisten Fällen

sind ca. 25 Iterationsschritte bei einer Genauigkeit von 10-4 zur Ermittlung von cr

ausreichend. Ist die Anzahl der gewählten Iterationsschritte zu gering oder wird kein

Eigenwert gefunden, erfolgt eine Fehlermeldung des Programms.

Zusätzlich zum Eigenwert kann die zugehörige Eigenform, bzw. Knickbiegelinie,

ausgegeben werden. Dafür muss die Option „cr berechnen“ ausgewählt sein.

Stababschnitte und Anzahl der Stabelemente

Zur Berechnung kann der Stab in maximal 10 Abschnitte mit insgesamt maximal 120

Elementen unterteilt werden. Die Einteilung der Stababschnitte und -elemente ist so

vorzunehmen, dass Lager, Einzellasten und Punktfedern jeweils in Knoten (Element-

enden) liegen. Dies gilt ebenfalls für die Enden von Gleichstreckelasten und

Torsionsstreckenmomenten sowie für die Beschreibung von Vorverformungen. Zur

Verdeutlichung ist in Bild 3.2 ein Beispiel dargestellt.

3.3 Lager und Punktfedern 21

Bild 3.2 Beispiel zur Einteilung in Stababschnitte und -elemente

3.3 Lager und Punktfedern

Lager und Punktfedern können in jedem Knoten des Stabes angeordnet werden. Die

Lager und Punktfedern korrespondieren zu den 7 Verschiebungsgrößen in Bild 2.1

und sind entsprechend einzugeben. Liegt die angegeben „Stelle x“ auf keinem

Elementende, erfolgt eine Fehlermeldung.

Bild 3.3 Eingabemaske FE-STAB: Lager und Punktfedern

Die Eingabe der Lagerungsbedingungen erfolgt mittels Kennzahlen in der dafür

vorgesehen Tabelle der Eingabemaske, s. Bild 3.3. Die zu verwendenden Kennzahlen

sind in Tabelle 3.1 aufgeführt.

Ebenfalls ist die Verwendung von Standardlagern möglich. Hierfür sind in der Zeile

„Standardlager“ die in Tabelle 3.2 aufgeführten Kennzahlen einzutragen. Lager in

Stablängsrichtung („uS“) sind weiterhin separat zu wählen. Bei Verwendung von

Standardlagern erfolgt die Aktualisierung der übrigen Zeilen erst nach dem Start der

Berechnung.

3 Eingabe 22

Tabelle 3.1 Kennzahlen zur Festlegung der Lagerungsbedingungen

Kennzahl Lagerungsbedingung

-1 festes Lager

-2 in der 1. Spalte festes Lager in allen Knoten, Verformungsgröße im gesamten Stab behindert

0 bzw. leere Zelle kein Lager und keine Punktfeder, Verformungsgröße unbehindert

> 0 Punktfeder, Federsteifigkeit entspricht dem angegebenen Zahlenwert

Tabelle 3.2 Kennzahlen zur Festlegung von Standardlagern

Kennzahl Lagerungsbedingungen Bezeichnung

3 festes Lager in v, w und -Richtung gelenkige Lagerung und Gabellagerung

5 Alle Kontenverschiebungen und -verdrehungen sind behindert, jedoch ohne Wölbbehinderung

Einspannung mit Gabellagerung

6 Alle Kontenverschiebungen und -verdrehungen sind behindert, mit Wölbbehinderung

Biege- und Torsionseinspannung

Zur besseren Übersicht werden die definierten Lagerungsbedingungen in einem

Diagramm dargestellt. Es werden die geläufigen Symbole für feste Lager, Gabellager

und Einspannungen verwendet. Bild 3.4 zeigt das Diagramm am Beispiel eines

gabelgelagerten, symmetrischen Zweifeldträgers.

Bild 3.4 Eingabemaske FE-STAB: Lagerungsbedingungen für Zweifeldträger

Lager, die zu uS korrespondieren wirken im Schwerpunkt S des Querschnitts. Wohin-

gegen Lager, die zur Richtung vM bzw. wM korrespondieren, im Schubmittelpunkt M

wirken.

3.4 Streckenfedern und Schubsteifigkeiten 23

Das Gleiche gilt für Punktfedern: Wegfedern Cu (in Richtung uS) wirken im

Schwerpunkt S und Wegfedern Cv und Cw (in Richtung v bzw. w) wirken im

Schubmittelpunkt M. Allerdings kann die Wegfeder Cv in z-Richtung auch

außermittig zum Schubmittelpunkt M angeordnet werden. Die Eingabe der Ordinate

des Angriffspunktes erfolgt im Eingabebereich der Streckenfedern, s. Kapitel 3.4, und

erfolgt im Bezug auf den Schwerpunkt S.

Für die übrigen Punktfedern (Dreh- und Wölbfedern) gilt, dass ihr Einfluss vom

Angriffspunkt unabhängig ist. Sie können daher an beliebiger Stelle wirken und es

erfolgt keine separate Eingabe des Angriffspunktes.

3.4 Streckenfedern und Schubsteifigkeiten

FE-STAB beinhaltet die Möglichkeit kontinuierlich wirkende Aussteifungen infolge

Streckenfedern und Schubfestigkeiten zu berücksichtigen. Es wird dabei zwischen

folgenden Größen unterschieden:

Drehbettung c: Streckendrehfeder um die Stabachse

Wegfeder cv: Streckenwegfeder in Richtung y

Wegfeder cw: Streckenwegfeder in Richtung z

Schubfeld S*: Schubsteifigkeit, die die seitliche Verschiebung behindert

Bild 3.5 Eingabemaske FE-STAB: Streckenfedern und Schubfestigkeiten

Die Eingabe erfolgt gemäß Bild 3.5. Neben den Bemessungswerten der Feder- und

Schubsteifigkeiten können Außermittigkeiten in Richtung der z-Achse der Wegfeder

cv sowie des Schubfeldes S berücksichtigt werden. Die Außermittigkeiten sind

bezogen auf den Schwerpunkt S des Querschnitts anzugeben, s. Bild 3.6. Die

Umrechnung auf den Schubmittelpunkt M erfolgt automatisch. Die eingebenden

Streckenfedern und Schubfelder wirken konstant über die gesamte Stablänge.

3 Eingabe 24

Bild 3.6 z-Ordinaten außermittiger Streckenwegfedern cv und Schubfelder

3.5 Querschnittswerte

In FE-STAB können drei Typen von Querschnitten berücksichtigt werden:

Typ1: beliebige Querschnitte

Typ2: Zwei- und Dreichblechquerschnitte

Typ3: Walzprofile und Hohlprofile, tabellierte Querschnittswerte

Bild 3.7 zeigt den Teil der Eingabemaske für die Querschnitte. Es werden die

wichtigsten Querschnittswerte angezeigt. Zur Eingabe der Querschnittswerte bzw.

Wahl der tabellierten Querschnitte öffnen sich jeweils neue Tabellenblätter. Eine

umfangreiche Zusammenstellung der Querschnittswerte ist in den zugehörigen

Tabellenblättern „Q-Typ1“ bis „Q-Typ3“ enthalten.

Für Querschnitte vom Typ 2 und Typ 3 wird der Nachweis der plastischen Quer-

schnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [3]

geführt, siehe Kapitel 3.5.

Bild 3.7 Eingabemaske FE-STAB: Querschnittswerte

Bei Typ1-Querschnitten handelt es sich um beliebige Querschnittsformen. Die

Querschnittswerte sind einzeln einzugeben und daher separat zu berechnen. Die

Querschnittswerte beziehen sich dabei auf das y-z-Hauptachsensystem und sind

3.5 Querschnittswerte 25

zwingend in diesem zu berechnen und einzugeben. Bezugspunkte im Querschnitt sind

der Schwerpunkt S sowie der Schubmittelpunkt M. Zur Berechnung nach Theorie II.

Ordnung werden die Größen ry, rz und r benötigt. Die Berechnung dieser Größen

erfolgt gemäß Tabelle 2.3. In Tabelle 3.3 ist zusammengestellt welche Größen für

Querschnitte mit verschiedenen Symmetrieeigenschaften benötigt werden.

Bei Typ2-Querschnitten handelt es sich um Zwei- bzw. Dreiblechquerschnitte, wobei

der Steg stets senkrecht und die Flansche stets horizontal angeordnet sind. Zur

Eingabe der Querschnitte wird die Querschnittsgeometrie im Bezugs-

Koordinatensystem definiert. Das Bezugs-Koordinatensystem befindet sich dabei in

der Mitte des Stegsbleches. Es ist darauf zu achten, dass keine Diskontinuitäten bei

der Eingabe der Bleche entstehen.

Tabelle 3.3 Querschnittswerte ry, rz und r für verschiedensymmetrische Querschnitte

Bei Typ3-Querschnitten handelt es sich um Walzprofile und vergleichbar

geschweißte Querschnitte sowie kreisförmige und rechteckige Hohlprofile. Für

Standardquerschnitte enthält das Programm eine umfangreiche Datenbank der

Querschnittswerte. Folgende Standardquerschnitte sind darin enthalten:

IPE, IPEo, IPEv, IPEa, HEAA, HEA, HEB, HEM, HL, HD, HP, UAP, UPE,

gleichschenklige und ungleichschenklige Winkel sowie warm- und kaltgefertigte

kreisförmige, quadratische und rechteckige Hohlprofile.

Zusätzlich können in der Registerkarte „Freies Profil“ I-, U- und L-Profile sowie

kreisförmige und rechteckige Hohlprofile frei definiert werden. Hierfür sind die

Querschnittsabmessungen und Blechdicken sowie Ausrundungsradien einzugeben.

So können auch geschweißte Profile berücksichtigt werden. Die Ausrundungsradien

sind dann zu Null zu setzen.

Für weiterführende Informationen zum Thema Querschnittsnormierung und

Ermittlung von Querschittskennwerten siehe Kapitel 3 Kindmann/Krüger [6] sowie

Kapitel 3 Kindmann/Frickel [3].

3 Eingabe 26

3.6 Einzellasten

Die Eingabe von Einzellasten und Einzellastmomenten erfolgt in der Tabelle

„Einzellasten“, s. Bild 3.8. In der Zeile „Stelle x“ wird der Angriffspunkt der

Einzellast bzw. des Einzellastmoments in Richtung der Stablänge definiert. Der

Angriffspunkt muss in einem Elementknoten liegen. Die Wirkungsrichtung und

Vorzeichen der Lastgrößen entsprechen Bild 2.3 und Bild 2.5.

Die Einzellasten Fx, Fy und Fz können sowohl in y- als auch in z-Richtung exzentrisch

zum Schwerpunkt eingegeben werden. Die Einzellastmomente wirken unabhängig

vom Lastangriffspunkt. Die Transformation des Lastangriffspunktes von Fy und Fz

auf den Schubmittelpunkt M erfolgt automatisch.

Bild 3.8 Eingabemaske FE-STAB: Einzellasten

3.7 Gleichstreckenlasten und Torsionsstreckenmomente

Gleichstreckenlasten und Torsionsstreckenmomente werden in der entsprechenden

Tabelle eingegeben, s. Bild 3.9. Bereichsweise können konstante Gleich-

streckenlasten qz, qy und qx sowie Streckentorsionsmomente mx berücksichtigt

werden. Die Wirkungsrichtung und der Lastangriffspunkt entspricht Bild 2.3.

Die Bereiche der wirkenden Streckenlasten in Stabslängsrichtung werden in den

Spalten „von x“ und „bis x“ definiert. Bereichsanfang und -ende müssen in einem

Elementknoten liegen. Für definierte Bereiche ist nur eine Eingabe zulässig.

3.8 Vorverformungen 27

Bild 3.9 Eingabemaske FE-STAB: Streckenlasten und Torsionsstreckenmomente

Es kann eine Außermittigkeit der Querlasten qz und qy in y- und z-Richtung

berücksichtigt werden. Die Ordinaten z und y beziehen sich dabei auf den

Schwerpunkt S. Die Transformation auf den Schubmittelpunkt M erfolgt vom

Programm. Durch dieses Vorgehen können unplanmäßige Torsionseffekte bei einer

Berechnung nach Theorie II. Ordnung berücksichtigt werden.

3.8 Vorverformungen

Zur Berücksichtigung geometrischer Ersatzimperfektionen können Vorverformungen

angegeben werden. Sie dienen zur Tragwerksberechnung nach Theorie II. Ordnung

und zur Nachweisführung gegen Stabilitätsversagen. Vorverformungen können

entweder in Form von Geraden und Parabeln oder in Form von Geraden und

Sinushalbwellen definiert werden. Hierfür sind die entsprechenden Kennzahlen 0, 1

bzw. 2 in die vorgesehene Zelle einzutragen, s. Bild 3.10.

Bild 3.10 Eingabemaske FE-STAB: Vorverformungen

Es können Vorverformungen in y- und z-Richtung sowie Vorverdrehungen um die x-

Achse eingegeben werden. Das Aufbringen der Vorverformungen erfolgt

abschnittsweise in Stablängsrichtung. Die Indices A, E und M kennzeichnen den

3 Eingabe 28

Anfang, das Ende und die Mitte des betrachteten Stababschnitts. Anfang und Ende

eines Stababschnittes müssen in einem Elementknoten liegen. Pro definierten

Stababschnitt ist nur eine Eingabe zulässig, d.h. geradlinige und gekrümmte

Vorverformungen müssen in einem Zug eingegeben werden. Ebenfalls dürfen sich

angrenzende Stababschnitte nicht überlappe. Bild 3.11 zeigt eine beispielhafte

Vorverformung w in z-Richtung wie sie im Programm zu definieren ist.

Bild 3.11 Eingabe von Vorverformungen

3.9 Start der Berechnung

Nach erfolgter Eingabe aller notwendigen Werte kann die Berechnung mit dem

Button „Berechnung starten“ gestartet werden. Sollten Unstimmigkeiten bei den

Eingabewerten vorliegen, erfolgt i.d.R. eine Fehlermeldung und die Berechnung wird

abgebrochen.

Zusätzlich ist es möglich Eingabeblätter zu speichern und einzulesen. Dies geschieht

mit dem zugehörigen Button.

Die zusätzlichen Buttons dienen zur Navigation im Eingabeblatt.

3.9 Start der Berechnung 29

4 Ausgabe

Nach erfolgter Berechnung werden die Ergebnisse in verschiedenen Tabellenblättern

ausgegeben.

Tabellenblatt Ausgabe

Im Tabellenblatt „Ausgabe“ werden die Eingabe sowie die wesentlichen Ergebnisse

der Berechnung dargestellt, so dass es möglich ist die durchgeführte Berechnung

eindeutig nachzuvollziehen. Im Aufbau ähnelt es stark dem Tabellenblatt „Eingabe“.

Es ist so formatiert, dass die Ausgabe der Ergebnisse ohne weitere Skalierung auf

zwei Seiten des Formats DIN-A4 möglich ist.

Neben den Eingabewerten werden die ermittelte Auflager- und Federkräfte

ausgegeben. Erfolgt eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung wird der ermittelte

Eigenwert cr angezeigt. Bei der Verwendung von Typ2- bzw. Typ3-Querschnitte

werden sowohl die maximale Querschnittsausnutzung sowie der Verlauf der

Querschnittsausnutzung gemäß Teilschnittgrößenverfahren über die Stablänge

ausgegeben.

Zusätzlich werden die benötigten Rechenzeiten ausgegeben.

Tabellenblatt Schnittgrößen

Im Tabellenblatt „Schnittgrößen“ erfolgt die Ausgabe der berechneten Schnittgrößen

(in den Knoten) in tabellarischer und in grafischer Form über die bezogene Stablänge

x/l. Es wird unterschieden zwischen Nachweisschnittgrößen und Gleichgewichts-

schnittgrößen, siehe Kapitel 2.4.3. Die Nachweisschnittgrößen werden zur Ermittlung

der Spannungen und zum Nachweis der Querschnittstragfähigkeit verwendet. Die

Gleichgewichtsschnittgrößen beziehen sich auf die unverformte Stabachse und

resultieren direkt aus den Gleichgewichtsbedingungen der finiten Elemente Methode.

Erfolgt die Berechnung nach Theorie I. Ordnung entsprechen die

Nachweisschnittgrößen den Gleichgewichtsschnittgrößen.

Ergibt die Berechnung eine Überschreitung des Eigenwertes (cr < 1), erfolgt keine

Ausgabe der Schnittgrößen.

Tabellenblatt Verformungen

Im Tabellenblatt „Verformungen“ werden die ermittelten Knotenverformungen aller

sieben Knotenfreiheitsgrade ausgegeben. Die Ergebnisse werden tabellarisch aus-

gegeben. Zusätzlich erfolgt die graphische Ausgabe der Verformungsfunktionen v(x),

w(x) und (x). Das Tabellenblatt enthält außerdem die Funktion der angesetzten

Vorverformungen in tabellarischer sowie in grafischer Form.

4 Ausgabe 30

Ergibt die Berechnung eine Überschreitung des Eigenwertes (cr < 1), erfolgt keine

Ausgabe der Verformungen.

Tabellenblatt Eigen

Das Tabellenblatt „Eigen“ enthält Angaben über den errechneten Wert sowie die

iterative Ermittlung des Eigenwertes cr. Es werden das Intervall, in dem der

Eigenwert mit der gewählten Genauigkeit liegt, und der Verlauf der iterativen

Eigenwertermittlung angezeigt. Zusätzlich werden die zugehörigen Eigenformen

v(x), w(x) und (x) ausgegeben. Die Darstellung der Eigenformen wird dabei jeweils

auf die Maximalordinate „1“ normiert. Die Verhältnisse der 3 Eigenformfunktionen

untereinander werden durch den Wert „Faktor“ dargestellt.

Die Ermittlung des Eigenwertes sowie der Eigenform erfolgt nur, wenn diese Option

im Eingabeblatt ausgewählt wird.

Tabellenblatt TSV

Im Tabellenblatt „TSV“ erfolgt die Ausgabe der Ausnutzung der plastischen

Querschnittstragfähigkeit in jedem Knoten des Stabes in tabellarischer und in

grafischer Form. Die Ausnutzung der Querschnittstragfähigkeit bezieht sich auf die

berechneten Nachweisschnittgrößen. Der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit

erfolgt mit dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [3].

Verfahrensbedingt erfolgt die Berechnung ausschließlich für Querschnitte vom Typ 2

und Typ 3, siehe Kapitel 3.5.

Tabellenblatt Federn

Im Tabellenblatt „Federn“ werden die aufgenommenen Kräfte der Streckenfedern

und des Schubfeldes ausgegeben.

Tabellenblatt Q-Typ1, Q-Typ2, Q-Typ3

In den Tabellenblättern „Q-Typ1“ bis „Q-Typ3“ sind umfangreiche Informationen zu

den Querschnittswerten des gewählten Querschnitts aufgeführt.

5.1 Vorbemerkung 31

5 Berechnungsbeispiele

5.1 Vorbemerkung

In den Kapiteln 1 und 2 werden der Leistungsumfang und die theoretischen

Grundlagen des Programms FE-STAB erläutert. In den Kapiteln 3 und 4 folgen eine

detaillierte Beschreibung der Dateneingabe und eine Beschreibung der wichtigsten

Aspekte der Ausgabe der Ergebnisse. Zur Veranschaulichung von FE-STAB werden

in diesem Kapitel 3 Berechnungsbeispiele gezeigt:

Biegedrillknicken eines Zweifeldträgers

Rahmenstiel eines Zweigelenkrahmens

Rahmenriegel eines Zweigelenkrahmens

Die Beispiele sollen den Umfang des Programms zeigen und die Eingabe von

baustatischen Systemen in FE-STAB verdeutlichen. Der Fokus liegt dabei auf der

Berechnung und Nachweisführung mit FE-STAB. Da die Beispiele dem Buch

„Stahlbau - Teil 1“ [6] entnommen sind, sind dort weitere Einzelheiten zu den

Beispielen zu finden.

Die Ergebnisse der Berechnungen befinden sich auf den Tabellenblättern, die in

Kapitel 4 erläutert wurden. Zur Begrenzung des Umfangs werden hier nur

ausgewählte Teile der Ausgabe wiedergegeben.

5.2 Biegedrillknicken eines Zweifeldträger

In Bild 5.1 ist ein gabelgelagerter Zweifeldträger dargestellt, der durch eine vertikale

Gleichstreckenlast qz belastet wird, die am Obergurt des Trägers angreift. Aus der

Gleichstreckenlast qz resultiert ein Biegemoment My. Der Träger ist in den Feldern

weder seitlich gestützt, noch ist die Verdrehung behindert. Der Träger ist somit

gegen den Stabilitätsfall Biegedrillknicken nachzuweisen.

Bild 5.1 Zweifeldträger IPE 400


Nähere Einzelheiten zu diesem Beispiel können Kapitel 2.10.3 in [6] entnommen

werden.

Gemäß DIN EN 1993-1-1 [1] kann der Nachweis auf zwei Arten geführt werden. Der

Nachweis kann mit dem Abminderungsfaktor für das Biegedrillknicken LT gemäß

Kapitel 6.3.2 [1] erfolgen. Zur Ermittlung von LT ist es notwendig das ideale

Biegedrillknickmoment Mcr,y zu berechnen. Da in diesem Beispiel eine alleinige

Biegebeanspruchung My vorliegt, kann Mcr,y mit dem in FE-STAB ermittelten 1.

Eigenwert des Systems cr berechnet werden. Es ergibt sich zu:

cr,y cr yM = α max M = 1,333 217,8 = 290,3 kNm

Die weitere Nachweisführung mit dem modifizierten Abminderungsfaktor LT,mod

führt zu einem Bemessungswert der Biegedrillknickbeanspruchbarkeit von

My,b,Rd ≈ 180 kNm. Somit liegt eine Auslastung des Bauteils von ca. 120 % vor. Der

Nachweis ist nicht erfüllt.

Alternativ kann der Biegedrillknicknachweis mit einer Tragwerksberechnung nach

Theorie II. Ordnung unter Berücksichtigung von geometrischen Ersatzimperfektionen

geführt werden. Die zum ermittelten 1. Eigenwert cr = 1,333 zugehörige Eigenform

ist bezüglich v(x) und (x) antimetrisch in beiden Feldern des Zweifeldträgers. Die

ermittelte Eigenform zeigt, dass zum bemessungsrelevanten 1. Eigenwert des

Systems der Stabilitätsfall Biegedrillknicken korrespondiert (v(x) ≠ 0 und (x) ≠ 0).

Für die Berechnung mit dem Ersatzimperfektionsverfahren wird somit eine

antimetrische Vorkrümmung v0(x) in Form einer Parabel angesetzt. Gemäß [1] ergibt

sich für das Verhältnis h/b = 400/180 = 2,22 > 2 und plastische Querschnitts-

ausnutzung v0 = L/150 = 600/150 = 4,0 cm.

Der so geführte Nachweis zeigt eine Ausnutzung des Bauteils von 99,9 % in Höhe

des mittleren Auflagers. Somit ist der Nachweis gegen Stabilitätsversagen erfüllt.

Bild 5.2 zeigt die wesentlichen Ergebnisse der Tragwerksberechnung des Systems

mit FE-STAB. Bei den dargestellten Schnittgrößen handelt es sich um die Nachweis-

schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung.


Bild 5.2 Nachweis des Zweifeldträgers mit dem Ersatzimperfektionsverfahren







5.3 Rahmenstiel eines Zweigelenkrahmens

Kapitel 11.5 [6] enthält eine ausführliche Tragwerksberechnung der wesentlichen

Bauteile einer einschiffigen Lagerhalle. Die Rahmen der Halle sind als Zwei-

gelenkrahmen mit Vouten ausgeführt, was eine im Stahlbau übliche Konstruktions-

weise darstellt. An dieser Stelle wird der Nachweis der Rahmenstiele gegen

Stabilitätsversagen mit dem Ersatzimperfektionsverfahren in FE-STAB gezeigt.

Vorausgegangen ist bereits der Nachweis der Tragfähigkeit des Zweigelenkrahmens

unter Berücksichtigung des Biegeknickens in der Rahmenebene. Somit muss noch

das Biegeknicken um die schwache Achse sowie das Biegedrillknicken des

Rahmenstiels ausgeschlossen werden.

Bild 5.3 zeigt den aus dem Gesamtsystem herausgeschnittenen Rahmenstiel mit den

bemessungsrelevanten Einwirkungen. Die Einwirkungen ergeben sich aus der

Schnittgrößenermittlung des Rahmens nach Theorie II. Ordnung unter

Berücksichtigung der maßgebenden Lastfallkombination. Ebenfalls dargestellt sind

die anzusetzenden Funktion der Vorverformung v0(x), die ermittelten Nachweis-

schnittgrößen sowie der Verlauf der Querschnittsausnutzung Ed/Rd.

Bild 5.3 Stiel des Zweigelenkrahmens und Nachweis mit dem Ersatzimperfektionsverfahren

Da der Rahmenstiel planmäßig sowohl durch eine Drucknormalkraft N als auch

durch ein Biegemoment My beansprucht wird, ist zunächst zu untersuchen welcher

Stabilitätsfall maßgebend für die Nachweisführung ist. Die zum 1. Eigenwert

cr = 3,44 korrespondierende Eigenform zeigt, dass Biegedrillknicken maßgebend

wird, da v(x) ≠ 0 und (x) ≠ 0. Für das Stützenprofil HEA 320 mit dem Verhältnis

h/b = 310/300 < 2 wird gemäß Tabelle NA.2 [1] entsprechend der Eigenform eine


einwellige Vorkrümmung v0 = L/200 = 720/200 = 3,6 cm angesetzt, so dass der

Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit folgen kann. Die Berechnung

nach Theorie II. Ordnung unter Berücksichtigung der Vorkrümmung v0 führt neben

der planmäßigen Beanspruchung ans Normalkraft N und Biegung My zu weiteren

Schnittgrößen aus Biegung um die schwache Achse Mz und Torsion Mxp, Mxs und

MDie für die Tragfähigkeit maßgebenden Schnittgrößen sind in Bild 5.3

dargestellt. Der Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit führt zu einer

maximalen Auslastung des Stiels von 95,5 % am Stützenkopf. Folglich kann der

Stabilitätsnachweis mit dem Ersatzimperfektionsverfahren erfolgreich geführt

werden.







5.4 Rahmenriegel eines Zweigelenkrahmens

Der dargestellte Rahmenriegel ist Teil des Zweigelenkrahmens der in Kapitel 5.3

erwähnten Beispielhalle aus [6]. Bild 5.4 zeigt das baustatische System des

Rahmenriegels mit den ermittelten Schnittgrößen der maßgebenden Lastfall-

kombination.

Bild 5.4 Rahmenriegel des Zweigelenkrahmens

Da in FE-STAB ausschließlich gerade Stäbe berechnet werden können, muss der

geneigte Riegel des Satteldaches in ein Ersatzsystem mit geradem Stab überführt

werden. Mit den Ergebnissen der Tragwerksberechnung kann die Ersatzlast Fz

ermittelt werden. Durch Ansetzen der Ersatzlast Fz im First wird die Dachneigung

berücksichtigt.

z FirstF = H Δh 4 L (5.1)

Mit den aus der Tragwerksberechnung bekannten Größen für die

Rahmeneckmomente, dem Firstmoment, der Horizontallast und der Ersatzlast Fz.

wird die Gleichstreckenlast qz ermittelt, so dass sich der Biegemomentenverlauf der

maßgebenden Lastfallkombination im Riegel einstellt.

Das ermittelte Ersatzsystem kann mit FE-STAB berechnet werden und der

Stabilitätsnachweis kann erfolgen. Der lange, schlanke Rahmenriegel mit den

dargestellten Einwirkungen ist allerdings nicht ausreichend tragfähig. Die

Berechnung des Eigenwertes liefert cr = 0,268 < 1. Es sind daher weitere


Stabilisierungsmaßnahmen vorzusehen und in der Berechnung zu berücksichtigen.

Aus dem räumlichen Hallentragwerk können verschiedene Konstruktionselemente im

Stabilitätsnachweis angesetzt werden:

Aus den Dachverbänden werden Einzelfedersteifigkeiten Cy in den

Anschlusspunkten des Dachverbandes an das Riegelprofil angesetzt.

Die Dacheindeckung, bestehend aus einem Stahltrapezprofil, stellt rechnerisch

eine konstante Drehbettung c über die gesamte Stablänge dar.

Der biegesteife Anschluss des Riegelprofils an die Rahmenstiele mit

Stirnplatte wird als Wölbfeder C berücksichtigt.

Einzelheiten zur Berechnung der Federsteifigkeiten sind dem Kapitel 11.5 [6] zu

entnehmen.

Die in Bild 5.5 dargestellten Stabilisierungsmaßnahmen können so in die Berechnung

in FE-STAB übernommen werden.

Bild 5.5 Drehbettung c, Wegfedern Cy und Wölbfedern C zur Stabilisierung des Rahmenriegels

Die Stabilitätsuntersuchung des Rahmenriegels mit Berücksichtigung der

Federsteifigkeiten und der Drehbettung liefert den Eigenwert des Systems cr = 1,588

mit der zugehörigen Eigenform v(x) ≠ 0 und (x) ≠ 0. Es liegt der Stabilitätsfall

Biegedrillknicken vor. Die in Bild 5.6 dargestellte Eigenform v(x) hat am rechten

Stabende eine stark ausgeprägte Amplitude. Die dreiwellige Eigenform v(x) hat drei

Nulldurchgänge.

Für den Nachweis mit dem Ersatzimperfektionsverfahren wird affin zur Eigenform

v(x) eine dreiwellige Vorkrümmung v0(x) gewählt, so dass die Bereichslängen und

Vorzeichen der Eigenform entsprechen. Für den Stabilitätsfall Biegedrillknicken und

das Verhältnis h/b = 400/180 > 2 des Riegelprofils wird der Wert

v0 = Li/150 = 650/150 = 4,33 cm für die dritte Vorkrümmung angesetzt. Die anderen


Vorkrümmungen werden im Verhältnis der maximalen Ordinaten der Eigenform um-

gerechnet. Es handelt sich somit bei dem angesetzten Verlauf der Vorkrümmung

weitgehend um eine skalierte Eigenform.

Bild 5.6 Eigenform des Systems und gewählte Vorkrümmung v0(x)

Der abschließende Nachweis der Querschnittstragfähigkeit mit den ermittelten

Nachweisschnittgrößen führt zur Ausnutzung Ed/Rd in Bild 5.7. Am rechten Riegel-

ende sind Überschreitungen von bis zu 24,3 % festzustellen. Der Zweigelenkrahmen

des Hallentragwerks wird mit gevouteten Rahmenecken ausgeführt wobei die Vouten

jeweils 2,0 m in den Riegel hereinragen. Man sieht, dass zwischen den Vouten die

plastische Querschnittstragfähigkeit maximal zu 71,6 % ausgelastet ist. Bei der

Berechnung mit FE-STAB wird der Riegel als durchgehendes Walzprofil IPE 400

modelliert und die Vouten bleiben unberücksichtigt. Die Tragfähigkeit der Vouten

bleibt separat nachzuweisen. Auf diesen Nachweis wird an dieser Stelle verzichtet.

Bild 5.7 Querschnittstragfähigkeit Ed/Rd gemäß Teilschnittgrößenverfahren






Literatur

[1] DIN EN 1993-1-1 (12/10), Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von

Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den

Hochbau; nationaler Anhang NA (12/10)

[2] Kindmann, R.: Stahlbau - Teil 2: Stabilität und Theorie II. Ordnung, 4.

Auflage. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2008

[3] Kindmann, R., Frickel, J.: Elastische und plastische Querschnittstragfähigkeit.

Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2002

[4] Kindmann, R., Kraus, M.: Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Verlag

Ernst & Sohn, Berlin 2007

[5] Kindmann, R., Kraus, M., Niebuhr, H. J.: STAHLBAU KOMPAKT

Bemessungshilfen, Profiltabellen, 3. Auflage. Verlag Stahleisen, Düsseldorf

2014

[6] Kindmann, R., Krüger, U.: Stahlbau - Teil 1: Grundlagen, 5. Auflage. Verlag

Ernst & Sohn, Berlin 2013

[7] Kindmann, R., Laumann, J.: Zur Lösung von Gleichungssystemen für

baustatische Systeme. RUBSTAHL-Bericht 1-2004. Ruhr-Universität

Bochum. Lehrstuhl für Stahl- und Verbundbau , 2004

[8] Kindmann, R., Laumann, J.: Ermittlung von Eigenwerten und Eigenformen für

Stäbe und Stabwerke. Stahlbau 73 (2004), Heft 1, S. 26-36

[9] Kindmann, R., Laumann, J., Kraus, M.: Computerorientierte Berechnungen

und Tragsicherheitsnachweise im Stahlbau. Veröffentlichung des Lehrstuhls

für Stahl- und Verbundbau, Ruhr-Universität Bochum, Bochum 2005

[10] Laumann, J.: Zur Berechnung der Eigenwerte und Eigenformen für

Stabilitätsprobleme des Stahlbaus. Fortschritt-Berichte VDI, Reihe 4, Nr. 193.

VDI-Verlag, Düsseldorf 2003

[11] Laumann, J.: Ermittlung von Eigenwerten mit dem GAUCHO-Verfahren.

RUBSTAHL-Bericht 3-2004. Ruhr-Universität Bochum. Lehrstuhl für Stahl-

und Verbundbau , 2004

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