FE-Verfahren zur Analyse der thermoakustischen Stabilität ... · Besonders möchte ich mich an dieser Stelle bei Dr. Andreas Huber, Stephan Föller, Oberingenieur Dr. Christoph Hirsch,

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHENInstitut für Energietechnik

Lehrstuhl für Thermodynamik

FE-Verfahren zur Analyse der thermoakustischenStabilität nichtisentroper Strömungen

Elke Petra Wanke

Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Maschinenwesen derTechnischen Universität München zur Erlangung des akademischen Gradeseines

DOKTOR – INGENIEURS

genehmigten Dissertation.

Vorsitzende:Univ.-Prof. Dr. rer. nat. Sonja Berensmeier

Prüfer der Dissertation:1. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Thomas Sattelmayer2. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Birgit Vogel-Heuser

Die Dissertation wurde am 09.11.2009 bei der Technischen Universität München eingereicht

und durch die Fakultät für Maschinenwesen am 15.02.2010 angenommen.

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand im Rahmen der bayerisch / baden-württembergischen Forschungsinitiative KW21-Kraftwerke des 21. Jahrhun-derts (Phase I (2004-2008), Teilprojekt: GV5 - Designsystem Brennkammer-schwingungen) am Lehrstuhl für Thermodynamik der Technischen Univer-sität München. Sie wurde von der MTU Aero Engines AG, der BayerischenForschungsstiftung und den Bayerischen Staatsministerien für Wissenschaft,Forschung und Kunst sowie Wirtschaft, Infrastruktur, Verkehr und Technolo-gie gefördert.

Mein besonderer Dank gilt meinem Doktorvater, Herrn Prof. Dr.-Ing. ThomasSattelmayer, für die Ermöglichung und die Betreuung meiner Arbeit sowie fürdie intensiven und richtungsweisenden Gespräche, die mir stets eine wertvol-le Hilfe waren. Danken möchte ich auch für sein reges Interesse am Fortgangmeiner Arbeit sowie für die Freiheit bei der wissenschaftlichen Arbeit und dasmir entgegengebrachte Vertrauen.

Frau Prof. Dr.-Ing. Birgit Vogel-Heuser danke ich für die freundliche Übernah-me des Koreferates und Frau Prof. Dr. rer. nat. Sonja Berensmeier für den Vor-sitz bei der mündlichen Prüfung.

Ein herzlicher Dank geht auch an meine früheren Kolleginnen und Kollegenam Lehrstuhl für Thermodynamik, zum einen für die fachlichen Anregun-gen und Diskussionen, zum anderen aber auch für die freundschaftliche At-mosphäre am Lehrstuhl und die kameradschaftliche Unterstützung währendund nach meiner Zeit am Lehrstuhl. Darüber hinaus danke ich den Studen-ten und wissenschaftlichen Hilfskräften für ihren Einsatz und die tatkräftigeUnterstützung.

Besonders möchte ich mich an dieser Stelle bei Dr. Andreas Huber, StephanFöller, Oberingenieur Dr. Christoph Hirsch, Roland Kaess, Thomas Koma-rek, Marco Konle, Klaus Mösl, Prof. Wolfgang Polifke, Dr. Jutta Pieringer, Prof.Sujith und ganz besonders bei meinem langjährigen Bürokollegen FabianWeyermann für den Ansporn und die diversen fachlichen Anregungen dan-

iii

ken, die mir stets sehr hilfreich waren. Vielen herzlichen Dank in diesem Zu-sammenhang auch an Reddy Alemela, Valter Bellucci, Dan Fanaca, StephanFöller, Roland Kaess, Thomas Komarek und Luis Tay dafür, dass sie mir ihreForschungsergebnisse als Validierungsdaten zur Verfügung gestellt haben.

Meine Freunde und früheren wie auch aktuellen Kollegen - Carola Dunker,Martin Lauer, Roland Kaess, Karin Wanke und Fabian Weyermann haben inihrer Freizeit diese Arbeit Korrektur gelesen. Vielen herzlichen Dank dafür!

Auch bei meinem Industriepartner, der MTU Aero Engines AG, sowie bei denbeteiligen Bayerischen Staatsministerien und der Bayerischen Forschungs-stiftung möchte ich mich bedanken. Ein besonderer Dank gilt darüber hin-aus meinem neuen Arbeitgeber, der Müller-BBM GmbH, den dortigen Vorge-setzten und Kollegen, für die Unterstützung und das mir entgegengebrachteVertrauen in der Zeit der Fertigstellung dieser Arbeit.

Ganz herzlich danke ich meinen langjährigen Freunden Annemarie und HorstDinkelbach, meiner Schwester Karin Wanke und natürlich ganz besondersmeinen Eltern für die langjährige Unterstützung und den Beistand währendder vielen Jahre meiner Ausbildung und insbesondere der Fertigstellung derDissertation. Ihnen allen widme ich diese Arbeit.

München, im November 2009 Elke Wanke

iv

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 11.1 Verbrennungsinstabilitäten und Thermoakustik . . . . . . . . . . 11.2 Modellierungsansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Berechnungsverfahren nach Pankiewitz . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Zielsetzung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Akustische Grundlagen 182.1 Linearisierte Eulergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Harmonische Wellen und Helmholtzgleichung . . . . . . . . . . 222.4 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Akustische Netzwerke und Transfermatrizen . . . . . . . . . . . . 272.6 Akustische Energie und akustische Intensität . . . . . . . . . . . 302.7 Fluid-Schall-Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7.1 Aeroakustische Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7.2 Akustische Mode, Vorticity-Mode und Entropie-Mode . . 342.7.3 Akustische Verluste am Freistrahl . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Berechnungsverfahren 403.1 Entwicklungsumgebung und Finite Elemente Methode . . . . . 403.2 Numerische Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 Modellierungsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.2 Zeitliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.3 Örtliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Validierung der Wellengleichung und der Helmholtzgleichung 48

v

INHALTSVERZEICHNIS

4.1 Dichtegradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1.1 Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1.2 Dichtegradienten ohne Wärmefreisetzung . . . . . . . . . 51

4.1.2.1 Homogenes Temperaturfeld . . . . . . . . . . . . 524.1.2.2 Axiale Dichtegradienten . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.2.3 Radiale Dichtegradienten . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.3 Einfluss der Modellierung axialer Dichtegradienten aufthermoakustische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 Mittlere Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 Möglichkeiten der Implementierung akustischer Verluste . . . . 66

4.3.1 Direkte Implementierung eines Verlustterms . . . . . . . 664.3.2 Komplexe Wellenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Akustische Verluste in der Helmholtz- und der Wellengleichung 715.1 Eindimensionale Verlustbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.1.1 Herleitung des eindimensionalen Verlustterms . . . . . . 725.1.2 Validierung des eindimensionalen Verlustterms . . . . . . 75

5.2 Dreidimensionale Verlustbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2.1 Herleitung des dreidimensionalen Verlustterms . . . . . . 815.2.2 Validierung anhand einer abrupten Querschnittserweite-

rung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2.2.1 CFD-Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2.2.2 Validierungsfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2.2.3 Validierung des Verlustmodells . . . . . . . . . . 94

5.2.3 Validierung anhand eines Einzelbrennerprüfstands . . . . 1005.2.3.1 Konfiguration des Einzelbrennerprüfstands . . . 1005.2.3.2 CFD-Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2.3.3 Validierung des Verlustmodells . . . . . . . . . . 110


6 Randbedingungen 1166.1 Akustische Verluste an den Rändern eines Berechnungsgebiets . 1166.2 Liner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.3 Frequenzabhängige Randbedingungen im Zeitbereich . . . . . . 120

vi

INHALTSVERZEICHNIS

6.4 Implementierung der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 1236.5 Validierung der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.5.1 Beschreibung der Testfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.5.2 Eindimensionale Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.5.3 Dreidimensionale Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . 129


7 Stabilitätsbetrachtungen anhand eines Einzelbrennerprüfstands 1327.1 Geometrie und Prüfstandskonfiguration . . . . . . . . . . . . . . 1327.2 Geometrische Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.3 CFD-Interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.4 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.5 Wärmefreisetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.6 Entdimensionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.7 Modellaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.8 Ergebnisse der transienten Stabilitätsbetrachtung . . . . . . . . . 1447.9 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8 Resümee und Ausblick 148

Literaturverzeichnis 150

A Anhang 164

vii

Nomenklatur

Lateinische Buchstaben

a Vorfaktor der approximierten Randbedingung [-]A Fläche [m2]b Dämpfungskonstante der approximierten Randbedingung [-]B Totalenthalpie pro Masse [m2/s2]c Schallgeschwindigkeit [m/s]cE entdimensionierte Schallgeschwindigkeit [-]d Dämpfungskonstante [s/m2]D Durchmesser [m]DE entdimensionierter Durchmesser [-]e akustische Energie [J/m3]E Energiestrom [W/m3]f Riemann Invariante [m/s]f Frequenz [Hz]fE entdimensionierte Frequenz [-]fi Quellterm der Lighthill-Analogie [m4/s2]g Riemann Invariante [m/s]g approximierte Lösung des eigentlichen Problems (FEM)G Unbekannte des Gleichungssystems (FEM)h Dicke der perforierten Platte [m]He Helmholtzzahl [-]i imaginäre Einheit [-]I akustische Intensität [W/m2]k Wellenzahl [1/m]k Wellenvektor [1/m]

viii

Nomenklatur

K Proportionalitätskonstante der akust. Randbedingung [m2 s/kg]l Länge [m]lE entdimensionierte Länge [-]L akustischer Verlust im Inneren eines Gebiets [Pa W/m3]Lp Schalldruckpegel [dB]LR akustischer Verlust am Rand [Pa W/m2]m Massenstrom [kg/s]M Machzahl [-]n Interaktionsindex [-]n Normalenvektor [-]Nv numerischer Verlust pro Wellenlänge [-]p Druck [Pa]pE entdimensionierter Druck [-]P reelle Druckamplitude [Pa]P Leistung [W]q Wärmestrom pro Volumeneinheit [W/m3]Q Quellterm der Lighthill-Analogie [kg/(m3 s2)]r Reflexionskoeffizient / -faktor [-]R Radius [m]t Zeit [s]tE entdimensionierte Zeit [s]t Transmissionskoeffizient [-]T Temperatur [◦C]T Schwingungsperiode [s]Ti j Lighthill-Tensor [kg/(m s2)]u Geschwindigkeitsvektor [m/s]u Geschwindigkeitskomponente [m/s]uE entdimensionierte Geschwindigkeitskomponente [-]v Geschwindigkeitskomponente [m/s]V Volumen [m3]Vhyd hydrodynamischer Verlustanteil [kg/ (m3 s)]w Geschwindigkeitskomponente [m/s]x,x Ortskoordinate, Ortsvektor [m]xE entdimensionierte Ortskoordinate [-]

ix

Nomenklatur

y Ortskoordinate [m]z Ortskoordinate [m]Z Impedanz [kg/(s m2)]Z0 charakteristische Impedanz [kg/(s m2)]

Griechische Buchstaben

α Flächenverhältnis [-]α∗ Solverparameter aus COMSOL MULTIPHYSICSβ Dämpfungskonstante [1/m]Γ Quellterm der akustischen Energiegleichung [W/m3]δi j Kronecker Delta [-]ζ Druckverlustbeiwert [-]κ Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten [-]λ Wellenlänge [m]λBL Luftzahl [-]µ Sättigungsparameter im Flammenmodell [-]ν Anpassungsparameter der approximierten Randbedingung [1/m]π Kreiszahl [-]ρ Dichte [kg/m3]ρE entdimensionierte Dichte [-]σ Wachstumsrate [-]σE entdimensionierte Wachstumsrate [-]τ Zeitverzug [s]τE entdimensionierter Zeitverzug [-]τ Schubspannungstensor [W s/m3]Υ relativer akustischer Intensitätsverlust [-]φ akustisches Potential [m2/s]Φ Ansatzfunktion (FEM)ϕ Phasenwinkel [rad]ω Kreisfrequenz [1/s]ω0 Eckfrequenz eines Tiefpassfilters [1/s]ω0,E entdimensionierte Eckfrequenz eines Tiefpassfilters [-]

x

Nomenklatur

ω Wirbelstärke [1/s]

Indizes

a akustische Modean Anregungb mittig (bulk)B BrennerC F D CFDd stromab (downstream)du von stromab nach stromaufe Entropie-ModeE entdimensionierte f f effektivF E M Finite Elemente Methodehyd hydrodynamischi n hineinl −ζ l −ζ-Modellmax maximalmi n minimaln Normalenrichtungout herausp Druckr Restr ed reduzierts Entropiet totalu stromauf (upstream)ud von stromauf nach stromabv Vorticity-ModeV Verlustw Wandx x-Richtung

xi

Nomenklatur

y y-Richtungz z-Richtung0 charakteristische Größe, Ausgangswert1 Referenzebene /-punkt 11.3 für λ= 1.32 Referenzebene /-punkt 2∞ Umgebungx mittlerer Anteil einer Größe xx ′ fluktuierender Anteil einer Größe xx komplexe Amplitude einer Größe xx vektorielle Größe x

Abkürzungen

BDF Backward Differential FormulaCFD Computational Fluid DynamicsDNS Direct Numerical SimulationFEM Finite Elemente Methodefft Fast-Fourier-Transformationℑ Imaginärteilk Ordnung der longitudinalen Model Ordnung der transversalen ModeLES Large Eddy SimulationLES-SI Large Eddy Simulation mit Systemidentifikation (WHI)m Ordnung der radialen ModemV mit VerlustenNW NetzwerkoV ohne Verlusteℜ RealteilRANS Reynolds Averaged Navier StokesT TransfermatrixT TransfermatrixelementS Streumatrix

xii

Nomenklatur

S StreumatrixelementUDF User Defined FunctionURANS Unsteady Reynolds Averaged Navier StokesWHI Wiener-Hopf-Inversion

Formeln

DDt

DDt = ∂

∂t +u ·∇

DDt

DDt = ∂

∂t + u ·∇

Hinweis

Im Gegensatz zur üblichen deutschen Konvention wird als Dezimaltrennerhier ein Punkt anstelle eines Kommas verwendet.

xiii

1 Einleitung

In den vergangenen Jahrzehnten erfolgten verschiedene innovative Weiter-entwicklungen im Bereich der Energie- und Antriebstechnik, nicht zuletztauch vor dem Hintergrund deutlich verschärfter politischer, wirtschaftlicherund ökologischer Forderungen. Die bestmögliche Erfüllung der unterschied-lichen und teils kontroversen Anforderungen an moderne Verbrennungssys-teme stellt jedoch bis heute eine Herausforderung dar. Dies bezieht sich ins-besondere auf die Reduzierung von Emissionen bei gleichzeitiger Erhöhungder Zuverlässigkeit und der Effizienz neuer, aber auch bestehender Anlagen,in Verbindung mit der Forderung nach einer generellen Minderung von Ent-wicklungsrisiken.

1.1 Verbrennungsinstabilitäten und Thermoakustik

Eine spezielle Rolle kommt dabei den Gasturbinen zu. Als Triebwerke vonFlugzeugen finden sie breite Anwendung in der Verkehrstechnologie. Im bo-dengebundenen Betrieb dienen sie, als stationäre Gasturbinen, in der Regeldem Abfangen von Lastspitzen der Stromversorgung. In Kombination mit ei-nem Dampfturbinenprozess (GuD-Anlage) können sie jedoch auch zur Siche-rung der Grund- und Mittellast beitragen. Dies resultiert in hohen Wirkungs-graden bei gleichzeitig deutlich geringerem Emissionsausstoß im Vergleichzur Verstromung mit Kohle, Müll oder Erdöl mittels Dampferzeugern.

Als nachteilig galt lange Zeit jedoch der hohe Stickoxidausstoß von Gasturbi-nen. NOx entsteht dabei im Wesentlichen durch die hohen Verbrennungstem-peraturen und die langen Verweilzeiten der Verbrennungsprodukte im Brenn-raum, wie sie im Rahmen der Diffusionsverbrennung in älteren Brennkam-mern üblich waren [1]. Um dies zu umgehen, wurden Magerverbrennungs-

1

Einleitung

technologien entwickelt. Diese ermöglichen eine Reduzierung der Verbren-nungstemperaturen und folglich der Stickoxidemission durch einen hohenLuftüberschuss während der Verbrennung [1, 2]. Um die Leistung der Anla-gen bei verkleinertem Bauraum zu steigern, wurden gleichzeitig Brenner mitstark drall- bzw. turbulenzbehafteten Flammen (weiter-) entwickelt. Der Ein-satz von Magerverbrennungssystemen führte zu einem Durchbruch bezüg-lich der Umweltverträglichkeit solcher Systeme [2]. Gleichzeitig erwiesen siesich aber als anfällig hinsichtlich der Ausbildung thermoakustischer Schwin-gungen bzw. Verbrennungsinstabilitäten [2].

Unter thermoakustischen Prozessen versteht man allgemein Wechselwirkun-gen zwischen der Wärmefreisetzung und der Akustik eines Systems, wobeiauch strömungsmechanische Vorgänge, wie Turbulenz und Wirbelablösung,eine entscheidende Rolle spielen können. Durch diese Interaktionen könnensolch hohe Schwankungen der akustischen Feldgrößen erzeugt werden, dassder Betrieb einer technischen Anlage stark beeinträchtigt bis unmöglich ge-macht wird. Auswirkungen thermoakustischer Instabilitäten sind zum Bei-spiel mechanische Schwingungen bis starke Vibrationen, eine erhöhte ther-mische Beanspruchung der Brennkammerkomponenten, erhöhte Emissions-werte oder auch ein Verlöschen der Flamme bzw. Flammenrückschlag. Dieskann wiederum zu einer verringerten Leistungsfähigkeit oder auch Lebens-dauer der Anlage führen, zum Beispiel durch vorzeitiges Ermüden bzw. Versa-gen von Bauteilen [3, 4].

Die einzelnen physikalischen Wirkmechanismen thermoakustischer Prozesseund ihr Zusammenspiel sind in der Regel sehr komplex, insbesondere im Rah-men hochverdrallter Strömungen mit Wärmefreisetzung, wie sie in der tech-nischen Praxis zumeist vorkommen [3]. Die Gründe für das Auftreten von Ver-brennungsschwingungen sind zwar im Grundsatz verstanden, jedoch gelingtes bis heute kaum, die einzelnen Mechanismen quantitativ zu erfassen undsomit exakte oder auch nur näherungsweise genaue Werte für Stabilitätsgren-zen zu finden [3].

Wesentliche Effekte, die zur Ausbildung von thermoakustischen Instabilitätenbeitragen können, sind [2]:

2


• Der turbulente Verbrennungslärm, als eine unmittelbare Eigenschaftder turbulenten Verbrennung. Er entsteht dadurch, dass das turbulen-te, reagierende Strömungsfeld selbst ein breitbandiges Lärmspektrumaufgrund lokaler Fluktuationen der Wärmefreisetzung erzeugt. DiesesLärmspektrum wird direkt vom Turbulenzspektrum in der Wärmefrei-setzungszone beeinflusst. Je nach Flammenart kann dabei die eigentli-che Lärmquelle aus der lokalen zeitlichen Änderung der Flammenober-fläche resultieren oder auch aus lokalen zeitlichen Schwankungen derBrennstoff-Luft-Mischung (Luftzahl).

• Daneben können kohärente Strukturen thermoakustische Instabilitätenbedingen. Dabei handelt es sich im Wesentlichen um abgelöste Wirbelin turbulenten Scherschichten oder Wirbelströmungen. Diese könnenzu einer Modulation des konvektiven Transports des Brennstoff-Luft-Gemischs in die Flamme führen und somit Wärmefreisetzungsschwan-kungen generieren.

• Ihnen gegenüber stehen Mechanismen, die durch Rückkopplungseffek-te bestimmt werden und somit selbstverstärkend wirken können. Trei-bende Kräfte können auch hier kohärente Strukturen sein, die nun je-doch durch eine pulsierende reaktierende Strömung erzeugt wurden,oder auch die klassischen Mechanismen selbsterregter Verbrennungs-schwingungen. Rückkopplungsmechanismen zeichnen sich im Gegen-satz zum breitbandigen Verbrennungslärm durch eine tonale Systemant-wort aus [2, 3]. Das System schwingt dann in der Regel in der Nähe ei-ner oder mehrerer seiner natürlichen akustischen Moden, der Eigenmo-den [3].

Oben genannte Rückkopplungmechanismen sind dadurch gekennzeichnet,dass Schwankungen in der Strömung und/oder den thermodynamischen Zu-standsgrößen zu Wärmefreisetzungsschwankungen führen [4]. Die Wärme-freisetzungsschwankungen erzeugen akustische Störungen, welche wieder-um die Strömung und die thermodynamischen Zustandsgrößen beeinflussenkönnen [4]. Dadurch wird der Rückkopplungsmechanismus geschlossen (vgl.Abbildung 1.1).

3

Einleitung

Wärmefrei-setzungs-

schwankungen

AkustischeFluktuationen

Störungen derStrömung und der Brennstoff / Luft -

Mischung

Abbildung 1.1: Rückkopplungsmechanismus zur Ausbildung von Verbren-nungsinstabilitäten [4]

Ist das System, wie in realen technischen Anlagen, nicht perfekt vorgemischt,so können Schwankungen der Luftzahl einen entscheidenden Beitrag zurAusbildung und Anfachung thermoakustischer Instabilitäten leisten [1, 2].Luftzahlschwankungen können durch verschiedene Mechanismen generiertwerden, wie zum Beispiel einem fluktuierenden Brennstoff- oder Luftmas-senstrom oder auch instationären Mischungs-, Verdampfungs- und Zerstäu-bungsvorgängen [4]. Auch kohärente Strukturen können aufgrund ihrer Be-einflussung des konvektiven Transports des Brennstoffgemisches zu Luftzahl-schwankungen führen [2]1. In Abbildung 1.2 sind zusammenfassend verschie-dene Effekte dargestellt, die zur Ausbildung thermoakustischer Schwingun-gen in realen technischen Verbrennungssystemen beitragen können.

Eine erste qualitative Formulierung der physikalischen Zusammenhänge zurAusbildung thermoakustischer Instabilitäten stammt aus dem 19. Jahrhun-dert von Lord Rayleigh2. Das sogenannte Rayleighkriterium (bzw. das Ray-leighintegral) stellt einen lokalen Zusammenhang zwischen der Druckfluk-tuation p ′ und der Wärmefreisetzungsschwankung q ′ her.

1Schwankungen in den Zufuhrleitungen des Brennstoffes sind generell als wenig entscheidend einzustufen,da solche Leitungen in der Regel akustisch steif ausgeführt sind, im Gegensatz zu den Versorgungssystemen derLuftzufuhr [1].

2Die Erläuterungen hierzu folgen den Ausführungen von Zinn und Lieuwen [4].

4


Schwankungen des Luftmassenstroms

Schwankungen desBrennstoffmassenstroms

Instationäre Mischung,Verdampfung,Zerstäubung

Luftzahl-schwankungen

Schwankungen derFlammenoberfläche

und der Reaktionsrate

Wechselwirkungenzwischen Turbulenz

und Flamme

Abbildung 1.2: Strömungs- und Flammenprozesse, die Verbrennungsinstabi-litäten in Gasturbinen bedingen können [4]

∫t

p ′(t )q ′(t )d t > 0. (1.1)

Es gibt an, ob eine akustische Störung im betrachteten Zeitintervall aufgrundthermoakustischer Rückkopplung lokal angefacht oder gedämpft wird. Ent-scheidend ist dabei bei harmonischen Schwingungen insbesondere die Pha-senlage zwischen den beiden Schwankungsgrößen p ′ und q ′. Sie bestimmtdas Vorzeichen des Integrals. Wenn der Betrag der Phasendifferenz größer 90◦

ist, ist es negativ. Es bildet sich keine akustische Instabilität aufgrund ther-moakustischer Rückkopplung aus. Wenn der Betrag der Phasendifferenz je-doch kleiner 90◦ ist, ist das Vorzeichen positiv. In diesem Fall wird Energievom Wärmefreisetzungsprozess auf die akustischen Schwankungen übertra-gen. Dies kann zur Ausbildung thermoakustischer Instabilitäten führen3. Vor-

3Allgemein gilt für nichtharmonische Schwingungen, dass sich eine thermoakustische Instabilität prinzipiellausbilden kann, wenn das Integral aus Gleichung 1.1 bei einer Integration über eine vollständige Schwingungs-periode positiv ist. Es bildet sich hingegen keine thermoakustische Instabilität aufgrund solcher Rückkopplungs-effekte aus, wenn das entsprechende Integral negativ ist [5].

5

Einleitung

aussetzung dafür ist, dass die den Schwankungsgrößen zugeführte Energiedie gleichzeitig im System existierende Dämpfung betragsmäßig übersteigt.Eine solche Dämpfung kann zum Beispiel aus Abstrahlung und Konvektionakustischer Energie an den Rändern, aus viskoser Dissipation oder auch ausWärmeübertragung resultieren. Das (oben genannte, klassische) Rayleighkri-terium ist folglich eine notwendige, aber nicht hinreichende Voraussetzungfür die Ausbildung thermoakustischer Instabilitäten. Im Fall einer akustischenInstabilität steigen die Amplituden der Schwingungsmode so lange an, bisnichtlineare Effekte zu einer Sättigung und damit zur Ausbildung eines Grenz-zyklus führen. Anfachende und dämpfende Effekte halten sich dann die Waa-ge. Eine entsprechend erweiterte Formulierung des Rayleighkriteriums, auf-bauend auf einer Formulierung von Zinn und Lieuwen [4], lautet zum Bei-spiel:

∫V

∫T

p ′(x, t )q ′(x, t )d tdV ≥∫

V

∫T

∑i

Li (x, t )d tdV +∫

A

∫T

∑j

LR, j (x, t )d td A.

(1.2)

V entspricht dem Brennkammervolumen, T der Periode einer Schwingung,Li (x, t ) dem i-ten Verlustprozess akustischer Energie im Inneren des betrach-teten Gebiets und LR, j (x, t ) dem j-ten Verlustprozess akustischer Energie überdie zugehörige Randfläche A des Gebiets. Im Gegensatz zu Gleichung 1.1 istdiese Formulierung auf das gesamte System bezogen. Das Gleichheitszeichensymbolisiert den Grenzzyklus.

Erste Beobachtungen von Verbrennungsinstabilitäten (sog. singende Flam-men) stammen aus dem Jahr 1777 (vgl. hierzu u. a. [3, 4]). Lange Zeit galtenthermoakustische Schwingungen jedoch als ein überwiegend akademischesProblem bzw. im Wesentlichen limitiert auf Nischen wie militärische Anwen-dungen oder die Raumfahrt. Bekanntestes Beispiel hierzu ist das F1-Triebwerkder Saturn-Rakete, welches entscheidender Bestandteil der ersten bemann-ten Mondmission war [4]. Aber auch diverse weitere Fest- und Flüssigbrenn-stoffraketen, wie z. B. die Booster des Space Shuttles oder auch der Antrieb derARIANE-Trägerrakete wiesen teils thermoakustische Instabilitäten auf [4, 6].Ähnliche Probleme sind auch aus dem Bereich der Nachbrenner bekannt [4].

6

1.2 Modellierungsansätze

ErhaltungsgleichungenMasse + Impuls + Energie

Linearisierte Gleichungen+ Flammenverhalten

URANSLES DNS

Berechnung im Zeitraum Berechnung im Frequenzraum

ModenformenHarmonisch

Moden-formen Harmonisch

Netzwerk-modelle

Modellierungsbedarf

Berechnungsaufwand

Abbildung 1.3: Übersicht über verschiedene Verfahren zur Berechnung vonVerbrennungsschwingungen nach [6] bzw. [3]

Insbesondere durch die Einführung von industriellen Verbrennungstechnolo-gien hoher Leistungsdichte in Kombination mit Magerverbrennungskonzep-ten treten Verbrennungsschwingungen heute auch vermehrt im Bereich derStromerzeugung (stationäre Gasturbinen), der Dampferzeuger, der Heizsys-teme und der industriellen Feuerungen auf [4].


Zur Analyse thermoakustischer Instabilitäten und zur Erstellung von Vorbeu-gemaßnahmen wurden in den letzten Jahrzehnten diverse Modellierungsan-sätze entwickelt [6]. Ein Überblick über verschiedene Berechnungsverfahrenhierzu wird unter anderem von Pankiewitz [3] gegeben. Pieringer [6] greift die-sen auf und diskutiert die verschiedenen Ansätze hinsichtlich ihrer Anwend-barkeit auf die Berechnung von Verbrennungsinstabilitäten in Raketenschub-

7

Einleitung

kammern. In beiden Fällen reicht das Portfolio von der Verwendung von Netz-werkmodellen bis zu komplexen CFD-Ansätzen (Abbildung 1.3) mit den je-weiligen Vor- und Nachteilen bzw. Grenzen.

In Anlehnung an Pankiewitz [3] und Pieringer [6] wird im Folgenden eine kur-ze Zusammenfassung der bestehenden Modellierungsansätze gegeben. Füreine detailliertere Darstellung sei auf diese beiden Arbeiten verwiesen.

Die Berechnungsverfahren zur Bestimmung thermoakustischer Prozesse ba-sieren stets auf den Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie(vgl. Abbildung 1.3). Je nach Art des verwendeten Simulationsverfahrens er-folgen die Untersuchungen im Frequenz- oder auch im Zeitbereich. Der nu-merische Aufwand der einzelnen Methoden variiert dabei beträchtlich in Ab-hängigkeit vom Modellierungsbedarf.

Die Verfahren mit den geringsten Anforderungen hinsichtlich des Rechenauf-wandes, bei gleichzeitig hohem Modellierungsbedarf, stellen Netzwerkmo-delle dar. Dabei wird ein komplexes System in ein Netzwerk einzelner akus-tischer Elemente unterteilt [7] (vgl. Abschnitt 2.5). Das Transferverhalten dereinzelnen Elemente kann generell analytisch (z. B. [7–10]), numerisch (z. B.[3, 9, 11, 12]) oder auch experimentell (z. B. [8, 9, 13, 14]) bestimmt werden.Voraussetzung dafür ist im klassischen Fall neben einer harmonischen, ei-ne ebene Wellenausbreitung an den Schnittstellen zwischen den Elementen.Die ursprüngliche Limitierung auf ein ausschließlich eindimensionales akus-tisches Feld wurde inzwischen erweitert auf eine eventuell benötigte qua-si 2D- bzw. quasi 3D-Betrachtung [15, 16]. Auch die Analyse komplexer Mo-denformen in komplexen Geometrien ist mittlerweile möglich, unter ande-rem durch Ansätze im Zustandsraum [17, 18]. Zur Bestimmung der Stabilitätder betrachteten Systeme werden regelungstechnische Ansätze verwendet (z.B. [9, 10, 12, 18, 19]). Entscheidend für die Qualität des Verfahrens ist insbe-sondere die korrekte Wiedergabe des Übertragungsverhaltens der Flamme [3],die sogenannte Flammentransfermatrix (z. B. [18,20]), welche häufig über denUmweg der Flammentransferfunktion bestimmt wird (z. B. [8, 11, 13, 21–24]).Netzwerkmodelle werden seit den 60er Jahren zur Bestimmung der Stabilitätthermoakustischer Systeme verwendet [10]. Seit dem Ende der 90er Jahre fin-den sie in diversen Formen und Erweiterungen verstärkt Einsatz zur Vorher-

8


sage der Stabilität von Nachbrennern, Gasturbinenbrennkammern bzw. ent-sprechenden Prüfstandskonfigurationen [10] (z. B. [9, 13, 17, 18, 22, 25, 26]).

Das andere Extremum hinsichtlich der Berechnung thermoakustischer Insta-bilitäten sind instationäre CFD-Rechnungen reaktiver Strömungen in kom-plexen, dreidimensionalen Geometrien. Der Modellierungsbedarf ist da-bei deutlich geringer, da insbesondere die physikalischen Zusammenhänge,Wechselwirkungen und Nichtlinearitäten zwischen den akustischen Größenund der schwankenden Wärmefreisetzung direkt durch das Lösen der Erhal-tungsgleichungen bestimmt werden können. Jedoch sind auch hier in der Re-gel noch Modelle bezüglich der Verbrennung und der Turbulenz erforderlich,da eine detaillierte Auflösung dieser Zusammenhänge für komplexe Verbren-nungsvorgänge bis heute noch nicht realisierbar ist. Bei Verwendung einesDNS-Ansatzes ist der Bedarf an numerischer Rechenzeit und -leistung ge-nerell enorm. Der Aufwand reduziert sich für die Durchführung einer LES-bzw. einer URANS-Simulation, ist aber nach wie vor als vergleichsweise sehrhoch einzustufen. Untersuchungen anhand vereinfachter Konfigurationen,unter Verwendung von LES [27] und insbesondere URANS [28], konnten je-doch bereits erfolgreich realisiert werden, auch mittels einer kommerziellenSoftware [29]. Die entsprechende Betrachtung von Hantschk und Vortmey-er [29] z. B. musste jedoch noch auf ein zweidimensionales, achsensymme-trisches Rechengebiet beschränkt werden (URANS). In jüngster Vergangen-heit veröffentlichten Staffelbach et al. [24] nun jedoch dreidimensionale LES-Berechnungen der thermoakustischen Stabilität einer komplexen Helikopter-Ringbrennkammer mit 15 Brennern. Die Rechnungen fanden unter Verwen-dung einer enormen Anzahl von CPUs statt. Dies unterstreicht zwar die gene-relle Realisierbarkeit des Vorgehens, zeigt jedoch gleichzeitig auch die Gren-zen der Einsetzbarkeit dieser Methode für derzeitige Entwicklungsprozesse inUnternehmen auf.

Neben diesen ausschließlich auf CFD-Methoden basierenden Stabilitätsbe-trachtungen von gesamten Verbrennungssystemen, finden entsprechend re-duzierte Ansätze auch breite Anwendung zur Bestimmung des komplexenÜbertragungsverhaltens einzelner akustischer Elemente, wie zum BeispielFlammen, Liner oder Flächensprünge. Das so bestimmte Übertragungsver-

9

Einleitung

halten kann dann im Rahmen von Netzwerkmodellen verwendet werden. DieBerechnung der Stabilität eines gesamten Verbrennungssystems mittels CFDwird jedoch, wie oben beschrieben, auch in näherer Zukunft noch enorm auf-wändig bleiben. Daher scheinen solche Ansätze bis heute für praktische An-wendungsfälle hinsichtlich komplexer Vorgänge in realen Turbinenkonfigura-tionen, insbesondere in Ringbrennkammern, kaum praktikabel bzw. im Rah-men von flexiblen Designsystemen auch nicht zielführend.

Zwischen den beiden oben beschriebenen Extrema existieren diverse weite-re Ansätze zur Bestimmung der thermoakustischen Stabilität von Verbren-nungssystemen (Abbildung 1.3). Allen diesen Ansätzen gemeinsam ist, dasssie auf den linearisierten Erhaltungsgleichungen beruhen und dass das Über-tragungsverhalten der Flamme explizit modelliert werden muss [3,6]. In vielenFällen ist die Vorgabe der Modenform und/oder der Ausbreitung der Wellenvon Nöten.

1.3 Berechnungsverfahren nach Pankiewitz

Ein damals neuartiges Berechnungsverfahren zur Bestimmung der ther-moakustischen Instabilität von Verbrennungssystemen wurde von Pankie-witz entwickelt [3, 16, 30]. Ziel dabei war, langfristig ein hybrides, numeri-sches Auslegungswerkzeug zu erstellen, mit dem die Ausbildung thermoakus-tischer Instabilitäten in komplexen Mehrbrennersystemen unter möglichstgeringem numerischen Aufwand realitätsnah erfasst werden kann. Nach ent-sprechenden Weiterentwicklungen sollte das Berechnungsverfahren den Ent-wicklungsprozess von Brennkammern zeitnah unterstützen und damit dasEntwicklungsrisiko moderner Verbrennungssysteme deutlich vermindern.

Der dreidimensionale Ansatz von Pankiewitz basiert auf einer erweitertenForm der Wellengleichung. Er grenzt sich damit einerseits von den reinenCFD-Modellen ab, welche in der Regel äußerst aufwändig hinsichtlich des nu-merischen und damit auch des zeitlichen Bedarfs sind (vgl. Abschnitt 1.2). An-dererseits unterscheidet er sich aber auch von den Netzwerkmodellen, die üb-licherweise auf ein- oder auch zweidimensionale Ansätze im Frequenzbereich

10


Brennkammerakustik Flammen

Entwicklungder

Störungen

StabilitätModenformGrenzzyklus

WellengleichungWärmefreisetzungs-

rate (Quellterm)

AnfänglicheStörung

Lösung im Zeitbereich

Flammen-modell

Abbildung 1.4: Schematischer Aufbau des Berechnungsverfahrens nach Pan-kiewitz [3]

beschränkt sind. Die generelle Funktionalität seines Ansatzes belegt Pankie-witz anhand einer Modellringbrennkammer, die zu experimentellen Zweckenam Lehrstuhl für Thermodynamik der Technischen Universität München ge-nutzt wird. Validierungen gegen modale Ansätze belegten deutlich das Poten-tial des neuartigen Verfahrens [16]. Die vorliegende Arbeit kann als direkteWeiterentwicklung des Modellpakets von Pankiewitz verstanden werden. Da-her erfolgt hier zunächst eine kurze Zusammenfassung der Vorgehensweiseund Ergebnisse von Pankiewitz [3, 16, 30].

Der prinzipielle Aufbau des transienten Berechnungsmodells ist in Abbildung1.4 dargestellt. Die Akustik der Brennkammer wird durch die Wellengleichungder folgenden Form bestimmt [30]:

1

c2

(∂2p ′

∂t 2+2u ·∇

(∂p ′

∂t

)+ u · (u ·∇)(∇p ′)

)− ρ∇ ·

(1

ρ∇p ′

)= κ−1

c2

Dq ′

Dt. (1.3)

11

Einleitung

Da in Gasturbinenbrennkammern die Machzahlen in der Regel sehr geringsind, verwendet Pankiewitz jedoch, gemäß der in der Literatur üblichen Vor-gehenweise, anstelle von Gleichung 1.3 zumeist die vereinfachte Variante füru = 0. Der Einfluss von Verbrennung wird mittels einer externen Wärmezufuhrmodelliert (rechte Seite in Gleichung 1.3). Der entsprechende Quellterm kannprinzipiell auf analytischen, numerischen oder auch experimentellen Ergeb-nissen beruhen. Pankiewitz verwendet ein generisches Modell - das soge-nannte n−τ-Modell - in Anlehnung an Bloxsidge et al. [31] bzw. Dowling [32]:

1

ω0

d q ′j

d t+ q ′

j = n f (u′B , j (t −τ)), j = 1, ...,m. (1.4)

Diesem legt er folgende Annahmen zugrunde:

• Die Wärmefreisetzungszone ist ein fester, vordefinierter Bereich kon-stanten Volumens hinter dem Austritt eines jeden Brenners. Es findet kei-ne Flammenbewegung statt.

• Die momentane volumetrische Wärmefreisetzungsrate ist ausschließ-lich von der Brenneraustrittsgeschindigkeit uB des zugehörigen Brenners(und keines anderen Brenners) abhängig. Es ist eine einzelne, feste Ver-zugszeit (Totzeit) τ wirksam.

• Die Intensität der Antwort der Flamme auf Geschwindigkeitsfluktuatio-nen nimmt mit wachsender Frequenz zunehmend ab.

• Die Stärke der Wärmefreisetzungsschwankungen ist limitiert, respektivebedingen Sättigungseffekte eine Nichtlinearität.

Gleichung 1.4 beschreibt das nichtlineare Verhalten der Wärmefreisetzungan einem Brenner j . q ′

j ist die Schwankung der volumetrischen Wärmefrei-setzungsrate. Der Verstärkungsfaktor bzw. Interaktionsindex n folgt der Glei-chung n = ¯q/uB . Die Funktion f bestimmt die nichtlineare Abhängigkeit derfluktuierenden Wärmefreisetzungsrate von der Schnelle und somit die Sätti-gung gemäß:

12


f (u′B , j (t −τ)) =

{u′

B , j (t −τ) , falls |u′B , j (t −τ)| ≤µuB

sign(u′B , j (t −τ))µuB , falls |u′

B , j (t −τ)| >µuB(1.5)

Im Gegensatz zum Ansatz von Dowling [32] ist in Gleichung 1.5 zusätzlich derParameter µ enthalten. Er erlaubt, den Einfluss der Sättigung bereits dann zurealisieren, wenn die akustischen Schwankungen noch kleiner als die mitt-lere Geschwindigkeit sind. Der Wert von µ wurde von Pankiewitz willkürlichauf µ= 0.75 festgesetzt4. Das dynamische Verhalten der Flamme(n) wird mit-tels der Zeitableitung in Gleichung 1.4 abgebildet. Bei langsamen Vorgän-gen übt dieser Term kaum einen Einfluss aus. Das Modell verhält sich dannnahezu analog zum analytischen Zeitverzugsmodell von Crocco und Cheng(1956) [33]. Bei schnelleren Änderungen hingegen nimmt dadurch die Am-plitude der fluktuierenden Wärmefreisetzungsschwankung mit der Frequenzstetig ab. Im Abhängigkeit von der Eckfrequenzω0 macht sich dieses Tiefpass-verhalten bereits bei niedrigeren oder erst bei höheren Frequenzen deutlichbemerkbar. u′

B repräsentiert die Geschwindigkeitsfluktuation im Brenner so-wie τ eine konvektive Verzugszeit. Von τ hängt gemäß des Rayleighkriteriums,über die Bestimmung des Phasenverzugs, wesentlich die thermoakustischeStabilität des Systems ab. Trotz der Einfachheit des Modells erwies es sich fürPankiewitz [30] als ausreichend zur generellen Verifizierung seines Ansatzesund zur Untersuchung der Grundmechanismen von Verbrennungsinstabili-täten.

Die einzelnen Flammen im Ringbrennkammermodell von Pankiewitz wer-den als kompakt betrachtet und als örtlich feste, konische Geometrien mo-delliert. Eine schematische Skizze des Aufbaus der von Pankiewitz untersuch-ten Ringbrennkammer sowie eine dreidimensionale Ansicht der implemen-tierten Geometrie sind im verwendeten FEM-Code, FEMLAB, ist in Abbildung1.5 gegeben. Aufgrund der großen Wellenlängen der untersuchten Frequen-zen kann dabei generell, im Gegensatz zu den in Abschnitt 1.2 beschriebenenCFD-Ansätzen, auf eine exakte Darstellung von geometrischen Details weit-gehend verzichtet werden.

4Pankiewitz bemerkt hierzu, dass im Bezug auf die Literatur ein geringerer Wert von ca. µ = 0.3 oder µ = 0.4wahrscheinlich realistischer gewesen wäre [3].

13

Einleitung

Abbildung 1.5: Geometrie der von Pankiewitz betrachteten Modellringbrenn-kammer aus [3]. 1: Eintrittsebene, 2: Vorkammer, 3: Bereichder Brenner (Drallerzeuger), 4: Brennkammer, 5: Austrittsebe-ne der Brennkammer

14


E

E

,EE

EB

,E

Abbildung 1.6: Entwicklung einer selbsterregten Instabilität in einem Systemmit Sättigung, aber ohne Verluste (entdimensioniert) [3]

Als Randbedingungen wurden von Pankiewitz überwiegend akustisch har-te Wände angenommen. An den stirnseitigen Ein- bzw. Auslässen wurdenjedoch auf der gesamten Fläche homogene Verlustrandbedingungen imple-mentiert, gemäß:

n ·∇p ′ =− K

K un +1/ρ

∂p ′

∂t. (1.6)

n ist dabei der Normalenvektor und un der entsprechende Anteil der mittle-ren Geschwindigkeit. K entspricht einer Proportionalitätskonstanten, welchesich aus dem mittleren Druckverlust über dem Ein- bzw. Auslass bestimmenlässt [30]. Für M = 0 entspricht K = 0 einem geschlossenen und K →∞ einemoffenen Ende. Die Modellierungen und Berechnungen von Pankiewitz erfolg-ten in entdimensionierter Form (Index E). Die mittleren Größen wurden alsabschnittsweise konstant über den einzelnen Bereichen des Verbrennungs-systems angenommen (vgl. Abbildung 1.5).

15

Einleitung

Die örtliche Diskretisierung erfolgte mit Hilfe eines unstrukturierten Gitters.Für die zeitliche Diskretisierung wurde ein impliziter Löser mit automatischerSchrittweitenkontrolle verwendet, welcher auf einer Backward DifferentialFormula (BDF) zweiter Ordnung beruht. Die Anfangsbedingung entspracheiner zufälligen Verteilung der Druckschwankungen, aus der sich im Laufeder Zeit eine Instabilität entwickeln konnte. Die Berechnung der Flammen-antwort erfolgte extern in MATLAB für jeden Zeitschritt. In Abbildung 1.6 istbeispielhaft die Entwicklung der Schallschnelle und der Wärmefreisetzungs-schwankung über der Zeit für eine ausgeprägte Instabilität gezeigt (K = 0).Deutlich ist der Einfluss der Sättigung auf die Wärmefreisetzungsschwankungzu erkennen. Da in diesem Fall mit K = 0 keinerlei Verluste im System enthal-ten sind, steigt die Schnelle trotz Sättigung über alle Grenzen an.

Im Rahmen einer parametrischen Studie zum Einfluss der Verzugszeit τ konn-te Pankiewitz mit Hilfe dieses Berechnungsverfahrens, neben der Bestim-mung der Modenform, qualitative Aussagen bezüglich der Stabilität des Sys-tems, der Wachstumsraten und der maximalen Amplituden in der Sättigungableiten.

1.4 Zielsetzung der Arbeit

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, das Modellpaket von Pankiewitz weiter zuentwickeln, um damit künftig den Entwicklungsprozess von Brennkammernzeitnah, bei vergleichsweise geringem Aufwand, durch quantitative Aussagenbezüglich der thermoakustischen Stabilität unterstützen zu können. Damitsoll schließlich das Entwicklungsrisiko moderner Verbrennungssysteme deut-lich gemindert werden. Dazu ist es essentiell, den Energiehaushalt der akus-tischen Schwingungen realistisch zu erfassen. Wesentlich sind dabei die Wär-mefreisetzung und die akustischen Verluste (sowohl im System als auch anden Rändern). In dieser Arbeit liegt der Fokus auf den letztgenannten Mecha-nismen. In Abhängigkeit vom jeweils betrachteten Validierungsfall erfolgt dieModellierung im Zeit- oder auch im Frequenzbereich.

16

1.4 Zielsetzung der Arbeit

In Kapitel 2 und 3 wird zunächst ein Einblick in die Grundlagen der Akus-tik und der FEM-Methode gegeben, inklusive einer Bestimmung der nume-rischen Verluste im vorliegenden Anwendungsfall. Im Rahmen von Kapitel4 findet eine ausführliche Analyse der Wellen- bzw. der Helmholtzgleichungstatt. Verglichen wird der Einfluss verschiedener Terme unterschiedlicher Va-rianten der beiden Gleichungen. Der Fokus liegt dabei auf der Modellie-rung von Dichtegradienten sowie dem Einfluss der mittleren Geschwindig-keit. Die Untersuchungen haben zum Ziel, die gesamte Methode einerseits so„schlank” wie möglich zu gestalten, aber andererseits so geringe Abweichun-gen wie möglich zu generieren, um so eine optimale Funktionalität des Ausle-gungswerkzeugs zu gewährleisten. Zusätzlich finden allgemeine Studien zurEinbindung von Verlusten in die Helmholtzgleichung statt.

In Kapitel 5 wird schließlich ein neuartiger Ansatz vorgestellt, mit dem akus-tische Verluste in Brennkammern, trotz der Verwendung der isentropenWellen- bzw. Helmholtzgleichung, realitätsnah erfasst werden können. DieValidierung erfolgt im Frequenzbereich, anhand verschiedener Testfälle un-terschiedlicher Komplexität. Neben den akustischen Verlusten im System sindVerluste an den Rändern von großer Bedeutung für die Stabilität und somit diekorrekte Modellierung des thermoakustischen Systems. Daher wird im Rah-men von Kapitel 6 die Berechnungsmethode durch einen Ansatz zum Trans-fer komplexer frequenzabhängiger Randbedingungen vom Frequenz- in denZeitbereich erweitert. Konkret erfolgt dies anhand der Modellierung eines Li-ners, welcher in modernen Turbomaschinen u. a. zu Kühlzwecken verwen-det wird. Die erfolgreiche Implementierung der einzelnen Teilmodelle sowiedie generelle Funktionalität der verschiedenen getätigten Erweiterungen undVerbesserungen des gesamten Stabilitätsmodells werden schließlich in Kapi-tel 7 belegt, anhand eines Einzelbrennerprüfstands des Lehrstuhls für Ther-modynamik. Die Validierung der Ergebnisse erfolgt gegen experimentelle Da-ten. Eine Resümee wird im Rahmen von Kapitel 8 gegeben.

17

2 Akustische Grundlagen

Im Folgenden findet eine kurze Zusammenfassung der akustischen Grund-lagen statt. Zunächst werden die im Rahmen dieser Arbeit verwendetenGrundgleichungen hergeleitet. Da die Validierung der verschiedenen Model-lierungsansätze überwiegend im Frequenzbereich erfolgt, werden anschlie-ßend die Grundlagen harmonischer und ebener Wellenausbreitung beschrie-ben, ebenso wie die grundlegenden Zusammenhänge bezüglich akustischerNetzwerke und Transfermatrizen. Ein wesentlicher Anteil dieser Arbeit befasstsich mit der korrekten Beschreibung des Energiehaushalts eines (thermo-)akustischen Systems. Daher werden zudem die Begriffe der akustischen Ener-gie und der akustischen Intensität erläutert, ebenso wie die Grundlagen vonFluid-Schall-Interaktionen. Für detailliertere Erläuterungen zu diesen The-men sei jedoch auf die entsprechende Fachliteratur verwiesen.

2.1 Linearisierte Eulergleichungen

Grundlage für die Beschreibung strömungsmechanischer und akustischerVorgänge sind die fluidmechanischen Erhaltungsgleichungen für Masse,Impuls und Energie. In sehr allgemeingültiger Form entsprechen sie denNavier-Stokes-Gleichungen. Diesen wird im Wesentlichen nur die Existenzeines newtonschen Fluids vorausgesetzt [34]. Die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen erfolgt in der Regel numerisch, häufig unter einem beträchtli-chen Berechnungsaufwand (vgl. Abschnitt 1.2).

Oft können für die Betrachtung der akustischen Wellenausbreitung Dissipa-tionseffekte vernachlässigt werden [3, 34, 35]. Die Navier-Stokes-Gleichungenvereinfachen sich dann zu den Eulergleichungen1. Sie lauten in kartesischer

1Im physikalisch vollkommen korrekten Sinn sind die Bezeichnungen Navier-Stokes-Gleichung sowie Euler-

18

2.1 Linearisierte Eulergleichungen

Tensorschreibweise [6]:

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0, (2.1)

∂u

∂t+ (u ·∇)u+ 1

ρ∇p = 0, (2.2)

1

c2

∂p

∂t+ 1

c2(u ·∇)p +ρ∇ ·u = κ−1

c2q . (2.3)

Die Eulergleichungen gelten allgemein für ein reibungsfreies Fluid ohne Vo-lumenkräfte [35]. Einflüsse aufgrund von Gravitation und Wärmeleitung so-wie viskoser Dissipation werden vernachlässigt [3]. Die Entropie der Fluidteil-chen ändert sich hier somit nicht aufgrund von Zähigkeitseffekten bzw. Irre-versibilitäten [3]. Änderungen der Entropie können aber aufgrund externer,volumetrischer Wärmezufuhr q ′ erfolgen. Dies ermöglicht unter anderem dieModellierung von Verbrennungseffekten [3,6]. In der oben dargestellten Formist die Energiegleichung (Gleichung 2.3) auf die Betrachtung idealer Gase be-schränkt2. Wird keine Wärmefreisetzung berücksichtigt, ist die Strömung beiVerwendung der Eulergleichungen isentrop.

Zur Beschreibung akustischer Phänomene mittels der Eulergleichungen wirdeine Linearisierung der strömungsmechanischen Größen vorgenommen. Fürden Druck lautet diese [3, 6, 35]:

p = p +p ′. (2.4)

Die Feldgrößen werden demnach als Superposition ihres Mittelwertes (−) undder zugehörigen Schwankungsgröße (′) beschrieben. Terme höherer Ordnung

gleichung lediglich auf die Impulserhaltung beschränkt. In der Regel werden diese Begriffe jedoch im Pluralverwendet. Sie bezeichnen dann den gesamten Gleichungssatz, bestehend aus Massen-, Energie- und Impuls-erhaltung, in ihrer jeweils verwendeten Variante. Diese Konvention wird auch hier verwendet.

2Für eine detaillierte Herleitung des Gleichungssystems (insbesondere von Gleichung 2.3) sei auf Pankiewitz[3] verwiesen.

19

Akustische Grundlagen

werden vernachlässigt. Dies setzt primär voraus, dass die Schwankungsgrö-ßen klein im Vergleich zu den jeweiligen Mittelwerten sind: z. B. p ′ ¿ p;u′, v ′, w ′ ¿ c; ρ′ ¿ ρ. Damit resultiert aus Gleichungen 2.1 bis 2.3 [3, 6]:

∂ρ′

∂t+ u ·∇ρ′+u′ ·∇ρ+ ρ∇ ·u′+ρ′∇ · u = 0, (2.5)

∂u′

∂t+ (u ·∇)u′+ (u′ ·∇)u+ ∇p ′

ρ− (∇p)ρ′

ρ2= 0, (2.6)

∂p ′

∂t+ u ·∇p ′+u′ ·∇p +κp∇ ·u′+κp ′∇ · u = (κ−1)q ′. (2.7)

Die so genannten linearisierten Eulergleichungen beschreiben die Ausbreitun-gen von Störungen in einer gegebenen, mittleren, nicht gleichförmigen Strö-mung [6].

2.2 Wellengleichung

Bei vielen technischen Anwendungen findet die Ausbreitung akustischer Wel-len in einem weitgehend homogenen Medium statt bzw. in einem Medium,das entweder in Ruhe ist oder sich nur geringfügig bewegt. Somit ist es oftzulässig, Gradienten der mittleren Geschwindigkeit und des mittleren Drucksbei den Berechnungen des akustischen Feldes zu vernachlässigen. Ist zudemdie mittlere Geschwindigkeit, respektive die Machzahl, gering (M < 0.2), kannder Einfluss des mittleren Geschwindigkeitsfeldes (oft) vollkommen vernach-lässigt werden. Damit reduzieren sich die Gleichungen 2.5 und 2.6, respektivedie Kontinuitäts- und die Impulsgleichung, auf:

∂ρ′

∂t+u′ ·∇ρ+ ρ∇ ·u′ = 0, (2.8)

∂u′

∂t+ 1

ρ∇p ′ = 0. (2.9)

20

2.2 Wellengleichung

Leitet man Gleichung 2.8 nach der Zeit ab und subtrahiert davon die Diver-genz von Gleichung 2.9, so folgt:

∂2ρ′

∂t 2− ρ∇ ·

(1

ρ∇p ′

)= 0. (2.10)

Um daraus einen Ausdruck herzuleiten, der ausschließlich von der akusti-schen Druckschwankung p ′ abhängt, muss eine entsprechende Beziehungzwischen Druck und Dichte gefunden werden [35]. Linearisiert man dazu dastotale Differential der Zustandsgleichung p = p(ρ, s) unter der Annahme ei-nes isentropen Mediums und unter Verwendung der Definition der Schallge-schwindigkeit

c2 =(∂p

∂ρ

)s

, (2.11)

so folgt [18, 34]

p ′ = c2ρ′ (2.12)

bzw.

1

c2

∂2p ′

∂t 2− ρ∇ ·

(1

ρ∇p ′

)= 0. (2.13)

Dies ist die Wellengleichung für inhomogene Medien. Sie gilt für kleineSchwankungen in einem ansonsten ruhenden, isentropen Medium [35]. Be-schränkt man die Betrachtung weiter auf homogene Temperaturfelder, sofolgt:

1

c2

∂2p ′

∂t 2−∆p ′ = 0. (2.14)

Dies entspricht der am häufigsten verwendeten Form der Wellengleichung.Daneben existieren diverse weitere Varianten zur Einbindung verschiedener

21


physikalischer Mechanismen. Für die Ausbreitung von akustischen Wellen ineinem homogenen Geschwindigkeitsfeld kann Gleichung 2.14 beispielsweiseum konvektive Terme erweitert werden (vgl. Kapitel 4.2). Zudem kann direktaus den Gleichungen 2.5 bis 2.7 eine Variante der Wellengleichung zur Berück-sichtigung externer Wärmezufuhr hergeleitet werden [3]:

1

c2

∂2p ′

∂t 2− ρ∇ ·

(1

ρ∇p ′

)= κ−1

c2

∂q ′

∂t. (2.15)

Diese Variante ist grundsätzlich geeignet zur Bestimmung des akustischenFelds in einem Verbrennungssystem bei niedrigen Machzahlen [3]. Sie kanndemnach zur Untersuchung von thermoakustischen Instabilitäten in Gastur-binenbrennkammern, Kleinbrennern, u. Ä. eingesetzt werden. Dies zeigt, dassdie Wellengleichung trotz ihrer Einfachheit durchaus zur generellen Beschrei-bung von akustischen Zusammenhängen in komplexen, technischen Syste-men verwendet werden kann.

2.3 Harmonische Wellen und Helmholtzgleichung

In vielen Fällen ist es möglich, die akustischen Größen als harmonischeWellen darzustellen. Sie besitzen dann einen sinusförmigen Verlauf in Zeitund/oder Raum. Ein Vorteil des harmonischen Ansatzes ist, dass damit zeit-liche und örtliche Schwankungen voneinander entkoppelt betrachtet werdenkönnen [36]. Ein allgemeiner Ansatz bezüglich des Schalldrucks lautet z. B.:

p ′(t ,ϕ) = P cos(ωt +ϕ). (2.16)

P entspricht der reellen Amplitude, ω = 2π f der Kreisfrequenz. ϕ repräsen-tiert die Phasenverschiebung des Schalldrucks im Vergleich zur Ausgangslage(vgl. Abbildung 2.1). Zur Analyse akustischer Felder ist es oft vorteilhaft, dieakustischen Schwankungsgrößen in mathematisch komplexer Schreibweisemittels Exponentialfunktionen darzustellen [3, 6, 35]:

22

2.3 Harmonische Wellen und Helmholtzgleichung

Pcos( t+ω φ)

pei tω=Pei( t+ω φ)

p=Peiφ

iib

reelleAchse

φtω

imaginäreAchse

(p)

(p)

Abbildung 2.1: Darstellung der Zusammenhänge anhand der komplexenZahlenebene [37]

p ′(t ) =ℜ(pe iωt ). (2.17)

p entspricht der komplexen Amplitude: p = p(x) = P (x)e iϕ(x) [3]. P (x) reprä-sentiert die räumliche Verteilung der Amplitude von p(x) sowie e iϕ(x) die Ver-teilung der Phasenlage ϕ(x). In Abbildung 2.1 sind diese Zusammenhängeschematisch anhand der komplexen Zahlenebene dargestellt [37]. Die Projek-tion des Zeigers pe iωt auf die reelle Achse entspricht der trigonometrischenDarstellung in Gleichung 2.16 (vgl. Gleichung 2.17).

Neben dem zeitlich harmonischen Ansatz können viele Schwingungen dem-nach zusätzlich als örtlich harmonisch betrachtet werden. Aus Gleichung 2.16resultiert dann z. B. [35]:

p ′(x, t ) = P cos(ωt −kx) (2.18)

23


bzw. in exponentieller Form [35]:

p ′(x, t ) =ℜ(Pe iωt−i kx). (2.19)

k ist der Wellenvektor. Bei eindimensionaler Betrachtung entspricht er derWellenzahl k. Diese beschreibt das Verhältnis der Kreisfrequenz ω zur Schall-geschwindigkeit c und ist umgekehrt proportional zur Wellenlänge λ = c/ f[35]:

k = ω

c= 2π

λ(2.20)

Gleichung 2.20 ist gültig, wenn der Einfluss einer mittleren Strömungsge-schwindigkeit u vernachlässigbar ist. Die Welle bewegt sich dann ausschließ-lich mit der Schallgeschwindigkeit c fort. Existiert hingegen ein nennens-werter Einfluss der mittleren Strömungsgeschwindigkeit, so sind bezüglichder Ausbreitungsgeschwindigkeit der akustischen Größen zusätzlich entspre-chende Geschwindigkeitsanteile zu berücksichtigen (vgl. Abschnitt 4.2).

Zum Transfer der Gleichungen vom Zeit- in den Frequenzraum wird dieFourier-Transformation verwendet, gemäß [3]: ∂/∂t → iω bzw.∂2/∂t 2 → i 2ω2 =−ω2. Überträgt man dies auf die Wellengleichung, so folgt:

k2p +∆p = 0. (2.21)

Gleichung 2.21 ist bekannt als Helmholtzgleichung. k2 entspricht k2 = k2x+k2

y+k2

z [36].

Auch wenn akustische Fluktuationen aus einer Überlagerung mehrererFrequenzanteile bestehen, ist es möglich, sie mittels eines harmonischenAnsatzes darzustellen, da jedes (akustische) Signal durch eine Fourier-Transformation in harmonische Komponenten konstanter Frequenz zerlegtwerden kann [3]. Diese Komponenten folgen jeweils der Darstellung in Glei-chung 2.17. Im hier betrachteten Bereich der linearen Akustik verhalten siesich unabhängig voneinander [3]. Jede einzelne Komponente erfüllt folglichisoliert von den anderen die Grundgleichungen [3].

24

2.4 Ebene Wellen

Besteht keine externe Anregung, stellt Gleichung 2.21 ein Eigenwertproblemdar [3]. Eine Lösung ist nur für bestimmte Werte des Wellenvektors k bzw.der Wellenzahl k möglich, die sogenannten Eigenwerte [3]. Die Lösungen fürdie komplexe Druckamplitude p repräsentieren die zugehörigen Eigenmo-den [3]. Eine Lösung von Gleichung 2.21 liefert die rein akustischen Eigen-moden des betrachteten Systems [3]. Wird hingegen ein System mit akusti-schen Quellen (Senken)- ebenfalls ohne externe Anregung - betrachtet, sinddie Eigenwerte, respektive die jeweiligen Wellenzahlen, komplex [3]. Verwen-det man einen solchen Ansatz zur Bestimmung der (thermo-)akustischen Sta-bilität eines Systems, kann z. B. aus dem Realteil des Eigenwerts die Frequenzder Schwingung abgeleitet werden [3, 6]. Der Imaginärteil bestimmt dann dieWachstumsrate und legt durch sein Vorzeichen fest, ob die Amplitude überder Zeit exponentiell zu- oder abnimmt [3, 6].

2.4 Ebene Wellen

Ein technisch wichtiges und zugleich anschauliches Modell zur Untersuchungverschiedener physikalischer Zusammenhänge ist die eindimensionale Wel-lenausbreitung. Sie dient u. a. der Beschreibung akustischer Felder in Rohren.Ohne weitere Vereinfachung wird im Folgenden angenommen, dass sich dieWellen ausschließlich entlang der x-Koordinate ausbreiten. Ein möglicher An-satz zur Lösung der Wellengleichung (Gleichung 2.14) lautet dann:

p ′(x, t ) = ρc(f(x − ct )+g(x + ct )). (2.22)

Dies entspricht der Überlagerung einfacher, eindimensionaler Wellen in (f)und gegen (g) die Achsrichtung [35]. Beide Wellen breiten sich mit der Schall-geschwindigkeit c aus, solange der Einfluss einer mittleren Geschwindigkeitvernachlässigt werden kann. f und g werden häufig als Riemann Invariantenbezeichnet. Sie symbolisieren nahezu beliebige Funktionen, die jedoch unteranderem zweimal differenzierbar sein sollen [35]. Entsprechen Wellen prinzi-piell der Form von Gleichung 2.22, werden sie eben genannt, da ihre Wellen-fronten ebene Flächen sind [35].

25


Unter Verwendung der linearisierten Impulserhaltung (Gleichung 2.6 mit∇p = 0) kann aus Gleichung 2.22 die zugehörige Schnelleschwankung u′ ab-geleitet werden [3]. Damit folgt für p ′ und u′ [10, 38]:

p ′ = ρc(f+g), (2.23)

u′ = f−g. (2.24)

Die pu- bzw. die fg-Notation sind äquivalente Darstellungsformen. Für ebeneWellen können sie problemlos ineinander überführt werden. Für g = 0 exis-tiert nur eine stromab laufende Welle. Mit u = 0 gilt dann: p ′ = ρcu′; für ei-ne ausschließlich stromauf laufende Welle (f = 0) ändert sich lediglich dasVorzeichen (p ′ = −ρcu′) [3]. Beide Fälle entsprechen der sogenannten Frei-feldannahme3. p ′ und u′ besitzen dann die gleiche Phasenlage. Die KonstanteZ0 = ρc ist die charakteristische Impedanz des betrachteten Fluids [3].

Diese Zusammenhänge sind auch auf harmonische Wellen, respektive auf ei-ne Darstellung im Frequenzbereich, übertragbar. Das akustische Feld an ei-nem Ort ist dabei eindeutig bestimmt, wenn seine komplexe Druckamplitudep und die komplexe Schnelleamplitude u bekannt sind [3]. Als charakteristi-sche Größe dient dabei die Impedanz:

Z (x) = p(x)

n · u(x). (2.25)

Z ist folglich richtungsabhängig. Die Orientierung wird vom Normalenvektorn bestimmt. Vorteilhaft ist die Verwendung der Impedanz insbesondere fürdie Definition von Randbedingungen [3]. Eng damit ist der Reflexionsfaktor rverbunden. Er setzt die am Rand auslaufende Welle ins Verhältnis zur einlau-fenden. Folglich gilt für ein akustisch passives System stets |r | ≤ 1.

3Diese existiert prinzipiell auch für u 6= 0.

26

2.5 Akustische Netzwerke und Transfermatrizen

Art der Randbedingung Impedanz [kg/(s m2) ] Reflexionsfaktor [-]

schallhart (p = 0) Z = 0 r =−1schallweich (u = 0) Z →∞ r = 1nicht reflektierend Z = ρc r = 0

Tabelle 2.1: Einfache Randbedingungen (u = 0)

Die Umrechnung zwischen Impedanz und Reflexionsfaktor erfolgt unter Ver-wendung der Gleichungen 2.23 und 2.24. Dabei ist auf die jeweilige Definitionvon f und g sowie auf die Richtung des Normalenvektors zu achten. Für einigeeinfache Randbedingungen (u = 0) kann der Reflexionsfaktor und die zuge-hörige Impedanz direkt angegeben werden (Tabelle 2.1) [3, 36].


Das Übertragungsverhalten akustischer Systeme kann in recht einfacher Wei-se mittels eines Netzwerks bestehend aus einzelnen, akustischen Elementenbestimmt werden [8]. Prinzipiell sind die Voraussetzungen dafür, dass sich dieElemente unabhängig voneinander verhalten und dass die Wellen an den Re-ferenzebenen zwischen den Elementen eben sind [8]. Jedes Netzwerkelementbeschreibt dann eine Komponente des akustischen Gesamtsystems, wie zumBeispiel ein Rohr, eine Blende, einen Flächensprung oder auch eine Flamme[10]. Unter Annahme harmonischer Wellenausbreitung sowie linearer Akus-tik kann dann ein gesamtes Netzwerk systematisch als eine Linearkombinati-on einzelner akustischer Elemente aufgebaut werden (low-order-system) [10].Mathematisch gesehen entspricht es einem linearen Gleichungssystem [10].Die Unbekannten sind die (fouriertransformierten) Schwankungsgrößen pund u an den Ein- und Ausgängen der einzelnen Elemente [10]. Anstelle vonp und u können alternativ auch die Riemann Invarianten f und g verwendetwerden [8, 10].

Die Koppelbeziehungen zwischen den akustischen Größen am Ein- und Aus-lass eines jeden Elements werden in der Regel mittels sogenannter Transfer-matrizen in pu- (Gleichung 2.26) oder auch fg-Notation bzw. alternativ mit-tels Streumatrizen (Gleichung 2.27) beschrieben [8, 10]:

27


Tpu

pu

pd

ud

uu

Abbildung 2.2: Schematische Darstellung eines Transfermatrixelements inpu-Notation [8]

(pρc

u

)d

= Tpu ·

(pρc

u

)u

=(

T11 T12

T21 T22

)·

(pρc

u

)u

, (2.26)

(fd

gu

)= Sfg ·

(fu

gd

)=

(tud rdu

rud tdu

)·

(fu

gd

). (2.27)

Wie in Abschnitt 2.4 erläutert, sind die drei Darstellungsarten äquivalent. DieParameter t und r in Gleichung 2.27 entsprechen den Transmissions- bzw.den Reflexionskoeffizienten des betrachteten Elements [8]. Ihre Orientierungkann den zugehörigen Indizes (u für stromauf (upstream); d für stromab(downstream)) entnommen werden. Weitere Details hierzu sind Fischer [8] zuentnehmen. Die allgemeinen Zusammenhänge an einem Transfermatrixele-ment in pu-Notation sind beispielhaft in Abbildung 2.2 veranschaulicht.

Klassischerweise werden Netzwerkmodelle im Rahmen der eindimensionalenAkustik verwendet. Trotz der Einfachheit des generellen Ansatzes können da-mit nahezu beliebig komplexe Systeme modelliert werden. Die Transfermatri-zen der einzelnen akustischen Elemente können für einfache Komponenten,wie Rohre oder teils auch Flächensprünge, analytisch hergeleitet werden. Fürkomplexere Konfigurationen sind sie experimentell (z. B. [8,18]) oder auch nu-merisch (z. B. [9, 12]) zu bestimmen. Die Transfermatrix eines reibungsfreienRohrs konstanten Querschnitts lautet beispielsweise [8]:

(pρc

u

)d

=(

cos(kl ) i sin(kl )i sin(kl ) cos(kl )

)·

(pρc

u

)u

. (2.28)

28


l ist die Länge des Rohrstücks. Aus der zugehörigen Streumatrix [8]

(fd

gu

)=

(e−i kl 0

0 e−i kl

)·

(fu

gd

)(2.29)

erkennt man unmittelbar, dass die Amplitude der akustischen Schwankungenüber dem Element unverändert bleibt. Bewegt sich eine harmonische Welledurch ein verlustfreies Rohr, so ändert sich folglich lediglich ihre Phase in Ab-hängigkeit von der Länge des betrachteten Elements.

Ein weiteres, häufig verwendetes Netzwerkelement ist das sogenannte l − ζ-Modell4. Es beschreibt ein kompaktes akustisches Element mit Verlust, basie-rend auf der instationären Bernoulligleichung, respektive dem zugehörigenhydrodynamischen Druckverlustbeiwert ζ. Im Rahmen des l − ζ-Modells er-folgt eine Beschränkung auf Strömungen mit niedriger Machzahl sowie eineVernachlässigung von akustischen Moden höherer Ordnung. In einer oft ver-wendeten Form lautet es [8, 9]:

(pρc

u

)d

=(

1[1−ζ−α2

]Mu − i ωc le f f

−i ωc lr ed −Md α

)·

(pρc

u

)u

. (2.30)

α entspricht dem Flächenverhältnis α = Au/Ad . Der Verlustkoeffizient ζ be-schreibt näherungsweise akustische Verluste, die zum Beispiel durch eineKopplung von Strömung und Akustik an scharfen Kanten aufgrund von Wir-belablösung auftreten. Für Details bezüglich der Herleitung des Modells so-wie für Varianten sei auf Fischer [8], Gentemann et al. [9], Polifke [10] oderauch Schuermans [18] verwiesen. Wie vielen akustischen Netzwerkelemen-ten liegt auch dem l − ζ-Modell eine sogenannte Kompaktheitsannahme zu-grunde (lumped parameter). Dies bedeutet, dass die Abmessungen des akus-tischen Elements l als vernachlässigbar klein gegenüber den Wellenlängen λ

der betrachteten Frequenzen angesehen werden (l ¿ λ). Das Element wirdfolglich zunächst für eine fiktive Länge von l = 0 modelliert. Die entsprechen-den Phasenverzüge zum Ausgleich dieser Annahme werden hier durch die Pa-

4Die Beschreibungen folgen weitgehend den Darstellungen von Polifke [10] und Fischer [8].

29


rameter le f f und lr ed , der effektiven und der reduzierten Länge, berücksich-tigt.

In diversen Untersuchungen konnte bereits erfolgreich gezeigt werden, dassmittels des l −ζ-Modells das Übertragungsverhalten generischer Fälle, wie z.B. verlustbehafteter Flächensprünge (z.B. [8, 9]), aber auch komplexer akusti-scher Elemente, wie z. B. Düsen [8], bis hin zu Einzelbrennerkonfigurationen(z. B. [8, 13, 18]) in zufrieden stellender Weise nachgebildet werden kann.

2.6 Akustische Energie und akustische Intensität

Die akustische Energie kann prinzipiell mit Hilfe einer Linearisierung derEnergiegleichung hergeleitet werden [39]. In einem isentropen, eindimensio-nalen System ohne oder auch mit konstanter mittlerer Geschwindigkeit setztsie sich aus einem potentiellen und einem kinetischen Anteil der folgendenForm zusammen [6, 35, 36]:

e = 1

2ρu′2 + 1

2

p ′2

ρc2. (2.31)

Existieren weder Quellen noch Verluste im Feld, so bleibt die Summe aus denbeiden Anteilen über der Zeit konstant.

William [40] bzw. Ibrahim et al. [41] leiten eine ausführliche, dreidimensio-nale Form der akustischen Energieerhaltung her5. Sie dient der energetischenBetrachtung thermoakustischer Systeme und umfasst Effekte wie Wärmefrei-setzung, Dissipation und Konvektion. Sie lautet:

∂e

∂t+∇ · (p ′u′)+∇ · (eu)−Γ= 0. (2.32)

5Gemäß Pieringer [6] gilt diese für die Erfassung der akustischen Energie in einem System mit konstantermittlerer Strömung. Die folgenden Erläuterungen entsprechen im Wesentlichen den Ausführungen in Ibrahimet al. [41] und Williams [40]. Für eine detailliertere Beschreibung sei auf diese Arbeiten verwiesen.

30

2.6 Akustische Energie und akustische Intensität

e ist eine skalare Größe. Für u = 0 bzw. u = konst . folgt sie Gleichung 2.31 [6]6.Γ entspricht einem Quellterm, der die Anfachung, aber auch die Dämpfungakustischer Energie beschreibt:

Γ= κ−1

ρc2p ′q ′− f (τ). (2.33)

Der erste Term auf der rechten Seite in Gleichung 2.33 wird durch Wärme-freisetzung bestimmt, zum Beispiel durch Verbrennung. Der zweite Term re-präsentiert die viskose Dämpfung der akustischen Energie als Funktion desSchubspannungstensors τ. Integriert über das Brennkammervolumen lautetGleichung 2.32 unter Verwendung des Divergenztheorems (Satz von Gauss):

d

d t

∫V⟨e⟩dV =−

∫A⟨p ′u′⟩ ·nd A−

∫A⟨eu⟩ ·nd A+

∫V⟨Γ⟩dV. (2.34)

Die eckigen Klammern stellen den Mittelwert über einen Schwingungszyklusdar. Williams [40] bemerkt hierzu, dass die Integration über einen Zyklus nurim Fall monochromer Wellenausbreitung zulässig und zielführend ist. Im Falleines nicht monochromen Wellenfeldes, d. h. wenn sich mehrere Wellen über-lagern, muss für die Integration eine Zeit verwendet werden, die groß gegen-über der größten enthaltenen Schwingungsdauer ist.

In Gleichung 2.34 auf der rechten Seite repräsentiert

• der erste Term den Arbeitsstrom (Leistung), der akustisch über die Rän-der fließt,

• der zweite Term die akustische Energie, die mittels der mittleren konvek-tiven Geschwindigkeit über die Kontrollfläche transportiert wird,

• der dritte Term, wie oben beschrieben, die Differenz zwischen einem An-fachungsmechanismus und viskoser Dämpfung.

6Für die Analyse der Zusammenhänge in einer isentropen Potentialströmung müssten zusätzliche Terme be-rücksichtigt werden. Ein Überblick hierzu ist in der Arbeit von Pieringer gegeben [6].

31


n entspricht in Gleichung 2.34 dem nach außen gerichteten Normalenvektoran der betrachteten Fläche.

Aus obigen Zusammenhängen lässt sich darüber hinaus die akustische Inten-sität I ableiten. Sie ist generell ein Maß für den Fluss akustischer Energie übereine Kontrollfläche [38]. In einer homogenen, ruhenden Strömung lautet sie7:

I = p ′u′ (2.35)

bzw. unter Verwendung der Riemann-Invarianten (Gleichung 2.23 und Glei-chung 2.24) [38]

I = ρc (f2−g2). (2.36)

2.7 Fluid-Schall-Wechselwirkungen

Die Quantifizierung der Wechselwirkungen zwischen Strömung und Akustik,insbesondere unter Berücksichtigung des Einflusses turbulenter Strömungund Wärmefreisetzung, ist äußerst komplex. Für praktische Anwendungenwerden solche Wechselwirkungen bei kleinen Machzahlen zumeist vernach-lässigt. In Bereichen, die jedoch stark von Turbulenz geprägt sind, wie zumBeispiel Grenzschichten oder Gebiete des Ablösens und Wiederanlegens vonStrömungen oder auch beim turbulenten Strahlzerfall, können aber auch be-reits bei relativ kleinen Machzahlen die Interaktionen zwischen Akustik undTurbulenz bedeutend werden [42–44]. Bei höheren Strömungsgeschwindig-keiten sind sie generell zu berücksichtigen.

7Für einen Überblick über den Einfluss einer mittleren Geschwindigkeit auf die akustische Intensität sei wie-derum auf die Arbeit von Pieringer [6] verwiesen.

32


2.7.1 Aeroakustische Analogie

Durch die Veröffentlichungen des englischen Mathematikers Sir Michael Ja-mes Lighthill zum Strahllärm [45] wurde die Strömungs- bzw. Aeroakus-tik Mitte des 20. Jahrhunderts hinsichtlich der Beschreibung von Fluid-Schall-Wechselwirkungen revolutioniert8. Lighthill legte mit seinen Arbei-ten die Grundlage zur Lösung des Problems der Schallerzeugung durchStrömung und begründete damit das Verfahren der sogenannten Aeroakus-tischen Analogie (bzw. Lighthill-Analogie). Mit Hilfe dieser Analogie kön-nen die realen Strömungszustände innerhalb eines abgegrenzten Gebiets,die durch eine komplexe Interaktion der Strömung mit der Akustik zu-stande kommen, durch eine fiktive Anordnung von akustischen Elementar-strahlern (Monopole, Dipole, Quadrupole) nachgebildet werden. Dafür lei-tet Lighthill aus den strömungsmechanischen Grundgleichungen (Navier-Stokes-Gleichungen) die sogenannte inhomogene Wellengleichung der Strö-mungsakustik her:

∂2ρ

∂t 2− c0

2 ∂2ρ

∂xi2= ∂m

∂t− ∂

∂xi(ρ fi +mui )+ ∂2

∂xi x j(ρui u j +pi j − c0

2ρδi j︸︷︷︸Ti j

)

︸︷︷︸Q

. (2.37)

Die drei Terme des Quellterms Q weisen unterschiedliche Anregungscharak-tere auf (Monopol-, Dipol-, Quadrupolstrahler). Der Ausdruck in der Klam-mer im dritten Term wird häufig als Lighthill-Tensor Ti j bezeichnet. Prinzi-piell beinhaltet der Quellterm Q sämtliche instationären Strömungseffekte.Durch Anwendung des integralen Ansatzes nach Kirchhoff kann mit Hilfe vonGleichung 2.37 der Schalldruck am Aufpunkt im Fernfeld bestimmt werden(Abbildung 2.3).

Aufbauend auf diesen Erkenntnissen von Lighthill veröffentlichte unter ande-rem Howe, neben zahlreichen Arbeiten zum Strömungslärm, einige Grundla-genstudien bezüglich der Absorption akustischer Energie aufgrund der Strö-mung. Wie später auch Boij [48] beschreibt er die akustische Dämpfung als

8Die Ausführungen hierzu folgen den Darstellungen von Költzsch in [46, 47].

33


real

akustischeElementar-strahler(Multipole)

Strömungmit Turbulenz

fiktiv real

Modell-

bildung

Schallfeldmit Aufpunkt

Schall-

abstrahlung

Abbildung 2.3: Grundidee der Lighthill-Analogie [46]

ursprünglich nichtlinearen Vorgang, der durch die Existenz einer mittlerenGeschwindigkeit jedoch linear und gleichzeitig signifikant stärker wird (vgl.Abschnitt 2.7.3). Gemäß Howe [44] lassen sich dabei im Wesentlichen drei ver-schiedene Dämpfungsmechanismen unterscheiden9:

• Schalldämpfung durch Wirbelbildung an scharfen Kanten,

• Absorption durch Turbulenz sowie

• Schalldämpfung durch turbulente Wandgrenzschichten.

2.7.2 Akustische Mode, Vorticity-Mode und Entropie-Mode

Die Stärke und die Art der Fluid-Schall-Wechselwirkungen kann alternativauch unmittelbar aus den linearisierten Eulergleichungen (vgl. Abschnitt 2.1)

9Für eine detailliertere Darstellung sei auf Howes Arbeiten verwiesen (insbesondere [44]).

34


abgeleitet werden. Gemäß Chu und Kovászney [49] bzw. Pierce [50] kann je-de Störung, deren Ausbreitung durch diese Gleichungen beschrieben wird, alsÜberlagerung dreier verschiedener Moden interpretiert werden [3]: der akus-tischen Mode (a), der Vorticity-Mode (v) und der Entropie-Mode (e)10. Da-zu werden zunächst die Dichteschwankungen in einen isentropen und einenRestanteil aufgeteilt:

ρ′ = ρa +ρr . (2.38)

Der isentrope Anteil entspricht dem rein akustischen Beitrag. Der Restanteilist der Entropie-Mode zugeordnet. Die Vorticity-Mode trägt nicht zur Ände-rung der Dichte bei. Da nur die akustische Mode mit Druckschwankungenverbunden ist, gilt p ′ = c2ρa. Analog erfolgt eine Zerlegung der Geschwindig-keitsschwankungen in einen wirbelfreien Anteil und einen Restanteil:

u′ =∇φ+ur . (2.39)

Der wirbelfreie Anteil kann allgemein mittels des Gradienten eines Potenti-als φ ausgedrückt werden. Da der Restanteil ur nicht zwingend als quellenfreiangenommen werden muss, ist die Zerlegung hier nicht eindeutig. Folglichkönnen die Druckschwankungen zunächst ganz allgemein und ohne weitereEinschränkungen aus dem akustischen Potential abgeleitet werden [52]:

p ′ =−ρ Dφ

Dt. (2.40)

Damit folgt schließlich [3]:

[D

Dt

(1

c2

D

Dt

)− 1

ρ∇ · (ρ∇)

]φ= fa(ur ,ρr ), (2.41)

10Der entsprechende Ansatz basiert auf einer Separation der Variablen. Angedacht wurde er gemäß Pierin-ger [6] von Ewert et al. (u. a. [51]), konkret durchgeführt von Pankiewitz [3] und später von Pieringer [6]. Diefolgenden Darstellungen bauen auf den Arbeiten der beiden letztgenannten Autoren auf. Für eine detaillierteBeschreibung sei auf diese Quellen verwiesen.

35


∂ur

∂t+ (u ·∇)ur + (ur ·∇)u = fv (φ,ρr ), (2.42)

∂ρr

∂t+ u ·∇ρr +ρr∇ · u = fe(φ,ur , q). (2.43)

Die jeweiligen Ausbreitungsterme stehen auf der linken Seite der Gleichun-gen. Die Quellterme auf der rechten Seite lauten in detaillierter Form [3]:

fa(ur,ρr ) = 1

ρ

(∂ρr

∂t+ u ·∇ρr +ρr∇ · u+∇ · (ur ρ)

), (2.44)

fv (φ,ρr ) =−ω×∇φ+ ∇p

ρ2ρr , (2.45)

fe(φ,ur, q) = (∇p − c2∇ρ) · (∇φ+ur)− ρ((κ−1)∇ · u+ 2

cu ·∇c

)Dφ

Dt− κ−1

c2q ′.

(2.46)

In einem homogenen mittleren Feld ohne Wärmequellen findet keine Kopp-lung zwischen diesen drei Modenformen statt, mit Ausnahme von Vorgängenan den Rändern des Strömungsgebiets [3]. Durch Gradienten der mittlerenGrößen, z. B. durch inhomogene Strömungsfelder und durch Wärmequellen,kommt es jedoch zu einem Austausch von Energie zwischen den einzelnenModen [3].

Im Rahmen der Betrachtung von Gasturbinenbrennkammern können Entro-pieschwankungen außerhalb der Wärmefreisetzungszone häufig vernachläs-sigt werden. Obiges Gleichungssystem reduziert sich damit auf (q = 0):

[D

Dt

(1

c2

D

Dt

)− 1

ρ∇ · (ρ∇)

]φ= 1

ρ

(∇ · (ur ρ))

, (2.47)

∂ur

∂t+ (u ·∇)ur + (ur ·∇)u =−ω×∇φ. (2.48)

Unter Annahme von Isentropie und einem gleichförmigen mittleren Ge-schwindigkeitsfeld (ω = 0) resultiert für die akustische Mode, wie erwartet,

36


eine Vorstufe der konvektiven Wellengleichung in einem inhomogenen Me-dium [3]. Eine externe Wärmezufuhr führt unter der Voraussetzung gleich-förmiger mittlerer Felder lediglich zu einer Erweiterung des Quellterms derakustischen Mode um den letzten Term in Gleichung 2.46 [3]. Betrachtetman hingegen ein rotationsbehaftetes mittleres Geschwindigkeitsfeld (q = 0),so zeigt sich, dass eine Kopplung zwischen der akustischen Mode und derVorticity-Mode einerseits durch rotationsbehaftete Geschwindigkeitsschwan-kungen zustande kommt, andererseits durch eine rotationsbehaftete mittlereStrömung (ω 6= 0). Ein Austausch von Energie kann dabei folglich durch Tur-bulenzeffekte, sowohl im Strömungsfeld, als auch an den Rändern erfolgen.Indikator ist dabei die Wirbelstärke (engl. vorticity)11.

2.7.3 Akustische Verluste am Freistrahl

In der Praxis treten Fluid-Schall-Interaktion unter anderem bei der Ausbil-dung eines Freistrahls auf, wie zum Beispiel an einer abrupten Querschnitts-erweiterung (z. B. am abrupten Übergang zur Brennkammer), einer Blende(z. B. an perforierten Platten) oder einer Düse. Unter Vernachlässigung vonRückkopplungseffekten, wie z. B. dem Trailing Edge Noise, führt dies im All-gemeinen zu einer Dämpfung der akustischen Schwankungen, insbesondereaufgrund von periodischer Wirbelablösung an der Kante [53]. Die abgelöstenWirbel werden mit der mittleren Geschwindigkeit stromab getragen, wo sie z.B. in Innere Energie umgewandelt und/oder aus dem System heraus getragenwerden [43].

Genauere theoretische Untersuchungen hierzu stammen unter anderem vonHowe, der z. B. die Durchströmung kreisförmiger Blenden in dünnen, star-ren Platten analysierte [43]. Er beschränkt sich dabei auf Strömungen hoherReynolds-, geringer Machzahl und geringer viskoser Dissipation. Mit Bezugauf die experimentellen Arbeiten Becherts [53] sagt er, dass bei einer solchenArt von Durchströmung der Einfluss der Viskosität auf die Ermöglichung derWirbelablösung an der Kante beschränkt werden kann; stromab davon sind

11Der statische Druckverlust in Gasturbinenbrennern kann allgemein als klein betrachtet und hier somit inerster Näherung vernachlässigt werden.

37


viskose Effekte vernachlässigbar [43]. Diese Aussage ist insofern bedeutend,als dass sie besagt, dass akustische Verluste prinzipiell auch mittels der li-nearisierten Eulergleichungen und nicht ausschließlich mit Hilfe der Navier-Stokes-Gleichungen bestimmt werden können (mit Ausnahme der Zuständeam Ablösepunkt (s.o.)). Im Rahmen einer integralen Betrachtung leitet Ho-we [43] daraus die sogenannte Rayleigh-Konduktivität her (vgl. Kapitel 6). Da-bei ist die akustische Wellenlänge weit größer als der Radius der Öffnung. Un-ter der Annahme kleiner Machzahlen können die physikalischen Zusammen-hänge an der akustisch kompakten Öffnung dann auch durch die Gleichungenfür inkompressible Medien dargestellt werden. Wie oben beschrieben, führteine entsprechende Modellierung jedoch zur Ausbildung von Singularitätender Schwankungsgrößen an der Kante, da dort die Strömung stark von derViskosität geprägt ist. Dem wird, gemäß der Tragflügeltheorie, durch die Im-plementierung einer Kutta-Bedingung Rechnung getragen.

Gemäß Howe [43] entspricht das Ablösen von Wirbeln an sich einem nichtli-nearen Prozess, da es auf den Reynoldschen Schubspannungen ρui u j beruht,welche quadratisch mit der Geschwindigkeit u skalieren. Existiert jedoch einemittlere Geschwindigkeit im Feld, so gehen die fluktuierenden ReynoldschenSchubspannungen linear in die Impulsgleichung ein. Es resultiert eine erhöh-te akustische Dämpfung aufgrund der Mechanismen der Wirbelablösung [43].Demnach ist es auch bezüglich dieses Kriteriums möglich, akustische Verlus-te in durchströmten oder auch umströmten Bauteilen im Wesentlichen mitHilfe der linearisierten Eulergleichungen abzubilden (mit Ausnahme der Zu-stände am Ablösepunkt (s.o.)) [43]: Die Divergenz der Impulsgleichung für in-kompressible reibungsfreie Strömungen kann prinzipiell in folgender Formdargestellt werden [43]:

∇2B =−∇ · (ω×u). (2.49)

Dies basiert auf der Bernoulligleichung. B repräsentiert die Totalenthalpie(pro Masse) an einem Ort [43]:

B = p

ρ+ 1

2u2. (2.50)

38


Eine Linearisierung ergibt näherungsweise für die rechte Seite von Gleichung2.49 (ausschließlich für den Term in Klammern) [43]:

ω×u = ω×u′+ω′× u+ ω× u. (2.51)

Vereinfachend wird angenommen, dass die Hauptmechanismen der Strö-mungsablösung im Hinblick auf die akustischen Verluste durch den zweitenTerm in Gleichung 2.51 beschrieben werden [43]. Damit gilt näherungsweise:

∇2B ′ =−∇ · (ω′× u). (2.52)

Ausgangspunkt für die Herleitung der entsprechenden Form der Wellen-gleichung ist demzufolge die Eulergleichung für ein homoentropes, nicht(wärme-)leitendes, reibungsfreies Fluid in der Formulierung von Crocco [34]:

∂u

∂t+∇B =−ω×u. (2.53)

Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich unter Berücksichtigungvon Gleichung 2.52:

1

c2

D2B ′

Dt 2−∇2B ′ =∇ · (ω′×u). (2.54)

Die Totalenthalpie B kann alternativ auch durch eine entsprechende Formu-lierung des Totaldrucks ersetzt werden. Die Eulergleichung sowie die Wellen-gleichung können folglich auch als eine Funktion des Totaldrucks dargestelltwerden. Diese Erkenntnisse werden später im Rahmen von Kapitel 5 genutzt,um einen neuartigen Ansatz zur Modellierung entsprechender akustischerVerlustmechanismen herzuleiten.

39

3 Berechnungsverfahren

Nach der Zusammenfassung der wesentlichen akustischen Grundlagen er-folgt nun ein Einblick in das verwendete numerische Verfahren.

3.1 Entwicklungsumgebung und Finite Elemente Methode

Zur Realisierung seines Berechnungsverfahrens wählte Pankiewitz [3] denFinite-Elemente-Code FEMLAB (vgl. Abschnitt 1.3), heute COMSOL MULTI-PHYSICS. Das Programm ermöglicht die Modellierung mehrdimensionalerAufgabenstellungen und die Lösung weitgehend beliebiger Systeme partiellerDifferentialgleichungen [3, 54]. Die zusätzlich enthaltenen Umgebungen zurDefinition und Vernetzung komplexer Geometrien sowie zum Postprocessingunterstützten die Verwirklichung des langfristigen Ziels, ein numerisches De-signsystem zur Auslegung moderner Brennkammern zu entwickeln. Für dieEinbindung selbst verfasster Routinen existiert u. a. eine enge Verbindung zurnumerischen Programmierumgebung MATLAB [3, 54].

Die Methode der Finiten Elemente (FEM) zeichnet sich hierfür durch ihre Flexi-bilität in der Lösung allgemeiner partieller Differentialgleichungssysteme aussowie in der leichteren Anpassung der Rechenfälle an komplexe Geometri-en [3]. Gegenüber alternativen Ansätzen (insbesondere Finite-Volumen- oderauch Finite-Differenzen-Verfahren) weist sie zudem eine deutlich höhere nu-merische Stabilität bei unstetigen Änderungen der Zustandsgrößen im Be-rechnungsgebiet auf [3]. Im Folgenden wird - in Anlehnung an Pankiewitz [3] -ein kurzer Überblick über die FEM sowie den verwendeten Berechnungscodegegeben. Für einen detaillierteren Einblick sei auf seine Arbeit verwiesen undauf den User’s Guide der verwendeten Simulationssoftware [54].

Ausgangspunkt einer FEM-Rechnung ist die Vernetzung des Berechnungsge-

40

3.1 Entwicklungsumgebung und Finite Elemente Methode

biets. Bei eindimensionaler Betrachtung wird dazu die Geometrie in kleine-re Intervallstücke unterteilt. Bei der Erzeugung eines unstrukturierten Git-ters werden für eine zweidimensionale Untersuchung Dreiecke und für einedreidimensionale Betrachtung Tetraeder verwendet [3, 54]. Im Rahmen derFEM wird auf diesen Elementen die eigentliche Lösung durch sogenannte An-satzfunktionenΦi approximiert. Je nach Typ der verwendeten Ansatzfunktionkönnen neben den Eckpunkten der Gitterelemente diverse weitere Punkte imElement oder am Rand definiert werden. Im Rahmen dieser Arbeit werdenals Ansatzfunktionen ausschließlich Lagrange-Elemente verwendet. Sie wei-sen allgemein folgende Eigenschaften auf [3]:

1. auf dem i-ten Knoten des Netzes giltΦi = 1;

2. auf allen anderen Knoten des Berechnungsnetzes giltΦi = 0;

3. innerhalb der Elemente, denen der i-te Knoten des Netzes zugeordnetist, istΦi ein Polynom bestimmter Ordnung.

Die Ordnung des verwendeten Polynoms ergibt sich aus der Anzahl der Kno-ten innerhalb eines Elements. Dienen beispielsweise nur die Eckpunkte derfiniten Elemente als Stützstellen, sind die verwendeten Lagrange-Elemente li-near bzw. erster Ordnung. Die Wahl der örtlichen Diskretisierung nimmt di-rekt Einfluss auf die Qualität und die Geschwindigkeit des numerischen Be-rechnungsverfahrens. Die approximierte Lösung g des eigentlichen Problemsergibt sich schließlich aus einer Linearkombination der Form [3]:

g =N∑

i=1

GiΦi . (3.1)

Die Summation erfolgt über die Anzahl der Freiheitsgrade N . Die Koeffizi-enten Gi entsprechen den Unbekannten des Systems. Zur Lösung partiellerDifferenzialgleichungen stehen im verwendeten FEM-Code diverse vorimple-mentierte Gleichungssätze sowie unterschiedliche explizite und implizite Ver-fahren zur Verfügung.

41

Berechnungsverfahren

3.2 Numerische Verluste

Bevor das Ziel weiter verfolgt werden kann, die Methode von einem quali-tativen zu einem quantitativen Werkzeug zu erweitern, muss zunächst diedurch die Diskretisierung generierte, numerische Dämpfung erfasst werden.Verschiedene Ergebnisse hierzu existieren bereits von Pankiewitz [3]. Im Fol-genden werden mittels eines alternativen Ansatzes zusätzliche Untersuchun-gen unter Verwendung aktueller Versionen des Softwarepakets durchgeführt,um daraus allgemeine Modellierungsregeln abzuleiten.

3.2.1 Modellierungsansatz

Die Quantifizierung der numerischen Verluste erfolgt hier mit Hilfe der zeit-lich gemittelten akustischen Intensität. Die akustische Intensität ist allgemeinein Maß für den Fluss akustischer Energie über eine Kontrollfläche [38] (vgl.Abschnitt 2.6). Ihr lokaler Momentanwert berechnet sich für u = 0 gemäß Glei-chung 2.35; ihr entsprechendes lokales zeitliches Mittel gemäß:

⟨I ⟩ = 1

tmax

∫ tmax

0p ′u′d t . (3.2)

Für u = 0 ist ⟨I ⟩ in einem verlustfreien, passiven System mit perfekt reflektie-renden Rändern im idealen Fall an jedem Ort gleich Null [38]. Abweichungendavon weisen hier auf numerische Verluste hin, respektive auf Verluste, diedurch die Numerik aufgrund der Diskretisierung generiert wurden. Für |r | < 1geht an den Rändern des Systems Energie verloren. Die Intensität ist dann un-gleich Null [38]. Ohne numerische Verluste ist für u = 0 die im zeitlichen Mitteltransportierte Energie längs eines verlustfreien Rohres (passives System) stetskonstant.

Hier erfolgt die Untersuchung der numerischen Dämpfung unter der An-nahme eines Freifelds (rd = 0) für u = 0. Die Betrachtung wird auf eine örtlicheDimension reduziert. Im Sinne eines möglichst aussagekräftigen Ergebnisseserfolgt die Analyse über eine Strecke, die sehr lang ist im Vergleich zu den hier

42


λ (10 λ)

Rechengebiet

Auswertebereich

rd=0

p'=P sin(2 π f)x

1x

2

x

Abbildung 3.1: Modell zur Bestimmung der numerischen Dämpfung

ansonsten üblichen geometrischen Zusammenhängen. Sie umfasst zehn Wel-lenlängen der betrachteten Anregungsfrequenz (Abbildung 3.1). Aufgrund dernumerischen Dämpfung fallen die Amplituden der akustischen Größen aufden n Teilstrecken der Länge λ jeweils exponentiell um den Wert des relativenVerlusts Nv [55]:

⟨I1⟩ · (1+Nv )n = ⟨In+1⟩. (3.3)

Die Quantifizierung der numerischen Dämpfung pro Wellenlänge erfolgt so-mit in Form des relativen Verlustes Nv :

Nv = 10

√⟨Ix2⟩⟨Ix1⟩

−1. (3.4)

x1 entspricht dem Anfangspunkt des Auswertegebiets, x2 dem Endpunkt. Dietransienten Berechnungen finden mit Hilfe der Wellengleichung für ein kaltes,homogenes Medium statt (Luft, T = 20◦ C ). Um Randeffekte auf das Ergebnisauszuschließen, ist das betrachtete Rechengebiet größer als der Auswertebe-reich (Abbildung 3.1). Die Anregung erfolgt in Richtung der positiven x-Achse.Stromab befindet sich eine nicht reflektierende Randbedingung.

Die Mittelung der Intensität an den beiden Referenzpunkten x1 und x2 be-ginnt ab dem Zeitpunkt, an dem die Welle x1 erreicht. Dies führt zunächst zueinem raschen Anstieg der gemittelten Intensitäten über der Zeit, bis schließ-lich ein Grenzwert erreicht wird. Bei der Existenz numerischer Dämpfung im

43


System hängt dieser Grenzwert von der verwendeten Diskretisierung ab. DieBerechnungsdauer tmax umfasst 500 Schwingungsperioden.

Im Gegensatz zu Finite-Differenzen- und Finite-Volumen-Verfahren existiertbei der FEM kein unmittelbarer Zusammenhang zwischen zeitlicher und ört-licher Diskretisierung [3] hinsichtlich der numerischen Stabilität, wie er in derRegel durch die Courandzahl ausgedrückt wird. Dies erfordert hier eine ge-trennte Analyse des Einflusses der zeitlichen und der örtlichen Diskretisie-rung1.

3.2.2 Zeitliche Diskretisierung

Zunächst erfolgt eine Betrachtung des Einflusses des gewählten Zeitschrittsauf die Höhe der numerischen Dämpfung. Er wird parametrisch von ∆t · f =1.0·10−1 bis ∆t · f = 2.5·10−3 variiert. Zur Lösung des Problems wird ein im-plizites Zeitintegrationsverfahren verwendet, basierend auf einer BackwardDifferential Formula zweiter Ordnung (BDF2). Die örtliche Diskretisierung (li-neare Langrange-Elemente) umfasst stets zwanzig Stützstellen pro Wellenlän-ge.

Die Ergebnisse weisen eine deutliche Abhängigkeit vom gewählten Zeitschrittauf (Abbildung 3.2). Eine starke Beeinflussung der Wellenausbreitung auf-grund numerischer Dämpfung existiert demnach bei Verwendung großer Be-rechnungszeitschritte. Für ∆t · f = 1.0·10−1 werden ca. 50 % numerische Ver-luste pro Wellenlänge generiert. Ab einem Zeitschritt von ∆t · f = 1.0·10−2 be-laufen sich die numerischen Verluste pro Wellenlänge jedoch auf weniger alsca. drei Promille. In diesem Bereich können sie in erster Näherung vernach-lässigt werden.

3.2.3 Örtliche Diskretisierung

Für die Untersuchung des Einflusses der örtlichen Diskretisierung auf die nu-merische Dämpfung wird als zeitliche Diskretisierung ∆t · f = 1.0·10−2 ge-

1Diese Analyse findet unter Verwendung von COMSOL MULTIPHYSCIS (Version 3.4)/ MATLAB (2007b) statt.

44


10−3

10−2

10−1

−0.5

−0.45

−0.4

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

∆ t ⋅ f [−]

Nv [−

]

Abbildung 3.2: Numerische Verluste pro Wellenlänge in Abhängigkeit von derzeitlichen Diskretisierung

wählt. Zur örtlichen Diskretisierung werden wiederum lineare Langrange-Elemente verwendet (örtliche Diskretisierung erster Ordnung).

In Abbildung 3.3 sind die daraus resultierenden numerischen Verluste proWellenlänge in Abhängigkeit von der Anzahl der Stützstellen pro Wellenlängegegeben. Daraus wird ersichtlich, dass der Einfluss der örtlichen Diskretisie-rung auf die Wellenausbreitung bei der gewählten zeitlichen Diskretisierungäußerst klein ist. Er ist für alle betrachteten Fälle geringer als zwei Promilleund kann somit über dem gesamten untersuchten Diskretisierungsbereich alsvernachlässigbar betrachtet werden. Dies trifft auch für eine sehr grobe örtli-che Auflösung der Welle mit fünf Punkten pro Wellenlänge zu.

Eine in diesem Zusammenhang nicht dargestellte identische Untersuchungunter Verwendung des Zeitschrittes ∆t · f = 5.0·10−2 zeigt, dass dort die örtli-che Diskretisierung etwas mehr Einfluss auf das Ergebnis hat. Eine entschei-dende Verbesserung der starken Abweichungen, die dabei durch die mangel-hafte zeitliche Auflösung generiert werden, kann dort aber auch mit einer sehr

45


0 20 40 60 80 100−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

λ / ∆ x [−]

Nv [−

]

Abbildung 3.3: Numerische Verluste pro Wellenlänge in Abhängigkeit von derörtlichen Diskretisierung

feinen örtlichen Diskretisierung nicht erzielt werden.

Bei Verwendung einer sehr groben örtlichen Auflösung erwiesen sich je-doch insbesondere nicht reflektierende Randbedingungen, auch bei anderenAnwendungsfällen, als fehleranfällig hinsichtlich der korrekten Darstellungdes generellen Verlaufs der Amplituden. Erfahrungen zeigten, dass eine Dis-kretisierung mit 20 Stützstellen pro Wellenlänge unter Verwendung linearerLagrange-Elemente auch für diese Fälle ausreichend ist [56].

3.2.4 Zusammenfassung

Zusammenfassend kann somit ausgesagt werden, dass die zeitliche Diskre-tisierung deutlich mehr Einfluss auf die Höhe der numerischen Dämpfungausübt als die örtliche Diskretisierung. Dies stimmt auch mit den Ergebnissenvon Pankiewitz [3] überein. Bei hinreichend feiner Diskretisierung kann dienumerische Dämpfung für die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Un-tersuchungen generell als vernachlässigbar eingestuft werden. Aufgrund der

46


vorliegenden Ergebnisse ist es nicht zu erwarten, dass eine dreidimensionaleBerechnung nennenswerte Abweichungen von den hier vorgestellten Ergeb-nissen liefert [56]. Auch in diesem Fall bleibt der Einfluss der zeitlichen Dis-kretisierung zunächst unverändert. Abweichend ist lediglich der Einfluss derörtlichen Diskretisierung, welche sich dann über drei Raumdimensionen er-streckt. Der Einfluss der örtlichen Diskretisierung ist hier jedoch in der Regeläußerst gering.

Hinsichtlich allgemeiner Modellierungsregeln sollte für die im Rahmen dieserArbeit untersuchten Fälle bezüglich der zeitlichen Diskretisierung ein Grenz-wert von ∆t · f = 1.0·10−2 nicht überschritten werden. Die örtliche Diskreti-sierung sollte erfahrungsgemäß ca. zwanzig Stützstellen pro Wellenlänge un-ter Verwendung linearer Lagrange-Elemente aufweisen, um eine ausreichen-de Darstellung der Welle und ihrer Amplitude in allen Bereichen sicherzustel-len [56] (vgl. hierzu auch Pankiewitz [3]).

47

4 Validierung der Wellengleichung undder Helmholtzgleichung

Im Rahmen dieses Kapitels wird zunächst der Einfluss verschiedener Termeder Wellen- bzw. der Helmholtzgleichung auf die Vorhersage der akustischenWellenausbreitung analysiert. Ziel dieser Untersuchungen ist, die Anzahl derTerme in der jeweiligen Gleichung soweit wie möglich zu reduzieren, um soden Aufwand für die durchzuführenden Berechnungen zu minimieren, ohnedadurch die Qualität der Ergebnisse zu beeinträchtigen. Die betrachteten Ter-me beinhalten entweder Gradienten der mittleren Dichte und somit der Tem-peratur oder beschreiben den Einfluss einer homogenen mittleren Geschwin-digkeit.

Anschließend erfolgt, als Vorbereitung für die darauf folgenden Kapitel, einprinzipieller Einblick in die Modellierung von akustischen Verlusten mit Hilfeder Wellen- bzw. der Helmholtzgleichung.

4.1 Dichtegradienten

4.1.1 Historische Entwicklung

Trotz langjähriger Forschungsaktivitäten hinsichtlich des Einflusses vonDichte- bzw. Temperaturgradienten und ihrer Modellierung auf die konkre-te Beschreibung der Wellenausbreitung bleiben viele Untersuchungen hierzunach wie vor auf generische, eindimensionale Anwendungsfälle beschränkt.Gründe dafür sind insbesondere die Anzahl und das komplexe Zusammen-spiel verschiedener physikalischer Wirkmechanismen in diesem Bereich.

Bereits 1953 erfasste Chu [57] analytisch den Einfluss verschiedener Parame-

48


ter einer Flamme auf das akustische Feld. Er untersuchte eine eindimensio-nale Wärmefreisetzungszone vernachlässigbarer Dicke, bzw. eine sprunghaf-te Änderung der Zustandsgrößen über der Flamme. Er wies jedoch auch aufdie damit zusammenhängenden Vereinfachungen hin, wie zum Beispiel ei-ne Vernachlässigung der Betrachtung detaillierter Prozesse und Interaktio-nen, die insbesondere mit dem zeitlichen Verhalten einer Flamme einherge-hen [57]. Wie später in deutlich vereinfachter Form auch Rienstra und Hirsch-berg [34] stellte Chu, mit Bezug auf die Arbeiten von Rayleigh, zudem Überle-gungen zum Transmissions- und Reflexionsverhalten akustischer Wellen aneiner Flamme an. Er zeigte, dass unter obigen Annahmen der Einfluss derFlamme auf das akustische Feld im Wesentlichen gleich dem einer sprung-haften Temperaturänderung ist [57].

Von unterschiedlichen Forschergruppen wurde in den darauf folgenden Jahr-zehnten der Einfluss axialer Temperaturgradienten auf die Akustik intensivanalysiert. Anfangs wurden dabei häufig Effekte der mittleren Geschwindig-keit noch vernachlässigt. Für die Untersuchungen wurde oft die Wellen- bzw.die Helmholtzgleichung verwendet. Deren Lösung erfolgte entweder analy-tisch oder auch numerisch, z. B. mittels einer Runge-Kutta-Methode [58, 59]oder einer Abwandlung der sogenannten WKB-Methode1 [60] (vgl. [58, 61]).Umurhan [61] entwickelte letztgenannten Ansatz weiter, um damit die akus-tischen Eigenfunktionen eindimensionaler Brennkammern bei einer nahe-zu beliebigen Wärmefreisetzungsverteilung zu untersuchen. Im Gegensatz zuvielen früheren Autoren setzte er, mit Ausnahme von stationärem Systemver-halten und M < 1, keine weiteren wesentlichen Einschränkungen hinsichtlichder Gradienten der thermodynamischen Zustandsgrößen und des Geschwin-digkeitsfeldes voraus [61].

Umfangreiche Forschungsaktivitäten hinsichtlich der analytischen und expe-rimentellen Erfassung des Einflusses von Dichtegradienten auf die Wellenaus-breitung fanden darüber hinaus von der Forschergruppe um Zinn statt [58].Sie entwickelten die sogenannte Impedance Tube Technique für Hochtempe-ratursysteme und betrachten damit große Temperaturgradienten und auch

1Die WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin)-Methode findet insbesondere in der Quantenmechanik Anwendung.Mit ihr können näherungsweise Lösungen mit variablen Koeffizienten erzielt werden [58].

49

Validierung der Wellengleichung und der Helmholtzgleichung

hohe Machzahlen, insbesondere vor dem Hintergrund der Raketentechnik[58]. Des Weiteren entwickelten zum Beispiel Peat [62] sowie Munjal und Pra-sad [63] unter anderem [64] analytisch hergeleitete Transfermatrizen weiter,zur Beschreibung des Einflusses linearer Temperaturgradienten in Rohren, in-klusive einer Berücksichtigung der mittleren Geschwindigkeit [58].

Seit ca. 1995 fanden von der Forschergruppe um Sujith umfangreiche analyti-sche, aber auch numerische Studien im Frequenz- und im Zeitbereich zumEinfluss und zur exakten Modellierung von Dichtegradienten statt. DiverseArbeiten wurden in diesem Rahmen bezüglich der exakten Lösung eindimen-sionaler Wellenfelder in Rohren veröffentlicht, u. a. unter dem Einfluss linea-rer [58, 65–67], quadratischer [68], exponentieller [65–67] oder auch polyno-mialer Temperaturprofile [69]. Weitere Untersuchungen fanden unter expli-ziter Betrachtung von Dämpfung [65], Querschnittsveränderungen [70] undmittlerer Geschwindigkeit [58] statt. 2001 zeigte Sujith, dass sich diese Ansätzedazu eignen, die Wechselwirkungen zwischen Akustik und Wärmefreisetzung,unter gleichzeitiger Berücksichtigung von Wärmefreisetzungsschwankungen,deutlich besser als bisher zumeist üblich zu modellieren [66]. Später erfolgteeine Erweiterung der Arbeiten auf einfache mehrdimensionale Betrachtungensowie auf die Untersuchung des Einflusses von Nichtlinearitäten [69, 71, 72]und nicht normalem Verhalten [72].

Matveev und Culick [73] veröffentlichten zudem experimentelle Daten sowieein analytisches Modell bezüglich des Einflusses von Dichtegradienten auf diethermoakustische Stabilität eines Rijke-Rohres. Sie zeigen, dass die korrekteModellierung des Dichtefeldes essentiell für die korrekte Vorhersage des ther-moakustischen Verhaltens eines Systems ist. Dies steht im Einklang mit denAussagen verschiedener weiterer Autoren [66, 70, 74].

Trotz dieser und diverser weiterer Untersuchungen bezüglich des Einflussesvon Temperaturgradienten auf die Wellenausbreitung erfolgt nach wie vor dieImplementierung von Temperaturfeldern, in Zusammenhang mit der Bestim-mung der thermoakustischen Stabilität von Systemen, bei vielen Modellen le-diglich mittels einer Diskontinuität der Zustandsvariablen über der Wärme-freisetzungszone [74]. Dies gilt besonders für die in der Praxis hierfür übli-chen Netzwerkmethoden [74]. Im Rahmen von CFD-Ansätzen sind solche Ef-

50


fekte hingegen in der Regel implizit enthalten. Darüber hinaus wird in derLiteratur bei Netzwerkmodellen für solche Aufgabenstellungen nahezu aus-schließlich die Wellen- bzw. Helmholtzgleichung für homogene Medien ver-wendet, obwohl verschiedene Autoren empfehlen, hierfür die erweiterten For-men der Gleichungen für inhomogene Medien (z. B. Gleichung 2.13) anzu-wenden [36, 74].

4.1.2 Dichtegradienten ohne Wärmefreisetzung

Im Folgenden wird untersucht, inwiefern die Verwendung unterschiedlicherFormen der Helmholtzgleichung einen Einfluss auf die Vorhersage der akus-tischen Wellenausbreitung hat. Gleichung 2.21 (k2p +∆p = 0), die eigentlicheHelmholtzgleichung, wird dabei als Helmholtzgleichung für homogene Medi-en bezeichnet. Die fouriertransformierte Form von Gleichung 2.13,

k2p + ρ∇ ·

(1

ρ∇p

)= 0, (4.1)

wird entsprechend Helmholtzgleichung für inhomogene Medien genannt.Wärmefreisetzungseffekte werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Unter-suchungen finden anhand eines zylindrischen Rohres statt2.

Die Anregung findet von der stromauf gelegenen Stirnfläche aus statt (vgl.Tabelle 4.1), gemäß: n · (1/ρ∇p) = iωu. Am gegenüberliegenden Rand wirdmittels einer Impedanz-Randbedingung der Form n · (−1/ρ∇p)− iωp/Z = 0;Z = ρc(1+ r )/(1− r ) ein Reflexionsfaktor von r = 0.95 implementiert. Alle üb-rigen Ränder werden als schallhart modelliert (n ·∇p = 0). Verglichen werdenstets die Spektren am Referenzpunkt x = 0.75m auf der Mittelachse des Zylin-ders. Betrachtet wird der relative Schalldruckpegel

∆Lp = Lp −Lp,mi n (4.2)

2Verschiedene Parameter des numerischen Modells sind in Tabelle 4.1 zusammengefasst.

51


GeometrieForm zylindrisches Rohrstück (3D, l = 1 m, D = 0.1 m)

GitterAnzahl und Art der Elemente 18631 TetraederDiskretisierungsschema lineare Lagrange-Elemente

SolverSoftware COMSOL MULTIPHYSICS (FEM, V 3.4., Acoustic Mode)Art direkt, parametrisch, FrequenzbereichFrequenzbereich f = 10 : 1 : 1000 H z

StoffwerteMedium Luft (ideales Gas)

Randbedingungenstromab (x = 1 m) Impedanz r = 0.95stromauf (x = 0 m) Schnelleanregung u

Tabelle 4.1: Parameter des FEM-Modells zur Untersuchung des Einflusses vonaxialen Temperaturgradienten

über der Helmholtzzahl He= f · l/c (p0 = 20·10−6 Pa). Die Helmholtzzahlist hier auf den Durchmesser des Rohres und die Schallgeschwindigkeit fürT = 20◦ C bezogen. Lp,mi n entspricht in allen Auswertungen dem minima-len Schalldruckpegel aus den Ergebnissen in Abschnitt 4.1.2.1 (vgl. Abbildung4.1).

4.1.2.1 Homogenes Temperaturfeld

Als Referenz wird zunächst der Fall ohne Dichtegradienten betrachtet, re-spektive die Wellenausbreitung in einem homogenen ruhenden Medium (T =20◦C ). Wie erwartet sind die Graphen in Abbildung 4.1 deckungsgleich. BeideGleichungen liefern hierfür folglich ein identisches Ergebnis. Für beide Fälleist eine regelmäßige Abfolge von Druckspitzen und somit Resonanzfrequen-zen zu erkennen. Aufgrund der Verluste am Rand weisen die Spitzen eine end-liche Höhe auf.

52


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

He [−]

∆ L p [d

B]

HE hom. Medium (T=konst.)

HE inhom. Medium (T=konst.)

Abbildung 4.1: Spektren: homogenes Temperaturfeld

4.1.2.2 Axiale Dichtegradienten

In Anlehnung an, und auch zur Validierung der üblichen Ansätze aus der Li-teratur wird hinsichtlich der Betrachtung axialer Dichtegradienten nun zu-nächst eine sprunghafte Änderung der Zustandsvariablen untersucht, respek-tive ein Dichtesprung bei x = 0.4 m. Stromab und stromauf dieses Ortes sindρ und c konstant. Die Temperatur ändert sich an der Sprungstelle schlagartigvon T1 = 20◦C auf T2 = 1500◦C . Wärmeverluste an den Wänden werden nichtberücksichtigt.

Aus Abbildung 4.2 ist zu erkennen, dass die Verwendung der unterschiedli-chen Formen der Helmholtzgleichung hier zu deutlich unterschiedlichen Er-gebnissen in der Vorhersage des akustischen Feldes führt. Als Referenz ist inAbbildung 4.2 zusätzlich nochmals das Spektrum für den Fall eines homoge-nen, kalten Mediums gegeben. Auffällig sind zunächst die unterschiedlichenEigenfrequenzen der drei betrachteten Fälle. Im Vergleich zum homogenen,kalten Medium liegen in den beiden anderen Fällen weniger Eigenfrequen-zen vor. Dies ist unter anderem auf den Temperaturunterschied und die damit

53


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

−20

−10

0

10

20

30

40

He [−]

∆ L p [d

B]

HE hom. Medium (T

1, T

2)

HE inhom. Medium (T1, T

2)

HE inhom. Medium (T=konst.=T1)

Abbildung 4.2: Spektren: inhomogenes Temperaturfeld, axialer Dichtesprung

verbundenen unterschiedlichen Wellenlängen zurückzuführen. Zudem findetam Dichtegradienten eine teilweise Reflexion und Transmission der akusti-schen Wellen statt. Diese wird durch die beiden unterschiedlichen Formen derHelmholtzgleichung unterschiedlich quantifiziert. Bestätigt wird dies durchentsprechende Aussagen in der Literatur (vgl. Abschnitt 4.1.1) sowie durchnumerische Berechnungen von Wanke und Sattelmayer [74] (vgl. Abschnitt4.1.3). Demnach führt die Verwendung der Helmholtzgleichung für inhomo-gene Medien im Vergleich zur Helmholtzgleichung für homogene Medien zueinem zusätzlichen Term, der das Ergebnis wesentlich beeinflusst [74]:

k2p + ρ∇ ·

(1

ρ∇p

)= k2p + ρ∇1

ρ∇p +∆p = 0. (4.3)

Dies resultiert u. U. in der Vorhersage eines unterschiedlichen Energiehaus-halts im betrachteten System bei Verwendung der beiden unterschiedlichenGleichungen. Ein ursächlicher Einfluss der Numerik auf das Ergebnis kanndabei ausgeschlossen werden (vgl. hierzu auch Wanke und Sattelmayer [74]

54


bzw. die dazu ergänzenden Analysen in Abschnitt 4.1.3).

Somit lässt sich aussagen, dass bereits ohne Wärmequellen deutliche Abwei-chungen in den Ergebnissen bei Verwendung der beiden unterschiedlichenArten der Helmholtzgleichung zu erkennen sind. Diese beziehen sich insbe-sondere auf die Eigenfrequenzen, aber u.U. auch auf die im System enthalte-ne, akustische Energie.

4.1.2.3 Radiale Dichtegradienten

Ergänzend werden im Folgenden radiale Dichtegradienten untersucht. Sie bil-den sich zum Beispiel an gekühlten oder auch nicht isolierten (nicht adiaba-ten) Wänden aus. Man spricht dann von Wandgrenzschichten. Diese sind inder Regel klein im Vergleich zu den Abmessungen der betrachteten Geome-trie. In der Akustik werden sie deshalb zumeist vernachlässigt. Die zugehöri-gen Gradienten verlaufen üblicherweise exponentiell.

Um den Einfluss radialer Dichtegradienten auf die Akustik zu untersu-chen, wird im Folgenden die Approximation eines turbulenten Geschwindig-keitsprofils zur Modellierung eines entsprechenden Temperaturprofils ver-wendet [75], gemäß [76]:

T = (1−R/Rmax)1/7(Tb −Tw )+Tw . (4.4)

R ist der Radius des Rohres, Tb = 100◦ C die Kerntemperatur im Mediumund Tw = 20◦C die Wandtemperatur. Die Umrechnung der Temperatur in dieDichte erfolgt mittels der Idealgasgleichung; die Bestimmung der Schallge-schwindigkeit mit Hilfe deren Definition c =√

κp/ρ. Um das Berechnungsgit-ter am Rand, zur Auflösung des Gradienten, entsprechend stark verfeinern zukönnen, wird die Untersuchung auf eine zweidimensionale, achsensymmetri-sche Betrachtung reduziert. Das Berechnungsgitter umfasst 100069 dreieckigeElemente. Zur örtlichen Diskretisierung werden lineare Lagrange-Elementeverwendet.

55


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

He [−]

∆ L p [d

B]

HE hom. Medium (T=f(T

b,T

w,r))

HE inhom. Medium (T=f(Tb,T

w,r))

HE inhom. Medium (T=Tb)

HE inhom. Medium (T=Teff

)

Abbildung 4.3: Spektrum: inhomogenes Temperaturfeld, radialer Dichtegra-dient

Aus Abbildung 4.3 erkennt man, dass die Wandgrenzschicht einen dämpfen-den Einfluss auf das akustische System ausübt. Folglich sind auch die Reso-nanzfrequenzen leicht verschoben im Vergleich zum ebenfalls dargestelltenFall eines homogenen, heißen Mediums. Beide Varianten der Helmholtzglei-chung führen hier aber zu nahezu identischen Ergebnissen.

In Abbildung 4.3 ist zudem das Resultat einer alternativen Berechnung desEinflusses einer Wandgrenzschicht dargestellt. Dieser Ansatz ermöglicht,durch die Verwendung einer effektiven Temperatur, den enormen Berech-nungsaufwand aufgrund des Auflösens der Wandgrenzschicht zu umgehen.Gleichzeitig kann er einen entscheidenen Beitrag zur Verbesserung von Netz-werkmodellen liefern, bei ebenfalls nahezu vernachlässigbarem, zusätzlichenModellierungsaufwand. Die Bestimmung von Te f f erfolgt hier mittels einerIntegration des Temperaturprofils über eine Querschnittsebene und einer an-schließenden Division durch die Fläche. Te f f ≈ 85◦C wird nun als Ersatztem-peratur eines homogenen Mediums verwendet. Für den betrachteten Fall re-sultiert daraus ein identisches Spektrum wie im Rahmen der expliziten Mo-dellierung des Gradienten.

56


4.1.3 Einfluss der Modellierung axialer Dichtegradienten auf thermoakus-tische Systeme

Ziel der folgenden Untersuchungen ist es herauszuarbeiten, welche Unter-schiede sich in der Vorhersage der thermoakustischen Stabilität von Verbren-nungssystemen durch die Verwendung der beiden unterschiedlichen Artender Wellengleichung (Gleichung 2.13 und Gleichung 2.14) ergeben. Die Ana-lyse erfolgt mit Hilfe der in Abschnitt 1.3 vorgestellten Berechnungmethodenach Pankiewitz [3] anhand eines einfachen, zylindrischen Rohres. Die darinenthaltene Wärmefreisetzungszone kann hinsichtlich ihrer axialen Ausdeh-nung als kompakt bezeichnet werden. Einflüsse einer mittleren Geschwindig-keit werden nicht betrachtet.

Wanke und Sattelmayer [74] zeigten für den in der Literatur üblichen Fall ei-ner sprunghaften Dichteänderung, dass durch die Verwendung der Wellen-gleichung für homogene Medien anstelle der Wellengleichung für inhomoge-ne Medien deutliche Unterschiede in der Vorhersage der thermoakustischenStabilität des betrachteten Systems resultieren. Die Neigung zu einem ther-moakustisch instabilen Verhalten ist demnach bei der Verwendung der Wel-lengleichung für inhomogene Medien deutlich stärker ausgeprägt. Um die All-gemeingültigkeit dieser Aussagen zu prüfen und um zu belegen, dass sie auchfür ausgedehnte akustisch kompakte Flammen gelten, werden entsprechendeUntersuchungen nun nochmals für einen kontinuierlichen sowie insgesamtdeutlich flacheren Dichtegradienten durchgeführt.

Zunächst erfolgt eine Entdimensionierung des Modells (Index E) [3, 74]. DieReferenzgrößen (charakteristische Länge l0, charakteristische Geschwindig-keit u0 und charakteristische Impedanz Z0) beziehen sich auf die Eingangs-größen bzw. im Fall der charakteristischen Länge auf den Durchmesser desbetrachteten Rohres. Mit Ausnahme des Interaktionsindexes n entsprechendie verwendeten Werte den jeweiligen Angaben in [74]. Die mittlere Dichte ρE

und die mittlere Schallgeschwindigkeit cE sind nun nicht mehr abschnittswei-se konstant, sondern folgen den Gleichungen:

ρE =−0.335tanh(30(xE −1))+0.665, (4.5)

cE = 2.015− (−0.35tanh(30(xE −1))+0.665). (4.6)

57


Abbildung 4.4: Axialer Dichtegradient in der zylindrischen Rohrgeometrie

In Abbildung 4.4 ist der entsprechende Verlauf des mittleren Dichtegradien-ten über dem Ort dargestellt. Die Wärmefreisetzungszone erstreckt sich inder an sich zylindrischen Geometrie (lE = 3, DE = 1) scheibenförmig vonxE = 1 bis xE = 1.1. Zur Modellierung der Wärmefreisetzung wird das in Kapi-tel 1 beschriebene n−τ-Modell verwendet. Als Referenzpunkt dient ein Punktauf der Mittelachse (xE = 0.85). Bezüglich des verwendeten Wärmefreiset-zungsmodells wird µ = 0.75 (Sättigungsparameter) und n = 30 (Interaktions-index) gewählt3. Weitere Parameter sind Tabelle 4.2 zu entnehmen. An denstirnseitigen Rändern des Berechnungsgebiets sind Verlustrandbedingungenimplementiert gemäß Gleichung 1.6 (stromauf: K = 0.1, stromab: K = 0.3).Die Anregung des Systems erfolgt mittels einer zufälligen Anfangsverteilungdes Schalldrucks. Mit Hilfe dieses Modells werden transiente Simulationendes thermoakustischen Stabilitätsverhaltens durchgeführt. Variiert wird ne-ben der verwendeten Gleichungsart (Gleichung 2.13 bzw. Gleichung 2.14, je-

3n ist hier deutlich kleiner als in Wanke und Sattelmayer [74] (n = 100), um so die durch die Flamme insSystem eingebrachte Energie zu reduzieren. Diese ist aber nach wie vor, auch aufgrund der recht willkürlichenWahl vonω0,E = 5, recht hoch, wie insbesondere anhand der maximalen Amplituden der Schnelleschwankungenin der Sättigung zu erkennen. Die generellen Aussagen im Rahmen dieses Kapitels ändern sich dadurch jedochnicht.

58


GeometrieForm zylindrisches Rohrstück (3D, lE = 3, DE = 1)

GitterAnzahl und Art der Elemente 56060 TetraederDiskretisierungsschema lineare Lagrange-Elemente

SolverSoftware COMSOL MULTIPHYSICS (FEM)Art direkt, ZeitbereichMaximale Ordnung des BDF 2

StoffwerteMedium Luft (ideales Gas)

Tabelle 4.2: Parameter des FEM-Modells zur Untersuchung des Einflusses vonaxialen Temperaturgradienten auf eine Stabilitätsvorhersage

weils mit Wärmefreisetzung gemäß Gleichung 2.15) lediglich der ZeitverzugτE .

In der Stabilitätskarte (Abbildung 4.5) sind für verschiedene Zeitverzüge τE diejeweils dominierenden Frequenzen dargestellt. Sie werden aus den Zeitreihenmittels einer Fast-Fourier-Transformation [77] ermittelt. Zusätzlich sind diezugehörigen Modenformen gezeigt. Die horizontalen Linien repräsentierendie Lage der Eigenfrequenzen der betrachteten Geometrie ohne Wärmefrei-setzung, jedoch mit inhomogener Temperaturverteilung. Sie wurden mittelseines Eigenwertmodells berechnet unter Verwendung der entsprechendenGleichung für inhomogene Medien auf Basis der Konfiguration aus [74]. DieBereiche zwischen den vertikalen Linien markieren näherungsweise die un-terschiedlichen Moden, die sich aus den Zeitbereichsrechnungen ergeben4.

Aus Abbildung 4.5 ist zu erkennen, dass die daraus resultierenden Frequen-zen und Modenformen bei Verwendung der beiden unterschiedlichen Artender Wellengleichung weitgehend sehr ähnlich sind. Die dominierenden Fre-quenzen sind aber bei Verwendung der Wellengleichung für homogene Medi-en stets etwas höher. Im Bereich τE = 1.6 bis τE = 2.0 existieren jedoch zusätz-lich entscheidende Unterschiede hinsichtlich des prognostizierten Stabilitäts-

4Die Form der Moden wird mittels der Notation (k, l ,m) beschrieben. k bezeichnet die Ordnung der longitu-dinalen, l die Ordnung der transversalen und m die Ordnung der radialen Moden.

59


stabile Mode

instabile Mode

Wel

leng

leic

hung

für

hom

ogen

e M

edie

n

Wel

leng

leic

hung

für

inho

mog

ene

Med

ien

E

E

Abbildung 4.5: Stabilitätskarte

verhaltens des betrachteten Systems. Bei Verwendung der Wellengleichungfür homogene Medien wird in diesem Intervall ein stabiles Systemverhaltenvorhergesagt. Die Anfangsstörungen klingen folglich mit der Zeit ab. Zudemweichen in diesem Bereich die vorhergesagten Modenformen deutlich von-einander ab, wie anhand der hier im System dominierenden Frequenzen er-sichtlich. Die (1,0,0)-Mode dominiert folglich nur bei Verwendung der Wellen-gleichung für inhomogene Medien. Dies begründet sich jedoch darin, dass imFall der Wellengleichung für homogene Medien, aufgrund des stabilen Verhal-tens des Gesamtsystems, die einzelnen Modenanteile im verwendeten Spek-trum kaum mehr explizit detektiert werden können. Die Abweichungen hin-sichtlich der Modenformen im Bereich τE = 1.6 bis τE = 2.0 sind folglich alsunbedenklich einzustufen.

Obige Aussagen bezüglich des Stabilitätsverhaltens werden durch eine Be-trachtung der maximalen Amplituden im Grenzzyklus bestätigt (Abbildung4.6). Zudem ist aus Abbildung 4.6 zu erkennen, dass die maximalen Ampli-tuden der Schnelleschwankungen bei Verwendung der Wellengleichung fürinhomogene Medien stets deutlich höher sind. Eigentlich sind diese jedoch

60


Wellengleichung für homogene Medien

Wellengleichungfür inhomogene Medien

Abbildung 4.6: Maximale Amplituden von u′B ,E (τE = 0.8)

durch die Verwendung von Gleichung 1.5 auf einen fixen Wert limitiert. DerUnterschied ist mit Hilfe der akustischen Energie im System zu erklären [3,74]:Solange keine Sättigung vorliegt, wachsen sowohl der akustische Energie-strom aufgrund der Wärmefreisetzung Ei n als auch die Verluste Eout

5, die imvorliegenden Fall aus Transmission und Dissipation an der Ein- und der Aus-lassrandbedingung resultieren, quadratisch mit dem akustischen Druck an.Sobald Sättigungseffekte auftreten, wächst Ei n nur noch linear, während dieVerluste nach wie vor quadratisch steigen. Ein Grenzzyklus wird hier folglicherreicht, sobald die akustische Energie aus der Wärmefreisetzung die an denRändern des Systems abgegebene akustische Energie ausbalanciert. Wie weitdie Amplituden nach dem Einsetzen von Sättigungseffekten noch anwachsen,hängt von der Differenz zwischen Ei n und Eout zu diesem Zeitpunkt ab. DieseDifferenz wird durch die Wachstumsraten bestimmt (vgl. Abbildung 4.7).

Die Wachstumsraten können aus den einzelnen Zeitreihen mittels einerHilbert-Transformation bestimmt werden (vgl. Abbildung 4.7). NegativeWachstumsraten weisen auf stabile Moden hin, respektive ein stabiles Verhal-

5Sie sind jeweils über eine oder mehrere Perioden gemittelt.

61


Wellengleichung für inhomogene Medien


Einhüllende

Abbildung 4.7: Verlauf der Schnelleschwankungen über der Zeit

ten des an sich linearen Gesamtsystems. In Übereinstimmung mit den Ergeb-nissen aus Abbildung 4.5 werden im Bereich τE = 1.6 bis τE = 2.0 (im Wesentli-chen) negative Wachstumsraten und somit ein unterschiedliches Systemver-halten bei Verwendung der beiden unterschiedlichen Gleichungen vorherge-sagt. Abweichungen davon sind auf die oben beschriebenen Auswerteproble-me im Fall eines stabilen Gesamtverhaltens zurückzuführen. Außerhalb die-ses Bereichs liegen ausschließlich positive Wachstumsraten vor und somit einthermoakustisch instabiles Verhalten des betrachteten Gesamtsystems.

Zusammenfassend kann durch die vorliegenden Ergebnisse auf Basis explizitmodellierter Dichtegradienten bestätigt werden, dass das Verhalten von akus-tischen Systemen mit Verbrennung als zu stabil vorhergesagt wird, wenn dieWellengleichung für homogene Medien verwendet wird [74]. Gemäß [74] sinddie Unterschiede in den Ergebnissen im Wesentlichen auf einen zusätzlichenTerm zurückzuführen, der im Rahmen der Wellengleichgung für inhomogeneMedien im Vergleich zur Wellengleichung für homogene Medien berücksich-tigt wird. Dieser Term hat die Größenordnung der Wärmefreisetzung und übtsomit einen entsprechend starken Einfluss aus.

62

4.2 Mittlere Geschwindigkeit


Wellengleichungfür inhomogene Medien

Abbildung 4.8: Wachstumsraten


Mit Hilfe der Wellen- bzw. der Helmholtzgleichung ist eine Betrachtung desEinflusses von Geschwindigkeitsgradienten nicht möglich. Dies unterscheidetsie von den linearisierten Eulergleichungen, aus denen sie unter Annahme ei-nes homogenen mittleren Geschwindigkeits- und Druckfelds abgeleitet wer-den (vgl. Kapitel 2). Unter Verwendung der konvektiven Wellen- bzw. Helm-holtzgleichung kann jedoch der Einfluss eines homogenen Geschwindigkeits-felds auf die Akustik beschrieben werden. Ein solches existiert in der Regel je-doch nur im Rahmen stark idealisierter Systeme, in denen insbesondere keineWärmefreisetzung stattfindet. Gemäß Abschnitt 2.7.2 resultiert aus der Ver-wendung der konvektiven Helmholtzgleichung anstelle der linearisierten Eul-ergleichungen im Wesentlichen zunächst eine Vernachlässigung von Dämp-fungseffekten (vgl. hierzu auch Pieringer [78]).

Bei vielen industriellen Feuerungssystemen, wie z. B. auch bei Gasturbinen,findet die Verbrennung bei äußerst niedrigen Machzahlen statt. Deshalb wirdin diesen Fällen der Einfluss einer mittleren Geschwindigkeit auf die Akustik

63


in der Literatur häufig komplett vernachlässigt. Die damit verbundenen Ver-einfachungen und ihre Auswirkungen werden im Folgenden analysiert.

Ausgangspunkt dafür ist die konvektive Helmholtzgleichung. Sie lässt sichunter Annahme konstanter mittlerer Geschwindigkeit für eindimensionaleFälle beispielsweise aus der üblichen Form der Helmholtzgleichung (Glei-chung 2.21) mittels einer Koordinatentransformation zwischen einem orts-festen und einem bewegten Koordinatensystem herleiten [8, 18]. Dargestelltin der üblichen Form der Helmholtzgleichung beinhaltet sie eine modifizier-te Wellenzahl, hier k∗ genannt, die von der mittleren Geschwindigkeit u ab-hängt, gemäß:

k∗± =± ω

c ± u=± ω/c

1±M=± k

1±M. (4.7)

k∗ unterscheidet sich für die stromauf (+) und die stromab (−) laufende Wel-le. Die Abweichungen zum nicht durchströmten Fall skalieren direkt mit derMachzahl. Die entsprechende Transfermatrix in fg-Notation für ein verlust-freies Rohr lautet [18]:

(fd

gd

)=

(e−iω 4x

c+u 0

0 e iω 4xc−u

)(fu

gu

). (4.8)

Eine Vernachlässigung der mittleren Strömung in der Helmholtz- oder auchder Wellengleichung wirkt sich demnach nicht auf die Schwingungsamplitu-den aus. Sie beeinflusst jedoch die Ausbreitungsgeschwindigkeit, so dass sichdie Wellen, je nach Ausbreitungsrichtung, im Vergleich zum ruhenden Me-dium verzögert bzw. beschleunigt fortbewegen. Wählt man beliebige Reflexi-onsfaktoren ru und rd an den Rändern stromauf bzw. stromab, löst die ent-sprechenden Gleichungen jeweils nach f auf und setzt sie dann zueinanderins Verhältnis, so folgt:

fd

fu= 1

rurd·gd

gu. (4.9)

64


Zusammen mit Gleichung 4.8 kann daraus folgender Zusammenhang für dieKreisfrequenz ω abgeleitet werden:

ω=−(ln(ru)+ ln(rd ))c2 − u2

24xc. (4.10)

Daraus wird ersichtlich, dass sich die Frequenz aufgrund der Existenz des ho-mogenen Geschwindigkeitsfelds nur geringfügig verringert. Für kleine Mach-zahlen, wie sie in Gasturbinenbrennkammern vorherrschen, ist dieser Ein-fluss von u im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit c meist vernachlässigbar.

Durch die Existenz der mittleren Geschwindigkeit ist, wie oben beschrie-ben, jedoch die Form der Wellen verschoben, was zu einer Verschiebung derSchwankungsknoten und -bäuche führt. Über die Phasenlage der Schwan-kungen kann dies wiederum Einfluss auf die thermoakustische Instabilität desSystems haben.

Trotzdem scheint die Verwendung der Helmholtzgleichung ohne konvektiveTerme, in Übereinstimmung mit der allgemeinen Praxis in der Literatur, fürdie hier betrachteten Anwendungsfälle bei sehr niedrigen Machzahlen zuläs-sig. Wie oben bereits erwähnt, beschränkt sich hier der Unterschied in derVerwendung der konvektiven Helmholtzgleichung anstelle der linearisiertenEulergleichungen lediglich auf eine Vernachlässigung von Dämpfungseffek-ten. Eine Möglichkeit, auch diese näherungsweise mittels der Helmholtz- bzw.Wellengleichung zu erfassen, wird in Abschnitt 4.3 und insbesondere in Kapi-tel 5 vorgestellt werden.

65


4.3 Möglichkeiten der Implementierung akustischer Verluste

Akustische Verluste können unter Verwendung der an sich verlustfreienWellen- bzw. Helmholtzgleichung generell auf zwei verschiedene Arten erfasstwerden [37]: durch direkte Implementierung eines Verlustterms in die jewei-lige Gleichung oder alternativ mittels einer komplexen Wellenzahl. Letztge-nannte Methode ist jedoch auf den Frequenzbereich, respektive die Verwen-dung der Helmholtzgleichung, beschränkt.

4.3.1 Direkte Implementierung eines Verlustterms

Prinzipiell lässt sich akustische Dämpfung durch verschiedene Varianten ei-nes Verlustterms mittels der an sich isentropen Wellen- bzw. Helmholtzglei-chung erfassen [34, 43, 79, 80] (vgl. hierzu auch Abschnitt 2.7). Entscheidendfür die Form des Verlustterms ist dabei der jeweils zugrunde liegende phy-sikalische Wirkmechanismus. Für die im Rahmen dieser Arbeit betrachtetenAufgabenstellungen wird in der Literatur üblicherweise ein Ansatz verwendet,bei welchem eine lineare Abhängigkeit der Dämpfung von der Frequenz be-steht [80]. Realisiert wird dies in der Regel mittels einer zeitlichen Ableitungerster Ordnung der Druckschwankung, gemäß:

1

c2

∂2p ′

∂t 2+d

∂p ′

∂t−∆p ′ = 0, (4.11)

ω2

c2p −diωp +∆p = 0, (4.12)

mit d > 0. Die daraus resultierende akustische Dämpfung ist über weite Be-reiche unabhängig von der Frequenz (vgl. Abbildung 4.9). Für f = 0 liegt je-doch keine Dämpfung vor, da für ω= 0 der Dämpfungsterm gegen Null strebtund damit Gleichung 4.12 in die Form der ungedämpften Gleichungsvarian-te übergeht (vgl. Abschnitt 4.3.2). Eine Umkehr der Vorzeichen der Dämp-fungsterme in den Gleichungen 4.11 und 4.12 resultiert in einer Anfachungder akustischen Schwankungsgrößen anstelle einer Dämpfung.

66


4.3.2 Komplexe Wellenzahl

Gemäß Kinsler et al. [37] kann die Realisierung einer gedämpften Form derHelmholtzgleichung auch unter Verwendung einer komplexen Wellenzahl er-folgen. Im ungedämpften Fall ist die Wellenzahl real und berechnet sich beiVernachlässigung einer mittleren Geschwindigkeit gemäß k = ω/c. Die Be-trachtung einer komplexen Wellenzahl ist äquivalent zu der eines Dämp-fungsterms in der Helmholtzgleichung (vgl. Abschnitt 4.3.1). Dazu wird zu-nächst, neben der zeitharmonischen Annahme in Gleichung 4.12, zusätzlichdie Annahme ortsharmonischer Schwingungen getroffen, gemäß:

p = Pe−i kx . (4.13)

Damit folgt aus Gleichung 4.12

ω2

c2− iωd −k2 = 0. (4.14)

Löst man Gleichung 4.14 nach der Wellenzahl k, so resultiert ein komplex-wertiger Term (Gleichung 4.15). Die Dämpfung ist nach der hier verwendetenKonvention im Imaginärteil der Wellenzahl enthalten. Zur exakten Bestim-mung des Imaginär- und des Realteils der Wellenzahl wird k gemäß folgen-dem Ansatz zerlegt:

k =√ω2

c2− iωd =ℜ(k)+ iℑ(k), (4.15)

ℜ(k)2 +2iℜ(k)ℑ(k)−ℑ(k)2 = ω2

c2− iωd . (4.16)

Nach einer Separation der realen und der imaginären Anteile resultiert:

ℜ(k)2 −ℑ(k)2 = ω2

c2(4.17)

67


sowie

2iℜ(k)ℑ(k) =−ωdi . (4.18)

Für den Imaginärteil ℑ(k) folgt:

ℑ(k) =− ωd

2ℜ(k)(4.19)

sowie für den zugehörigen Realteil ℜ(k) nach Einsetzen von Gleichung 4.19 inGleichung 4.17:

ℜ(k) =±

√√√√√ω

2

ωc2

±√

d 2 + ω2

c4

(4.20)

Der Realteil der Wellenzahl ℜ(k) hängt folglich auf komplexe Art und Weisevon der Frequenz ab. Für den Fall sehr kleiner Dämpfung (d → 0) reduziertsich ℜ(k), aufgrund der unterschiedlichen Vorzeichen, auf ℜ(k) =±0 bzw. aufℜ(k) =±ω/c. ℑ(k) strebt dann gegen Null, was schließlich zum ungedämpftenFall führt.

Ein Vergleich zwischen Ergebnissen dieser analytischen Betrachtung undden entsprechenden numerischen Ergebnissen (vgl. Abschnitt 4.3.1) ist inAbbildung 4.9 dargestellt. Die numerische Untersuchung des Dämpfungs-verhaltens erfolgt anhand eines eindimensionalen Modells im Frequenzbe-reich (T = 20◦ C ). Die Anregung findet von der linken Randbedingung ausstatt (stromauf), parametrisch für das Frequenzintervall f = 1 : 1 : 2000 H z.Stromab ist eine nicht reflektierende Randbedingung implementiert. Die ört-liche Diskretisierung umfasst für alle Frequenzen 50 Stützstellen der kleinstenbetrachteten Wellenlänge λ fmax = λ2000 H z , basierend auf linearen Lagrange-Elementen. Der Vergleich der beiden Ansätze findet anhand des Referenz-punktes x = 4λ fmax statt. In Abbildung 4.9 ist der Verlauf der Druckschwan-kungsamplituden, normiert auf die Anregungsamplitude, über der Helm-holtzzahl gezeigt. Ein Wert von Eins auf der Ordinate entspricht folglich

68


Abbildung 4.9: Frequenzverhalten der Dämpfung

dem Ergebnis eines ungedämpften Systems. Je kleiner |p|/|pan|, desto größerist der Einfluss der Dämpfung. Die charakteristische Länge zur Berechnungder Helmholtzzahl entspricht der Länge des Berechnungsgebiets, respektivesechs Wellenlängen der Frequenz f = 2000 H z.

Die resultierenden Graphen verhalten sich sehr ähnlich. Beide weisen für eineFrequenz größer f = 200 H z (He > 1) ein frequenzunabhängiges Dämpfungs-verhalten auf. Unterhalb dieser Grenzfrequenz streben sie rasch gegen Null(verlustfreie Varianten). Der Bereich konstanter Dämpfung wird etwas schnel-ler durch den analytischen Ansatz erreicht. Die Ergebnisse des numerischenVerfahrens weisen im sehr niederfrequenten Bereich leichte Schwankungenauf. Dies ist auf die Verwendung eines endlich langen Berechnungsgebiets zu-rückzuführen. Für große Frequenzen kann die Wellenlänge darin nicht mehrausreichend abgebildet werden. Es resultieren Abschneideeffekte, welche sichin entsprechenden Schwankungen der Graphen ausdrücken.

69


Zusammenfassend können zwei wichtige Schlüsse aus Abbildung 4.9 gezogenwerden:

• Der klassische Dämpfungsansatz führt für große Helmholtzzahlen(He > 1) zu einer von der Helmholtzzahl unabhängigen Dämpfung derWellenausbreitung.

• Für He < 1 bricht die Dämpfung zusammen. Dieser Frequenzbereich istaber für die Analyse von Brennkammerschwingungen nicht relevant.

4.4 Zusammenfassung

Zusammenfassend ergibt sich für die Untersuchungen im Rahmen dieses Ka-pitels, dass die Gradienten der mittleren Dichte durchaus in der Wellen- bzw.der Helmholtzgleichung betrachtet und auch explizit modelliert werden müs-sen, um die thermoakustische Stabilität von Brennkammern möglichst genauvorhersagen zu können.

Konvektive Terme können hier aufgrund der geringen Machzahlen in ersterNäherung vernachlässigt werden. Der Einfluss der mittleren Geschwindigkeitauf die akustische Energie im System wird im Rahmen von Kapitel 5 noch ge-nauer betrachtet werden.

Akustische Verluste können generell auf verschiedenen Wegen mittels deran sich verlustfreien Wellen- bzw. Helmholtzgleichung erfasst werden. Imhier betrachteten Fall ist das Frequenzverhalten des zusätzlichen Dämpfungs-terms oberhalb einer kritischen Helmholtzzahl frequenzunabhängig. Die nu-merischen Rechnungen geben die analytische Lösung für einen Testfall gutwieder.

70

5 Akustische Verluste in der Helmholtz-und der Wellengleichung

Aus Abschnitt 2.7 wird ersichtlich, dass bereits bei vermeindlich einfachengeometrischen Konfigurationen komplexe Interaktionen zwischen Schall-und Strömungsfeld auftreten können1. Detailliert können solche Wechselwir-kungen nur mittels CFD-Rechnungen aufgelöst werden. Bei Verwendung derWellen- bzw. der Helmholtzgleichung muss zunächst ein entsprechender Ver-lustterm hergeleitet werden, der diese Effekte beschreibt. Eine exakte (drei-dimensionale) Lösung von Gleichung 2.54 beispielsweise ist aber enorm auf-wendig wegen der Vielzahl der zu berücksichtigenden Einzelterme. Aufgrunddes hohen Speicher-, Leistungs- und Rechenzeitbedarfs würde eine solcheVorgehensweise zudem generell der Idee eines Auslegungswerkzeuges wider-sprechen. Bestehende Ansätze zur Lösung des Problems beschränken sich da-her vornehmlich auf den Frequenzbereich, zumeist auf eine integrale Darstel-lung des Transferverhaltens eines akustischen Elements (vgl. [42, 82–84]). Fürpraktische Anwendungsfälle erwies sich hierfür häufig das l −ζ-Modell als be-sonders geeignet (Gleichung 2.30) [8–10, 18].

Im Folgenden wird ein alternatives Modell hergeleitet, das erlaubt, akustischeVerluste, die bei der Durchströmung von Brennkammerkomponenten entste-hen, näherungsweise mittels der Helmholtz-, aber auch der Wellengleichunglokal zu erfassen. Die Validierung des neuartigen Ansatzes erfolgt im Fre-quenzbereich gegen analytische bzw. experimentelle Daten. Zunächst wirdein eindimensionaler, später komplexe dreidimensionale Testfälle betrachtet.

1Interessante Einblicke hierzu sind auch dem 2D-Ansatz von Kierkegaard [81] basierend auf den linearisiertenNavier-Stokes-Gleichungen (unter Verwendung von COMSOL MULTIPHYSICS) zu entnehmen.

71

Akustische Verluste in der Helmholtz- und der Wellengleichung

5.1 Eindimensionale Verlustbetrachtung

5.1.1 Herleitung des eindimensionalen Verlustterms

Ausgangspunkt ist wie beim l −ζ-Modell die Definition des strömungsmecha-nischen Totaldruckverlusts in einer inkompressiblen Strömung:

∆pt =− ρ2

u21ζ. (5.1)

Diese Beziehung erlaubt die näherungsweise Quantifizierung von Stoßverlus-ten im Strömungsfeld, die zum Beispiel an Querschnittssprüngen und da-mit auch bei der Durchströmung von Brennkammerkomponenten auftre-ten. Nach einer Linearisierung resultiert daraus, unter Vernachlässigung vonTermen höherer Ordnung und der Annahme kleiner Machzahlen, ein Aus-druck zur Bestimmung des entsprechenden integralen akustischen Verlusts∆p ′

V [85]:

∆p ′V =−ρu1u′

1ζ. (5.2)

Zur näherungsweisen Quantifizierung des Energieanteils, der von der akusti-schen Mode an die Vorticity-Mode übergeht, werden die beiden Verlustterme(Gleichung 5.2 und Gleichung 5.1) zueinander ins Verhältnis gesetzt [85]:

∆p ′V = 2

∆pt

u1u′

1. (5.3)

Der integrale akustische Totaldruckverlust ∆p ′V zwischen den zwei Referenz-

punkten 1 und 2 hängt folglich auch hier sowohl von mittleren, strömungsme-chanischen (∆pt , u1) als auch von akustischen Größen (u′

1) ab. Um die akusti-schen Verluste lokal bestimmen zu können, wird Gleichung 5.3 auf ein infini-tesimal kleines Element bezogen.

72


Man erhält für den eindimensionalen Fall:

∂p ′V

∂x= 2

∂pt

∂x

1

uu′. (5.4)

Analog zur generellen Vorgehensweise von Rienstra und Hirschberg [34] oderauch Ehrenfried [35] erfolgt damit ein Übergang von der Betrachtung entlangeines Stromfadens in eine kartesische Betrachtungsweise.

Die Form des akustischen Verlustterms in Gleichung 5.4 entspricht prinzipi-ell jener, die ein entsprechender Term in der linearisierten Impulsgleichungbzw. ihrer vereinfachten Form, der linearisierten Eulergleichung2 annehmenwürde:

ρ∂u′

∂t+ ρ∇ · (uu′)+∇p ′ = ρ ∂u′

∂t+∇p ′

t = 0. (5.5)

Anwendung findet dabei der linearisierte Totaldruck: p ′t = p ′+ρuu′. Der Term

ρ∇ · (uu′) beschreibt die Reynoldschen Schubspannungen3. Im Rahmen einesmathematisch exakten Ansatzes resultiert daraus z. B. die in Kapitel 2.7 vor-gestellte Form der verlustbehafteten Wellengleichung nach Howe [34, 43], ba-sierend auf der Wirbelstärke ω. Vor dem Hintergrund der Entwicklung einesAuslegungswerkzeugs wird hier jedoch ein neuartiger, ingenieurmäßiger Wegbeschritten [85]. Der neu hergeleitete Term entspricht jedoch auch hier einemzusätzlichen, „akustischen” Druckgradienten in der Impulsgleichung, basie-rend auf dem dynamischen Druckanteil.

Zunächst wird der eindimensionale Fall betrachtet. Um die korrekte Notationund Einheit der Wellen- bzw. der Helmholtzgleichung zu erhalten, wird dieDivergenz von Gleichung 5.4 gebildet [34]:

∂2p ′V

∂x2= ∂

∂x

(2∂pt

∂x

1

uu′

). (5.6)

2Gradienten des mittleren Drucks werden dabei vernachlässigt.3Für diese Studie wird ein homogenes Medium vorausgesetzt.

73


Differenziert man Gleichung 5.6 unter Anwendung der Produktregel aus, soerhält man streng formal:

∂2p ′V

∂x2= 2

(∂2pt

∂x2

1

uu′+ ∂pt

∂x

∂

∂x

(1

u

)u′+ ∂pt

∂x

1

u

∂u′

∂x

). (5.7)

Dabei sind jedoch diverse Vereinfachungen möglich: Der erste Term be-schreibt den Einfluss der Krümmung des strömungsmechanischen Total-druckgradienten auf die akustische Dämpfung. Er kann in erster Näherungvernachlässigt werden [85]. Der zweite Term wird ebenfalls vernachlässigt[85]. Somit folgt für den akustischen Verlustterm bei eindimensionaler Be-trachtung:

∂2p ′V

∂x2≈ 2

∂pt

∂x

1

u

∂u′

∂x(5.8)

bzw. für die verlustbehaftete Helmholtzgleichung:

−ω2

c2p − ρ ∂

∂x·

(1

ρ

∂p

∂x

)=−2

∂pt

∂x

1

u

∂u′

∂x. (5.9)

Solange keine Quellen im Strömungsfeld vorliegen, kann aus physikalischerSicht ein hydrodynamischer Totaldruckverlust ausschließlich in Richtung dermittleren Strömung stattfinden. Folglich existieren akustische Verluste nur beider Existenz eines negativen Totaldruckgradienten in positiver Strömungs-richtung oder umgekehrt.

Ersetzt man den Gradienten der Schnelleschwankung ∂u′/∂x im Verlusttermunter Verwendung der eindimensionalen Kontinuitätsgleichung ohne mittle-re Geschwindigkeit in einem homogenen, isentropen Medium,

∂u′

∂x=− 1

ρc2

∂p ′

∂t, (5.10)

so resultiert daraus die gesuchte Form des Verlustterms in Bezug auf die Grö-ße ∂p ′/∂t im Zeitbereich bzw. iωp im Frequenzbereich. Die eindimensionale

74


Helmholtzgleichung mit Verlustterm lautet folglich unter obigen Annahmen:

−ω2

c2p − ρ ∂

∂x·

(1

ρ

∂p

∂x

)= 2

ρc2

∂pt

∂x

1

uiωp. (5.11)

Für die entsprechende Form der Wellengleichung gilt:

1

c2

∂2p ′

∂t 2− ρ ∂

∂x·

(1

ρ

∂p ′

∂x

)= 2

ρc2

∂pt

∂x

1

u

∂p ′

∂t. (5.12)

Eine Dimensionsanalyse der allgemeinen Form der Helmholtz- bzw. der Wel-lengleichung zeigt, dass die rechte Seite in Gleichung 5.11 bzw. Gleichung 5.12die Einheit [s/m2] aufweisen muss [86]. Diese Voraussetzung wird vom herge-leiteten Verlustterm erfüllt.

5.1.2 Validierung des eindimensionalen Verlustterms

Die Validierung des Ansatzes erfolgt zunächst anhand eines einfachen, eindi-mensionalen Testfalls: einem verlustbehafteten Rohrstück konstanten Quer-schnitts. Die Untersuchung findet im Frequenzbereich statt. Das betrachteteMedium ist Luft (T = 20◦C ).

Zusätzlich zum FEM-Modell wird das analytische l −ζ-Modell (vgl. Abschnitt2.5, α= 1) betrachtet. Es entstammt der Netzwerkmethode und repräsentiertein kompaktes, verlustbehaftetes Element unter dem Einfluss einer Strömunggeringer Machzahl. Für den vorliegenden Anwendungsfall entfällt in ersterNäherung der Einfluss der beiden Parameter le f f und lr ed , wenn das Rohrklein im Vergleich zur Wellenlänge ist.

Das FEM-Modell hingegen setzt eine definierte Länge voraus. Um diese Ab-weichung zwischen den beiden Modellen so gering wie möglich zu halten,wird im FEM-Modell zunächst eine möglichst kleine örtliche Ausdehnung ge-wählt (lV = 0.05m). Der Einfluss dieser Annahme auf das Ergebnis wird späternoch genauer untersucht werden. Die örtliche Diskretisierung beträgt im Rah-men der FEM-Berechnung für alle Testfälle ∆x = 1.0·10−5 m. Dies entspricht

75


mehr als 11000 linearen Lagrange-Elementen pro Wellenlänge für die höchs-te untersuchte Frequenz ( fmax = 3000 H z). Ein Einfluss einer unzureichen-den örtlichen Diskretisierung auf das Ergebnis ist somit auszuschließen. DieUmrechnung des Druckverlustbeiwerts ζ des analytischen Modells in einenentsprechenden Verlustterm für den neuartigen Ansatz in der Helmholtzglei-chung erfolgt gemäß:

∂pt

∂x=− ρ

2u2

u

∂ζ

∂x. (5.13)

Vereinfachend wird dabei ein linearer Abfall des Totaldrucks über der gesam-ten Rohrlänge angenommen. Dies entspricht in erster Näherung der Realitätin einem reibungsbehafteten Rohr.

Unter den obigen Annahmen folgt für das l −ζ-Modell (Gleichung 2.30):

(pρc

u

)d

=(

1 −ζM0 1

)·

(pρc

u

)u

. (5.14)

Ersetzt man p und u durch die Riemann Invarianten f und g, so folgt:

fd +gd = fu(1−ζM)+gu(1+ζM), (5.15)

fd −gd = fu −gu. (5.16)

Am stromab gelegenen Rand gilt r = 0 bzw. gd = 0:

fd = fu(1−ζM)+gu(1+ζM), (5.17)

fd = fu −gu. (5.18)

An der Randbedingung stromauf erfolgt eine Schnelleanregung: fu − gu = u.Daraus lässt sich das Wellenfeld an den Referenzpunkten u und d wie folgtberechnen:

76


fu = u

(1+ 1

2ζM

), (5.19)

gu = 1

2uζM , (5.20)

fd = u, (5.21)

gd = 0. (5.22)

Somit resultiert unter Verwendung von Gleichung 2.36:

Iu = ρcu2(1+ζM), (5.23)

Id = ρcu2. (5.24)

Berechnet man daraus den Quotienten

Iu

Id= 1+ζM , (5.25)

so erhält man ein Maß für den akustischen Verlust über dem Element. Unterden obigen Annahmen ist dieser im l − ζ-Modell ausschließlich vom Druck-verlustbeiwert ζ und von der Machzahl M abhängig. Er ist konstant für alleFrequenzen.

Zur Bestimmung der akustischen Intensität aus der FEM-Rechnung4 wird zu-nächst Gleichung 2.35 unter Verwendung von Gleichung 2.9 (Impulsgleichungfür M = 0 und ∇p = 0) und der Annahme harmonischer Wellenausbreitungwie folgt umgeformt:

I = p∂p

∂x

i

ωρ. (5.26)

Zur Quantifizierung des integralen Verlustes aus der FEM-Rechnung wird dieakustische Intensität an zwei Referenzpunkten bestimmt. Der stromauf gele-gene Referenzpunkt befindet sich bei x = 0. Dort findet auch die Anregung

4Lösungsvariable der Wellengleichung ist hier ausschließlich die Druckschwankung p.

77


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−20

−15

−10

−5

0

x 10−3

He [−]

ϒ [−

]

lV / λ(f

max)=0.0087

lV / λ(f

max)=0.0874

lV / λ(f

max)=0.4368

lV / λ(f

max)=0.8736

lV / λ(f

max)=4.3681

Abbildung 5.1: Variation der Länge der Verluststrecke (ζ= 0.9,M = 0.029)

statt. Der stromab gelegene Referenzpunkt liegt stets am Ende des betrachte-ten Rechengebiets bei xd = xmax . Verglichen wird jeweils der relative Verlustakustischer IntensitätΥ über dem betrachteten Verlustbereich gemäß:

Υ= (Iu/Id )l−ζ− (Iu/Id )F E M

(Iu/Id )l−ζ. (5.27)

Zunächst wird die Länge des Verluststücks lV bei konstantem Druckverlust-beiwert (ζ = 0.9) und konstanter Machzahl (M = 0.029) variiert (Abbildung5.1). Dies gibt Aufschluss über die Gültigkeit und den Einfluss der Kompakt-heitsannahme (lV /λ ¿ 1). Wie auch bei den folgenden Abbildungen ist Υfür die verschiedenen betrachteten Varianten stets über der Helmholtzzahlaufgetragen. Die Referenzlänge zur Bestimmung der Helmholtzzahl ist lV =0.05 m.

Aus Abbildung 5.1 wird ersichtlich, dass unter obigen Annahmen die Längedes betrachteten Verluststücks keinen nennenswerten Einfluss auf die Abwei-chungen zwischen den beiden Modellen ausübt. Dies gilt auch dann, wenn

78


das betrachtete Element im eigentlichen Sinn nicht mehr als akustisch kom-pakt bezeichnet werden kann. Die Länge der betrachteten Verluststrecke ska-liert für den betrachteten Fall zudem direkt mit dem Verlauf des strömungs-mechanischen Totaldruckgradienten: je kürzer die Strecke, desto steiler ist derAbfall des Totaldrucks. Bei einem Druckverlustbeiwert von ζ = 0.9 erstrecktsich der zugehörige Totaldruckgradient von ∂pt

∂x =−108 Pam bis ∂pt

∂x =−54180 Pam .

Auch hinsichtlich dieses Kriteriums gibt es im untersuchten Bereich für denbetrachteten Anwendungsfall demnach keine nennenswerten Abweichungenzwischen dem analytischen Modell und dem zu validierenden Verlustmodell.

Als Nächstes erfolgt eine Betrachtung des Einflusses der mittleren Geschwin-digkeit bzw. der Machzahl (ζ = 0.9, lV = 0.05 m). Diese geht in quadrati-scher Form in die Verlustbetrachtung mit ein. Untersucht wird ein relativgroßer Machzahlbereich, ohne jedoch die generelle Beschränkung auf niedri-ge Machzahlen im Zusammenhang mit der Helmholtzgleichung aus den Au-gen zu verlieren. Auch hier zeigt sich, dass lediglich vernachlässigbare Abwei-chungen zwischen den beiden Modellen im gesamten betrachteten Bereichauftreten (Abbildung 5.2). Schließlich wird der Einfluss der Höhe des Druck-verlustbeiwertes untersucht (M = 0.029, lV = 0.05 m). In Analogie zu den bei-den vorausgehenden Testfällen sind auch in Abbildung 5.3 keine nennenswer-ten Abweichungen zwischen den Ergebnissen aus den beiden Modellansätzenzu erkennen.

Somit kann zusammenfassend ausgesagt werden, dass der neu entwickelte,eindimensionale Verlustterm sehr gut die analytischen Ergebnisse des inte-gralen l − ζ-Modells widerspiegelt. Die Dämpfung verhält sich, wie erwartet,konstant über die betrachteten Frequenzen. Zudem zeigt die Validierung, dassdie drei wesentlichen Vereinfachungen zur Herleitung des Verlustterms in Ab-schnitt 5.1.1, explizit die Vernachlässigung der beiden zusätzlichen Terme inGleichung 5.7, die Nutzung der isentropen Kontinuitätsgleichung zur Elimi-nation der Schnellegradienten und auch die Nutzung der Impulsgleichung fürhomogene Medien zur Berechnung der Schnelle aus den Druckschwankungs-gradienten, zulässig sind.

79


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−20

−15

−10

−5

0

x 10−3

He [−]

ϒ [−

]

M=0.015M=0.029M=0.058M=0.146M=0.233

Abbildung 5.2: Variation der mittleren Geschwindigkeit (ζ= 0.9, lV = 0.05 m)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−20

−15

−10

−5

0

x 10−3

He [−]

ϒ [−

]

ζ=0ζ=0.3ζ=0.9ζ=1.2ζ=5

Abbildung 5.3: Variation des Druckverlustbeiwerts (M = 0.029, lV = 0.05 m)

80

5.2 Dreidimensionale Verlustbetrachtung


Die Verlustbetrachtung wird nun auf drei Raumdimensionen erweitert, umso mit Hilfe von stationären Strömungsfeldern aus CFD-Rechnungen Rück-schlüsse auf die Größe der lokalen akustischen Verluste in durchströmtenoder umströmten Bauteilen zu ziehen.

5.2.1 Herleitung des dreidimensionalen Verlustterms

Der unmittelbare Transfer von Gleichung 5.4 von einer eindimensionalenin eine dreidimensionale Betrachtungsweise führt zu Unstimmigkeiten hin-sichtlich der mathematischen Korrektheit des Terms. Es resultieren Vektorender Strömungsgrößen im Nenner. Dies erfordert eine entsprechende Korrek-tur in der Formulierung des dreidimensionalen Verlustterms. Aus Gleichung5.4 folgt damit:

∇p′V = 2

∇pt · u

|u||u1|u′. (5.28)

Das Skalarprodukt im Zähler von Gleichung 5.28 gewährleistet die prinzipiel-le physikalische Korrektheit des Ansatzes sowie seine Unabhängigkeit von derOrientierung des Koordinatensystems. Für den Fall ∇pt ⊥ u sind die Verlus-te gleich Null. Ein zusätzlicher akustischer Druckverlust entsteht folglich nur,wenn ein mittlerer Totaldruckgradient in Richtung der mittleren Strömungs-geschwindigkeit vorliegt. Weitere Einflüsse bezüglich der Orientierung dieserbeiden Vektoren werden in Abschnitt 5.2.2 diskutiert.

Der Nenner von Gleichung 5.28 beinhaltet die lokale Absolutgeschwindigkeit,multipliziert mit der Absolutgeschwindigkeit am stromauf gelegenen Refe-renzpunkt (1). Ausgehend von der allgemeinen Formulierung des Totaldrucksam Referenzpunkt,

pt ,1 = p1 + ρ

2|u1|2, (5.29)

81


lässt sich diese wie folgt ermitteln:

|u1| =√

2(pt ,1 − p1)/ρ. (5.30)

ρ/2· |u1|2 entspricht dem mittleren dynamischen Druck am Referenzpunkt 1.Dieser skaliert direkt mit der Energie, die im betrachteten, rein strömungs-mechanischen System maximal dissipiert werden kann (Dynamic Head). DieImplementierung des Faktors |u||u1| im Nenner von Gleichung 5.28 stellt si-cher, dass der Verlustterm für u → 0 gegen Null strebt. Für eindimensionaleBetrachtungen lässt sich Gleichung 5.28 problemlos auf Gleichung 5.4 zurück-führen. Nach Bildung der Divergenz von Gleichung 5.28 folgt mit den Annah-men aus Abschnitt 5.1.1:

∆p ′V ≈ 2

∇pt · u

|u||u1|∇u′. (5.31)

Daraus resultiert unter Verwendung von Gleichung 2.5 (linearisierte Massen-erhaltung) für homogene, isentrope Medien (M = 0):

∆p ′V ≈− 2

ρc2

∇pt · u

|u||u1|∂p ′

∂t. (5.32)

Für die verlustbehaftete, dreidimensionale Wellengleichung für homogeneMedien ergibt sich damit:

1

c2

∂2p ′

∂t 2− 2

ρc2

∇pt · u

|u||u1|∂p ′

∂t−∆p ′ = 0 (5.33)

bzw. im Frequenzbereich, für die entsprechende Form der Helmholtzglei-chung, unter Annahme harmonischer Wellenausbreitung:

−ω2

c2p − 2iω

ρc2

∇pt · u

|u||u1|p −∆p = 0. (5.34)

82


Ø 85Ø 50

600

1195

x

Abbildung 5.4: Schematische Darstellung der abrupten Querschnittserweite-rung

Der Term

Vhyd = ∇pt · u

|u||u1|(5.35)

wird im Folgenden hydrodynamischer Anteil des Verlustterms genannt.

5.2.2 Validierung anhand einer abrupten Querschnittserweiterung

Zunächst wird mittels dieses Ansatzes das akustische Übertragungsverhalteneiner abrupten dreidimensionalen Querschnittserweiterung betrachtet (Ab-bildung 5.4, vgl. hierzu auch [12,84,87,88]). Das Flächenverhältnis ist Au/Ad ≈0.346.

5.2.2.1 CFD-Interface

Grundlage zur lokalen Bestimmung der akustischen Verluste ist ein CFD-Interface. Es basiert hier auf einer zweidimensionalen, achsensymmetrischenBerechnung des Strömungsfeldes (RANS) in FLUENT. Das zugehörige Git-ter umfasst 40585 quadratische Zellen mit einer Kantenlänge von je einemMillimeter. Die Modellierung der Turbulenz erfolgt mit Hilfe eines Reynolds-

83


pt [Pa]:

Abbildung 5.5: Querschnittserweiterung: CFD-Ergebnisse - Totaldruck

Stress-Modells unter der Annahme eines inkompressiblen, idealen Gases(Luft, T = 25◦C ). Am Einlass ist die Strömungsgeschwindigkeit u = 34.6m/s inAchsrichtung aufgeprägt (M = 0.1). Zur Lösung des Gleichungssystems wirdein impliziter Löser (Segregated - Second Order Upwind) verwendet.

Gemäß Abbildung 5.5 bildet sich stromauf der Sprungstelle ein turbulentesStrömungsprofil aus [89]. Nach der Sprungstelle expandiert der Strahl und zer-fällt dabei turbulent, bis er stromab wieder an der Wand anliegt. Unmittelbarnach der Sprungstelle entsteht dadurch eine Rezirkulationszone. Zwischenden beiden Zonen bildet sich eine Scherschicht aus. Darin werden die an derKante abgelösten Wirbel stromab getragen und, z. B. aus rein strömungsme-chanischer Sicht, entsprechend der Energiekaskade der Turbulenz nach Kol-mogorov schließlich in Innere Energie umgewandelt (vgl. Kapitel 2.7). Nebenden strömungsmechanischen Verlusten werden in diesem Bereich auch dieakustischen Verluste erwartet, aufgrund der dort existierenden, großen Gra-dienten der mittleren und der fluktuierenden Größen (Interaktion zwischenakustischer Mode und Vorticity-Mode; vgl. Abschnitt 2.7). Einen Hinweis aufden Ort der Scherschicht gibt die Wirbelstärke (Abbildung 5.65).

Gemäß Gleichung 5.31 werden die akustischen Verluste aus strömungsme-chanischer Sicht insbesondere durch das Skalarprodukt des mittleren Total-druckgradienten und der mittleren Geschwindigkeit bestimmt. In Abbildung5.7 ist das Zusammenspiel einzelner Komponenten dieser Vektoren schema-tisch für den betrachteten Anwendungsfall dargestellt6.

5Diese wie auch die folgenden Abbildungen umfassen jeweils nur einen Ausschnitt des gesamten Berech-

84


|ω| [1/s]:

Abbildung 5.6: Querschnittserweiterung: CFD-Ergebnisse - absolute Wirbel-stärke mit Stromlinien

Potentialkern

Rückströmzone

∂pt/∂y v

v

∂pt/∂y

∂pt/∂x

u

u

u

∂pt/∂x

Mischungszone

∂pt/∂x

uy

x

Abbildung 5.7: Querschnittserweiterung: Schematische Darstellung einzel-ner Komponenten der mittleren Geschwindigkeit und desGradienten des mittleren Totaldrucks

Man erkennt, dass hier sowohl positive als auch negative Bereiche bezüglichdes Produkts aus den beiden Komponenten existieren. Positive Bereiche wür-den jedoch zum Beispiel in Gleichung 5.33 zu Anfachungen des akustischenFeldes anstelle einer Dämpfung führen. Für eine detaillierte Klärung der Zu-sammenhänge werden im Folgenden die einzelnen hydrodynamischen Kom-ponenten des Verlustterms genauer betrachtet7:

nungsgebiets.6Da das CFD-Interface im vorliegenden Fall auf einer zweidimensionalen achsensymmetrischen CFD-

Berechnung basiert, entsprechen die kartesischen Koordinaten x und y hier gleichzeitig den axialen bzw. ra-dialen Koordinaten. Zum besseren Vergleich mit den folgenden Darstellungen bezüglich des berechneten Strö-mungsfeldes werden daher auch in Abbildung 5.7 kartesische Koordinaten anstelle von Zylinderkoordinaten

85


u [m/s]:

∂pt/∂x [Pa/m]:

∂pt/∂x ∙ u [kg/(m s3)]:

Abbildung 5.8: Querschnittserweiterung: CFD-Ergebnisse - axiale Kompo-nenten des Zählers des hydrodynamischen Anteils des Ver-lustterms

Aus Abbildung 5.8 wird ersichtlich, dass die Absolutgeschwindigkeit im vor-liegenden Fall stark von der Axialgeschwindigkeit bestimmt ist. Im unterenGrenzbereich der Scherschicht ist die Axialgeschwindigkeit groß, unmittel-bar an der oberen Grenze der Scherschicht ist sie gleich Null. Die größten

verwendet.7Die betreffenden Strömungsgrößen wurden unter Verwendung einer hierfür verfassten User-Defined-

Function (UDF) [90] direkt aus der Simulation in FLUENT ausgelesen. Dieses verhindert eine starke Abhängig-keit der berechneten Gradienten von der örtlichen Diskretisierung, wie es bei der Verwendung eines externenPostprocessing-Programms der Fall gewesen wäre.

86


axialen Totaldruckgradienten befinden sich in den Grenzbereichen der Scher-schicht. Die Extrema des Produkts aus diesen beiden axialen Komponentenliegen folglich im unteren Bereich der Scherschicht. Sie sind stark negativ. Ge-nerell existieren hier jedoch sowohl positive als auch negative Bereiche be-züglich des Produkts aus Totaldruckgradient und Geschwindigkeitsanteil injeweils axialer Richtung (vgl. auch Abbildung 5.7).

v [m/s]:

∂pt/∂y [Pa/m]:

∂pt/∂y ∙ v [kg/(m s3)]:

Abbildung 5.9: Querschnittserweiterung: CFD-Ergebnisse - radiale Kompo-nenten des Zählers des hydrodynamischen Anteils des Ver-lustterms

Die Werte der Radialgeschwindigkeit sind im vorliegenden Fall generell deut-lich kleiner als jene der Axialgeschwindigkeit (Abbildung 5.9). Sie sind nahezu

87


innerhalb der gesamten Scherschicht positiv. Die Fluidteilchen werden folg-lich vom Zentrum nach außen transportiert (Expansion des Strahls / Strahl-zerfall). Negative Bereiche der Radialgeschwindigkeit existieren im Wesent-lichen nur im stromauf gelegenen Stirnbereich der Rückströmzone. Der ra-diale Anteil des Totaldruckgradienten ist hier in erster Näherung durch Be-reiche dominiert, in denen er negativ ist. Minima befinden sich direkt an derAblösekante sowie in etwas abgeschwächter Form im unteren Grenzbereichder Scherschicht. Das Produkt aus dem Totaldruckgradienten und dem zuge-hörigen Geschwindigkeitsanteil weist auch in radialer Richtung positive undnegative Bereiche auf. Das Maximum befindet sich unmittelbar an der Ablö-sekante, beschränkt auf einen sehr kleinen Bereich - die stärksten negativenWerte befinden sich wiederum, wie erwartet, im unteren Bereich innerhalbder Scherschicht (Abbildung 5.9). In Abbildung 5.10 ist die Summe aus denaxialen und radialen Anteilen des Zählers von Vhyd dargestellt.

Generell wird in Abbildungen 5.8 bis 5.10 der erwartete Verlauf der einzelnenKomponenten des hydrodynamischen Anteils des Verlustterms wiedergege-ben. Folglich existieren die stärksten akustischen Verluste, sowohl für den ra-dialen als auch für den axialen Anteil, im Bereich der unteren Scherschicht(vgl. Abbildung 5.11). Um sich zunächst ausschließlich auf dämpfende Effektezu konzentrieren, werden die positiven Bereiche von Vhyd im Folgenden durcheine Limitierung auf Werte kleiner Null vernachlässigt.

∂pt/∂x ∙ u + ∂p

t/∂y ∙ v [kg/(m s3)]:

Abbildung 5.10: Querschnittserweiterung: CFD-Ergebnisse - Zähler des hy-drodynamischen Anteils des Verlustterms

Zur Implementierung des stationären hydrodynamischen Feldes inden akustischen Simulationscode werden die bisher zweidimensional-

88


Vhyd

[kg/(m3 s)]:

Abbildung 5.11: Querschnittserweiterung: CFD-Ergebnisse - hydrodynami-scher Anteil des Verlustterms

achsensymmetrischen Daten auf drei Raumdimensionen erweitert. ZurVermeidung von Abbildungsfehlern erfolgt dies durch eine schrittweiseInterpolation der Werte von Vhyd auf ein weiteres strukturiertes Gitter undeine anschließende Rotation des zweidimensionalen Datenfeldes um dieSymmetrieachse. Es resultiert schließlich ein dreidimensionales, strukturier-tes Array. Dies erlaubt das Einlesen der Strömungsdaten in den FEM-Code.Abschließend erfolgt im FEM-Code eine Interpolation der Daten auf das un-strukturierte Berechnungsgitter der akustischen Simulation (vgl. Abbildung5.12).

Um abschätzen zu können, inwieweit durch die verschiedenen Interpolati-onsschritte Fehler generiert wurden, wird der volumenintegrierte Wert deshydrodynamischen Anteils des Verlustterms im FEM-Code mit dem entspre-chenden Wert der ursprünglichen CFD-Daten verglichen. Sie unterscheidensich nur geringfügig. Trotzdem wird ein globaler Ausgleichsfaktor eingeführt.Er resultiert aus dem Verhältnis der beiden integralen Werte.

5.2.2.2 Validierungsfälle

Die Validierung des Ansatzes erfolgt zunächst gegen das analytische l − ζ-Modell. Dafür sind im Vorfeld die beiden Parameter le f f und lr ed zu bestim-men. Dies erfolgt näherungsweise graphisch unter Verwendung eines nume-rischen Ansatzes zur Bestimmung von Transfermatrizen, basierend auf denArbeiten von Pankiewitz [3, 11] und Evesque in Gentemann et al. [9].

89


Abbildung 5.12: Querschnittserweiterung: CFD-Interface - hydrodynami-scher Anteil des Verlustterms (Vhyd [kg /(m3s)]) im FEM-Code

Entsprechende dreidimensionale Berechnungen werden im verwendetenFEM-Code vorgenommen (vgl. Tabelle 5.1). In Übereinstimmung mit Pankie-witz [3, 11] und Evesque [9] werden an den beiden stirnseitigen Rändern Im-pedanzrandbedingungen gesetzt. Zusätzlich erfolgt an jeweils einem dieserRänder die Anregung des akustischen Feldes mittels einer sinusförmigen Ge-schwindigkeitsschwankung. Diese Art der Anregung findet nacheinander vonstromauf bzw. stromab statt, um so zwei voneinander unabhängige Datensät-ze zu generieren [3, 11]. In Anlehnung an Pankiewitz [3, 11] und Evesque [9]findet die Auswertung der numerischen Rohdaten in MATLAB statt.

Für den verlustfreien Referenzfall entfallen aus dem l − ζ-Modell alle Termemit Machzahleinfluss. Es resultiert somit aus Gleichung 2.30 unter Berück-sichtigung der Lauflängen le f f und lr ed :

(pρc

u

)d

=(

1 −i ωc le f f

−i ωc lr ed α

)·

(pρc

u

)u

. (5.36)

90


0 500 1000 15000.95

1

1.05

f [Hz]

|T11

| [−

]

0 500 1000 15000

0.1

0.2

f [Hz]

|T12

| [−

]

0 500 1000 15000

0.01

0.02

f [Hz]

|T21

| [−

]

0 500 1000 15000.3

0.35

0.4

f [Hz]

|T22

| [−

]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

T11

) [r

ad]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

T12

) [r

ad]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

T21

) [r

ad]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

T22

) [r

ad]

FEM oV

NW oV

Abbildung 5.13: Numerisch (FEM) und analytisch (NW) bestimmte Transfer-matrizen der abrupten Querschnittserweiterung - ohne Ver-luste

91


SoftwareBezeichnung COMSOL MULTIPHYSICSArt FEMVersion 3.5Modus Acoustic-Mode, 3D

GitterAnzahl der Elemente 365110Art der Elemente Tetraeder (unstrukturiertes Gitter)Diskretisierungsschema lineare Lagrange-Elemente

StoffwerteMedium LuftTemperatur T = 25◦C

RandbedingungenImpedanz Z = 1000 kg /(sm2)Schallharte Wand ∇p = 0

SolverArt direkt, parametrisch, Frequenzbereich

Tabelle 5.1: Parameter des FEM-Modells bezüglich der abrupten Quer-schnittserweiterung

Die Steigung des Absolutwerts des T12-Elements in Abbildung 5.13 verläuftüber dem betrachteten Frequenzbereich nahezu perfekt linear. le f f ist folglicheine Konstante. Die Steigung des Absolutwerts des T21-Elements verläuft hin-gegen nicht strikt linear. Dies wird durch eine abschnittsweise Näherung vonlr ed im verwendeten l−ζ-Modell berücksichtigt und beeinflusst entsprechendden Verlauf der Phasen des T21-Elements. Bei einer Frequenz von f = 500 H zist eine sprunghafte Änderung der Phase im Netzwerkmodell zu erkennen.Unterhalb dieser Frequenz existieren deutliche Abweichungen im Phasenver-lauf zwischen den beiden Ansätzen, bedingt durch die Annahme lr ed = 0 fürf < 500 H z. Da jedoch die zugehörigen Absolutwerte für Frequenzen kleinerf = 500 H z äußerst gering sind, ist hier diese Abweichung unbedeutend. AusAbbildung 5.13 wird ersichtlich, dass eine entsprechende Modellierung vonle f f und lr ed die Erstellung eines Netzwerkmodells ermöglicht, das ein nahezuidentisches Transferverhalten für die verlustfreie abrupte Querschnittserwei-terung aufweist wie das dreidimensionale FEM-Modell8.

8Dass die verlustfreie Betrachtung generell für solche Aufgaben geeignet ist, wurde bereits von Pankiewitz

92


Der integrale Druckverlustbeiwert ζ des Netzwerkelements wird unter Ver-wendung von Gleichung 5.1 wie folgt berechnet:

ζ= 2∆pt

ρu2u

(5.37)

bzw. alternativ mittels

ζ= 2∆pt

ρu2d

(Au

Ad

)2

. (5.38)

Der Totaldruckverlust ∆pt wird hier aus der CFD-Rechnung durch eine Mit-telung der Daten über dem Ein- bzw. dem Auslass bestimmt. Die Werte derDichte ρ und der mittleren Strömungsgeschwindigkeit u sind ebenfalls derCFD-Rechnung entnommen.

Zusätzlich wird der neue Ansatz gegen Ergebnisse der sogenannten LES-SI-Methode validiert [12, 91, 92]. Bei dieser wird das akustische Übertra-gungsverhalten eines Elements mit Hilfe einer kompressiblen LES-Rechnungund einer anschließenden akustischen Systemidentifikation (Wiener-Hopf-Inversion (WHI)) bestimmt [12]9. Bei der LES-SI-Methode wird die Interaktionzwischen Strömungsfeld und Akustik explizit aufgelöst. Der Modellierungbe-darf ist somit minimal. Der numerische Aufwand ist jedoch äußerst hoch imVergleich zu Ansätzen, die auf der Wellen- bzw. der Helmholtzgleichung ba-sieren. Föller et al. [12,91,92] konnten zeigen, dass ihre Ergebnisse gemäß derLES-SI-Methode sowohl die experimentellen Daten von Ronneberger [88] alsauch die numerischen Ergebnisse von Kooijmann [84] sowie Boij und Nils-son [87] wiedergeben können.

[3, 11] sowie Evesque in Gentemann et al. [9] gezeigt.9Details hierzu sind z. B. Föller et al. [12] zu entnehmen.

93


5.2.2.3 Validierung des Verlustmodells

Zunächst erfolgt eine Validierung gegen das l −ζ-Modell. Als Referenz sind inAbbildung 5.14 zusätzlich die Ergebnisse aus den verlustfreien Betrachtungen(oV) gegeben. Anhand der Transfermatrizen in pu-Notation ist zu erkennen,dass sich durch die Implementierung von akustischen Verlusten (mV) in dieverwendeten Modelle erwartungsgemäß keine nennenswerten Veränderun-gen bezüglich der Elemente T11 und T22 gegenüber den verlustfreien Varian-ten ergeben.

Die Absolutwerte des T21-Elements sind jedoch aufgrund der Existenz derVerluste erhöht. Ein entsprechend verändertes Verhalten ist dem Phasenver-lauf des T21-Elementes zu entnehmen. Dieser ist für die beiden verlustbehaf-teten Fälle nahezu identisch. Die Absolutwerte des T21-Elements werden vomverwendeten l −ζ-Modell jedoch deutlich höher vorhergesagt.

Gemäß dem l − ζ-Modell wirken sich akustische Verluste insbesondere auchauf das T12-Elements aus. Im vorliegenden Fall ist dieser Einfluss jedoch rechtgering. Dies resultiert aus den Ergebnissen der CFD-Rechnung, aus denen derTotaldruckverlust für beide Ansätze bestimmt wurde. Demzufolge resultiertein erhöhter Wert von ζ im Vergleich zu einem einfachen analytischen Ansatz,wie z. B. ζ = (1 −α)2 [93]. Eingesetzt ins l − ζ Modell ergeben sich entspre-chend geringe Unterschiede zwischen verlustfreien und verlustbehafteten Va-rianten. Der Einfluss der beiden Lauflängen le f f und lr ed scheint hier folg-lich deutlich dominanter gegenüber demjenigen des Druckverlustbeiwerts ζzu sein.

Aus Abbildung 5.15 wird ersichtlich, dass ab einer gewissen Grenzfrequenz(vgl. Abschnitt 4.3) aber prinzipiell gute Übereinstimmungen zwischen denbeiden verlustbehafteten Varianten bezüglich des T12-Elements resultieren.Auch die zugehörigen Phasen verhalten sich oberhalb dieser Grenzfrequenzsehr ähnlich (Abbildung 5.14)10.

10Das Phasenverhalten des T12-Elements in Abbildung 5.14 steht im Einklang mit den Messergebnissen vonAlemela [94], Neunert [95] und Schuermans [18] an vergleichbaren Konfigurationen. Die zugehörigen Messun-gen basieren auf (Abwandlungen) der Multimikrofonmethode. Der hier gewählte numerische (FEM-) Ansatzfolgt im Wesentlichen dieser Vorgehensweise [11]. Auch Alemela [94], Neunert [95] und Schuermans [18] ver-wenden für ihre Arbeiten das l −ζ-Modell und erzielen damit generell sehr gute Übereinstimmungen mit ihren

94


0 500 1000 15000.95

1

1.05

f [Hz]

|T11

| [−

]

0 500 1000 15000

0.05

0.1

f [Hz]

|T12

| [−

]

0 500 1000 15000

0.05

0.1

f [Hz]

|T21

| [−

]

0 500 1000 15000.3

0.35

0.4

f [Hz]

|T22

| [−

]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

T11

) [r

ad]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

T12

) [r

ad]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

T21

) [r

ad]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

T22

) [r

ad]

FEM oVFEM mVNW oVNW mV

Abbildung 5.14: Transfermatrizen der abrupten Querschnittserweiterung inpu-Notation

95


0 500 1000 15000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

f [Hz]

|T12

| [−

]

FEM oV

FEM mV

NW oV

NW mV

Abbildung 5.15: Absolutwert des T12-Elements der Transfermatrizen

Einen detaillierten Einblick in das Übertragungsverhalten gibt die zugehöri-ge Streumatrix (Abbildung 5.16). Sie veranschaulicht, dass die Reflexions- undTransmissionskoeffizienten von stromauf nach stromab (ud) gut mittels desneuen Ansatzes wiedergegeben werden können. Das Übertragungsverhaltenvon stromab nach stromauf (du) weicht jedoch für die beiden Ansätze von-einander ab. Sowohl die Transmission als auch die Reflexion ist diesbezüglichbeim FEM-Modell höher. Der akustische Verlust im FEM-Modell ist folglich zugering im Vergleich zum l −ζ-Modell.

Zusätzlich erfolgt eine Validierung gegen Ergebnisse aus der LES-SI-Methodenach Föller et al. [91]. Als Referenz sind in Abbildung 5.19 zudem die Ergebnis-se eines verlustfreien analytischen Modells gemäß den Angaben in Fischer [8]gegeben. Um die oben beschriebenen Abweichungen aufgrund der Ergeb-nisse der CFD-Rechnung auszugleichen, wird der auf Basis der RANS-Daten

Messergebnissen. le f f , lr ed und ζ entsprechen dabei in der Regel Fittungsparametern. Daher erscheint es auchhier zulässig, den Phasenverlauf des Netzwerkmodells im T12-Element an den aufgrund der vorliegenden Mess-und Rechenergebnisse erwarteten Verlauf anzupassen (vgl. Abbildung 5.14). Dies wird erreicht, indem der Real-teil des T12-Elements mit einem zusätzlichen Minuszeichen versehen wird. Vom FEM-Modell wird der erwartetePhasenverlauf ohne entsprechende Korrekturen wiedergegeben.

96


0 500 1000 15000.45

0.5

0.55

f [Hz]

|t ud| [

−]

0 500 1000 15000.45

0.5

0.55

f [Hz]|r

du| [

−]

0 500 1000 15000.45

0.5

0.55

f [Hz]

|rud

| [−

]

0 500 1000 15001.4

1.45

f [Hz]

|t du| [

−]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

t ud)

[rad

]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

r du)

[rad

]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

r ud)

[rad

]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

t du)

[rad

]

FEM oV

FEM mV

NW oV

NW mV

Abbildung 5.16: Streumatrizen der abrupten Querschnittserweiterung

97


berechnete Wert von ζ im Netzwerkmodell durch den analytisch ermitteltenWert ζ = (1 −α)2 [93] ersetzt. Im FEM-Modell werden diese beiden Varian-ten von ζ zueinander ins Verhältnis gesetzt, da sich zeigte, dass der analytischberechnete Druckverlustbeiwert hier nahezu dem ζ aus der LES-SI-Methodeentspricht [89]. Der resultierende Faktor dient als globaler Ausgleichsfaktor imFEM-Modell. Wird er dort zusätzlich mit einem weiteren Faktor der Größe 1.8multipliziert, so ergeben sich, nach unten beschriebenen Umformungen, diein den Abbildungen 5.17 bis 5.19 dargestellten Ergebnisse11.

Demnach resultieren ab einer Grenzfrequenz von ca. f = 250 H z (vgl. hier-zu Abschnitt 4.3) sowohl bezüglich der Transfermatrix als auch der Streuma-trix sehr gute Übereinstimmungen zwischen dem l−ζ- und dem FEM-Modell.Auch die Größenordnung der Ergebnisse des LES-SI-Ansatzes konnte gut ge-troffen werden. Lediglich die Frequenzabhängigkeit des Verlustterms konntedurch das FEM- und das Netzwerk-Modell erwartungsgemäß nicht wiederge-geben werden (vgl. Abschnitt 4.3).

Im direkten Vergleich zum l−ζ-Modell ist das neue Modell folglich in der Lage,akustische Verluste ab einer gewissen Grenzfrequenz qualitativ wiederzuge-ben. Die Einführung eines globalen Tuningfaktors der Größe 1.8 führte auchzu quantitativ guten Übereinstimmungen. Fraglich bleiben die Gründe für diePhasenverschiebungen zwischen den verschiedenen Validierungsfällen.

11Die Ergebnisse von Föller et al. [91], die im Einklang stehen mit den Ergebnissen von Ronneberger [88],Kooijmann [84], Boij und Nilsson [87], weisen prinzipiell gegenüber den Messwerten von Alemela [94], Neu-nert [95] und Schuermans [18] sowie den vorliegenden Ergebnissen aus dem FEM-Modell eine Phasenverschie-bung um −π/2 im T12-Element und +π/2 im T21-Element auf. Berechnet man daraus die Streumatrizen gemäßFischer [8], so ergeben sich für die beiden Varianten stark voneinander abweichende Reflexions- und Transmissi-onskoeffizienten. Sie liegen spiegelbildlich zum verlustfreien Fall. Um das Transferverhalten der verschiedenenValidierungsfälle dennoch vergleichen zu können, wird sich deshalb hier dafür entschieden, die Phasendreherin den Ergebnissen des verlustbehafteten FEM-Ansatzes in den entsprechenden Abbildungen manuell auszu-gleichen. Gleichzeitig muss im l −ζ Modell das vorher eingeführte Minuszeichen im Realteil des T12-Elementswieder entfernt und auch der Imaginärteil des T22-Elements entsprechend angepasst werden.

98


0 500 1000 15000.95

1

1.05

f [Hz]

|T11

| [−

]

0 500 1000 15000

0.05

0.1

0.15

0.2

f [Hz]

|T12

| [−

]

0 500 1000 15000

0.05

0.1

0.15

0.2

f [Hz]

|T21

| [−

]

0 500 1000 15000.3

0.35

0.4

f [Hz]

|T22

| [−

]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

T11

) [r

ad]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

T12

) [r

ad]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

T21

) [r

ad]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

T22

) [r

ad]

FEM oV

FEM mV

NW oV

NW mV

LES−SI

Abbildung 5.17: Varianten der Transfermatrizen des Querschnittssprungs inpu-Notation

99


0 500 1000 15000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

f [Hz]

|T12

| [−

]

FEM oV

FEM mV

NW oV

NW mV

LES−SI

Abbildung 5.18: Varianten des Absolutwerts des T12-Elements der Transfer-matrizen

5.2.3 Validierung anhand eines Einzelbrennerprüfstands

Zusätzlich findet eine Validierung des neu entwickelten Verlustterms an-hand eines komplexen Einzelbrennerprüfstands statt. Dieser wird zu For-schungszwecken am Lehrstuhl für Thermodynamik der Technischen Univer-sität München verwendet. Die Validierung erfolgt im Frequenzbereich gegenexperimentelle Daten [96].

5.2.3.1 Konfiguration des Einzelbrennerprüfstands

Eine schematische Skizze der wesentlichen Elemente des Prüfstands ist inAbbildung 5.20 gegeben. Zudem ist darin der Bereich des späteren CFD-Interfaces markiert (Schraffur). Die Durchströmung des Prüfstands erfolgt inRichtung der positiven x-Achse. Das Fluid strömt zunächst in ein zylindri-sches Rohrsegment, die sogenannte Vormischkammer. An ihrem stromab ge-legenen Ende ist der zu untersuchende Brenner montiert. Er bildet das einzige

100


0 500 1000 15000.4

0.5

f [Hz]

|t ud| [

−]

0 500 1000 15000.4

0.5

f [Hz]|r

du| [

−]

0 500 1000 15000.4

0.5

f [Hz]

|rud

| [−

]

0 500 1000 15001.4

1.5

1.6

f [Hz]

|t du| [

−]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

t ud)

[rad

]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

r du)

[rad

]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

r ud)

[rad

]

0 500 1000 1500

−2

0

2

f [Hz]

arg(

t du)

[rad

]

Analyt. oV

FEM mV

NW mV

LES−SI

Abbildung 5.19: Varianten der Streumatrizen des Querschnittssprungs

101


600

300

x

750

90

1300

110

125

Abbildung 5.20: Geometrie des Einzelbrennerprüfstands mit TD1-Brenner

Verbindungsglied zur eigentlichen Brennkammer, welche aus drei Einzelseg-menten besteht. An die Brennkammer schließt der Kamin (nicht dargestellt)an.

Die akustische Anregung erfolgt mittels Sirenen. Durch die Rotation einer ge-lochten Scheibe vor einem mit Durchlässen versehenen Stator werden dabeinahezu sinusförmige Schnelleschwankungen erzeugt. Die Frequenz der An-regung kann über die Rotationsgeschwindigkeit der Scheibe bestimmt wer-den [97]. Zur Realisierung der akustischen Anregung von stromauf wird eineSirene stromauf der Vormischkammer montiert. Stromab kann eine Sirene imBereich des zylindrischen Brennkammersegments senkrecht zur Strömungs-richtung montiert werden. Zur gleichmäßigen Verteilung der Anregung überdem Umfang wurden diverse bauliche Veränderungen vorgenommen [13,97].Unter Anwendung der Multimikrofonmethode wurde mittels dieser Konfigu-ration unter anderem die hier betrachtete Brennertransfermatrix und somitdas akustische Übertragungsverhalten des TD1-Brenners (Variante TD1 4016/16 mm Schlitzlänge) im unbefeuerten Zustand (T ≈ 18◦C ) für einen Luftmas-senstrom m = 30 g /s bestimmt [96]. Details zum Prüfstandsaufbau und zurMessmethode sind den Arbeiten von Alemela et al. [13], Eckstein [97] und Fi-scher [8] zu entnehmen.

Der TD1-Brenner wurde am Lehrstuhl für Thermodynamik der TechnischenUniversität München zu Forschungszwecken entwickelt. Sein prinzipieller

102


Drallerzeuger

Düse

Plenum

Brennkammer

Strömungsrichtung

Abbildung 5.21: Schematischer Aufbau des TD1-Brenners, montiert in einemEinzelbrennerprüfstand

Aufbau ist in Abbildung 5.21 dargestellt. Die Durchströmung erfolgt von linksnach rechts. Das Fluid strömt von der Vormischkammer (Plenum) durch denDrallerzeuger in die Düse und nach einer abrupten Querschnittserweiterungschließlich in die Brennkammer. Zur Stabilisierung des Strömungsfeldes bzw.der Flamme ist zentral eine Lanze angebracht. Durch teilweises Versperrender tangentialen Drallschlitze kann beim TD1-Brenner unter anderem dieDrallzahl variiert werden [8].

5.2.3.2 CFD-Interface

Zunächst wird wiederum ein stationäres CFD-Interface erstellt. Es basiert indiesem Fall auf einer dreidimensionalen URANS-Rechnung in FLUENT (vgl.Tabelle 5.2), durch welche das kalte Strömungsfeld im Nahbereich des TD1-Brenners im oben beschriebenen Einzelbrennerprüfstand ermittelt wird [98].Mit Hilfe einer entsprechend programmierten User-Defined-Function [98]können daraus zeitlich gemittelte Werte für diverse strömungsmechanischeParameter extrahiert werden. Gleichzeitig ermöglicht diese User-Defined-Function, die entsprechenden Gradienten des Totaldrucks unter weitgehen-der Vermeidung mathematisch-numerischer Ungenauigkeiten auszulesen.

103


Gitter

Anzahl der Elemente 619076Art der Elemente hexahedrale Zellen (3D)

Solver

Art URANS-3DZeitschritt ∆t = 5·10−5 sDiskretisierungsschema Second Order Implizit, Second Order Upwind

Turbulenz/ Randbedingungen

Turbulenzmodell Reynold-Stress ModelEinlassrandbedingung Mass-Flow-Rate (m = 0.03 kg /s,T = 18◦C )Auslassrandbedingung Pressure Outlet

Stoffwerte

Medium, Temperatur Luft, T = 18◦CDichte inkompressibles, ideales GasBetriebsdruck p = 101325 Pa

Tabelle 5.2: Parameter des URANS-Modells des TD1-Brenners nach [98]

|u| [m/s]:

Abbildung 5.22: Einzelbrennerprüfstand (TD1): CFD-Ergebnisse - mittlereAbsolutgeschwindigkeit

104


p t [Pa]:

Abbildung 5.23: Einzelbrennerprüfstand (TD1): CFD-Ergebnisse - mittlererTotaldruck

In den Abbildungen 5.22 und 5.23 sind die resultierende mittlere Absolut-geschwindigkeit und der mittlere Totaldruck dargestellt. In beiden Fällen istein gewisser Einfluss der Austrittsrandbedingung zu erkennen. Dort erfolgtzur Erhöhung der numerischen Stabilität der Rechnung die Blockierung einesTeils der Austrittsfläche mittels einer mittig platzierten Scheibe12. Um einenEinfluss dieser Maßnahme auf die spätere Bestimmung der akustischen Ver-luste auszuschließen, wird der entsprechende Bereich bei der Erstellung desCFD-Interfaces ausgespart.

In Abbildung 5.24 ist analog zur abrupten Querschnittserweiterung das Zu-sammenspiel ausgewählter Komponenten des mittleren Totaldruckgradien-ten und der zugehörigen Anteile der mittleren Geschwindigkeit schematischdargestellt. Wie bereits in Abbildung 5.7 wird dies anhand kartesischer Ko-ordinaten veranschaulicht, da sich der hydrodynamische Anteil des Verlust-terms auch hier später wiederum aus diesen Komponenten zusammenset-zen wird. Im Sinne einer besseren Übersichtlichkeit wird in Abbildung 5.24auf eine Darstellung der z-Komponente verzichtet. Für eine vollkommen ro-tationssymmetrische Konfiguration ist im betrachteten Mittelschnitt der ent-sprechende mittlere Totaldruckgradient in z-Richtung ∂pt /∂z ohnehin gleichNull. Prinzipiell existieren im Vergleich zum Freistrahl nun zwei Scherschich-ten. Die Interaktionen im Strömungsfeld sind daher deutlich komplexer.

12Dies entspricht der üblichen Vorgehensweise im Rahmen derartiger Berechnungen.

105


∂pt/∂x ∂p

t/∂y

u v

x

y

z

Abbildung 5.24: Einzelbrennerprüfstand (TD1): Schematische Darstellungausgewählter Komponenten der mittleren Geschwindigkeitund des Gradienten des mittleren Totaldrucks

In Abbildung 5.25 sind die axialen Komponenten des Zählers des hydrodyna-mischen Anteils des Verlustterms gezeigt. Demnach sind die Werte aus demProdukt des mittleren axialen Totaldruckgradienten und dem Anteil der mitt-leren Geschwindigkeit in x-Richtung an der inneren Scherschicht tendenziellnegativ und an der äußeren Scherschicht positiv. Die Summe aus radialen undtangentialen Komponenten verhält sich diesbezüglich spiegelverkehrt. Sie isthier gleichzusetzen mit der Summe aus den entsprechenden Komponenten inx- und y-Richtung (Abbildung 5.26). Im gewählten Mittelschnitt ist jedoch derGradient des mittleren Totaldrucks in z-Richtung ∂pt /∂z für eine perfekt rota-tionssymmetrische Konfiguration gleich Null. Es verbleiben im Skalarproduktin Abbildung 5.27 somit neben den axialen Komponenten des hydrodynami-schen Anteils des Verlustterms hier im Wesentlichen nur die Komponenten iny-Richtung.

Das Gesamtresultat des Skalarprodukts im Zähler von Vhyd ist in Abbildung5.27 dargestellt, der resultierende hydrodynamische Verlustterm, inklusiveder Terme im Nenner, in Abbildung 5.28. Auch hier ergeben sich sowohl posi-tive als auch negative Bereiche. Flächenmäßig dominieren jedoch die negati-ven Bereiche.

Als Referenzebene zur Bestimmung der Geschwindigkeit |u1| wurde dabei derBrennerausgang gewählt. Wegen der inhomogenen Verteilung der axialen Ge-

106


u [m/s]:

∂pt/∂x [Pa/m]:

∂pt/∂x ∙ u [kg/(m s3)]:

Abbildung 5.25: Einzelbrennerprüfstand (TD1): CFD-Ergebnisse - axialeKomponenten des Zählers des hydrodynamischen Anteilsdes Verlustterms

107


∂pt/∂y ∙ v + ∂p

t/∂z ∙ w [kg/(m s3)]:

Abbildung 5.26: Einzelbrennerprüfstand (TD1): CFD-Ergebnisse - Summeaus radialen und tangentialen Komponenten des Zählers deshydrodynamischen Anteils des Verlustterms

∂pt/∂x ∙ u + ∂p

t/∂y ∙ v +

∂pt/∂z ∙ w [kg/(m s3)]:

Abbildung 5.27: Einzelbrennerprüfstand (TD1): CFD-Ergebnisse - Zähler deshydrodynamischen Anteils des Verlustterms

schwindigkeit über dem Querschnitt bei x = 0 aufgrund eines prezidierendenWirbelkerns, dessen Einfluss auch durch die zeitliche Mittelung nicht voll-ständig behoben werden konnte, wird hier für den betrachteten Anwendungs-fall jedoch die Ebene bei x =−0.02 m als Referenz verwendet.

Analog zu den vorausgehenden Betrachtungen anhand der abrupten Quer-schnittserweiterung resultieren auch hier für die beiden Validierungsfäl-le - nun aber aus Numerik und Experiment - unterschiedliche Werte des

108


Vhyd

[kg/(m3 s)]:

Abbildung 5.28: Einzelbrennerprüfstand (TD1): CFD-Ergebnisse - gesamterhydrodynamischer Anteil des Verlustterms

(Total-) Druckverlusts über dem Brenner. Um dies zu korrigieren, wird auchim vorliegenden Fall ein entsprechender Korrekturfaktor implementiert. Da-zu wird das aus der Strömungsberechnung bestimmte ζ (Gleichung 5.38) insVerhältnis gesetzt zum entsprechenden, experimentell bestimmten Druckver-lustbeiwert ζ. Wie von Alemela [94] beschrieben, wird im experimentellen Falldazu die Differenz des statischen Druckverlusts anstelle des Totaldruckver-lusts verwendet. Der zusätzliche Tuningfaktor mit dem Wert 1.8 (vgl. Abschnitt5.2.2.3) wird auch hier beibehalten.

Die eigentliche Berechnung des hydrodynamischen Anteils des Verlusttermserfolgt in MATLAB. Die resultierenden Ergebnisse werden wiederum, wie inAbschnitt 5.2.2 beschrieben, auf Werte kleiner oder gleich Null limitiert. An-schließend wird hier der hydrodynamische Anteil des lokalen akustischen Ver-lustterms bei gleichzeitig möglichst exakter Beibehaltung seines integralenWertes vom feinen CFD-Gitter unmittelbar auf das deutlich gröbere, unstruk-turierte FEM-Gitter abgebildet [99]. Durch diese Vorgehensweise können et-waige Interpolationsfehler ausgeschlossen werden [100]. Anschließend wer-den die Ergebnisse auf die Mittelpunkte der Tetraeder interpoliert und dannin Form einer MATLAB-Struktur abgespeichert, um sie so in den verwende-ten FEM-Code einlesen zu können [99]. Im FEM-Code erfolgt die endgültigeInterpolation der Daten auf das unstrukturierte FEM-Gitter (Abbildung 5.29).

109


Abbildung 5.29: Einzelbrennerprüfstand (TD1): CFD-Interface - Vhyd

[kg /(m3s)] im FEM-Code (Schnitt)

5.2.3.3 Validierung des Verlustmodells

Die Validierung erfolgt anhand eines Vergleichs der Transfer- und der Streu-matrizen aus Experiment und Berechnung. Den Berechnungsfällen liegt dasgeometrische Modell aus Abbildung 5.20 zugrunde. Das zugehörige Berech-nungsgitter ist in Abbildung 5.30 dargestellt.

An den beiden stirnseitigen Rändern werden analog zur Vorgehensweise inAbschnitt 5.2.2 Impedanzrandbedingungen gesetzt. Zusätzlich erfolgt wieder-um an jeweils einem dieser Ränder die Anregung des akustischen Feldes mit-tels einer sinusförmigen Geschwindigkeitsschwankung, um so zwei vonein-ander unabhängige Datensätze zu generieren (vgl. Abschnitt 5.2.2). Alle übri-gen Ränder werden als schallhart modelliert (Neumann-Randbedingung). DieLösung des Gleichungssystems erfolgt mittels eines parametrischen, direktenSolvers im Frequenzbereich (vgl. Tabelle 5.3). Verwendet wird dazu eine Vari-ante von Gleichung 5.34. In Übereinstimmung mit dem Experiment umfasstder betrachtete Frequenzbereich f = 20 H z bis f = 600 H z.

110


Abbildung 5.30: Örtliche Diskretisierung des TD1-Brenners im Einzelbren-nerprüfstand

SoftwareBezeichnung COMSOL MULTIPHYSICSArt FEMVersion 3.5Modus Acoustic-Mode

GitterAnzahl der Elemente 29654Art der Elemente Tetraeder (unstrukturiertes Gitter)Diskretisierungsschema lineare Lagrange-ElementeMaximale Kantenlänge l = 0.0285 m

StoffwerteMedium LuftTemperatur T = 18◦C

RandbedingungenImpedanz Z = 1000 kg /(sm2)Schallharte Wand ∇p = 0

SolverArt direkt, parametrisch, Frequenzbereich

Tabelle 5.3: Parameter des FEM-Modells (TD1 im Einzelbrennerprüfstand)

111


In Abbildung 5.31 sind die experimentell und numerisch ermittelten Brenner-transfermatrizen in pu-Notation einander gegenübergestellt. Wie im Rahmender experimentellen Vorgehensweise üblich, werden die Ergebnisse dabei aufden Brennerausgang bei x = 0 bezogen.

Vergleicht man zunächst die verlustfreien FEM-Ergebnisse mit den experi-mentellen Daten, so sind bezüglich aller Elemente weitgehend gute Über-einstimmungen zu erkennen. Die Implementierung von akustischen Verlus-ten führt im vorliegenden Fall lediglich im Phasenverlauf des T21-Elementszu deutlichen Unterschieden im Vergleich zur verlustfreien Berechnung. DerTrend des Phasengangs der experimentellen Ergebnisse kann dort aber sehrgut wiedergegeben werden. Die generellen Unterschiede zwischen verlust-freier und verlustbehafteter Variante sind deutlicher mit Hilfe der Streuma-trix zu erkennen (Abbildung 5.32). Ab einer Grenzfrequenz von ca. f = 100 H zsind zunächst generell gute Übereinstimmungen zwischen den experimentel-len und den numerischen Ergebnissen zu beobachten. Jedoch zeigt sich auchhier, dass der Einfluss der modellierten Verluste recht gering ist. Dies stimmtaber mit den Aussagen von Fischer [8] überein, die auf seinen experimentellenErgebnissen bezüglich des TD1-Brenners in einem anderen Prüfstand basie-ren.

Weitere, hier nicht gezeigte Studien zeigen, dass sich eine deutliche globaleErhöhung des Verlustterms mittels eines weiteren Ausgleichsfaktors der Grö-ße 5 oder auch 10 tendenziell negativ auf die Übereinstimmungen bezüglichder Streumatrizen aus verlustbehafteter FEM-Rechnung und Experiment aus-wirkt. Ein Faktor von 5 führt bereits zu einem deutlich veränderten Übertra-gungsverhalten. Dies wirkt sich insbesondere auf die Absolutwerte der Streu-matrix aus, während die Phasenverläufe davon deutlich weniger betroffensind. Die stärksten Auswirkungen sind bezüglich des Absolutwerts des Refle-xionsfaktors von stromab nach stromauf rdu zu erkennen. Die Implementie-rung eines Faktors der Größe 5 führt dort jedoch zu deutlich stärkeren Abwei-chungen im Vergleich zu den experimentellen Daten. Die Abweichungen ver-stärken sich weiter drastisch bei Verwendung eines Faktors der Größe 10. Nen-nenswerte Verbesserungen bezüglich der Übereinstimmungen mit den expe-rimentellen Daten konnten im Rahmen dieser Untersuchungen nur bezüglich

112


100 200 300 400 500 6000

2

4

|T11

| [−

]

f [Hz]100 200 300 400 500 600

0

2

4

|T12

| [−

]

f [Hz]

100 200 300 400 500 6000

2

4

|T21

| [−

]

f [Hz]100 200 300 400 500 600

0

2

4|T

22| [

−]

f [Hz]

100 200 300 400 500 600

−2

0

2

arg(

T11

) [r

ad]

f [Hz]100 200 300 400 500 600

−2

0

2

arg(

T12

) [r

ad]

f [Hz]

100 200 300 400 500 600

−2

0

2

arg(

T21

) [r

ad]

f [Hz]100 200 300 400 500 600

−2

0

2

arg(

T22

) [r

ad]

f [Hz]

FEM oV

FEM mV

Experiment

Abbildung 5.31: Transfermatrizen des TD1-Brenners im Einzelbrennerprüf-stand

113


0 200 400 6000

1

2

|t ud| [

−]

f [Hz]0 200 400 600

0

0.5

1

|rdu

| [−

]

f [Hz]

0 200 400 6000

0.5

1

|rud

| [−

]

f [Hz]0 200 400 600

0

0.5

1|t du

| [−

]

f [Hz]

100 200 300 400 500 600

−2

0

2

arg(

t ud)

[rad

]

f [Hz]100 200 300 400 500 600

−2

0

2

arg(

r du)

[rad

]

f [Hz]

100 200 300 400 500 600

−2

0

2

arg(

r ud)

[rad

]

f [Hz]

100 200 300 400 500 600

−2

0

2

arg(

t du)

[rad

]

f [Hz]

FEM oV

FEM mV

Experiment

Abbildung 5.32: Streumatrizen des TD1-Brenners im Einzelbrennerprüfstand

114

5.3 Zusammenfassung

der Absolutwerte des Transmissionsfaktors von stromauf nach stromab tud

bei Verwendung eines Faktors der Größe 5 erzielt werden. Die Verwendungeines Faktors der Größe 10 führte hingegen bei allen Elementen zu deutlichschlechteren Übereinstimmungen. Die Größenordnung der Verluste in der ur-sprünglichen Form scheint daher passabel, auch wenn sie eventuell etwas zugering sein könnte (evtl. ca. Faktor 2 oder kleiner).

Die betrachteten akustischen Verluste haben in den vorliegenden Validie-rungsfällen demnach allgemein nur einen verhältnismäßig geringen Einflussauf das Übertragungsverhalten des akustischen Elements / Systems, da derDurchsatz hier generell sehr gering und der mittlere Totaldruckverlust damitentsprechend klein ist. Bei der Bestimmung des thermoakustischen Verhal-tens könnte diese geringfügige Verstimmung jedoch einen entscheidendenBeitrag für ein stabileres Systemverhalten liefern. Dies wird im folgenden Ka-pitel untersucht.

5.3 Zusammenfassung

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass das entwickelte Modell zurnäherungsweisen Erfassung akustischer Verluste in der Helmholtzgleichungbzw. der Wellengleichung insgesamt zu durchaus zufrieden stellenden Ergeb-nissen geführt hat, sowohl bezüglich der abrupten Querschnittserweiterungals auch der hier untersuchten Einzelbrennerkonfiguration. Die bisher erziel-ten Ergebnisse weisen jedoch noch quantitative Abweichungen zu den erwar-teten Werten auf. Dies konnte durch die Einführung eines Tuningfaktors derHöhe 1.8 zumindest teilweise behoben werden. Das generelle Verhalten vondämpfenden Einflüssen konnte gut abgebildet werden.

Folglich ist es gelungen, den Energiehaushalt der akustischen Schwingungendurch die Berücksichtigung von akustischen Verlusten infolge der Durchströ-mung von Brennkammerkomponenten, trotz der Verwendung der (an sichisentropen) Helmholtz-/ Wellengleichung, prinzipiell zu erfassen.

115

6 Randbedingungen

Neben den akustischen Verlusten, die aufgrund der Durchströmung vonBrennkammerkomponenten entstehen, ist es im Rahmen einer realitätsna-hen Betrachtung der (thermo-) akustischen Stabilität von Verbrennungssyste-men von zentraler Bedeutung, den Anteil akustischer Energie zu quantifizie-ren, der an den Rändern aus dem System herausgetragen wird. Solche Rändersind der Ein- und Austritt der Brennkammer sowie perforierte Wände. An star-ren, nicht filmgekühlten Wänden findet in erster Näherung keine akustischeDämpfung statt.

Im Folgenden werden zunächst verschiedene Randbedingungen diskutiert.Anschließend wird anhand eines sogenannten Liners ein Ansatz zum Trans-fer komplexer frequenzabhängiger Randbedingungen vom Frequenz- in denZeitbereich vorgestellt. Dieser ermöglicht, entsprechende akustische Verlusteauch in transienten Berechnungen realitätsnah zu erfassen.

6.1 Akustische Verluste an den Rändern eines Berechnungs-gebiets

Das Kompressorende von Gasturbinen entspricht aus akustischer Sicht übli-cherweise einer gechokten Düse (M = 1 im engsten Querschnitt). Dort findetfolglich, bei Vernachlässigung konvektiver Effekte, eine Vollreflexion des akus-tischen Feldes statt. Brennkammer und Verdichter können demnach als akus-tisch entkoppelt betrachtet werden. Unter diesen Annahmen lautet dort dieakustische Randbedingung n ·∇p ′ = 0 (Neumann-Randbedingung).

Der Brennkammerauslass wird in erster Näherung häufig als gewöhnliche Dü-se modelliert. Im Frequenzbereich wird dazu oft ein analytischer Ausdruck

116

6.2 Liner

von Marble und Candel [101] verwendet. Der Reflexionsfaktor ist dabei reinreell und konstant über alle Frequenzen. Er hängt lediglich von der Machzahlab. Ein derartiger Ausdruck kann problemlos vom Frequenz- in den Zeitbe-reich transformiert werden. Ansätze hierzu sind unter anderem bei Pankie-witz [3] zu finden. Neue Messungen zeigen jedoch, dass das akustische Ver-halten eines solchen Elements in komplexer Weise von der Frequenz abhängt[100]. Für dynamische Untersuchungen ist unter Umständen zudem der Ein-fluss der rotierenden Turbinenschaufeln zu beachten.

Brennkammerwände moderner Gasturbinen bestehen zu Kühlzwecken ganzoder teilweise aus perforierten Bauteilen, den sogenannten Linern. Neben ih-rer primären Aufgabe, das Material der Brennkammerwand durch einen Kühl-luftfilm vor Beschädigung aufgrund des starken Wärmeeinflusses zu schüt-zen, können Liner auch die Akustik eines Brennkammersystems stark beein-flussen. Sie üben in der Regel einen dämpfenden Einfluss aus. Aus numeri-scher Sicht resultiert auch hier zumeist eine komplexe, frequenzabhängigeRandbedingung.

6.2 Liner

Ein Liner besteht in der Regel aus einer dünnwandigen Metallplatte, die zahl-reiche kleinste Bohrungen (D ≈ 0.0005m [102]) in regelmäßigen Abständenaufweist (Abbildung 6.1). Zur besseren Ausbildung des Kühlluftfilms werdenheute häufig schräge Bohrungen verwendet [103, 104]. Die Porosität einesLiners ist gering. Die Öffnungen sind somit äußerst klein im Vergleich zurGesamtoberfläche der perforierten Platte. Um den dämpfenden Einfluss zuverstärken, wird in einem Abstand l zur perforierten Platte eine schallharteWand (backing plate) angebracht. In den Zwischenraum wird Kühlluft ein-gebracht. Diese strömt aufgrund des Druckgradienten durch die Bohrungenin die Brennkammer und führt an der Brennkammerinnenwand zur Ausbil-dung eines Kühlluftfilms. Existiert in der Brennkammer ein akustisches Feld,so kommt es an den scharfen Kanten der einzelnen Öffnungen des Liners zueiner Kopplung von akustischer Mode und Vorticitymode aufgrund von Wir-belablösung. Dabei wird akustische in strömungsmechanische Energie umge-

117

Randbedingungen

u

l

h θ

θ

2R

Abbildung 6.1: Schematische Darstellung des Aufbaus und der Funktionswei-se eines Liners [105]

wandelt, die als Wirbel mit der mittleren Geschwindigkeit stromab getragenwird. Die akustische Mode wird somit gedämpft. Ein linearer Zusammenhangzwischen den verschiedenen Mechanismen besteht jedoch nur bei der Exis-tenz einer mittleren Strömung durch den Liner (bias flow). Ist keine solchemittlere Strömung vorhanden, so ist der Dämpfungsmechanismus u. a. nicht-linear und zudem deutlich schwächer ausgeprägt (vgl. hierzu [102, 105–109]).

Erste Untersuchungen bezüglich des Dämpfungsverhaltens durchströmterLiner fanden Ende der 70er Jahre statt. 1990 veröffentlichten Hughes undDowling [108] einen Überblick über den damaligen Kenntnisstand und zeig-ten Perspektiven auf. Sie entwickelten ein analytisches Modell, das auf denArbeiten von Howe [43] zur Rayleigh-Konduktivität einer Lochblende be-ruht. Der Einfluss des Liners wird dabei mittels einer homogenen Randbe-dingung beschrieben. Dieser Ansatz setzt voraus, dass die einzelnen durch-strömten Öffnungen (sowie auch der Abstand l ) klein im Vergleich zur Wel-lenlänge sind. Das akustische Verhalten der einzelnen Öffnungen kann so-mit unabhängig voneinander betrachtet werden. Zudem formulierten Hughesund Dowling [108] Designrichtlinien für Liner. Sie zeigten, dass die in der Pra-xis vorherrschende Krümmung der perforierten Platten im Vergleich zu eineräquivalenten ebenen, perforierten Platte keinen nennenswerten Einfluss aufdas Dämpfungsverhalten hat, solange azimuthale Änderungen des Schallfel-des in einem ansonsten zylindrischen Liner vernachlässigt werden können.

118

6.2 Liner

Dies bedeutet, dass Impedanzen, welche auf oben beschriebenem analyti-schen Weg oder auch experimentell unter Verwendung so genannter impe-dance tubes ermittelt wurden, unter obigen Voraussetzungen ohne nennens-werte Abweichungen auch für die akustische Beschreibung gekrümmter per-forierter Oberflächen verwendet werden können [108]. Hughes und Dowlinggaben zudem erste Einblicke in die Auswirkungen einer heißen Kernströmungauf das Verhalten eines Liners [108]. Ihre Arbeit diente der Betrachtung ra-dialer Moden in Nachbrennern, sogenannten Screech-Instabilitäten. Eldredgeund Dowling [106] sowie später Eldredge [107] entwickelten den Ansatz wei-ter hinsichtlich einer Betrachtung axialer Moden, respektive Moden höhererOrdnung in zylindrischen und ringförmigen Rohren bzw. Kanälen.

Diverse Untersuchungen experimenteller, theoretischer und numerischer Artbezüglich des Einflusses verschiedener Parameter auf die Dämpfungseigen-schaften eines Liners wurden von der Forschergruppe um Sun und Jing veröf-fentlicht [110,111]. Bellucci et al. [105] führten Messungen des Dämpfungsver-haltens verschiedener unterschiedlich stark durchströmter perforierter Plat-ten durch. Wie Sun et al. [110] verwendeten auch sie dazu eine impedancetube. Bellucci et al. [105] entwickelten zudem ein analytisches Modell. Es er-laubt, den Einfluss verschiedener physikalischer Parameter auf das Dämp-fungsverhalten perforierter Platten detailliert zu berücksichtigen. Weitere ex-perimentelle Untersuchungen wurden von der Gruppe um Röhle bzw. Heu-winkel et al. durchgeführt [112].

Tam et al. [109] veröffentlichten darüber hinaus u. a. Untersuchungen derdetaillierten Strömungsverhältnisse und Absorptionskoeffizienten von Linernunter Anwendung der DNS-Methode. Aufbauend auf den Arbeiten von Men-dez et al. [103, 113, 114], die zumeist auf dem kompressiblen LES-Solver AVBPberuhen, verfolgten Eldredge et al. [104] einen ähnlichen Ansatz zur Bestim-mung des detaillierten Strömungsfeldes unter Verwendung eines inkompres-siblen LES-Solvers. Dassé et al. [102] entwickelten die Arbeit von Mendez et al.weiter und kombinierten die strömungsmechanische mit einer akustischenBetrachtungsweise, unter Verwendung von AVBP (LES). Ihre Ergebnisse wei-sen gute Übereinstimmungen mit verschiedenen alternativen Ansätzen auf,wie zum Beispiel den numerischen Daten von Jing und Sun [111], dem ana-

119

Randbedingungen

lytischen Modell nach Howe [43] oder auch den experimentellen Ergebnissenvon Bellucci et al. [105], insbesondere im Bereich niedriger Frequenzen [102].

Neben diesen sehr detaillierten Ansätzen existieren auch globale Modelle zurBeschreibung des Einflusses von Linern auf ein akustisches Gesamtsystem.Repräsentativ seien hier die Untersuchungen von Rehmann und Eldredge[115] erwähnt. Dabei wird der Liner als Teil eines Netzwerkmodells zur Be-stimmung der thermoakustischen Stabilität von Verbrennungssystemen mo-delliert, in diesem Fall konkret von Gasturbinen. Rehmann und Eldredge [115]beziehen sich ebenfalls auf den Ansatz von Eldredge und Dowling [106] bzw.von Howe [43].

6.3 Frequenzabhängige Randbedingungen im Zeitbereich

Im Folgenden wird ein Weg aufgezeigt, um frequenzabhängige Randbedin-gungen, wie zum Beispiel die experimentellen Daten von Bellucci et al. [105],in die hier durchzuführenden Stabilitätsberechnungen im Zeitbereich zu inte-grieren. Dies ist essentiell für eine korrekte, quantitative Vorhersage der ther-moakustischen Instabilität eines Verbrennungssystems, da diese in der Regelstark von den akustischen Eigenschaften an den Rändern bestimmt wird. DieTransformation erfolgt gemäß einer von Pieringer [6, 116] entwickelten Me-thode1, basierend auf einem halb-analytischen Ansatz nach einer Idee vonRichter et al. [117].

1Demnach ist der Transfer einer frequenzabhängigen Randbedingung, wie z.B.

p(ω) = ρc Z (ω)n · u(ω), (6.1)

vom Frequenz- in den Zeitbereich in der Regel komplex. Er umfasst die inverse Fourier-Transformation desTerms und erfordert dabei die Lösung des Faltungsintegrals

p ′(t ) = ρc∫ t

0Z (t −τ) n ·u′(τ)dτ. (6.2)

Aufgrund der Retardierung, t −τ, bringt die exakte, numerische Lösung dieses Integrals aber einen enormen,häufig nicht zu bewältigenden Aufwand mit sich. Zur Umgehung dieser Problematik wurde von Pieringer [6,116]eine alternative Methode entwickelt, um die Modellierung des dämpfenden Einflusses von Absorbern in einemRaketentriebwerk mittels des Aeroakustik-Codes PIANO zu realisieren. Die generelle Vorgehensweise hierzuwird im Folgenden in Anlehnung an ihre Arbeiten [6, 116] dargestellt.

120

6.3 Frequenzabhängige Randbedingungen im Zeitbereich

Ausgangspunkt ist folgende Näherung zur Beschreibung der Impedanz einesverlustbehafteten Rohrstücks der Länge l , erweitert um einen Vorfaktor a [6,116]:

Z (ω) = a coth(kl ). (6.3)

Die Wellenzahl k ist hier eine komplexwertige Größe, gemäß:

k =β+ iω

c. (6.4)

β entspricht einer frequenzabhängigen Dämpfungskonstanten. Für Berech-nungen im Frequenzbereich wäre es problemlos möglich, eine komplexwer-tige, frequenzabhängige Impedanzrandbedingung gemäß Gleichung 6.3 di-rekt zu implementieren. Zur Einbindung einer solchen Randbedingung in einSimulationsmodell im Zeitbereich sind jedoch zusätzliche Transformations-schritte erforderlich [6, 116].

Gemäß Pieringer [6, 116] kann eine coth-Funktion (mit komplexwertigem Ar-gument) prinzipiell, unter Verwendung von Exponentialfunktionen, wie folgtdargestellt werden [118]:

coth(x + i y) = e (x+i y) +e−(x+i y)

e (x+i y) −e−(x+i y). (6.5)

Terme der Form ex+i y können mittels einer Taylorreihe entwickelt werden[116]. Wird diese Reihe nach dem ersten Glied abgebrochen, ergibt sich nä-herungsweise [6]:

coth(x + i y) ≈ 1+e−(x+i y)

1−e−(x+i y)= 1+e−xe−i y

1−e−xe−i y. (6.6)

Bezieht man dies auf Gleichung 6.3, so folgt:

1

ρc

p

n · u= a

1+be−iωτ

1−be−iωτ. (6.7)

121

Randbedingungen

n · u ist der Anteil der Schnelleschwankung normal zum Rand. b beschreibtnun die Dämpfung gemäß:

b = e−νl . (6.8)

Im Gegensatz zu Gleichung 6.4 ist die Dämpfung in dieser weiteren Näherungüber der Frequenz konstant. ν repräsentiert eine Konstante, τ = 2l/c einenZeitverzug.

Im Absorbermodell von Pieringer ergeben sich diese Parameter teils aus dengeometrischen Zusammenhängen, teils dienen sie zum Anpassen des Modellsan das Verhalten komplexerer Modelle. Hier erfolgt zunächst eine Loslösungvon den geometrischen Zusammenhängen. Die Größen a, l und ν dienen so-mit primär als Optimierungsparameter zum Nachbilden des Verlaufs komple-xer Randbedingungen im Frequenzbereich. ρ und c behalten jedoch ihre phy-sikalische Bedeutung. Multipliziert man Gleichung 6.7 aus, so folgt:

p(1−be−iωτ)= ρca · n · u

(1+be−iωτ) . (6.9)

Terme der Form e−iωτ im Frequenzraum entsprechen einer zeitlichen Ver-schiebung um die Zeit τ im Zeitraum [6,116]. Somit folgt für die Druckschwan-kungen:

p ′ = ρca · n ·u′+ ρcba · n ·u′(t −τ)+b · p ′(t −τ), (6.10)

respektive für die Schnelleschwankungen [6, 116]:

n ·u′ = 1

ρca(p ′−b · p ′(t −τ))−b · n ·u′(t −τ). (6.11)

Dies ermöglicht, frequenzabhängige Impedanzrandbedingungen in den Zeit-bereich zu transformieren. Voraussetzung dafür ist, dass sich ihr Verlauf imFrequenzbereich mittels des von Pieringer vorgegebenen Parametersatzes(Gleichung 6.7) approximieren lässt.

122

6.4 Implementierung der Randbedingungen

6.4 Implementierung der Randbedingungen

Aufgrund der Verwendung der Wellengleichung wird hier eine Formulierungbezüglich der akustischen Druckschwankungen oder ihrer Ableitungen an derjeweiligen Randbedingung benötigt. Eine direkte Verwendung von Gleichung6.10 ist jedoch nicht zielführed, da sich damit für den betrachteten Anwen-dungsfall nach Bellucci et al. [105] eine mathematisch instabile Formulierungder Randbedingung ergibt (instabiler Filter). Daher wird Gleichung 6.11 zu-nächst partiell nach der Zeit abgeleitet:

n ·∂u′

∂t= 1

ρca

(∂p ′

∂t−b ·

∂p ′

∂t(t −τ)

)−b · n ·

∂u′

∂t(t −τ). (6.12)

Unter Verwendung der linearisierten Eulergleichung in Normalenrichtung(n ·∂u′/∂t = −1/ρn ·∇p ′, M = 0) kann die zeitliche Ableitung der Schnelledurch die örtliche Ableitung der Druckschwankung ersetzt werden. Konvek-tive Terme werden wiederum vernachlässigt. Damit folgt für Gleichung 6.12:

n ·∇p ′ =− 1

ca

(∂p ′

∂t−b ·

∂p ′

∂t(t −τ)

)−b · n ·∇p ′(t −τ). (6.13)

In den FEM-Code kann dieser Ausdruck mittels einer Neumann-Randbedingung eingebunden werden. Die eigentliche Berechnung vonGleichung 6.13 findet zu jedem Zeitschritt in MATLAB statt. Aus numerischenGründen ist es nicht möglich, alle benötigten Größen direkt am Rand auszu-lesen. Deshalb wird im eindimensionalen Fall ein Referenzpunkt unmittelbarvor der Randbedingung definiert, an dem die Werte der Druckschwankungund ihrer örtlichen Ableitung ausgelesen werden. Im dreidimensionalen Fallist die Definition einer entsprechenden Referenzfläche erforderlich.

Dabei ist zu beachten: Hinsichtlich der Minimierung von Abbildungsfehlernist ein möglichst geringer Abstand zwischen Rand- und Referenzpunkten an-zustreben. Andererseits führt dies zu einer starken Verfeinerung des Berech-nungsgitters in den Randbereichen und damit zu einer enormen Erhöhungdes Rechenaufwandes. Die durch die Abbildung generierten Fehler können

123

Randbedingungen

numerische Instabilitäten bedingen. Durch die Reduzierung der maximalenOrdnung des zeitlichen Lösers (Backward Differential Formula (BDF)) vonBDF2 auf BDF1 kann dies jedoch umgangen werden. Dadurch wird die künst-liche Dämpfung im System erhöht. Generelle Fehler sind dadurch nicht zuerwarten, insbesondere wenn die Zeitschritte, wie im vorliegenden Fall, sehrklein gewählt werden [54]. Die einzelnen Schritte zur Implementierung ei-ner entsprechenden Randbedingung in das verwendete Softwarepaket sindim Anhang A beschrieben.

6.5 Validierung der Randbedingungen

Die Validierung erfolgt zunächst anhand einfacher, analytischer, eindimen-sionaler Testfälle. Diese werden später auf drei Raumdimensionen erweitert.Abschließend findet ein Vergleich gegen experimentelle Daten von Bellucci etal. [105] statt.

6.5.1 Beschreibung der Testfälle

Die Berechnungen finden im Zeitbereich, unter Verwendung eines direk-ten, iterativen Solvers statt. Gelöst wird die Wellengleichung ohne Verlustein einem homogenen Medium (Luft) der Temperatur T = 20◦ C . Die örtli-che Auflösung des Rechengebiets erfolgt mittels linearer Lagrange-Elemente,die zeitliche Auflösung mittels einer BDF1 (beide erster Ordnung). Der ver-wendete Zeitschritt ist konstant. Er umfasst ∆t = 1.0·10−6 s. Die örtliche Dis-kretisierung ist an den jeweiligen Validierungsfall angepasst (vgl. Abschnitt6.5.2 bzw. 6.5.3). Die Anregung entspricht einer Überlagerung sinusförmigerDruckschwankungen konstanter Amplitude, jedoch verschiedener Frequenzund Phase (Abbildung 6.2). Analog zu den Validierungsdaten aus Bellucci etal. [105] umfasst das betrachtete Frequenzintervall 50 H z ≤ f ≤ 600 H z. DieIntervallschritte sind dabei ∆ f = 10 H z. Die Berechnungsdauer entsprichtstets t = 0.2s. Dadurch kann der betrachtete Frequenzraum in Intervallen von5 H z aufgelöst werden. Aus Speichergründen erfolgt die Auswertung jedoch

124


0 0.05 0.1 0.15 0.2−150

−100

−50

0

50

100

150

t [s]

p ′ [

Pa]

Abbildung 6.2: Zeitliches Anregungssignal zur Validierung der Randbedin-gung

in Schritten von 10 H z. Verglichen werden die Reflexionsfaktoren. Im Fall dertransienten Berechnung werden sie mittels einer Fast-Fourier-Transformationermittelt.

6.5.2 Eindimensionale Betrachtung

Die Länge des betrachteten Rechengebiets umfasst zwei Meter. Die örtlicheDiskretisierung erfolgt mittels eines äquidistanten Gitters der Kantenlänge∆x = 0.001 m. Der Referenzpunkt zum Auslesen der Schwankungsgrößen be-findet sich∆x = 0.001m vom dem Randpunkt entfernt, an dem die Impedanz-randbedingung implementiert ist. Angeregt wird von der gegenüberliegendenRandbedingung, entgegen der positiven x-Achse. Zunächst wird eine nicht re-flektierende Randbedingung (r = 0) unter Verwendung folgender Formeln inder Routine in MATLAB realisiert [3]:

Z = ρc1+ r

1− r, (6.14)

125

Randbedingungen

0 100 200 300 400 500 600−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f [Hz]

|r| [

−]

Analytische LoesungTransformation

Abbildung 6.3: Vergleich der Amplituden von r am Referenzpunkt für r = 0(1D)

n ·∇p ′ =− ρZ

∂p ′

∂t. (6.15)

Aus Abbildung 6.3 wird ersichtlich, dass die analytischen Ergebnisse sehr gutmittels des numerischen Verfahrens nachgebildet werden können. Da die Am-plituden äußerst klein bzw. gleich Null sind, ist die Information bezüglich derPhase des Reflexionsfaktors physikalisch irrelevant. Daher wird hier auf derenexplizite Darstellung verzichtet.

Auch für r = 0.5 stimmen numerische und analytische Ergebnisse, sowohl be-züglich der Amplitude als auch der Phase, über dem gesamten betrachtetenFrequenzbereich sehr gut überein (Abbildung 6.4). Um die korrekte Imple-mentierung des Modells zu belegen, sind in Abbildung 6.5 zwei Druckschwan-kungsverläufe über dem Ort für verschiedene Zeitschritte gegeben. Die Anre-gung erfolgt in diesem Fall ausschließlich mit einer einzelnen sinusförmigenWelle (P = 2 Pa, f = 500 H z). Deutlich ist das dämpfende Verhalten der Rand-bedingung zu erkennen. Wie erwartet ist die Amplitude der Druckschwan-

126


0 100 200 300 400 500 6000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f [Hz]

|r| [

−]

0 100 200 300 400 500 600−4

−2

0

2

4

f [Hz]

arg(

r) [r

ad]


Abbildung 6.4: Vergleich der Amplituden und Phasen von r am Referenz-punkt für r = 0.5 (1D)

Abbildung 6.5: Druckschwankungsverläufe über dem Ort für r = 0.5 (1D)

127

Randbedingungen

0 100 200 300 400 500 6000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f [Hz]

|r| [

−]

0 100 200 300 400 500 600−4

−2

0

2

4

f [Hz]

arg(

r) [r

ad]

Exp. Bellucci et al.

Approx. Experiment

Transformation

u=5 m/s

u=5 m/s

u=2 m/s

u=2 m/s

Abbildung 6.6: Amplitude u. Phase von r aus Experiment [105] (Platte K, u =2 m/s u. u = 5 m/s), Approximation und Transformation (1D)

kung nach dem Auftreffen auf die linksseitige Begrenzung des Rechengebietsum die Hälfte reduziert. Eine Verschiebung der Phase findet nicht statt.

Ergebnisse bezüglich der eigentlichen Linerrandbedingung nach Bellucci etal. [105] sind in Abbildung 6.6 gezeigt. Betrachtet werden zwei verschiede-ne Konfigurationen einer perforierten Platte (Platte K). Die unterschiedlichenVerläufe der beiden Reflexionsfaktoren über der Frequenz resultieren aus ei-ner unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeit (u = 2 m/s und u = 5 m/s).Je geringer diese ist, desto weniger dämpfend verhält sich der Liner. Die expe-rimentellen Daten werden zunächst im Frequenzbereich mittels der Metho-de der kleinsten Fehlerquadrate approximiert [119]. Aus Abbildung 6.6 wirdersichtlich, dass die transformierten numerischen Ergebnisse aus den Zeitbe-reichsrechnungen auch hier sehr gut die approximierten Daten, sowohl be-züglich der Amplitude als auch der Phase, wiedergeben können.

128


6.5.3 Dreidimensionale Betrachtung

Die Betrachtung wird nun auf drei Raumdimensionen erweitert. Zunächstwird nochmals das ebene Auftreffen axialer Wellen auf die Impedanzrand-bedingung untersucht. Diese räumliche Anordnung entspricht prinzipielldem Aufbau einer impedance tube, die zur experimentellen Bestimmung derDämpfungseigenschaften perforierter Platten dient. Der Radius ist hier R =0.05 m. Die Länge beträgt l = 0.6 m. Die örtliche Diskretisierung des zylindri-schen Rechengebiets erfolgt mittels 4243 tetraedischer Elemente. Die Diskre-tisierung ist so gewählt, dass eine Welle der Frequenz f = 600 H z im gesam-ten Berechnungsgebiet mit mindestens 20 Punkten örtlich aufgelöst werdenkann. Die Referenzebene befindet sich ∆x = 0.005 m von der Impedanzrand-bedingung entfernt. In Abbildung 6.7 sind die Ergebnisse für einen Reflexions-faktor von r = 0.5 dargestellt. Auch hier wird die sehr gute Funktionsfähigkeitdes Modells ersichtlich. Die geringfügigen Abweichungen bezüglich der Pha-se, die hier über dem betrachteten Frequenzbereich marginal fällt, sind aufden Zeitverzug zwischen Referenz- und Randpunkten zurückzuführen. Wirdder Abstand ausreichend klein gewählt, ist dieser Effekt vernachlässigbar. Al-ternativ könnte ein entsprechender Korrekturterm eingeführt werden.

Abschließend wird ein Liner zylindrischer Form untersucht (vgl. Abbildung6.8). Dies repräsentiert die geometrische Konfiguration, welche dem realenEinsatz eines Liners am meisten entspricht. An der stromauf gelegenen Stirn-fläche wird eine nicht reflektierende Randbedingung implementiert. Die Län-ge des Teilbereichs des zylindrischen Liners umfasst l = 0.1 m. Die eben-falls zylindrische Referenzebene befindet sich in einem radialen Abstand von∆R = 2.5·10−3 m von der Linerrandbedingung entfernt. Art und Ort der Anre-gung bleiben zum vorher betrachteten Fall unverändert. Die Anzahl der Git-terelemente erhöht sich nun auf 23139 tetraedische Elemente. Aus Abbildung6.9 sind auch für diesen Fall sehr gute Übereinstimmungen zwischen den ap-proximierten Daten im Frequenzbereich und den Ergebnissen aus der transi-enten FEM-Berechnung zu erkennen.

129

Randbedingungen

0 100 200 300 400 500 600−1

−0.5

0

0.5

1

f [Hz]

|r| [

−]

0 100 200 300 400 500 600−4

−2

0

2

4

f [Hz]

arg(

r) [r

ad]


Abbildung 6.7: Amplitude und Phase aus Analytik und Numerik für r = 0.5(3D)

x

Ø100r=0

200

2.5

600300

u dLiner

Abbildung 6.8: Schematische Darstellung des betrachteten zylindrischen Li-ners (3D)

130

6.6 Zusammenfassung

0 100 200 300 400 500 6000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f [Hz]

|r| [

−]

0 100 200 300 400 500 600−4

−2

0

2

4

f [Hz]

arg(

r) [r

ad]

Exp. Bellucci et al.Approx. ExperimentTransformation

Abbildung 6.9: Amplitude u. Phase von r aus Experiment [105] (Platte K, u =5 m/s), Approximation und Transformation (3D-radial)

6.6 Zusammenfassung

Zusammenfassend kann die Implementierung des Ansatzes zum Transfer fre-quenzabhängiger Randbedingungen in den Zeitbereich im verwendeten Si-mulationscode als sehr erfolgreich betrachtet werden. Das Modell kann nichtnur für die Implementierung von Linerrandbedingungen verwendet werden,sondern für jede Art von frequenzabhängiger Randbedingung, die mittels desAnsatzes von Pieringer [6, 116] nachgebildet werden kann (vgl. Kapitel 7).

131

7 Stabilitätsbetrachtungen anhand einesEinzelbrennerprüfstands

Abschließend erfolgt eine Untersuchung der thermoakustischen Stabilität ei-ner Prüfstandskonfiguration für Einzelbrennersysteme, unter Verwendungder in den vorausgehenden Kapiteln beschriebenen Modelle.

7.1 Geometrie und Prüfstandskonfiguration

In Abbildung 7.1 ist schematisch der Aufbau des Prüfstands inklusive des hierverwendeten BRS-Brenners dargestellt. Dieser Brenner wurde ebenfalls zuForschungszwecken am Lehrstuhl für Thermodynamik der Technischen Uni-versität München entwickelt. Er wird vorgemischt betrieben. Die in Abbildung7.1 repräsentativ dargestellte Form und Position der Flamme basiert auf ex-perimentell ermittelten Chemilumineszenzdaten von Komarek [120]. Detailszum Prüfstandsaufbau sind der Arbeit von Komarek et al. [120] zu entnehmen.

Experimentelle Untersuchungen der thermoakustischen Stabilität derPrüfstandskonfiguration fanden für verschiedene Leistungen (P =[30 kW,50 kW,70 kW ]) bei unterschiedlicher Luftzahl (λBL = [1.1,1.3])statt [121]. Zur Anwendung kamen dabei zwei unterschiedliche Brennkam-merlängen (l = 0.3m, l = 0.7m). Die Variante mit kurzer Brennkammer erwiessich in allen betrachteten Fällen als thermoakustisch instabil. Mit der langenBrennkammer konnten sowohl stabile als auch instabile Betriebsbereicheerzielt werden [121].

Nachfolgend erfolgt eine Beschränkung auf den Fall P = 70 kW - λBL = 1.1 beilanger Brennkammer. Er weist ein thermoakustisch instabiles Verhalten auf.

132

7.2 Geometrische Modellierung

Plenum

Aufnehmerstutzen für Mikrofone

Brenner

Lanze

Flamme

Brennkammer

x

Abbildung 7.1: Schematische Darstellung des betrachteten Einzelbrenner-prüfstands mit BRS-Brenner [120]

7.2 Geometrische Modellierung

Zur Reduzierung des Berechnungsaufwands wird lediglich ein Viertel desPrüfstands modelliert. Das verwendete, unstrukturierte Gitter umfasst 52219tetraedische Elemente (Abbildung 7.2). Die örtliche Diskretisierung erfolgtmittels linearer Lagrange-Elemente. Um die physikalisch korrekte Ausbrei-tung der akustischen Wellen weitestmöglich gewährleisten zu können, wer-den im Bereich des Brenners periodische Randbedingungen gesetzt (vgl. Ab-schnitt 7.4).

Um zu belegen, dass die Verwendung eines Viertels des Prüfstands identischeErgebnisse ergibt wie eine 360◦-Betrachtung, sind in Abbildung 7.3 zwei ent-sprechende Spektren einander gegenübergestellt (p0 = 2·10−5Pa). Sie wurdenfür kalte Luft (c = 343m/s; ρ = 1.25kg /m3) mit Hilfe eines parametrischen, di-rekten Lösers1 ermittelt. Die Anregung des Systems erfolgt dabei am Einlass

(Stirnseite des Plenums), gemäß: n ·(

1ρ∇p

)= −uaniω mit uan = 0.1 m/s. Am

1in COMSOL MULTIPHYSICS (Version 3.5; ACOUSTIC MODE - TIME-HARMONIC ANALYSIS)

133

Stabilitätsbetrachtungen anhand eines Einzelbrennerprüfstands

Abbildung 7.2: Unstrukturiertes Berechnungsgitter und Geometrie des BRS-Brenners mit zugehörigem Einzelbrennerprüfstand im FEM-Code

Auslass wird eine Impedanzrandbedingung gewählt. Deren Wert wird weit-gehend beliebig auf Z = 100 kg /(sm2) festgelegt. Mit Ausnahme der periodi-schen Ränder im Bereich des Brenners sind alle übrigen Wände als schallhartmodelliert (Neumann-Randbedingung, n ·∇p = 0). Der Referenzpunkt zur Er-mittlung der Spektren befindet sich in der Brennkammer. Die beiden Ergeb-nisse in Abbildung 7.3 sind deckungsgleich. Die Betrachtung eines Viertels desPrüfstands ist somit für die folgenden Untersuchungen zulässig.

Interessant ist zudem, dass die in den experimentellen Untersuchungen be-obachteten, äußerst niedrigen Druckschwankungsamplituden in der Brenn-kammer im Bereich von etwa f = 400 H z bis f = 600 H z bei einer Anre-gung von stromauf hiermit auch auf numerischem Weg nachgewiesen werdenkonnten. Sie scheinen im Wesentlichen auf der Geometrie des Prüfstandes zuberuhen.

134

7.3 CFD-Interfaces

0 200 400 600 800 100090

100

110

120

130

140

150

f [Hz]

L p [dB

]

360 GradViertel

Abbildung 7.3: Spektrum eines Viertels der Prüfstandskonfiguration im Ver-gleich zur 360◦-Variante

7.3 CFD-Interfaces

Ausgangspunkt für die CFD-Interfaces ist wiederum eine numerische Simula-tion des mittleren, stationären Strömungsfelds. Hier wird auf eine bestehendeURANS-Rechnung mit Wärmefreisetzung (P = 70 kW , λBL = 1.3) auf einemViertel der Prüfstandsgeometrie zurückgegriffen [120]. Diese ist auf den strö-mungsmechanisch relevanten Bereich um den Brenner beschränkt. Da diezeitlichen Änderungen im Strömungsfeld vernachlässigbar gering sind [122],wird auf eine zeitliche Mittelung des instationären Datensatzes verzichtet.Stattdessen erfolgt die Auswertung anhand eines repräsentativen Zeitpunk-tes. Beispielhaft ist in Abbildung 7.4 die Absolutgeschwindigkeit der mittlerenStrömung in der untersuchten Konfiguration dargestellt.

Aus den strömungsmechanischen Rohdaten werden zunächst die Gradien-ten des mittleren Totaldrucks direkt, unter Verwendung des Postprocessing-Programms CFX5POST, mittels folgendem Ansatz bestimmt:

135


|u|

Abbildung 7.4: Absolutgeschwindigkeit der mittleren Strömung im einge-schlossenen BRS-Brenner (P = 70 kW, λBL = 1.3, Seitenan-sicht)

∂pt

∂x= ∂p

∂x+ ρ

(∂u

∂xu + ∂v

∂xv + ∂w

∂xw

)+0.5

∂ρ

∂x(u2 + v2 + w 2), (7.1)

∂pt

∂y= ∂p

∂y+ ρ

(∂u

∂yu + ∂v

∂yv + ∂w

∂yw

)+0.5

∂ρ

∂y(u2 + v2 + w 2), (7.2)

∂pt

∂z= ∂p

∂z+ ρ

(∂u

∂zu + ∂v

∂zv + ∂w

∂zw

)+0.5

∂ρ

∂z(u2 + v2 + w 2). (7.3)

Die Erstellung des CFD-Interfaces für die akustischen Verluste erfolgt im We-sentlichen analog zur Vorgehensweise in Abschnitt 5.2.3.22. Es resultiert dasin Abbildung 7.5 dargestellte Feld des hydrodynamischen Anteils des Verlust-terms.

Bei der Erstellung des CFD-Interfaces für die mittlere Dichte wird auf eine in-tegral korrekte Abbildung der Daten auf das FEM-Gitter verzichtet. Hier sindetwaige durch eine Interpolation generierte Fehler kaum ausschlaggebend,da mittels dieses Interfaces lediglich die Flammenform sowie der Übergangzwischen kaltem und heißem Medium bestimmt werden3. Ansonsten erfol-gen die einzelnen Transferschritte zur Realisierung dieses Interfaces analogzur Vorgehensweise im Rahmen der Verluste (vgl. Abschnitt 5.2.3.2). Nachdem

2Auch hier erfolgt eine Beschränkung des hydrodynamischen Anteils des Verlustterms auf Werte kleiner odergleich Null.

3Im restlichen Feld ist die mittlere Dichte, unter Vernachlässigung von Kühleffekten an der Wand, näherungs-weise konstant.

136

7.4 Randbedingungen

Abbildung 7.5: Hydrodynamischer Anteil des akustischen Verlustterms (BRS)Vhyd in [kg /(m3s)]

der Bereich der CFD-Interfaces generell kleiner ist als die Länge der betrachte-ten Prüfstandskonfiguration, kommt hier zusätzlich folgende Gleichung zumEinsatz:

ρ ={

1.18 kg /m3 , falls z <−0.06 mρC F D , falls z ≥ 0.06 m

(7.4)

Die resultierende Dichteverteilung im FEM-Code ist in Abbildung 7.6 darge-stellt.

7.4 Randbedingungen

Mit Ausnahme der stirnseitigen Randbedingungen werden alle Ränder zu-nächst als akustisch hart modelliert (Neumann-Randbedingung, n ·∇p ′ = 0).Wärmeverluste an den Rändern werden nicht explizit modelliert. Da sie je-doch in der CFD-Rechnung enthalten sind, werden sie trotzdem indirekt überdas CFD-Interface der mittleren Dichte in gewisser Weise berücksichtigt.

137


Abbildung 7.6: Ausschnitt des mittleren Dichtefeldes (BRS) in [kg /m3]

Am Einlass ist im Experiment eine Sintermetallplatte montiert. AkustischeUntersuchungen an einer ähnlichen Platte zeigen, dass sich ein solcher Ab-schluss nahezu schallhart verhält [123]. Deshalb wird dort r = 0.95 angenom-men.

Im Bereich des Drallerzeugers sind periodische Randbedingungen implemen-tiert (vgl. Abschnitt 7.2). In den übrigen Bereichen des Prüfstands wird daraufverzichtet, da, mit Ausnahme des Bereichs um den Brenner, die Schallausbrei-tung als eben betrachtet wird. Dort findet folglich kein Energieaustausch überdie Ränder statt. Die Plausibilität dieser Annahme wurde bereits in Abschnitt7.2 bestätigt.

Die Modellierung der Randbedingung am Auslass ist deutlich umfangrei-cher. Experimentelle Untersuchungen zeigten, dass die Verwendung einer mitDurchlässen versehenen Abschlussplatte generell zu einer komplexen, fre-quenzabhängigen Randbedingung führt, ähnlich der des Liners in Kapitel 6.Aufgrund von inkonsistenten Messergebnissen bezüglich der Reflexionskoef-fizienten in der verwendeten Prüfstandskonfiguration, wird hierfür auf alter-native Messungen [124] zurückgegriffen. Diese fanden mit der gleichen Ab-

138

7.4 Randbedingungen

schlussplatte, jedoch an einem anderen Prüfstand statt. Die Reflexionskoef-fizienten sind davon unabhängig. Sie sind jedoch nicht unabhängig von Än-derungen der Leistung und der Luftzahl für den betrachteten Anwendungs-fall. In Abgleich mit den Messergebnissen von Bellucci et al. [105] und Ale-mela [124] erfolgt daher für den hier betrachteten Fall eine manuelle Erhö-hung des Absolutwerts des von Alemela gemessenen Reflexionsfaktors um ca.∆|r | = 0.14.

Der Verlauf des Reflexionskoeffizienten kann nach einer entsprechenden An-passung des Transferalgorithmus aus Kapitel 6 schließlich mittels des Parame-tersatzes von Pieringer ( [116], [6]) approximiert werden. Bei der Darstellungin Abbildung 7.7 wurde bereits das Offset des Absolutwertes von ca. ∆|r | = 0.1im Vergleich zu den experimentellen Daten berücksichtigt. Die verwendetemittlere Schallgeschwindigkeit für die Approximation entstammt den nume-rischen Daten von Komarek [120] (Mittelung der Daten über dem Auslass:c = 824.149 m/s, ρ = 0.195 kg /m3).

Zur Überprüfung des korrekten Transfers der Randbedingung in den Zeitbe-reich wird die Prüfstandsgeometrie auf ausschließlich die Brennkammer re-duziert. Die Referenzebene wird in einem Abstand von zwei Millimetern vomAuslass entfernt implementiert (vgl. Kapitel 6). Die Anregung ist identisch zujener in Kapitel 6. Sie erfolgt von der gegenüberliegenden Seite aus, nun je-doch für ein Frequenzintervall von 20 H z < f < 420 H z, mit einer Schrittweitevon ∆ f = 20 H z.

Das verwendete, unstrukturierte Gitter umfasst 11102 tetraedische Elemente.Die gesamte Berechungszeit beträgt t = 0.2 s. Sie beinhaltet somit zwei Peri-oden der niedrigsten betrachteten Frequenz. Gemäß Abbildung 7.7 stimmendie fouriertransformierten Ergebnisse sehr gut mit den approximierten Wer-ten überein5.

4Die Messungen von Alemela [124] fanden entweder in einem kalten bzw. vorgewärmten Medium statt, oderbei einer Wärmefreisetzung von P = 50 kW , anstelle der hier benötigten P = 70 kW . Unter Berücksichtigung derMessdaten von Bellucci et al. [105] sowie weiterer Messreihen [124] wurde angenommen, dass eine Leistungs-steigerung um∆P = 20kW hier in erster Näherung zu einem Anwachsen des Absolutwerts des Reflexionsfaktorsum ca. ∆|r | = 0.1 führt. Generell kann jedoch ausgesagt werden, dass jede Änderung der Leistung und der Luft-zahl und somit der Temperatur zu (leichten) Veränderungen bezüglich des Amplituden- und Phasengangs deszugehörigen Reflexionskoeffizienten führt.

5Diese, sowie sämtliche weitere transiente Berechnungen im Rahmen dieses Kapitels finden unter Verwen-

139


0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.5

1

f [Hz]

|r| [

−]

0 50 100 150 200 250 300 350 400−4

−2

0

2

4

f [Hz]

arg(

r) [r

ad]

ExperimentModellierung Experiment+OffsetFEM−Modell

Abbildung 7.7: Frequenzabhängiger Reflexionsfaktor der verwendeten Ab-schlussplatte (BRS)

7.5 Wärmefreisetzung

Zur Modellierung der Wärmefreisetzung wird im Wesentlichen das modifi-zierte n −τ-Modell nach Pankiewitz [3] verwendet. Im Gegensatz zur Vorge-hensweise von Pankiewitz wird die Flamme dabei aber nicht mehr als koni-sche Geometrie modelliert. Ihre Form orientiert sich nun an den Ergebnissender CFD-Rechnung und wird bestimmt durch den Verlauf der mittleren Dich-te. Die Ausdehnung der Flamme wird über ein entsprechendes Intervall dermittleren Dichte festgelegt. Die resultierende, ortsfeste Flammenform ist inAbbildung 7.8 dargestellt, zusammen mit der entsprechenden Verteilung dermittleren Schallgeschwindigkeit. Diese wird ebenfalls mit Hilfe der mittlerenDichte bestimmt, gemäß:

dung von COMSOL MULTIPHYSICS, Version 3.5, statt. Dabei kann der bisherige zeitliche LösungsalgorithmusBDF durch die hierfür robustere, neue Variante Generalisedα ersetzt werden. Für die Berechnungen im Rahmendieses Kapitels wurde die Defaulteinstellung α∗ = 0.75 verwendet.

140

7.5 Wärmefreisetzung

Abbildung 7.8: Flammenform und Verteilung der mittleren Schallgeschwin-digkeit (Legende: links: ρ [kg /m3], rechts: c [m/s])

c2 = κ p

ρ. (7.5)

Die mittlere Geschwindigkeit am Brenneraustritt uB entstammt der CFD-Simulation von Komarek [120], durch eine Mittelung der axialen Geschwin-digkeit (z-Komponente) auf der Brenneraustrittsfläche (z = 0). Sie umfasst fürP = 70 kW bei λBL = 1.3 uB ,1.3 ≈ 25 m/s. Unter Verwendung des Luftzahl-verhältnisses wird sie an den hier betrachteten Anwendungsfall angepasst:uB = 1.1/1.3 uB ,1.3 [122].

Als Referenzpunkt zur Bestimmung des Zeitverzugs τ dient im FEM-Modellein zusätzlich implementierter Punkt in der Brenneraustrittsebene. DerSchwerpunkt der Flamme wird auf Basis des experimentell ermittelten Ab-stands zwischen der Brenneraustrittsebene und dem Intensitätsmaximumder Wärmefreisetzung festgelegt (∆z = 0.0456 m) [122]. Der Zeitverzugswertlautet demnach τ = ∆z/uB ≈ 2.14·10−3 s. Entsprechend der Empfehlungenvon Pankiewitz [3] wird für den Sättigungsparameter der Wärmefreisetzungµ,der zur Beschreibung der Nichtlinearität der Flamme dient, µ= 0.4 gewählt.

141


Charakteristische Größe Formel WertZeit t0 = l0/u0 2.58·10−4 sFrequenz f0 = u0/l0 3872.8 H zDruck p0 = Z0u0 143350 PaDichte ρ0 = Z0/u0 1.18 kg /m3

Volum. Wärmefreisetzungsrate q0 = Z0u20/l0 5.55188 W /m3

Tabelle 7.1: Entdimensionierte Größen des Stabilitätsmodells (BRS)

7.6 Entdimensionierung

Zur Realisierung der Stabilitätsberechnungen erweist es sich hinsichtlich dernumerischen Stabilität als essentiell, eine Entdimensionierung des Berech-nungsfalls vorzunehmen, gemäß der Vorgehensweise von Pankiewitz [3] bzw.Wanke und Sattelmayer [74]6. Für eine entsprechende Entdimensionierungwerden hier folgende charakteristische Größen werwendet:

• Geschwindigkeit: u0 = 348.55 m/s - mittlere Schallgeschwindigkeit amEinlass.

• Länge: l0 = 0.09 m/s - Kantenlänge des Brennkammerquerschnitts.

• Impedanz: Z0 = 411.29 m/s - Impedanz am Einlass.

Daraus ergeben sich, gemäß der Vorgehensweise von Pankiewitz [3], die inTabelle 7.1 aufgelisteten entdimensionierten Größen. Die mittlere Geschwin-digkeit an der Brenneraustrittsebene ist demnach uB = 0.061, der Zeitverzugτ= 8.3 sowie der Interaktionsindex n = 175.45.

6Im verwendeten Simulationscode existiert zwar eine automatische interne Skalierung. Externe Funktionen,wie zum Beispiel die Berechnung der Wärmefreisetzungsschwankungen in MATLAB, sind davon jedoch ver-mutlich unbeeinflusst. Dies bedingt teils starke numerische Instabilitäten. Eine gewisse Abhilfe kann durch eineMinimierung des Berechnungszeitschritts erzielt werden, jedoch ist dies zumeist nicht ausreichend und häufigauch nicht zielführend. Eine bessere Alternative ist daher eine entsprechende manuelle Skalierung bzw. Entdi-mensionierung des gesamten Modells.

142

7.7 Modellaufbau

Abbildung 7.9: p ′E für tE = 0 (links) und p ′

E für tE = 308 (rechts, ohne Verluste)

7.7 Modellaufbau

Im Rahmen der vorliegenden Berechnung wird die Wellengleichung für inho-mogene Medien gelöst (vgl. Gleichung 2.13). Sie ist erweitert um einen Ver-lustterm gemäß Gleichung 5.12 sowie einen Quellterm zur Berücksichtigungder Wärmefreisetzung (vgl. Gleichung 2.15). Da die gewählte Impedanzrand-bedingung nahezu perfekt mittels eines gewöhnlichen frequenzunabhängi-gen Reflexionsfaktors (r = −0.455) nachgebildet werden kann, wird aus Effi-zienzgründen auf eine entsprechende Implementierung der Abschlussrand-bedingung gemäß der Darstellungen in Abschnitt 7.4 verzichtet. Als Anfangs-bedingung wird, analog zu Pankiewitz [3] oder auch Wanke und Sattelmayer[74], eine zufällige Druckschwankungsverteilung gewählt (maximale Ampli-tude P = 0.05, Abbildung 7.9 links). Der Berechnungszeitschritt umfasst ∆t =5.0·10−3.

143


Verglichen werden die Ergebnisse für die Rechnung mit und ohne akustischeVerluste (ω0 = 5). Quantitative Aussagen sind nicht möglich. Aus dem Ex-periment ist lediglich bekannt, dass sich der betrachtete Fall im Experimentthermoakustisch instabil verhält und mit einer Frequenz von ca. f = 150 H zschwingt7.

7.8 Ergebnisse der transienten Stabilitätsbetrachtung

Beide Varianten erweisen sich als thermoakustisch instabil. Repräsentativ istin Abbildung 7.9 rechts eine ausgeprägte Schwingungsmode für den verlust-freien Fall gezeigt.

In Abbildung 7.10 ist zudem der Verlauf der Schnelle- und der Wärmefrei-setzungsschwankung am Referenzpunkt in der Brenneraustrittsebene (z = 0)für den Fall ohne Verluste gegeben. Deutlich ist zu erkennen, dass sich ausder anfänglichen, zufälligen Druckschwankungsverteilung mit der Zeit eineausgeprägte Instabilität entwickelt, welche in einen Grenzzyklus mündet. DieSchnelleschwankung beinhaltet hier nicht nur eine einzelne sinusförmigeakustische Schwingung, sondern mehrere Frequenzanteile (vgl. hierzu auchAbbildung 7.12).

In Abbildung 7.11 sind die Schnelleschwankungen am Brenneraustritt ausverlustfreier und verlustbehafteter Simulation einander gegenübergestellt,normiert mit der mittleren Geschwindigkeit uB . Beide Berechnungen wur-den nach Erreichen des Sättigungszustands abgebrochen. Die Schwankungender verlustfreien Variante klingen deutlich schneller auf. Für die verlustbehaf-tete Rechnung sind sowohl die resultierenden maximalen Amplituden undals auch die Wachstumsrate deutlich geringer. Auch die Zeit bis zum Errei-chen der Sättigung ist damit länger. Dies belegt, dass der Energiehaushalt derSchwingungen durch die Existenz der Verluste stark verändert wurde. Es istnun deutlich weniger Energie im System enthalten.

7Mit Hilfe von Eigenwertanalysen konnte keine Eigenfrequenz des betrachteten Systems in diesem Frequenz-bereich ermittelt werden. Es wird vermutet, dass diese Resonanzfrequenz nicht auf rein akustischen Vorgängenberuht, sondern vielmehr durch konvektive Effekte ausgelöst wird [123]. Eine solche Art von Instabilitäten kannmittels des vorliegenden Modells nicht bestimmt werden.

144

7.8 Ergebnisse der transienten Stabilitätsbetrachtung

.

Abbildung 7.10: Schnelleschwankung und Wärmefreisetzungsschwankungam Referenzpunkt (Brenneraustritt, ohne Verluste)

Abbildung 7.11: Vergleich der normierten Schnelleschwankungen am Bren-neraustritt für die verlustfreie und die verlustbehaftete Simu-lation

145


Abbildung 7.12: Frequenzspektren für die verlustfreie und die verlustbehafte-te Berechnung

Mit Hilfe der zugehörigen Spektren lassen sich obige Aussagen bestätigen (Ab-bildung 7.12). In beiden Fällen wird im Wesentlichen die gleiche Mode an-geregt (vgl. Abbildung 7.9), die Amplituden unterscheiden sich jedoch stark.Aus Abbildung 7.12 ist zudem zu erkennen, dass durch die Implementierungder akustischen Dämpfung die zusätzliche, instabile Mode bei f = 0.73 ver-schwindet.

7.9 Zusammenfassung

Im Rahmen der numerischen Bestimmung der akustischen Stabilität von Ver-brennungssystemen ist es erstmals gelungen, akustische Verluste im Feld lo-kal in den hier verwendeten, transienten Berechnungsansatz mit einzubrin-gen. Die Notwendigkeit der korrekten Beschreibung des Energiehaushalts derSchwingungen konnte deutlich belegt werden. Aufgrund von Problemen be-züglich der Validierungsdaten ist es im vorliegenden Fall jedoch nicht gelun-gen, quantitative Übereinstimmungen zwischen Numerik und Experiment zu

146

7.9 Zusammenfassung

erzielen. Trotzdem konnten im Rahmen der hier gezeigten Untersuchungenqualitative Übereinstimmungen der numerischen und der experimentellenErgebnisse (Stabilität vs. Instabilität) nachgewiesen werden.

147

8 Resümee und Ausblick

Ziel der Arbeit war die Erweiterung und Verbesserung eines existierenden Be-rechnungsmodells, um damit zukünftig quantitative Aussagen bezüglich derthermoakustischen Stabilität von Verbrennungssystemen machen zu können.Der Charakter eines Auslegungswerkzeugs sollte dabei beibehalten werden.Im Rahmen dieser Arbeit fanden im Wesentlichen folgende zusätzliche Ent-wicklungen statt:

• Die Wellengleichung wurde hinsichtlich ihrer hierfür optimalen Formanalysiert.

• Empfehlungen zur Minimierung numerischer Verluste wurden heraus-gearbeitet.

• Es wurde ein neuartiger, ingenieurmäßiger Ansatz entwickelt, um akusti-sche Verluste im System näherungsweise lokal zu erfassen. Entsprechen-de Modelle können sowohl für Berechnungen im Zeit- als auch im Fre-quenzbereich eingesetzt werden.

• Zur realistischen Erfassung frequenzabhängiger akustischer Verluste anden Rändern wurde ein Ansatz implementiert, um verschiedene Impe-danzrandbedingungen vom Frequenzbereich in den Zeitbereich trans-formieren zu können.

• Mit dem erweiterten Modellpaket wurden Stabilitätsberechnungen an-hand einer Brennerkonfiguration durchgeführt.

Trotz der Erweiterungen ist es nach wie vor möglich, die Rechnungen auf ei-nem gewöhnlichen PC durchzuführen. Es ist zudem gelungen, schwerwiegen-de Probleme bezüglich der numerischen Stabilität der Berechnungen im Zeit-bereich zu beheben. Entscheidend erwies sich hierbei eine Entdimensionie-

148

rung des Gleichungssatzes, welche es erlaubt, einen ausreichend kleinen Be-rechnungsschritt bei überschaubarem Berechnungsaufwand zu realisieren.

Das Simulationsmodell ist durch die Erweiterungen deutlich realitätsnaherund durch die neuen Versionen des verwendeten Softwarecodes deutlich leis-tungsfähiger geworden. Für die zukünftige Weiterentwicklung des Modellswird empfohlen:

• Die Generierung eines umfassenden Datensatzes zur Validierung der nu-merischen Ergebnisse, bestehend aus Strömungsberechnungen und ins-besondere aus experimentellen Daten bezüglich des thermoakustischenVerhaltens.

• Die Optimierung der hier entwickelten Ansätze auf Basis dieser Validie-rungsdaten.

• Die Weiterentwicklung des Wärmefreisetzungsmodells hinsichtlich derEinbindung von Luftzahlschwankungen und einer Verzugszeitvertei-lung.

149

Literaturverzeichnis

[1] KREBS, W. ; HELLAT, J. ; EROGLU, A.: Technische Verbrennungssyste-me. In: LECHNER, C. (Hrsg.) ; SEUME, J. (Hrsg.): Stationäre Gasturbinen.Springer, Berlin, 2003, Kapitel 9, S. 447–486

[2] SATTELMAYER, T.: Grundlagen der Verbrennung in stationären Gasturbi-nen. In: LECHNER, C. (Hrsg.) ; SEUME, J. (Hrsg.): Stationäre Gasturbinen.Springer, Berlin, 2003, Kapitel 8, S. 385–446

[3] PANKIEWITZ, C.: Hybrides Berechnungsverfahren für thermoakustischeInstabilitäten von Mehrbrennersystemen, Technische Universität Mün-chen, Diss., 2004

[4] ZINN, B. T. ; LIEUWEN, T. C.: Combustion Instabilities: Basic Concepts.In: FRANK, K. L. (Hrsg.) ; LIEUWEN, T. C. (Hrsg.) ; YANG, V. (Hrsg.): Com-bustion Instabilities in Gas Turbine Engines: Operational Experience,Fundamental Mechanisms, and Modeling in Progress Bd. 210; Astronau-tics and Aeronautics. American Institute of Aeronautics and Astronau-tics, Reston, 2005, Kapitel 1

[5] HANTSCHK, C.-C.: Numerische Simulation selbsterregter thermoakusti-scher Schwingungen, Technische Universität München, Diss., 2000

[6] PIERINGER, J. E.: Simulation selbsterregter Verbrennungsschwingungenin Raketenschubkammern im Zeitbereich, Technische Universität Mün-chen, Diss., 2008

[7] MUNJAL, M. L.: Acoustics of Ducts and Mufflers. John Wiley & Sons, NewYork, 1987

150

LITERATURVERZEICHNIS

[8] FISCHER, A.: Hybride, thermoakustische Charakterisierung von Drall-brennern, Technische Universität München, Diss., 2004

[9] GENTEMANN, A. M. G. ; FISCHER, A. ; EVESQUE, S. ; POLIFKE, W.: Acou-stic Transfer Matrix Reconstruction and Analysis for Ducts with SuddenChange of Area. In: Proceedings der 9th AIAA/CEAS Aeroacoustics Con-ference and Exhibit, Nr.: 2003-3142, Hilton Head, South Carolina, USA,2003

[10] POLIFKE, W.: Combustion Instabilities. In: VKI Lecture Series - Advancesin Acoustics and Applications, Brüssel, Belgien. 2004

[11] PANKIEWITZ, C. ; FISCHER, A. ; HIRSCH, C. ; SATTELMAYER, T.: Computa-tion of Transfer Matrices for Gas Turbine Combustors including Acou-stics/Flame Interaction. In: Proceedings der 9th AIAA/CEAS Aeroacou-stics Conference and Exhibit, AIAA-2003-3295, Hilton Head, South Caro-lina, USA, 2003

[12] FÖLLER, S. ; KAESS, R. ; POLIFKE, W.: Reconstruction of Acoustic Trans-fer Matrices from Large-Eddy-Simulations of Compressible TurbulentFlows. In: Proceedings der 14th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference(29th AIAA Aeroacoustics Conference), Nr.: AIAA-2008-3046, Vancouver,Canada, 2008

[13] ALEMELA, P. R. ; FANACA, D. ; ETTNER, F. ; HIRSCH, C. ; SATTELMAYER,T.: Flame Transfer Matrices of a Premixed Flame and a Global Checkwith Modelling and Experiments. In: Proceedings of ASME Turbo Expo2008, Power for Land, Sea and Air, Nr.: GT2008-50111, Berlin, Deutsch-land, 2008

[14] NEUNERT, U. ; KATHAN, R. ; SATTELMAYER, T.: Determining Acoustic Pro-perties of Open-Cell Metal Foams using the Multi-Microphone TransferMatrix Method. In: Proceedings des Thirteenth International Congress onSound and Vibration, Nr.: 693, Wien, Österreich, 2006

[15] EVESQUE, S. ; POLIFKE, W.: Low-Order Acoustic Modelling for AnnularCombustors: Validation and Inclusion of Modal Coupling. In: Procee-

151


dings of ASME Turbo Expo 2002, Nr.: GT2002-30064, Amsterdam, Nieder-lande, 2002

[16] PANKIEWITZ, C. ; EVESQUE, S. ; POLIFKE, W. ; SATTELMAYER, T.: Stabi-litätsanalyse der Verbrennung in Gasturbinen unter Anwendung vonmodalen Ansätzen und Finite-Element-Methoden. In: Proceedingsdes DGLR-Fachsymposiums, Berechnungsverfahren für Brennkammer-strömungen in Raketen- und Gasturbinenbrennkammern, Stuttgart,Deutschland, 2002

[17] PASCHEREIT, C. O. ; SCHUERMANS, B. ; BELLUCCI, V.: Modeling and Con-trol of Combustion Instabilities. In: Proceedings des Twelfth Internatio-nal Congress on Sound and Vibration, Lissabon, Portugal, 2005

[18] SCHUERMANS, B.: Modeling and Control of Thermoacoustic Instabilities,Ecole Polytechnique Federale de Lausanne, Diss., 2003

[19] SATTELMAYER, T. ; POLIFKE, W.: Assessment of Methods for the Compu-tation of the Linear Stability of Combustors. In: Combustion Science andTechnology 175 (3) (2003), S. 453 – 476

[20] SCHUERMANS, B. ; BELLUCCI, V. ; GUETHE, F. ; MEILI, F. ; FLOHR, P. ; PA-SCHEREIT, C. O.: A Detailed Analysis of Thermoacoustic Interaction Me-chanisms in a Turbulent Premixed Flame. In: Proceedings der ASME Tur-bo Expo 2004: Power for Land, Sea and Air, Nr.: GT2004-53831, Wien, Ös-terreich, 2004

[21] SCHUERMANS, B. ; LUEBCKE, H. ; BAJUSZ, D. ; FLOHR, P.: ThermoacousticAnalysis of Gas Turbine Combustion Systems using Unsteady CFD. In:Proceedings der ASME Turbo Expo 2005: Power for Land, Sea and Air, Nr.:GT 2005-68393, Reno-Tahoe, Nevada, USA, 2005

[22] FANACA, D. ; ALEMELA, P. R. ; ETTNER, F. ; HIRSCH, C. ; SATTELMAYER,T.: Determination and Comparison of the Dynamic Characteristics ofa Perfectly Premixed Flame in both Single and Annular CombustionChambers. In: Proceedings of ASME Turbo Expo 2008, Power for Land,Sea and Air, Nr.: GT2008-50781, Berlin, Deutschland, 2008

152


[23] GIAUQUE, A. ; POINSOT, T. ; NICOUD, F.: Validation of a Flame TransferFunction Reconstruction Method for Complex Turbulent Configurati-ons. In: Proceedings der 14th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (29thAIAA Aeroacoustics Conference), Nr.: AIAA-2008-2943, Vancouver, Cana-da, 2008

[24] STAFFELBACH, G. ; GICQUEL, L. Y. M. ; BOUDIER, G. ; POINSOT, T. J.: LargeEddy Simulation of Self Excited Azimuthal Modes in Annular Combu-stors. In: Proceedings of the Combustion Institute, 32, 2009

[25] KOPITZ, J. ; HUBER, A. ; SATTELMAYER, T. ; POLIFKE, W.: ThermoacousticStability Analyis of an Annular Combustion Chamber with Acoustic LowOrder Modeling and Validation against Experiment. In: Proceedings ofASME Turbo Expo 2005: Power for Land, Sea and Air, Nr.: GT2005-68797,Reno-Tahoe, Nevada, USA, 2005

[26] LEPERS, J. ; KREBS, W. ; PRADE, B. ; FLOHR, P. ; POLLAROLO, G. ; FERRANTE,A.: Investigation of Thermoacoustic Stability Limits of an Annular GasTurbine Combustor Test-Rig with and without Helmholtz-Resonators.In: Proceedings of ASME Turbo Expo 2005: Power for Land, Sea and Air,Nr.: GT2005-68246, Reno-Tahoe, Nevada, USA, 2005

[27] MUROTA, T. ; OHTSUKA, M.: Large-Eddy-Simulation of Combustion Os-cillation in the Premixed Combustor. In: ASME-Paper No. 99-GT-274,1999

[28] BROOKES, S. J. ; CANT, R. S. ; DUPERE, I. D. ; DOWLING, A. P.: Computatio-nal Modelling of Self-Excited Combustion Instabilities. In: Proceedingsof ASME Turbo Expo 2000: Land, Sea and Air, Nr.: 2000-GT-0104, Mün-chen, Deutschland, 2000

[29] HANTSCHK, C.-C. ; VORTMEYER, D.: Numerical Simulation of Self-Excited Combustion Oscillations in a Non-Premixed Burner. In: Com-bustion Science and Technology 174 (2002), S. 189–204

[30] PANKIEWITZ, C. ; SATTELMAYER, T.: Time Domain Simulation of Com-bustion Instabilities in Annular Combustors. In: Proceedings of ASMETURBO EXPO 2002, Nr.: GT 2002-30063, Amsterdam, Niederlande, 2002

153


[31] BLOXSIDGE, G. J. ; DOWLING, A. P. ; LANGHORNE, P. J.: Reheat Buzz: AnAcoustically Coupled Combustion Instability. Part 2. Theory. In: Journalof Fluid Mechanics 193 (1988), S. 445–473

[32] DOWLING, A. P.: Nonlinear Self-Excited Oscillations of a Ducted Flame.In: Journal of Fluid Mechanics 346 (1997), S. 271–290

[33] CROCCO, L. ; CHENG, S. I. Theory of Combustion Instability in LiquidPropellant Rocket Motors. Butterworth Scientific Publications. 1956

[34] RIENSTRA, S. W. ; HIRSCHBERG, A. An Introduction to Acoustics. Eindho-ven University of Technology. 2005

[35] EHRENFRIED, K.: Strömungsakustik - Skript zur Vorlesung. Mensch &Buch, Berlin, 2004

[36] POINSOT, T. ; VEYNANTE, D.: Theoretical and Numerical Combustion. R.T. Edwards, Philadelphia, 2001

[37] KINSLER, L. E. ; FREY, A. R. ; COPPENS, A. B. ; SANDERS, J. V.: Fundamen-tals of Acoustics. Fourth Edition. John Wiley & Sons, New York, 2000

[38] SATTELMAYER, T. Akustische Grundlagen, Unveröffentlicht, Stand 24.Juni2004. Lehrstuhl für Thermodynamik, Technische Universität München.2004

[39] LANDAU, L. D. ; LIFSHITZ, E. M.: Course of Theoretical Physics - Volume6: Fluid Mechanics. Pergamon Press, London, 1959

[40] WILLIAMS, F. A.: Combustion Theory. Second Edition. The Benja-min/Cummings Publishing Company, 1985

[41] IBRAHIM, Z. M. ; WILLIAMS, F. A. ; BUCKLEY, S. G. ; LEE, J. C. Y.: AnAcoustic Energy Approach to Modeling Combustion Oscillations. In:Proceedings of ASME Turbo Expo 2006: Power for Land, Sea and Air, Nr.:GT2006-90096, Barcelona, Spanien, 2006

[42] FÖLLER, S. Untersuchung zur Streuung von Schallwellen an unste-tigen Querschnittsänderungen mittels Systemidentifikation und Grob-

154


struktursimulation. Zwischenreview, Lehrstuhl für Thermodynamik,Technische Universität München. 2007

[43] HOWE, M. S.: On the Theory of Unsteady High Reynolds Number Flowthrough a Circular Aperture. In: Proceedings of the Royal Society of Lon-don A. 366 (1979), S. 205–223

[44] HOWE, M. S.: On the Absorption of Sound by Turbulence and other Hy-drodynamic Flows. In: IMA Journal of Applied Mathematics 32 (1984),S. 187–209

[45] LIGHTHILL, M. J.: On Sound Generated Aerodynamically - I. GeneralTheory. In: Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Mathe-matical and Physical Sciences, Vol. 211, 1952

[46] KÖLTZSCH, P. Geräuscherzeugung durch Strömungen - Grundlagen undÜberblick. Vortrag zur Tagung ’Aeroakustik’, Veranstalter: Haus derTechnik Essen, Stuttgart, Deutschland. 2004

[47] KÖLTZSCH, P. Strömungsakustik - eine aktuelle Übersicht, (Hrsg.: DerRektor). ET-IAS-01-2000, Institut für Akustik und Sprachkommunika-tion, Technische Universität Dresden. 2000

[48] BOIJ, S.: Acoustic Scattering in Ducts and Influence of Flow Coupling,KTH Stockholm, Diss., 2003

[49] CHU, B.-T. ; KOVASZNAY, L. S. G.: Non-Linear Interactions in a ViscousHeat-Conducting Compressible Gas. In: Journal of Fluid Mechanics 3(5) (1958), S. 494–514

[50] PIERCE, A. D.: Acoustics. McGraw-Hill Book Company, 1981

[51] EWERT, R. ; SCHRÖDER, W.: Acoustic Perturbation Equations based onFlow Decomposition via Source Filtering. In: Journal of ComputationalPhysics 188 (2003), S. 365–398

[52] PIERCE, A. D.: Wave Equation for Sound in Fluids with Unsteady Inho-mogeneous Flow. In: Journal of the Acoustical Society of America 87 (6)(1990), S. 2292–2299

155


[53] BECHERT, D. W.: Sound Absorption caused by Vorticity Shedding, Dem-sonstrated with a Jet Flow. In: Journal of Sound and Vibration 70 (3)(1980), S. 389–405

[54] COMSOL: COMSOL MULTIPHYSICS, User’s Guide. 2005

[55] WEYERMANN, F. Persönliche Mitteilung. 2009

[56] WEYERMANN, F. Persönliche Mitteilung. 2008

[57] CHU, B.-T.: On the Generation of Pressure Waves at a Plane Flame Front.In: Proceedings des Fourth Symposium (International) on Combustion,The Combustion Institute, S. 603-612, 1953

[58] KARTHIK, B. ; MANOJ KUMAR, B. ; SUJITH, R.I.: Exact Solutions toOne-Dimensional Acoustic Fields with Temperature Gradient and MeanFlow. In: Journal of the Acoustical Society of America 108 (1) (2000), S.38–43

[59] KAPUR, A. ; CUMMINGS, A. ; MUNGUR, P.: Sound Propagation in a Com-bustion Can with Axial Temperature and Density Gradients. In: Journalof Sound and Vibration 25 (1) (1972), S. 129–138

[60] CUMMINGS, A.: Ducts with Axial Temperature Gradients: An Approxi-mate Solution for Sound Transmission and Generation. In: Journal ofSound and Vibration 51 (1) (1977), S. 55–67

[61] UMURHAN, O. M.: WKB Approximation for Acoustics in CombustionChambers with Arbitrary Steady-State Heat Release Profiles. In: AnnualResearch Briefs, Center for Turbulence Research (1999), S. 99–108

[62] PEAT, K. S.: The Transfer Matrix of a Uniform Duct with a Linear Tem-perature Gradient. In: Journal of Sound and Vibration 123 (1) (1988), S.43–53

[63] MUNJAL, M. L. ; PRASAD, M. G.: On Plane-Wave Propagation in a Uni-form Pipe in the Presence of a Mean Flow and a Temperature Gradient.In: Journal of the Acoustical Society of America 80 (5) (1986), S. 1501–1506

156


[64] PEAT, K. S.: Convected Acoustic Wave Motion along a Capillary Ductwith an Axial Temperature Gradient. In: Journal of Sound and Vibration203 (5) (1997), S. 855–866

[65] KARTHIK, B. ; KRISHNA MOHANRAJ, R. ; RAJESH RAMAKRISHNAN, . ; SU-JITH, R. I.: Exact Solution for Sound Propagation in Ducts with an AxialMean Temperature Gradient and Particulate Damping. In: Journal of theAcoustical Society of America 106 (5) (1999), S. 2391–2395

[66] SUJITH, R. I.: Exact Solutions for Modeling Sound Propagation througha Combustion Zone. In: Journal of the Acoustical Society of America 110(4) (2001), S. 1839–1844

[67] SUJITH, R. I. ; WALDHERR, G. A. ; ZINN, B. T.: An Exact Solution for One-Dimensional Acoustic Fields in Ducts with an Axial Temperature Gradi-ent. In: Journal of Sound and Vibration 184 (3) (1995), S. 389–402

[68] MANOJ KUMAR, B. ; SUJITH, R. I.: Exact Solution for One-DimensionalAcoustic Fields in Ducts with a Quadratic Mean Temperature Profile. In:Journal of the Acoustical Society of America 101 (6) (1997), S. 3798–3799

[69] KANAKA DURGA, K. ; SUJITH, R. I. ; TYAGI, M.: Finite Amplitude Longi-tudinal Gas Oscillations in a Duct with Temperature Gradient. In: ActaAcoustica united with Acoustica 90 (2004), S. 1131–1141

[70] BALA SUBRAHMANYAM, P. ; SUJITH, R. I. ; LIEUWEN, T.: Propagation ofSound in Inhomogeneous Media: Exact, Transient Solutions in Carte-sian and Curvilinear Geometries. In: Proceedings des 39th AIAA Aero-space Sciences Meeting and Exhibit, Nr.: AIAA-01-1102, Reno, Nevada,USA, 2001

[71] TYAGI, M. ; SUJIT, R. I.: Nonlinear Distortion of Travelling Waves inVariable-Area Ducts with Entropy Gradients. In: Journal of Fluid Me-chanics 492 (2003), S. 1–22

[72] BALASUBRAMANIAN, K. ; SUJITH, R. I.: Thermoacoustic Instability in aRijke Tube: Non-Normality and Nonlinearity. In: Physics of Fluids 20(044103) (2008)

157


[73] MATVEEV, K. I. ; CULICK, F. E. C.: A Study of the Transition to Instabilityin a Rijke Tube with Axial Temperature Gradient. In: Journal of Soundand Vibration 264 (2003), S. 689–706

[74] WANKE, E. ; SATTELMAYER, T.: On the Modelling of Density Gradientswith the Wave Equation for the Analysis of Combustion Instabilities (8thAPISCEU). In: Proceedings der 8th APISCEU (Asia-Pacific InternationalSymposium on Combustion and Energy Utilization), Sochi, Russland,2006

[75] HIRSCH, C. Persönliche Mitteilung. 2008

[76] POLIFKE, W. ; KOPITZ, J.: Wärmeübertragung - Grundlagen, analytischeund numerische Methoden. Pearson Studium, München, 2005

[77] WÄSLE, J. Optimierte Fast-Fourier-Transformation in MATLAB. Berech-nungsalgorithmus. Lehrstuhl für Thermodynamik, Technische Univer-sität München. 2006

[78] PIERINGER, J. Einfluss von Gradienten auf die Wellenausbreitung, Unver-öffentlichte Zusammenfassung von Forschungsergebnissen. 2006

[79] PAUS, H. J.: Physik in Experimenten und Beispielen. Hanser, München,1995

[80] MORSE, P. M. ; INGARD, K. U.: Theoretical Acoustics. First Princeton Uni-versity Press edition, with errata page. Princeton University Press, Prin-ceton, New Jersey, 1986

[81] KIERKEGAARD, A.: Numerical Investigations of Generation and Propaga-tion of Sound Waves in Low Mach Number Internal Flows, KTH Stock-holm, Diss., 2008

[82] BALTZER, S. Studie zur Modellierung des akustischen Übertragungsver-halten von Schallwellen an unstetigen Querschnittsänderungen. Semes-terarbeit, Lehrstuhl für Thermodynamik, Technische Universität Mün-chen. 2008

158


[83] DUPERE, I. D. J. ; DOWLING, A. P.: The Absorption of Sound near AbruptAxisymmetric Area Expansions. In: Journal of Sound and Vibration 239(4) (2001), S. 709–730

[84] KOOIJMAN, G. ; TESTUD, P. ; AUREGAN, Y. ; HIRSCHBERG, A.: MultimodalMethod for Scattering of Sound at a Sudden Area Expansion in a Ductwith Subsonic Flow. In: Journal of Sound and Vibration 310 (2008), S.902–922

[85] HIRSCH, C. Persönliche Mitteilung. 2007

[86] SATTELMAYER, T.: Überlegungen zur Form des Senkenterms (V2), Un-veröffentlichte Zusammenfassung von Forschungsergebnissen. 2007. –21.07.2007

[87] BOIJ, S. ; NILSSON, B: Scattering and Absorption of Sound at Flow DuctExpansions. In: Journal of Sound and Vibration 289 (3) (2006), S. 577–594

[88] RONNEBERGER, D.: Theoretische und experimentelle Untersuchungder Schallausbreitung durch Querschnittssprünge und Lochplatten inStrömungskanälen, Abschlussbericht zum DFG-Forschungsvorhaben:Akustische Reflexion und Transmission von Einbauten in durchström-ten Kanälen - im Schwerpunktprogramm Geräuschentstehung - Ge-räuschdämpfung, Kennzeichen: Ro 369/11, 12, 14 / Universität Göttin-gen, Drittes Physikalisches Institut. 1987. – Forschungsbericht

[89] FÖLLER, S. Persönliche Mitteilung. 2009

[90] FÖRSTER, H. User-Defined-Function zum Auslesen von Totaldruckgra-dienten aus einer stationären 2D-achsensymmetrischen Berechnung desStrömungsfeldes in FLUENT, Unveröffentlicht. Lehrstuhl für Thermody-namik, Technische Universität München. 2008

[91] FÖLLER, S. ; KAESS, R. ; POLIFKE, W.: Determination of Acoustic TransferBehavior via Large Eddy Simulation and System Identification. – to bepublished in High Performance Computing in Science and Engineering,Garching, 2009

159


[92] FÖLLER, S. ; KAESS, R. ; POLIFKE, W.: Determination of Acoustic Trans-fer Behavior via Large Eddy Simulation and System Identification. – tobe published at 16th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference, Stockholm,2010

[93] BOHL, W.: Technische Strömungslehre. 12., völlig neu bearbeitete underweiterte Auflage. Würzburg : Vogel Fachbuch, Kamprath-Reihe, 2001

[94] ALEMELA, P. R.: Measurement and Scaling of Acoustic Transfer Matricesof Premixed Swirl Flames, Technische Universität München, Diss., 2009

[95] NEUNERT, U. Persönliche Mitteilung. 2009

[96] ALEMELA, P. R. Multimikrofonmessungen und Auswertungen bezüg-lich des Übertragungsverhaltens des TD1- und des EV-Brenners imEinzelbrennerprüfstand, Unveröffentlichte Zusammenfassung von For-schungsergebnissen. Lehrstuhl für Thermodynamik, Technische Univer-sität München. 2007

[97] ECKSTEIN, J.: On the Mechanisms of Combustion-Driven Low-FrequencyOscillations in Aero-Engines, Technische Universität München, Diss.,2004

[98] TAY WO CHONG, L. Simulation des kalten Strömungsfeldes des TD1-Brenners im Einzelbrennerprüfstand mittels FLUENT. Simulationsergeb-nisse. Lehrstuhl für Thermodynamik, Technische Universität München.2008

[99] WEYERMANN, F. Abbildung von Strömungsdaten aus CFD-Rechnungenauf ein unstrukturiertes FEM-Gitter mittels MATLAB, unter Beibehaltungdes integralen Wertes der CFD-Daten. Berechnungsalgorithmus. Lehr-stuhl für Thermodynamik, Technische Universität München. 2008

[100] WANKE, E. ; WEYERMANN, F. ; HIRSCH, C. ; SATTELMAYER, T.: GV5:Designsystem Brennkammerschwingungen. In: Abschlussbericht For-schungsinitiative ,Kraftwerke des 21. Jahrhunderts (KW21)’ 01.07.2004bis 31.12.2008, Band 2. abayfor - Arbeitsgemeinschaft der Bayerischen

160


Forschungsverbünde c/o Bayerische Forschungsallianz GmbH, Deut-sches Zentrum für Luft und Raumfahrt e. V. - Institut für Verbrennungs-technik, München, Stuttgart, 2009, S. 683–703

[101] MARBLE, F. E. ; CANDEL, S. M.: Acoustic Disturbance from Gas Non-Uniformities Convected through a Nozzle. In: Journal of Sound and Vi-bration 55 (2) (1977), S. 225–243

[102] DASSE, J. ; MENDEZ, S. ; NICOUD, F.: Large-Eddy Simulation of theAcoustic Response of a Perforated Plate. In: Proceedings der 14thAIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (29th AIAA Aeroacoustics Confe-rence), Nr.: AIAA-2008-3007, Vancouver, Canada, 2008

[103] MENDEZ, S. ; NICOUD, F. ; POINSOT, T.: Large-Eddy Simulations of a Tur-bulent Flow around a Multi-Perforated Plate. In: Lecture Notes in Com-putational Science and Engineering - Complex Effects in Large Eddy Si-mulations, 56:289-303. 2006

[104] ELDREDGE, J. D. ; BODONY, D. J. ; SHOEYBI, M.: Numerical Investigati-on of the Acoustic Behavior of a Multi-Perforated Liner. In: Proceedingsder 13th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (28th AIAA AeroacousticsConference), Nr.: AIAA-2007-3683, Rom, Italien, 2007

[105] BELLUCCI, V. ; FLOHR, P. ; PACHEREIT, C. O.: Numerical and ExperimentalStudy of Acoustic Damping Generated by Perforated Screens. In: AIAAJournal 42 (8) (2004), S. 1543–1549

[106] ELDREDGE, J. D. ; DOWLING, A. P.: The Absorption of Axial Acoustic Wa-ves by a Perforated Liner with Bias Flow. In: Journal of Fluid Mechanics485 (2003), S. 307–335

[107] ELDREDGE, J. D.: On the Interaction of Higher Duct Modes with a Per-forated Liner System with Bias Flow. In: Journal of Fluid Mechanics 510(2004), S. 303–331

[108] HUGHES, I. J. ; DOWLING, A. P.: The Absorption of Sound by PerforatedLinings. In: Journal of Fluid Mechanics 218 (1990), S. 299–335

161


[109] TAM, C. K. W. ; KURBATSKII, K. A. ; AHUJA, K. K. ; GAETA, Jr. R. J.: A Nu-merical and Experimental Investigation of the Dissipation Mechanismsof Resonant Acoustic Liners. In: Journal of Sound and Vibration 245 (3)(2001), S. 545–557

[110] SUN, X. ; JING, X. ; ZHANG, H. ; SHI, Y.: Effect of Grazing-Bias Flow Inter-action on Acoustic Impedance of Perforated Plates. In: Journal of Soundand Vibration 254 (3) (2002), S. 557–573

[111] JING, X. ; SUN, X.: Effect of Plate Thickness on Impedance of PerforatedPlates with Bias Flow. In: AIAA Journal 38 (9) (2000), S. 1573–1578

[112] HEUWINKEL, C. ; ENGHARDT, L. ; ROEHLE, I.: Experimental Investigationof the Acoustic Damping of Perforated Liners with Bias Flow. In: Pro-ceedings der 13th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (28th AIAA), Nr.:AIAA-2007-3525, Rom, Italien, 2007

[113] MENDEZ, S. ; NICOUD, F. ; MIRON, P.: Direct and Large-Eddy Simulationsof a Turbulent Flow with Effusion. In: Proceedings des 6th InternationalERCOFTAC Workshop - Direct and Large-Eddy Simulation, S. 415-422,Poitiers, Frankreich, 2005

[114] MENDEZ, S. ; ELDREDGE, J. ; NICOUD, F. ; POINSOT, T. ; SHOEYBI, M. ; IAC-CARINO, G.: Numerical Investigation and Preliminary Modeling of a Tur-bulent Flow over a Multi-Perforated Plate. In: Proceedings of the SummerProgram 2006, Center for Turbulence Research, Stanford University, USA,S. 57-72, 2006

[115] REHMAN, S. F. ; ELDREDGE, J. D.: Numerical Investigation of a Bias-FlowPerforated Liner for Damping of Thermoacoustic Instabilities. In: Pro-ceedings of ASME Turbo Expo 2007: Power for Land, Sea and Air, Nr.: GT2007-27319, Montreal, Canada, 2007

[116] PIERINGER, J. Impedanzrandbedingung in Piano, Unveröffentlichte Zu-sammenfassung von Forschungsergebnissen. Lehrstuhl für Thermody-namik, Technische Universität München. 2007

162


[117] RICHTER, C. ; THIELE, F. H. ; LI, X. ; ZHUANG, M.: Comparison of Time-Domain Impedance Boundary Conditions by Lined Duct Flows. In:AIAA-Journal 45 (6) (2007), S. 1333–1345

[118] RADE, L. ; WESTERGREN, B.: Springers mathematische Formeln: Taschen-buch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Wirtschaftswissenschaftler.Zweite, korrigierte und erweiterte Auflage. Übersetzt und bearbeitet vonVachenauer, P., Springer, Berlin, 1997

[119] KAESS, R. Persönliche Mitteilung. 2008

[120] KOMAREK, T. ; TAY WO CHONG, L. ; ZELLHUBER, M. ; HUBER, A. ; POLIFKE,W.: Modeling the Effect of Heat Loss on Flame Stabilization in ShearLayers. In: Proceedings der International Conference on Jets, Wakes andSeparated Flows, ICJWSF-2008, Berlin, Deutschland, 2008

[121] KOMAREK, T. ; KAESS, R. Experimentelle Bestimmung der akusti-schen Stabilität des BRS-Brenners im Einzelbrennerprüfstand. Messda-ten. Lehrstuhl für Thermodynamik, Technische Universität München.2007

[122] KOMAREK, T. Persönliche Mitteilung. 2008

[123] KAESS, R. Persönliche Mitteilung. 2009

[124] ALEMELA, P. R. Experimentelle Bestimmung der Reflexionskoeffizien-ten unterschiedlicher Abschlussplatten von Prüfständen bei verschiede-nen Betriebszuständen, Unveröffentlichte Zusammenfassung von For-schungsergebnissen. Lehrstuhl für Thermodynamik, Technische Univer-sität München. 2006

163

A Anhang

IMPLEMENTIERUNGSSCHRITTE ZUM TRANSFER FREQUENZABHÄNGIGER

RANDBEDINGUNGEN IN TRANSIENTE SIMULATIONEN IN DER VERWENDETEN

SIMULATIONSUMGEBUNG

Zur Realisierung des in Kapitel 6 beschriebenen Transfers frequenzabhängigerRandbedingungen vom Frequenz- in den Zeitbereich unter Verwendung desFEM-Codes, COMSOL MULTIPHYSICS, sind folgende Schritte nötig:

• Erstellung der gewünschten Geometrie.

• Zusätzliche Modellierung eines Referenzpunkts / einer Referenzfläche ingeringem Abstand von der Impedanzrandbedingung unter Berücksichti-gung der in Abschnitt 6.4 genannten Kriterien.

• Generierung eines entsprechenden Gitters.

• Definition sogenannter extrusion coupling variables für die Druck-schwankung und die zugehörigen örtlichen Ableitungen am Referenz-punkt bzw. der Referenzebene1.

Für jeden Zeitschritt der Berechnung erfolgt nun:

• Skalarmultiplikation der extrusion coupling variables der örtlichen Ablei-tungen der Druckschwankung mit dem Normalenvektor am Rand.

• Übergabe der geforderten Werte aus dem FEM-Code an die entsprechen-de MATLAB-Funktion.

1Dadurch kann der Wert des Parameters am Referenzpunkt / an der Referenzebene auch am Rand verfügbargemacht werden. Der gewählte lineare Abbildungsmechanismus stellt sicher, dass die entsprechenden Werteauf den jeweils nächstgelegenen Gitterpunkt am Rand abgebildet werden.

164

• Speicherung der Daten in MATLAB als globale Variablen in dynamischenoder in reduzierten Listen für spätere Verwendungszwecke.

• Berechnung der zeitlichen Ableitung der Schnelle in Normalenrichtungsowie der Schnelle in Normalenrichtung.

• Berechnung der eigentlichen Randbedingung.

• Rückgabe der Ergebnisse an COMSOL MULTIPHYSICS als punktaufge-löste, örtliche Ableitung der Druckschwankung in Normalenrichtung.

Solange der Wert der rekursiven Zeit τ noch nicht erreicht ist, werden ledig-

lich die zeitabhängigen Listen für n ·∇p ′, ∂p ′∂t usw. gefüllt. An die Simulations-

umgebung zurückgegeben werden in diesem Fall die Ergebnisse einer nichtreflektierenden Randbedingung. Erst für t ≥ τ tritt die eigentliche, frequenz-abhängige Randbedingung in Kraft. Dieses Vorgehen wird benötigt, um einephysikalisch sinnvolle Funktion der Retardierung zu gewährleisten und um sodie Berechnung des akustischen Wellenfeldes nicht zu verfälschen.

165

Documents

FE-Verfahren zur Analyse der thermoakustischen Stabilität ... · Besonders möchte ich mich an dieser Stelle bei Dr. Andreas Huber, Stephan Föller, Oberingenieur Dr. Christoph Hirsch,