TECHNISCHE MECHANIK 8(1987)Heft2

Manuskripteingang: 05. 01. 1987

FEM-Algorithmen für geometrisch und physikalisch

nichtlineare Aufgaben der Statik und Stabilität

räumlicher Konstruktionen

V. V. Kiricevskij, A. S. Sucharov, I. A. Solovej

Die Formierung und Lösung der nichtlinearen Glei-

chungssysteme machen den Hauptanteil des Aufwandes

bei der Analyse räumlicher Konstruktionen aus und er-

fordern große Speicherkapazitäten der EDVA. Deshalb

hat die Erarbeitung effektiver Methoden zur Lösung

nichtlinearer Aufgaben große praktische Bedeutung. Die

Analyse der existierenden Methoden zeigt, da6 Kombi-

nationen von Iterations- und inkrementellen Prozeduren

am effektivsten sind.

Inkrementelle Algorithmen gestatten nach jedem Bela-

stungsschritt, den Spannungs- und Formänderungszu-

stand der Konstruktion zu ‚beurteilen. Die Konvergenz

kann durch das Regulieren der Größe der Belastungsin-

kremente erreicht werden. Bei Anwendung von Abstiegs-

algorithmen nach einem Parameter kann dieser so ge—

wählt werden, daß die Belastungs-Durchbiegungs-Kurve

(weiter „p-u”-Kurve) erfolgreich durchlaufen wird. Die

rationelle Auswahl der Parameter erlaubt, die Aufgabe

mit maximalen Lastinkrementen und in kürzester Zeit

zu lösen.

Iterationsmethoden beruhen auf vielfacher Lösung linea-

rer oder linearisierter Gleichungssysteme. Sie sind am

meisten verbreitet, insbesondere die Newton-Raphson-

Methode [l] und- die modifizierte Methode von Newton-

Kantorovic [2], und gestatten hinreichend genaue Lösun-

gen. Untersuchungen [3] bis [5] und andere zeigen, da5

für die Newton-Raphson-Methode der Rechenzeitauf-

wand hoch ist, da für jeden Iterationsschritt die Koeffi-

zientenmatrix des Gleichungssystems gebildet und inver-

tiert werden muß. Die modifizierte Methode von New-

ton-Kantorovic' hat zwar geringere Konvergenzgeschwin-

digkeit, erfordert aber für schwach nichtlineare Aufga-

ben wesentlich weniger Rechenzeit, da die Koeffizien-

tenmatrix nur beim ersten Iterationsschritt gebildet und

invertiert wird. Im Vergleich zur Newton-Kantorovie-

Methode .‘vesitzt die Newton-Raphson-Methode in stark

nichtlinearen Bereichen, insbesondere in Umgebung von

Bifurkationspunkten, eine große Instabilität wegen der

schlechten Kondition der linearisierten Koeffizientenma-

trix.

Für die FEM—Beziehungen [6] bis [8] ist der Rechen-

zeitaufwand zur Triangularisierung der Koeffizientenma-

trix des kanonischen Gleichungssystems etwa siebenmal i

höher als der Aufwand zur Berechnung der rechten Seite.

Deshalb erweist sich ein kombinierter Algorithmus als

zweckmäßig, wo der Abstiegsparameter mit den Schrit-

ten verändert wird, aber die linearisierte Koeffizienten-

matrix nur zu Beginn eines jeden Schrittes berechnet

wird und im Prozeß der Iteration konstant bleibt. So ist

also die Anzahl der inneren Iterationen bei der modifi-

zierten Methode von Newton-Kantorovic’ sechs. Die For-

mel des Algorithmus besitzt die folgende Form:

[KiHufl {als} —{R<{u:}»„>1s

(1)

n = Nummer des Abstiegsschrittes nach einem Para-

meter

m = Nummer des Iterationsschrittes

{ u } = Formänderungsvektor

[ K l = linearisierte Steifigkeitsmatrix

{R} = Vektor der Knotenungleichgewichtskräfte

AB

D

Au'gube’

s

H

I Lösung den-6cm

linearen Mugabe

im n-ten Schritt

J

L

Bild l

Allgemeiner Algorithmus zur Lömng geometrisch nichtlinearer

Aufgaben

63

C .-

Bildung m C2 ‚5-1.

Prm‘Pn' APn rL’ 1_ _

AMumm Ein an. - . .

"-1 Pnd ' Pn‘H’n

1 nAu“ .. l l

{m1 Extern-

n speic

m n

Korrektu E.

Auf Bild l un'd 2 sind die Programmablaufpläne zur Lö-

sung geometrisch und physikalisch nichtlinearer Aufga-

ben bei der Berechnung von Platten und Scheiben sowie

hochelastischer Konstruktionen dargestellt. Die Be-

schreibung der Elemente der PAP erfolgt entsprechend

ihrer Reihenfolge auf den Bildern l und 2.

l. In den ersten 2 Moduln A und B werden die Aus-

gangsdaten eingegeben und gedruckt. Hier werden die

Parameter des Algorithmus angegeben und kontrolliert.

Sie werden so bestimmt, daß ein reibungsloser und fast

optimaler (im Verbrauch der Rechenzeit) Prozeß der Lö-

sung gewährleistet ist. Die Werte der Parameter des Al-

gorithmus werden auf der Grundlage der bei dem Nutzer

vorhandenen Ressourcen (Speicherplatz und Rechen-

zeit der EDVA, Arbeitsregime u. a.) und Erfahrungen

bei der Lösung der betrachteten Aufgaben ausgewählt.

2. Wenn sich die Lösung der Aufgabe mit einigen Be-

lastungsinkrementen fortsetzt, werden im Modul D die

erforderlichen Informationen von einem externen Spei-

cher gelesen. Damit ist die Vorbereitung des Schritt—

algorithmus abgeschlossen.

3. Zu Beginn eines jeden neuen Belastungsinkrementes

wird im Modul El die Bedingung geprüft, ob der aktuel-

le Abstiegsparameter Ä“ nicht seinen (angegebenerflmaxi-

64

P 2,..1. ‘0 o uh

6ns1' ‘n' A6n

R Anal dmsung

nngwmnkten

Bild 2

Algorithmus zur [bung einer nichtlinearen Aufgabe für das n-te

Belastungsinkrement

malen Wert Km“ erreicht hat. Bei Erfüllung dieser Be-

dingung stellt der Algorithmus seine Arbeit ein, und die

Aufgabe wird als beendet betrachtet.

4. In einer Reihe von EDVA erlauben die Operationssy-

steme (OS) ein Steuern der Lösungsalgorithmen im inter-

aktiven Regime. Als Beispiel soll der Rechner BESM—Ö

dienen mit dem OS „Dubna“ l9]. Der Algorithmus sieht

die Änderung einiger Parameter im interaktiven Regime

vor. Dazu gehört die Vorzeicheninderung des Abstiegs-

parameters Kn im Modul G. Diese Prozedur ist notwen-

dig, z. B. für die Rückkehr auf die „p-u”-Kurve‚ wenn

die Lösungsgenauigkeit des nichtlinearen Gleichungssy-

stems erhöht (oder gesenkt) werden muß.

5. Die Moduln E, F, G erfiillen vorbereitende Operatio-

nen für den Algorithmus zur Lösung nichtlinearer Auf-

gaben im aktuellen Belastungsinkrement n.

6. Der ausführliche PAP des Moduls I ist auf dem Bild 2 V

dargestellt und weiter unten beschrieben.

7. Zur Analyse des Verhaltens der Konstruktion sind

Zwischenergebnisse auszudrucken, weiterhin müssen in

Iterationsalgorithmen der Druck der Parameter und von

Zwischenergebnissen für das Dechiffrieren von „Hava—

riesituationen” und für statistische Analysen organisiert

werden. Dadurch können ihre Werte effektiver gewählt

werden.

8. Bei der Lösung jeder Aufgabe erarbeitet der Nutzer

seine Resultatsspeicherung auf dem externen Speicher in

Abhängigkeit von den Ressourcen, der Wichtigkeit der

Aufgabe und anderer Bedingungen. Die Parameter, die

den Speicherplatz auf dem externen Speicher im Mo-

dul K regulieren, können sein: Lösungszeit auf der

EDVA, Zahl der Lastinkremente, besondere Punkte auf

der -u”-Kurve und andere.77

9. Im Modul M wird geprüft, ob der Nutzer den Ab-

bruch der nichtlinearen Rechnung im interaktiven Regi-

me verfügt hat. Wenn während der Nutzung nicht im

interaktiven Regime gearbeitet wird, dann führt der Al-

gorithmus die Lösung im automatischen Regime nach

Parametern aus, die selbständig in Abhängigkeit von der

Konvergenzgeschwindigkeit beim Iterationsprozeß und

denEigenschaften der „p-u”-Kurve korrigiert werden.

Im folgenden Abschnitt wird der Algorithmus zur Lö-

sung nichtlinearer Aufgaben im aktuellen n-ten Abstiegs-

schritt untersucht (Bild 2).

1. Im ersten Modul wird die Lösung des vorherge-

henden Schrittes (n—l) auf den externen Speicher ge-

schrieben. In diesem Fall ist die Lösung der Formände-

rungsvektor{ un_1} infolge des Zuwuchses des Ab-

stiegsparameters AÄn_1, welcher einem Zuwuchs des

Belastungsvektors{ Apn__1} entspricht. Die Notwen-

digkeit dieser Operation ergibt sich daraus, daß die Lö-

sung {un_1}im Prozefs der Iteration wiederholt ge-

braucht werden kann (für die Wiederherstellung der Lö-

sung bei „Havariesituationen’y

2. Als Abstiegsparameter kann man entweder den Para-

meter p, welcher die Belastung definiert (Druckintensi-

tät, Wert von Einzellasten, Parameter der kombinierten

Belastung u. a.) oder die Verschiebung eines charakteri—

stischen Punktes k der Konstruktion ul nehmen.

Numerische Experimente zeigten, daß die Effektivität

des Algorithmus zunimmt, wenn als charakteristischer

Knoten jener genommen wird, in welchem der Zuwuchs

des Formänderungsvektors am größten war. Rationell ist

die Auswahl des charakteristischen Knotens, wenn dieser

aus einer vorher angegebenen Zahl von Knoten erfolgt.

Gewöhnlich kann man bei Analyse des Berechnungsmo-

dells der Konstruktion die Bereiche der größten Verfor-

mung angeben. ‘

In Abhängigkeit von der Art des Abstiegsparameters (p

oder erfolgt die Lösung der Aufgabe auf zwei We-

gen (entweder Modul C l oder Modul C2.)

3. Der Abstiegsparameter ist die Größe p (Modul C1).

Bei bekannten Werten der Komponenten des Spannungs-

vektors on” 1 und der Knotenkoordinaten der ver-

formten Schale {znil } kann man die Steifigkeitsma’

trix des linearisierten Gleichungssystems [Ki] ausrech-

nen, wie in [6] oder [10] beschrieben. Der aktuelle Wert

‘des Parameters p wird folgendermaßen bestimmt:

pn+l :‘Pn + Apn (2)

Durch Extrapolation werden die Anfangsbedingungen

gestellt (1. Annäherung der gesuchten Lösung). Die Wahl

der Extrapolationsformeln hat Einfluß auf die Konver-

genzgeschwindigkeit der Lösung und steht in Verbin-

* dung mit den verfügbaren Ressourcen des externen Spei.

chers (für die Speicherung der Vektoren Aun„1 ,

{Aun_2} ‚ {Aun_3 usw.). In diesem Fall wird

die Anfangslösung Aurll in linearer Abhängigkeit

von der Lösung des vorhergehenden Schrittes

und der Größe des Zuwuchses A pn nach der Formel

1 -{Ann} _ {Aun_1 } Apn_1 (3)

gebildet.‘

Aun_1}

4. Der Abstiegsparameter ist die Verschiebung des cha-

rakteristischen Knotens uik. In diesem Fall entsteht die

Aufgabe, den Parameter des Belastungsinkrementes Apn

und des Formänderungsvektors der Schale {Aulll}

nach der gegebenen Verschiebung des charakteristischen

Knotens zu bestimmen. Der Algorithmus zur Lösung die-

ser Aufgabe im'Modul C2 ist der folgende:

a) Im charakteristischen Knoten k ist in der notwendi-

gen Richtung i' eine Bindung auferlegt, welche die Ände—

rung der vorgeschriebenen Verschiebung verhindert.

b) Es wird die Reaktion bei erzwungener Binheitsver-

schiebung des charakteristischen Knotens ru‘:l gebildet

und damit die Reaktion infolge der vorgegebenen Form-

änderung des charakteristischen Knotens — ruil ui‘ .

c) Aus der Lösung eines linearen Gleichungssystems

wird die Stützenreaktion infolge der auf die Schale wir-

kenden Belastung ermittelt, deren Parameter p = 1 — rpi_l

ist. _

d) Für die Belastung Apn, die eine Verschiebung im cha-

rakteristischen Knoten von der Große uh hervorruft, ist

die Stützenreaktion gleich A pn ' rp‘zl .

e) Aus der Gleichgewichtsbedingung im charakteristi-

schen Knoten

i’ . I . r _

uk ' ruil + pn ° I:le — 0 (4)

wird die unbekannte Größe gebildet

i,

A = _ ui __ u=1 (5)

pn k i'

r

p=l

f) Die Verschiebung der übrigen Knoten der Schale in-

folge Belastung wird nach der Formel

{Aulll} = uL{uu=l} + Ap{up:1} (6)

gebildet, wobei { uu=1 und {up=1 die Vektoren

der Knotenverformung der Schale sind, Welche bei Aus-

führung der Punkte b) und c) erhalten werden.

Den aktuellen Wert des Parameters p bestimmt man nach

der Formel

5. Aus Überlegungen, die in der Beschreibung des Mo-

duls A dargelegt wurden, wird im Modul D der Formän—

derungsvektor { Aurll } auf den externen Speicher ge-

schrieben.

6. Die vorhandene Lösung (nach der ersten Iteration

Aufll oder nach der m—ten { Aufs} ) wird in die

nichtlineare FEM-Gleichung eingesetzt. Im Modul E er-

hält man den Vektor der Ungleichgewichtskräfte { KT},

mit Hilfe dessen die Konvergenz der erhaltenen Lösung

beurteilt werden kann. Die Berechnung des Vektors der

Ungleichgewichtskräfte kann auf der Basis der folgenden

physikalischen Gleichungen verwirklicht werden.

— verallgemeinertes Hookesches Gesetz

oij : Cijkl

6kl Z

’ .. I P ’ p p p

: Icllkl<CE ä“— + Clp 8L + au— a" )‚ (7)

2 Öxl Öxk öxk öxl

I pI

wobei c: I a—z— ‚ (8)

'Öxk

65

zp ‚ xk die Koordinaten des kartesischen und des loka-

len krummlinigen Koordinatensystems sind.

— Integrales Deformationsgesetz

ekl

Oij = J öijkl dekl

0

.1. ..

wobei C”kl die Komponenten des Tensors der elasti-

schen Konstanten in der verformten Metrik sind.

— Deformationsgesetz nach Seth

oiJ' = Äj’l Gij + 21.4 Gmi Gui em (10)

Hier ist die erste Invariante des Almansi-Hamel-Ver-

zerrungstensors. Er ist gleich:

u l ..

J1 : 5(3—(31’ €13), ' (11)

wobei Gij, gij die Komponenten des Metriktensors in der

verformten bzw. unverformten Metrik sind

~ Deformationsgesetz nach Signorini

vii =w1+ cj'z + $0 +u —§>j'1216ii

+ 2tu—<x+u+§>nl emnGmiGm' (12)

+ 266km Gmi Gnt Gnk

wobei die zweite Invariante des Almansi-Hamel-Ver-

zerrungstensors ist, die sich nach der folgenden Formel

berechnet:

j'z =i (ä g” Gij - 2Gi” —2Gij gij + 3) <13)

7. In der aktuellen Iteration wird'die Berechnung been-

det. Weiter wird die Lösung { A 11:1} analysiert.

8. Wenn notwendig, wird der Iterationsparametere im

Modul G im interaktiven oder automatischen Regime

korrigiert. Dazu erhöht (oder vermindert) man den Para-

meter ein der Größenordnung seines Wertes. Der Itera-

tionsprozeß wird beendet, wenn

* i-

(I02 / (m2 < e

ist. Eine ausreichende Genauigkeit der Ergebnisse ist im

allgemeinen erreicht, wenn e = 10‘2 bis 10-4 ist.

9. Im Iterationsprozeß (l) ist ein starkes Anwachsen des

Vektors der Ungleichgewichtskräfte { Rum} möglich.

Numerischer Ausdruck fiir die Größe der Abweichung

ist die Quadratsumme der Komponenten, des *Vektors

der Ungleichgewichtskräfte (R)2. Wenn (R)2 / (p)2 >N

ist, wird der Iterationsprozeß im Modul H abgebrochen

und zum Anfang der Iteration zurückgesprungen. Zur

Verminderung der Nichtlinearität der Aufgabe wird der

Abstiegsparameter durch NA geteilt. Diese Maßnahme

wird auch angewendet, wenn die Konvergenzgeschwin—

digkeit des Iterationsprozesses stark abnimmt (die An-

zahl der Iterationen eine vernünftige Zahl KA übersteigt).

Für viele. Aufgaben werden die folgenden Werte der Para-

meter empfohlen:

N = 4bi39, NA = 4, KA =20.

10. Wenn die Bedingung

(ii)2 /(p)2 < e (14)

66

erfüllt ist, nimmt man an, daß die Lösung unm die

nichtlineare Gleichung mit der geforderten Genauigkeit

befriedigt und der Iterationsprozeß wird beendet. Ande-

renfalls wird die Iteration fortgesetzt.

ll. Der Vektor der Ungleichgewichtskräfte R:

infolge der Lösung Anm wird im Modul J in die

rechte Seite des linearisierten Gleichungssystems als Be-

lastungsanteil eingetragen.

l2. Im Modul IK wird der Formänderungsvektor um

durch Addition des Zuwuchses Aum} aktualisiert.

m g m—l{un} — {un } + {MIT} (15)

13. Wenn der Abstiegsparameter p ist, erfolgt ein Rück-

sprung in den Modul E und der Iterationsprozeß wird

fortgeführt.

l4. Wenn der Abstiegsparameter ul ist, wird im Mo-

dul M, wie auch im Modul E, der tha‘ktor der Ungleich-

gewichtskräfte { Rum} infolge des aktuellen Formände-

rungsvektors u bestimmt (die Verformung im cha-

rakteristischen Knoten K wird nicht aktualisiert, sondern

bleibt gleich der vorgeschriebenen Größe uL

15. Im Modul N wird die Bedingung (l4) geprüft.

16. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, wird im Mo-

dul 0 der Belastungsparameter pm nach der Formel

m

r

pm+1 = 9'" — n (16)n n rp=1

aktualisiert, wobei rm die Stützenreaktion im charakteri-

stischen Knoten K ist,‘‚aufgrund der erzwungenen Ver-

schiebung der Größe u‘ . Nach Ermittlun des aktuellen

Vektors um und des Parameters pm+ wird der Lö-n n

sungsprozeß im Modul E fortgesetzt.

l7. Wenn im Iterationsprozeß die Bedingung (l4) er-

füllt ist (in den Moduln I oder N), wird die Berechnung

im Block P fortgeführt. In diesem Block wird die Ände-

rung des Spannungs- und Formänderungszustandes der

Schale im aktuellen Belastungsinkrement fixiert, und es

erfolgt die Vorbereitung der Parameter des Algorithmus

für den folgenden Schritt. Die Knotenkoordinaten des

FEM-Modells der‘Schale verändern sich wie folgt:

{4...} ={z:;}+{u:; } wund das Spannungsfeld der Konstruktion:

{"iiul = i°ili+ {A02} (18)

18. Bei der Lösung nichtlinearer Aufgaben der Stabili-

tät und des nachkritischen Verhaltens von Schalenkon-

struktionen kann man auf der „p-u”-Kurve Punkten be-

gegnen, in deren Umgebung die linearisierten Koeffizien-

tenmatrizen des Gleichungssystems schlecht konditio-

niert sind, so daß bei kleinen Änderungen der rechten

Seiten beliebig große Änderungen der Verschiebung auf-

treten. Das sind Bifurkationspunkte, Maxima und Mini-

ma der „p-u”-Kurve. In solchen Punkten erfolgt gewöhn-

lich der Übergang von stabilen Gleichgewichtszuständen

zu instabilen und umgekehrt. Sie haben daher große Be-

deutung für die Analyse der Lösung und des Stabilitäts-

verhaltens der Schale.

3000

2000

1000

Bild 3

Belastungs-Durchbiegungsdiagramm fiir hohe Kugelschalen über

quadratischem Grundriß

Die Untersuchung des nachkritischen Verhaltens der

Schale beruht auf dem stetigen Abstieg auf Gleichge-

wichtszweigen und ist sehr verbreitet [3], [11], [l2]. Die

Regularisierung im. Bereich singulärer Punkte wird durch

Wechsel des Abstiegsparameters verwirklicht. Der Bela-

stungsparameter, mit dem man die Lösung der Aufgabe

häufig beginnt, wird durch die Verschiebung eines cha-

rakteristischen Punktes ersetzt. Die Lage der singulären

Punkte findet man mit Hilfe einer qualitativen Theorie,

nach der die Eigenwerte der linearisierten Matrix ermit—

telt werden [l3]. Wenn solche singulären Punkte inner-

halb des Integrationsintervalls vorhanden sind, ändern

die Eigenwerte das Vorzeichen, im singulären Punkt sind

sie gleich Null. Folglich muß man die Zahl der Eigenwer-

te bestimmen, die innerhalb eines Abstiegsschrittes das

Vorzeichen wechseln. Zu diesem Zweck wird die Koeffi—

zientenmatrix in Dreiecksform überführt. Die Zahl der

negativen Diagonalelemente stimmt mit der Zahl der ne-

gativen Eigenwerte überein. Bei der Analyse der Stabili-

tät der nachkritischen Gleichgewichtsform weist bereits

ein negativer Eigenwert auf instabile Schalenform hin.

Der beschriebene Algorithmus zur Ermittlung singulärer

Punkte bei der Lösung nichtlinearer Stabilitätsaufgaben

(Modul R) ist effektiver als die in den Arbeiten [ll], »

[14] angeführten Verfahren. Dort wird aus der Vorzei—

chenänderung der Determinante der Koeffizientenma-

trix auf das Vorhandensein singulärer Punkte geschlos-

sen. Im Falle gerader Anzahl nicht von Null verschie-

dener Eigenwerte ändert die Determinante das Vorzei-

chen nicht, und daher werden singuläre Punkte nicht er-

kannt. Das Verhalten des Algorithmus bei der Ermitt-

lung singulärer Punkte kann am Beispiel einer Kugel-

schale über quadratischem Grundriß [6] gezeigt werden.

Im Bild 4 ist die „q -u”-Kurve dieser Schalen im Punkt 6

(beachte auch Bild 3) und die Abbildung der charakteri—

stischen nachkritischen Gleichgewichtsformen darge-

stellt. Letztere entsprechen verschiedenen Punkten der

„Ei-u” Kurve. In Tabelle 1 sind für die einzelnen Bereiche

der Kurve die Zahl der negativen Eigenwerte angegeben.

Tabelle 1

Kurvenahschnitt O—a d—4

Zahl der negati- O 1 0 2 3 2 l 2

ven Eigenwerte

Die Abschnitte 0— a und l—b zeigen die stabilen

Gleichgewichtsformen der Schale (Bild 4a und b). Alle

übrigen Bereiche der Kurve gehören zu instabilen Gleich-

gewichtsformen der Schale (Bild 4c bis g).

Die Methode des stetigen Abstiegs auf Gleichgewichts-

zweigen, in Verbindung mit den Methoden der Verzwei-

gungstheorie [15], ermöglicht, alle stetigen Lösungen zu

finden. Die Wahl der Richtung der Fortsetzung des Ab-

stiegs wird nach der numerischen Untersuchung der Lö-

sung des Zweiges im singulären Punkt auf der Basis der

„Schießmethode” [16] verwirklicht.

19. Wenn im automatischen Regime gearbeitet wird,

wählt der Modul S den Abstiegsparameter für den folgen-

den Schritt aus. v

20. Im Modul T wird der Knoten k bestimmt, in wel;

chem der Betrag der Verformungsgröße im vorhergehen-

den Schritt am größten war.

21. Mit diesen Verformungen wird die Bedingung

an < c 011 (19)

geprüft, wobei

_ A Pian ‘ i' i

“k

c = Obis 1010

ist.

22. Wenn die Bedingung (19) erfüllt ist, dann wird als

Abstiegsparameter die Belastung p verwendet.

23. Im anderen Fall wird, die Verformung des charak-

teristischen Knotens k ul der Abstiegsparameter. Der

Koeffizient c erlaubt ein teuern des Austauschprozes-

ses des Abstiegsparameters, .da von seiner Größe ab-

67

4000

2 000

Bild 4

‚_““ä’

—.——=‚o

"“‘‘

Gleichgewichtsformen einer Kugelschale über rechteckigem

Grundriß

hängt. wann die Bedingung (l9) \erlet7‚t wird. \\ Hm not-

wendig. kann man als Abstiegsparanieter die Belastung

dureh e »’- (l fixieren. Für die Verformung wird dies er-

füllt. wenn e einen sehr hoben Wert besitzt. z. B. e I 1010.

Dureb die Mianutzung de> '\lgorithmu> zur automati-

nehen Leitung des l’roze»e> der \u>walil des \balleg>-

parameter.‘ kann die gesamte “pun-Rune. unabhängig

von ihrer '\rt. erhalten werden. (IharakteriMiM-b in die-

sem Sinne hind die l\ur\en auf Bild 3 und l. bei denen

das Ausweebaeln der Parameter im Pmsz der Lösung

die>er Aufgabe gezeigt uird. lii> zur Brat?” oberen kriti—

sehen Belastung ist der \b>tiegsparameter die liitemität

des gleielnnäfsig verteilten “rm-ks auf die Whale q. »\l>

Abnliegsparalneter für den l\ur\en\erlauf zwisehen den

ersten oberen und unteren C renzpunkten a und b

(Bild 4) wird die Verformung des neehsten l\nolens ver-

(i8

wendet. Der weitere Äbstieg erfolgt über die \erfor-

mung des dritten Knotens. Beim \er|auf über den zwei—

ten oberen Grenzpunkt ist die Verformung: de> \ierten

knotens der Abstiegsparameter und anaelilieläend (lie (lt‘>

ersten und zweiten Knotens.

Man kann sehen. dafs der Übergang immer auf lumen

mit geringster Neigung erfolgt. Das entsprulit der groß—

ten Sehrittweite de> I\bstiegsparameter> u"

Hei der Lösung versebiedener \ufgabenk|a.s.\en kann man

die liastinkremente komtant oder wriinderlieb “üblen.

Die konstante Sehrittweise ist im l’alle einer M‘lmau‘h go—

krümmten „nun-Kurve von Bedeutung.

Für versehiedene Aufgabenkla»en sind optimale Hela-

slungsinkremente auszuwählen. \n den Beispielen einer

stark gekrümmten l\uppel mit einer zylindrisrben \u>-

sparung. eines massiven. flaehen hegelslumpfm und

Tabelle 2

Ordnung Belastung Anz. derNr‚ Berechnungssrhemu fermion

N F, k N n

E-äSgEHPa

he.“ 32a 10 15

R-30rm

r-3,2cm

“"0"” 216 ‘ 3 a

E-SSMMPu

v-OBL

u-1mcm

b-120cm

h-20cm

225 15 13

Elementteilung 3 x 5 x 5

einer dünnen Kragplatte (Tabelle 2) wurde die Konver-

genzgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Größe der

Belastungsinkremente untersucht. Durch die Analyse

der numerischen Resultate kann die Größe der Bela-

stungsinkremente ausgewählt werden.

24'. Im Prozeß der Lösung der Aufgabe wird die Schritt—

weite des Abstiegsparameters Alu automatisch in Ab-

hängigkeit von der Konvergenzgeschwindigkeit des Ite-

rationsprozesses bestimmt. A An kann sich auf verschie—

denen Abschnitten der „p-u”-Kurve wesentlich unter-

scheiden. In flachen Bereichen der „p-u”-Kurve sind rela-

tiv große Schritte ul und in Bereichen mit stark geneig-

ter Tangente kleine Schritte sinnvoll. Aus numerischen

Untersuchungen geht hervor, dal3 bei Anwendung verän-

derlicher Schrittweite die Lösungszeit wesentlich ver-

ringert werden kann (bis auf ein Drittel), im Vergleich

zur konstanten Schrittweite und Fehlersituationen vor-

gebeugt werden können (Hauptspeicherüberlauf u: a.).

Auf Bild 5 ist die Abhängigkeit zwischen der Schrittan-

zahl und der Größe des Belastungsparameters gezeigt.

Diese Angaben wurden bei der Untersuchung rechtecki-

ger Platten erhalten und sind in [6] beschrieben. Die

durchgehende Linie gilt für veränderliche Schrittweite

(erster Schritt Apl 2 5) und die gestrichelte Linie für

konstante Schrittweite (A pi = 10).

Die Größe des Anfangsschrittes kann beliebig gewählt

werden (1/3 bis 1/100 der Endbelastung). Bei der weite-

ren Lösung der Aufgabe wird die Schrittweite automa-

tisch korrigiert.

Nach den Erfahrungen bei der Lösung nichtlinearer Auf-

gaben beeinflußt die Größe des ersten Schrittes die Lö-

sungszeit der Aufgaben nicht wesentlich, da sich in den

folgenden Schritten der Zuwachs des Abstiegsparame-

ters A An in Abhängigkeit von den angegebenen Parame»

tern des Algorithmus schnell stabilisiert.

250

/API -10

200

veründerliche

Schriflweite/

/150

l & konstante

/ \ Schrittweiie

100

50

//

Bild 5

Belastungsparameter p in Abhängigkeit von der Anzahl der Be-

lastungsinkremente n für eine Rechteckplatte

Wenn im vorhergehenden Schritt die Anzahl der Iteratio-

nen m größer als Kn war, dann wird im Modul X m

durch Nn dividiert. Bei großer Konvergenzgeschwindig—

keit, wenn die Anzahl der Iterationen im vorhergehen-

den Fall kleiner als die Zahl Ky ist, wird m mit N); mul-

tipliziert. Für eine effektive Arbeit des Algorithmus kön-

nen die folgenden Größen der Parameter empfohlen wer-

den:

Kn = 15; Nn =1,5; Ky = 7; Ny =15.

Die Auswahl der Größe des Schrittes des Abstiegspara-

meters im Falle einer „Havariesituation” wird bei der Be-

schreibung des Moduls H erklärt. Bei solchen Parameter—

werten des Algorithmus schwankt die mittlere Zahl der

'Iterationen im ersten Belastungsinkrement für eine gro-

ße Anzahl von Lösungen zwischen 9 und ll. Die ange-

führten Parameterwerte erweisen sich effektiver, als in

vorgeschlagen.

25. Die Lösung der Aufgabe im aktuellen Belastungs-

inkrement wird mit dem Drucken der Resultate (mög-

lich nach jedem Inkrement) und dem unbedingten Druck

der charakteristischen Parameter (zum Aufstellen einer

Statistik) abgeschlossen.

Die Stabilität und das nachkritische Verhalten wird am

Beispiel einer flachen und hohen Kugelschale mit qua-

dratischem Grundriß unter gleichverteiltem Normal-

druck untersucht. Die Schale ist normal zur Mittelfläche

gestützt und frei drehbar (beweglich tangential zur Mit-

telfläche). Entlang des Randes sind keine Verschiebun—

gen möglich. In der Monographie [18] sind für die erste

Näherung eine analytische und für höhere Näherungen

numerische Lösungen angefiihrt. Weiterhin wird eine Ab-

schätzung der Genauigkeit und Anwendungsgrenzen

einer für die lngenieurpraxis geeigneten analytischen Lö-

sung

69

I‘

qkr ’//

[181

1E0

’46]

1000

600 j

1.00 /

200

4m

4

0

>[18l q

5*

'200

m6 .

Obererunduntererln'ifischerDmckfiireine Kugelscbale über

quadratiaehem Grundriß in Abhing’gkeit von dem Krümmuon

parameter

an h0 Ü Ü 100 K"

a = £2 _+ R2 +

gegeben, wobei

i]de die dimensionslosen Parameter der Belastung

und der Durchbiegung des zentralen Punktes

der Schale und

K der Kn’immungsparameter der Schale sind.

Ein Vergleich (nach der FEM und nach der Beziehung

(20)) der Werte des größten a und niedrigsten an Druk-

kes ist im Bild 6 dargestellt. Bei dem Parameter der

flachen Schale K < 66 übersteigt die Abweichupg des

größten kritischen Druckes nicht 6 %. Der Wert K = 66

kann als Grenze der Anwendbarkeit der Lösung der

Theorie der flachen Schale [18] im vorkritischen Bereich

angesehen werden. Ein Vergleich der „p-u”-Kurven [6]

zeigt, daß man das genaue Bild des nachkritischen Ver-

haltens der Schale (gemäß (20)) nur bei K < 24 erhal-

ten kann. Die Anwendung der Beziehung (20) für die Be-

stimmung des unteren kritischen Druckes (Bild 6) ist

nicht möglich.

Die Analyse des nachkritischen Verhaltens flacher und

hoher Schalen zeigt, daß ihr Stabilitätsverlusgin verschie-

denen Formen eintritt. Für flache Schalen (K < 66) ist

diese Form im Bild 4 a, fiir hohe Schalen im Bild 4 b dar-

gestellt. Dieser Unterschied ist auch Ursache für die Be-

schränkung des Anwendungsbereichs der Formel (20).

Bei Erörterung der oben angeführten Ergebnisse wird in

[19.] hervorgehoben, daß sich nach der exakteren Metho-

de [6] bedeutend größere Werte fiir die untere kritische

Belastung ergeben als nach dem vereinfachten Verfah-

ren [18]. In einer Reihe von Fällen kann die untere kri-

tische Belastung, die nach der genaueren Methode ermit-

telt wurde, der Projektierungspraxis zur Bestimmung der

Traglast von Schalenkonstruktionen im nachkritischen

Bereich empfohlen werden.

70

JMTEPATYPA

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