Markus Stommel, Marcus Stojek, Wolfgang Korte

FEM zur Berechnung von Kunststoff- und Elastomerbauteilen

ISBN (Buch): 978-3-446-42124-0

ISBN (E-Book): 978-3-446-42909-3

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492.3 Modellierung des Werkstoffverhaltens

mit:

Matrix, Faser Dichte des Kunststoffes, bzw. der Faser

Untersuchungen in der Vergangenheit haben gezeigt, dass das Modell nach Halpin und Tsai zur Abschätzung der mechanischen Kennwerte geeignet ist. Genauer, aber auch wesentlich aufwändiger ist der mikromechanische Modellansatz nach Tandon und Weng [KFMD]. Die fünf transversal isotropen Ingenieurskonstanten errechnen sich hierbei wie folgt [TAW]:

( )m

111 m 2

6

21

EE

A AA

ν=

++

Φ

( ) ( )22 33 223 4 5 66

,2 1 1

12

m

m m m

EE E E

A A A AA

ν ν ν= =

− + − + + +Φ

( )12 m 13 12

m1212

f m

1 ,2 1

G G G GG

SG G

= + = + − −

Φ

Φ

( )23 m

m2323

f m

12 1

G GG

SG G

= + + − −

Φ

Φ

( )( )

m 6 3 m 4 2212 13 12 23

6 1 m 2 23, , 1

2 2A A A E

A A A Gν ν

ν ν ν νν

− −= = = −

+ +Φ

Φ

mit:

( )1 1 4 5 22A D B B B= + −( ) ( )2 1 2 4 51A D B B B= + − +

3 1 1 3A B D B= −

( )4 1 1 31 2A D B B= + −( )( )

15

4 5

1 DA

B B−

=−

( )6 2 3 1 4 52A B B B B B= − +

50 2 Mechanisches Werkstoffverhalten und ‑modellierung

( )f m1

f m

21D

µ µ

λ λ

−=

−

m m2

f m

2D

λ µ

λ λ

+=

−

m3

f mD

λ

λ λ=

−

( ) ( )1 1 2 1 1111 22111 2B D D D S S= + + − +Φ Φ( ) ( )2 3 1 1122 2222 22331B D D S S S= + + − + +Φ Φ( ) ( )3 3 1111 1 22111 1B D S D S = + + − + + Φ Φ

( ) ( )4 1 2 1122 1 2222 22331B D D S D S S= + + − + +Φ Φ

( ) ( )5 3 1122 2222 1 22331B D S S D S= + + − + +Φ Φ (2.39)mit:Vm Querkontraktionszahl der Matrix lf, lmmf, mm Lamé-Konstanen von Faser und MatrixDie S-Kennwerte in den Gl. 2.39 sind die Komponenten des sogenannten Eshelby-Tensors. Sie ermöglichen es, die Geometrie des Einschlusses explizit zu berücksich-tigen. Im Fall einer Faser sind die Komponenten wie folgt definiert [TAW]:

( )2 2

1111 m m2 2m

3 1 311 2 1 2

2 1 1 1S gα αν ν

ν α α

− = − + − − + − − −

( ) ( ) ( )2

2222 3333 m2 2m m

3 1 91 2

8 1 4 11 4 1S S gα ν

ν να α

= = + − − − −− −

( ) ( ) ( )2

2323 3232 m2 2m

1 31 2

4 1 2 1 4 1S S gα ν

ν α α=

= + − + − − −

( ) ( ) ( )22

2211 3311 m2 2m m

31 11 2

2 1 4 11 1S S g

ααν

ν να α

= = − + − −

− −− −

( ) ( ) ( )2

2233 3322 m2 2m

1 31 2

4 1 2 1 4 1S S gα ν

ν α α=

= − − + − − −

512.3 Modellierung des Werkstoffverhaltens

( ) ( ) ( )1122 1133 m m2 2m m1 1 1 3

1 2 1 22 1 2 11 2 1

S S gν νν να α

=

= − − + + − + − −− −

( )( )22

1212 1313 m m2 2m

3 11 1 11 2 1 2

24 1 1 1S S g

ααν ν

ν α α

++ = = − − − − − − − −

( )( )

12 12

32 2

1 cosh

1

g α α α α

α

− = − − −

(2.40)

mit:a Faseraspektverhältnis (= l/d)

Die Verwendung der vorgestellten Modelle setzt die Kenntnis der Faserorientie-rungsverteilung voraus. Diese kann heutzutage aus Spritzgusssimulationen (vgl. Kapitel 4) gewonnen werden. Software-Programme zur Prozess-Struktur-Kopplung leisten die automatische Übertragung der lokalen Faserinformation in die Struk-tursimulation. Mittels des Orientierungstensors a kann hierbei, wie in Kapitel 4 erläutert, die an einer lokalen Position im Kunststoffformteil vorliegenden Haupt-orientierungsrichtung und die Faserorientierungsverteilung beschrieben werden. Bild 2.30 erläutert, dass die oben vorgestellten elastischen Materialmodelle nach Halpin-Tsai bzw. Tandon-Weng aber nur unidirektional ausgerichtete Fasern in einer Kunststoffmatrix modellieren, wobei diese Faserorientierung in den oben

Bild 2.30  Orientierungsverteilung in einem Kunststoffformteil

62 2 Mechanisches Werkstoffverhalten und ‑modellierung

Neben der Ausbildung eines richtungsabhängigen Fließverhaltens durch Vor gänge auf molekularer Ebene, besitzen faserverstärkte Kunststoffe durch die lokale Ausrichtung der Fasern per se ein anisotropes zumindest aber ein transversal isotropes, d. h. richtungsabhängiges Fließverhalten. Ein Fließkriterium, welches auch plastisches Fließen in Verbindung mit richtungsabhängigem Materialverhal-ten berücksichtigt, wurde von Hill [HIL] entwickelt. Es ist eine Weiterentwicklung der von-Mises-Spannung, die für isotrope Werkstoffe gilt und hat allgemein die folgende Form [NN1]:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2V, Hill 22 33 33 11 11 22 23 31 12

2 2 222 33 11

2 2 233 11 22

2 2 211 22 33

223

213

212

2 2 2

1 1 1 12

1 1 1 12

1 1 1 12

32

32

32

F G H L M N

FR R R

GR R R

HR R R

LR

MR

NR

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ= − + − + − + +

= + −

= + −

= + −

=

=

=

und

33 13 2311 22 1211 22 33 12 13 230 0 0 0 0 0; ; ; ; ;R R R R R R

σ σ σσ σ σ

σ σ σ τ τ τ= = = = = = (2.46)

mit:

s0 Referenz-Fließspannung

t0 Referenz-Schub-Fließspannung, für die bei duktilen Werkstoffen nach dem von-Mises-Kriterium auch vereinfachend geschrieben werden kann:

00

3σ

τ =

Die Konstanten F, G, H, L, M, N sind richtungsabhängige Werkstoffkennwerte, die über so genannte R-Werte berechnet werden. Die R-Werte stellen Fließverhält-nisse zwischen der experimentell beobachteten Fließspannung in einer der sechs Spannungsrichtungen und einer Referenz-Fließspannung dar. Danach müssen zur

632.3 Modellierung des Werkstoffverhaltens

Bestimmung der R-Werte sechs unabhängige Werkstoffprüfungen durchgeführt werden. Die Referenz-Fließspannung ist die Spannung einer Probe z. B. mit Faser-ausrichtung in Zugrichtung. Die Hill Fließfläche bewertet Zug- und Druckspannun-gen genauso wie die von-Mises-Spannung gleich. Für den Fall der transversalen Isotropie (Werkstoffverhalten senkrecht zur Faserrichtung ist identisch) lässt sich eine vereinfachte Formulierung herleiten. Mittels dieses Fließkriteriums kann eine anisotrop elastisch-plastische Simulation durchgeführt werden. Eine Anwendung in der Praxis scheitert aber oftmals an der experimentellen Bestimmung der sechs Werkstoffkennwerte.

Sind allerdings vornehmlich Aussagen zur Bauteilsteifigkeit bzw. dem Verfor-mungsverhalten erforderlich, so stellen die oben beschriebenen anisotropen, bzw. transversal isotropen Elastizitätskennwerte Grundsteifigkeiten dar, wobei unter Grundsteifigkeit die Steifigkeit des Bauteils im annähernd linear-elastischen Be-reich verstanden wird. Auch wenn lokal z. B. in Kerben überelastische und damit plastische Beanspruchungen zu erwarten sind, haben diese keine signifikanten Auswirkungen auf die globale Bauteilverformung. Dies gilt, sofern in den tragenden Bauteilquerschnitten die Werkstoffbeanspruchung den annähernd linear-elastischen Bereich der Spannungs-/Dehnungs-Charakteristik nicht verlässt und dort kein Fließen beginnt. In diesem Fall ist die elastische anstelle einer elastoplastischen Betrachtung für kurzfaserverstärkte Werkstoffe ausreichend genau.

Werden FEM-Analysen im Frequenzbereich durchgeführt, wie z. B. bei Modalana-lysen, Response Spectrum oder Random Response Analysen, wird das Werkstoff-verhalten vom FE-Solver am Arbeitspunkt ohnehin linearisiert, weil die Schwin-gungsamplituden vergleichsweise klein sind. Auch hier bieten die aufwändigen, richtungsabhängigen elastoplastischen Materialmodelle häufig keinen Vorteil gegenüber einer elastischen Betrachtungsweise.

Schließlich zeigen mehraxiale Werkstoffprüfungen an speziell gestalteten Probe-körpern, dass die Fließspannungen bei mehraxialer (biaxialer) Belastung nicht auf einer Fließfläche liegen, die über das von-Mises-Kriterium definiert ist [KBA]. Die Abweichungen sind je nach Kunststoff unterschiedlich stark ausgeprägt. Es kann ebenfalls die oben über das lineare Drucker-Prager-Modell beschriebene Abhän-gigkeit der Fließfläche vom hydrostatischen Druck p experimentell nicht immer in dieser Form wiedergefunden werden. Oftmals sind daher nichtlineare (wie z. B. quadratische) Abhängigkeiten passender.

In der Zwischenzeit sind, insbesondere um den gestiegenen Anforderungen an die Berechnungsgenauigkeit von Crash-Vorgängen gerecht zu werden, deutlich leistungsfähigere elastoplastische Materialmodelle entwickelt worden, wie z. B. [KHFD, OBE]. Diese Materialmodelle greifen mehrere der oben zusammengestellten Schwachstellen auf, die die ursprünglich für metallische Werkstoffe entwickelten elastoplastischen Ansätze bei Kunststoffen aufweisen.

119Literatur zu Kapitel 2

[NIE] Niederstadt, G. Ökonomischer und ökologischer Leichtbau mit faser-verstärkten Polymerenexpert Verlag, Renningen-Malmsheim, 1997

[NN1] N. N. ABAQUS User ManualDassault Systemes, Providence RI, U. S. A., 2010

[OBE] Oberhof, G. Simulation von unverstärkten und kurzfaserver-stärkten Polymerwerkstoffen mit Materialmodell MF-GenYld+CrachFEM8. Sitzung des Arbeitskreises „Simulation“, DKI, Darmstadt, 7.10.2008

[PAY] Payne, A. R. Non Linearity in the Dynamic Properties of RubberRubber Chem. Tech. 35 (1962), S. 218–241

[SCH] Schwarzl, F. R. PolymermechanikSpringer Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1990

[SCR] Schürmann, H. Konstruieren mit Faser-Kunststoff-Verbunden2.Auflage, Springer-Verlag, 2007

[STL] Stellbrink, K. K. U. Micromechanics of CompositesCarl Hanser Verlag, München Wien New York, 1996

[STO] Stommel, M. Beschreibung der viskoelastischen mechanischen Eigenschaften, der Betriebsfestigkeit und des Bruch-verhaltens von Elastomerbauteilen mit der Finite-Elemente-MethodeDissertation, RWTH Aachen, 1999

[TAW] Tandon, G. P., Weng, G. J.

The Effect of Aspect Ratio on the Elastic Properties of undidirectionally Aligned Composites, Polymer Composites 5 (1984) 327-333.

[TRE] Treloar, L. R. G. The Physics of Rubber Elasticity3rd Edition, Clarendon Press, Oxford, 1975

[WEN] Weng, M. Werkstoffgerechte Bestimmung und Beschreibung des mechanischen Verhaltens von ThermoplastenDissertation, RWTH Aachen, 1988

[WIL] Williams, M. L. Structural Analysis of Viscoelastic MaterialsAIAA J. 2 (1964) 5, S. 785–808

[WLF] Williams, M. L.Landel, R. F.Ferry, J. D.

The Temperature Dependence of Relaxation Mechanisms in Amorphous Polymers and Other Glass forming LiquidsJ. Am. Chem. Soc. 77 (1955) 7, S. 3701–3706

[YEO] Yeoh, O. H. Some forms of the strain energy function for rubberRubber Chemistry and Technology, 66 (1993) 5, S. 754–771

158 3 Dimensionierung von Kunststoff- und Elastomerbauteilen

NormalspannungshypotheseDie Normalspannungshypothese geht von der Annahme aus, dass ein Werkstoffversagen immer senkrecht zur Richtung der größten Haupt(normal)spannung auftritt:

V,NH 1 σ σ= (3.14)

Im Bereich der Versagensbewertung von Metallen wird sie für Werkstoffe verwendet, die infolge eines Trennbruchs spröde versagen, wie z. B. bestimmte Gusseisentypen. Für Kunststoffe kann sie prinzipiell in analoger Weise verwendet werden, wenn aufgrund des spezifischen Werkstoffverhaltens, der Beanspruchungsart (z. B. Stoß oder zyklische Belastung) und der konstruktiven Gegebenheiten im Bauteil (Kerbeinfluss) mit einem spröden Versagen zu rechnen ist. Eine Größe zur Abschätzung des Einflusses der Mehraxialität wurde bereits in Form des Mehrachsigkeitsgrades T weiter oben gegeben.In Bild 3.23 sind die hier besprochenen spannungsbezogenen Versagenskriterien für einen ebenen Beanspruchungszustand im Vergleich gegenüber gestellt unter Angabe einiger exemplarischer Werte für den Parameter m für verschiedene Kunststoffe. Für m = 1 gehen konisches und parabolisches Kriterium in die vonMisesSpannung über. Die Normalspannungshypothese hat die Form eines Quaders.

Es wird empfohlen, die Normalspannungshypothese dann anzuwenden, wenn Versagen durch einen spröden Trennbruch erwartet wird, also bei im Anwendungstemperaturbereich spröden Kunststoffen. Die vonMisesSpannung ist dann anzuwenden, wenn ein Versagen infolge Fließens erwartet wird, also bei zähen Werkstoffen. Kegel und Paraboloidkriterium können ebenfalls bei zähen Werkstoffen verwendet werden, sie setzen aber die Kenntnis der Druckfestigkeit voraus, was deren praktische Anwendbarkeit oftmals stark einschränkt.

Bild 3.23  Vergleich von Versagenskriterien

20111006_978-3-446-42124-0978-3-446-42124-0_Errata978-3-446-42124-0_Errata2978-3-446-42124-0_Errata3