信号とシステムSignals and Systems工学部情報学科 90810

太田快人

京都大学大学院情報学研究科数理工学専攻

第 1回講義 平成 30年 4月 11日

1/38

受講ガイド

教科書：とくに指定しない

参考書：酒井英昭編著「信号処理」，Simon Haykin著「Adaptive Filter Theory」成績評価：レポート課題と期末試験により評価

受講ガイド 2/38

講義の目標

1 ディジタル信号処理の基礎を習得2 ディジタル信号処理の応用に関する知識

受講ガイド 3/38

今日の予定

1 信号処理の応用分野

2 今後の予定

3 フーリエ級数

4 フーリエ変換

信号処理の応用分野 4/38

信号処理の応用分野

通信機

音楽録音

画像処理

資源探索

レーダーによる位置・方向の探索

医療画像

信号処理の応用分野 5/38

通信機

伝搬損失，遅延

マルチパス通信路（直接波，透過波，反射波）

信号処理の応用分野 6/38

音楽録音

サンプル化

量子化

再生

信号処理の応用分野 7/38

画像処理

画像修正（色，コントラストなど）

補間，モザイク画像の復元，解像度

画像切り出し，輪郭抽出

信号処理の応用分野 8/38

資源探索

https://en.wikipedia.org/wiki/Shale gas

反射法地震探査

高解像度化

信号処理の応用分野 9/38

レーダー探索

https://www.furuno.co.jp/

レーダー（Radio Detecting and Ranging）

位置，角度，速度の検出

船舶・航空機，気象

スピードガン

信号処理の応用分野 10/38

医療画像

http://www.cgh-iga.jp/

MRI (magnetic resonance imaging)核磁気共鳴画像法

CT (computed tomography)コンピュータ断層撮影

IVR (interventional radiology)画像下治療

PET (positron emission tomography)陽電子放射断層撮影

信号処理の応用分野 11/38

授業計画

連続時間信号の変換 フーリエ級数，フーリエ変換，ラプラス変換などの連続時間信号の変換について説明し，時間ー周波数の不確定性についても講義する．

サンプリングと z変換 標本化定理やエリアシング効果，量子化誤差などの信号のディジタル化に関する話題について述べ，離散時間の信号処理とシステム解析に用いられる離散時間フーリエ変換と z変換について述べる．さらに，z変換を利用した差分方程式の解法についても講義する．

線形離散時間システム インパルス応答や伝達関数，周波数応答関数など，線形離散時間システムの表現について述べる．

FFT とその応用 有限長の離散時間信号の解析に必要な離散フーリエ変換を導入し，その高速計算アルゴリズムである FFTと畳み込み計算への応用について述べる．

アナログフィルタとディジタルフィルタ

所望の周波数特性をもつアナログフィルタとディジタルフィルタの種々の設計法について述べる．

適応フィルタ 平均二乗誤差を最小にするという意味で最適な線形離散時間フィルタ (ウィナーフィルタ)について述べ，その性質や様々な応用について説明する．さらに，周囲の環境変化に応じてインパルス応答を調節できる適応フィルタの基礎について述べる．

信号処理の通信応用 最近の通信システムで広く採用されている，FFTを用いた周波数領域信号処理について説明する．

今後の予定 12/38

今日の予定

1 信号処理の応用分野

2 今後の予定

3 フーリエ級数フーリエ級数の導出フーリエ級数の性質と例

4 フーリエ変換

フーリエ級数 13/38

連続時間信号の変換

物理現象を観測することによって得られる信号の多くは連続時間信号．

信号の処理は変換領域で考えると見通しのよいことが多い．

フーリエ級数，フーリエ変換，ラプラス変換について説明する．

フーリエ級数 14/38

連続時間信号の解析

フーリエ級数，フーリエ変換，ラプラス変換の関係

変換 解析対象の信号フーリエ級数 周期関数フーリエ変換 非周期関数

ラプラス変換非周期関数

(フーリエ変換不可でもOK)

解析対象の信号の性質によって，適切な変換を利用する

フーリエ級数 15/38

周期関数

信号 x(t)が周期 Pをもつとは

x(t) = x(t + P)

が任意の tについて成立することx(t)が周期 Pを持つ=⇒ x(t)は周期 2P, 3P, . . .を持つ正の最小の P: 基本周期P0：基本周期

基本周波数: f0 =1P0, 基本角周波数: ω0 =

2πP0

フーリエ級数 フーリエ級数の導出 16/38

フーリエ級数の導出 (1)

基本周期 P0 (基本角周波数 ω0)の信号 x(t)を三角関数で展開

x(t) =a0

2+ a1 cosω0 t + b1 sinω0 t + · · · + an cos nω0 t + bn sin nω0 t + · · ·

=a0

2+

∞∑n=1

(an cos nω0 t + bn sin nω0 t)

右辺各項の係数 {ai}, {bi}を決定する係数の決定に使用する関係式∫ P0

2

− P02

cos nω0 tdt = 0 (n , 0)

∫ P02

− P02

sin nω0 tdt = 0

フーリエ級数 フーリエ級数の導出 17/38

フーリエ級数の導出 (2)

係数の決定に使用する関係式

1P0

∫ P02

− P02

cos mω0 t cos nω0 tdt =12δmn (m, n , 0)

1P0

∫ P02

− P02

sin mω0 t sin nω0 tdt =12δmn (m, n , 0)

∫ P02

− P02

sin mω0 t cos nω0 tdt = 0

δmn =

1 (m = n)0 (m , n)

フーリエ級数 フーリエ級数の導出 18/38

フーリエ級数の導出 (3)

展開式の両辺に cos nω0 t をかけて積分

(左辺) =1P0

∫ P02

− P02

x(t) cos nω0 tdt

(右辺) =1P0

∫ P02

− P02

a0

2+

∞∑i=1

ai cos iω0 t + bi sin iω0 t

cos nω0 tdt =an

2

=⇒ an =2P0

∫ P02

− P02

x(t) cos nω0 tdt

同様に，sin nω0 t を乗じて積分することで

bn =2P0

∫ P02

− P02

x(t) sin nω0 tdt

フーリエ級数 フーリエ級数の導出 19/38

複素フーリエ級数の導出

an cos nω0 t + bn sin nω0 t = ane jnω0 t + e− jnω0 t

2+ bn

e jnω0 t − e− jnω0 t

2 j

=

( an − jbn

2

)e jnω0 t +

( an + jbn

2

)e− jnω0 t

=

( an − jbn

2

)e jnω0 t +

( a−n − jb−n

2

)e− jnω0 t

= cne jnω0 t + c−ne− jnω0 t

複素フーリエ級数

x(t) =a0

2+

∞∑n=1

an cos nω0 t + bn sin nω0 t =∞∑

n=−∞cne jnω0 t

cn =1P0

∫ P02

− P02

x(t)e− jnω0 t dt : スペクトル，フーリエ係数

フーリエ級数 フーリエ級数の導出 20/38

フーリエ係数の性質

負の周波数：

c∗n = c−n

時間シフト：x(t)のフーリエ係数を cnとする

cτn =1P0

∫ P02

− P02

x(t − τ)e− jnω0 t dt = e− jnω0τcn

パーセバルの等式：

1P0

∫ P02

− P02

x2(t)dt =∞∑

n=−∞|cn|2

フーリエ級数 フーリエ級数の性質と例 21/38

フーリエ係数の例: 三角波

x(t) =−t (−π ≤ t < 0)

t (0 ≤ t < π)

c0 =1

2π

{∫ 0

−π(−t)dt +

∫ π

0tdt

}=π

2

cn =1

2π

{∫ 0

−π(−t)e− jnt dt +

∫ π

0te− jnt dt

}=

1πn2{(−1)n − 1} (n , 0)

フーリエ級数 フーリエ級数の性質と例 22/38

フーリエ係数の例: のこぎり波

x(t) =12

(t + π) (−π ≤ t < π)

c0 =π

2, cn =

12π

∫ π

−π

12

(t + π)e− jnt dt = j(−1)n

2n(n , 0)

x(π) =x(π+) + x(π−)

2=π

2ギブス (Gibbs)の現象

フーリエ級数 フーリエ級数の性質と例 23/38

フーリエ係数の例: 方形波

x(t) =

0 (−π ≤ t < −π/6)π (−π/6 ≤ t < π/6)0 (π/6 ≤ t < π)

c0 =π

6, cn =

1n

sinnπ6

(n , 0)

フーリエ級数 フーリエ級数の性質と例 24/38

フーリエ級数の収束（自乗可積分関数の場合）部分和

sn(t) =n∑

k=−n

cne jkω0 t , n = 0, 1, 2, . . .

x(t)が区間[− P0

2 ,P02

]で自乗可積分（L2 である）とき，以下

が成り立つ．パーセバルの等式

∞∑k=−∞

|ck|2 =1P0

∫ P02

− P02

|x(t)|2 dt

部分和 snは L2 において limn→∞ sn = xを満たす．

limn→∞

1P0

∫ P02

− P02

|sn(t) − x(t)|2 dt = 0

フーリエ級数 フーリエ級数の性質と例 25/38

部分和とディリクレ核

sn(t) =n∑

k=−n

1P0

∫ P02

− P02

x(τ)e− jkω0τ dτe jkω0 t

=1P0

∫ P02

− P02

n∑k=−n

e− jkω0(t−τ)x(τ) dτ

=1P0

∫ P02

− P02

Dn(ω0(t − τ))x(τ) dτ

Dn(t) =n∑

k=−n

e jkt =sin

(n + 1

2

)t

sin t2

ディリクレ核

フーリエ級数 フーリエ級数の性質と例 26/38

チェザロ平均とフェイェール核

σn(t) =1n{s0(t) + s1(t) + · · · + sn−1(t)}

=1P0

∫ P02

− P02

Kn(ω0(t − τ))x(τ) dτ

Kn(t) =1n

sin n2 t

sin 12 t

2

フェイェール核

フーリエ級数 フーリエ級数の性質と例 27/38

チェザロ平均の収束（絶対可積分関数の場合）

x(t)が区間[− P0

2 ,P02

]で絶対可積分（L1 である）とき，以下

が成り立つ．

チェザロ平均 σnは L1 において limn→∞ σn = xを満たす．

limn→∞

1P0

∫ P02

− P02

|σn(t) − x(t)| dt = 0

さらに x(t)が（x(− P02 ) = x( P0

2 )を満たす連続関数であれば，以下が成り立つ．

チェザロ平均 σnは一様に x(t)に収束する．

limn→∞

max− P0

2 ≤t≤ P02

|σn(t) − x(t)| = 0

フーリエ級数 フーリエ級数の性質と例 28/38

部分和の収束（有界変動の場合）

関数 x(t)は区間 [a, b]で有界変動⇐⇒

supn∑

k=1

|x(t k) − x(t k−1)| < ∞

（上限は分割 a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = bの取り方すべてについて考える）

x(t)が t = t0 の近傍で有界変動であれば，部分和 sn(t0)は 1

2 {x(t0 + 0) + x(t0 − 0)}に収束する．（ディリクレ・ジョルダンの定理）

フーリエ級数 フーリエ級数の性質と例 29/38

今日の予定

1 信号処理の応用分野

2 今後の予定

3 フーリエ級数

4 フーリエ変換フーリエ変換の定義フーリエ変換の性質

フーリエ変換 30/38

フーリエ級数からフーリエ変換フーリエ級数展開で周期 P0 → ∞

x(t) =∞∑

n=−∞

1P0

∫ P0

2

− P02

x(σ)e− j 2πnP0σdσ

e j 2πnP0

t

⇓(P0 → ∞ f =

nP0

d f =1P0

)x(t) =

∫ ∞

−∞

{∫ ∞

−∞x(σ)e− j2π fσdσ

}e j2π f t d f

フーリエ変換対 (∫ ∞−∞ |x(t)|dt < ∞)：

X( jω) =∫ ∞

−∞x(t)e− jωt dt

x(t) =1

2π

∫ ∞

−∞X( jω)e jωt dω

フーリエ変換 フーリエ変換の定義 31/38

フーリエ変換とフーリエ係数の関係

− P02 ≤ t ≤ P0

2 の外で x(t) = 0と仮定．ω = 2πk/P0 での値を評価．

X(

j2πP0

k)=

∫ ∞

−∞x(t)e− j 2π

P0ktDt =

∫ P02

− P02

x(t)e− j 2πP0

ktDt = P0ck

k番目のフーリエ係数は周波数 f = k/P0 のフーリエ変換の値と一致．

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

フーリエ変換 フーリエ変換の定義 32/38

フーリエ変換の性質 (1)

x(t) ⇐⇒ X( jω)，y(t) ⇐⇒ Y( jω)とする

複素共役：

X∗( jω) = X(− jω)

時間シフト，スケーリング：

x(p(t − q)) ⇐⇒ e− jωq

pX

( jωp

)パーセバルの等式：∫ ∞

−∞x2(t)dt =

12π

∫ ∞

−∞|X( jω)|2dω

フーリエ変換 フーリエ変換の性質 33/38

フーリエ変換の性質 (2)

微分：

dx(t)dt⇐⇒ jωX( jω)

積分： ∫ t

−∞x(τ)dτ ⇐⇒ 1

jωX( jω)

畳み込み積分：∫ ∞

−∞x(τ)y(t − τ)dτ ⇐⇒ X( jω)Y( jω)

フーリエ変換 フーリエ変換の性質 34/38

フーリエ変換の例: ディラックのデルタ関数 δ(t)

定義： ∫ ∞

−∞x(t)δ(t − τ)dt = x(τ)

フーリエ変換：∫ ∞

−∞e− jωtδ(t)dt = e− jω0 = 1

フーリエ変換 フーリエ変換の性質 35/38

フーリエ変換の例: レイズドコサインフィルタ

帯域幅が 1/T,ロールオフ率が β (0 < β < 1)のレイズドコサインフィルタの周波数応答：

X( f ) =

T 0 ≤ | f | ≤ 1−β

2TT2

{1 + cos

[πTβ

(| f | − 1−β

2T

)]} 1−β2T ≤ | f | ≤

1+β2T

0 | f | > 1+β2T

上記，レイズドコサインフィルタのインパルス応答

x(t) =sin πt

T

πtT

cos πβtT

1 − ( 2βtT )2

フーリエ変換 フーリエ変換の性質 36/38

反転公式

x(t)は絶対可積分（L1）であり，かつそのフーリエ変換X( jω)も絶対可積分であるとき

X( jω) =∫ ∞

−∞x(t)e− jωt dt

x(t) =1

2π

∫ ∞

−∞X( jω)e jωt dω

第二式は L1 の元として成立

t = t0 において左極限 x(t0 − 0) = limh→0,h>0 x(t0 − h)，右極限 x(t0 + 0) = limh→0,h>0 x(t0 + h)をもつならば第二式の右辺は 1

2 {x(t0 − 0) + x(t0 + 0)}に等しい．t = t0 において x(t)が連続であれば，その点で第二式が成り立つ．

フーリエ変換 フーリエ変換の性質 37/38

フーリエ変換（自乗可積分の場合）

x(t)は絶対可積分かつ自乗可積分（L1 ∩ L2）

フーリエ変換 X( jω)も自乗可積分プランシュレルの定理∫ ∞

−∞|x(t)|2 dt =

12π

∫ ∞

−∞|X( jω)|2 dω

フーリエ変換 フーリエ変換の性質 38/38