Filterentwurf - tnt.uni-hannover.de · Laboratorium fur Informationstechnologie¨ DigSig - Teil 11. Filterentwurf mit Fensterfunktion Fur Filterentwurf h¨ auﬁg verwendete Fensterfunktion:¨

Filterentwurf

• IIR-Filter◦ Beispiele fur die verschiedenen Filtertypen

• FIR-Filter◦ Entwurf mit inv. Fouriertransformation und Fensterfunktion◦ Filter mit Tschebyscheff-Verhalten

• Vorgehensweise bei Matlab / Octave

• Allpass-Transformation

1

Bernd Edler ([email protected])Laboratorium fur InformationstechnologieDigSig - Teil 11

Filterentwurf mit Matlab bzw. Octave

Beispiel fur Toleranzschema:

ωd = π/8, ωs = π/6, 20 log(1− δd) = −1, 20 log(δs) = −40

Entwurf eines Butterworth-Filters:wd = 1/8;ws = 1/6;dd = 1;ds = 40;[n,wc] = buttord(wd,ws,dd,ds);n[b,a] = butter(n,wc);

Ergebnis:

• Filtergrad n = 18

• Koeffizienten des Zahlerpolynoms a und des Nennerpolynoms b2


Beispiel Butterworth-Tiefpass

Impulsantwort:

L = 200;[x,t] = impz(b,a,L);stem(t,x);

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 50 100 150 200

3



Pol-Nullstellendiagramm:

zplane(b,a);

Genauigkeitsprobleme beiNullstellenberechnungmit mehrfachen Nullstellen!

−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1

4



Pol-Nullstellendiagramm mitkorrigierten Nullstellen

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

(18)

−0.5 0 0.5 1

Darstellung von Betrags- und Phasengang: FREQRES = 1024;freqz(b,a,FREQRES);

5


Beispiel Butterworth-Tiefpass - Frequenzgange

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0Pass band (dB)

−100−90−80−70−60−50−40−30−20−10

0Stop band (dB)

−1800−1600−1400−1200−1000−800−600−400−200

0

Frequency

Phase (degrees)

6


Beispiel Tschebyscheff-Tiefpass Typ 1

[n, wc] = cheb1ord(wd,ws,dd,ds);n[b, a] = cheby1(n,dd,wc);

Filtergrad n = 8

Impulsantwort:

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 50 100 150 200

7



Pol-Nullstellendiagramm

−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1

8


Beispiel Tschebyscheff-Tiefpass Typ 1 - Frequenzgange

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0Pass band (dB)

−100−90−80−70−60−50−40−30−20−10

0Stop band (dB)

−700−600−500−400−300−200−100

0

Frequency

Phase (degrees)

9



[n, wc] = cheb2ord(wd,ws,dd,ds);n[b, a] = cheby2(n,ds,wc);

Filtergrad n = 8

Impulsantwort:

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 50 100 150 200

10




−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1

11


Beispiel Tschebyscheff-Tiefpass Typ 2 - Frequenzgange

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0Pass band (dB)

−100

−80

−60

−40

−20

0Stop band (dB)

−400−350−300−250−200−150−100−50

0 50

Frequency

Phase (degrees)

12


Beispiel Cauer-Tiefpass

[n,wc] = ellipord(wd,ws,dd,ds);n[b,a] = ellip(n,dd,ds,wc);

Filtergrad n = 5

Impulsantwort:

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 50 100 150 200

13


Beispiel Cauer-Tiefpass


−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1

14


Beispiel Cauer-Tiefpass - Frequenzgange

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0Pass band (dB)

−100−90−80−70−60−50−40−30−20−10

0Stop band (dB)

−400−350−300−250−200−150−100−50

0

Frequency

Phase (degrees)

15


Entwurf von FIR-Filtern

• Entwurf mit inv. Fouriertransformation und Fensterfunktion

• Filter mit Tschebyscheff-Verhalten

16


Filterentwurf mit Fensterfunktion

Grundidee:

• Vorgabe eines “Wunschfrequenzgangs”

• Berechnung einer Impulsantwort durch inverseFouriertransformation

• Begrenzung auf endliche Lange durch Multiplikation mitFensterfunktion

Problem bei Unstetigkeiten des Wunschfrequenzgangs:

Gibbs-Effekt: Uberschwingen bleibt bei Rechteckfenster bei ca 10%

Verbesserung: Verwendung besserer Fensterfunktionen

17



Fur Filterentwurf haufig verwendete Fensterfunktion:

Kaiser-Fenster wK(n) =I0

(α√

1− (2nM )2

)I0(α)

mit−M/2 ≤ n ≤M/2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

α = 10

α = 3

α = 1

α = 0, 1

18



Vorgehensweise zum Entwurf eines Tiefpassfilters:

• Vorgabe eines Toleranzschemas

• Bestimmung der benotigten Filterlange

• Bestimmung von αwp = 1/8;ws = 1/6;delta = 0.01;[n, w, alpha, ftype] = kaiserord([wp,ws],[1,0],[delta,delta]);a = fir1(n,w,kaiser(n+1,alpha),ftype);

Hier: α = 3.3953, L = n+ 1 = 108

19


Beispiel Tiefpass mit Kaiser-Fenster

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 20 40 60 80 100

20




r = roots(a);zplane(r);

−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1

21



−63

−62.5

−62

−61.5

−61

−60.5 Pass band (dB)

−160−150−140−130−120−110−100−90−80−70 Stop band (dB)

−1600−1400−1200−1000−800−600−400−200

0

Frequency

Phase (degrees)

22


Filter mit Tschebyscheff-Approximation

Ansatz:

Bestmogliche Ausnutzung des Toleranzschemas

Numerische Optimierung der Positionen der Maxima und Minima:

“Remez-Exchange”, “Parks-McClellan”wp = 1/8;ws = 1/6;d1 = 0.05;d2 = 0.01;D = (.005309*log10(d1)*log10(d1)+.07114*log10(d1)-.4761)

*log10(d2)-.00266*log10(d1)*log10(d1)-.5941*log10(d1)-.4278;

n=ceil(2*D/(ws-wp));a=remez(n,[0 wp ws 1],[1 1 0 0],[1 d1/d2]);

Hier: L = n+ 1 = 7223


Beispiel Filter mit Tschebyscheff-Approximation

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

10 20 30 40 50 60 70

24




r=roots(a);zplane(r(2:n));

−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1

25



−62.5

−62

−61.5

−61

−60.5

−60 Pass band (dB)

−130−120−110−100−90−80−70

−60Stop band (dB)

−1000

−800

−600

−400

−200

0

Frequency

Phase (degrees)

26


Allpass-Transformation

Grundidee:

• Entwurf eines IIR-Filters Hp(z) mit bekanntem Verfahren

• Abbildung des Frequenzgangs durch Transformationder Frequenzvariablen

Transformation durch Substitution ζ = f(z) in Hp(ζ)

Bedingung: Einheitskreis muss auf sich selbst abgebildet werden!

|f(ejω)| != 1

f(z) muss der Ubertragungsfunktion einesAllpasses entsprechen

Neue Ubertragungsfunktion: H(z) = Hp (f(z))bzw. H(ejω) = Hp(ejg(ω)) mit g(ω) = arg

(f(ejω)

)27



Realisierungsmoglichkeit:

Ersetzen jedes Verzogerungselements z−1 durch einen

stabilen Allpass A(z) =1

f(z)⇒ g(ω) = − arg

(A(ejω)

)Achtung:

In der Regel bei rekursiven Systemen nicht direkt anwendbarwegen verzogerungsfreier Schleifen!

Neue Ubertragungsfunktion muss berechnet undrealisiert werden

28


Allpass-Transformation - Beispiel-Filter

Hp(z) =z

z − b⇒ |Hp(ejω)| =

1√1 + b2 − 2b cosω

mit b = 0, 9:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3ω

|Hp|

29


Allpass-Transformation - Beispiel-Allpasse

1) A1(z) = −z−1 ⇒ g1(ω) = π + ω

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

|H|

ω

HpH1

30



2) Allpass 1. Ordnung: A2(z) =−az + 1z − a

mit |a| < 1

⇒ g2(ω) = ω + 2 arctana sinω

1− a cosω

z−1

−a

a

X(z)

Y (z)

31



0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

g2(ω

)

ω

0.90.5

0−0.5−0.9

Verzerrung der Frequenzachse fur verschiedene Werte von a32


Allpass-Transformation - Beispiel

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

|H2|

ω

0.90.5

0−0.5−0.9

Resultierende Frequenzgange33



3) Allpass 2. Ordnung: A3(z) =ρ2z2 − 2ρ cosϕz + 1z2 − 2ρ cosϕz + ρ2

mit |ρ| < 1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

g3(ω

)

ω

ϕ = π/2

0.90.80.7

34



g3(ω) = 2ω + 2 arctan2ρ sinϕ sinω − ρ2 sin 2ω

1− 2ρ cosϕ cosω + ρ2 cos 2ω

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

g3(ω

)

ω

ϕ = π/4

0.90.80.7

35



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

|H3|

ω

ϕ = π/2

0.90.80.7

36



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

|H3|

ω

ϕ = π/4

0.90.80.7

37



4) Allpass 2. Ordnung: A4(z) = −ρ2z2 − 2ρ cosϕz + 1z2 − 2ρ cosϕz + ρ2

mit |ρ| < 1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

g4(ω

)

ω

ϕ = π/2

0.90.80.7

38



g4(ω) = −π + 2ω + 2 arctan2ρ sinϕ sinω − ρ2 sin 2ω

1− 2ρ cosϕ cosω + ρ2 cos 2ω

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

g4(ω

)

ω

ϕ = 3π/4

0.90.80.7

39



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

|H4|

ω

ϕ = π/2

0.90.80.7

40



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

|H4|

ω

ϕ = 3π/4

0.90.80.7

41


Allpass-Transformation - Beispiel Butterworth

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

|Hp|

ω

Betragsfrequenzgang Butterworthfilter Ordnung 1842



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

|H4|

ω

ϕ = π/2

0.90.50.1

Betragsfrequenzgang resultierender Bandpass

43



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

|H4|

ω

ϕ = 3π/4

0.90.50.1

Betragsfrequenzgang resultierender Bandpass

44



Tiefpass-Bandpass-Transformation mit Allpass 2. Ordnung:

Vorgaben aus Toleranzschema:

• Eckfrequenzen

• Ubergangsbereichsbreiten

• max. Abweichung im Durchlassbereich

• Sperrdampfung(en)

Wahl geeigneter Parameter ρ, ϕ, ωcUbertragung in Toleranzschema fur Tiefpass-Entwurf

45


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