FlächenberechnungSeminar: Fachdidaktik MathematikLeitung: Ursula BickerReferenten: Martin Huber, Christophe StraubDatum: 08.06.2009

Gliederung

Flächenberechnung spielt eine Rolle bei…

•Geradlinigen Figuren (ab 6. Klasse)•Kreisen (7./8. Klasse)•Der Integralrechnung (Oberstufe)

Geradlinige Figuren

•Die erste und wohl einfachste Flächenberechnung, die in der Schule auftaucht , ist die beim Quadrat und Rechteck

a

b A(Rechteck) = a*bA(Quadrat)= a², da a=b

Geradlinige Figuren

•Eine weitere elementare geradlinige Figur ist das Dreieck:

a h

A(Dreieck)= (a*h)/2

Geradlinige Figuren

•Aus diesen beiden Formeln lassen sich Flächen vieler anderer Figuren herleiten, wie z.B.:

•Wie könnte man dies für den Unterricht nutzen?

Parallelogramm Raute Trapez regelmäßiges 5-Eck

Geradlinige Figuren•Quintessenz:•Hieraus lassen sich viele Möglichkeiten für

den Unterricht ziehen:▫Formal-mathematische bis plastisch-

kreative Ansätze möglich▫Kreativität der Schüler nutzen▫Gute Möglichkeiten für den

differenzierten Unterricht (welcher Schüler hat Stärken auf welchem Gebiet?)

Kreise

•Eine vollkommen andere Herangehensweise erfordern Kreise:

•Die Kreisfläche lässt sich im Gegensatz zur Fläche eines Rechtecks nicht genau abzählen

•Schüler haben Vorstellungsprobleme, was genau Pi ist (Was ist eine „Kreiszahl“?)

•Rechnen mit einer irrationalen Konstanten ist für viele etwas neues

Kreise

•Da viele Schüler die Formeln für den Flächeninhalt und den Umfang aufgrund der Ähnlichkeit durcheinander bringen, eignet sich folgender Aufgabentypus:▫Aufgabe 1: Ein 5 m langes Metallband wird zu

einem Ring gebogen. Wir groß ist sein Durchmesser?

•Welchen Vorteil bieten solche Aufgaben?•Durch welche Mittel kann man

Verwechselungen vorbeugen?

Kreise

•Mit Hilfe dieser Aufgabe wird ein Verständnis für das Rechnen mit quadratischen Größen geschaffen:▫ Aufgabe: Der Radius eines Kreises mit dem

Flächeninhalt von 20 m² wird verdoppelt. Wir groß ist der Flächeninhalt des neuen Kreises.

•Wieso?•Warum ist dies wichtig?

Kreise

•Quintessenz:•Praktische Beispiele aus der Lebenswelt

der Schüler erleichtern deren Zugang zum Thema

•Systematisches Rechnen beugt Fehlern vor

•Anwendungsaufgaben sind interessanter als reine Rechenaufgaben → Sinngehalt von Aufgaben

•Das Thema „Kreise“ bietet auch – abseits des Rechens – viel Platz für Kreativität

Integral•Mit dem Integral

berechnet man die Fläche, die die Kurve mit der x-Achse und den Geraden x=a und x=b einschließt

•Welche Schwierigkeiten könnten bei diesem Thema für Schüler auftreten?

Integral• Um den Zusammenhang zwischen Integralrechnung und

Realität herzustellen, eignen sich Anwendungsaufgaben wie diese gut:▫ Aufgabe 1: Der Boden eines 2km langen und 2m hohen

Kanals hat die Form einer Parabel mit der Gleichung y=1/8x². Dabei entspricht einer Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit.a. Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche des

Kanalsb. Wie viel Wasser befindet sich im Kanal, wenn er ganz

gefüllt ist?c. Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge

enthält der zu halben Höhe gefüllte Kanal?• Wie findet ihr diese Art von Aufgaben?

Integral•Quintessenz:•Wichtig bei der Integralrechnung ist vor

allem das Integrieren selbst, deshalb ist eine Einübung des Rechnens unbedingt notwendig

•Flächenberechnungen mit praktischen Anwendungen (z.B. aus Bereichen der Technik oder der Wirtschaft) eignen sich gut zum Einüben