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Datum: Juni 2016
Ref.: Dr. Reto Berger (BER)
Förderkurs Mathematik im Seefeld
Inhaltsverzeichnis
Ü1: Terme in Faktoren zerlegen / Binomische Formeln
Ü2: Bruchterme kürzen
Ü3: Addition und Subtraktion von Brüchen
Ü4: Multiplikation und Division von Brüchen
Ü5: Doppelbrüche
Ü6: Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
Ü7: Lineare Gleichungen mit Brüchen
Ü8: Quadratische Gleichungen 1: Zerlegen in Linearfaktoren
Ü9: Quadratische Gleichungen 2: Lösungsformel
Ü10: Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten
Ü11: Lineare Funktion: Mathematik der Geraden
Ü12: Lineare Funktion: Umkehrung
Ü13: Lineare Funktion: Geradengleichung
Lösungen
Repetition Algebra Ü1
Terme in Faktoren zerlegen / Binomische Formeln
(1) Ausklammern ( ) (2) Binomische Formeln ( ) (3) Zweiklammeransatz ( )( ) (4) Doppeltes Ausklammern ( ) ( )
( )( ) Die drei binomischen Formeln: ( )
( )
( )( )
Übungen: Zerlege die folgenden Terme in Faktoren
1.
2. ( )( ) ( )( )
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Repetition Algebra Ü2
Bruchterme kürzen
Wichtig: Nur Faktoren kürzen!
Vorgehen:
Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen, durch:
(1) ausklammern (2) binomisch zerlegen (3) Zweiklammeransatz
Bsp. 1:
Bsp. 2:
Übungen: Kürze die folgenden Bruchterme
1.
7.
2.
8.
3.
9.
4.
10.
5.
11.
6.
Repetition Algebra Ü3
Addition und Subtraktion von Brüchen
Vorgehen:
• Kleinster gemeinsamer Nenner suchen (kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV) • Bruchterme auf kgV erweitern; auf einen Bruch reduzieren • Bruchterm vereinfachen (falls möglich)
Bsp:
Übungen: Addition und Subtraktion von Brüchen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Repetition Algebra Ü4
Multiplikation und Division von Brüchen
Vorgehen:
• Zuerst: Wenn möglich kürzen • Multiplikation: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner • Division: Zweiter Bruch umkehren (reziprok), dann multiplizieren • Bruchterme vereinfachen (falls möglich): kürzen und ausrechnen
Bsp: Multiplikation:
Division:
Übungen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
( )
7.
8.
9. ( )
10.
Repetition Algebra Ü5
Doppelbrüche
Vorgehen:
Doppelbrüche sind grundsätzlich eine andere Schreibweise für die Division zweier Brüche und sind dem entsprechend als Bruchdivision zu lösen: Der grösste Bruchstrich wird durch ein Divisionszeichen ersetzt.
Bsp. 1:
Bsp. 2:
Übungen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Nr. 7-10: Zähler und Nenner zuerst gleichnamig machen (ein Bruch), dann dividieren:
7.
8.
9.
10.
Repetition Algebra Ü6
Lineare Gleichungen mit 1 Variablen
Vorgehen:
• Gleichung auf beiden Seiten vereinfachen • Terme, welche die Variable enthalten, auf eine Seite nehmen; übrige
Terme auf die andere Seite • Zusammenfassen; evtl. ausklammern • nach auflösen • ev. Lösungskontrolle durch einsetzen von in die Ausgangsgleichung
Bsp. 1: ( ) ( )
Bsp. 2: Gleichung mit Parametern (Buchstaben) ( ) ( )
Übungen: Löse die folgenden Gleichungen nach der Variablen auf
1.
2. ( ) ( )
3. ( )( ) ( ) ( )
4.
5.
6.
7. ( ) ( )
8. ( ) ( ) ( )
9. ( ) ( ) ( )
10. ( ) ( ) ( ) ( )
Repetition Algebra Ü7
Lineare Gleichungen mit Bruchtermen
Vorgehen:
• Hauptnenner HN finden (kgV aller Nenner), alle Brüche gleichnamig machen durch Erweitern auf HN, beide Seiten als je einen Bruch schreiben.
• Beide Seiten der Gleichung mit dem HN multiplizieren („Brüche wegschaffen“). • Terme, welche die Variable enthalten, auf eine Seite nehmen; übrige Terme auf
die andere Seite. • Auflösen nach . • Lösungskontrolle durch Einsetzen von in die Ausgangsgleichung: Nenner darf nicht
0 ergeben. Falls doch, ist es keine gültige Lösung.
Bsp. 1:
Bsp. 2:
Übungen: Löse die folgenden Gleichungen nach der Variablen auf
1.
2.
3.
4.
( )
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Repetition Algebra Ü8
Quadratische Gleichungen 1: Zerlegen in Linearfaktoren
Vorgehen:
• Gleichung in Grundform ( ) bringen • Term ( ) in Linearfaktoren zerlegen • Faktoren setzen und nach auflösen Lösungen und
Bsp. 1:
Bsp. 2:
Übungen: Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
*12.
(zuerst Brüche wegschaffen)
Repetition Algebra Ü9
Quadratische Gleichungen 2: Lösungsformel
mit den Lösungen √
und
√
Vorgehen:
• Gleichung in Grundform ( ) bringen • und bestimmen und in die Lösungsformel einsetzen
Bsp:
Übungen: Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen
1.
2.
3. ( ) ( )
4. ( ) ( )
5.
6. (
)
(
)
7.
8. √
9.
10.
Repetition Algebra Ü10
Lineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten
Vorgehen: Additionsmethode
• Gleichungssystem vereinfachen und in Grundform bringen: ( ) ( )
• Gleichungen mit multiplizieren so, dass oder • Gleichungen addieren und nach der verbleibenden Variable ( oder )
auflösen • Lösung in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach der andern
Variablen auflösen
Bsp: (1) –
(2) –
Übungen: Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme
1. (1) 2. (1) (2) (2) 3. (1) 4. (1) (2) (2) 5. (1) 6. (1) (2) (2) 7. (1) 8. (1) (2) (2)
9. (1)
10. (1)
(2)
(2)
Repetition Algebra Ü11
Die Lineare Funktion / Mathematik der Geraden
Jede lineare Gleichung der Form kann in einem (kartesischen) -Koordinatensystem grafisch als Gerade interpretiert werden. Vorgehen:
• Lineare Gleichung nach auflösen in die Form: • Zeichnung: Punkt ( ): Schnittpunkt der Geraden mit -Achse Steigungszahl : Steigung der Geraden auf eine (positive) -Einheit
Bsp: Gerade gegeben durch die
Gleichung Zeichne die Gerade ins
nebenstehende Koordinatensystem ein.
Übungen 1: Zeichne die folgenden Geraden ins Koordinatensystem ein: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Repetition Algebra Ü12
Umkehrung:
Jede Gerade in einem Koordinatensystem kann als lineare -Gleichung beschrieben werden. Vorgehen: durch Ablesen
• : Schnittpunkt der Geraden mit -Achse • : Steigungszahl als Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete im
rechtwinkligen Steigungsdreieck
Übungen 2:
Bestimme die Gleichungen der folgenden Geraden durch Ablesen:
Gerade a: Gerade b: Gerade c: Gerade d: Gerade e: Gerade f: Gerade g:
g
f
Repetition Algebra Ü13
Geradengleichung
Eine Gerade ist eindeutig festgelegt durch die Angabe A. eines Punktes und der Steigungszahl B. zwei Punkte und
Zu bestimmen ist in beiden Fällen die Gleichung der Geraden.
Vorgehen:
A. Punkt in Geradengleichung einsetzen und nach auflösen
B. Steigungszahl bestimmen:
;
(oder ) in Geradengleichung einsetzen und nach auflösen
Bsp. A: ( ); Geradensteigung
Bsp. B: ( ) ( )
Übungen: Bestimme die folgenden Geradengleichungen und zeichne die Geraden in untenstehendes Koordinatensystem ein.
1. a) ( ) b) ( )
c) ( )
d) ( )
e) ( )
2. a) ( ) ( ) b) ( ) ( )
c) ( ) ( ) d) ( ) ( )
e) (
) (
)
Repetition Algebra Lösungen
Lösungen Ü1 – Ü3
Ü1
1. ( )
2. ( )( )
3. ( )( )
4. ( )( )
5. ( )
6. ( )( )
7. ( )( )
8. ( )( )
9. ( )( )
10. ( )( )( )
11. ( )( )( )
12. ( )( )( )
Ü2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Ü3
1.
2.
3.
4.
5.
( )
6.
7.
8.
9.
10.
11.
( )( )( )
12.
Repetition Algebra Lösungen
Lösungen Ü4 – Ü6
Ü4
1.
2.
3.
4. ( )
( )
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ü5
1.
2.
3.
4.
5.
6. ( )
7.
8.
9.
10.
Ü6 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Repetition Algebra Lösungen
Lösungen Ü7 – Ü10
Ü7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ü8
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
;
11.
;
12.*
;
Ü9
1.
2.
;
3.
4.
5.
6.
;
7.
8. √ ; √
9.
10. ( )
Ü10
1.
2.
3.
4.
5.
6.
und
7.
8.
9.
10.
Repetition Algebra Lösungen
Lösungen Ü11 Bsp: a 1. b 2. c 3. d 4. e 5. f 6. g
Repetition Algebra Lösungen
Lösungen Ü12
Gerade : Gerade :
Gerade :
Gerade :
Gerade : Gerade : Gerade :
Lösungen Ü13
1a.
1b. –
1c.
1d.
1e.
2a.
2b.
2c.
2d.
2e.
