3 Lineare Funktionen 1 Funktionen Seiten 66, 67 · 3 Lineare FunktionenSchülerbuchseite – 70 3 Lineare Funktionen Auftakt Seiten 64, 65 Seite 64 A Mountainbike-Tour Schwäbische

3 Lineare Funktionen Schülerbuchseite –

70

3 Lineare Funktionen

Auftakt Seiten 64, 65

Seite 64

AMountainbike-Tour Schwäbische Alb:Zu Beginn fährt man bergab. Dann geht es mäßig bergauf. Nach ungefähr 15 km erreicht man den höchsten Punkt der Tour. Dann geht es steil bergab. Es folgt ein steiler Anstieg. Oben angelangt, geht es erst leicht, dann steil bergab. Zum Schluss geht es wieder bergauf.Mountainbike-Tour Schwarzwald:Gleich zu Beginn geht es extrem steil bergauf und man erreicht den höchsten Punkt der Tour. Anschlie-ßend geht es immer wieder bergab und bergauf. Insgesamt sind fünf Bergauffahrten zu bewältigen. Aus den Schaubildern können die ungefähren Werte entnommen werden.

Tour Schwäbische Alb Schwarzwald

Länge 40 km 35 km

Höchster Punkt 520 m 900 m

Höhe Start 760 m 500 m

Höhe Ziel 650 m 600 m

BBei der Tour A gibt es mehr ebene Abschnitte. Bei der Tour B geht es nur bergauf oder bergab. Insge-samt muss man bei der Tour B deutlich mehr Hö-henmeter überwinden.

Seite 65

CDie Mountainbike-Tour startet in einer Höhe von 500 m. Es folgt ein Anstieg auf über 750 m. Anschlie-ßend geht es relativ flach weiter. Nach etwa 20 km geht es mit kurzer Unterbrechung nur noch bergab. Am Ende geht es noch einmal steil bergauf.Der Graph der Geschwindigkeit verläuft meist ent-gegengesetzt. Wenn der Radfahrer bergauf fährt, nimmt die Geschwindigkeit ab und der Graph fällt. Wenn der Radfahrer bergab fährt, nimmt die Geschwindigkeit zu und der Graph steigt.

1 Funktionen Seiten 66, 67

Seite 66

Einstieg

Æ Marie: Der Puls erhöht sich in den ersten 5 Min-uten auf etwa 120 Schläge pro Minute, danach bewegt er sich zwischen 120 und maximal 140 Schlägen pro Minute.

Æ Neomi: In den ersten 20 Minuten steigt der Puls bis auf 200 Schläge pro Minute, anschließend fällt er gleichmäßig bis auf etwa 135, danach steigt er wieder bis auf 180; in den letzten 15 Minuten fällt er dann kontinuierlich ab, bis auf 60 Schläge pro Minute.

Æ Marie trainiert gleichmäßiger, Neomi hat höhere Belastungen.

Æ Die Pulsfrequenz gibt an, wie oft das Herz pro Minute schlägt. Beim Sport muss das Herz öfter schlagen, um den Körper ausreichend mit Sau-erstoff zu versorgen. Wenn ein Sportler seine Ausdauer verbessern will, darf die Pulsfrequenz während des Trainings nicht zu hoch sein.

1 a)Monat Jan Feb Mär Apr Mai Jun

Temperatur in °C 4 3 4 7 12 17

Monat Jul Aug Sep Okt Nov Dez

Temperatur in °C 19 19 17 13 9 5

b) Am wärmsten war das Wasser in den Monaten Juli und August. Am kältesten war es im Februar.c) Maximaler Temperaturunterschied: 16 °C

Seite 67

2 Zeit in min 0 10 20 30 40 50

Weg in km 0 2 2 7 8 8

Der Graph steigt zwischen 20 min und 30 min am stärksten an.

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2018 unter der ISBN 978-3-12-744383-7.


71

3 a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

10

12

14Gewicht in kg

Länge in m

O

b)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20

40

60

80

100

120Größe in cm

Alter in Jahren

O

A Tag 25.11. 2.12. 9.12. 16.12. 23.12. 30.12.

Pegel in cm 190 380 380 285 760 800

b) Höchster Pegelstand: 800 cm am 30.12.2012Niedrigster Pegelstand: 190 cm am 25.11.2012

B Größter Wert der Aktie: 43,70 € um 14:00 UhrKleinster Wert der Aktie: 41,50 € um 11:00 UhrGrößte Zunahme: Zwischen 11:00 Uhr und 12:00 Uhr nahm der Wert der Aktie um 1,10 € zu.Größte Abnahme: Zwischen 10:00 Uhr und 11:00 nahm der Wert der Aktie um 1,40 € ab.

Seite 67, links

4 a) Um 12 Uhr waren 120 Badegäste im Schwimmbad.b) Kleinste Anzahl Badegäste: 30Größte Anzahl Badegäste: 200c) Die größte Zunahme gab es zwischen 14 Uhr und 15 Uhr.

Seite 67, rechts

4 Der Goldpreis stieg am stärksten im Laufe des Jahres 2010. Am stärksten fiel er zwischen den Jahren 2013 und 2014.

1 Lineare Funktionen Seite 68

Seite 68, links

5 Zeit in min 0 10 20 30 40 50

Weg in km 0 15 25 35 50 70

Schaubild:

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

20

40

60

80Weg in cm

Zeit in s

O

6 Uhrzeit 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00

Wasser-pegel in cm

72 72 78 87 107 110 100

Die korrigierten Werte sind hervorgehoben.

7 a) Die Klasse ist insgesamt 9 km gewandert.b) 75 – 45 = 30Die Klasse hat 30 Minuten Pause gemacht.c) Am schnellsten wanderte die Klasse zwischen der 30. und der 45. Minute. Das erkennt man daran, dass in diesem Abschnitt der Graph am steilsten verläuft. Am langsamster wanderte die Klasse zwischen der 75. und 90. Minute.

Seite 68, rechts

5

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10

20

30

40

50Temperatur in °C

Zeit in min

O

Im Bereich zwischen 0 min und 20 min bzw. 40 min und 50 min steigt der Graph; zwischen 20 min und 40 min fällt der Graph.

6 (1) Richtig. Der größte Funktionswert ist 30 km/h. (2) Falsch. Der Radfahrer hat keine Pause ein-gelegt, denn die Geschwindigkeit beträgt nur zu Beginn und am Ende der Radtour 0 km/h.



72

(3) Falsch. Der Radfahrer fuhr nur 15 min lang mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h (zwischen der 15. und der 30. Minute). (4) Falsch. Wenn der Graph fällt, dann verrin-gert sich die Geschwindigkeit, der Radfahrer wird also langsamer. Es geht vermutlich bergauf.

7 (1) Falsch. Im Diagramm kann man nichts über die Geschwindigkeit erfahren.(2) Richtig. Zwischen 8.30 Uhr und 9.00 Uhr ist der Tankinhalt gleich geblieben. Daraus kann man schließen, dass das Auto nicht gefahren ist.(3) Falsch. Um 13.00 Uhr betrug der Tankinhalt ca. 28 ø. Der Graph verläuft ab dieser Stelle etwa parallel zur x-Achse, das bedeutet, es wurde kein Benzin mehr gebraucht. Vermutlich sind sie am ZIel an-gekommen.(4) Falsch. Geht man davon aus, dass der Tank ein Fassungsvermögen von 50 ø hat, so sieht man, dass der Tank zu Beginn voll war und einmal unterwegs vollgetankt wurde. Es wurden bis zum Tanken etwa 38 ø verbraucht (50 – 12 = 38) und nach dem Tanken nochmal etwa 22 ø (50 – 28 = 22). Das sind insgesamt 60 Liter, also mehr als eine Tankfüllung.(5) Richtig. Es wurden insgesamt ca. 60 ø ge-braucht ( vgl. Punkt (4) ) ; bei 550 km liegt der Ver-brauch im Durschnitt über 10 ø pro 100 km.

EXTRA: Schaubilder erzählen Geschichten Seite 69

Seite 69

1 a) Sina beginnt mit schnellem Tempo, macht dann aber eine kurze Pause. Anschließend läuft sie etwas langsamer, macht eine etwas längere Pause und läuft zum Schluss wieder schneller.Carina startet 5 min später als Sina und Dina. Sie fängt mit einem mittleren Tempo an, läuft 5 min lang etwas langsamer und sprintet den zweiten Teil der Strecke.b) • Die längste Pause macht Sina (5 min).• Carina läuft als Letzte los.• Sina wird nach etwa 13 min von Dina überholt.

Nach 22 min wird sie auch von Carina über-holt.

• Dina beendet als Erste den Trainingslauf.

2 a) Der blaue Graph gehört zu Tom, der rote Graph zu Milko. b) Milko sprintet etwas nach Tom los. Er läuft ganz schnell nach vorne und trabt dann die Hälfte der Strecke Richtung Start zurück. Dort macht er eine kurze Pause und sprintet wieder nach vorne und anschließend ganz schnell wie-der zurück zum Start.c) Sergio

5

10

15

20

25

30Entfernung Start in m

Zeit

O

c) Lili

5

10

15

20

25

30Entfernung Start in m

Zeit

O

d) Individuelle Lösungen

EXTRA: Nicht alle Zuordnungen sind Funktionen Seite 70

Seite 70

1 a) Der Graph stellt keine Funktion dar, da es auf der Rechtsachse Werte gibt, denen mehrere Werte auf der Hochachse zugeordnet werden.b) Die Zuordnung ist eindeutig, denn jedem Wert auf der Rechtsachse wird genau ein Wert auf der Hochachse zugeordnet.c) Der Graph stellt keine Funktion dar. An den Stellen, wo der Graph senkrecht verläuft, ist die Zuordnung nicht eindeutig.d) Die Zuordnung ist eindeutig, denn jedem Wert auf der Rechtsachse wird genau ein Wert auf der Hochachse zugeordnet.



73

2 a) Ja, denn jedem Wert der 1. Größe wird genau ein Wert der 2. Größe zugeordnet.b) Nein. Dem Wert 6 der 1. Größe werden zwei verschiedene Werte der 2. Größe zugeordnet.

3 a) Mara hat 40 min bis zum Umkehrpunkt ge-braucht. Für den Rückweg hat sie nur 20 min gebraucht. Möglicherweise ging es bergab oder sie ist auf dem Rückweg gerannt.b)

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

10

20

30

40

50

60

Entfernung von Zuhause in km

Zeit in min

O

Die Zuordnung Entfernung von Zuhause ¥ Zeit ist keine Funktion, da jedem Entfernungswert zwei unterschiedliche Zeitpunkte zugeordnet werden.

2 Funktionsgleichungen Seite 71

Seite 71

Einstieg

Æ Anzahl der Tage

1 2 3 4 5 6 7

Kosten in € 680 760 840 920 1000 1080 1160

Æ Kosten für zwei Wochen: 2 · 300 € + 14 · 80 € = 1720 €

Æ x · 80 + 600; wobei x für die Anzahl der Urlaubs-tage steht.

1 a) y = 5 · x

x 0 1 2 3 4 5 6

y 0 5 10 15 20 25 30

b) y = x + 3

x 0 1 2 3 4 5 6

y 3 4 5 6 7 8 9

2 a) y = 3 · x + 2b) y = 2 · xc) y = 2 · x + 3

2 Funktionsgleichungen Seiten 72, 73

Seite 72

3 x: Gewicht der Äpfel in kg;y: Preis in € Funktionsgleichung: y = 2,5 · xWertetabelle:

x (Gewicht in kg) 0 1 2 3 4

y (Preis in €) 0 2,5 5 7,5 10

Schaubild:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

10y (Preis in €)

x (Gewicht in kg)

O

4 a) Punktprobe für P (4 | 9)9 = 2 · 4 + 19 = 9Der Punkt P liegt auf dem Graphen.b) Punktprobe für Q (6 | 14)14 = 2 · 6 + 114 ≠ 13Der Punkt Q liegt nicht auf dem Graphen.c) Punktprobe für R (5 | 11)11 = 2 · 5 + 111 = 11Der Punkt R liegt auf dem Graphen.d) Punktprobe für S (– 3 | – 5)– 5 = 2 · (– 3) + 1– 5 = – 5Der Punkt S liegt auf dem Graphen.e) Punktprobe für T (– 10 | – 21)– 21 = 2 · (– 10) + 1– 21 ≠ – 1Der Punkt T liegt nicht auf dem Graphen.

A a) Es gehören zusammen:

Funktionsgleichung y = 2 x y = 1 _ 2 x – 1 y = – x + 1

Wertetabelle (3) (2) (1)

Schaubild B C A



74

b) Übrig bleibt die Funktionsgleichung y = 3 x + 2.

x – 2 – 1 0 1 2 3

y – 4 – 1 2 5 8 11

1−1−2 2 3 4 5 6 7 8 9

1

−1

−2

2

3

4

5

6y

x

O

Seite 72, links

5 a) y = x + 3

x 0 1 2 3 4 5 6

y 3 4 5 6 7 8 9

b) y = 2 x + 3

x 0 1 2 3 4 5 6

y 3 5 7 9 11 13 15

c) y = 3 x – 2

x – 2 – 1 0 1 2 3 4

y – 8 – 5 – 2 1 4 7 10

1−1−1

−2

−2 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

y

a)b)

c)x

O

6 a) y = x + 2Punktprobe für A (2 | 4)4 = 2 + 24 = 4A liegt auf dem Graphen.Punktprobe für B (3 | 2)2 = 3 + 22 ≠ 5B liegt nicht auf dem Graphen.Punktprobe für C (1,5 | 3,5)3,5 = 1,5 + 23,5 = 3,5C liegt auf dem Graphen.b) y = 2 x – 4Punktprobe für A (2 | 4)4 = 2 · 2 – 24 ≠ 0A liegt nicht auf dem Graphen.Punktprobe für B (3 | 2)2 = 2 · 3 – 42 = 2B liegt auf dem Graphen.Punktprobe für C (1,5 | 3,5)3,5 = 2 · 1,5 – 43,5 ≠ – 1C liegt nicht auf dem Graphen.

c) y = 1 _2 x + 3

Punktprobe für A (2 | 4)

4 = 1 _2 · 2 + 3

4 = 4A liegt auf dem Graphen.Punktprobe für B (3 | 2)

2 = 1 _2 · 3 + 3

2 ≠ 4,5B liegt nicht auf dem Graphen.Punktprobe für C (1,5 | 3,5)

3,5 = 1 _2 · 1,5 + 3

3,5 = 3,75C liegt nicht auf dem Graphen.

Seite 72, rechts

5 a) y = x + 4

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

y 1 2 3 4 5 6 7

b) y = 2 x – 2

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

y – 8 – 6 – 4 – 2 0 2 4



75

c) y = 1 _2 x + 2

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

y 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

d) y = 1,5 x – 3

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

y – 7,5 – 6 – 4,5 – 3 – 1,5 0 1,5

1−1−2−3−4 2 3 4 5 6 7

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

2

3

4

5

6a)

c)

b)d)

7y

x

O

6 a) (1) y = x – 10

x – 8 – 5 – 2 0 3 10 17

y – 18 – 15 – 12 – 10 – 7 0 7

(2) y = 2 x + 5

x – 6 – 4 – 2 0 3 5 1

y – 7 – 3 1 5 11 15 7

b) Mögliche Lösung: Man setzt den gegebenen y-Wert in die Funktionsgleichung ein und löst die Gleichung nach x auf.

Seite 73, links

7 Man berechnet die fehlende y-Koordinate, indem man in der Funktionsgleichung den gegebenen Wert für x einsetzt und den Funk-tionswert y ausrechnet. a) P (4 | 2) b) P (5 | 15)c) P (7 | 15) d) P (6 | – 2)

8 Zu (1) gehört der Graph i.Zu (2) gehört der Graph h.Zu (3) gehört der Graph g.

9 Individuelle Lösungen, zum Beispiel:a) Eine Schale Erdbeeren kostet 2 €.x: Anzahl der Schalen; y: Preis in €b) Ein Stift kostet 1 €. Die Versandpauschale beträgt 10 €.x: Anzahl der Stifte; y: Preis in €c) Ein Kilogramm Äpfel kostet 1,50 €, für die Holzkiste bezahlt man 2,50 €.x: Gewicht der Äpfel in kg; y: Preis in €d) Eine Flasche Limonade kostet 0,50 €; für die Kiste bezahlt man 7,50 € Pfand.x: Anzahl der Flaschen; y: Preis in €

10 a) x: Anzahl der Besuche im Fitness-Studio; y: monatliche Kosten in €y = 6 · x + 15b)

x (Anzahl Tage) 0 1 2 3 4

y (Kosten in €) 15 21 27 33 39

x (Anzahl Tage) 5 6 7 8 9

y (Kosten in €) 45 51 57 63 69

c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

10

20

30

40

50

60

70

80y (Kosten in €)

x (Anzahl Tage)

O

Seite 73, rechts

7 a) y = 9 · x + 3;x steht für die Anzahl der Packungen mit Kaffeekapseln.b) Man setzt für y = 111 ein und berechnet x. 111 = 9 · x + 3 | – 3108 = 9 · x | : 9 12 = xFrau Vogel hat 12 Packungen bestellt.

8 k: Addiere zur Zahl 1,5.i: Verdreifache die Zahl und subtrahiere 2.h: Halbiere die Zahl und subtrahiere 1.

9 a) y = 2 x b) y = – 2 xc) y = 2 x – 1 d) y = 0,5 x + 1



76

3 Steigung. Proportionale Funktionen Seiten 74, 75

Seite 74

Einstieg

Æ Zeichnung im Maßstab 1 : 5000 (1 cm in der Zeichnung entspricht 5000 cm = 50 m in der Wirklichkeit.)

300m

105m

Æ Die Straße steigt auf einer Länge von 100 m um 105 : 3 = 35 m an.

Æ

300m100m

31,5m

105m

Die Filbert Street ist etwas weniger steil als die Baldwin Street.

Seite 75

1 a) m = 2; y = 2 x b) m = 1 _2 ; y = 1 _2 x

c) m = – 2; y = – 2 x d) m = – 1 _2 ; y = – 1 _2 x

2 a) g: y = 3 x; h: y = – 3 xDie Steigungen unterscheiden sich um das Vor-zeichen.

b) g: y = 1 _2 x; h: y = – 1 _2 x

Die Steigungen unterscheiden sich um das Vor-zeichen.

c) g: y = 1 _2 x; h: y = 2 x

Die eine Steigung ist der Kehrwert der anderen.

d) g: y = 1 _2 x; h: y = – 2 x

Die eine Steigung ist der Kehrwert der anderen und hat außerdem ein entgegengesetztes Vor-zeichen.

3

1−1−2 2 3 4 5 6 7 8 9

1

−1

−2

2

3

4

5

c)e) a) d) b)6y

x

O

A Es gehören zusammen:

Wertetabelle (1) (2)

Funktionsgleichung y = – 2 x y = 1 _ 2 x

Schaubild A B

B

1−1−2−3−4 2 3 4 5 6 7

1

−1

−2

−3

−4

2

3

P(2|5)

P(1|3)

P(2|−3)

P(−2|1)

4

5y

x

O

a) m = 3 b) m = 2,5 c) m = – 1,5 d) m = – 1 _ 2

Seite 75, links

4 a)

1−1−2 2 3 4 5 6 7 8 9

1

−1

−2 g2

g1 g3

2

3

4y

x

O



77

1−1−2 2 3 4 5 6 7 8 9

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

2

3

4

5 g4

g5

g6

g7

y

x

O

b) g1 geht durch den 1. und 3. Quadranten.g2 geht durch den 2. und 4. Quadranten.g3 geht durch den 1. und 3. Quadranten.g4 geht durch den 1. und 3. Quadranten.g5 geht durch den 2. und 4. Quadranten.g6 geht durch den 2. und 4. Quadranten.g7 geht durch den 2. und 4. Quadranten.

Seite 75, rechts

4 g1: m = 1 _4 ; g2: m = 2; g3: m = – 4;

g4: m = – 3 _ 2 ; g5: m = – 1 _ 3

3 Steigung.Proportionale

Funktionen Seiten 76, 77

Seite 76, links

5 a) Zu (1) y = 3 x gehört die Gerade g2 ; denn sie hat die Steigung 3.

Zu (2) y = 1 _2 x gehört die Gerade g1 ; denn sie

hat die Steigung 1 _2 .

Zu (3) y = – x gehört die Gerade g3 ; denn sie hat die Steigung – 1.

Zu (4) y = – 1 _2 x gehört die Gerade g4 ; denn sie

hat die Steigung – 1 _2 .

6 a) y = 1 _ 3 x b) y = 3 _ 4 x

1−1 2 3

1

−1

−2

2

3

4y

x

O 1−1 2 3 4

1

−1

−2

2

3

4y

x

O

c) y = – 2 _5 x d) y = – 4 _3 x

1 2 3 4

1

−1

−2

−3

2

3y

x

O

1−1 2 3

1

−1

−2

−3

−4

2y

x

O

7 x: Gewicht in kg; y: Preis in €Tomaten: 200 g kosten 0,50 €, 1 kg kostet also 2,50 €. y = 2,5 · xKarotten:500 g kosten 1,00 €, 1 kg kostet also 2,00 €. y = 2 · x

8 y = – 2 x

Seite 76, rechts

5 g1: y = 2 _ 3 x; g2: y = 3 _ 2 x; g3: y = 5 _ 2 x;

g4: y = – 4 _ 3 x; g5: y = – 3 _ 4 x

6

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5

1

−1

−2

−3ac

b

d

2

3

y

x

O



78

7 a) Die Gerade der Funktion y = 1 _4 x ist flacher

als y = 4 x.b) Die Gerade der Funktion y = – 2 x ist steiler

als y = – 1 _2 x.

c) Die Gerade der Funktion y = 2 _3 x ist steiler

als y = 0,6 x.

8 a) Ja, denn dem x-Wert 0 ist der y-Wert 0 zu-geordnet, d. h. der Graph geht durch den Koordi-natenursprung O (0 | 0).b) Nein, denn dem x-Wert 0 ist der y-Wert 2,5 zugeordnet, d. h. der Graph geht nicht durch den Ursprung.

c) Ja, denn der Wert des Quotienten y-Wert

_x-Wert ist

immer gleich, er beträgt 1,2. Die Funktionsglei-chung lautet y = 1,2 · x, die Funktion ist also proportional.

9 a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

2

3

4

5

6

7

8

BirnenKirschen

Äpfel

Gewicht in kg

O

Preis in €

b) x: Gewicht in kg; y: Preis in €Äpfel: y = 1,5 · x;Kirschen: y = 3,5 · x;Birnen: y = 3 · xc) An der Steigung der Geraden kann man ab-lesen, wie teuer eine Obstsorte ist: Je größer die Steigung, desto steiler die Gerade und desto teurer die Obstsorte.

Seite 77, links

9 a) Dilara hat die Steigungsdreiecke verkehrt herum gezeichnet (also x- und y-Koordinate vertauscht). Anstelle des Graphen der Funktion y = 3 x hat sie den Graphen der Funktion

y = 1 _3 x gezeichnet; und anstelle des Graphen

von y = 1 _2 x hat sie den Graphen von y = 2 x

gezeichnet.

Richtig ist:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

2

3

4y

y = 3xy = x 1_

2

x

O

10 a) Der y-Wert, der dem x-Wert 2 zugeordnet ist, ist falsch. Richtig ist:

x – 2 – 1 0 1 2 3

y – 6 – 3 0 3 6 9

Die Funktionsgleichung lautet y = 3 x.a) Der y-Wert, der dem x-Wert 5 zugeordnet ist, ist falsch. Richtig ist:

x – 2 3 4 5 6 7

y – 5 – 7,5 – 10 – 12,5 – 15 – 17,5

Die Funktionsgleichung lautet y = – 2,5 x.

11 a) Steigung der Treppe: m = 17 _ 29

b) Mit einer Treppe wie in Teilaufgabe a) ergibt sich folgende Anzahl an Stufen:3,00 m = 300 cm300 : 17 ≈ 18Die Treppe muss 18 Stufen haben.

12 a) Steigung der Bahn:

m = Höhendiffernez ___waagrechte Strecke

m = 2955 – 1005 __4000 = 1950 _4000 = 0,4875

b) 1950 : 200 = 9,75Die Gondel braucht 9,75 min, das sind 8 min 45 s.

Seite 77, rechts

10 Die Punkte P1 (3 | 4), P2 (– 3 | – 4) und P3 (– 6 | – 8) liegen auf derselben Ursprungsgeraden. Ihre

Funktionsgleichung lautet: y = 4 _3 x.Die Punkte P2 (2 | – 3), P5 (– 2 | 3) und P6 (4 | – 6) liegen auf derselben Ursprungsgeraden. Ihre

Funktionsgleichung lautet: y = – 3 _2 x.

11 Vergleicht man die Steigungen der Geraden, so

sieht man: 3 _5 > 1 _2 > 4 _9 .

Je größer die Steigung, desto steiler ist die Gerade. Daher gilt:

Die Gerade y = 3 _5 x ist am steilsten, die Gerade

y = 4 _9 x am flachsten.



79

12 a)

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

100

200

300

400

500

600Reichweite in km

Hope Future

Stella

Ladedauer in h

O

b) Je größer die Steigung, desto besser ist das Verhältnis zwischen der Zeit, die investiert wer-den muss, damit die Batterie voll ist und der Strecke, die mit der vollen Batterie gefahren werden kann. Oder anders formuliert: Mit kurzer Ladezeit kann man eine verhältnismäßig lange Strecke zurücklegen.

13 a) Es gibt nur eine Ursprungsgerade, die durch 3 Punkte geht, nämlich g1 (vgl. Figur unten). Sie geht durch die Punkte: B, J und R.Zeichnet man alle Geraden, die durch 2, 3 oder 4 Punkte gehen, so kann man überprüfen, dass es keine weiteren Ursprungsgeraden durch 3 Punk-te gibt.

1

A B C D E F

G H I J K L

M N O P Q R

S T U V W X g1

g3

g5

g2g4

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

2

3

4y

x

O

b) Durch die meisten Gitterpunkte geht g2 ( vgl. Figur in Teilaufgabe a) ) .c) Es gibt viele Möglichkeiten, zum Beispiel g5 ( vgl. Figur in Teilaufgabe a) ) .

4 Lineare Funktionen Seiten 78, 79

Seite 78

Einstieg

Æ Monatliche Kosten bei Flixnet: 12,00 € + 2,00 € · 8 = 28,00 € Monatliche Kosten bei Prima-Video: 4,00 € · 8 = 32,00 € Bei Flixnet zahlen die Mädchen 28,00 €, bei Prima-Video 32,00 €.

Æ Flixnet:

Anzahl der Blockbuster

0 2 4 6 8

Kosten in € 12 16 20 24 28


10 12 14 16 18

Kosten in € 32 36 40 44 48

Prima-Video:


0 2 4 6 8

Kosten in € 0 8 16 24 32


10 12 14 16 18

Kosten in € 40 48 56 64 72

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

10

20

30

40

50

60

70Preis in €

Prima-Video

Flixnet

Anzahl Blockbuster

O

Bei 6 Blockbustern im Monat sind beide Anbie-ter gleich teuer; bei weniger als 6 ist Prima- Video günstiger und bei mehr als 6 Blockbus-tern ist Flixnet günstiger.

Seite 79

1 a) c = 1; m = 1; y = x + 1b) c = – 1; m = 2; y = 2 x – 1c) c = 3; m = – 2; y = – 2 x + 3

d) c = 2; m = 1 _2 ; y = 1 _2 x + 2

2 a)

1−1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

y = 2x + 2

y = 2x + 1

y = 2x

6y

x

O



80

b)

1−1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

−1

−2

−3

2

3

4 y = 3x

y = 3x − 1

y = 3x − 2

y

x

O

c)

1−1−2 2 3 4 5 6 7 8 9

1

−1

2

3

4y

y = x + 2

x

O

1_2

y = x + 11_2

y = x1_2

d)

1−1−2 2 3 4 5 6 7 8 9

1

−1

−2y = – 2x

y = – 2x −1

y = – 2x −2 −3

−4

2y

x

O

3 a) Die Gerade h ist im Vergleich zur Geraden g um 2 Einheiten nach oben verschoben.b) Die Gerade h ist im Vergleich zum Graphen der Funktion g um 3 Einheiten nach unten ver-schoben.c) Die Gerade h ist im Vergleich zur Geraden g um 4,5 Einheiten nach oben verschoben.d) Die Gerade h ist im Vergleich zur Geraden g um 0,5 Einheiten nach unten verschoben.

A a) und b)

1−1−2−3−4−5 2 3 4 5 6

1

−1

−2

−3

−4

2

3

4a) y = 2x – 1

b) y = x + 1

5y

x

O

1_2

c) und d)

1−1−2−3−4−5 2 3 4 5 6

1

−1

−2

−3

−4

2

c) y = –2x + 1

3

4

5y

x

O

d) y = – x – 21_2

B a) m = 1 _ 2 ; c = 2 b) m = 2; c = – 1

y = 1 _ 2 x + 2 y = 2 x – 1

c) m = – 1; c = – 1y = – x – 1

Seite 79, links

4 a) c = 2; m = 3 b) c = 5; m = – 2

c) c = – 1,5; m = – 1 _2 d) c = – 8; m = 1

5 a) und b) c) und d)

1−1 2 3

1

−1

−2

2

3

4

5y

y = 2x + 3

y = 3x − 2

x

O

1−1 2 3

1

−1

−2

−3

−4

−5

2y

y = −3x + 2

y = −2x − 3

x

O



81

e) und f)

1−1 2 3

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

2

3y = 2x − 3

y = − 3x − 3

y

x

O

Seite 79, rechts

4 g1: y = 1,5 x – 1 g2: y = 1 _4 x + 2,5

g3: y = 1 _2 x – 2,5 g4: y = – 1 _4 x + 1

g5: y = – 3 _4 x + 2

4 LineareFunktionen Seiten 80, 81

Seite 80, links

6 g1: y = 1 _2 x – 1 g2: y = x + 2

g3: y = 2 x + 3 g4: y = – 1 _2 x – 1

g5: y = – 1 _2 x + 1 g6: y = – 2 x + 4

7 a) y = 3 x b) y = 3 x – 1 c) y = 3 x + 1

8 Individuelle Lösungen

9 x: Zeit in miny: Wasserhöhe in cmy = 2 x + 10

5 10 15 20 25 30 35 40 45 45 50

10

20

30

40

50

60

70

80

90Höhe des Wassers in cm

Zeit in min

O

Nach 40 Minuten hat das Wasser eine Höhe von 90 cm. Das Aquarium ist also 90 m hoch.

Seite 80, rechts

5

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5

1

−1

−2

−3a)

c)

b)d)

2

y

x

O

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5

1

−1

−2

f)

e)

h)

g)

2

3

y

x

O

6 a) y = 2 x + 2

x 0 1 2 3 4 5 6

y 2 4 6 8 10 12 14

b) y = – 2 x – 4

x – 1 0 1 2 3 4 5

y – 2 – 4 – 6 – 8 – 10 – 12 – 14

c) y = 5 x – 2,5

x – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1

y – 27,5 – 22,5 – 17,5 – 12,5 – 7,5 – 2,5 2,5

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5

1

−1

−2

−3

−4

b)

a)

c)2

y

x

O

7 a) Individuelle Lösungen, zum Beispiel:y = 3 x + 2b) Individuelle Lösungen, zum Beispiel:

y = 1 _2 x – 4

c) Ja, diese Gerade muss eine Ursprungsgera-de mit positiver Steigung sein, zum Beispiel:

y = 1 _4 x.



82

8 a) Da die Gerade durch P (0 | 1) geht, ist c = 1.Berechnung von m:Man stellt sich ein Steigungsdreieck vor, so dass die Punkte P und Q an den Ecken liegen. Die Differenz der y-Werte (Höhendifferenz) von P und Q beträgt 2 – 1 = 1. Die Differenz der x-Werte (Schritte nach rechts) beträgt ebenfalls 1. Damit ist die Steigung:

m = 1 _1 = 1. Die Funktionsgleichung lautet also:

y = x + 1.b) Vorgehen wie in Teilaufgabe a); Funktionsgleichung: y = 3 x + 1.c) Vorgehen wie in Teilaufgabe a); Funktionsgleichung: y = 2 x + 2.d) Vorgehen wie in Teilaufgabe a); Funktionsgleichung: y = – 8 x + 2.

Seite 81, links

10 a) y = 2 x + 1 b) y = 1 _2 x + 2 c) y = – 2 x + 1

1−1−2−3−4−5 2 3 4 5 6

1

−1

−2

−3

2

3

a)

c)

b)4

y

PP

P

x

O

d) y = 2 x – 2 e) y = 2 x + 1 _2 f) y = – 3 _2 x – 3

1−1−2−3−4 2 3 4 5 6 7

1

−1

−2

−3

−4

−5

2

3

e)

f)

d)

4

5

6

7

8

9y

P

P

P

x

O

11

1−1−2−3−4 2 3 4 5 6 7

1

−1

−2

−3

−4

2

3

P

P

P P

Q

a)b)

c)

d)

Q

Q

Q

4

5

6

7

8

9

10y

x

O

a) y = 2 x – 3 b) y = 3 x + 1

c) y = 1 _2 x – 2 d) y = – x + 4

12 a) und b) Funktionsgleichungen bestimmen:

g: y = 1 _2 x – 1 h: y = – 1 _5 x + 6

Wenn sich die Geraden im Punkt P (10 | 4) schneiden, dann liegt der Punkt P auf beiden Geraden. Ob das der Fall ist, kann mithilfe einer Punktprobe überprüft werden.Punktprobe für g: Punktprobe für h:

4 = 1 _2 · 10 – 1 4 = – 1 _5 · 10 + 6

4 = 5 – 1 4 = – 2 + 64 = 4 4 = 4 Die beiden Geraden schneiden sich also im Punkt P (10 | 4).

13 a) y = 0,78 x – 23Einsetzen von x = 39 in die Gleichung:y = 0,78 · 39 – 23y = 7,42Pia sollte sich für die US-Schuhgröße 7,5 entscheiden.b) y = 0,78 x – 24Einsetzen von x = 44 in die Gleichung:y = 0,78 · 44 – 24y = 10,32Jan sollte die US-Schuhgrößen 10 und 10,5 anprobieren und schauen, welche Größe besser passt.



83

Seite 81, rechts

9 a) g: y = 1 _2 x + 1b) Individuelle Lösungen, zum Beispiel:Gerade durch drei Punkte:

y = 2 x – 1; y = 1 _2 x + 1 _2 ; y = – x + 4

Gerade durch vier Punkte: y = x – 1; y = – x + 5 ; y = – x + 7c) Individuelle Lösung, zum Beispiel:

y = 1 _6 x oder y = 1 _2 x + 5.

10 a) x: Körpergröße in cmy: Normalgewicht in kgy = x – 100b) y = (x – 100) · 0,9• Idealgewicht eines 1,90 m großen Mannes:

Es ist x = 190. y = (190 – 100) · 0,9 = 81 Der Mann müsste mit Idealgewicht 81 kg schwer sein.

• Größe eines 80 kg schweren Menschen mit Idealgewicht: Es ist y = 80. 80 = (x – 100) · 0,9 | : 0,9   89 ≈ x – 100  | + 100 189 ≈ x     x ≈ 189 cm Der Mensch müsste etwa 189 cm = 1,89 m groß sein.

• Größe eines 150 kg schweren Menschen mit Idealgewicht: Es ist y = 150. 150 = (x – 100) · 0,9 | : 0,9  167 ≈ x – 100  | + 100 267 ≈ x     x ≈ 267 cm Der Mensch müsste etwa 267 cm = 2,67 m groß sein.

5 Parallele und senkrechte Geraden Seiten 82, 83

Seite 82

Einstieg

Æ Kosten für eine 20-km-Fahrt mit City-Taxi:2,50 € + 1,70 € · 20 = 36,50 €Kosten für eine 20-km-Fahrt mit Taxi-Sprint:3,50 € + 1,70 € · 20 = 37,50 €

Æ City-Taxi

Strecke in km 5 10 15 20 25

Kosten in € 11,00 19,50 28,00 36,5 45

Taxi-Sprint

Strecke in km 5 10 15 20 25

Kosten in € 12,00 20,50 29,00 37,50 46

Æ

5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Strecke in km

O

Kosten in €

Taxi-Sprint

City-Taxi

1 Diese Geraden verlaufen parallel zueinander: • g1 , g6 und g8 (Steigung m = 3)• g2 , g4 und g7 (Steigung m = – 2)

• g3 und g5 ( Steigung m = 1 _2 ) Seite 83

2 Man liest die Steigungen ab und multipliziert sie miteinander. Wenn das Produkt – 1 ist, ver-laufen die Geraden senkrecht zueinander.a)  1 · 1 ≠ – 1Die beiden Geraden verlaufen nicht senkrecht zueinander.b) – 2 · 2 ≠ -1Die beiden Geraden verlaufen nicht senkrecht zueinander.

c) – 1 _4 · 4 = – 1

Die beiden Geraden verlaufen senkrecht zuein-ander.

d) 1 _2 · ( – 1 _2 ) = – 1

Die beiden Geraden verlaufen senkrecht zuein-ander.

A g 1 parallel zu g 5 (Steigung m = 1 _ 2 )

g 2 parallel zu g 4 (Steigung m = – 4) g 3 parallel zu g 6 (Steigung m = 2 _ 3 )

B a) h: y = – 2 x + 3 b) h: y = – 1 _ 3 x – 4

c) h: y = 4 x – 4 d) h: y = 3 _ 2 x + 3



84

Seite 83, links

3 g1: y = 1 _2 x + 2; g2: y = 1 _2 x; g3: y = 1 _2 x – 2;h1: y = 2 x + 2; h2: y = 2 x; h3: y = 2 x – 2Die Geraden g1 , g2 und g3 haben die gleiche Steigung und sind parallel zueinander. Die Geraden h1 , h2 und h3 haben ebenfalls die gleiche Steigung und sind parallel zueinander.

4 a) Funktionsgleichung von g:

y = 3 _4 x + 1

Beispiele für Funktionsgleichungen von Gera-den, die parallel zu g verlaufen:

y = 3 _4 x + 3; y = 3 _4 x + 4; y = 3 _4 x – 2

(Tipp: Man wählt Geraden, die die gleiche Stei-gung haben, aber unterschiedlichen y-Achsenab-schnitt.)b) Für die Steigung m’ einer Geraden, die senk-recht zu g verläuft, muss gelten:

m’ · 3 _ 4 = – 1. Also m’ = – 4 _ 3

Beispiele für Funktionsgleichungen von Geraden, die senkrecht zu g verlaufen:

y = – 4 _ 3 x + 4; y = – 4 _ 3 x + 1; y = – 4 _ 3 x – 1 _ 3

Seite 83, rechts

3 Die Geraden g2 und g5 verlaufen parallel zuein-

ander, denn beide haben die Steigung m = – 4 _ 3 .

Die Gerade g1 verläuft senkrecht zu g2 bzw. zu g5 , denn für die Steigungen gilt:

3 _ 4 · ( – 4 _ 3 ) = – 1

Die Geraden g3 und g6 verlaufen parallel zuein-

ander, denn beide haben die Steigung m = 2 _ 5 .Die Gerade g4 verläuft senkrecht zu g3 bzw. zu g6, denn für die Steigungen gilt:

– 5 _ 2 – 2 _ 5 = – 1

4 An den Wertetabellen (1) und (4) kann man ablesen: Nimmt der x-Wert um 1 zu, verändert sich der y-Wert um 2. Die Steigung beträgt also m = 2. Die zugehörigen Geraden verlaufen par-allel zueinander.An den Wertetabellen (2) und (3) kann man ablesen: Nimmt der x-Wert um 1 zu, nimmt der y-Wert um 1 ab. Die Steigung beträgt also m = – 1. Die zugehörigen Geraden verlaufen pa-rallel zueinander.

5

1−1 2 3

A

C

B

g1

g2

4 5 6 7 8 9 10

1

−1

2

3

4

5

6

7

8

9

10y

x

O

Berechnung der Steigungen mithilfe von Stei-gungsdreiecken (vgl. Zeichnung):

Gerade g1: m 1 = 4,5

_ 7,5 = 9 _ 15

Gerade g2: m 2 = – 4,5

_ 3 = – 9 _ 6

m 1 · m 2 = 9 _ 15 · ( – 9 _ 6 ) = – 81 _ 90   = – 0,9 ≠ – 1 

Die Geraden stehen nicht senkrecht aufeinan-der, da das Produkt der Steigungen nicht – 1 ist.

6 Geradengleichungen berechnen Seiten 84, 85

Seite 84

Einstieg

Æ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

2

3

4

5y k

h

g

A1

A2

B2

B1C1

C2

x

O

Æ Steigung der Gerade g: m = 2 _ 4 = 0,5

Steigung der Gerade h: m = 2 _ 2 = 1

Steigung der Gerade k: m = 2 _ 1 = 2

Æ g schneidet die y-Achse in y = 0; h schneidet die y-Achse in y = 1; k schneidet die y-Achse in y = 2.



85

1 a) b) c)

Länge der senkrechten Seite

2 4 4

Länge der waagrechten Seite

4 2 8

Steigung m 2 _4 = 1 _2 4 _2 = 2 – 4 _8 = – 1 _2

Seite 85

2 a) m = 6 – 2 _ 5 – 3 = 4 _ 2 = 2 b) m = 3 – 5 _ 5 – 1 = – 2 _ 4 = – 1 _ 2

c) m = 6 – 2 __ 4 – (– 4) = 4 _ 8 = 1 _ 2 d) m = –3 – 6 __ 2 – (– 1) = – 9 _ 3 = – 3

3 a) m = 1 und P (4 | 6) in y = mx + c einsetzen und c berechnen:6 = 1 · 4 + c6 = 4 + c | – 42 = cc = 2Funktionsgleichung: y = x + 2b) m = 3 und P (1 | 6) in y = mx + c einsetzen und c berechnen:6 = 3 · 1 + c6 = 3 + c | – 33 = cc = 3Funktionsgleichung: y = 3 x + 3c) m = – 1 und P (– 6 | 5) in y = mx + c einset-zen und c berechnen: 5 = – 1 · (– 6) + c 5 = 6 + c | – 6– 1 = c c = – 1Funktionsgleichung: y = – x – 1

A a) m = 2; c = – 2

1 2

P1

P2

3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

−1

−2

2

3

4y

x

O

b) m = 1 _ 2 ; c = 1,5

1 2

P1

P2

3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

−1

2

3

4y

x

O

c) m = – 1 _ 2 ; c = – 1

1−1−2−3−4−5 2

P1

P2

3 4 5 6

1

−1

−2

−3

y

x

O

B a) Steigung m berechnen:

m = 5 – 3 _ 6 – 2 = 2 _ 4 = 1 _ 2

y-Achsenabschnitt c berechnen:

5 = 1 _ 2 · 6 + c

5 = 3 + c | – 32 = cc = 2b) Steigung m berechnen:

m = 7 – 3 _ 3 – 1 = 4 _ 2 = 2

y-Achsenabschnitt c berechnen:7 = 2 · 3 + c7 = 6 + c | – 61 = cc = 1c) Steigung m berechnen:

m = – 3 – 4 __ 2 – (– 5) = – 7 _ 7 = – 1

y-Achsenabschnitt c berechnen:– 3 = 2 · (– 1) + c– 3 = – 2 + c | + 2 – 1 = c c = – 1



86

1−1−2−3−4−5 2 3 4 5 6

1

−1

−2

−3

−4

2

3

4

5

6

7

8y

a) y = x + 2

x

O

1_2

b) y = 2x + 1

c) y = −x − 1

Seite 85, links

4 a) y-Achsenabschnitt c berechnen:7 = 3 · 2 + c7 = 6 + c | – 61 = cc = 1Funktionsgleichung: y = 3 x + 1b) y-Achsenabschnitt c berechnen: 6 = – 2 · (– 4) + c 6 = 8 + c | – 8– 2 = c c = – 2Funktionsgleichung: y = – 2 x – 2.

5 a) Steigung m berechnen:

m = 6 – 2 _ 5 – 3 = 4 _ 2 = 2

y-Achsenabschnitt c berechnen: 2 = 2 · 3 + c 2 = 6 + c | – 6– 4 = c c = – 4Funktionsgleichung: y = 2 x – 4b) Steigung m berechnen:

m = 4 – 1 __ 4 – (– 2) = 3 _ 6 = 1 _ 2


4 = 1 _2 · 4 + c

4 = 2 + c | – 22 = cc = 2

Funktionsgleichung: y = 1 _ 2 x + 2

c) Steigung m berechnen:

m = 7 – (–5)

__ – 2 – 4 = 12 _ – 6 = – 2y-Achsenabschnitt c berechnen:– 5 = – 2 · 4 + c– 5 = – 8 + c | + 8 3 = c c = 3Funktionsgleichung: y = – 2 x + 3d) Steigung m berechnen:

m = – 4 – 0 __ 2 – (–6) = – 4 _ 8 = – 1 _ 2


0 = – 1 _2 · (– 6) + c

0 = 3 + c | – 3– 3 = c c = – 3

Funktionsgleichung: y = – 1 _ 2 x – 3

6 a) Aus der 1. und der 3. Spalte der Wertetabelle erhält man die Punkte (– 2 | – 5) und (3 | 5).Steigung m berechnen:

m = 5 – (– 5)

__ 3 – (– 2) = 10 _ 5 = 2

y-Achsenabschnitt c berechnen: 5 = 2 · 3 + c 5 = 6 + c | – 6– 1 = c c = – 1Funktionsgleichung: y = 2 x – 1b)

x – 2 – 1 3 5 7 9 20

y – 5 – 3 5 9 13 17 39

7 a) y-Achsenabschnitt c berechnen:9 = 2 · 4 + c9 = 8 + c | – 81 = cc = 1Funktionsgleichung: y = 2 x + 1x = 2 einsetzen:y = 2 · 2 + 1y = 5Damit ist Q (2 | 5). b) y-Achsenabschnitt c berechnen: – 2 = 1,5 · 1 + c – 2 = 1,5 + c | – 1,5– 3,5 = c c = – 3,5Funktionsgleichung: y = 1,5 x – 3,5x = 5 einsetzen:y = 1,5 · 5 – 3,5y = 4Damit ist Q (5 | 4).



87

Seite 85, rechts


m = – 5 – 3 __ 3 – (– 5) = – 8 _ 8 = – 1

y-Achsenabschnitt c berechnen: 3 = – 1 · ( 5) + c 3 = 5 + c | – 5– 2 = c c = – 2Funktionsgleichung: y = – x – 2b)

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5

1

P

Sx

−1

−2

−3

−4

−5

2

3

4y

x

O

Schnittpunkt mit der x-Achse: Sx (– 2 | 0).Überprüfen mit der Punktprobe:0 = – (– 2) – 20 = 0

5 a) Das Abbrennen der Kerze kann man mit ei-ner Funktion beschreiben. x: Zeit in Minuten;y: Höhe der Kerze in cm Gegeben sind die Punkte P1 (30 | 18) und P2 (70 | 14). Gesucht ist die Länge der Kerze vor dem Abbrennen, also der y-Achsenabschnitt c. Eine Skizze kann helfen, die Funktion zu erken-nen:

x (Zeit in min)

y (Höhe in cm)

P1(30|18)

P2(70|14)

Steigung m berechnen:

m = 14 – 18 __ 70 – 30 = – 4 _ 40 = – 1 _ 10


Man setzt m = 1 _ 10 und P1 (30 | 18) in y = mx + c

ein.

18 = – 1 _ 10 · 30 + c

18 = – 3 + c | + 321 = c c = 21Funktionsgleichung aufstellen:

y = – 1 _ 10 x + 21.

Vor dem Anzünden war die Kerze 21 cm lang.b) Zunächst muss man den Zeitpunkt x bestim-men, an dem die Kerze abgebrannt ist und die Höhe der Kerze y = 0 beträgt. y = 0 in die Funktionsgleichung einsetzen und nach x auflösen:

0 = – 1 _ 10 x + 21 | + 1 _ 10 x

1 _ 10 x = 21 | · 10 x = 210x = 210 bedeutet, dass die Kerze eine Brenn-dauer von insgesamt 210 min hat. 210 min – 70 min = 140 min = 2 h 20 minNach dem Zeitpunkt der zweiten Messung kann die Kerze noch 2 h 20 min brennen.

7 Modellieren Seiten 86, 87

Seite 86

Einstieg

Æ Kosten bei Seatours:(35,00 € + 25,00 €) · 25 + 550,00 € = 2050,00 €Kosten bei Holiday-Trips:65,00 € · 25 = 1625 €

Æ x: Anzahl der Schüler;y: Kosten in €• Seatours: y = (35 + 25) · x + 550 bzw.

y = 60 · x + 550• Holiday-Trips: y = 65 · x

Æ Individuelle Lösungen

1 Vergleichen der Kosten für die vergangenen Mo-nate bei beiden Angeboten:

Monat Mai Juni Juli

Angebot A 8,99 € 8,99 € 8,99 €

Angebot B 7,80 € 9,75 € 13,00 €

Das Angebot B wäre nur im Monat Mai günsti-ger gewesen. Es ist hilfreich, die anfallenden Kosten bei Angebot B als lineare Funktionen zu beschrei-ben und in einer Wertetabelle darzustellen.x: Anzahl GBy: monatliche Kosten in €Funktionsgleichung für Angebot B: y = 6,5 x



88

x 1,2 1,3 1,4 1,5

y 7,80 8,45 9,10 9,75

Man erkennt, dass Angebot A (8,99 €) bereits bei einem Verbrauch von 1,4 GB günstiger ist als Angebot B (9,10 €). Da Lauras Verbrauch im Juni leicht und im Juli deutlich über 1,4 GB lag, ist das Pauschalangebot A wahrscheinlich günstiger.

Seite 87

2 Gesamtzahl der Übungs-, Überland-, Autobahn- und Nachtfahrten:15 + 6 + 5 + 4 = 25 Kosten bei Fahrschule Classico:25 · 38,00 € + 200,00 + 50,00 € + 90,00 = 1290,00 €Kosten bei Führerschein-Flat: 1500 €Braucht Antonio tatsächlich ca. 25 Fahrten, dann sollte er sich für das Angebot der Fahrschule Classico entscheiden. Möchte man es genauer wissen, hilft es, die Kosten bei der Fahrschule Classico als lineare Funktion darzustellen.x: Anzahl Fahrten y: Kosten in €Funktionsgleichung Fahrschule Classico:y = 38 x + 200 + 50 + 90y = 38 x + 340Wenn man für y = 1500 einsetzt, kann man be-rechnen, ab wie vielen Fahrten die Führerschein-Flat günstiger ist.1500 = 38 x + 340 | – 340 1160 = 38 x 30,5 ≈ x      x ≈ 30,5Die Führerschein-Flat loht sich erst ab 31 Fahr-ten.

A Anzahl der Trainerstunden: x Funktionsgleichung für die Gesamtkosten auf-stellen:Tennis Pro: y = (30 + 20) · x oder y = 50 xGO-Tennis:y = 25 x + 260Kosten für 10 Stunden:y = 50 · 10 = 500y = 25 · 10 + 260 = 510Das Angebot von Tennis Pro (500 €) ist etwas günstiger als das Angebot von Go-Tennis (510 €). Boris sollte sich dennoch überlegen, das Angebot von GO-Tennis anzunehmen:Wenn er mehr als 10 Stunden Unterricht nimmt, ist GO-Tennis günstiger und der Tennisplatz steht ihm für die ganze Saison zur Verfügung.

Seite 87, links

3 a) Kosten beim Kühlgerät der Familie Ziegler in 10 Jahren:600 · 10 · 0,24 € = 1440,00 €Kosten beim Kühlgerät der Energieklasse A+++ in 10 Jahren:118 · 10 · 0,24 € = 283,20 €Die Differenz beträgt:1440,00 € – 283,20 € = 1156,80 €.Vorausgesetzt, dass die Stromkosten gleich blei-ben, würde Familie Ziegler mit dem neuen Kühl-gerät in 10 Jahren 1156,80 € sparen.b) 1156,80 € – 880,00 € = 276,80 €880,00 € + 283,20 € = 1163,20 €.Trotz der hohen Anschaffungskosten würde die Familie innerhalb von 10 Jahren 276,80 € sparen. Wenn die Familie die Kaufsumme zur Verfügung hat, sollte sie das neue Kühlgerät kaufen.

4 Anzahl der Besuche im Jahr:2 · 52 = 104Kosten bei der Verwendung von Tageskarten:60,00 € + 104 · 6,00 € = 684,00 €Kosten bei der Verwendung von 10 er-Karten:Bei 104 Besuchen werden elf 10er-Karten benö-tigt.60,00 € + 11 · 55,00 € = 665,00 €Kosten bei einer Jahreskarte:60,00 € + 499,00 € = 559,00 €Wenn Herr Kraft tatsächlich zweimal pro Woche ins Fitness-Studio, dann sollte er eine Jahres-karte kaufen. Geht man davon aus, dass Herr Kraft ein paar Mal verhindert ist (Urlaub, Krank-heit, …), könnte der Erwerb von 10 er-Karten günstiger sein.Kosten für neun 10 er-Karten:9 · 55,00 € + 60,00 € = 555,00 €

Seite 87, rechts

3 Kostenvergleich für das vergangene Jahr bei bei-den Anbietern:• Stadtwerke:

0,0528 € · 37 954 + 110,00 € = 2113,97 €• ProfiGAS:

0,0512 € · 37 954 + 169,00 € = 2112,24 €Bei einem Verbrauch wie im letzten Jahr wären die Kosten bei beiden Anbietern ungefähr gleich hoch. Da es sich aber um einen kalten Winter handelte, kann man für die Zukunft mit einem geringeren Verbrauch rechnen. In diesem Fall sind die Stadtwerke günstiger:



89

Da sie einen geringeren Grundpreis, dafür aber einen höheren Verbrauchspreis haben, sind sie günstiger als ProfiGAS, wenn der Verbrauch klei-ner ist. Familie Binder sollte sich daher für die Stadtwerke entscheiden.

4 a) Kosten beim bisherigen Anbieter:0,251 € · 4200 + 75,00 € = 1129,20 €Kosten beim neuen Anbieter ohne Prämie:0,244 € · 4200 + 160,00 € = 1184,80 €Kosten beim neuen Anbieter mit Prämie:1184,80 € – 200,00 € = 984,80 €Der neue Anbieter ist aufgrund der Wechselprä-mie günstiger. Der Wechsel macht sich jedoch nur im ersten Jahr bezahlt. Im zweiten Jahr würde Familie Mai bei gleichem Verbrauch mehr bezahlen als beim alten Anbieter.b) Individuelle Lösungen, zum Beispiel:Stromanbieter locken mit Prämien, um neue Kunden zu gewinnen. Für Familie Mai würde sich der Wechsel ohne die Prämie nicht lohnen. Im zweiten Jahr würde sie (bei gleichem Ver-brauch) beim neuen Anbieter mehr bezahlen als beim alten Anbieter.

7 Modellieren Seite 88

Seite 88, links

5 a) Jährliche Kosten bei Windstark:0,21 € · 3000 + 185,00 € = 815,00 €Jährliche Kosten bei Solar Power:0,25 € · 3000 + 80,00 € = 830 €Die jährlichen Kosten bei Windstark betragen 815,00 €, bei Solar Power 830,00 €.b) x: Stromverbrauch in kWhy: jährliche Kosten in €Windstark: y = 0,21 x + 185

x 0 500 1000 1500

y 185 290 395 500

x 2000 2500 3000 1500

y 605 710 815 920

Solar Power: y = 0,25 x + 80

x 0 500 1000 1500

y 80 205 330 455

x 2000 2500 3000 1500

y 580 705 830 955

c) Bis zu einem Verbrauch von etwa 2500 kWh ist Solar Power günstiger. Ab einem Verbrauch von 3000 kWh ist Windstark günstiger.

6 a) x: Anzahl der Filme;y: Kosten in €Funktionsgleichungen:• Max-Movie: y = 15,90 + 1,99 · x • Movie-Stream: y = 5,99 + 2,99 · xMax-Movie

x 0 2 4 6

y 15,90 19,88 23,86 27,84

x 8 10 12 14

y 31,82 35,80 39,78 43,76

Movie-Stream

x 0 2 4 6

y 5,99 11,97 17,95 23,93

x 8 10 12 14

y 29,91 35,89 41,87 47,85

Bei 10 Filmen sind beide Angebote etwa gleich teuer. Schaut man weniger als 10 Filme im Monat, dann ist Movie-Stream günstiger; Nesli sollte sich daher für Movie-Stream entscheiden. Lian, der sehr oft Filme schaut, sollte sich für Max-Movie entscheiden.b) Die Flatrate von 39,90 € ist für Lian auf jeden Fall sinnvoll. Denn zu diesem Preis kann er bei Max-Movie höchstens 12 Filme im Monat an-schauen.Nesli schaut nur ab und zu einen Film, also vermutlich weniger als 10 Filme im Monat. Sie sollte daher beim ihrem Anbieter Movie-Stream bleiben.

Seite 88, rechts

5 a) Frau Arslan fährt die Strecke einmal im Mo-nat hin und zurück, also 2 Fahrten im Monat; das sind insgesamt 24 Fahrten im Jahr.• Jährliche Kosten zum regulären Preis:

24 · 99 € = 2376 €• Jährliche Kosten mit BahnCard 25:

Der Fahrpreis wird um 25 % reduziert, man

spart also 1 _4 des Fahrpreises:

2376 € : 4 = 594 € Kosten für Fahrkarten und BahnCard 25: 2376 € – 594 € + 62 € = 1844 €

• Jährliche Kosten mit BahnCard 50: Man bezahlt die Hälfte des Fahrpreises. Kosten für Fahrkarten und BahnCard 50: 2376 € : 2 + 255 € = 1443 €

Frau Arslan sollte sich für die BahnCard 50 ent-scheiden.



90

b) Frau Köhler fährt die Strecke Berlin-München 6-mal im Jahr, das sind 12 Fahrten.• Jährliche Kosten zum regulären Preis:

12 · 145 € = 1740 €• Jährliche Kosten mit BahnCard 25:

Ersparnis: 1740 € : 4 = 435 € Kosten für Fahrkarten und BahnCard 25: 1740 € – 435 € + 62 € = 1367 €

• Jährliche Kosten mit BahnCard 50: 1740 € : 2 + 255 € = 1125 €

Für Frau Köhler lohnt es sich, eine BahnCard 50 zu kaufen.c) Herr Wagner fährt die Strecke Stuttgart-Han-nover 52-mal im Jahr, das sind 104 Fahrten.• Jährliche Kosten zum regulären Preis:

104 · 127 € = 13 208 €• Jährliche Kosten mit BahnCard 50:

13 208 € : 2 + 255 € = 6859 €• Jährliche Kosten mit BahnCard 100: 4190 €

Für Herrn Wagner lohnt es sich, die BahnCard 100 zu erwerben.

6 a) Frau Adinolfi stand 45 min = 3 _4 h im Stau, hat

daher 3 _4 des Stundenpreises für Wartezeit be-

zahlt. Dieser betrug:

3 _4 · 30 € = 22,50 €

Da die Strecke bei der Rückfahrt genauso lang wie bei der Hinfahrt ist, gilt:Preis für die Rückfahrt ohne Wartezeit = Preis für die Hinfahrt – Preis für Wartezeit120,50 € – 22,50 € = 98 €.Die Rückfahrt ohne Wartezeiten kostet 98 €.b) Kosten für 40 km ohne Wartezeit:1,90 € · 40 + 3 € = 79 €Kosten Wartezeit: 99 € – 79 € = 20 €

Er hat 2 _ 3 des Stundenpreises gezahlt, stand

also 2 _ 3 h = 40 min im Stau.

c) x: Strecke in kmt: Wartezeit in hy: Fahrtkosten in €y = 1,9 · x + 30 · t + 3Die Kosten hängen nicht nur von der Länge der Strecke ab, sondern auch von der Wartezeit. Es gibt also zwei unabhängige Variablen.

EXTRA: Erneuerbare Energien Seite 89

Seite 89

1 a) Kosten bei GreenEnergie im Jahr:0,268 € · 3500 + 12 · 7,49 € = 1027,88 €Kosten bei Sol-Power im Jahr:0,272 € · 3500 + 12 · 7,08 € = 1036,96 €Kosten bei Sun-Flex im Jahr:0,254 € · 3500 + 110,00 € = 999,00 €Kosten bei StarkWind im Jahr:0,250 € · 3500 + 140,00 € = 1015,00 €Das Angebot von Sun-Flex ist am günstigsten. Wenn es keine anderen Faktoren gibt, die man berücksichtigen müsste, dann sollte sich die Fa-milie für das Angebot von Sun-Flex entscheiden.b) Der y-Achsenabschnitt stellt die jährliche Grundgebühr dar. Er ist etwas größer als 100; es könnte sich also um den Tarif Sun-Flex handeln (bei den anderen beträgt die Grundgebühr ent-weder weniger als 100 € oder 140 €).Die Vermutung kann man überprüfen, in-dem man die Kosten für einen Verbrauch von 4000 kWh bei Sun-Flex berechnet:0,254 € · 4000 + 110,00 € = 1126,00 €Das Schaubild geht durch den Punkt (4000 | 1126). Also hat die Familie Winter den Anbieter Sun-Flex gewählt.c)

1000 2000 3000 4000 5000

200

400

600

800

1000

Sun-Flex

StarkWind

GreenEnergie und Sol-Power

1200

Verbrauch in kW/h

Kosten in €

O

Die Geraden verlaufen ziemlich ähnlich. Es ist nicht einfach, sie sauber zu zeichnen. Dies gilt besonders für die Geraden der Tarife GreenEner-gie und Sol-Power.

2 a) Die Anlage produziert etwa 12 · 700 = 8400 kWh im Jahr. Bei einem Preis von 0,123 € pro kWh erhält die Familie:8400 · 0,123 € = 1033,20 € im Jahr.Aufstellen einer passenden Funktionsgleichung für den Ertrag der Investition:x: Zeit in Jahreny: Stand der Investition (Einnahmen bzw. Kos-ten) in € im Jahry = – 14 500 + 1033,2 · x



91

Die Anschaffung hat sich rentiert, wenn die Summe der Einnahmen durch den Stromverkauf die Anschaffungskosten von 14 500 € überschrit-ten haben.

Anzahl der Jahre Investition in €

0 – 14 500,00

1 – 13 466,80

2 – 12 433,60

3 – 11 400,40

4 – 10 367,20

5 – 9334,00

6 – 8300,80

7 – 7267,60

8 – 6234,40

9 – 5201,20

10 – 4168,00

11 – 3134,80

12 – 2101,60

13 – 1068,40

14 – 35,20

15 + 998,00

16 + 2031,20

17 + 3064,40

18 + 4097,60

19 + 5130,80

20 + 6164,00

Im 14. Jahr verdient Familie Wirth erstmals Geld mit der Photovoltaik-Anlage. Nach 20 Jahren wird sie voraussichtlich insgesamt ca. 6000 € mit der Anlage verdient haben.c) Individuelle Lösungen, zum Beispiel:Der Zeitraum ist lang und die Verdienstmöglich-keiten der Familie sind von Faktoren abhängig, auf die sie wenig Einfluss hat. Der zugesicherte Preis kann sich verändern oder es könnten in der Zukunft Steuern erhoben werden oder andere Änderungen kommen, die den Gewinn schmälern. Außerdem ist mit Kosten für War-tung und Reparaturen zu rechnen.

3 a) Aus 60 Hektar Mais können60 · 10 000 = 600 000 m3 Biogas gewonnen werden. Aus 1 m3 Biogas entstehen 2 kWh Energie, daher gilt:600 000 · 2 kWh = 1 200 000 kWh 1 200 000 · 0,17 € = 204 000 €Aus 60 Hektar Mais nimmt Bauer Grün 204 000 € im Jahr ein. Und nach 20 Jahren:20 · 204 000 € = 4 080 000 €Bei gleichbleibenden Bedingungen wird also Bauer Grün nach 20 Jahren mit der Biogasanla-ge 4,08 Mio. € erwirtschaften.

b) Individuelle Lösungen

Basistraining Seite 91

Seite 91

1 a) Ebbe um 9:30 Uhr und um 22:00 Uhr;Flut um 4:00 Uhr und um 16:00 Uhr.b) Das Wasser stieg zwischen 9:30 und 16:00 Uhr und zwischen 22:00 und 04:00 Uhr.

2 a)

Monat Jan. Feb. März Apr. Mai Juni

Sonnen-stunden

70 90 140 220 180 200

Monat Juli Aug. Sep. Okt. Nov. Dez.

Sonnen-stunden

240 280 130 90 70 60

Jan. Feb. Mär. Apr. Mai Juni Juli Aug. Sep. Okt. Nov. Dez.

40

0

80

120

160

200

240

280

Sonnenstunden in Stuttgart 2015 Zeit in Stunden

b) Mehr als 200 Sonnenstunden hatten die Monate April, Juli und August.Weniger als 100 Sonnenstunden hatten die Monate Januar, Februar, Oktober, November und Dezember.

3 a)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10

20

30

40

50

60

70Wasserhöhe in cm

Zeit in h

O

4 a) y = – 3 x + 2 b) y = 2 x – 3



92

5 a) y = 2,5 x + 5b) y = 375 xc) y = 200 – 2 x

6 a) Das Wasser steigt zunächst gleichmäßig lang-sam an. Sobald der untere Teil des Gefäßes voll ist, fängt das Wasser an, sehr schnell anzustei-gen.Dazu passt Schaubild (3).b) Das Wasser steigt gleichmäßig schnell an. Dazu passt Schaubild (1).b) Das Wasser steigt gleichmäßig langsam an. Dazu passt Schaubild (2).

7 a)

A (1 | 4) B (2 | 6) C (– 1 | 9)

a) y = 4 x ja nein nein

b) y = 2 x + 2 ja ja nein

c) y = – x + 8 nein ja ja

Beispiellösung für b) und den Punkt B (2 | 6):y = 2 x + 2; B (2 | 6) einsetzen.6 = 2 · 2 + 26 = 6

8 a) y = x + 3

x 1 2 5 7 12

y 4 5 8 10 15

b) y = 12 – 2 x

x – 2 0 1 5 20

y 16 12 10 2 28

c) y = – 1 _ 2 x – 1 _ 2

x 0 1 3 6 10

y – 0,5 – 1 – 2 – 3,5 – 5,5

Basistraining Seite 92

Seite 92

9 Zusammen gehören:• y = 20 x

• x 0 1 2 3 4 5

y 0 20 40 60 80 100

• „In 3 min fließen 60 l Wasser in den Tank.“• Schaubild (2)Ebenfalls zusammen gehören:• y = 2,5 x + 3

• x 2 4 6 8

y 8 13 18 23

• „Die Taxifahrt kostet pro Kilometer 2,50 €. Für die Anfahrt bezahlt man 3 €.“

• Schaubild (1)

10 Die Gerade g1 wurde mit der Steigung m = – 2 statt m = 2 gezeichnet.Die Gerade g2 wurde mit dem falschen y-Ach-senabschnitt gezeichnet (c = – 1 statt c = 2).Bei der Geraden g3 wurden Steigung und y-Ach-senabschnitt verwechselt. Bei der Geraden g4 wurden ebenfalls Steigung und y-Achsenabschnitt verwechselt. Richtige Schaubilder:

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5

1

−1

−2

2

g2

g3g1

g43

y

x

O

11

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5

1

−1

−2

2

a)b)

d)c) 3

y

x

O

12

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5

1

−1

−2

−3

−4

2a)

b)

d) c)3

y

x

O



93

13 a) y = 3 x – 1 b) y = x + 2

c) y = – 2 x – 1,5 d) y = – 1 _ 2 x + 3

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5

1

−1

−2

2

a)

b)

d)

c)3

4

y

x

O

14 a) Die Geraden A und B liegen parallel zueinan-der. Die Geraden C und D verlaufen senkrecht zueinander.

15 Kosten bei Angebot 1: 99,00 €Kosten bei Angebot 2:0,10 € · 200 + 69,00 € = 89,00 €Das Angebot 2 ist günstiger.

Anwenden. Nachdenken Seite 93

Seite 93

16 a) Der Verbrauch ist nach dem Beginn des Spiels um 1000 ø pro Sekunde auf etwa 3000 ø/s gefallen. Zur Halbzeit ist der Verbrauch sprung-haft auf 6000 ø/s gestiegen und nach Beginn der 2. Halbzeit wieder auf ca. 3000 ø/s gefallen. In der Pause vor der Verlängerung ist er erneut sprunghaft auf fast 6000 ø/s gestiegen, dann wieder gefallen, beim Seitenwechsel in der Ver-längerung erneut sprunghaft gestiegen und wie-der gefallen. Nach Spielende ist der Verbrauch wieder in etwa auf Ausgangsniveau. b) Während der Spielpausen und insbesondere während der Halbzeitpause wurde am meisten Wasser verbraucht.Sehr viele Menschen haben wohl die Spielpau-sen genutzt, um auf die Toilette zu gehen, wes-halb der Wasserverbrauch sprunghaft anstieg.

17 a) Mögliche Lösung: Familie Maler fährt zunächst 2 h am Stück. An-schließend macht sie eine halbstündige Pause. Anschließend geht es etwas langsamer weiter (Gerade verläuft flacher als zu Beginn). Nach weiteren 3 h macht die Familie wieder 1 _

2 h Pau-se. Danach sind noch 2 h zu fahren. Die Familie fährt wieder schneller (die Gerade verläuft so steil wie zu Beginn). Nach insgesamt 8 Stunden haben sie um 14:00 Uhr ihr Ziel erreicht.

b) Innerhalb von 2 h legt die Familie 200 km zurück. Das entspricht einer Durchschnittsge-schwindigkeit von 100 km/h.

18 a)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

−1

−2

2

3

4

5

6

7y

x

O

Es liegt eine lineare Funktion vor. y = 3 _ 2 x – 2b)

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5

1

−1

−2

−3

−4

−5

2

3

4

5

6

7

8y

x

O

Es liegt eine proportionale Funktion vor. y = – 2,5 x



94

c)

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5

1

−1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12y

x

O

Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden. Es liegt weder eine proportionale noch eine lineare Funktion vor.

19 g1: y = 3 _ 2 x – 1 g2: y = 2 _ 3 x + 1,5

g3: y = 3 _ 5 x + 3 g4: y = – 3 _ 4 x + 2

g5: y = – 5 _ 4 x – 1,5

20 a) Burj Khalifa:

v = 638 _ 64   ≈ 9,97 m/s

Shanghai Tower:

v = 561 _ 56   ≈ 10,02 m/s

One World Trade Center:

v = 400 _ 36   ≈ 11,11 m/s

Taipei:

v = 392 _ 23   ≈ 17,04 m/s

b) Der Aufzug im Taipei-Tower ist am schnells-ten.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

100

200

300

400Höhe in m

(23|392)

Zeit in s

O

21 Die Gleichung einer proportionalen Funktion hat die allgemeine Form y = m · x. Die Steigung m berechnet man mithilfe der Koordinaten des Punktes S.

a) m = 3 _ 1 = 3 b) m = 7,5

_ 5 = 1,5y = 3 x y = 1,5 xT (4 | 12) T (3 | 4,5)

c) m = – 2 _ 4 = – 1 _ 2 d) m = 0,5

_ 2 = 1 _ 4

y = – 1 _ 2 x y = 1 _ 4 x

T (– 1 | 0,5) T (– 8 | – 2).

Anwenden. Nachdenken Seiten 94, 95

Seite 94

22 Eine Ursprungsgerade ist immer eine proportio-nale Funktion. Die Gleichung einer proportiona-len Funktion hat die allgemeine Form y = m · x. Für die x- und y-Koordinaten der gegebenen

Punkte P und Q muss gelten: y Q

_ x Q = y P

_ x P = m

a) Es gilt: y P

_ x P = 2 _ 1 = 2 und y Q

_ x Q = 6 _ 3 = 2

Die Gerade durch P und Q ist also eine Ursprungs gerade.

b) Es gilt: y P

_ x P = 2 _ 4 = 1 _ 2 und y Q

_ x Q = – 1 _ – 2 = 1 _ 2

Die Gerade durch P und Q ist also eine Ur-sprungsgerade.

c) Es gilt: y P

_ x P = 4 _ 2 = 2 und y Q

_ x Q = 8 _ 6 = 4 _ 3

Die Gerade durch P und Q ist also keine Ursprungsgerade.

d) Es gilt: y P

_ x P = 10 _ – 5 = – 2 und y Q

_ x Q = – 5 _ – 2,5 = 2

Die Gerade durch P und Q ist also keine Ur-sprungsgerade.

23 a) Zuerst berechnet man, wie viel Liter pro Mi-nute in den Tank fließen:

2900 – 1500 __ 12 – 5 = 1400 _ 7 = 200

Es müssen noch 4500 ø – 2900 ø = 1600 ø getankt

werden. Benötigte Zeit: 1600 _200 = 8

Es dauert noch 8 min bis der Tank voll ist.b) Der Tankvorgang dauert insgesamt 12 min + 8 min = 20 min. In dieser Zeit fließen 20 · 200 ø = 4000 ø zu. Zu Beginn des Auffüllens waren also 4500 ø – 4000 ø = 500 ø im Tank.c) Der Tankvorgang lässt sich mit einer linearen Funktion beschreiben.x: Zeit in Minuteny: Wassersvolumen in øDie Steigung m gibt an, wie viel Liter Was-ser pro Minute in den Tank fließen: m = 200 ( vgl. Teilaufgabe a) ) y = 200 x + 500



95

24 • Parallel zueinander verlaufen B und D bzw. F und G.

• Senkrecht zueinander verlaufen B und H; D und H; F und C bzw. G und C.

• Geraden, die nicht parallel verlaufen, gehen durch einen gemeinsamen Punkt; zum Bei-spiel A und B, A und C, A und D.

25 a) g ist eine Ursprungsgerade.

m = 4 _ – 2 = – 2

Funktionsgleichung von g: y = – 2 xb) Da h senkrecht auf g steht, gilt für ihre Stei-gung m:

m · (– 2) = – 1, also m = 1 _2 .

Einsetzen von m = 1 _2 und Q (7 | 6) in die

Gleichung y = m x + c:

6 = 1 _2 · 7 + c

6 = 3,5 + c | – 3,52,5 = c c = 2,5

Funktionsgleichung von h: y = 1 _ 2 x + 2,5

26 a) Schaubild (3) beschreibt den Vorgang.Zu Beginn steigt das Wasser schnell an, da die Fläche klein ist, danach etwas langsamer, da die Fläche größer wird. Im dritten Abschnitt wird die Fläche noch größer, weshalb das Wasser noch langsamer ansteigt.

27 Zuerst muss man die Funktionsgleichungen von g und h bestimmen.

g: y = 1 _ 2 x + 1,5 h: y = 2 x + 3

Um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestim-men, setzt man für y = 0 ein.Gerade g:

0 = 1 _ 2 x + 1,5 | – 1,5

– 1,5 = 1 _ 2 x | : 1 _ 2

– 3 = x x = – 3Gerade h: 0 = 2 x + 3 | – 3 – 3 = 2 x | : 2– 1,5 = x x = – 1,5Die Gerade g schneidet die x-Achse im Punkt (– 3 | 0), die Gerade h im Punkt (– 1,5 | 0).


m = – 2 – 3 __ 3 – (– 2) = – 5 _ 5 = – 1

y-Achsenabschnitt c berechnen:– 2 = 3 · (– 1) + c– 2 = – 3 + c | + 3 1 = c c = 1Funktionsgleichung von g: y = – x + 1b) Die Gerade h hat ebenfalls die Steigung m = – 1, da sie parallel zu g verläuft.m = – 1 und P (– 3 | – 1) in y = m x + c einsetzen und c berechnen: – 1 = – (– 3) + c – 1 = 3 + c | – 3– 4 = c c = – 4Funktionsgleichung von h: y = – x – 4c) Da i senkrecht zu g verläuft, hat sie die Stei-gung m = 1, denn 1 · (– 1) = – 1.Da i durch (0 | 0) verläuft, lautet die Funktions-gleichung: y = x.

29 a) Alle Geraden gehen durch den Punkt (1 | 0).Zudem haben die Geraden (1) und (6), (2) und (5) sowie (3) und (4) jeweils die gleiche Stei-gung, allerdings mit entgegengesetztem Vorzei-chen.

1−1−2−3−4−5−6 2 3 4 5

1

−1

−2

−3

2(4)

(6)(3)

(2)(1)(5)

3y

x

O

b) Individuelle Lösungen, zum Beispiel:y = 5 x – 5 y = – 5 x + 5y = 10 x – 10 y = – 10 x + 10

Seite 95

30 a)

x (°C) 0 20 30 40

y (°F) 32 68 86 104



96

b)

10−10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10

20

30

40

50

60

70

80

y = 1,8x + 32

90

100y

x

O

Die zugehörige Gerade ist keine Ursprungsgera-de, denn 0 °C entsprechen 32 °F; die Gerade geht daher durch den Punkt (0 | 32).c) y = 1,8 · x + 32 | – 32y – 32 = 1,8 · x | : 1,8

y – 32

_ 1,8 = x

x = y – 32

_1,8

y (°F) 0 50 100

x (°C) – 17,8 10 37,8

31 Mögliche Lösung: Die Reise von Calgary nach Vancouver über Jasper und Clearwater ist auf der Karte im Buch ungefähr 13 cm lang, das ent-spricht 1300 km. Kosten bei Kanastar:129,00 € · 7 = 903,00 €Kosten bei Camper:229,00 € + 1300 · 0,49 € = 866,00 €Kosten bei Mobil Travel:780,00 € + (1300 – 1000) · 0,39 € = 897,00 €Das Angebot von Camper ist für die Familie am günstigsten.

32 a) Kosten bei FotoFIX:26,99 € + (40 – 20) · 0,99 € = 46,79 €.Kosten bei SnapPlus:36,99 € + (40 – 28) · 0,89 € = 47,67 €.Kosten bei DIA-ON:49,99 € + (40 – 36) · 0,59 € = 52,35 €Das Angebot von DIA-ON ist am teuersten. Die zwei anderen Angebote unterscheiden sich um nur 0,88 €, das Angebot von FotoFIX ist am günstigsten.

b) Kosten bei FotoFIX:26,99 € + (50 – 20) · 0,99 € = 56,69 €.Kosten bei SnapPlus:36,99 € + (50 – 28) · 0,89 € = 56,57 €.Kosten bei DIA-ON:49,99 € + (50 – 36) · 0,59 € = 58,25 €Die Unterschiede zwischen den Angeboten sind klein, das Angebot von DIA-ON ist bei 50 Seiten etwas teurer, die beiden anderen sind nahezu gleich teuer, das Angebot von SnapPlus ist hier am günstigsten.c) Kosten bei FotoFIX:26,99 € + (60 – 20) · 0,99 € = 66,59 €.Kosten bei SnapPlus:36,99 € + (60 – 28) · 0,89 € = 65,47 €.Kosten bei DIA-ON:49,99 € + (60 – 36) · 0,59 € = 64,15 €Bei 60 Seiten ist das Angebot von DIA-ON am günstigsten.

33 a) Entstandene Kosten

Pauschale 19,99 €

Anrufe CH nach D 35 · 0,06 € = 2,10 €

SMS CH nach D 42 · 0,24 € = 10,08 €

Anrufe USA nach D 85 · 1,59 € = 135,15 €

SMS USA nach D 13 · 0,49 € = 6,37 €

Gesamt 173,69 €

Es sind Kosten von insgesamt 173,69 € entstan-den.b) 50,83 € : 2,99 € = 17Frau Miller hat 17 Minuten lang telefoniert.c) Mit der Flatrate bezahlt Frau Miller 12 · 59,90 € = 718,80 € im Jahr.Bei ihrer jetzigen Pauschale FLAT 20 zahlt sie auf jeden Fall 12 · 19,99 € = 239,88 € im Jahr.Die Differenz beträgt 478,92 €. Im Monat Juni betrugen die Auslandskosten 153,70 €. Frau Mil-ler müsste an mehr als drei Monaten Auslands-kosten wie im Juni haben, damit sich für sie ein Wechsel lohnt.d) Individuelle Lösungen


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3 Lineare Funktionen 1 Funktionen Seiten 66, 67 · 3 Lineare FunktionenSchülerbuchseite – 70 3 Lineare Funktionen Auftakt Seiten 64, 65 Seite 64 A Mountainbike-Tour Schwäbische