Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -1- Springer-Verlag,

W. Küchlin, A. Weber: Einführung in die Informatik – objektorientiert mit Java -1- Springer-Verlag, ISBN 3-540-20958-1

Folien zu Kapitel 3: Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte

Algorithmen und algorithmische Sprachkonzepte

Programme und Algorithmen

Foliensatz von A. Weber zur Vorlesung Informatik I, Bonn, 2002/03Überarbeitet und ergänzt von W. Küchlin zu Informatik I, Tübingen 2003/04



Was ist ein Programm?

• Deutliche Diskrepanz zwischen beiden Begriffserklärungen im Lexikon!• 'Programm': sehr allgemein (umgangssprachlich) aufgefasst• 'Programmierung': spezifische Deutung des Begriffs 'Programm' • 'Programm' im allgemeinen:

– z.B. Fernsehprogramm, Konferenzprogramm, Parteiprogramm • 'Programm' im speziellen:

– nicht notwendig nur auf Computer bezogen Programm einer Waschmaschine, eines Videorecorders Programm einer Waschmaschine, eines Videorecorders

Nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, Universität Bonn, WS 2001/2002











Begriff des Algorithmus

• Begriffsdefinition– Ein Algorithmus (algorithm) ist die Beschreibung

eines Verfahrens, um aus gewissen Eingabegrößen bestimmte Ausgabegrößen zu berechnen. Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein

• Spezifikation

• Durchführbarkeit

• Korrektheit




Spezifikation– Eingabespezifikation: Es muss genau spezifiziert

sein, welche Eingabegrößen erforderlich sind und welchen Anforderungen diese Größen genügen müssen, damit das Verfahren funktioniert

– Ausgabespezifikation: Es muss genau spezifiziert sein, welche Ausgabegrößen (Resultate) mit welchen Eigenschaften berechnet werden




Durchführbarkeit– Endliche Beschreibung: das Verfahren muss in

einem endlichen Text vollständig beschrieben sein– Effektivität: Jeder Schritt des Verfahrens muss

effektiv (d.h. tatsächlich) „mechanisch“ ausführbar sein

• Bem.: „Effektivität“ ist nicht zu verwechseln mit „Effizienz“ („Wirtschaftlichkeit“)

– Determiniertheit: Der Verfahrensablauf ist zu jedem Zeitpunkt fest vorgeschrieben




• Korrektheit– partielle Korrektheit: Jedes berechnete Ergebnis

genügt der Ausgabespezifikation, sofern die Eingaben der Eingabespezifikation genügt haben

– Terminierung: Der Algorithmus hält nach endlich vielen Schritten mit einem Ergebnis an, sofern die Eingaben der Eingabespezifikation genügt haben




• Bemerkung: Nach unserer Begriffsbestimmung gäbe es also keine – nicht-deterministische,

– nicht-terminierende

– ...

• Algorithmen

• Diese Begriffe werden aber durchaus verwendet!– Methode erfüllt alle Anforderungen an einen Algorithmus,

bis auf die mit „nicht“ gekennzeichnete



Ein "Algorithmus" aus dem täglichen Leben




Eine sehr alte Beschreibung eines Algorithmus

Zitiert nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, WS 2001/2002



Herkunft des Wortes „Algorithmus“

nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, WS 2001/2002



Algorithmen und Programme

nach R. Manthey, Vorlesung Informatik I, WS 2001/2002



Problem – Algorithmus - Programm




Prinzipien des Algorithmenentwurfs

• Neben den Bedingungen, die schon in die Begriffsdefinition eingegangen sind, gibt es weitere wichtige Prinzipien, die beim Entwurf zu beachten sind– Effizienz

• Der Algorithmus soll möglichst wenig Aufwand verursachen– Das Ergebnis mit möglichst wenig Rechenschritten (oder mit möglichst

wenig Speicherbedarf) erzielen

• Frage der Komplexität von Algorithmen wichtiges Thema in der Informatik III und Informatik IV

– Korrektheit beweisbar?• Ein nicht-korrekter Algorithmus ist nach unserer Definition kein

Algorithmus!• Trotzdem sind nicht-korrekte Verfahren eher die Regel als die

Ausnahme



Beschreibung von Algorithmen

• Für die Beschreibung von Algorithmen gibt es viele Möglichkeiten– Alltagssprache – Konkrete Programmiersprache– Dazwischen gibt es eine Vielzahl von Notationen,

die den Übergang zwischen Problembeschreibung und Programm erleichtern sollen

• Flussdiagramme

• Pseudocode



Beschreibung von Algorithmen

• Wir stellen Algorithmen als Folge einzelner Bearbeitungsschritte dar– Diese können ggf. wiederholt werden, bis das gewünschte

Ergebnis erzielt ist

– Wiederholungen geschehen entweder • innerhalb der Schrittfolge durch Anweisungen wie:

weiter mit Schritt (2) („Iteration“),

• oder durch erneutes Aufrufen des Algorithmus mit einer einfacheren Problemstellung („Rekursion“)

• Jeder Schritt sollte wie ein Buchkapitel einem Thema folgen



Grundschema des Algorithmenaufbaus

• Folgendes Grundschema wird uns bei vielen Algorithmen begegnen



Grundschema des Algorithmenaufbaus: Beispiel

• Beispiel: Man finde ein Verfahren zur Berechnung des Rests r der Ganzzahldivision a/b, also für cb+r=a und r<b, wobei 0≤a und 0≤b– Diese Funktion wird meist „Modulus-Funktion“ genannt, da ra mod b



Steuerungsverlauf

• Die Anordnung der Anweisungen eines Algorithmus, die bestimmt, in welcher Reihenfolge Dinge geschehen, heißt– Steuerungsverlauf (control flow) des Algorithmus

• Wird auch Kontrollfluss (flow of control) genannt

– Manchmal wird auch der Programmablauf oder Kontrollfaden (thread of control), also die tatsächlich abgespulten Schritte und Anweisungen so bezeichnet



Steuerungsverlauf

• Die Konstruktion „fahre fort mit Schritt 2“ stellt einen Sprung (jump) im Steuerungsverlauf dar– Dies ist die elementarste Form, eine Wiederholung

oder sonstige Verzweigung im Ablauf auszudrücken– Dadurch erhalten wir die elementar-iterative

Beschreibungsform von Algorithmen



Elementar-iterative Beschreibungsform

• Die elementar-iterative Beschreibungsform hat die nützliche und angenehme Eigenschaft:– Wir können über einzelne Schritte des Verfahrens sprechen

• Die „fahre fort“-Konstruktion entspricht unmittelbar der goto-Anweisung im Programmieren– Zur Anwendung von goto werden Schritte mit einer Marke

(Label) versehen, um das Ziel des Sprunges zu kennzeichnen

• Anwendung von goto ist aber sehr gefährlich!– Strukturiert komplexe Programm nicht ausreichend

• Steuerungsverlauf kann verworren und unübersichtlich sein



• Der Steuerungsverlauf kann mit der Notation der Flussdiagramme (flow chart) graphisch dargestellt werden – Die Sprache der Flussdiagramme benutzt folgende Symbole

• Werden mit Pfeilen verbunden• Die Ausführung solcher Ablaufpläne folgt den Pfeilen zwischen den Kästchen

Flussdiagramme



Flussdiagramme

• Beispiel: Grundschema des Algorithmenaufbaus als Flussdiagramm



Modulus-Funktion als Flussdiagramm

• Beispiel: Flussdiagramm für iterative Beschreibung der Modulus-Funktion



Strukturiert-iterative Beschreibungsform

• Um den Steuerungsverlauf auch bei komplexen Algorithmen übersichtlich zu halten, schränkt man die Sprünge ein:– Schleifen der Flussdiagramme sind höchstens ineinander geschachtelt– Schleifen überkreuzen sich nicht!

• Im Arbeitsschritt des Grundschemas würde man z. B. nur wieder eine geschlossene Schleife oder einen (vorzeitigen) Sprung zurück zum Test des Trivialfalls erlauben

• Wir sprechen in diesem Fall von strukturierten Sprüngen im Gegensatz zu freien Sprüngen, die prinzipiell beliebige Ziele haben können



Strukturiert-iterative versus elemantar-iterative Beschreibungsform

• Beispiel: Schemata einiger Kontrollflüsse

Strukturiert-iterativ Elementar-iterativ Spaghetti-Code



Strukturiert-iterative Beschreibungsform

• Sprünge kommen zunächst nur noch implizit bei der Ausführung höherer Iterationsstrukturen vor– Dieses sind Fallunterscheidungen wie if-then-else– Oder insbesondere bei Schleifenkonstrukten (loop),

wie etwa •while

– Diese bewirken, dass der Programmfluss in einer Schleife von einem Test zu einem Bearbeitungsschritt und wieder zurück zum Test geht



Strukturiert-iterative Beschreibungsform: while

• Schleifenkonstrukte: while – Die klassische while-Schleife lautet wie folgt:

– Bei Eintritt in die while-Schleife wird zunächst die Bedingung (ein Boolescher Ausdruck) ausgewertet

• Beim Wert true wird die Anweisungssequenz einmal ausgeführt und danach erneut zur Bedingung verzweigt

• Beim Wert false wird die Schleife (ohne Ausführung der Anweisungssequenz) beendet



Strukturiert-iterative Beschreibungsform: while

• Die while-Schleife entspricht also der Konstruktion

.



Rekursive Beschreibungsform

• Im rekursiven Ansatz versucht man, ein vorgelegtes Problem P(X) nach folgendem Schema in zwei Teilen zu lösen:

• Bem.: Rekursive und iterative Beschreibungsformen sind gleich mächtig– Nach einer Formalisierung des Algorithmenbegriffs kann dies auch

bewiesen werden! • Etwa in der Vorlesung Informatik IV



Rekursive Beschreibungsform: Beispiel

• Beispiel: In gängiger mathematischer Notation könnte ein Verfahren zur Berechnung der Modulus-Funktion a mod b wie folgt aussehen:



Rekursive Beschreibungsform: Beispiel

• Beispiel (Forts.): Um festzustellen, ob diese Berechnungsvorschrift einen Algorithmus darstellt, müssen wir folgende Fragen beantworten:– Spezifikation

• Eingabe• Ausgabe

– Durchführbarkeit• Endliche Beschreibung• Effektivität• Determiniertheit

– Korrektheit• Partielle Korrektheit• Terminierung



Rekursive Beschreibungsform: Korrektheitsbeweis des Beispiels

• Beispiel (Forts.):

– Spezifikation













– Korrektheit

Bemerkungen: Diese Überlegungen stellen einen Korrektheitsbeweis dar

Die Termination konnte bei diesem Algorithmus also bewiesen werden; es gibt aber kein mechanisches Verfahren das bei einem beliebigen Algorithmus entscheiden kann, ob dieser terminiert oder nicht („Halte-Problem“)



Rekursive Beschreibungsform: Beispiel in Java

• Das rekursive Verfahren in mathematischer Notation können wir mit minimalen Änderungen nach Java umsetzen– Wir definieren dazu eine Java-Funktion mod, die zwei ganze Zahlen a

und b als Parameter hat und eine ganze Zahl als Ergebnis liefert



Rekursive Beschreibungsform: Beispiel in Java

• Zur Illustration stellen wir nun noch eine etwas ausführlichere (aber gleichwertige) Version dieser Funktion vor

Kommentarzeilen

Zum Vergleich: Rekursionsgleichung



Euklidischer Algorithmus zur ggT-Berechung

• Als weiteres Beispiel für die rekursive Beschreibungsform nehmen wir den Euklidischen Algorithmus zu Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier ganzer Zahlen




• Beschreibung in einem Pseudo-CodeZum Vergleich:

Rekursionsgleichung




• Beschreibung in Java

Andere Art eines Kommentars, ein

„Dokumentationskommentar“

Modulus-Funktion ist in Java eingebaut; wird durch das Symbol % beschrieben;könnten auch die selbst definierte Funktion mod aufrufen



Rekursion und funktionale Programmierung

• Der rekursive Ansatz zur Problemlösung ist die Hauptdenkweise, die die funktionalen Programmiersprachen unterstützen– Etwa LISP, Scheme, ML, Haskell

• Vorzug liegt in der großen Eleganz und Kompaktheit gerade bei kleinen Lehrbuchbeispielen

• Dieser Ansatz erfordert nur sehr wenige syntaktische Konstrukte der Programmiersprache (kein while, for, repeat, ...)



Rekursion und funktionale Programmierung

• Funktionale Denkweise: – kein Begriff des Zustands (state) einer Berechnung.

• manchmal beträchtliche Eleganz, erleichtert auch Korrektheitsbeweise

– Alle Daten sind global, alle Funktionen können auf allen Daten operieren

• Objektorientierte Denkweise:– Funktionen sind mit ihren Daten zu Objekten gekapselt– Objekte interagieren durch Fenster mit anderen Objekten– Objekte haben Zustände (gegeben durch die Daten)– Zustände werden durch Berechnung weiterentwickelt

• In der objektorientierten Welt ist daher das (ebenfalls klassische) zustandsorientierte iterative Konzept zur Konstruktion von algorithmischen Problemlösungen am weitesten verbreitet

• Wie wir gesehen haben, kann auch in einer objektorientierten Sprache wie Java rekursiv programmiert werden!



Konstruktion und Verifikation iterativer Algorithmen

• Bei der Verwendung von imperativen (Anweisungs orientiert) Programmiersprachen wie Java stellt die Konstruktion korrekter iterativer Algorithmen den Kern des Programmierens dar– Hat man diese nicht verstanden, kann man auch nicht

programmieren

• Wir betrachten deshalb den Grundaufbau iterativer Algorithmen nochmals in vertiefter Form– Besonders auch unter dem Aspekt, dass wir strukturiert-

iterative Algorithmen entwickeln und als korrekt beweisen wollen




• Betrachten Grundschema des Algorithmenaufbaus in einer Variante, die einem strukturiert-iterativen Ansatz entspricht

• Der Algorithmus operiert dabei auf einer Menge V von Variablen (Name mit wechselndem Wert)– Diese Zustandsvariablen haben veränderliche Werte und können somit

bearbeitet werden, und unter ihnen befindet sich schlußendlich das Resultat

• Nach einem Vorbereitungsschritt wird so lange die Arbeit f(V) verrichtet, wie die Schleifenbedingung C(V) wahr ist

• Danach wird ein Nachbearbeitungsschritt ausgeführt und der Algorithmus beendet




• Zur Verifikation werden Zustandsvariablen partitioniert in V=EHA– E ist Menge der Eingabevariablen

• Eingabeparameter der Berechnung

– A ist Menge der Ausgabevariablen• Werte zum Schluss zeigen Ergebnis der Berechnung an

– H ist Menge der Hilfsvariablen

• Die Werte der Variablen spiegeln zu jedem Zeitpunkt den Zustand (state) der Berechnung wider




• Problemlösung durch den Algorithmus findet also dadurch statt, dass der Anfangszustand V0, in dem nur die Variablen in E relevante Werte haben, durch eine Berechnungssequenz Schritt für Schritt („iterativ“) in einen Endzustand transformiert wird– In dem die Werte der Variablen in A das

gewünschte Gesamtresultat darstellen– Oft gibt es nur ein einziges Resultat, das wir

üblicherweise mit r oder res bezeichnen




• Ein elementarer Berechnungsschritt eines Algorithmus ändert im Allgemeinen den Wert von Variablen– Variablen können Werte zugewiesen werden– Zuweisungsoperator in imperativen Sprachen von

fundamentaler Bedeutung• In Pascal heißt Zuweisungsoperator :=

– Benutzen := für Zuweisungsoperator in Pseudocode

• In C, C++, Java heißt Zuweisungsoperator =




• Erfolgt Reduktion mithilfe strukturierter Iteration, so kann i.A. Korrektheit durch Finden einer geeigneten Schleifeninvariante bewiesen werden

• Schleifeninvariante: Prädikatenlogische Formel INV(V), die an bestimmter Stelle einer Schleife bei allen Schleifendurchgängen stets gilt

• F(V) ist Schleifeninvariante falls1. F(V) gilt vor dem ersten Durchgang

2. F(V) => F(V ´); F gilt nachher, falls F vorher gegolten hat



Vorbereitung

Name des AlgorithmusEingabe: Liste der Parameter mit TypAnforderung: Bedingung für ParameterAusgabe: Ausgabevariablen mit TypZusicherung: Bedingung für AusgabenHilfsgrößen: Hilfsvariablen mit Typ

Nachbereitung

Arbeit f(V)

Schleifen-InvarianteINV(V) gilt hier

Zusicherunggilt hier

[Anforderung]

[Iterationsbedingung]

[Abbruchbedingung]


Grundschema der strukturierten Iteration mit Schleifeninvariante als UML activity chart

Schleifeninvariante INV(V)geeignete Formel, die beiallen Schleifendurchgängen gilt




Grundschema der strukturierten Iteration mit Schleifeninvariante

Schleifeninvariante INV(V)geeignete Formel, die beiallen Schleifendurchgängen gilt

Verifikation nach Floyd:1) INV(V) ʌ C(V) =>

nach Arbeit f(V) gilt INV(V)2) Anforderung =>

nach Vorbereitung gilt INV(V)3) INV(V) ʌ ¬C(V) =>

nach Nachbereitung gilt Zusicherung



Verifikationsmethode von Floyd

• Die Verifikationsmethode von Floyd für das Grundschema iterativer Algorithmen ist

1. Finde eine geeignete Formel F(V) und zeige, dass sie eine Schleifen-Invariante an der im Flußdiagramm auf voriger Seite angegebenen Stelle ist; bezeichne F(V) nachfolgend mit INV(V)

2. Zeige, dass aus der Eingabespezifikation folgt, dass INV(V) vor dem ersten Schleifendurchgang gültig ist

3. Zeige, dass nach dem letzten Schleifendurchgang aus INV(V) und aus der Negation der Schleifenbedingung C(V), also aus INV(V) C(V) die Gültigkeit der Ausgabespezifikation folgt

4. Zeige, dass die Schleife terminiert



Verifikationsmethode von Floyd




• Algorithmus für die Fakultätsfunktion mit Schleifeninvariante

Schleifeninvariante F(n,r,i)= [n! = r*i!]



r := 1; i := n;

Funktion fac(n)Eingabe: n : INAnforderung: n in INAusgabe: r : INZusicherung: r = n!Hilfsgrößen: i : int

return( r );

r := r * i; i := i - 1;

Schleifen-Invariante: (n! = r * i!)gilt hier.

Zusicherung: r = n! gilt hier

[n >= 0]

[i > 1]

[i <= 1]


Fakultätsfunktion als UML activity chart







Beispiel: Modulus-Funktion (iterativ)




Beispiel: Modulus-Funktion (iterativ)




Beispiel: Modulus-Funktion (iterativ) als UML activity chart

r := a;

r := r - b;

return( r );

Funktion mod(a,b)Anforderungen: a: IN, b: IN, (b > 0)Ausgabe: r : INZusicherung: r = a - (a/b)*b (r ist der Rest der Division a/b)

r = a - (a/b)*b

[a >= 0; b > 0]

[r < b]

[r >= b]




Beispiel: Verifikation der Modulus-Funktion (iterativ) nach Floyd

r := a;

r := r - b;

return( r );

Funktion mod(a,b)Anforderungen: a: IN, b: IN, (b > 0)Ausgabe: r : INZusicherung: r = a - (a/b)*b (r ist der Rest der Division a/b)

r = a - (a/b)*b

Invariante[a - (a/b)*b = r - (r/b)*b]gilt hier

[a >= 0; b > 0]

[r < b]

[r >= b]

Verifikation nach Floyd:1. Aus [a-(a/b)*b = r-(r/b)*b]

und (r>=b) und {r := r-b;}folgt [a-(a/b)*b = r-(r/b)*b]

2. Aus (a >= 0, b > 0) und {r := a;} folgt [a-(a/b)*b = r-(r/b)*b]

3. Aus [a-(a/b)*b = r-(r/b)*b] und(r < b) und {return( r );}folgt (r = a – (a/b)*b)




Verifikations-Beispiel: Modulus-Funktion (iterativ)




• Finden von Schleifen-Invarianten– Invariante für fac(n) : [n! = r * i!]– Invariante für mod(a,b): [(a mod b) = r – (r/b)*b]

• Gemeinsame Struktur– Links von = steht die Aufgabe– Rechts steht getane Arbeit und noch zu tuende Arbeit

• r steht für getane Arbeit (akkumuliertes Ergebnis)• Schleifen-Index i repräsentiert noch zu tuende Arbeit

– Bei fac ist i! der Wert, den man noch zu r multiplizieren muß, bis r = n!

– Bei mod ist (r/b)*b der Wert, den man noch von r abziehen muß, bis r = (a mod b).

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