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Formation cycle 3
Nathalie PENIN Conseillère pédagogique, Référente Mathématiques, Fontaine Vercors
Le plan mathématique
1 français sur 10 a des difficultés à utiliser les mathématiques dans la vie courante
Le plan mathématique Villani-Torossian : 21 mesures
Erreur, constitutive des apprentissages // démarche d’investigation
Notion de plaisir
Va-et-vient constants entre situation concrète et écriture mathématique par 3 étapes d’apprentissage
Verbalisation au cœur des activités mathématiques explicites
Situation proportionnelle ou pas ?
Arthur fait le tour du lac en courant. Il fait les premiers 200 mètres en 3 minutes. On peut en déduire qu’il fera le tour du lac en 15 min.
Tour du lac : 1 km
Comment définissez-vous une situation de proportionnalité ?
Cycle 3
Maths Monde cycle 4
Deux grandeurs (ou deux suites de
nombres) sont dites proportionnelles
si l’on peut passer de l’une à l’autre
en multipliant par un même nombre
non nul . Ce nombre s’appelle le
coefficient de proportionnalité..
Objectifs de la formation ❖Les notions sous-jacentes à la proportionnalité
au cycle 3 : - Le nombre, ses représentations, sa construction - Résoudre une situation problème relevant de la proportionnalité : procédures
❖Enseigner la proportionnalité au cycle 3 :
- Comment faire choisir la procédure ? - 3 étapes clés de l’apprentissage mathématique : Manipulation (et représentations), verbalisation et abstraction - Ritualisation des apprentissages
Proportionnalité au croisement de 3 thèmes des mathématiques
Nombres et calcul
Résoudre des problèmes en utilisant des fractions, des nombres décimaux, et le calcul
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
Proportionnalité : Nombres et Calcul
Plan Mathématiques Villani Torossian
« Apprentissage simultané du nombre et des 4 opérations dès le CP»
○ Jeux sur les décompositions additives, multiplicatives dès la maternelle
○ Développer les automatismes de calcul
Programmes, Brissiaud, Rapport Villani-Torossian
Champ Notionnel
“Parler des nombres à l’aide de leur décomposition” “Comprendre un nombre donné, c’est savoir comment il est composé en nombres plus petits que lui et savoir l’utiliser pour en composer de plus grands.” Brissiaud
Champ notionnel Un petit détour sur le nombre ..
Rituel de cycle 2 et 3 : “Trouver toutes les manières d’écrire
le nombre 4/5”
À la manière de la fraction du jour…
Nombre 4/5
Quatre cinquièmes
0 1 2
4/5 c’est 5/5 et j’enlève 1/5
Champ notionnel
4 5
8 10
16 20
0,8
Huit dixièmes
dizaines unités dixièmes
0, 8
16
25
Le triple code de Dehaene (1992)
D’après un diaporama de M.Crozet, Formation de formateurs 17-09-18
Champ notionnel
Du cycle 1 au cycle 3
4 5
Quatre cinquièmes
Huit dixièmes
Dans le cadre de proportionnalité
Champ notionnel
4 5
4/5 de 250 euros c’est 80% de 250 euros 80 eu. sur 100 euros 160 eu. sur 200 euros 40 eu. sur 50 euros 200 eu. sur 250 euros
Situation problème
Sachant que 4 stylos valent 2
euros, combien valent 8 stylos?
Champ notionnel Résoudre une situation proportionnelle
Sachant que 4 stylos valent 2 euros,
combien valent 8 stylos?
Propriétés de linéarité de la multiplication Si 4 stylos valent 2 euros 8 stylos c’est deux fois plus de stylos, ils valent deux fois plus d’euros : 4 euros
Coefficient de proportionnalité 4 stylos valent 2 euros : 2 euros c’est deux fois moins que 4
Pour 8 stylos, je calcule deux fois moins que 8 : 4 euros
Passage à l’unité 4 stylos valent 2 euros : 1 stylo vaut 50 c
8 stylos valent 5 euros
Sachant que 4 stylos valent 2,42
euros, combien valent 8 stylos?
Sachant que 4 stylos valent 2,42
euros, combien valent 8 stylos?
Propriétés de linéarité de la multiplication Si 4 stylos valent 2,42 euros 8 stylos c’est deux fois plus de stylos, ils valent deux fois plus d’euros : 4,84 euros
Sachant que 4 stylos valent 2
euros, combien valent 14 stylos?
Sachant que 4 stylos valent 2
euros, combien valent 14 stylos?
Coefficient de proportionnalité 4 stylos valent 2 euros : 2 euros c’est deux fois moins que 4
Pour 14 stylos, je calcule deux fois moins que 14 : c’est 7 euros
Passage à l’unité 4 stylos valent 2 euros : 1 stylo vaut 50 c
14 stylos valent 7 euros
Sachant que 4 stylos valent 2,42
euros, combien valent 14 stylos?
Sachant que 4 stylos valent 2,42
euros, combien valent 14 stylos?
Propriétés de linéarité de la multiplication Si 4 stylos valent 2,42 euros 8 stylos c’est deux fois plus de stylos, ils valent deux fois plus d’euros : 4,84 euros Propriétés de linéarité de l’addition 12 stylos valent la somme des deux montants 7,26 euros 2 stylos valent deux fois moins que 4 stylos : 1,21 euros 14 stylos valent la somme des deux montants : 8,37 euros
Différentes procédures: 1) Les propriétés de linéarité
Propriété de linéarité pour l’addition :
stylos 4 8 12 28
Prix (euros)
2,42 4,84 7,26 ?
f(a + b) = f(a) + f(b) : le prix « de a et b » stylos est égal au prix de « a » stylos + le prix de « b » stylos.
Propriété de linéarité pour la multiplication: f(2a) = 2f(a) : le prix de 2 fois « a » stylos est égal à 2 fois le prix de « a » stylos.
Propriété mixte alliant les 2 précédentes
Champ notionnel
2) La recherche de la « valeur de l’unité »
stylos 4 14 1
Prix (euros)
2 ? 2/4=1/2=0,5
stylos 4 7
Prix (euros)
2 ?
3) L’utilisation du « coefficient » de proportionnalité
Champ notionnel
X 1/2
Classification de Vergnaud : problèmes multiplicatifs
Division partition
Division quotition
Multiplication
Champ notionnel Résolution de problème … de proportionnalité
Résolution de problème … de proportionnalité
Champ notionnel
multiplication
division quotition
Dans une boite, il y a 8 feutres,
combien de boites pour avoir 56 feutres ?
Dans une boite, il y a 8 feutres,
combien de feutres dans 3 boites ?
Avec 4 boites identiques on a 32 feutres,
combien de feutres dans une boite ?
Du Cycle 1 au Cycle 2 et Cycle 3
division partition
1 8
3 ?
1 8
? 56
4 32
1 ?
boîtes 4 1
feutres 32 ?
boîtes 1 ?
feutres 8 56
boîtes 1 3
feutres 8 ?
Progressivité de l’apprentissage des procédures : par étape et spiralaire
Propriétés de linéarité (additive et multiplicative)
Introduire Institutionnaliser
Passage à l’unité puis coeff. de proportionnalité
Produit en croix 5ème
cf. repères annuels de progression
Coeff. de proportionnalité
Diversité des contextes
Quantités, grandeurs (taille, volume, masse) et aggrandissement
Vitesses constantes, agrandissement, échelles
Pourcentages simples
Quelle progression dans les manuels ?
Cap Maths CM1
Proportionnalité au croisement de 3 thèmes des mathématiques
Nombres et calcul
Résoudre des problèmes en utilisant des fractions, des nombres décimaux, et le calcul
Organisation et gestion de données
Grandeurs et mesures
Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux
Espace et géométrie
Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques
Agrandissement – réduction
Proportionnalité et échelles
Les Fondamentaux de Canopé
Repères annuels de progression (Eduscol)
1) Quelles procédures sont utilisées par les élèves ? Linéarité +, x, unité, coeff. proportionnalité
2) Quel type de représentation ? 3) Quel type d’erreur ?
Champ didactique
« Dans la recette du poulet au citron, il faut 2 citrons pour 5 personnes. Combien faut-il de citrons pour 20 personnes ? »
Analysons de productions d’élèves de cycle 3 …
Quelle procédure et quels types d’erreur ?
Champ didactique
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
La proportionnalité au cœur des 6 compétences
mathématiques
Chercher
Modéliser Représenter
Raisonner
Calculer
Communiquer
Champ Notionnel
Champ didactique 3 compétences clés en résolution de problèmes
Chercher, raisonner, modéliser: lecture d’énoncé, compréhension du sens de la situation Choix de la procédure la plus adaptée
Calculer : persistance du modèle additif, erreurs de calculs
Représenter , communiquer mauvaise utilisation du signe = dessins couteux en temps
Modéliser
Représenter
Calculer
Quels prérequis pour aborder la proportionnalité ?
Lecture de tableaux
Connaissance des nombres en jeu dans les problèmes
Représentations d’une
situation proportionnelle
o Tableaux o Graphique
Représenter
Modéliser = apprendre à choisir la procédure la plus adaptée
Manipulation mentale : raisonner
Représentation « iconique »
Représentation « symbolique »
Apprendre à représenter aide à modéliser
Manipulation effective (objets réels ou fictifs)
Représentation « enactive »
- Découper et mesurer une bande de 3 cm puis vérifier avec 8 bandes
Modéliser
Champ didactique Obstacles et pistes de différenciation
Modéliser Manipuler Lecture de tableaux Peser des objets
Verbaliser les procédures Mises en commun Traces écrites
Calculer
Représenter, abstraire organisation des données, tableau de proportionnalité
Dans des contextes différents, en faisant varier les nombres pour une procédure visée pour adapter aux compétences en calcul De nombreux petits problèmes
Représenter
Calcul mental Faits mémorisés & Procédures à automatiser
Proportionnalité (questions flashs)
Sophie Thuillier, CPD, Maths sciences 46
Champ pédagogique S’entraîner…
7 objets identiques pèsent ensemble 5 kg.
CM1 Combien pèsent ensemble 21 de ces objets ?
CM2
Combien pèsent ensemble 420 de ces objets ?
10 objets identiques pèsent ensemble 45 kg.
CM1 Combien pèsent ensemble 2 de ces objets ?
CM2
Combien pèsent ensemble 3 de ces objets ?
Des points de vigilance…
Progressivité dans les procédures attendues
Jouer sur les variables (taille des nombres / rapport interne / rapport externe / situations dans les 3 thèmes)
Insister sur l’oral (explicitation et confrontation)
Multiplier les contextes et l’interdisciplinarité : situations proportionnelles ou pas
Donner du sens avant d’introduire le tableau
Construire des automatismes (questions flash) kkjhg
Les Fondamentaux de Canopé
Ressources institutionnelles
Fiche pédagogique
« 1 semaine, 10 problèmes de proportionnalité »
M@ths envie : les maths ancrés dans la vie quotidienne : Banque de problèmes, la proportionnalité
Eduscol Résoudre des problèmes de proportionnalité au cycle 3
Ressource Eduscol, activité puzzle
Agrandissement – réduction
Activité puzzle
Expérimentation en classe
Projet pour la classe : « 1 semaine, 10 problèmes en proportionnalité »
création de problèmes par les classes : https://padlet.com/tablettesfv/1semaine10problemes
Réflexion d’équipe Mener un conseil de cycle 3 sur :
- Quelle progressivité des situations problèmes au cours du cycle 3, par période ? Carnet de progression des situations problèmes (cf. repères annualisés, grille d’analyse de problèmes)
- Quels liens dans la programmation des 3 thèmes (nombre/calcul, grandeurs/mesures, géométrie) ?
Progressivité de l’apprentissage des procédures
Propriétés de linéarité (additive et multiplicative)
Passage à l’unité puis coeff. de proportionnalité
Produit en croix 5ème
cf. repères annuels de progression
Coeff. de proportionnalité
Diversité des contextes
Quantités, grandeurs (taille, volume, masse) et aggrandissement
Vitesses constantes, agrandissement, échelles, pourcentage
Pourcentages simples
Repérer quand proposer ces situations problèmes dans le cadre d’une progressivité de l’apprentissage des procédures
5ème
Réflexion d’équipe
Des rituels communs ? (cf. Ritualisation : activité flash, ressources Eduscol)
Analyse d’un problème et différenciation (cf. introduction progressive du tableau de proportionnalité),
à partir d’un même énoncé , on différencie… « On dispose d’un sac de billes identiques. On connait la masse de 3 billes (51g) et de 5 billes (85g) » Début CM1 : linéarité somme /multiple « Quelle est la masse de 8 billes ? de 10 billes ? »
Fin CM1 : linéarité somme /différence /multiple « Quelle est la masse de 6 billes ? De 2billes ? de 13 billes ? de 7 billes ? »
Début CM2 : linéarité somme / différence / multiple / diviseur / mixte / passage à l’unité « Quelle est la masse de 21 billes ? de 28 billes ? de 500 billes ? de 250 billes ? 125 billes ? »
Fin CM2 : linéarité, passage à l’unité (et coeff. de prop.) « Quelle est la masse de 21 billes ? de 1 bille ? de 87 billes ? »
Fin 6°linéarité / passage à l’unité / coefficient de proportionnalité /
Ressources de formation
Site de circonscription + Magistère -Diaporama -Grille d’analyse de situation problème sur la proportionnalité -activité : Fiche de progression avec étiquettes problèmes à placer selon les procédures utilisées
merci !
