FormelblattPhysikHSGYM · FormelblattPhysikHSGYM 24. November 2019, M. Lieberherr Viele Gesetze und Informationen auf dieser Seite sollten vom Gymnasium her bekannt sein und angewendet

Formelblatt Physik HSGYM 24. November 2019, M. LieberherrViele Gesetze und Informationen auf dieser Seite sollten vom Gymnasium her bekannt sein und angewendet werdenkönnen. Folgen Sie den braunen oder blauen Links für weitergehende Auskünfte oder dem Index.

Phys. RechnenEine Grösse umfasstZahlenwert und Einheit.Für gegebene undgesuchte Grössenwerden Platzhaltereingeführt. EineSchlussformel ist nachder gesuchten Grösseaufgelöst und enthält nurVariable für gegebeneGrössen. Das Resultathat ebenso vielesignifikante Stellen wiedie ungenauesteAusgangsgrösse.

Mechanik~υ =

∆~s∆t

1 m/s = 3.6 km/h

a =dυdt

s = s0 + υ0t + 12at2

υ = υ0 + at

υ2 = υ20 + 2a(s − s0)

g = 9.81 m/s2

ρ =mV

ρWasser = 998 kg/m3

ρLuft = 1.293 kg/m3

Im Inertialsystem gilt:~Fres = m~aactio = reactioFG = mgFF = DyFGR = µGFN

0 6 FHR 6 µHFN

W = Fss = Fs cosαE2 − E1 = W + . . .

Ekin = 12mυ2

Epot = mgh

EF = 12 Dy2

Ekin + Epot + · · · = const

P =W∆t

η =W2

W1

1 kWh = 3.6 MJ~p = m~υ~p1 + ~p2 + · · · = const

~Fres =∆~p∆t

ω =2πT

= 2π f =υ

r

az =υ2

r= rω2

FG =Gm1m2

r2

G = 6.674 · 10−11 Nm2

kg2

M = aF = rF sinαa1F1 = a2F2

p =FN

AW = p∆Vpn = 101325 Pap = ρgh

∆p = 12ρυ

2

FA = ρFgVK

υA =∆V∆t

= const

Fw = cwA12ρυ

2

Wärme

T − ϑ = 273.15 K∆l = αl0∆ϑ

∆Q = cm∆ϑ

cH2O = 4182 J/(kg · K)Q = mL

LV-H2O = 2.257 · 106 J/kg

J =∆QA∆t

= U∆ϑ

J = σT 4

σ = 5.67 · 10−8 Wm−2K−4

JS = 1366 W/m2

NA = 6.022 · 1023 mol−1

1 u = 1.661 · 10−27 kgM = m/npV = NkBT = nRT

kB = 1.381 · 10−23 J/K)R = 8.314 J/(mol · K

Vmn = 22.4 · 10−3 m3/mol12mυ2 = 3

2kBT∆U = Q + W + . . .

pVκ = constQ = mH

η =Tw − Tk

Tw

Elektrizität

e = 1.6022 · 10−19 CΣQi = const

FC =1

4πε0·

Q1Q2

r2

ε0 = 8.854 · 10−12 AsVm

~E =~Fel

q

E =ε0Q

A

UAB =WAB

q= E · ∆sAB

I =∆Q∆t

R =UI

Ohm: U ∝ I

R = ρellA

ρel,Cu = 1.78 · 10−8 Ωm

P = UI = RI2 =U2

RRseriell = R1 + R2

1Rparallel

=1R1

+1R2

Useriell = U1 + U2

Iparallel = I1 + I2

F = IlB sinαF = qυB sinα

B =µ0I2πr

µ0 = 1.2566 · 10−6 VsAm

B =µ0NI

l

Uind = −dΦ

dtΦ = AB⊥u(t) = u cos(ωt)

Ueff =u√

2

Schwingungen/Wellen

y(t) = y sin(ωt + ϕ0)

T = 2π√

m/D

T = 2π√

l/gαr = α1

n1 sinα1 = n2 sinα2

BG

=bg

1f

=1g

+1b

u(x, t) = u sin(kx − ωt)c = λ f

cLicht = 2.99792458 · 108 m/scSchall = 344 m/sd sinαm = mλ

L = 10 · lgJJ0, J0 = 10−12 W

m2

Modernes

N = N0e−λt

λ =ln 2T1/2

A = λND = E/m

E = mc2

E = h f

h = 6.626 · 10−34 Jsp = h/λ

Formelblatt

GebrauchsanleitungDas Formelblatt ist ein Inhaltsverzeichnis mit Doppelnutzen. Die Formeln geben einen groben Überblicküber physikalische Inhalte, die an einem Schweizer Gymnasium vermittelt werden. Die bunt gefärbtenZeichen sind Links auf einen erklärenden Anhang. Dort findet man Beispiele und weiterführendeInformationen. Sie können auch via den alphabetischen Index auf die Erläuterungen zugreifen.

Die aufgeführten Gesetze richten sich grob nach den Empfehlungen der Fachkonferenz Physik im ProjektHSGYM. Sie können die Empfehlungen unter www.aphel.ch/hsgym abrufen. Das Formelblatt enthält fastalle Punkte aus dem “Pflichtteil” des Minimalprogramms sowie einige Items aus dem Wahlbereich. Itemsaus dem “Pflichtbereich” sind in der Randspalte mit “Pflicht” gekennzeichnet und auf dem Formelblatt Pflichtblau markiert. Items aus dem Wahlbereich sind in der Randspalte mit “Kür” gekennzeichnet und auf demFormelblatt braun markiert. Da Schweizer Gymnasien den Physikunterricht zeitlich schwach dotieren, sind Kürdie Lehrkräfte manchmal gezwungen, viele Themen aus dem Wahlbereich wegzulassen. Die aufgeführtenGesetze sind ein Teil dessen, was vom Autor mit einer Schulklasse im neusprachlichen Gymnasialprofil insechs Jahresstunden behandelt wurde (6 Jahresstunden heisst hier zwei Lektionen pro Woche verteilt aufdrei Schuljahre).

Für Studentinnen und StudentenDas Formelblatt fasst einige Gesetze und Informationen zusammen, die Sie mehrheitlich aus demMittelschulunterricht kennen und aktiv beherrschen sollten. Sie können das Blatt, indem Sie den Linksfolgen, zur Vorbereitung auf die Physikvorlesung durcharbeiten. Wir schätzen, dass Sie dazu etwa einenArbeitstag benötigen. Sie können das Formelblatt auch ausdrucken und als Spick zum Lernen verwenden.

Für Hochschuldozentinnen und DozentenDas Formelblatt (mit den verlinkten Beispielen und Kommentaren) soll Ihnen eine Übersicht über dasphysikalische Vorwissen von Studentinnen und Studenten aus einem Schweizer Gymnasium geben. Siedürfen erwarten, dass fast alle genannten Informationen in einem grösseren Auditorium vorhanden sind(vielleicht in anderer Notation). Ein individueller Student oder eine Studentin kennt vielleicht 80 % allerGesetze aus dem “Pflichtteil” und 50 % aus dem “Wahlbereich”. Ihnen wird sicher auffallen, dass einigeGesetze zu einfach, zuwenig genau, zu speziell oder nicht nach Ihrer Sprachkonvention aufgeführt sind.Das ist teilweise Absicht, denn das Dokument soll das Vorwissen aus dem Gymnasium abbilden. Es istIhre Aufgabe, die Gesetze zu ergänzen, schärfen, verallgemeinern oder im Niveau anzuheben, damit sieden Ansprüchen einer Hochschule genügen.

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http://www.aphel.ch/hsgym/

Physik

Der Name geht auf den griechischen Wortstamm physis (Natur) zurück.

Physik ist eine quantitative Naturwissenschaft.

“Naturwissenschaft”, um sie von den Geistes- und Sozialwissenschaften (Sprachen, Geschichte,Mathematik, Recht etc.) sowie den technischen Wissenschaften (Elektrotechnik, Informatik,Maschinenbau usw.) zu unterscheiden. Die Grenzen zu anderen Naturwissenschaften (Chemie, Biologieetc.) sind fliessend.

“Quantitativ” oder exakt, weil die Natur in Zahlen ausgedrückt wird. Die Zahlen sind in Experimentengemessene Grössen, deren Genauigkeit abgeschätzt ist. Da ein grosser Zahlenhaufen unanschaulich wird,werden die Zahlen durch mathematisch formulierte Theorien modelliert. Die Theorien erlaubenVorhersagen und sind für Anwendungen in der Technik sehr nützlich. Experimente und Theorien ergänzenund befruchten sich gegenseitig.


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HSGYM: Projekt Hochschule Gymnasium

Das Projekt HSGYM ist 2006 im Kanton Zürich gestartet worden. Gymnasiale und universitäre Lehrkräftehaben haben sich zusammengesetzt, um den Übertritt für Maturandinnen und Maturanden vomGymnasium an die Hochschulen zu verbessern. Details kann man unter www.hsgym.ch erfahren.

Dieses Dokument ist von der Kerngruppe Physik zusammengestellt worden. Zur Kerngruppe gehörenAnna Prieur (Kantonsschule Zürich Nord), Paolo Hsiung (Kantonsschule Freudenberg), Martin Lieberherr(Leiter der Kerngruppe, Kantonsschule Rämibühl MNG, Autor), Christof Aegerter (Universität Zürich)und Andreas Vaterlaus (Eidgenössische Technische Hochschule Zürich).

Für die Kerngruppe: Martin Lieberherr Zürich, den 24. November 2019


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http://www.hsgym.ch

Physikalische GrössePflicht

Eine physikalische Grösse besteht aus Zahlenwert und Einheit, z.B. 35 kg oder 6.022 · 1023 mol−1.Physikalische Gleichungen sind Grössengleichungen, d.h. sie müssen mit Zahlenwert und Einheitstimmen.

Gleichungen müssen in den Einheiten konsistent sein. Die Gleichung 5 = 5 m ist falsch. Die Gleichung1 = 100 ist falsch, aber 1 m = 100 cm ist richtig. Die Gleichung 6 kg = 6 L ist falsch, auch für Wasser(Masse , Volumen→ m = ρV).

Zahlenwert und Einheitensymbol werden separat nach den Regeln der Algebra verrechnet: Nur Grössenmit gleichen Einheiten dürfen addiert oder subtrahiert werden. Grössen mit verschiedenen oder gleichenEinheiten dürfen mutipliziert und dividiert werden. Grössen dürfen aber nur potenziert werden, falls keineEinheiten mit gebrochenen Exponenten entstehen:

√23 m2 ist erlaubt, aber

√16 m ist nicht definiert.

Höhere Funktionen dürfen nur auf reine Zahlen angewendet werden.

log(20 mol) falsch! → lognn0

= log20 mol1.0 mol

= log 20 X


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ZahlenwertPflicht

In der Physik kommen oft sehr grosse oder kleine Zahlen vor. Damit die Grössenordnung (der Stellenwertder ersten Ziffer) leicht erkennbar ist, werden die wissenschaftliche Zahlenschreibweise oderDezimalvorsätze verwendet.

Wissenschaftliche Zahlenschreibweise

600000000000000000000000→ 6.0 · 1023

0.000000000106→ 1.06 · 10−10

In der wissenschaftlichen Zahlenschreibweise steht genau eine Ziffer ungleich Null vor dem Dezimalpunkt.

Dezimalvorsätze

3800000 W→ 3.8 MW

0.000072 m2 → 72 mm2

4 cm3 = 4 (cm)3 = 4 · (10−2 m)3 = 4 · (10−2)3 m3 = 4 · 10−6 m3

Dezimalvorsätze werden mit potenziert. Eine Grösse soll nur einen Dezimalvorsatz enthalten.Dezimalvorsätze und wissenschaftliche Zahlenschreibweise sollen nicht vermischt werden.

Vorsatz Abk. FaktorDeka da 101

Hekto h 102

Kilo k 103

Mega M 106

Giga G 109

Tera T 1012

Peta P 1015

Exa E 1018

Zetta Z 1021

Yotta Y 1024

Vorsatz Abk. FaktorDezi d 10−1

Centi c 10−2

Milli m 10−3

Mikro µ 10−6

Nano n 10−9

Pico p 10−12

Femto f 10−15

Atto a 10−18

Zepto z 10−21

Yokto y 10−24

Tabelle 1: Diese Dezimalvorsätze sind im SI definiert. Gross- und Kleinschreibung müssen streng beachtetwerden. Zwischen mW (Milliwatt) und MW (Megawatt) liegen neun Zehnerpotenzen!


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EinheitPflicht

Eine Grösse besteht aus Zahlenwert und Einheit, z.B. 87 km. Eine Angabe mit fehlender Einheit istunvollständig. Wir verwenden meistens SI-Einheiten (Système international d’unités).

SI-BasiseinheitenSekunde (s), Meter (m), Kilogramm (kg), Kelvin (K), Mol (mol), Ampere (A), Candela (cd)

abgeleitete EinheitenNewton (N), Joule (J), Watt (W), Coulomb (C), Volt (V), etc.Die abgeleiteten Einheiten sind durch Multiplikation oder Division aus den Basiseinheiten ableitbar.

Nicht-SI EinheitenPfund, Elektronvolt, Jahr, Kalorie, Meile, etc.

Der Ausdruck [a] mit eckigen Klammern heisst “Einheit von a”, also z.B. [23 N] = N.

Beispiel: Aus welchen SI-Basiseinheiten setzt sich die Einheit ‘Watt’ zusammen?

[P] =

[W∆t

]=

[Fs · s∆t

]=

[ma · s∆t

]=

kg ·m2

s3

Die korrekte Mitführung der Einheiten gestattet eine Einheitenkontrolle der Schlussformel. Wenn sich dieEinheiten der eingesetzten Grössen nicht zur Einheit der gesuchten Grösse zusammensetzen lassen, ist einFehler passiert.

Beispiel: Kann die vorgeschlagene Formel für den Ersatzwiderstand dreier, parallel geschalteterWiderstandselemente stimmen?

zwei Widerstände drei Widerstände ?

Rres =R1R2

R1 + R2Rres =

R1R2R3

R1 + R2 + R3

Die Antwort ist Nein, denn die vorgeschlagene Formel liefert die Einheit 1 Ω3/Ω = 1 Ω2 , [Rres] = 1 Ω.


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PlatzhalterPflicht

Physikalische Probleme werden in einem ersten Schritt formalisiert: Für alle Grössen (gegeben, gesucht,fehlend, etc.) der Aufgabe werden Platzhalter (Variable, Parameter, Konstanten) eingeführt. Üblicherweisesind das Buchstaben, eventuell mit Index. Die Bezeichnungen sind im Prinzip frei, sollten aberlesefreundlich gewählt werden, z.B. F oder K für Kraft, s für Strecke, t für Zeit (time), etc.

Beispiel: Ein Auto fährt in 90 Minuten 120 Kilometer weit. Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit.Formalisierung: Zeit t = 90 min, Weg s = 120 km, Bahngeschwindigkeit υ (gesucht)

Die Bezeichnungen müssen innerhalb einer Aufgabe eindeutig sein, dürfen aber von Aufgabe zu Aufgabeändern. Einheitensymbole und ganze Worte dürfen nicht als Platzhalter missbraucht werden. Gleichungender Art “ kg = Dichte · V” sind verpönt.

Beispiel: Vervollständigen Sie die Formalisierung in folgender Gleichung:meter = 12 km + 60 · tLösung: s = s0 + υt (oder r = b + Vt, etc.)

Beispiel: Welche Masse hat ein Salzkorn?Gesucht: Masse m, tabelliert: Dichte ρ = 2.17 g/cm3, geschätzt: Volumen V ≈ a3 ≈ (0.5 mm)3

Tabellierte Grössen findet man in einem Tabellenwerk oder im Internet. Aus dem Mittelschulunterrichtsollte man einige tabellierte Grössen kennen (Dichte, spez. Wärmekapazität, etc.). Einige Grössen mussoder soll man vernünftig abschätzen. Die Lösung der Aufgabe darf dann eine gewisse Bandbreiteaufweisen.


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SchlussformelPflicht

Nachdem die Aufgabe formalisiert worden ist, wird sie rein formal gelöst. Die formale Lösung ist einTerm für die gesuchte Grösse, der nur Platzhalter für bekannte Grössen enthält.

Beispiel: Eine Stahlkugel hat eine Masse von 28.7 g. Berechnen Sie ihre Oberfläche rein formal.

Lösung: Die Dichte ρ von Stahl ist tabelliert (bekannt) und kann verwendet werden.

m = ρV = ρ · 4π3 r3 ⇒ r =

(3m4πρ

)1/3

A = 4πr2 = 4π ·(

3m4πρ

)2/3

Schlussformeln sollen vereinfacht werden: Kein Doppelbrüche, Quadrate unter Wurzeln oder ähnliches.Die formale Lösung soll einheitenmässig konsistent sein, also z.B. keine Wurzeln aus Basiseinheitenenthalten.

Beispiel: Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels ist

T = 2π

√`

gX und nicht T =

√π2`

12√

gWas ist Wurzel aus Meter?

Beispiel: Eine Skaterin (58 kg) rollt eine 23 m lange Strasse hinab, die 7.4° gegen die Horizontale geneigtist. Sie starte aus der Ruhelage. Mit welcher Geschwindigkeit kommt sie unten an?

ma = Fres = FG|| = mg sinα⇒ a = g sinα

υ2 = υ20 + 2a(s − s0) = 2sg sinα

υ =√

2sg sinα Die Schlussformel enthält die Masse nicht mehr!

=√

2 · 23 m · 9.81 m/s2 · sin 7.4° = 7.6 m/s

Bemerkung: Die formale Lösung entspricht υ =√

2gh mit dem Höhenunterschied h = s sinα.

Schlussformeln lassen leichter Zusammenhänge erkennen als zusammengestückelte Zahlenrechnungen.Formale Lösungen lassen sich leichter wiederverwerten.


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Signifikante StellenPflicht

Es gibt keine exakten Messgrössen! Andererseits sind Grössen, deren Genauigkeit völlig unbestimmt ist,wertlos. Zu jeder Grösse gehört also die Information, wie genau sie ist.

Signifikante Stellen oder wesentliche Ziffern ermöglichen es, die Genauigkeit einer Grösse auf einfacheArt auszudrücken. Signifikante Stellen sind alle Ziffern einer Dezimalzahl, die gesichert sind oderzumindest nicht völlig unbestimmt. Führende Nullen werden nicht mitgezählt. Bei dieser Zählweise ist dieLage des Dezimalpunkts egal.

17.38 m vier wesentliche Ziffern0.007 s eine signifikante Stelle23.0 kg drei signifikante Ziffern

1.0 · 104 m = 10 km zwei wesentliche Stellen

107 A keine signifikante Stelle, “Grössenordnung”

1000 m ?=

1 km1.000 km

Zahl der wesentlichen Ziffern im Alltag oft unklar

Die Genauigkeit einer Grösse durch ihre signifikanten Stellen auszudrücken, ist zwar grob, aber einfachanwendbar. Bessere Verfahren werden in der Theorie der Messfehler behandelt.

“Der Mangel an mathematischer Bildung gibt sich durch nichts so auffallend zu erkennen, wie durchmaßlose Schärfe im Zahlenrechnen.” (C.F. Gauss zugeschrieben)

Wenn die Ausgangsgrössen einer Rechnung eine beschränkte Genauigkeit haben, gilt das auch für dasResultat der Rechnung.

Faustregel:Das Resultat einer Rechnung hat ebenso viele wesentliche Ziffern wie die ungenaueste Ausgangsgrösse.

υ =∆s∆t

=1.782 m

1.4 s= 1.272857143 m/s→ 1.3 m/s

Die Faustregel hat Ausnahmen, z.B. 1.08 km+1 mm = 1.08 km oder 3707 mm-3702 mm = 5 mm

In der Forschung wird die Genauigkeit meistens mit Hilfe der Standardabweichung (Streuung im Sinne derNormalverteilung) ausgedrückt. KürBeispiel

5.38(3) kg = (5.38 ± 0.03) kg

Die Zahl in der Klammer gibt den möglichen Messfehler in Einheiten der letzten angegebenen Ziffer an.


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DiagrammePflicht

Diagramme (graphische Darstellungen von Messdaten oder Funktionen) sollen möglichst selbsterklärendsein: Die Achsen sind mit der Grösse, Einheit und Zahlenwerten angeschrieben, siehe Abbildung 1. DieMessdaten sind als Punkte eingetragen und als solche bezeichnet. Theoretische Kurven sind als solchebeschriftet. Die Abbildungen sind nummeriert. Die Legende beschreibt, was in der Abbildung zu sehen ist.Man sollte möglichst nicht im umgebenden Text nachlesen müssen, um den Inhalt des Diagramms zuverstehen.

Abbildung 1: Umfang U einiger runder Küchenge-fässe als Funktion des Durchmessers d. Nach derTheorie erwartet man, dass der Umfang proportio-nal zum Durchmesser wächst. Der theoretische Zu-sammenhang ist eine Proportionalität (im Diagrammeine Gerade durch den Nullpunkt) mit Steigung π.

0 5 10 15 20 250

20

40

60

80

d (cm)U

(cm

)

Messwerte

TheorieU = π d


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Mittlere GeschwindigkeitPflicht

~υ =∆~s∆t

Die mittlere Geschwindigkeit ~υ ist gleich der Verschiebung ∆~s (während der Zeitspanne ∆t) pro Zeit.

1. Beispiel: Ein Auto fährt in 35 Minuten 48 km weit.

υ =∆s∆t

=48 · 103 m35 · 60 s

= 23 m/s

2. Beispiel: Ein Bakterium befindet sich anfangs an der Position P1(2.0 µm, 6.3 µm) und 20 Sekundenspäter bei P2(5.3 µm, 1.8 µm). Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit.

~υ =∆~s∆t→

(υx

υy

)=

((x2 − x1)/∆t(y1 − y1)/∆t

)=

((5.3 µm − 2.0 µm)/20 s(1.8 µm − 6.3 µm)/20 s

)=

(0.17 µm/s−0.23 µm/s

)Die Geschwindigkeit ist eine gerichtete Grösse, die am einfachsten als Vektor dargestellt wird. Falls dieRichtung nicht bestimmt werden kann, berechnet man nur den Betrag der Geschwindigkeit (Schnelligkeit,Bahngeschwindigkeit).

Verwandte Grössen

υ = |~υ| Bahngeschwindigkeit, Schnelligkeit, Weglänge pro Zeit (ohne Richtung)υ(t) momentane Geschwindigkeit, enspricht der Steigung der s(t)-Kurve

Momentane Geschwindigkeit als Ableitung der BahnfunktionKür

Wenn die Bahnfunktion y(t) einer Bewegung als formaler Ausdruck bekannt ist, kann die momentaneGeschwindigkeit υ(t) mittels Differentialrechnung berechnet werden.

υ(t) =dydt

= y erste Ableitung von y(t) nach der Zeit t

Beispiel: Berechnen Sie die Geschwindigkeit einer harmonischen Schwingung

y = y sin(ωt + ϕ0)

υ =dydt

= ωy cos(ωt + ϕ0) ω kommt von der inneren Ableitung (Kettenregel)

Die Bahngleichung y(t) ist das Integral der Geschwindigkeit.

Beispiel: Sei υ(t) = υ0−a · t mit den Konstanten υ0 und a. Berechnen Sie die Position als Funktion der Zeit.

ds = υ · dt∫ds =

∫υ · dt∫

ds =

∫(υ0 − a · t) · dt

s = s0 + υ0 · t − 12at2

Der Parameter s0 ist eine Integrationskonstante, denn unbestimmte Integrale sind nur bis auf eineKonstante bestimmt.


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GeschwindigkeitseinheitenPflicht

1 m/s = 3.6 km/h

Diese Einheitenbeziehung gilt exakt, da

3.6kmh

= 3.6 ·1000 m3600 s

= 1ms


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BeschleunigungPflicht

~a =∆~υ

∆t=~υ2 − ~υ1

t2 − t1

Die mittlere Beschleunigung ist gleich der Geschwindigkeitsänderung pro Zeit. Da Geschwindigkeit einegerichtete Grösse ist, umfasst die Beschleunigung sowohl Schnelligkeits- als auch Richtungsänderungen.Die Beschleunigung hat einen Betrag und eine Richtung.

Beispiel: Eine Velofahrerin bremst innert 2.8 s von 7.8 m/s bis zum Stillstand ab. Berechnen Sie diemittlere Beschleunigung.

a =υ2 − υ1

∆t=

0 m/s − 7.8 m/s2.8 s

= −2.8 m/s2 = −2.8 m · s−2

Das Vorzeichen ist eine Möglichkeit, die Richtung bezüglich einer Koordinatenachse zu beschreiben. Diemit einer Richtungsänderung verbundene Beschleunigung wird Zentripetalbeschleunigung genannt.

Beschleunigung mittels DifferentialrechnungKür

Die momentane Beschleunigung kann als erste Ableitung der Geschwindigkeit υ(t) oder zweite Ableitungder Bahnfunktion y(t) berechnet werden, falls diese als formale Ausdrücke zur Verfügung stehen.

a(t) =dυdt

= υ =d2ydt2 = y momentane Beschleunigung

aB =d|~υ|dt

Bahnbeschleunigung: Schnelligkeitsänderung pro Zeit

Beispiel: Berechnen Sie die Beschleunigung einer mechanischen, harmonischen Schwingung.

y = y sin(ωt + ϕ0)

υ =dydt

= ωy cos(ωt + ϕ0) ω ist die innere Ableitung (Kettenregel)

a =dυdt

= −ω2y sin(ωt + ϕ0) != −ω2 · y(t)

Die Beschleunigung einer harmonischen Schwingung ist proportional zur momentanen Auslenkung (inentgegengesetzter Richtung). Wenn also eine Kraft das hookesche Federgesetz F = −ky erfüllt, so bewirktdiese eine harmonische Schwingung.


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Bahngleichung der gleichmässig beschleunigten, linearen BewegungPflicht

Wo befindet sich ein Punkt auf einer Koordinatenachse (s-Achse) zu einem bestimmten Zeitpunkt t, wenner zu Beginn (t = 0) an der Position s0 ist, sich dort mit Geschwindigkeit υ0 bewegt und von da angleichmässig mit der Beschleunigung a beschleunigt? Diese Frage wird durch die Bahngleichung s = s(t)formal beantwortet.

s = s0 + υ0t + 12at2

Alle Grössen sind vorzeichenbehaftet. Die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit ist ein Spezialfall(a = 0). Aus der Bahngleichung können folgende Beziehungen hergeleitet werden:

υ = υ0 + at momentane Geschwindigkeit υ = υ(t)

υ2 = υ20 + 2a(s − s0) Momentangeschwindigkeit als Fkt. des Weges ∆s = s − s0

Beispiel: Ein Geschoss wird im Lauf eines Revolvers von 165 mm Länge auf 410 m/s beschleunigt.Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung.

υ2 = υ20 + 2a(s − s0)→ a =

υ2

2s=

(410 m/s)2

2 · 0.165 m= 5.09 · 105 m/s2

Beispiel: Ein Velo und ein Töff machen ein Wettrennen. Der Töff startet bei 0 m und beschleunigt aus demStand mit konstant 3.8 m/s2. Das Velo startet fliegend bei 100 m und fährt dem Töff mit 9.7 m/s entgegen.Zu welchem Zeitpunkt treffen sie sich?

s = 12at2 Bahngleichung des Töffs

s = sV + υV t Bahngleichung des Velos (υV < 0)Dieses Gleichungssystem kann nach den Treffpunktkoordinaten t (und s) aufgelöst werden

12at2 = sV + υV t ⇒ 1

2at2 − υV t − sV = 0⇒ t1,2 =υV ±

√υ2

V + 2asV

a

t1,2 =−9.7 m/s ±

√(−9.7 m/s)2 + 2 · 3.8 m/s2 · 100 m

3.8 m/s2 =

5.1 s←−10 s

Im Raum kann die Bahngleichung vektoriell geschrieben werden. Kür

~r = ~r0 + ~υ0 + 12~at2

Ist die Beschleunigung nach Betrag und Richtung konstant, so ist die Bahn eine Parabel (z.B.Wurfparabel).


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FallbeschleunigungPflicht

g = 9.81 m · s−2

Im freien Fall im Vakuum beschleunigen alle Körper gleich. Die Fallbeschleunigung an der Erdoberflächeist in guter Näherung konstant und hat den oben genannten Wert. Am Nordpol ist sie leicht grösser(9.8322 m/s2) und am Äquator etwas geringer (9.7803 m · s−2). Für spezielle Zwecke gibt es einenNormwert (9.80665 m/s2).

Die Fallbeschleunigung lässt sich mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz berechnen. Die Grösseg = FG/m heisst Gravitationsfeldstärke oder ‘Ortsfaktor’.


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MassePflicht

Die Masse mit SI-Basiseinheit Kilogramm beschreibt die Trägheit eines Körpers. Trägheit ist eine Art“Widerstand gegen Beschleunigung”.

Die Masse eines Körpers ist eine Eigenschaft dieses Körpers und zu unterscheiden von der Schwerkraft(Gewichtskraft), die auf ihn wirkt. Ein technischer Satellit hat auf der Erde dieselbe Masse wie in einerUmlaufbahn! In der Umlaufbahn ist der Satellit schwerelos.


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DichtePflicht

% =mV

Die Dichte (volumenspezifische Masse) ist eine tabellierte Materialgrösse.

Beispiel: Wie viele Karat hat ein Diamant von 0.50 cm3 Volumen?

m = ρV = 3.51 · 103 kg/m3 · 0.50 · 10−6 m3 = 1.755 g ·1 ct

0.2 g= 8.8 ct

Beispiel: Kies hat eine mittlere Schüttdichte von etwa 1.5·103 kg/m3. Welches Kiesvolumen kann einLastwagen mit Ladekapazität 35 Tonnen laden?

V =mρ

=35 · 103 kg

1.5 · 103 kg/m2 = 23 m3


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Dichte von WasserPflicht

% = 998 kg/m3 bei 20 °C und Normaldruck

Die Dichte von Wasser sowie anderen festen und flüssigen Stoffen hängt nur schwach von Druck undTemperatur ab.

Beispiel: Welches Volumen hat ein Mensch?

Der Mensch hat ungefähr die Dichte von Wasser. Nehmen wir eine Masse von 75 kg an, so folgt

V =mρ

=75 kg

998 kg/m3 = 75 · 10−3 kg/m3 = 75 L


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Dichte von LuftPflicht

% = 1.293 kg/m3 bei 0 °C und 101325 Pa

Die Dichte von Luft und anderen Gasen hängt stark von Druck und Temperatur ab. Die Werte sindüblicherweise für Normalbedingungen, siehe oben, tabelliert.

Beispiel: Welche Dichte hat Luft bei 26 °C und 0.950 bar Druck?

Mit der Zustandsgleichung des idealen Gases (pV = nRT ) gilt:

ρ =mV

=mpnRT

=MpRT∝

pT→

ρ2

ρ1=

p2T1

p1T2⇒

ρ2 = ρ1 ·p2T1

p1T2= 1.293 kg/m3 ·

0.950 bar · 273.15 K1.01325 bar · (273.15 + 26) K

= 1.11 kg/m3


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InertialsystemKür

Inertialsysteme sind ‘unbeschleunigte Bezugssysteme’. In diesen werden die physikalischen Gesetzebesonders einfach. In beschleunigten Bezugssystemen können Scheinkräfte auftreten, wie z.B. dieZentrifugalkraft oder Corioliskraft und diverse Erhaltungssätze sind verletzt (Energie, Impuls, ...).

Wie stellt man fest, ob ein Bezugssystem beschleunigt ist? Das Problem wird nur verlagert, wenn dieBewegung relativ zu einem anderen Bezugssystem gemessen wird. Eine Möglichkeit bietet das ersteNewtonsche Axiom (1. Grundgesetz der Mechanik, Trägheitsprinzip) : Kräftefreie Körper bewegen sich Pflichtgleichmässig entlang einer Geraden oder verharren in Ruhe.

Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem das Trägheitsprinzip gilt. Wenn ein kräftefrei aufgehängterKörper ohne sichtbaren Grund beschleunigt, ist das ein Effekt des beschleunigten Bezugssystems.Anwendung: Seismometer. Wenn das Seismometer ausschlägt, so zittert das Bezugssystem.

Verschiedene Inertialsysteme können gegen einander verschoben sein, sich relativ zu einander mitkonstanter Geschwindigkeit bewegen oder gegen einander verdreht sein.

Bezugssysteme können frei gewählt werden. Die Relativitätstheorien befassen sich mit den Konsequenzendieser Freiheit.


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AktionsprinzipPflicht

Das Aktionsprinzip, auch Grundgesetz der Mechanik, Beschleunigungsprinzip oder zweites NewtonschesAxiom, zeigt, wie die Beschleunigung eines Körpers von den einwirkenden Kräften abhängt, und legt dieEinheit der Kraft fest:

~Fres = m~a oder [F] = kg ·m/s2 = N (Newton)

~a =1m·(~F1 + ~F2 + ~F3 + . . .

)Die auf denselben Körper wirkenden Kräfte werden paarweise mit der Parallelogrammregel zurresultierenden Kraft kombiniert. Die Beschleunigung ist jene des Massenmittelpunkts (‘Schwerpunkt’) desKörpers.

Beispiel: Auf einen Körper der Masse m = 1.75 kg wirken zwei Kräfte von 20 N und 30 N Stärke, die unterrechtem Winkel zu einander stehen. Berechnen Sie die Beschleunigung und zeichnen Sie die Richtung imVergleich zu den Einzelkräften.

Zuerst werden die auf den Körper wirkenden Kräfte im Lageplan (“free body diagram”) skizziert, sieheAbbildung 2(a). Die Kräfte werden durch Pfeile dargestellt, deren Länge proportional zur Stärke (Betrag)der jeweiligen Kraft ist. Im Kräfteplan, Abbildung 2(b), werden die Einzelkräfte graphisch zurresultierenden Kraft kombiniert. Die momentane Beschleunigung des Schwerpunkts des Körpers ist inderselben Richtung wie die resultierende Kraft.

Abbildung 2: Im Lageplan (a) wer-den die einwirkenden Kräfte mög-lichst massstabsgerecht am Körpereingezeichnet. Im Kräfteplan (b) wer-den die Kräfte mit der Parallelo-grammregel zur resultierenden Kraftkombiniert.

Im Kräfteplan, Abbildung 2(b), sieht man, dass hier der Satz von Pythagoras anzuwenden ist

Freshier=

√F2

1 + F22 =

√(30 N)2 + (20 N)2 = 36 N

a =Fres

m=

36.0555 N1.75 kg

= 21 m/s2

Wenn das Bezugssystem, in dem die Beschleunigung gemessen wird, selbst beschleunigt ist, kann dasScheinkräfte wie die Zentrifugal- oder Corioliskraft vortäuschen. Man beschränkt sich mit Vorteil aufInertialsysteme (‘unbeschleunigte Bezugssysteme’).

Das Aktionsprinzip führt im allgemeinen auf eine Differentialgleichung, die sog. Bewegungsgleichung. Kür

ax = 1m Fres, x → x =

1m

∑i

Fx,i

Die Statik (Lehre vom Kräftegleichgewicht) ist ein Spezialfall von Fres = ma: Wenn ein Körper (respektive Pflichtdessen Massenmittelpunkt) im Gleichgewicht ist, verschwindet die resultierende Kraft. Wenn dieresultierende Kraft auf einen Körper verschwindet, so verharrt dessen Schwerpunkt in Ruhe oder bewegtsich mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer Geraden.


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ReaktionsprinzipPflicht

Das Reaktionsprinzip wird auch drittes Newtonsches Axiom oder Wechselwirkungsprinzip genannt.

Im Rahmen der newtonschen Mechanik werden Kräfte von Körpern ausgeübt und wirken auf Körper ein.Während ein Körper eine Kraft ausübt (actio) erfährt er gleichzeitig eine Rückwirkung (reactio,Reaktionskraft, Rückstosskraft) von gleicher Stärke aber umgekehrter Richtung. Kräfte treten also stetspaarweise auf. Man nennt sie deshalb auch Wechselwirkungen.

actio = reactio~F12 = − ~F21

Beispiel: Ein Lastwagen (40 t) und ein Personenwagen (1.3 t) stossen frontal zusammen. In welchemVerhältnis stehen die Kräfte?

Die Kräfte sind wegen des Reaktionsprinzips genau gleich gross. Da diese zwei Kräfte aber aufverschiedene Körper wirken, sind die Effekte (Beschleunigungen von LKW und PW) natürlich auchunterschiedlich.

Das Reaktionsprinzip ist im Rahmen der Newtonschen Mechanik äquivalent zum Impulserhaltungssatz. Inder modernen Physik ist der Impulserhaltungssatz grundlegender, denn das Newtonsche Reaktionsprinziphat Ausnahmen: Wenn beispielsweise die Sonne etwas wackelt, so merkt das die Erde erst acht Minutenspäter, weil keine Information schneller als das Licht sein kann.


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GewichtskraftPflicht

Die Schwerkraft oder Gewichtskraft ist

~FG = m~g

m ist die Masse des betrachteten Körpers und ~g die Fallbeschleunigung, Gravitationsfeldstärke oder derOrtsfaktor an der Stelle, wo sich dieser Körper befindet. Die Fallbeschleunigung ist tabelliert (oder kannmit Hilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes berechnet werden).

Beispiel: Der Mars-Rover ‘Curiosity’ hat eine Masse von 900 kg. Berechnen Sie sein Gewicht auf demMars.

FG = mgM = 900 kg · 3.7 m/s2 = 3.3 kN

Die Gravitationskraft wirkt im Prinzip auf jedes Massenelement eines starren Körper einzeln. DieseTeilkräfte können zur Gewichtskraft zusammengefasst werden, die im Gravizentrum (Schwerpunkt)angreift. Die Lage des Schwerpunkts hängt von der Massenverteilung des Körpers sowie demGravitationsfeld ab. In einem homogenen Schwerefeld stimmt das Gravizentrum mit demMassenmittelpunkt überein.


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FederkraftPflicht

Viele Federn erfüllen das Hookesche Federgesetz: Die Verlängerung der Feder ist proportional zur Kraft.

FF = D · y oder FF = −ky

Das Gesetz gilt, solange die Feder nicht überdehnt wird. In der Variante ohne Vorzeichen sind die Beträgegemeint, in der Variante mit Vorzeichen wird ausgedrückt, dass die Feder stets zur Gleichgewichtslagezurück zieht oder drückt. Die Auslenkung y wird von der Gleichgewichtslage aus gemessen. Die Grösse Doder k heisst Federkonstante (Direktionsgrösse, Richtgrösse).

Beispiel: Ein Körper von 400 g Masse wird an eine Feder gehängt. Im Gleichgewicht verlängert sich dieseFeder dadurch um 12.3 cm. Berechnen Sie die Federkonstante.

Fres = 0→ FF − FG = 0→ Dy = mg⇒

D =mgy

=0.400 kg · 9.81 m/s2

0.123 m= 31.9 N/m

Beispiel: Eine hookesche Feder wird von 2.8 cm auf 4.1 cm gedehnt. Um welchen Faktor verändert sichdie Federkraft?

Das hookesche Federgesetz ist eine direkte Proportionalität:

F ∝ yF ∼ y

F/y = const

⇒ F2

F1=

y2

y1=

4.1 cm2.8 cm

= 1.464 = 1.5

Die Federkraft nimmt 46 % zu.

Jede Feder hat ihre eigene Federkonstante. Die Federkonstante hängt vom Material und der Form derFeder ab. Es gibt auch Federn, die das Hookesche Gesetz nicht erfüllen.


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NormalkraftPflicht

Wenn sich die Oberflächen zweier Körper berühren, so üben sie Kräfte auf einander aus. DieBerührungskraft auf einen der Körper wird üblicherweise in zwei Komponenten aufgeteilt: EineKomponente senkrecht zur Oberfläche (Normalkraft) und eine parallel zur Oberfläche (Reibungskraft).

Beispiel: Eine Kiste der Masse 45 kg liegt ruhig auf einer ebenen Rampe, die 18° gegen die Horizontalegeneigt ist. Berechnen Sie die Normal- und Reibungskraft.

Abbildung 3: Auf die Kiste, die auf derschiefen Ebene steht, wirken die Gewichts-kraft (FG) der Erde sowie die Normalkraft(FN) und Reibungskraft (FR) der Rampe.Die Komponenten der Gewichtskraft senk-recht (FG⊥) und parallel (FG||) zur Ebenesind ebenfalls eingezeichnet.

Die Normalkraft kompensiert die senkrechte Komponente der Gewichtskraft, sonst würde die Kiste in derEbene einsinken. Die Reibungskraft kompensiert die parallele Komponente der Gewichtskraft, sonstwürde die Kiste beschleunigt abwärts rutschen. Also gilt für die Beträge

FN = FG⊥ = FG cosα = mg cosα = 45 kg · 9.81 m/s2 · cos 18° = 0.42 kN

FR = FG|| = FG sinα = mg sinα = 45 kg · 9.81 m/s2 · sin 18° = 0.14 kN


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GleitreibungskraftPflicht

Gleiten die Oberflächen zweier trockener Körper an einander vorbei, so gilt das Gleitreibungsgesetz nachCoulomb oder Amontons: Die Reibungskraft ist proportional zur Normalkraft (Anpresskraft).

FGR = µGFN

Die Gleitreibungszahl µG (der Gleitreibungskoeffizient) hängt von der Materialkombination ab. Die Kraft,mit welcher der betrachtete Körper senkrecht gegen die Oberfläche gedrückt wird, ist gleich gross wie dieNormalkraft FN der Oberfläche auf diesen Körper (sonst würde der Körper in die Oberfläche einbrechen).Die makroskopische Gleitreibungskraft ist unabhängig von der Flächengrösse und unabhängig von derGeschwindigkeit. Die Gleitreibungszahlen sind für verschiedene Materialkombinationen tabelliert.

Beispiel: Der Gleitreibungskoeffizient für Stahl auf Eis betrage 0.014 (wikipedia). Wie lange dauert es, bisein Schlittschuhläufer mit Anfangsgeschwindigkeit 3.8 m/s stille steht?

Fres = ma→ FGR = ma→ µGFN = ma→ µGmg = m∆υ

∆t⇒

∆t =∆υ

µGg=

3.8 m/s0.014 · 9.81 m/s2 = 28 s

Die Gleitreibungszahlen sind meist nicht sehr genau bestimmt und deshalb nur als Richtwerte zubetrachten.


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HaftreibungskraftPflicht

0 6 FHR 6 µHFN

Das Haftreibungsgesetz hat zwei Aspekte:1. Die Haftreibungskraft kompensiert die Zugkraft, solange die maximale Haftreibungskraft nichtüberschritten wird.2. Die maximale Haftreibungskraft ist proportional zur Normalkraft (Anpresskraft).

Die Haftreibungszahl µH (der Haftreibungskoeffizient) hängt von der Materialkombination sowie der Zeit,während der die Oberflächen gegen einander gepresst wurden, ab. Richtwerte sind tabelliert.

Beispiel: Ein Auto (1.4 t) ist auf einer Strasse mit 5.3° Neigung abgestellt. Berechnen Sie dieHaftreibungskraft auf das Auto.

Die Haftreibung muss die Komponente des Gewichts parallel zur Ebene kompensieren:

FHR = FG || = mg sinα = 1.4 · 103 kg · 9.81 m/s2 · sin 5.3° = 1.3 kN

Beispiel: Ein Holzbrettchen liegt lose auf einer geneigten Holzplanke. Bei welchem Neigungswinkelbeginnt das Brettchen zu rutschen?

Grenzlage: µHFN = FG || → µHFG⊥ = FG‖ → µHmg cosα = mg sinα⇒ µH = tanα⇒α = arctan µH ≈ arctan 0.4 ≈ 22°


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ArbeitPflicht

Arbeit ist definiert als Kraftkomponente in Wegrichtung F‖ mal Weg s.

W = F‖ · s

Wenn α der Winkel zwischen Kraft- und Wegrichtung ist, so kann man auch W = Fs cosα schreiben.Die zusammengesetzte SI-Einheit der Arbeit ist das Joule (Symbol J): 1 J = 1 kg ·m2 · s−2

Beispiel: Ein Auto erfahre eine Luftwiderstandskraft von 300 N und bewege sich 2.5 km weit. Wie vielArbeit verrichtet der Luftwiderstand?

W = Fss = 300 N · 2.5 · 103 m = 7.5 · 103 J

Beispiel: Ein Fass von 31 kg Masse rollt eine 4 m lange Rampe, die 12° gegen die Horizontale geneigt ist,hinab. Wie gross ist die Arbeit, welche die Gewichtskraft am Fass verrichtet?

Nur die Komponente FG|| der Gewichtskraft parallel zur Ebene verrichtet Arbeit:

W = Fss = FG|| · s = mg sinα · s = 31 kg · 9.81 m/s2 · sin 12° · 4 m = 253 J = 0.3 kJ

Bemerkung Kür

W = ~F · ~s Schreibweise mit Skalarprodukt

W =

∫ B

AF‖ds Erweiterung auf krumme Wege oder variable Kraft


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EnergiePflicht

“Energie ist gespeicherte Arbeit.”Genauer: Die Energie E2 nachher ist die Summe aus der Energie E1 vorher, der Arbeit W, die an demSystem verrichtet wurde, sowie weiteren Energieänderungen.

E2 = E1 + W + . . .

Beispiel: Ein Curlingstein (19 kg) wird mit 8.3 N auf einer Strecke von 1.2 m angeschoben. Wie vielnimmt seine Energie zu?

E2 − E1 = W = Fs = 8.3 N · 1.2 m = 10 J

Die Beziehung ∆E = W + . . . ist verwandt mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik.


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Kinetische EnergiePflicht

Kinetische Energie ist Bewegungsenergie.

Ek = 12mυ2

Genauer: Gemeint ist hier die Translationsenergie des Massenmittelpunkts, d.h. ohne Rotationsenergie.Die kinetische Energie hängt vom gewählten Bezugssystem ab.

Beispiel: Ein Geschoss hat 4.0 g Masse und kinetische Energie 1700 J. Wie schnell bewegt es sich?

υ =

√2Em

=

√2 · 1700 m/s4 · 10−3 kg

= 0.92 km/s


31

Potentielle EnergiePflicht

Potentielle Energie ist Lageenergie.

Ep = mgh

Der Nullpunkt der potenziellen Energie ist frei wählbar (aber nur ein Mal).Genauer: Gemeint ist hier die Lageenergie eines Körpers im homogenen Schwerefeld nahe derErdoberfläche.

Beispiel: Der Lac des Dix enthält 401 Millionen Tonnen Wasser und befindet sich etwa 1.8 km über demTurbinenhaus. Wie gross ist seine potentielle Energie?

Wir wählen den Nullpunkt der potenziellen Energie beim Turbinenhaus.

Ep = mgh = 401 · 109 kg · 9.81 m/s2 · 1.8 · 103 m = 7.1 · 1015 J


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Spannungsenergie einer FederPflicht

Eine gespannte Feder, die das Hookesche Federgesetz erfüllt, enthält die Energie

EF = 12 Dy2

Beispiel: Eine Feder mit Federkonstante 100 N/m hat 2.8 J Spannungsenergie gespeichert. Berechnen Siedie Verlängerung y der Feder.

y = ±

√2EF

D= ±

√2 · 2.8 J

100 N/m= ±24 cm

Energie kann sowohl in gedehnten als auch in gestauchten Federn gespeichert werden.


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EnergieerhaltungssatzPflicht

Die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System ist erhalten. Energie kann weder erzeugt nochvernichtet werden. Ändern kann sich nur die Verteilung auf die verschiedenen Energieformen.

Ekin + Epot + · · · = const

In der Mechanik ist ein System abgeschlossen, wenn keine Kräfte von aussen auf das System einwirkenund keine Teilchen ein- oder austreten. Allgemein ist ein System abgeschlossen, wenn keine Energiehinein oder hinaus fliesst. Hinter den Punkten (+ . . . ) verbirgt sich zum Beispiel die innere Energie U einesKörpers (chemische Energie, Kernenergie, “Wärmeenergie”, usw.). Es werden nur jene Energieformenaufgeführt, welche sich im betrachteten Prozess ändern.

Beispiel: Ein Wasserstrahl tritt mit 3.7 m/s horizontal aus einer Brunnenröhre. Mit welcher Schnelligkeittrifft er 78 cm weiter unten auf den Wasserspiegel im Brunnentrog?

Ek2 + Ep2 + U2 = Ek1 + Ep1 + U1

U2 = U1 Wahl: Ep2 = 012mυ2

2 + 0 = 12mυ2

1 + mgh

υ2 =

√υ2

1 + 2gh =√

(3.7 m/s)2 + 2 · 9.81 m/s2 · 0.78 m = 5.4 m/s

Falls das betrachtete System nicht abgeschlossen ist, muss einfach berücksichtigt werden, wie viel Energiedas System betritt oder verlässt, siehe auch den ersten Hauptsatz der Thermodynamik.


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LeistungPflicht

Die Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeit oder als Energieübertrag pro Zeit.

P =W∆t

=∆E∆t

Die SI-Einheit der Leistung ist das Watt (gleich Joule pro Sekunde).

Beispiel: Eine Kochplatte hat nominell die Leistung 1.6 kW. Wie viel Energie gibt sie in einer Minute ab?

∆E = P · ∆t = 1.6 · 103 W · 60 s = 96 kJ

Beispiel: Die Luftwiderstandskraft ist proportional zum Quadrat der Schnelligkeit (FW ∝ υ2). Wie

verändert sich die Leistung, wenn sich die Schnelligkeit um 10 % erhöht? Kür

P =W∆t

=F‖∆s∆t

= F‖ · υ

PW = Fwυ ∝ υ2 · υ

PW ∝ υ3 ⇒

P2

P1=υ3

2

υ31

=

(υ2

υ1

)3

=

(110 %100 %

)3

= 1.103 = 1.33

Die Leistung, um den Luftwiderstand zu kompensieren, nimmt 33 % zu.


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WirkungsgradKür

Der Wirkungsgrad einer Maschine ist das Verhältnis von verrichteter Arbeit zu aufgenommener Energie(oder von genutzter zu aufgenommener Energie).

η =W2

W1

Der Energiesatz fordert, dass der Wirkungsgrad zwischen 0 und 100 % liegt.

Beispiel: Ein Elektromotor nimmt 6.8 J elektrische Energie auf und hebt damit eine Last von 300 g um1.5 m an. Berechnen Sie den Wirkungsgrad.

η =∆E2

∆E1=

mgh∆E1

=0.300 kg · 9.81 m/s2 · 1.5 m

6.8 J= 0.65 · 100 % = 65 %

Beispiel: Das Etzelwerk des Sihlsees hat eine maximale, elektrische Leistung von 140.22 MW(Bahnstrom). Den Turbinen wird maximal 34.62 m3/s Wasser bei einer mittleren Fallhöhe von 483.3 mzugeführt. Berechnen Sie den Wirkungsgrad.

η =W2

W1=

W2 · ∆t∆t ·W1

=P2

P1

=P2

mgh/∆t=

P2

ρ∆V∆t gh

=

=140.22 · 106 W

998 kg/m3 · 34.62 m3/s · 9.81 m/s2 · 483.3 m= 0.856

Bemerkung: Es gibt verschiedene Sorten von Wirkungsgraden. Der hier vorgestellte Wirkungsgrad ist dergeläufigste. Für den thermodynamischen Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine gilt ein speziellesGesetz (zweiter Hauptsatz der Wärmelehre).


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KilowattstundePflicht

Die Kilowattstunde (kWh) ist eine gängige Energieeinheit (nicht SI):

1 kWh = 3.6 MJ = 3.6 · 106 J (exakt)

Beispiel: Der Energieverbrauch 2018 der Schweiz betrug 831 PJ. Die Schweiz hatte damals 8.54 MillionenEinwohner. Berechnen Sie den Verbrauch pro Kopf in Kilowattstunden.

∆E∆N

=831 · 1015 J

8.54 · 106 · 3.6 · 106 J/kWh= 27 030 kWh zwei bis drei signifikante Stellen

Die Einheit Joule muss sich bei der Umwandlung kürzen lassen und die Einheit kWh muss übrig bleiben.


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ImpulsKür

Die Grösse Impuls kann umgangssprachlich als “Schwung” bezeichnet werden. Für kleineGeschwindigkeiten ist sie proportional zur Masse des Körpers und proportional zur (gerichteten!)Geschwindigkeit.

~p = m · ~υ [p] =kg ·m

s=

kg ·ms2 · s = N · s

Der Impuls ist eine Erhaltungsgrösse und ermöglicht eine alternative Formulierung des zweitennewtonschen Axioms.

Der Gesamtimpuls eines ausgedehnten Körpers oder mehrerer Massenpunkte ist die vektorielle Summeder Teilimpulse. Er ist gleich der Gesamtmasse multipliziert mit der Geschwindigkeit desMassenmittelpunkts (‘Schwerpunkts’).

Der gemeinsame Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) zweier Körper teilt die Verbindungslinie derKörperschwerpunkte im umgekehrten Verhältnis der Massen: Pflicht

xS =m1x1 + m2x2

m1 + m2xS , x1, x2: Koordinaten der betreffenden Objekte

Für hohe Geschwindigkeiten muss das relativistische Impulsgesetz verwendet werden: ~p = γm~υ.Für Licht gilt p = E/c. Kür


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ImpulserhaltungssatzKür

In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls erhalten.

~p1 + ~p2 + · · · =

n∑i=1

mi~υi = const

Ein abgeschlossenes System besteht aus n > 1 Körpern oder Massenpunkten, auf die von aussen keineKräfte ausgeübt werden. Untereinander dürfen sie Kräfte ausüben.

Da der Gesamtimpuls gleich dem Produkt aus Gesamtmasse und Geschwindigkeit des Schwerpunkts ist,muss sich der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems gleichmässig auf einer Geraden bewegen(Schwerpunktsatz).

Beispiel: Wilhelm Tell schiesst einen Pfeil (35 g, 40 m/s) auf einen Apfel (260 g, ruhend). Nehmen wir an,dass der Pfeil stecken bleibt (was nicht realistisch ist) und zusammen mit dem Apfel weiter fliegt. WelcheGeschwindigkeit hat dann der Apfel?

m1υ1 + m2 · 0 = m1υ2 + m2υ2 ⇒ υ2 =m1υ1

m1 + m2=

35 g · 40 m/s35 g + 260 g

= 4.7 m/s

Bei einem vollkommen unelastischen Stoss (siehe vorangehendes Beispiel), bewegen sich die Stosskörpernach dem Zusammenprall mit gleicher Geschwindigkeit weiter. Bei einem vollkommen elastischen Stossist die kinetische Energie vor und nach dem Stoss gleich.


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Grundgesetz der MechanikKür

In einem Inertialsystem wird der Impuls eines Körpers durch Kräfte verändert:

~Fres =d~pdt

Die Formulierung F = ∆p/∆t ist im Rahmen der newtonschen Mechanik gleichwertig zu F = ma.

Beispiel: Ein Auto von 1.34 Tonnen Masse beschleunige in 3.4 s von Null auf 30 m/s. Wie gross ist diebeschleunigende Kraft?

~Fres =∆p∆t

=p2 − p1

∆t=

mυ2 − 0∆t

=1.34 · 103 kg · 30 m/s

3.4 s= 1.2 · 104 N · s

BemerkungDer Impuls eines offenen Systems kann sich auch ändern, wenn Strahlung oder Materie ein- oder austritt.

Beispiel: Der Impuls einer Rakete ändert sich nicht, weil Kräfte von aussen einwirken (Schwerelosigkeit!),sondern weil Gase die Rakete durch die Düse verlassen.

d~pRakete = ~Fres · dt − dmGas · υGas

mR · dυR = 0 − dmG · ~υG

mR ·d~υR

dt= −

dmG

dt· ~υG

mR~aR = −dmG

dt· ~υG “Schubkraft”


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WinkelgeschwindigkeitPflicht

ω =2πT

= 2π f =υ

r

Die Winkelgeschwindigkeit ω (Omega) wird benötigt, um Dreh- und Kreisbewegungen (Abbildung 4) zucharakterisieren. Sie hängt mit der Umlaufzeit T und der Frequenz f zusammen. Da die harmonischeSchwingung als Komponente einer Kreisbewegung eingeführt werden kann, tritt sie dort ebenfalls auf,aber unter dem Namen Kreisfrequenz.

Abbildung 4: Ein Punkt bewege sich mit konstanter Bahngeschwin-digkeit υ (Schnelligkeit) auf einem Kreis mit Radius r um ein ZentrumZ. In gleichen Zeiten ∆t werden gleiche Winkel ∆ϕ respektive gleicheBogenlängen ∆b überstrichen.

Das Bogenmass des Winkels ∆ϕ ist das Verhältnis von Bogenlänge∆b zu Radius r:

∆ϕ =∆br

[∆ϕ] = rad Hilfseinheit Radiant

Die Winkelgeschwindigkeit ω ist definiert als überstrichener Winkel ∆ϕ pro Zeit ∆t:

ω =∆ϕ

∆t[ω] =

rads

= s−1

υ =∆b∆t

=∆ϕ · r

∆t= ω · r Bahngeschwindigkeit, Schnelligkeit

Die Umlaufzeit (Periodendauer) T ist die Zeit, die für einen vollständigen Kreisumlauf benötigt wird:∆ϕ = 2π⇒ ω = 2π/T . Bei der harmonischen Schwingung wird T Perioden- oder Schwingungsdauergenannt.

Die Frequenz f ist die Anzahl Umläufe pro Zeit (Anzahl Schwingungen oder Perioden pro Zeit). DieFrequenz ist der Kehrwert der Umlaufzeit: f = 1/T . Die Frequenz wird in der Einheit Hertz (Hz)angegeben, um Verwechslungen mit der Winkelgeschwindigkeit zu vermeiden.

Beispiel: Der Sekundenzeiger meiner Armbanduhr ist 4.0 mm lang. Berechnen Sie seine mittlereWinkelgeschwindigkeit, die Drehfrequenz und die Bahngeschwindigkeit der Zeigerspitze. Die Uhr geheweniger als eine Sekunde pro Tag falsch.

T = 60.000 s =86400 s24 · 60

ca. fünf signifikante Stellen

f =1T

= 1.0000 min−1 =1

60.000 s= 16.667 mHz

ω =2πT

=2π

60.000 s= 0.10472 rad/s

υ = ωr =2πrT

=2π · 4.0 · 10−3 m

60 s= 4.2 · 10−4 m/s


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ZentripetalbeschleunigungPflicht

az =υ2

r= rω2

Wenn sich ein Punkt gleichmässig mit Bahngeschwindigkeit (Schnelligkeit) υ oderWinkelgeschwindigkeit ω auf einem Kreis mit Radius r bewegt, so ist er mit az beschleunigt, weil erständig seine Bewegungsrichtung ändert. Der Beschleunigungsvektor ist vom betrachteten Punkt auf derKreislinie zum Kreiszentrum gerichtet. Die Zentripetalbeschleunigung wird auch Radial-, Transversal-,Normal- oder Querbeschleunigung genannt.

Bei einer ungleichmässigen Kreisbewegung hat der Beschleunigungsvektor zusätzlich noch eineKomponente parallel zur momentanten Bewegungsrichtung (Tangential-, Longitudinal-, Bahn- oderLängsbeschleunigung at = ∆|υ|/∆t).

Die Zentripetalbeschleunigung verändert nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors, dieBahnbeschleunigung beeinflusst nur den Betrag der Geschwindigkeit.

Bewegt sich der Schwerpunkt eines Körpers auf einem Kreis, so gilt

~Fres = m~az + m~at ~az ⊥ ~at

Die zentripetale Komponente der resultierenden Kraft wird auch Zentripetalkraft genannt.

Beispiel: Ein Rad hat Radius 30 cm. Es rollt mit 17 m/s über eine Strasse. Welche Beschleunigung erfährtein Stück des Radumfangs?

az =υ2

r=

(17 m/s)2

0.30 m= 9.6 · 102 m/s2

Beispiel: Ein Fadenpendel rotiert auf einem vertikalen Kreis. Der Faden hat eine Länge von 65 cm, derPendelkörper hat 71 g Masse und eine Bahngeschwindigkeit von 8.3 m/s im tiefsten Punkt. Mit welcherKraft zieht der Faden im tiefsten Punkt den Pendelkörper nach oben?

Im tiefsten Punkt wird das Pendel momentan weder schneller noch langsamer, d.h. dieBahnbeschleunigung verschwindet in diesem Moment.

~Fres = m~az + m~athier= m~az

Fres = maz

FF − mg = mυ2

r

FF =mυ2

r+ mg =

0.071 kg · (8.3 m/s)2

0.65 m+ 0.071 kg · 9.81 m/s2 = 8.2 N

Bemerkung: Die Zentrifugalbeschleunigung tritt nur in einem rotierenden Bezugssystem auf und hat denWert aZF = RΩ2, wobei R der Abstand des Körpers von der Drehachse und Ω die Winkelgeschwindigkeitdes Bezugssystems (relativ zu einem Inertialsystem) ist. Kür


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Newtonsches GravitationsgesetzPflicht

FG = G ·m1m2

r2 Gravitationskraft

G = 6.67430(15) · 10−11 N ·m2/kg2 Gravitationskonstante

Zwei kugelsymmetrische Körper mit Massen m1 und m2 sowie Mittelpunktsabstand r ziehen sich mit derGravitationskraft FG an. Die Gravitationskonstante G ist unabhängig vom Material und hat überall imUniversum denselben Wert.

Beispiel: Berechnen Sie die Fallbeschleunigung auf dem Mars aus dessen Masse und Radius.

Fres = ma→GMm

r2 = mg⇒

g =GMr2 =

6.674 · 10−11 N ·m2/kg2 · 0.642 · 1024 kg(3.40 · 106 m)2 = 3.71 m/s2

Die Grösse ~g = ~FG/m heisst Gravitationsfeldstärke (Gravitationskraft auf eine Probemasse pro Masse).

Beispiel: Der Mond Miranda hat Bahnradius 129 872 km und Umlaufzeit 1.4135 d. Berechnen Sie dieMasse des Planeten. Welcher Planet ist es?

Fres = maz →GmPmM

r2 = mMrω2 = mMr ·(2πT

)2

GmP

4π2 =r3

T 2 3. Keplersches Gesetz (ergänzte Fassung)

mP =4π2

G·

r3

T 2 =4π2

6.67430 · 10−11 N ·m2/kg2 ·(129.872 · 106 m)3

(1.4135 · 86400 s)2 = 8.6872 · 1025 kg

Nach wikipedia gehört die Masse 86.81·1024 kg zu Uranus.

Das Newton’sche Gravitationsgesetz wurde aus den älteren, Kepler’schen Gesetzen hergeleitet: Kür

1. Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

2. Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der grossen Halbachsender Ellipsenbahnen: T 2

1 : T 22 = a3

1 : a32


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DrehmomentKür

Das Drehmoment ist eine Art “Drehwirkung”. Es wird beispielsweise benötigt, um zu beschreiben, wiestark eine Schraube angezogen werden soll. Das Drehmoment taucht im Hebelgesetz auf.

M = aF = rF sinα

Das Drehmoment einer Kraft bezüglich einer Drehachse ist Produkt aus der Kraft F und ihrem Hebelarma. Der Hebelarm ist der Abstand der Drehachse von der Wirkungslinie der Kraft, siehe Abbildung 5.

Abbildung 5: Das Drehmoment ist das Produkt aus Kraft F und Hebelarm a. Sei r der Abstandvom Angriffspunkt A der Kraft bis zur Drehachse D. Die Drehachse steht in allen drei Bildernsenkrecht zur Zeichenebene.Linkes Bild: Falls die Kraft senkrecht zu r angreift, ist r = a.Mittleres Bild: Falls die Kraft unter einem Winkel α , 90° zu r angreift, so ist der Hebelarm ader Abstand von der Drehachse D zur Wirkungslinie w der Kraft: a = r sinα. Die Wirkungsliniehat die Richtung der Kraft und geht durch den Angriffspunkt A der Kraft.Rechtes Bild: Das Drehmoment kann auch beschrieben werden als Abstand r multipliziert mitder Komponente F⊥ = F sinα der Kraft senkrecht zu r.

Beispiel: Die Mechanikerin zieht mit 50 N an einem 30 cm langen Schraubenschlüssel (senkrecht zumSchaubenschlüssel). Berechnen Sie das Drehmoment, mit der die Schraube angezogen wird.

M = aF = 0.30 m · 50 N = 15 N ·m Einheit: Newtonmeter

Das Drehmoment ist eine gerichtete Grösse: In der Abbildung 5 genügt dazu ein Vorzeichen: Das KürDrehmoment ist positiv, wenn die Kraft eine Drehbewegung im mathematisch positiven Drehsinn erzeugt(Gegenuhrzeigersinn).

Im Raum hat der Drehmomentvektor die Richtung der Drehachse und wird meist mittels einesVektorprodukts berechnet:

~M = ~r × ~F


44

HebelgesetzPflicht

a1F1 = a2F2

Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der einwirkenden Kräfte und die Summe derDrehmomente verschwinden. Ein Hebel ist ein starrer Körper, d.h. ein ausgedehntes Objekt mit Masse(Trägheit), das seine Form unter Krafteinfluss nicht ändert.

Beispiel: Der Papi (72 kg) setzt sich mit dem Sohn (18 kg) auf die Wippe. Der Sohn sitzt 3.5 m von derDrehachse entfernt. Wo muss sich Papi hinsetzen, damit die Wippe im Gleichgewicht ist ohne an einemEnde aufzuliegen?

a1F1 = a2F2 → a1m1g = a2m2g⇒ a2 = a1 ·m1

m2= 3.5 m ·

18 kg72 kg

= 0.88 m

Beispiel: Siehe Abbildung 6.

Abbildung 6: Ein Balken der Masse m = 18 kg undLänge l = 3.4 m wird bei A am linken Ende und bei Bim Abstand AB = 2.6 m vom linken Ende unterstützt.Berechnen Sie die Kraft, mit der die Stütze bei B denBalken tragen muss.

Wir wählen die Drehachse bei A. Dann erzeugen die Gewichtskraft, die im Schwerpunkt bei AS = l/2angreift, und die Stützkraft bei B ein Drehmoment auf den Balken (Die Stützkraft bei A hat Hebelarm Nullund erzeugt bei dieser Wahl kein Drehmoment). Die Drehmomente müssen sich kompensieren, also ist

aBFB = aGFG → FB =aG · FG

aB=

(l/2) · mgaB

=3.4 m · 18 kg · 9.81 m/s2

2 · 2.6 m= 115 N = 0.12 kN

Wenn wir die Drehachse bei B wählen, können wir die Stützkraft bei A bestimmen. Danach können wirdie Rechnung prüfen, denn es muss ja FA + FB = FG gelten. Der Balken muss bezüglich jeder Wahl derDrehachse im Gleichgewicht sein.

Das Hebelgesetz lässt sich leicht auf mehr als zwei Drehmomente erweitern:∑

i Mi = 0.

Wenn ein starrer Körper im Gleichgewicht ist, kann sich sein Massenmittelpunkt immer noch mitkonstanter Geschwindigkeit bewegen. Er kann auch um diesen Punkt rotieren (diese drehmomentfreieRotationsbewegung kann im allgemeinen Fall recht kompliziert aussehen).


45

DruckPflicht

p =FN

A[p] = 1 N/m2 = 1 Pa (Pascal)

Der Druck ist definiert als Kraft pro Fläche, wobei die Kraftkomponente senkrecht zur Fläche(Normalkraft) einzusetzen ist. Die Kraftkomponente parallel zur Fläche führt auf die Schubspannung, dieKraftkomponente senkrecht zur Oberfläche führt auf die Zug- oder Druckspannung.

Für den technischen Gebrauch ist die Einheit Bar gebräuchlich: 1 bar = 105 Pa (exakt).1 bar ist ungefähr der irdische Luftdruck auf Meereshöhe (Normdruck).

Beispiel: Ein Blatt Papier der Stärke 100 g/m2 liegt flach auf dem Tisch. Welchen Druck erzeugt esungefähr durch sein Gewicht?

p =FN

A=

mgA

=mA· g ≈ 0.100 kg/m2 · 10 m/s2 = 1.0 Pa.

Wird eine Flüssigkeit (oder ein Gas) in einem geschlossenen Zylinder durch einen Kolben unter Druckgesetzt, so steigt der Druck überall im Fluid und in alle Richtungen gleich an.

Der Druck in einer ruhenden Flüssigkeit verursacht Kräfte, die senkrecht auf die Behälterwände wirken.


46

DruckarbeitKür

W = p · ∆V aus W = F · ∆s = p · A · ∆s = p · ∆V

Die Arbeit, die eine Pumpe verrichtet, ist das Produkt aus (mittlerem) Druck und gepumptem Volumen.

Beispiel: Die Einspritzpumpe für einen sog. common-rail Dieselmotor erzeugt Drücke von 2000 bar undhat eine Leistung von 1 PS. Berechnen Sie die Fördermenge.

P =W∆t

=p · ∆V

∆t⇒

∆V∆t

=Pp

=1 PS · 735 W/PS

2000 bar · 105 Pa/bar= 3.7 · 10−6 m3/s = 13 L/h


47

NormdruckPflicht

pn = 101 325 Pa

Der Normdruck ist ziemlich genau der mittlere, irdische Luftdruck auf Meereshöhe. Man hat ihn früher alsMasseinheit namens ‘physikalische Atmosphäre’ verwendet: 1 atm = 1.01325 bar.


48

SchweredruckPflicht

pS = ρgh

Taucht man in einer Flüssigkeit um die Höhe h nach unten, so steigt der Druck um pS an. DerAbsolutdruck in der Tiefe h unter der Oberfläche eines Sees ist die Summe aus Luftdruck undSchweredruck. Die genannte Formel gilt, solange das Fluid (Flüssigkeit oder Gas) als inkompressibelbetrachtet werden darf.

Beispiel: Wie viel steigt der Druck, wenn man im Schwimmbad 3.0 m tief taucht?

pS = ρgh = 998 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 3.0 m = 2.94 · 104 Pa = 0.29 bar

Pro zehn Meter Wassersäule steigt der Druck etwa um ein Bar.

Beispiel: Auf welchen Wert sinkt der Luftdruck, wenn man von Meereshöhe hundert Meter nach obensteigt?

p = pn − ρgh = 101325 Pa − 1.293 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 100 m = 101325 Pa − 1268 Pa = 1.0006 bar

Die Dichte von Luft gilt für 0 °C. Für diesen kleinen Höhenunterschied wurde die Luftdichte als konstantangenommen.


49

StaudruckKür

∆p = 12ρυ

2

Wird eine Flüssigkeit der Dichte ρ und Schnelligkeit υ auf Null abgebremst, so steigt der Druck um ∆p an.Umgekehrt kann ein Druckunterschied von ∆p eine reibungsfreie, ruhende Flüssigkeit auf dieGeschwindigkeit υ beschleunigen. Begründung:

W = 12mυ2 → p · ∆V = 1

2 · ρ · ∆V · υ2 ⇒ ∆p = 12ρυ

2

Beispiel: Die Pumpe einer Feuerwehrspritze erzeugt einen Überdruck von 8.0 bar. Wie schnell spritzt dasWasser aus der Düse am Schlauch?

υ =

√2 · ∆pρ

=

√2 · 8 · 105 Pa998 kg/m3 = 40 m/s

Beispiel: Der Staudamm hat ein Loch 20 m unter dem Wasserspiegel. Wie schnell spritzt das Wasserheraus?

∆p = 12ρυ

2 = ρgh⇒ υ =√

2gh Ausflussgesetz von Torricelli

υ =√

2gh =√

2 · 9.81 m/s2 · 20 m = 20 m/s

Bei diesem Gesetz wird der Druckverlust durch Strömungswiderstand vernachlässigt.


50

AuftriebKür

FA = ρFgVK

Ein Körper des Volumens VK erfährt in einem Fluid der Dichte ρF die Auftriebskraft FA. Der Auftriebentspricht dem Gewicht des verdrängten Fluids (Gesetz von Archimedes).

Beispiel: Welche Auftriebskraft erfährt ein Präzisionsmassestück von 1.000000 kg Masse aus Stahl wegendes Auftriebs der Luft?

FA = ρLgVK = ρLgmρS

=1.2 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 1.000000 kg

7.9 · 103 kg/m3 = 1.5 mN

Weder der Luftdruck (für die Luftdichte) noch die Stahlsorte (für die Stahldichte) sind genauer spezifiziert.Das Resultat weist höchstens zwei wesentliche Ziffern auf.

Beispiel: Welcher Anteil des Volumens eines schwimmenden Eiswürfels befindet sich unter Wasser?

VK = Vu + Vü Der Würfel ist teilweise unter (Vu) und teilweise über (Vü) WasserFG = FA Im Gleichgewicht wird das Gewicht des Würfels durch den Auftrieb kompensiert.ρEgVK = ρWVug + ρLuftVüg ≈ ρWVug

Vu

VK=ρE

ρW=

917 kg/m3

1000 kg/m3 = 91.7 %

In der Lösung wurde die Dichte von Süsswasser bei 0 °C verwendet. Eisberge schwimmen im salzigenMeer, das eine höhere Dichte hat.


51

KontinuitätsgleichungKür

∆V∆t

= A · υ = const

Wenn in einen Schauch 3 Liter pro Sekunde Wasser hinein fliessen, so fliessen auch drei Liter pro Sekundewieder heraus. Der Volumenstrom q = ∆V/∆t einer inkompressiblen Flüssigkeit ist konstant. Wenn dieQuerschnittsfläche A eines Schlauches durch eine Düse verengt wird, so fliesst die Flüssigkeit in der Düseschneller als im Schlauch. Die Variable υ bezeichnet die mittlere Strömungsgeschwindigkeit.

Beispiel: Was passiert mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit, wenn sich der Durchmesser einesRohres halbiert?

υA = const⇒ υ ∝1A⇒

υ2

υ1=

A1

A2=

d21

d22

=

(d1

d2

)2

= 22 = 4

Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit ist umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche (υ ∝ 1/A),deshalb vervierfacht sich die Geschwindigkeit, wenn der Durchmesser halbiert wird (A ∝ d2).

Beispiel: Der runde Druckstollen des Kraftwerks Pradella-Martina hat den Durchmesser 6.0 m und einSchluckvermögen von 93 m3/s. Berechnen Sie die mittlere Strömungsgeschwindigkeit.

∆V∆t

= q = υ · A = υ · π4 d2 ⇒

υ =4qπd2 =

4 · 93 m3/sπ · (6.0 m)2 = 3.3 m/s


52

LuftwiderstandKür

Fw = cW A12ρυ

2

Bei nicht allzu kleinen Geschwindigkeiten ist die Luftwiderstandskraft Fw auf einen Körper, der sich mitSchnelligkeit υ relativ zur Luft (oder einem anderen Fluid) bewegt, proportional zum Quadrat dieserSchnelligkeit. Der Strömungswiderstand ist ausserdem proportional zur Dichte ρ der Luft sowie zurQuerschnittsfläche A (Stirnfläche, Projektionsfläche in Strömungsrichtung) des umströmten Körpers. DerWiderstandsbeiwert cw wird im Windkanal gemessen und ist tabelliert. Der Zahlenwert ist über grosseGeschwindigkeitsbereiche konstant, verändert sich aber z.B. beim Übergang von Unter- zuÜberschallgeschwindigkeit.

Beispiel: Wie viel steigt der Benzinverbrauch eines Autos aufgrund des Luftwiderstands, wenn dieselbeStrecke mit 10 % höherer Geschwindigkeit durchfahren wird?

W = FW s ∝ υ2 ⇒W2

W1=

(υ2

υ1

)2

= 1.102 = 1.21 = 100 % + 21 %

Beispiel: Ein Tischtennisball hat 40 mm Durchmesser und 2.7 g Masse. Welche Geschwindigkeit kann ererreichen, wenn man ihn vom Dach eines Hochhauses fallen lässt?

Der Ball wird immer schneller, bis das Gewicht vom Luftwiderstand kompensiert wird.

mg = cw ·π4 d2 · 1

2ρυ2

υ =

√8mg

cwπd2ρ=

√8 · 2.7 · 10−3 kg · 9.81 m/s2

0.47 · π · (40 · 10−3 m)2 · 1.2 kg/m3 = 8.6 m/s


53

TemperaturPflicht

T − ϑ = 273.15 K∆T = ∆ϑ

Die Variable T steht für eine absolute Temperatur in Kelvin, der Platzhalter ϑ (auch t) für eineTemperaturangabe in Grad Celsius. Die Celsiusskala war früher so definiert, dass bei Normaldruck derErstarrungspunkt von Wasser bei 0 °C liegt und der Siedepunkt bei 100 °C.

Das Kelvin ist die SI-Basiseinheit der Temperatur. Die Celsiusskala ist 273.15 Einheiten gegen dieKelvinskala verschoben. Der absolute Temperaturnullpunkt liegt bei 0 K respektive -273.15 °C.

1. Beispiel: Der Schmelzpunkt von Gold liegt bei 1064,18 °C (wikipedia). Wie viel ist das in Kelvin?

ϑ = 1064.18 °CT = (1064.18 + 273.15) K = 1337.33 K

2. Beispiel: Die Temperatur in einer Probe steigt um 37 °C. Wie gross ist der gleiche Temperaturanstieg inKelvin?

∆ϑ = 37 °C ≡ 37 K = ∆T

Temperaturunterschiede haben in der Celsius- und Kelvinskala denselben Zahlenwert.


54

WärmeausdehnungKür

∆l = α0l0 · ∆ϑ

Die meisten Stoffe dehnen sich aus, wenn sie erhitzt werden. Für kleine Temperaturveränderungen∆ϑ = ϑ − ϑ0 ist die Längenveränderung ∆l proportional zu ∆ϑ und proportional zur Ausgangslänge l0. DieGrösse α0 heisst Längenausdehnungskoeffizient. Die Ausgangslänge l0 und derWärmeausdehnungskoeffizient α0 sind bei der Ausgangstemperatur ϑ0 gemessen. α0 ist tabelliert.

Bei Flüssigkeiten gilt ein analoges Gesetz für das Volumen.

∆V = γ0V0 · ∆ϑ γ0: Volumenausdehnungskoeffizient bei der Bezugstemperatur ϑ0

Der Volumenausdehnungskoeffizient eines Festkörpers folgt aus dem Längenausdehnungskoeffizienten:γ = 3α.

Beispiel: Ein Blechlineal (Eisen) ist 1000 mm lang. Wie viel zieht er sich zusammen, wenn er um 10 °Cabkühlt?

∆l = αl∆ϑ = 12 · 10−6 K−1 · 1000 mm · (−10 K) = −0.12 mm

Beispiel: Eine gewisse Menge Quecksilber erhitzt sich von 20 auf 30 °C. Berechnen Sie die relativeVeränderung der Dichte.

ρ1 =mV1

=m

V0 + γ0V0 · (ϑ − ϑ0)ρ1 − ρ0

ρ0=ρ1

ρ0− 1 =

11 + γ0 · (ϑ − ϑ0)

− 1 =1

1 + 1.82 · 10−4 K−1 · (30 − 20) K− 1 = −1.82 · 10−3

Wasser dehnt sich nicht linear aus. Um die Volumenausdehnung von Wasser zu berechnen, solltenMesswerte aus einer Dichtetabelle ρ(ϑ) verwendet werden.


55

Spezifische WärmekapazitätPflicht

∆Q = cpm∆ϑ

cp = 4182 J/(kg · K) spezifische Wärmekapazität von Wasser bei 20 °C

∆Q ist die Wärmemenge (in Joule), die einem Körper der Masse m bei konstantem Druck (Index p)zugeführt werden muss, um seine Temperatur um ∆ϑ zu erhöhen. Die spezifische Wärmekapazität cp isteine tabellierte Materialgrösse.

Beispiel: Wie viel Wasser kann man mit einer Kilowattstunde Heizenergie von 20 auf 100 °C erhitzen?

m =∆Qc∆ϑ

=1 kWh · 3.6 · 106 J/kWh

4182 J/(kgK) · (100 − 20) K= 11 kg

Beispiel: Jemand kommt auf die Idee, einen Zinnbecher (104 g) im Tiefkühler (-18 °C) aufzubewahren,damit er jederzeit ein Getränk (≈ 100 g Wasser bei 26 °C) kühl geniessen kann. Welche Mischtemperaturstellt sich ein?

Qaufgenommen + Qabgegeben = 0 EnergiesatzcZmZ · (ϑM − ϑZ) + cWmW · (ϑM − ϑW) = 0

ϑM =cZmZϑZ + cWmWϑW

cZmZ + cWmW=

227 J/(kg · K) · 104 g · (−18 °C) + 4182 J/(kgK) · 100 g · 26 °C227 J/(kg · K) · 104 g + 4182 J/(kgK) · 100 g

ϑM = 24 °C

Die spezifische Wärmekapazität von Wasser ist gross im Vergleich zu Zinn.

Die spezifische Wärmekapazität von Wasser variiert etwa ein Prozent zwischen Null und hundert GradCelsius, andere Stoffe können mehr variieren. Der Aggregatzustand darf sich nicht ändern.


56

Latente WärmePflicht

Q = mL Latente Wärme

LV = 2.257 · 106 J/kg spezifische Verdampfungswärme von Wasser bei 100 °C

L f = 3.338 · 105 J/kg spezifische Schmelzwärme von Eis bei 0 °C

Wird einem Stoff beim Schmelz- oder Siedepunkt Wärme zugeführt, so äussert sich das nicht in einerTemperaturzunahme: Man sagte früher, die Wärme sei latent (lat. für versteckt). Die latente Wärme istproportional zur Masse des Stoffes, der die Phasenumwandlung durchmacht, und hängt ab vom Stoff.Diese Stoffgrössen, z.B. die spezifische Verdampfungswärme, sind tabelliert. Beim Schmelzen wird dieSchmelzwärme Q = +mL f aufgenommen; beim Erstarren wird die Erstarrungswärme Q = −mL f

abgegeben. Schmelz- und Erstarrungswärme sind betragsmässig gleich gross. (analog die Verdampfungs-und Kondensationswärme)

Beispiel: Welche Temperatur muss das Wasser haben, um damit dieselbe Masse Eis bei 0 °C zu schmelzen?

mL f + cm(ϑ f − ϑ) = 0

ϑ =L f

c+ ϑ f =

3.338 · 105 J/kg4182 J/kf

+ 0 °C = 79.8 °C

Beispiel: Milch wird oft mit Dampf erhitzt. Wie viel Wasserdampf von 100 °C muss in 250 g Milch von5 °C kondensieren, damit sich eine Mischtemperatur von 45 °C ergibt? Die spezifische Wärmekapazitätvon Milch beträgt 3.8 kJ/(kg · K). Vernachlässigen Sie den Behälter.

Qaufgenommen + Qabgegeben = 0cMmM(ϑ2 − ϑ1)︸︷︷︸

Milch erhitzen

−mDLV︸︷︷︸Dampf kondensieren

+ cWmD(ϑ2 − ϑS )︸︷︷︸Kondensat abkühlen

= 0

mD =cMmM(ϑ2 − ϑ1)

LV − cW(ϑ2 − ϑS )=

3.8 · 103 J/(kgK) · 0.250 g · (45 − 5) °C2.257 · 106 J/kg − 4182 J/(kgK) · (45 − 100) °C

= 15 g

Die spezifische Verdampfungswärme hängt von der Temperatur ab. Verdunstet Wasser bei 0 °C, so beträgt Kürsie 2.50 MJ/kg. Beim kritischen Punkt, 374 °C für Wasser, verschwindet die Verdampfungswärme.


57

WärmeleitungKür

J = U · ∆ϑ

Die Wärmestromdichte J durch eine Wand oder Platte ist proportional zum Unterschied ∆ϑ derLufttemperaturen. Der Wärmedurchgangskoeffizient U (früher k-Wert) hängt ab vom Aufbau der Wand(Dicke, Isolation, Material, etc.) und ist tabelliert.

Der Wärmestrom P = ∆Q/∆t ist die Wärmeenergie, die pro Zeit durch eine Fläche hindurch tritt. DerWärmestrom wird in Watt gemessen. Die Wärmestromdichte J = P/A ist der Wärmestrom pro Fläche undwird in W/m2 gemessen.

Beispiel: Eine Plexiglasscheibe von 5 mm Dicke hat U = 5.3 W/(m2K). Berechnen Sie die Verlustleistungdurch eine Scheibe von 3.5 m2 Fläche bei einem Temperaturunterschied von 18 °C.

P = JA = U∆ϑA = 5.3 W/(m2K) · 18 K · 3.5 m2 = 0.33 kW

Die Wärmestromdichte durch eine homogene Platte ist proportional zur Differenz ∆ϑ derOberflächentemperaturen, umgekehrt proportional zur Dicke ∆x der Platte und hängt ab vom Material überdie so genannte Wärmeleitfähigkeit λ.

J = −λ ·∆ϑ

∆x

In dieser Gleichung steht das Minuszeichen, um auszudrücken, dass der Wärmestrom in die Richtung dertieferen Temperatur geht, d.h. ∆T = T2 − T1 < 0. Die Grösse ∆ϑ/∆x oder dT/dx heisstTemperaturgradient (Temperaturgefälle).

Beispiel: Eine Plexiglasplatte von 5.0 mm Dicke und 3.5 m2 Fläche weist an der inneren Oberfläche eineTemperatur von 23 °C und aussen 5 °C auf. Die Wärmeleitfähigkeit von Plexiglas ist 0.19 W/(m · K).Berechnen Sie den Wärmestrom von innen nach aussen.

P = −JA = −λA∆T∆x

= −0.19 W/(m · K) · 3.5 m2 ·(5 − 23) K

5.0 · 10−3 m= 2.4 kW

Dieser Wert ist höher als beim vorangehenden Beispiel auf dieser Seite, weil beim U-Wert berücksichtigtist, dass die Luftfilme, die an der Oberfläche haften, einen isolierenden Effekt haben.


58

Stefan-Boltzmann GesetzKür

J = σT 4

σ = 5.670 374 419.. · 10−8 W/(m2 · K4) exakt

Ein heisser Körper strahlt Wärme ab. Schwarze Körper (Hohlraumstrahler) senden am meistenWärmestrahlung aus. Die Wärmestromdichte J von der Oberfläche eines schwarzen Körpers hängt nur vonder absoluten Temperatur (in Kelvin) ab. Die Stefan-Boltzmann Konstante σ ist eine Naturkonstante.

1. Beispiel: Wie viel Wärme strahlt ein Stück glühende Holzkohle (800 °C) ab?

J = σT 4 = 5.670 · 10−8 W/(m2 · K4) · ((800 + 273.15) K)4 = 75.2 kW/m2

2. Beispiel: Welche Temperatur kann ein schwarzes Auto im Sonnenlicht maximal erreichen?

Das Maximum ist dann erreicht, wenn die Einstrahlung gerade die Verluste durch Abstrahlungkompensiert. Die Einstrahlung ist maximal gleich der Solarkonstanten JS . Wenn wir alle anderen Verlusteignorieren, gilt

Pout = Pin (im Gleichgewicht)

σT 4 = JS

T =

( JS

σ

)1/4

=

(1366 W/m2

5.670 · 10−8 W/(m2 · K4)

)1/4

= 394.0 K = 121 °C


59

SolarkonstanteKür

J = 1 366(30) W/m2

Die (irdische) Solarkonstante ist die mittlere Leistung pro Fläche, welche die Sonne am oberen Rand derAtmosphäre auf eine senkrecht zur Einstrahlung orientierte Fläche einstrahlt.

Beispiel: Wie viel Leistung fällt maximal auf eine Solarzelle von 2.8 cm2 Fläche?

P = JA = 1366 W/m2 · 2.8 · 10−4 m2 = 0.38 W

Nur ein Teil dieser Leistung (10-25 %) wird in elektrische Leistung umgewandelt.


60

Avogadrokonstante und StoffmengePflicht

NA = 6.022 140 76 · 1023 mol−1 exaktn = N/NA

Die Avogadrokonstante NA ist das Verhältnis von Teilchenzahl N zu Stoffmenge n

Die Stoffmenge hat die Einheit Mol. Das Mol ist eine SI-Basiseinheit. Der Zahlenwert derAvogadrokonstanten erklärt sich aus der alten (bis 2018) Definition des Mols: 1 mol ist die Stoffmengeeines Systems, das aus ebenso vielen Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0.012 kg des Nuklids C-12enthalten sind.

Ein Nuklid (oder Isotop) ist eine Atomsorte mit einer bestimmten Anzahl Protonen und Neutronen imKern. Ein Element hat meistens mehrere Isotope. Der Überbegriff von Neutron und Proton ist Nukleon.

Verschiedene Schreibweisen für ein Nuklid: AZX, AX oder X-A

A: Massen- oder Nukleonenzahl, Z: Protonen-, Kernladungs- oder Ordnungszahl, X: Name des Elements.

Beispiel: Ein Mensch habe 5.5 Liter Blut mit einer Hämoglobinkonzentration von 9 mmol/L. Wie vieleHämoglobinmoleküle besitzt dieser Mensch also?

N = nNA = cVNA = 9 · 10−3 mol/L · 5.5 L · 6.022 · 1023 mol−1 = 3 · 1022

Beispiel: Berechnen Sie die Stoffmenge der Abgase (CO2 und H2O) bei der vollständigen Verbrennungvon einem Mol n-Oktan (C8H18) sowie die notwendige Stoffmenge Sauerstoff (O2).

1C8H18 + (8 + 92 )O2 −→ 8CO2 + 9H2O

Um 1 mol Oktan zu verbrennen, werden 12.5 mol Sauerstoff benötigt. Dabei entstehen 8 mol Kohlendioxidund 9 mol Wasserdampf.


61

Atomare MasseneinheitKür

1 u = 1.660 539 066 60(50) · 10−27 kg

Die atomare Masseneinheit 1 u (“unit”) ist ein Zwölftel der Masse eines freien C-12 Atoms.

Die Masse eines Wasserstoffatoms, eine Protons oder eines Neutrons ist ungefähr 1 u. Da ein Nukleon(Proton oder Neutron) etwa 1.0 u Masse hat und Elektronen wesentlich leichter sind, ist die atomare Masseeines Atoms in units ungefähr gleich der Nukleonenzahl. Die genaue Masse eines Nuklids muss in einerNuklidtabelle nachgeschlagen werden; die Massen von Protonen, Neutronen und Elektronenzusammenzuzählen führt zu einem Fehler (Massendefekt).

Welche Masse hat ein Au-198 Atom? (Das einzige stabile Isotop von Gold).

Die atomare Masse ist in einer Nuklid- oder Isotopentabelle zu finden und wird dort in atomarenMasseneinheiten angegeben.

ma = 196.966 552 u · 1.660 539 066 60 · 10−27 kg/u = 3.270 706 54 · 10−25 kg

BemerkungBis 2018 waren sowohl die molare, als auch die atomare Masse via das C-12 Nuklid definiert. Damit galtma = M/NA, d.h. die atomare Masse ma war der Quotient aus molarer Masse M und AvogadrokonstanteNA. Mit der Neudefinition des Mols (2018) wurde diese Verbindung gelöst, d.h. es gilt nur nochma ≈ M/NA.


62

Molare MassePflicht

M =mn

Die molare Masse ist eine Stoffgrösse und hat die Einheit g/mol respektive kg/mol.

Die molaren Massen der Elemente sind in chemischen Tabellen oder im Periodensystem aufgelistet. Fürisotopenreine Stoffe verwendet man besser die atomare Masse aus einer Nuklidtabelle.

Beispiel: Berechnen Sie die Stoffmenge von 1.00 kg Wasser.

n =m

MH2O=

1.00 kg(2 · 1.00794 + 15.9994) · 10−3 kg/mol

= 55.5 mol


63

Zustandsgleichung des idealen GasesPflicht

pVNT

= k k = 1.380 649 · 10−23 J/K Boltzmannkonstante, exakt

oderpVnT

= R R = 8.314 462 618... J ·mol−1 · K−1 universelle Gaskonstante (exakt)

Die Zustandsgleichung beschreibt, wie Druck p, Volumen V , absolute Temperatur T und die Menge (N, n)eines idealen (verdünnten) Gases zusammenhängen. Sie wird mit der Teilchenzahl N oder alternativ mitder Stoffmenge n geschrieben. Die Zustandsgleichung enthält keine Materialgrössen. Aus der Definitiondes Mols folgt R = kNA.

Beispiel: Eine Gasflasche wird befüllt. Dabei steigt die Temperatur von 291 K auf 316 K und der Druckvon 80 bar auf 270 bar. Wie viel mal mehr Gasteilchen enthält die Flasche nachher?

p1VN1T1

= k =p2V

N2T2⇒

N2

N1=

p2T1

p1T2=

270 bar · 291 K80 bar · 316 K

= 3.11

Beispiel: molares Normvolumen Vmn

Wie gross ist das Verhältnis von Volumen zu Stoffmenge für ein ideales Gas bei Normbedingungen?

Vmn =Vn

=RTn

pn=

8.31446 J/(mol · K) · 273.15 K101325 Pa

= 22.414 · 10−3 m3/mol

Ein Mol Gas hat bei 0 °C und Atmosphärendruck auf Meereshöhe ein Volumen von 22.4 Litern.

Beispiel: Berechnen Sie die Masse des Wasserstoffs in einer 50 Liter-Gasflasche bei 20 °C und 300 barDruck.

m = Mn = M ·pVRT

=2 · 1.0079 · 10−3 kg/mol · 300 · 105 · 50 · 10−3 m3

8.314 J/(mol · K) · (273.15 + 20) K= 1.2 kg

Bemerkung: Werden zwei der Grössen p, V , n und T konstant gehalten, so ergeben sich folgendeZusammenhänge zwischen den anderen (Benennung nicht einheitlich): Kür

pV = const Gesetz Boyle-Mariottep/T = const Gesetz von AmontonsV/T = const Gesetz von Gay-LussacV/n = const Gesetz von Avogadrop/n = const Gesetz von Dalton


64

Kinetische GastheorieKür

12maυ

2 = 32kT

Die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens der Masse ma ist proportional zur absoluten TemperaturT des Gases; k ist die Boltzmannkonstante.

Beispiel: Mit welcher mittleren Geschwindigkeit bewegen sich die Wasserdampfmoleküle in derZimmerluft bei 24 °C Temperatur?

υ =

√3kTma

=

√3 · 1.381 · 10−23 J/K · (273.15 + 24) K

(2 · 1.008 + 16.00) u · 1.661 · 10−27 kg/u= 641 m/s

Mit ‘mittlere Geschwindigkeit’ ist hier der quadratische Mittelwert gemeint (rms: root mean square). Dieatomare Masse in units ist tabelliert.

Beispiel: Drücken Sie die mittlere Geschwindigkeit durch die molare Masse des Gases aus.

kNA = R Avogadrokonstante NA, universelle Gaskonstante Rma = M/NA atomare Masse ma und molare Masse M

υ =

√3kTma

=

√3kNAT

M=

√3RTM

Beachte: M in kg/mol einsetzen!

BemerkungenMit ‘kinetische Energie’ ist hier nur die Translationsenergie des Schwerpunkts gemeint; Rotationsenergieund allenfalls Vibrationsenergie kommen separat hinzu.

Die Verteilung der Geschwindigkeit um den Mittelwert herum wird durch die MaxwellscheGeschwindigkeitsverteilung beschrieben.


65

Erster Hauptsatz der ThermodynamikPflicht

∆U = Q + W + . . .

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik ist eine spezielle Schreibweise des Energiesatzes: Die Änderung ∆Uder inneren Energie eines Systems ist gleich der Summe der von oder an ihm verrichteten Arbeit W, derzu- oder abgeführten Wärme Q sowie weiterer Energietransfers wie z.B. zu- oder abgeführter chemischerEnergie. Alle Grössen sind vorzeichenbehaftet.

Beispiel: Wie viel Energie verliert ein Mensch (70 kg) etwa, wenn er 35 g Wasser schwitzt?

∆U = Q = −mLV ≈ −35 · 10−3 kg · 2.4 · 106 J/kg = −84 kJ

Beispiel: Wie viel Energie gewinnt ein Auto etwa, wenn es 40 kg Benzin tankt?

∆U = W + Q + · · · = 0 + 0 + mH = 40 kg · 43.5 · 106 J/kg = 1.7 GJ

Die chemische Energie wurde durch die Verbrennungswärme mit dem unteren Heizwert H abgeschätzt.

Beispiel: Eine kleine Menge idealen Gases wird schnell komprimiert. Während der Kompression wird dieArbeit W an ihm verrichtet. Was passiert mit der Temperatur des Gases?

Wenn der Vorgang schnell abläuft, steht keine Zeit für einen Temperaturausgleich respektiveWärmeaustausch mit der Umgebung zur Verfügung (adiabatischer Prozess). Aus der kinetischenGastheorie folgt, dass die innere Energie eines Gases proportional zur absoluten Temperatur steigt:U = N · 3

2kBT .

∆U = W + Q + . . .

N · 32kB · ∆T = W

Die Temperatur des idealen Gases steigt propotional zur an ihm verrichteten Arbeit an.


66

Adiabatische KompressionKür

pVκ = const →p2

p1=

(V1

V2

)κDie adiabatische Kompression oder Expansion eines Gases ist dadurch charakterisiert, dass keine Wärmemit der Umgebung ausgetauscht wird. Dies im Gegensatz zu einem isothermen Vorgang, bei dem dieTemperatur konstant bleibt. Bei der adiabatischen Kompression wird Arbeit am Gas verrichtet, welche dieinnere Energie und damit die Temperatur des Gases erhöht. Der Adiabatenexponent κ = Cp/CV ist einetabellierte Materialgrösse.

Beispiel: Eine bestimmte Menge Luft wird schnell auf die Hälfte des Ausgangsvolumens komprimiert.Auf welchen Wert steigt der Druck?

p2

p1=

(V1

V2

)κ=

(1

0.50

)1.402

= 2.6

Beispiel: Eine bestimmte Menge Luft bei 20 °C wird schnell auf die Hälfte des Ausgangsvolumenskomprimiert. Auf welchen Wert steigt die Temperatur?

pV = nRT → const = pVκ =nRT

V· Vκ → const = TVκ−1 →

T2

T1=

(V1

V2

)κ−1

T2 = T1 ·

(V1

V2

)κ−1

= (273.15 + 20) K ·(

10.50

)1.402−1

= 387.35 K→ 114 °C


67

VerbrennungswärmeKür

Q = m · H

Die Wärme Q, die bei der Verbrennung eines Stoffes freigesetzt wird, ist proportional zur Stoffmasse mund einer Materialgrösse H (spezifischer Heizwert, auch Brennwert oder Verbrennungsenthalpie). Derspezifische Heizwert ist tabelliert. Es wird noch unterschieden, ob der Wasserdampf entweicht (untererHeizwert) oder kondensiert wird (oberer Heizwert, Brennwert).

Beispiel: Eine Paraffin-Kerze wiegt 9 g und verbrennt in 1.5 Stunden. Berechnen Sie die Heizleistung.

P =∆Q∆t

=∆m · H

∆t=

9 · 10−3 kg · 45 · 106 J/kg1.5 · 3600 s

= 75 W


68

Thermodynamischer WirkungsgradKür

η =Tw − Tk

Tw

Eine Wärmekraftmaschine entzieht einem warmen Pol bei der Temperatur Tw Wärme, wandelt einen Teildavon in eine andere Energieform um und gibt den Rest an ein kaltes Reservoir bei Temperatur Tk ab. Derthermodynamische Wirkungsgrad dieser Umwandlung ist erstmals von S. Carnot berechnet worden.

Zweiter Hauptsatz der WärmelehreEs gibt keine zyklisch arbeitende Wärmekraftmaschine mit einem höheren Wirkungsgrad als demthermodynamischen Wirkungsgrad.

Beispiel: Die Temperatur des Dampfes aus dem Reaktor eines Kernkraftwerks betrage 280 °C, dieTemperatur im Kondensator 90 °C. Wie gross ist der maximal mögliche Wirkungsgrad für die Erzeugungvon elektrischer Energie?

η =Tw − Tk

Tw=

(280 − 90) K(273.15 + 280) K

= 34 %

Eine Variante des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik ist:Ohne Zwang fliesst Wärme nur von heissen nach kalten Stellen, nie in umgekehrter Richtung.


69

ElementarladungPflicht

Elektrische Ladung ist quantisiert. Jede Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e.

e = 1.602 176 634 · 10−19 C exakt im SI ab 2019Einheit der elektrischen Ladung: 1 C (Coulomb) 1 C = 1 A sQ = z · e mit z ∈ Z

1. Beispiel: Wie viel Ladung trägt ein SO2−4 -Ion?

Q = z · e = −2 · 1.6022 · 10−19 C = −3.2044 · 10−19 C

2. Beispiel: Wie viel Ladung trägt ein U-238 Atomkern?

U-238 = 23892 U→ Q = ze = +92 · 1.6022 · 10−19 C = 1.4740 · 10−17 C


70

LadungserhaltungPflicht

In einem abgeschlossenen System ist die Gesamtladung konstant. Ladung kann weder erzeugt nochvernichtet werden. Wird positive Ladung erzeugt, so muss genau so viel negative Ladung entstehen, damitdie Summe konstant bleibt.∑

i

Qi = const

Beispiel: Bei einem bestimmten radioaktiven Zerfall, einem sogenannten Betazerfall, stösst der Atomkernein Elektron aus. Was passiert mit dem zurückbleibenden Kern?

Das Elektron trägt eine negative Elementarladung (q = −e). Wenn der Kern ein Elektron ausstösst, mussdie Kernladung um +1e zunehmen. Da der Kern Protonen und Neutronen enthält, muss die Zahl derProtonen um Eins zugenommen haben. (Ein Neutron hat sich in ein Proton verwandelt).


71

CoulombkraftPflicht

Die elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2 im Abstand r ist

FC =1

4πε·

Q1Q2

r2 ε = εr · ε0

ε0 = 8.854 187 8128(13) · 10−12 A · sV ·m

elektrische Feldkonstante

Die Dielektrizitätszahl εr ist eine tabellierte Materialgrösse, welche das Medium beschreibt, in das dieLadungen eingebettet sind. Sie hat für Vakuum per Definition den Wert Eins. Die Kraft wirkt abstossendfür gleichnamige Ladungen und anziehend für ungleichnamige. Die Kraft wirkt parallel zurVerbindungslinie der Punktladungen.

1. Beispiel: Wie gross müssen zwei gleiche Ladungen sein, damit bei einem Meter Abstand dieCoulomkraft ein Newton beträgt?

Falls nichts auf etwas anderes hindeutet, nehmen wir εr = 1 an.

FC =1

4πε0·

Q2

r2 ⇒ Q = r√

4πε0FC = 1 m ·√

4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 1 N = 1 · 10−5 C

Diese Rechnung zeigt, dass 1 C eine grosse Ladungsmenge ist, weil schon sehr kleine Bruchteile einesCoulombs bereits deutlich fühlbare Kräfte erzeugen.

2. Beispiel: Wie gross ist die Kraft zwischen einem Cl−-Ion und einem Ca2+-Ion in 55 nm Abstand in einerlebenden Zelle ?

Die zwei Ionen sind in Wasser mit εr ≈ 80 eingebettet.

FC =1

4πεrε0·

e · 2er2 =

14π · 80 · 8.854 · 10−12 As/(Vm)

·2 · (1.6022 · 10−19 C)2

(55 · 10−9 m)2 = 1.9 · 10−15 N

Falls die Ladungen nicht punktförmig sind, wird die elektrostatische Kraft via die elektrische Feldstärkeberechnet.


72

Elektrische FeldstärkePflicht

In der Umgebung einer Ladung gibt es etwas, das Kräfte auf andere Ladungen ausüben kann. Es wirdelektrisches Feld genannt. Die elektrische Feldstärke ~E ist definiert als elektrostatische Kraft ~Fe auf einekleine, positive Probeladung q pro Ladung.

~E =~Fe

q[E] =

NC

=Vm

Volt pro Meter

1. Beispiel: Welche Beschleunigung erfährt ein O8+-Ion in einem Feld der Stärke 23 kV/m?

a =Fres

m=

qEm

=8 · 1.6022 · 10−19 C · 23 · 103 N/C

16.0 u · 1.661 · 10−27 kg/u= 1.1 · 1012 m/s2

2. Beispiel: Wie gross ist die elektrische Feldstärke, welche ein nackter Blei-Atomkern im Abstand 238 nmvom Zentrum des Atomkerns erzeugt?

E =1q· FC =

1q·

14πε0

·q · Q

r2 =1

4πε0·

Qr2

hier=

14πε0

·Zer2

E =1

4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm)·

82 · 1.6022 · 10−19 C(238 · 10−9 m)2 = 2.08 MV/m


73

Elektrische Feldstärke im PlattenkondensatorKür

Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen, leitenden Platten mit Fläche A und schmalem Spalt derBreite d. Die Platten werden gleich stark aber ungleichnamig aufgeladen. Dann ist die elektrischeFeldstärke im Spalt:

E =QεA

=Ud

Beispiel: Ein Plattenkondensator mit Luftspalt hat Plattenfläche 2.8 dm2. Mit wie viel Ladung kann ermaximal belegt werden, wenn die Durchschlagfeldstärke 3·106 V/m nicht überschritten werden soll?

Q = ε0AE = 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 2.8 · 10−2 m2 · 3 · 106 V/m = 0.7 µC


74

Elektrische SpannungPflicht

UAB =WAB

q= Es · ∆sAB

Die elektrische Spannung UAB zwischen den Punkten A und B ist gleich der Arbeit WAB pro Ladung, diedas elektrische Feld an einer kleinen Probeladung q auf dem Weg von A nach B verrichtet. Die elektrischeSpannung ist – wie die Arbeit – eine Grösse mit Vorzeichen.

Die Spannung ist auch gleich der Komponente Es der Feldstärke in Wegrichtung multipliziert mit demWeg sAB (für ein homogenes, elektrostatisches Feld und einen geraden Weg).

1. Beispiel: Ein Proton wird durch eine Spannung von 1.00 V aus der Ruhelage beschleunigt.a) Wie viel kinetische Energie gewinnt es?b) Welche Geschwindigkeit erhält es?

a) U =Wq⇒ W = qU = eU = 1.6022 · 10−19 C · 1.00 V = 1.60 · 10−19 J

b) 12mυ2 = eU ⇒ υ =

√2eU

m=

√2 · 1.6022 · 10−19 C · 1.00 V

9.109 · 10−31 kg= 5.93 · 105 m/s

1 eV (Elektronvolt) ist die Arbeit, welche das elektrische Feld verrichtet, wenn ein Teilchen mit einerElementarladung eine Spannung von exakt 1 V durchläuft.

2. Beispiel: Ein Plattenkondensator mit Spaltbreite 1.3 mm und Fläche 1.9 dm2 wird mit einer Spannungvon 84 V belegt. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke im Spalt.

Das Feld im Spalt eines Plattenkondensators ist homogen, also ist

U = E · d → E =Ud

=84 V

1.3 · 10−3 m= 6.5 · 104 V/m

Falls die Feldstärke räumlich variiert oder der Weg von A nach B krumm ist, berechnet man die elektrischeSpannung durch ein Integral. Kür

UAB =

∫ B

A

~E · d~s


75

Elektrische StromstärkePflicht

Ein physikalischer Strom oder Fluss ist etwas, das durch eine Fläche tritt. Beim elektrischen Strom tretenLadungen durch eine Fläche, z.B. durch die Querschnittsfläche eines Leiters. (Es gibt auch einenEnergiefluss, einen Impulsfluss, einen Wärmestrom, etc.)

Die elektrische Stromstärke I ist die Ladungsmenge ∆Q, die pro Zeit ∆t durch eine Fläche fliesst.

I =∆Q∆t

[I] = 1 A (Ampere)

Das Ampère ist die SI-Basiseinheit der Elektrizität. Das Coulomb ist somit eine zusammengesetzte Einheit(1 C = 1 A · s).

Die technische Stromrichtung entspricht der Bewegungsrichtung positiver Ladung. Die Elektronen ineinem metallischen Stromleiter bewegen sich also entgegen der technischen Stromrichtung. Die technischeStromrichtung im äusseren Stromkreis (ausserhalb der Spannungsquelle) ist vom Pluspol zum Minuspolder Spannungsquelle gerichtet.

Beispiel: Das Ring-Zyklotron am Paul Scherrer Institut erzeugt einen Protonenstrahl von 2.2 mAelektrischer Stromstärke. Berechnen Sie den Teilchenfluss.

I =∆Q∆t

=e · ∆N

∆t⇒

∆N∆t

=Ie

=2.2 · 10−3 A

1.6022 · 10−19 As= 1.4 · 1016 s−1

Beispiel: Zwischen zwei Silberelektroden fliesst ein Strom von 1.0 A durch eine Silbernitratlösung. DieLadung wird durch Ag+-Ionen transportiert. Wie viel Silber schlägt sich auf der einen Elektrode nieder,wenn der Strom während 1000 s fliesst?

∆m = mS ∆N = mS ·I · ∆t

e= 107.9 u · 1.661 · 10−27 kg/u ·

1.0 A · 1000 s1.6022 · 10−19 C

= 1.1 g


76

Elektrischer WiderstandPflicht

Der absolute elektrische Widerstand R ist das Verhältnis von Spannung U zu Stromstärke I:

R =UI

[R] = 1 Ω (gr. Omega) “Ohm”

Der Widerstand variiert im Allgemeinen mit der Stromstärke.

Beispiel: Durch ein Glühlämpchen fliesst bei 24 V angelegter Spannung ein Strom von 125 mA. Wie grossist der Widerstand bei diesen Bedingungen?

R =UI

=24 V

0.125 A= 0.19 kΩ

Der Widerstand einer Glühlampe mit Wolframwendel wächst mit steigender Stromstärke.

Das Wort ‘Widerstand’ wird in zwei Bedeutungen verwendet: im Sinne einer Eigenschaft(Widerstandswert) oder als Bezeichnung eines Geräts (Widerstandselement).

Der differentielle Widerstand ist definiert als Rd = ∆U/∆I oder dU/dI. Kür

Der Leitwert G ist der Kehrwert des absoluten Widerstands: G = I/U und hat die Einheit Siemens (S).


77

Ohmsches GesetzPflicht

Ein elektrisches Element erfüllt das ohmsche Gesetz, wenn die Stromstärke I proportional zur angelegtenSpannung U variiert. Der elektrische Widerstand R ist konstant.

U ∝ I R = const

Häufig wird das ohmsche Gesetz U = RI geschrieben, wobei R als konstant vorausgesetzt wird, d.h. derWiderstand ist unabhängig vom Strom.

Viele elektrische Elemente erfüllen das ohmsche Gesetz, solange die Stromstärke klein bleibt. Ein starkerStrom erhitzt den Leiter, was oft eine Widerstandsveränderung zur Folge hat. Die Kupferdrähte inHausinstallationen erhitzen sich kaum und erfüllen das ohmsche Gesetz. Der Wolframdraht in einerGlühlampe erhitzt sich stark und erfüllt das ohmsche Gesetz nicht. Das ohmsche Gesetz ist sehr nützlich,falls es gilt, aber es gilt nicht universell (ähnlich dem Federgesetz).

Beispiel: Durch einen langen, dicken Kupferdraht fliesst ein Strom von 39 mA, wenn eine Spannung von29 V angelegt wird. Berechnen Sie die Stromstärke, wenn 18.37 V anliegen.

U = RI ∝ I ⇒I2

I1=

U2

U1⇒ I2 = I1 ·

U2

U1= 39 mA ·

18.37 V29 V

= 24.70 mA = 25 mA

Das Eigenschaftswort “ohmsch” wird in verschiedenen Bedeutungsvarianten verwendet: Der Stromvariiert proportional zur Spannung oder der Leiter erhitzt sich, wenn Strom hindurch fliesst.


78

Spezifischer elektrischer WiderstandKür

Der elektrische Widerstand eines Drahtes wächst proportional zur Länge l und umgekehrt proportional zurQuerschnittsfläche A. Er hängt über den spezifischen elektrischen Widerstand ρel vom Leitermaterial ab.

R = ρel ·lA

zweites ohmsches Gesetz

ρel,Cu = 1.78 · 10−8 Ω m spezifischer, elektrischer Widerstand von Kupferdraht

Der spezifische elektrische Widerstand ist eine tabellierte Materialgrösse.

Beispiel: Ein Eisendraht ist 180 m lang und hat 5.8 Ω Widerstand. Berechnen Sie seine Querschnittsfläche.

A =ρelR

=11.5 · 10−8 Ωm · 180 m

5.8 Ω= 3.569 · 10−6 m2 = 3.6 mm2

Beispiel: Eine Rolle lackierter Kupferdraht von 1.0 mm2 Querschnittsfläche wiegt 800 g. Berechnen Sieden Widerstand.

m = ρmV = ρmAl

R = ρelA

=ρemρmA2 =

1.78 · 10−8 Ω m · 0.800 kg8.92 · 103 kg/m3 · (1.0 · 10−6 m2)2 = 1.6 Ω

Die Masse des Lacks ist vernachlässigt worden.

Der Kehrwert des spezifischen elektrischen Widerstands heisst elektrische Leitfähigkeit (σ = 1/ρe) und hatdie Einheit S/m (Siemens pro Meter).


79

Elektrische LeistungPflicht

Aus den Definitionen von elektrischer Spannung U, Stromstärke I und Widerstand R folgt für die LeistungP, die ein elektrisches Element aufnimmt:

P = UI = RI2 =U2

R

Beispiel: Ein Tauchsieder, der ans Haushaltnetz angeschlossen wird, hat die Nennleistung 800 W.Berechnen Sie die Stromstärke im Betrieb.

Das Haushaltnetz in der Schweiz hat die Nennspannung 230 V.

I =PU

=800 W230 V

= 3.5 A

Die elektrische Leistung wird als thermische Leistung wieder abgegeben. Der Ausdruck∆Q = P · ∆t = RI2 · ∆t heisst Joulesche Wärme.

Beispiel: Ein Präzisionswiderstand von 250 Ω darf nicht mehr als 0.25 W aufnehmen. Berechnen Sie diemaximal erlaubte Spannung.

P =U2

R⇒ U =

√RP =

√250 Ω · 0.25 W = 7.9 V


80

SerieschaltungKür

Eine Serie- oder Reihenschaltung von drei Widerständen ist in Abbildung 7 dargestellt.

Abbildung 7: Serie- oder Reihenschaltung dreier Widerstandselemente

Beim Anschluss A fliesse ein Strom der Stärke I0, nach dem ersten Element mit Widerstandswert R1, andem die Spannung U1 anliegt, fliesse der Strom I1 und so weiter. Zwischen den Anschlüssen A und Bmesse man die Gesamtspannung UAB.

I0 = I1 = I2 = I3 durch seriell geschaltete Elemente fliesst derselbe StromUAB = U1 + U2 + U2

RAB = R1 + R2 + R3

Analog für weniger oder mehr seriell geschaltete Elemente.

Beispiel: Durch drei seriell geschaltete Widerstandselemente mit 100 Ω, 200 Ω und 300 Ω fliessen 40 mA.a) Wie gross ist die Spannung U1 über dem ersten Widerstand?b) Wie gross ist die elektrische Leistung, welche der zweite Widerstand aufnimmt?c) Wie gross ist die Gesamtspannung UAB?

a) U1 = R1I = 100 Ω · 0.040 A = 4.0 V

b) P2 = R2I2 = 200 Ω · (0.040 A)2 = 0.32 W

c) UAB = RABI = (R1 + R2 + R3) · I = (100 Ω + 200 Ω + 300 Ω) · 0.040 A = 24 V

Beispiel: An zwei seriell geschalteten Widerständen R1 und R2 liegt die Gesamtspannung UAB an. Wiegross sind die Einzelspannungen U1 und U2 an den Widerständen?

U1 = R1I1 = R1I = R1 ·UAB

RAB= R1 ·

UAB

R1 + R2=

R1

R1 + R2· UAB und analog

U2 =R2

R1 + R2· UAB

Bei einer Serieschaltung teilt sich die Spannung im gleichen Verhältnis wie die Widerstandswerte auf.


81

ParallelschaltungKür

Eine Parallelschaltung von drei Widerständen ist in Abbildung 8 dargestellt.

Abbildung 8: Paralllelschaltung dreier Widerstandselemente

Beim Anschluss A fliesse ein Strom der Stärke I0. Durch das erste Element mit Widerstandswert R1, andem die Spannung U1 anliegt, fliesse der Strom I1 (analog U2, I2 etc.). Beim Anschluss B fliesse der StromI4. Zwischen den Anschlüssen A und B messe man die Gesamtspannung UAB.

UAB = U1 = U2 = U3 an seriell geschalteten Elementen liegt dieselbe Spannung anI0 = I1 + I2 + I3 = I4

1RAB

=1R1

+1R2

+1R3

Analoges gilt für mehr oder weniger parallel geschaltete Elemente.

Beispiel: An drei parallel geschalteten Widerständen mit 100 Ω, 200 Ω und 300 Ω liegt eine SpannungUAB = 60 V an.a) Wie gross ist der Strom durch den ersten Widerstand?b) Welche Leistung nimmt der zweite Widerstand auf?c) Wie gross ist der Gesamtstrom I0?

a) I1 =U1

R1=

UAB

R1=

60 V100 Ω

= 0.60 A

b) P2 =U2

2

R2=

(60 V)2

200 Ω= 18 W

c) I0 =UAB

RAB= UAB ·

(1R1

+1R2

+1R3

)= 60 V ·

(1

100 Ω+

1200 Ω

+1

300 Ω

)= 1.1 A

Beispiel: Durch zwei parallel geschaltete Widerstände R1 und R2 fliesst der Gesamtstrom I0. Wie grosssind die Einzelströme durch die Einzelwiderstände?

I0 = I1 + I2

U1 = R1I1 = R2I2 = U2 Gleichungssystem für die Ströme

⇒ I1 =R2

R1 + R2· I0 I2 =

R1

R1 + R2· I0

Bei einer Parallelschaltung teilt sich der Strom im umgekehrten Verhältnis der Widerstandswerte auf.


82

Magnetische Kraft auf einen LeiterKür

Ein gerader Leiter der Länge l, der vom Strom I durchflossen wird, erfährt in einem homogenenMagnetfeld der Stärke B (Flussdichte oder magnetische Induktion) eine Kraft F der Stärke

F = IlB sinα (Betrag) ~F = I · (~l × ~B) (Vektorprodukt)

Der Winkel α wird zwischen dem Feldstärkevektor ~B (resp. der Feldlinie) und dem Leiterstück ~l, das in dietechnische Stromrichtung zeigt, gemessen.

Die Kraft wirkt senkrecht zum Leiterstück und senkrecht zur Feldlinie. Die verbleibenden zweiMöglichkeiten werden durch die rechte-Hand-Regel entschieden: Man halte den Daumen der rechten Handparallel zur technischen Stromrichtung (~l), den Zeigefinger parallel zur Feldlinie (~B), dann zeigt derMittelfinger die Kraftrichtung ( ~F) an.

Diese Beziehung legt die Einheit der magnetischen Flussdichte B fest (Tesla) und legt eine Messvorschriftnahe: Die magnetische Induktion B ist die magnetische Kraft F auf einen geraden Leiter der Länge l, dersenkrecht zu den magnetischen Feldlinien orientiert ist, pro Stromstärke I und pro Leiterlänge l. Damitfolgt 1 T = 1 N/(A ·m).

Beispiel: Ein Draht der Länge 5.5 cm wird unter einem Winkel von 48° zu den Feldlinien in einMagnetfeld der Stärke 0.084 T gehalten und von 3.9 A durchflossen. Berechnen Sie die magnetische Kraftauf den Draht.

F = IlBsinα = 3.9 A · 5.5 · 10−2 m · 8.4 · 10−2 T · sin 48° = 24 mN

Die Bezeichnungen sind nicht einheitlich: B wird magnetische Flussdichte oder magnetische Induktiongenannt, gelegentlich auch magnetische Feldstärke. Die Grösse H in B = µrµ0H wird oft magnetischeFeldstärke, aber auch magnetische Erregung genannt.


83

LorentzkraftPflicht

Ein Teilchen mit Ladung q bewege sich mit Geschwindigkeit ~υ durch ein elektromagnetisches Feld. Eserfährt die magnetische Kraft ~FL.

FL = |q|υB sinα Betrag des magnetischen Teils der Lorentzkraft

Der Winkel α wird zwischen dem Geschwindigkeitsvektor ~υ und dem Flussdichtevektor ~B gemessen. Diemagnetische Kraft wirkt senkrecht zu ~υ und ~B. Der Richtungssinn kann durch die rechte-Hand-Regelentschieden werden: Daumen der rechten Hand parallel zu ~υ, Zeigefinger in Richtung ~B, dann zeigt derMittelfinger die Richtung von ~FL an (für ein elektrisch positives Teilchen, sonst umgekehrt).

Beispiel: Wenn sich ein Proton mit 9.3·106m/s senkrecht zu den Feldlinien durch ein Magnetfeld derStärke 0.83 T bewegt, so beschreibt es eine Kreisbahn. Berechnen Sie den Bahnradius.

Fres = maz

eυB = m ·υ2

r⇒ r =

mυqB

=1.673 · 10−27 kg · 9.3 · 106 m/s

1.6022 · 10−19 C · 0.83 T= 12 cm

Vektorielle Schreibweise: Kür

~FL = q · (~υ × ~B) + q · ~E vollständige Lorentzkraft inklusive elektrischer Kraft


84

Magnetfeld eines geraden StromleitersKür

Ein elektrischer Strom der Stärke I, der durch einen sehr langen, geraden, dünnen Leiter fliesst, erzeugt imAbstand r von der Leiterachse im Vakuum ein Magnetfeld mit Flussdichte B.

B =µ0I2πr

µ0 = 1.256 637 062 12(19) · 10−6 V · sA ·m

magnetische Feldkonstante

Beispiel: Ein rundes Starkstromkabel wird von 650 A durchflossen. Berechnen Sie die magnetischeInduktion B in 8 cm Abstand von der Drahtachse.

B =µ0I2πr

=1.2566 · 10−6 Vs/(Am) · 650 A

2π · 8 · 10−2 m= 1.62 · 10−3 T = 2 mT

Beispiel: Zwei unendlich lange Leiter vernachlässigbaren Querschnitts laufen parallel in genau einemMeter Abstand und werden von zwei Strömen mit je genau einem Ampere Stärke durchflossen. BerechnenSie die magnetische Kraft pro Meter Leiterlänge auf einen Leiter.

F = I1lB2 sinα = I1l ·µ0I2

2πr=µ0l2π·

I1I2

r⇒

Fl

=µ0

2πI1I2

r=

1.2566 · 10−6 Vs/(Am)2π

·1 A · 1 A

1 m= 2 · 10−7 N/m

Auf dieser Rechung – in anderer Richtung gelesen – beruhte bis 2018 die SI-Definition der EinheitAmpere. Der Zweck der Definition war es, der magnetischen Feldkonstanten den festen Wertµ0 = 4π · 10−7 As/(Vm) zuzuweisen. Bei der Neudefinition (2018) ist aus der magnetischen Feldkonstantenwieder eine Messgrösse geworden, dafür hat neu die Elementarladung einen definierten Wert.


85

Magnetfeld einer ZylinderspuleKür

Eine schlanke, eng gewickelte Zylinderspule der Länge l mit N Drahtwindungen, die mit dem Strom Ibelegt sind, weist in ihrem Inneren ein homogenes Magnetfeld der Stärke B auf:

B =µ0NI

l

Die Zylinderspule heisst auch Solenoid (röhrenförmige Spule).

Beispiel: Eine schlankes Solenoid wird von 4.2 A durchflossen. Im Innern wird eine Feldstärke von 38 mTregistriert. Berechnen Sie die Windungsdichte N/l.

Nl

=Bµ0I

=38 · 10−3 T

1.2566 · 10−6 Vs/(Am) · 4.2 A= 7.2 mm−1

Bemerkungen KürKann die Spule nicht mehr als schlank betrachtet werden, so variiert die Feldstärke entlang derSpulenachse. Im Zentrum eines Solenoids mit Durchmesser d ist

B =µ0NI√

l2 + d2

Dieser Ausdruck kann auch auf den Fall eines Kreisstromes spezialisiert werden.

Ist die Spule oder ist der Leiter in ein magnetisches Material eingebettet, so wird das Magnetfeld (meistnichtlinear) verstärkt. Statt der magnetischen Feldkonstanten ist die Grösse µ = µrµ0 zu schreiben. Diesogenannte Permeabilitätszahl µr ist eine Materialgrösse. Für Vakuum ist µr per Definition Eins, fürunmagnetische Stoffe ist µr ≈ 1.


86

Faradaysches InduktionsgesetzPflicht

Wird eine offene Leiterschleife von einem zeitlich variierenden, magnetischen Fluss Φm durchsetzt, sokann an den Enden der Leiterschleife eine Induktionsspannung Uind gemessen werden: Kür

Uind = −dΦm

dtInduktionsgesetz

Φm = B⊥A→∫

~B · d ~A magnetischer Fluss

Wenn die Fläche eben und das Magnetfeld homogen ist, kann der magnetische Fluss als Produkt ausFlächeninhalt A und der Komponente B⊥ der Flussdichte senkrecht zur Fläche berechnet werden.

In einer geschlossenen Leiterschleife treten Induktionsströme auf, welche Rückwirkungen auf denmagnetischen Fluss haben und deshalb schwierig zu berechnen sind (Selbstinduktion). Das negativeVorzeichen im Induktionsgesetz weist darauf hin, dass diese Induktionsströme so gerichtet sind, dass sieihrer Ursache entgegen wirken (Lenz’sche Regel).

Beispiel: Eine offene Leiterschleife mit 80 Windungen und 2.9 cm2 Fläche pro Windung rotieregleichmässig mit 50 Hz in einem Magnetfeld der Stärke 0.23 T. Wie gross ist die induzierte Spannungmaximal?

Φm = NAB sin(ωt) = NAB sin(2π f t)

Uind = −dΦm

dt= −2π f NAB cos(2π f t)

Maximum: 2π f NAB = 2π · 50 Hz · 80 · 2.9 · 10−4 m2 · 0.23 T = 1.7 V

Beispiel: Eine offene Leiterschleife der Fläche 1.9 km2 wird senkrecht von einem Magnetfeld durchsetzt,das in 15 min gleichmässig um 3.1 nT abnimmt. Berechnen Sie die Induktionsspannung.

Φm = A ·(B0 −

∆B∆t· t

)Uind = −

dΦm

dt= A ·

∆B∆t

= 1.9 · 106 m2 ·3.1 · 10−9 T

15 · 60 s= 6.5 µV


87

Harmonische Wechselspannung

Die Spannung an einer Haushaltsteckdose hat in guter Näherung folgenden zeitlichen Verlauf: Kür

u(t) = u · cos(ωt + ϕ1)

Die Bezeichnungen sind dieselben wie bei der harmonischen Schwingung. Wird diese Spannung an einenohmschen Widerstand angelegt, so fliesst ein harmonischer Wechselstrom gleicher Frequenz und Phase.

Der Effektivwert der Wechselspannung ist jene mittlere Spannung, welche dieselbe mittlere Heizleistung Pflichtan einem ohmschen Widerstand bewirkt wie die harmonische Wechselspannung. Da P(t) = u2(t)/R gilt, istder Effektivwert ein quadratischer Mittelwert (rms: root-mean-square). Für eine harmonischeWechselspannung folgt dann

Ueff =u√

2

und analog für einen harmonischen Wechselstrom. Rechnet man mit Effektivwerten, so können dieFormeln P = RI2 = U2/R aus der Gleichstromlehre übernommen werden.

Beispiel: Unser Haushaltnetz hat die Nennwerte 230 V und 50.0 Hz. Berechnen Sie dieSpannungsamplitude und die Kreisfrequenz.

u =√

2 · Ueff =√

2 · 230 V = 325 V

ω = 2π f = 2π · 50.0 Hz = 314 s−1

Beispiel: Ein Wasserkocher, der ans Haushaltnetz angeschlossen wird, ist mit 1.9 kW angeschrieben.Berechnen Sie den effektiven und den Spitzenstrom.

P = UI ⇒ I =PU

=1.9 · 103 W

230 V= 8.3 A

ı =√

2 · I =

√2P

U=

√2 · 1.9 · 103 W

230 V= 12 A


88

Harmonische SchwingungPflicht

Die harmonische Schwingung ist ein Vorgang, z.B. die geradlinige Bewegung eines Punktes um einenNullpunkt, die mit folgender Gleichung beschrieben werden kann:

y(t) = y sin(ωt + ϕ0) Bahngleichungwobei

y = y(t) Momentanwert, ‘Elongation’y Spitzenwert, Amplitude

ω Kreisfrequenz in s−1

t Zeitpunktϕ0 Anfangs-, Start- oder Nullphaseϕ(t) = ωt + ϕ0 momentane Phase in Radiant

Die harmonische Schwingung eines Punktes kann als Komponente einer gleichmässigen Kreisbewegungaufgefasst werden. Deshalb gilt die Beziehung ω = 2π f = 2π/T auch hier; lediglich die Namen habengewechselt: Die Grösse ω heisst Kreisfrequenz statt Winkelgeschwindigkeit und die Grösse T heisstSchwingungsdauer (zeitliche Periode) statt Umlaufzeit.

Beispiel: Eine harmonische Schwingung startet aus der Nulllage in die positive Richtung, hat Amplitude1.83 µm und Schwingungsdauer 3.30 ms. Berechnen Sie den Momentanwert 2.63 ms nach dem Start.

y = y sin(ωt + ϕ0)→ y = y sin(ωt) = y sin2πtT

= 1.83 µm · sin2π · 2.63 ms

3.30 ms= −1.75 µm

Vergessen Sie nicht, den Taschenrechner auf Bogenmass (Radiant) umzustellen!

Beispiel: Was ist der Unterschied, wenn die harmonische Schwingung mit Kosinus und statt mit Sinusdargestellt wird?

Kosinus und Sinus sind lediglich verschoben gegen einander: cos(ωt) = sin(ωt + π/2). Folglich hat nur dieStartphase einen anderen Zahlenwert.

Beispiel: Eine harmonische Schwingung y = y cos(ωt + ϕ0) hat Frequenz 237 kHz. Der erste Nulldurch-gang in Abwärtsrichtung findet zum Zeitpunkt t = 3.821 µs statt. Berechnen Sie die Startphase ϕ0.

Der Kosinus hat die erste Nullstelle bei π/2. Also gilt für die momentane Phase

ωt + ϕ0 = π/2⇒ ϕ0 = π/2 − t · 2π f = π/2 − 3.821 · 10−6 s · 2π · 237 · 103 Hz = −4.12 rad

Die Phase ist nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π bestimmt, 2π − 4.12 rad, 8π − 4.12 rad und soweiter wären auch gültige Lösungen.

Nicht jede Schwingung ist harmonisch: Periodische Schwingungen sind die Dreieck-, Rechteck- undSägezahnschwingung. Die gedämpfte Schwingung ist nicht periodisch.


89

FederpendelPflicht

Die Schwingungsdauer oder Periodendauer T eines Federpendels ist

T = 2π√

mD

wobei m die angehängte (oder effektive) Masse und D (manchmal k) die Federkonstante der Feder ist. Vonder Dämpfung (Reibung) wird abgesehen.

Beispiel: Ein Körper von 200 g Masse wird an eine Feder mit vernachlässigbarer Eigenmasse gehängt.Dieses Federpendel hat eine Schwingungsdauer von 1.8 s. Berechnen Sie die Federkonstante.

T = 2π√

mk⇒ k = mω2 = m ·

(2πT

)2

= 0.200 kg ·(

2π1.8 s

)2

= 2.4 N/m

Beispiel: Die Masse eines Federpendels wird 10 % erhöht. Was passiert mit der Schwingungsdauer?

T = 2π√

mD∝√

m⇒T2

T1=

√m2

m1=

√100 % + 10 %

100 %=√

1.10 = 1.05

Die Periodendauer erhöht sich um 5 %.


90

Mathematisches PendelKür

Das mathematische Pendel ist ein idealisiertes Faden- oder Stangenpendel: Ein Massenpunkt hängt aneiner starren, masselosen, reibungsfreien Stange. Die Schwingungsdauer T eines mathematischen Pendelsder Länge l an einem Ort mit Fallbeschleunigung g ist bei kleiner Amplitude:

T = 2π

√lg

Beispiel: Berechnen Sie die Frequenz eines Fadenpendels der Länge 17 cm.

T = 2π

√lg⇒ f =

1T

=1

2π

√gl

=1

2π

√9.81 m/s2

0.17 m= 1.2 Hz

Beispiel: Ein Sekundenpendel ist ein (mathematisches) Pendel, bei dem eine Halbschwingung exakt eineSekunde dauert. Wie muss die Länge des Sekundenpendels angepasst werden, wenn es an einen Ort mit0.8 Promille tieferer Fallbeschleunigung gebracht wird?

2π

√l2

g2= T = 2π

√l1

g1⇒

l2

l1=

g2

g2

Die Länge des Sekundenpendels muss um 0.8 Promille verkürzt werden.


91

Reflexions- und BrechungsgesetzPflicht

Trifft ein Lichtstrahl auf die ebene Grenzfläche zweier unterschiedlicher Medien, so wird ein Teil desLichtes reflektiert und ein Teil gebrochen (Refraktion), siehe Abbildung 9.

Abbildung 9: Trifft ein Lichtstrahl auf die Grenzfläche zweierMedien mit Brechungsindices n1 und n2, so starten der reflek-tierte und der gebrochene Strahl im Auftreffpunkt. Diese zweiStrahlen liegen in derselben Ebene wie der Einfallsstrahl unddie Senkrechte auf die Grenzfläche im Auftreffpunkt. Einfallswin-kel α1, Reflexionswinkel αr und Brechungswinkel α2 werden zurSenkrechten gemessen.

Das Experiment zeigt:

αr = α1 Reflexionsgesetzn1 sinα1 = n2 sinα2 Brechungsgesetz von Snellius

Die Brechungsindices sind tabelliert. Sie hängen stark vom Material und schwach von der Frequenz(Wellenlänge, “Farbe” des Lichts) ab.

Beispiel: Ein Lichtstrahl trifft unter einem Winkel von 37,8° auf eine Grenzfläche Luft→Wasser.Berechnen Sie den Brechungswinkel.

α2 = arcsin(n1

n2sinα1

)= arcsin

(1.0001.333

sin 37, 8°)

= 27, 4°

Beispiel: Ein Lichtstrahl trifft und einem Winkel von 73,8° auf eine Grenzfläche Wasser→ Luft.Berechnen Sie den Brechungswinkel.

α2 = arcsin(n1

n2sinα1

)= arcsin

(1.3331.000

sin 73, 8°)

= arcsin(1.28) < R

Das Brechungsgesetz liefert keine reelle Lösung für den Brechungswinkel, also muss alles Licht reflektiertwerden (Totalreflexion).

Das Reflexionsgesetz gilt auch z.B. bei der elastischen Reflexion harter Kugeln oder der Reflexion vonWasserwellen an einer Hafenmauer. Kür

Das Brechungsgesetz gilt auch für andere Wellen, wenn das Brechungsgesetz entsprechend geschriebenwird. Der absolute Brechungsindex ni eines Materials i ist das Verhältnis von Vakuumlichtgeschwindigkeitc zur Lichtgeschwindigkeit ci im Material i, also ni = c/ci. Mit Hilfe dieser Beziehung kann dasBrechungsgesetz durch die Wellengeschwindigkeiten ausgedrückt werden:

sinα1

sinα2=

c1

c2


92

AbbildungsgesetzePflicht

Ein Gegenstand werde durch eine Linse oder einen Spiegel mit Brennweite f abgebildet, siehe Abb. 10.

Abbildung 10: Lichtstrahlen, die von einem Punkt des Gegenstandes ausgehen, werden durchdie Linse so gebrochen, dass sie durch einen Punkt in der Bildebene laufen. Dort kann man aufeinem Bildschirm ein scharfes Bild beobachten. Die Bezeichnungen lauten GegenstandsgrösseG, Gegenstandsweite g, Bildgrösse B, Bildweite b, Brennpunkte F1 und F2 (Fokusse), Brennweitef , Knotenpunkt K und optische Achse (durch die Brennpunkte).

BG

=bg

1g

+1b

=1f

Das Verhältnis B : G heisst Abbildungsmassstab.

Beispiel: Ein Gegenstand steht 2.8 m vor einer Linse mit 80 mm Brennweite. Berechnen Sie die Bildweiteund den Abbildungsmassstab.

b =

(1f−

1g

)−1

=

(1

0.080 m−

12.8 m

)−1

= 82.35 mm = 82 mm

BG

=bg

=f

g − f=

80 mm2800 mm − 80 mm

= 0.0294 = 1 : 34

Die oben genannten Gesetze gelten für dünne Linsen, wenn auf beiden Seiten der Linse dasselbe Mediumist, z.B. Luft. Die Abbildungsgesetze einer Sammellinse können auch auf Hohlspiegel angewendetwerden. Sie können auch auf Zerstreuungslinsen und Wölbspiegel übertragen werden, indem man einenegative Brennweite setzt.


93

Harmonische WelleKür

Eine Welle ist eine Funktion von Ort und Zeit: u(x, t). Das Grundmodell ist die harmonische Welle(Sinuswelle, siehe Abbildung 11).

u(x, t) = u sin(kx − ωt) laufende harmonische Welle, siehe Abb. 12u(x, t) = u cos(kx) sin(ωt) stehende harmonische Welle, siehe Abb. 13u(x, t) ortsabhängiger Momentanwertu Amplitude

k =2πλ

Kreiswellenzahl

ω =2πT

Kreisfrequenz

ϕ(x, t) = kx − ωt (+ϕ0) momentane Phase der laufenden Welle in Radiant

Abbildung 11: Eine Sinuswelle sieht im Orts- und Zeitbild gleich aus. Im Ortsbild wird der Momentanwertu(x, t0) als Funktion der Ortskoordinate x zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 aufgetragen. Die räumlichePeriode heisst Wellenlänge λ (Lambda). Im Zeitbild wird der Momentanwert u(x0, t) als Funktion der Zeit taufgetragen, wenn die Welle an einem bestimmten Ort x0 vorbeiläuft. Der zeitliche Verlauf ist eine harmo-nische Schwingung mit Schwingungsdauer (Periode) T .

Abbildung 12: Eine laufende, harmonische Wel-le verschiebt sich in die positive oder negativex-Richtung, ohne ihre Form zu ändern.

Abbildung 13: Bei einer stehenden Welle blei-ben die Nullstellen (Knoten) fix und die “Bäu-che” schwingen harmonisch.

Laufende Wellen werden gebraucht, um die Ausbreitung von Schall- oder Mikrowellen zu beschreiben.Stehende Wellen werden gebraucht, um die Bewegung einer Violinsaite darzustellen. Im Zeitbild, sieheAbbildung 11, erscheinen beide Wellen als harmonische Schwingung.

Beispiel: Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Nullstellen einer laufenden Sinuswelle?

Bei der (z.B.) ersten Nullstelle hat die momentane Phase immer den Wert π, d.h.

kx − ωt = π⇒

x =π

k+ω

k· t zu vergleichen mit

s = s0 + υ · t ⇒ υ = ω/k


94

Wellengeschwindigkeit, Frequenz und WellenlängePflicht

Eine laufende harmonische Welle mit Frequenz f bewegt sich während einer Schwingungsdauer T eineWellenlänge λ vorwärts. Somit gilt für die Wellengeschwindigkeit c:

c =λ

T= λ f

c = 2.997 924 58 · 108 m/s Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, exakt im SIcS = 344 m/s Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C

Beispiel: Welche Wellenlänge hat die Strahlung in einem Mikrowellenofen mit Frequenz 2.4 GHz?

Mikrowellen sind elektromagnetische Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.

λ =cf

=3.00 · 108 m/s2.4 · 109 Hz

= 13 cm

Beispiel: Welche Frequenz hat eine Schallwelle mit Wellenlänge 15 cm?

Wir nehmen Schallwellen in Luft an.

f =cλ

=344 m/s0.15 m

= 2.3 kHz


95

BeugungKür

Beugung und Interferenz sind charakteristische Wellenphänomene. Interferenz tritt auf, wenn sich zweigleichartige Wellen im selben Raumgebiet überlagern: Die Wellen können sich gegenseitig auslöschen(destruktive Interferenz) oder verstärken (konstruktive Interferenz). Beugung tritt auf, wenn Wellen aufKanten oder Hindernisse treffen. Für die Messtechnik besonders interessant ist die Beugung einer Welle aneinem periodischen Strichgitter, siehe Abbildungen 14 und 15.

Abbildung 14: Eine ebene (harmonische) Wel-le mit Wellenlänge λ trifft senkrecht auf ein pe-riodisches Strichgitter. Hinter den Gitterspaltentreten Elementarwellen aus, die im Raum hinterdem Gitter in bestimmte Richtungen konstruktivinterferieren.

Abbildung 15: Die Elementarwellen hinter denSpalten interferieren in jene Richtungen α kon-struktiv, in denen die Weglängenunterschieded sinα ein ganzzahliges Vielfaches mλ der Wel-lenlänge λ sind.

Zur Erklärung der Beugung kann das Prinzip von Huygens-Fresnel zu Hilfe gezogen werden: Jede Wellekann in Elementarwellen zerlegt werden und jede Welle lässt sich aus Elementarwellen zusammensetzen.Die Spalte des Gitters lassen nur eine Auswahl an Elementarwellen passieren, die anschliessendinterferieren. Die Elementarwellen sind in Abb. 14 als Kugel- resp. Ringwellen gezeichnet.

d sinαm = m · λ m ∈ Z Gitterbeugungsgleichung

In die Richtungen αm (Beugungswinkel) wird der grösste Teil der Wellen abgelenkt, in die anderenRichtungen nichts. Die ganze Zahl m heisst Beugungsordnung.

Beispiel: Licht der Wellenlänge 489 nm fällt senkrecht auf ein Beugungsgitter mit Gitterperioded = 1.293 µm. Berechnen Sie alle Beugungswinkel.

d sinαm = mλ⇒ αm = arcsinmλd

α0 = 0

α1 = arcsin1 · 489 nm1293 nm

= 22.2° α−1 = −22.2°

α2 = arcsin2 · 489 nm1293 nm

= 49.1° α−2 = −49.1°

α3 = arcsin3 · 489 nm1293 nm

< R


96

SchallpegelKür

Der Schallpegel ist eingeführt worden, um ein Lautstärkemass zu haben, das in etwa unsere Empfindungwiedergibt. Physikalisch könnte man sich mit der Schallstärke J (in W/m2) zufrieden geben.

L = 10 · lg[10]JJ0

J0 = 10−12 Wm2

[L] = 1 dB Dezibel

Der Schallpegel ist der Zehnerlogarithmus eines Schallstärkeverhältnisses. J0 ist ungefähr die menschlicheHörschwelle bei 1 kHz. Bei anderen Frequenzen kann man elektronische Filter verwenden (→ dB(A)), umdie Frequenzabhängigkeit unserer Hörempfindung zu simulieren.

Beispiel: Ein Signal hat die Schallstärke 2.4·10−4 W/m2. Berechnen Sie den Schallpegel.

L = 10 · lgJJ0

= 10 · lg2.4 · 10−4 W/m2

10−12 W/m2 = 84 dB Dezibel

Beispiel: Was passiert mit dem Schallpegel, wenn der Abstand zur (kleinen) Schallquelle verdoppelt wird?

J =PA

=P

4πr2 ∝1r2

L2 − L1 = 10 · lgJ2

J0− 10 · lg

J1

J0= 10 · lg

J2

J1= 10 · lg

r21

r22

= 20 · lgr1

r2= 20 lg

12

= −6.02 dB

Der Schallpegel nimmt sechs Dezibel ab, wenn der Abstand zur Quelle verdoppelt wird.


97

ZerfallsgesetzKür

N(t) = N0e−λ·t = N0 · 2−t/T1/2 ⇒ λ =ln 2T1/2

Das Zerfallsgesetz beschreibt, wie die Anzahl Atome N(t) eines bestimmten, radioaktiven Nuklids in einerProbe mit der Zeit abnimmt. N0 ist die Anzahl Mutterkerne zu Beginn des betrachteten Zeitraums, N(t) istder Erwartungswert zu einem späteren Zeitpunkt t. Die Stoffgrösse T1/2 heisst Halbwertszeit; sie isttabelliert und ist gleich der Zeit, in der durchschnittlich die Hälfte eines anfangs vorhandenen Nuklidszerfallen ist. Die Grösse λ heisst Zerfallskonstante. Manchmal wird an ihrer Stelle auch die Lebensdauerτ = 1/λ verwendet.

1. Beispiel: Eine Probe enthält 7.5·1016 Strontium-90 Atome. Wie viele dieser Atome sind nach 20 Jahrennoch vorhanden? Sr-90 hat eine Halbwertszeit von 28.79 Jahren.

N(t) = N0 · 2−t/T1/2 = 7.5 · 1016 · 2−20 a/28.79 a = 4.6 · 1016

2. Beispiel: Wie lange muss man warten, bis nur noch 1.00 % des ursprünglich in der Probe vorhandenenCs-137 übrig ist?

N(t) = N0 · 2−t/T1/2 ⇒ t = −T1/2

log 2· log

NN0

= −30.1671 a

log 2· log 0.0100 = 200 a

Die Ursache der Radioaktivität ist der Zerfall instabiler Atomkerne gewisser Nuklide. Diese Atomkerne Pflichtwandeln sich unter Abgabe energiereicher (ionisierender) Strahlung in stabilere Atomkerne um. Diewichtigsten Zerfallsarten sind α-, β- und γ-Zerfall. Beispiele:

α-Zerfall 22086 Rn→216

84 Po +42 He

β-Zerfall 146 C→14

7 N + e−

γ-Zerfall 99m43 Tc→99

43 Tc + γ

Beim Alphazerfall wird ein Alphateilchen (He-4 Atomkern) ausgestossen, beim Betazerfall einBetateilchen (Elektron) und beim Gamma-Übergang ein Gammateilchen (Photon). Beim Betazerfall gibtes Varianten (Positronenemission, Elektroneneinfang).


98

AktivitätKür

Die Aktivität A einer Probe ist gleich der Anzahl radioaktiver Zerfälle, die pro Zeit darin stattfinden. Ausdem Zerfallsgesetz N(t) lässt sich die Aktivität der Probe berechnen.

A =∆N∆t

= −dN(t)

dt[A] = 1 s−1 = 1 Bq (Becquerel)

A = λ · N(t) für ein einzelnes Nuklid

Beispiel: Wie gross ist die Aktivität von 1.0 mol Uran-238?

A = λ · N =ln 2T1/2· nNA =

ln 2 · 1.0 mol · 6.022 · 1023 mol−1

4.468 · 109 a · 3.157 · 107 s/a= 3.0 MBq

Beispiel: 1.0 g Radium-226 hat eine Aktivität von 37 GBq. Berechnen Sie die Halbwertszeit.

A = λ · N =ln 2T1/2·

mma⇒ T1/2 =

ln 2A·

mma

T1/2 =ln 2 · 1.0 · 10−3 kg

37 · 109 Bq · 226.0 u · 1.661 · 10−27 kg/u= 4.99 · 1010 s ·

1 a3.156 · 107 s

= 1.6 · 103 a


99

DosisKür

D =Em

Energiedosis

[D] =J

kg= Gy Einheit: Gray

Die Energiedosis D ist die Energie E pro Masse m, die von ionisierender Strahlung in lebendem Gewebedeponiert worden ist.

Beispiel: Ein ‘Standardmensch’ von 75 kg Masse weist eine Aktivität von etwa 5 kBq aufgrund vonnatürlichem Kalium-40 auf. Schätzen Sie die daraus resultierende, jährliche Energiedosis ab.

Die Halbwertszeit von K-40 ist so gross, dass die Aktivität während eines Jahres nicht merklich abnimmt.Beim radioaktiven Zerfall von K-40 wird laut Tabellenwerk (zu 90 %) Betastrahlung mit 1.311 MeVEnergie frei gesetzt. Ein Jahr dauert 3.156·107 s. Wenn wir annehmen, dass diese Energie im Körperdeponiert wird, folgt

E = NE1 = AtE1 Die deponierte Energie ist die Anzahl Zerfälle mal die Energie eines Zerfalls

D =Em

=AtE1

m=

5 · 103 Bq · 3.156 · 107 s · 1.311 MeV · 1.6022 · 10−13 J/MeV75 kg

= 0.4 mGy

In der Medizin wird ein Tumor mit 20-60 Gy bestrahlt.

Radioaktive Quellen senden Alpha-, Beta- oder Gammastrahlung aus, die selbst bei gleicher Energieunterschiedlich gefährlich sind. Alphastrahlung besteht aus He-4 Kernen und ist rund 20 mal belastenderals Beta- oder Gammastrahlung. Betastrahlung besteht aus Elektronen. Gammastrahlung besteht aushochenergetischen Photonen. Der Unterschied wird durch einen Gewichtungsfaktor wR in derÄquivalentdosis H berücksichtigt. Die Gewichtungsfaktoren (“Wichtungsfaktoren”, engl. weights) werdendurch statistische Auswertung von Strahlenunfällen festgesetzt und sind tabelliert.

H = wRD Äquivalentdosis[H] = Sv Einheit: Sievert

Beispiel: Die mittlere Dosis aufgrund der Radonbelastung in der Schweiz beträgt 3.2 mSv in einem Jahr.Nehmen Sie an, die Belastung erfolge ausschliesslich wegen des Zerfalls von Rn-222. Berechnen Sie diedazu gehörende Energiedosis.

Radon-222 ist ein Alphastrahler. In einer Tabelle findet man, dass der Gewichtungsfaktor fürAlphastrahlung den Zahlenwert 20 hat.

D =HwR

=3.2 · 10−3 Sv

20 Sv/Gy= 0.16 mGy


100

Masse-Energie ÄquivalenzPflicht

“Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um ∆E , so ändertsich die Masse in demselben Sinne um ∆E/c2 ” (A. Einstein, Annalen der Physik, 21. Nov. 1905, S. 314)

Die Masse (Trägheit) eines Körpers ist proportional zu dessen innerer Energie.

E = mc2 c: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

∆E = ∆m · c2

Beispiel: Eine warme Bettflasche (1.0 kg Wasser bei 50 °C) kühlt auf 20 °C ab. Berechnen Sie dieVeränderung der Masse.

∆m =∆Ec2 =

cwm(ϑ2 − ϑ1)c2 =

4182 J/(kg · K) · 1.0 kg · (20 − 50) °C(3.00 · 108 m/s)2 = −1.4 · 10−12 kg

Alltägliche Energieumsätze sind nur mit geringen Masseänderungen verbunden.

Beispiel: Wie viel Energie in MeV wird frei, wenn vier Wasserstoffatome zu einem Heliumatom fusioniertwerden?

∆E = (4mH-1 − mHe-4) · c2

= (4 · 1.007 825 0 u − 4.002 603 3 u) · 931.49 MeV/u = 26.731 MeV


101

Energie eines PhotonsPflicht

Ein Photon (Licht-Quant) trägt die Energie

E = h f

h = 6.626 070 15 · 10−34 J · s exakt

wobei f die Frequenz der elektromagnetischen Strahlung und h das Planck’sche Wirkungsquantum ist.

Beispiel: Wie viel Energie trägt ein Photon der Strahlung in einem Mikrowellenofen? Die Frequenz derMikrowellen ist 2.4 GHz.

E = h f = 6.626 · 10−34 Js · 2.4 · 109 Hz = 1.6 · 10−24 J

Beispiel: Eine Natriumdampflampe sendet Licht der Wellenlänge 589 nm aus. Berechnen Sie die Energieeines Photons dieser Strahlung.

E = h f =hcλ

=6.626 · 10−34 Js · 2.998 · 108 m/s

589 · 10−9 m= 3.37 · 10−19 J = 2.10 eV


102

Photonenimpuls und MateriewellenKür

Nach Einstein hat ein Photon Impuls. Nach de Broglie haben Teilchen Welleneigenschaften.

p = h/λ Impuls eines Photons nach Einsteinλ = h/p Zu einem Materieteilchen gehörende Wellenlänge nach de Broglie

Beispiel: Welchen Rückstoss (in m/s) erhält ein Natriumatom, wenn es ein Photon von Licht derWellenlänge 589 nm aussendet?

mυ = h/λ Impulserhaltungsatz

υ =h

m · λ=

6.626 · 10−34 Js22.99 u · 1.661 · 10−27 kg/u · 589 · 10−9 m

= 2.95 cm/s

Beispiel: Welche Wellenlänge gehört zu einem Elektron, das aus dem Stillstand mit einer elektrischenSpannung von 300 V beschleunigt wurde?

W = eU = 12mυ2 =

p2

2m

λ =hp

=h

√2meU

=6.626 · 10−34 Js√

2 · 9.109 · 10−31 kg · 1.6022 · 10−19 C · 300 V= 7.1 · 10−11 m

Das Elektron im Beispiel zeigt gewisse Welleneigenschaften, aber es ist keine Welle im klassischen Sinn.In der Quantenphysik wird das Elektron mit einer ‘Zustandsfunktion’ beschrieben, welcher eine Frequenzrespektive eine Wellenlänge zugeschrieben werden kann.


103

IndexÄquivalentdosis, 100

Abbildungsgesetze, 93Ableitung, 12, 14actio=reactio, 23adiabatisch, 66, 67Aktionsprinzip, 22Aktionsprizip, 40Aktivität, 99Alphastrahlung, 98, 100Arbeit, 29, 47Atmosphärendruck, 48Auftrieb, 51Avogadrokonstante, 61Axiom, 22

Bahngleichung, 15Beschleunigung, 14Beschleunigungsprinzip, 22Betastrahlung, 98, 100Beugung, 96Bewegungsgleichung, 22Bezugssystem, 21Bogenmass, 41Boltzmannkonstante, 64Brechungsgesetz, 92Brennwert, 68Broglie, de, 103

Carnot, 69Coulombkraft, 72

Dezibel, 97Dezimalvorsatz, 6Diagramme, 11Dichte, 18–20Dosis, 100Drehmoment, 44Druck, 46Druckarbeit, 47

Ebene, schiefe, 26Effektivwert, 88Einheit, 7Einheit umwandeln, 37Einheiten umwandeln, 13Elektronvolt, 75Elementarladung, 70Energie, 30

Feder, 33kinetisch, 31

potentiell, 32Energiedosis, 100Energiesatz, 34

Fadenpendel, 91Fallbeschleunigung, 16Federgesetz, 25Federkraft, 25Federpendel, 90Feldkonstante, magnetische, 85Feldstärke

elektrische, 73magnetische, 83Plattenkondensator, 74

formale Lösung, 9Formelblatt, 1, 2Frequenz, 41, 95

Gammastrahlung, 98, 100Gas, ideales, 64Gaskonstante, 64Gastheorie, kinetische, 65Geschwindigkeit, 12Gewichtskraft, 24Gleitreibungskraft, 27Grösse, 5Graphen, 11Gravitationsfeldstärke, 16, 43Gravitationsgesetz, 43Gravizentrum, 24Gray, 100Grundgesetz der Mechanik, 22, 40

Haftreibungskraft, 28Hauptsatz

erster, 66zweiter, 69

Hebelgesetz, 45Heizwert, 68HSGYM, 4

Impuls, 38Impulsfluss, 40Impulssatz, 39Induktionsgesetz, 87Inertialsystem, 21Integral, 12Interferenz, 96Isotop, 61

Keplersche Gesetze, 43

104

Kilowattstunde, 37Kontinuitätsgleichung, 52Kräfteplan, 22Kraft

elektrische, 72magnetische, 83, 84

Kreisfrequenz, 41

Längenausdehnung, 55Ladungserhaltung, 71Lageplan, 22Leistung

Definition, 35elektrische, 80mechanische, 35

Lichtgeschwindigkeit, 95Lorentzkraft, 84Luft, 20Luftwiderstand, 53

Magnetfeldgerader Leiter, 85

Masse, 17Masse, molare, 63Masse-Energie Äquivalenz, 101Masseneinheit, atomare, 62Massenmittelpunkt, 38Materiewellen, 103Mol, 61

Newton, 22Normalkraft, 26Normdruck, 48Nuklid, 61

OhmEinheit, 77Gesetz 1, 78Gesetz 2, 79

Ortsfaktor, 16

Parallelogrammregel, 22Parallelschaltung, 82Pendel, mathematisches, 91Photon, 102Photonenimpuls, 103Physik, 3Platzhalter, 8Proportionalität, 25, 52

Radioaktivität, 98, 99Reaktionsprinzip, 23rechte-Hand-Regel, 83Reflexionsgesetz, 92

Schallgeschwindigkeit, 95Schallpegel, 97schiefe Ebene, 26Schlussformel, 9Schnelligkeit, 12Schweredruck, 49Schwerpunkt, 24, 38Schwerpunktsatz, 39Schwingung, 89Serieschaltung, 81SI, 7Sievert, 100signifikante Stellen, 10Sinuswelle, 94Solarkonstante, 60Solenoid, 86Spannung, 75Spannungsenergie, 33Statik, 22, 26, 45Staudruck, 50Stefan-Boltzmann Gesetz, 59Stoffmenge, 61Strom, 76Stromrichtung, technische, 76Stromstärke

elektrische, 76

Temperatur, 54Temperaturausdehnung, 55Torricelli, 50Trägheit, 17Trägheitsprinzip, 21Treffpunkt, 15

Umlaufzeit, 41units, 62

Variable, 8Verbrennungswärme, 68

WärmeJoulesche, 80latente, 57sensible, 56

Wärmeausdehnung, 55Wärmekapazität, 56Wärmeleitung, 58Wärmestrahlung, 59Wärmestrom, 58Wärmestromdichte, 58Wasser, 19Wechselspannung, 88Welle, harmonische, 94Wellengeschwindigkeit, 95

105

Wellenlänge, 95wesentliche Ziffern, 10Widerstand

absoluter, 77spezifischer, 79

Winkelgeschwindigkeit, 41Wirkungsgrad, 36, 69Wirkungslinie, 44

Zahlenschreibweise, wissenschaftliche, 6Zentripetalbeschleunigung, 42Zerfallsgesetz, 98Zustandgleichung, 64Zylinderspule, 86

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FormelblattPhysikHSGYM · FormelblattPhysikHSGYM 24. November 2019, M. Lieberherr Viele Gesetze und Informationen auf dieser Seite sollten vom Gymnasium her bekannt sein und angewendet