Springer-Lehrbuch
Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 3
Kinetik, Hydrodynamik
vonDietmar Gross, Wolfgang Ehlers, Peter Wriggers
9., bearb. und erg. Aufl.
Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 3 Gross / Ehlers / Wriggers
schnell und portofrei erhltlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG
Thematische Gliederung:
Physik, Chemie fr Ingenieure
Springer 2010
Verlag C.H. Beck im Internet:www.beck.de
ISBN 978 3 540 89098 0
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1Kapitel 1Kinematik des Punktes
2 Kinematik
Die Lage eines Punkte P im Raum wirddurch den Ortsvektor
r(t)
beschrieben.Aus der Verschiebung dr des Punktes
P in eine Nachbarlage wahrend der Zeit dtfolgt seine Geschwindigkeit
v =dr
dt= r . Bahn
r
ds
dr
z
ys
P
x
Die Geschwindigkeit ist stets tangential zur Bahn gerichtet. Mit derBogenlange s und |dr| = ds gilt fur den Betrag der Geschwindigkeit
v =ds
dt= s .
Die zeitliche Anderung des Geschwindigkeitsvektors v(t) heit Be-schleunigung
a =dv
dt= v = r .
Die Beschleunigung ist im allgemeinen nicht tangential zur Bahn ge-richtet!
Die Vektoren r, v und a lassen sich in speziellen Koordinatensystemenwie folgt darstellen:
a) Kartesische Koordinaten mit den Einheitsvektoren ex, ey, ez:
r = x ex + y ey + z ez ,
v = x ex + y ey + z ez ,
a = x ex + y ey + z ez .
Bahn
r
eyex
ez
y
x
z
x
y
P
z
b) Zylinderkoordinaten mit den Einheitsvektoren er, e, ez:
r = r er + z ez ,
v = r er + r e + z ez ,
a = (r r2) er + (r + 2r) e + z ez .
Bahn
r
er
eez
r
y
P
x
z
x
y
z
des Punktes 3
c) Naturliche Koordinaten mit den Einheitsvektoren et und en inRichtung der Tangente bzw. der Hauptnormalen.
v = v et ,
a = v et +v2
en . Bahn
et
en
s
M
P
Dabei sind:
= Krummungsradius (Abstand zwischen P und
Krummungsmittelpunkt M),
v = s =ds
dt= Bahngeschwindigkeit,
at = v =dv
dt= Bahnbeschleunigung,
an =v2
= Normal- oder Zentripetalbeschleunigung.
Anmerkung: Die beiden Komponenten der Beschleunigung liegen inder sogenannten Schmiegungsebene. Der Beschleunigungsvektor zeigtstets ins
Innere der Bahn.
Geradlinige Bewegung
Weg x(t) ,
Geschwindigkeit v =dx
dt= x ,
Beschleunigung a =dv
dt= v = x .
P0x
x(t)
Kreisbewegung
Fur = r = const und s = r(t) erhalt man in naturlichen Koordinaten
Geschwindigkeit v = r = r ,
Bahnbeschleunigung at = r = r ,
Zentripetalbeschleunigung an =v2
r= r2
mit = = Winkelgeschwindigkeit.
s(t)
P
r(t)
4 Kinematische Grundaufgaben
Ebene Bewegung in Polarkoordinaten
Aus den Beziehungen fur Zylinderkoordinaten folgen fur z = 0, =
v = vrer + ve , a = arer + ae
mit
Radialgeschwindigkeit vr = r ,
Zirkulargeschwindigkeit v = r ,
Radialbeschleunigung ar = r r2 ,Zirkularbeschleunigung a = r + 2r .
Bahn
e
er
y
x
r
P
Anmerkung: Bei einer Zentralbewegung verschwindet die Zirkularbe-schleunigung. Aus a = r + 2r = (r
2)/r = 0 ergibt sich dann derFlachensatz (2. Keplersches Gesetz) r2 = const .
Kinematische Grundaufgaben fur geradlinige Bewegung
Der Bewegungsanfang zur Zeit t0 sei durch den Anfangsweg x0 und dieAnfangsgeschwindigkeit v0 gegeben.
Gegeben Gesuchte Groen
a = 0v = v0 = const , x = x0 + v0t
gleichformige Bewegung
a = a0 = constv = v0 + a0t , x = x0 + v0t +
12a0t
2
gleichmaig beschleunigte Bewegung
a = a(t) v = v0 +t
t0
a(t)dt , x = x0 +t
t0
v(t)dt
a = a(v)t = t0 +
vv0
dva(v)
= f(v) , x = x0 +t
t0
F (t)dt
mit der Umkehrfunktion v = F (t)
a = a(x)v2 = v20 + 2
xx0
a(x)dx , t = t0 +x
x0
dxv(x)
= g(x)
Die Umkehrfunktion liefert x = G(t)
Anmerkungen: Die Formeln lassen sich auch bei einer allgemeinen Bewegung an-
wenden, wenn man x durch s und a durch die Bahnbeschleunigungat ersetzt. Die Normalbeschleunigung folgt dann aus an = v
2/. Falls die Geschwindigkeit als Funktion des Weges gegeben ist, folgt
die Beschleunigung aus
a = vdv
dx=
d
dx(v2
2) .
Geradlinige Bewegung 5
A1.1Aufgabe 1.1 Der Mindestabstand b zwischen zwei Kraftfahrzeugen sollso gro sein wie die Strecke, die das nachfolgende Fahrzeug innerhalbvon ts = 2 s bei seiner jeweiligen Geschwindigkeit zurucklegt.
a) Wie gro ist die Uberholstrecke x1?
b) Fur welche Zeit tu befindet sich ein PKW (Lange l1 = 5 m, konstan-te Geschwindigkeit v1 = 120 km/h) mindestens auf der Uberholspur,wenn er einen LKW (Lange l2 = 15 m, Geschwindigkeit v2 = 80 km/h)korrekt uberholt? (Die Zeiten fur das Wechseln der Spur sollen un-berucksichtigt bleiben.)
Losung
l1 l2b1 b2 l1x2
x1
zu a) Bei gleichformiger Bewegung folgen die Mindestabstande mit1 km/h = 1000 m/3600 s zu
b1 = v1 ts =120
3, 6 2 = 200
3m , b2 = v2 ts =
80
3, 6 2 = 400
9m .
Die Uberholstrecke betragt daher
x1 = b1 + l2 + x2 + b2 + l1 .
Auerdem gilt
x2 = v2 tu , x1 = v1tu .
Elimination von tu liefert
x1 =b1 + b2 + l1 + l2
1 v2v1=
2003 +
4009 + 5 + 15
1 80120=
1180
3= 393, 33 m .
zu b) Fur die Uberholzeit ergibt sich damit
tu =x1v1
=1180 3, 6
3 120 = 11, 8 s .
6 Geradlinige
A1.2 Aufgabe 1.2 Zur Simulation schwereloser Zustande werden Vakuum-Fallschacht-Anlagen benutzt. Ein solcher Schacht habe eine Tiefe vonl = 200 m.
Welche maximale Versuchszeit t1 und welche Versuchsstrecke x1 imfreien Fall stehen zur Verfugung, wenn der Versuchskorper nach Durch-fallen der Mestrecke mit aII = 50 g auf v = 0 abgebremst wird?
Losung Da der Korper aus derRuhelage losgelassen wird (x0 =v0 =0), gilt mit aI = const = gfur den freien Fall
vI = gt , xI =g
2t2 .
Beim Abbremsen folgen mitaII =50 g fur Geschwindigkeitund Weg
vII = vII0 50 gt ,xII = xII0 + vII0 t 50 gt2/2 .
l
x1
t = 0x
(aI = g)
t = t1
(aII = 50 g)t = t2
Versuchskorper
Man beachte, dass die Integrationskonstanten xII0 und vII0 hier keinedirekte physikalische Bedeutung haben.
Fur t = t2 muss gelten:
vII(t2) = 0 vII0 = 50 gt2 ,
xII(t2) = l xII0 = l vII0 t2 +50
2gt22 = l 25 gt22 .
Aus den Ubergangsbedingungen
vI(t1) = vII(t1) gt1 = 50 g(t2 t1) ,
xI(t1) = xII(t1) g
2t21 = l 50
2gt22 + 50 gt1t2 50
2gt21
folgen durch Auflosen
t1 =
100 l
51 g=
100 20051 9, 81 = 6, 32 s ,
x1 = xI(t1) =g
2t21 =
g
2
100 l
51 g=
50
51l = 196 m .
Bewegung 7
A1.3Aufgabe 1.3 Eine U-Bahn legt zwischen 2 Stationen einen Weg von3 km zuruck. Aus der Anfahrbeschleunigung aA = 0, 2m/s
2, der Brems-verzogerung aB = 0, 6 m/s2 und der Hochstgeschwindigkeit v =90 km/h sollen der Anfahrweg, der Bremsweg, die Wegstrecke der gleich-formigen Bewegung und die Fahrzeit ermittelt werden.
Losung Aus der konstanten Beschleunigung aA folgt beim Anfahrenein Geschwindigkeitsverlauf
vA = aAt .
Mit der vorgegebenen Hochstgeschwindigkeit findet man die Anfahrt-zeit
tA =v
aA=
90 10003600 0, 2 = 125 s
und den Anfahrweg
sA =1
2aAt
2A =
1
2 0, 2 1252 = 1563 m .
Beim Bremsen mit konstanter Verzogerung aB gilt fur die Geschwin-digkeit
vB = v + aBt .
Die Zeit tB bis zum Anhalten (vB = 0) wird daher
tB = v
aB= 90 1000
3600 (0, 6) = 41, 67 s ,
und der zughorige Bremsweg ergibt sich zu
sB = vtB +
1
2aBt
2B =
90 10003600
41, 67 12 0, 6 41, 672
= 1041, 75 520, 92 = 521 m .Fur die Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit v bleibt dann ein Wegvon
s = 3000 sA sB = 916 m .Hierzu gehort eine Zeit
t =s
v=
916 360090 1000 = 36, 64 s .
Die Gesamtfahrzeit wird damit
T = tA + t + tB = 203, 31 s = 3, 39min .
8 Geradlinige
A1.4 Aufgabe 1.4 Ein PKW-Fahrer nahert sich mit einer Geschwindigkeitvon v0 = 50 km/h einer Ampel. Sie springt auf Rot, wenn er nochl = 100 m entfernt ist. Die Rot- und Gelbphase dauert t = 10 s. DerFahrer mochte die Ampel gerade dann passieren, wenn sie wieder auf
Grun
wechselt.
a) Mit welcher konstanten Beschleunigung a0 muss der Fahrer brem-sen?
b) Welche Geschwindigkeit v1 hat er auf Hohe der Ampel?
c) Man zeichne die Diagramme a(t), v(t) und x(t).
Losung Bei konstanter Beschleu-nigung a0 gilt mit x(t = 0) = 0
v = v0 + a0t ,
x = v0t + a0t2
2.
