Formelsammlung - members.a1.netmembers.a1.net/mathe.tgm/2002/ama/formelsammlung.pdf · Formelsammlung 6 2. Kreisfunktionen 2.1 Definitionen im rechtwinkeligen Dreieck γ=90° α β

Formelsammlung

für

Angewandte Mathematik

nn n

k 0

n(a b) a b

k−

=

+ =

∑ k k

Autor: Wolfgang Kugler

Formelsammlung 1

INHALTSVERZEICHNIS

1. Potenzen 3

1.1 Definitionen 3

1.2 Rechenregeln 3

1.3 Wurzeln 4

1.4 Binomischer Lehrsatz 4

2. Kreisfunktionen 6

2.1 Definitionen im rechtwinkeligen Dreieck 6

2.2 Sinus – und Kosinussatz 6

2.3 Die Kreisfunktionen am Einheitskreis 7

2.4 Summensätze 7

2.5 Produktformeln 7

2.6 Potenzen von Kreisfunktionswerten 7

3. Die quadratische Gleichung 8

3.1 Der allgemeine Fall 8

3.2 Der normierte Fall 8

4. Exponential – und Logarithmusfunktionen 9

4.1 Definition 9

4.2 Umrechnung auf die natürliche Basis e: 9

4.3 Rechengesetze für Logarithmen 9

4.4 Zusammenhang verschiedener Logarithmensysteme 9

5. Komplexe Zahlen 10

5.1 Definition der imaginäre Einheit 10

5.2 Beschreibungsarten komplexer Zahlen 10

5.3 Komplexe Darstellung von Sinus und Kosinus 12

5.4 Formel von Moivre 12

5.5 Komplexe Wurzeln 12

5.6 Komplexe Widerstände in der Wechselstromtechnik 13

6. Differentialrechnung 14

6.1 Definition des Differentialqoutienten 14

6.2 Ableitungsregeln 14

Angewandte Mathematik TGM Wolfgang Kugler

Formelsammlung 2

7. Integralrechnung 16

7.1 Stammfunktionen 16

7.2 Faktorenregel 16

7.3 Summenregel 16

7.4 Lineare Substitution 16

7.5 Produktintegration 16

7.6 Weitere Substitutionsmethoden 16

7.7 Grundintegrale 17

7.8 Rechenregeln für das bestimmte Integral 18

8. Fourierreihen 19

8.1 Sinus-Kosinusform 19

8.2 Amplituden– Phasen Form 19

8.3 Exponentialform 19

8.4 Parsevalsche Gleichung 19

9. Fouriertransformation 20

9.1 Definition 20

9.2 Linearität 20

9.3 Vereinfachungen 20

9.4 Symmetrietheorem 20

9.5 Variablenverschiebung im Zeitbereich 20

9.6 Variablenverschiebung im Frequenzbereich 21

9.7 Ähnlichkeitssatz 21

9.8 Differentiation im Zeitbereich 21

9.9 Integration im Zeitbereich 21

9.10 Faltung 21

9.11 Tabelle 22


Formelsammlung 3

1. Potenzen

1.1 Definitionen

Für das n-fache Produkt einer Zahl a schreibt man kurz

n

Faktorenn

aaaa =⋅⋅⋅−

… n ∈ N , a ∈ R

Man nennt : an eine Potenz

a...Basis oder Grundzahl n...Exponent oder Hochzahl

nn1o

a1aaa1a === −

1.2 Rechenregeln

• Multiplikation von Potenzen gleicher Basis: mnmn aaa +=⋅

Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert.

• Division von Potenzen gleicher Basis: mnm

n

aaa −=

Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert.

• Potenzieren von Potenzen: ( ) mnmn aa ⋅= Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert.

• Potenzieren eines Produkts ( ) n n na b a b⋅ = ⋅ Ein Produkt wird potenziert, indem jeder Faktor potenziert wird. Oder alternativ: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man das Produkt der beiden Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

• Potenzieren eines Quotienten: n

n

n

ba

ba

=

Ein Bruch wird potenziert, indem Zähler und Nenner potenziert werden. Oder alternativ: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamnen Exponenten potenziert.


Formelsammlung 4

1.3 Wurzeln

Wir definieren n aa n

1

= n∈N und weiters n maa nm

= n,m ∈N ; a ∈ R+ Wurzeln sind Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Für Potenzen mit gebrochenen (rationalen) Exponenten gelten dieselben Rechenregeln wie für Potenzen mit ganzen Exponenten. Die obigen Rechenregeln lassen sich sogar auf Potenzen mit reellen Exponenten erweitern. Sie gelten also für beliebige Potenzen an , d.h. n ∈ R , a ∈ R+.

1.4 Binomischer Lehrsatz

1.4.1 Die Potenzen des Binoms (a + b)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

a b

a b a b

a b a a b b

a b a a b a b b

a b a a b a b a b b

a b a a b a b a b a b b

a b a a b a b a b a b a b b

+ =

+ = +

+ = + +

+ = + + +

+ = + + + +

+ = + + + + +

+ = + + + + + +

0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

5 5 4 3 2 2 3 4 5

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

1

2

3 3

4 6 4

5 10 10 5

6 15 20 15 6

1.4.2 Binomialkoeffizienten ( Pascalsches Dreieck )

n

n

n

n

n

n

n

=

=

=

=

=

=

=

0

1

2

3

4

5

6

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

00

10

11

20

21

22

30

31

32

33

40

41

42

43

44

50

51

52

53

54

55

60

61

62

63

64

65

66


Formelsammlung 5

Man nennt das Eulersymbol. Aus dem Pascalschen Dreieck lässt sich Folgendes ablesen: nk

• Symmetrie: n nk n

= − k

11

• Bildungsgesetz: n n nk k 1 k

+ + = + +

Man kann den Wert für auch direkt aus der Zeilennummer n und der Platznummer k

berechnen:

nk

Es gilt: ( ) ( )( ) ( )

nk

n n n kk k

nk n k

=

⋅ − ⋅ ⋅ − +⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

=⋅ −

1 11 2 1...

...!

! !

1.4.3 Die Summenschreibweise

n

n n

k 0

n(a b) a b

k−

=

+ =

∑ k k


Formelsammlung 6

2. Kreisfunktionen

2.1 Definitionen im rechtwinkeligen Dreieck

γ = °90

α β

γ

a

c

b

Bezüglich α ist a die Gegenkathete GK , b die Ankathete AK und c die Hypotenuse H .

sin

cos

α

α

=

=

GKH

AKH

tan sin

cos

cossin

ααα

ααα

= =

= =

GKAK

ctg AKGK

Ein wichtiger Zusammenhang:

sin² α + cos² α = 1

2.2 Sinus – und Kosinussatz

Sie dienen zu Berechnungen im schiefwinkeligen Dreieck:

Kosinussatz:

c a b a b

a b c b c

b a c a c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

= + − ⋅

= + − ⋅

= + − ⋅

cos

cos

cos

γ

α

β

Sinussatz:

a bsin sin sinα β

= =c

γ


Formelsammlung 7

2.3 Die Kreisfunktionen am Einheitskreis

( )P P Px y/

α1

y

x

1

sin α

cos α Am Einheitskreis ist die Maßzahl der x-Koordinate gleich dem Kosinus des Winkels α, die Maßzahl der y-Koordinate ist gleich dem Sinus des Winkels.

2.4 Summensätze

1. Summensatz: 2. Summensatz:

( )( )( )( )

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

cos cos cos sin sin

α + β = α ⋅ β + α ⋅ β

α − β = α ⋅ β − α ⋅ β

α + β = α ⋅ β − α ⋅ β

α − β = α ⋅ β + α ⋅ β

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2 cos sin2 2

cos cos 2 cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

α + β α − βα + β = ⋅

α + β α − βα − β = ⋅

α + β α − βα + β = ⋅

α + β α − βα − β = − ⋅

2.5 Produktformeln

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

12

12

12

sin sin cos cos

sin cos sin sin

cos cos cos cos

α ⋅ β = α − β − α + β α ⋅ β = α − β + α + β α ⋅ β = α − β + α + β

2.6 Potenzen von Kreisfunktionswerten

( )( )( )

2 12

3 14

4 18

sin 1 cos 2

sin 3sin sin 3

sin cos 4 4 cos 2 3

α = − α

α = α − α

α = α − α +

( )( )( )

2 12

3 14

4 18

cos 1 cos 2

cos cos 3 3cos

cos cos 4 4 cos 2 3

α = + α

α = α + α

α = α + α +


Formelsammlung 8

3. Die quadratische Gleichung

3.1 Der allgemeine Fall

Ax² + B⋅x + C = 0

wird gelöst von:

2

1,2B B 4Ax

2A− ± −

=C

Man kann den allgemeinen Fall einer quadratischen Gleichung per Division durch A stets in die normierte Form überführen.

3.2 Der normierte Fall

x² + p⋅x + q = 0

wird gelöst von :

2

1,2p px q2 2

= − ± −


Formelsammlung 9

4. Exponential – und Logarithmusfunktionen

4.1 Definition

Jede Funktion der Form x → ax wobei a ist, nennt man Eponentialfunktion zur Basis a : expR∈ +

a

Es gilt: limx

xafür afür afür a

→∞=

∞ >=< <

11 10 0 1

Exponentialfunktionen expa – und Logarithmusfunktionen loga sind Umkehrfunktionen zueinander.

x x aa

a

aa

xlog

exp

loglog →←

⇔ = x x a aa

a

xa

xexp

log

log →←

⇔ = x

4.2 Umrechnung auf die natürliche Basis e:

ax = ekx mit k = ln a

Es gilt: limx

k xefür kfür kfür k

→∞

⋅ =∞ >

=<

01 00 0

4.3 Rechengesetze für Logarithmen

( )1

2

3

. log log log

. log log log

. log log

x y x y

xy

x y

x n xn

⋅ = +

= −

= ⋅

4.4 Zusammenhang verschiedener Logarithmensysteme

a b

a b

log x log xlog y log y

=


Formelsammlung 10

5. Komplexe Zahlen

5.1 Definition der imaginäre Einheit

j² = –1

5.2 Beschreibungsarten komplexer Zahlen

5.2.1 Komponentenform (Normalform )

z = a + j⋅b wobei a und b reelle Zahlen sind. a ist der Realteil von z : a = Re(z) b ist der Imaginärteil von z : b = Im(z) Die komplexe Zahlenebene

Imaginäre Achse z = a + j⋅b

jb Reelle

Achse a

5.2.2 Die konjugiert komplexe Zahl z*

z = a + j⋅b ⇒ z* = a – j⋅b

z * = a – j⋅b

z = a + j⋅b

a Re

Im

jb Wichtige Eigenschaft:

z ⋅z* = a² + b²


Formelsammlung 11

5.2.3 Grundrechnungsarten in der Komponentenform

Sind z1 = a1 + j⋅b1 und z2 = a2 + j⋅b2 , so gilt: z1 + z2 = (a1 + j⋅b1) + (a2 + j⋅b2) = (a1 + a2) + j⋅(b1 + b2) z1 – z2 = (a1 + j⋅b1) – (a2 + j⋅b2) = (a1 + a2) – j⋅(b1 + b2) z1 ⋅ z2 = (a1 + j⋅b1) ⋅ (a2 + j⋅b2) = (a1⋅a2– b1⋅b2) + j⋅(a1b2 + a2b1)

1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a jb (a jb ) (a jb ) a a b b a b a bz jz a jb (a jb ) (a jb ) a b a b

+ + ⋅ − + −= = = +

+ + ⋅ − + +

5.2.4 Polarform

z = (r,ϕ) r ist der Betrag (die Länge) von z . ϕ ist der Winkel den z mit der positiven reellen Achse einschließt. Umrechnungsformeln:

R→P : P→R :

2 2z r a bbarctana

= = +

ϕ =

a r cosb r sin

= ⋅ ϕ= ⋅ ϕ

5.2.5 Exponentialform:

z = r⋅ejϕ Grundlage für diese Darstellung ist die Eulerformel:

ejϕ = cos ϕ + j⋅sin ϕ

Die komplexe Zahlenebene

z = rejϕ

Reelle Achse

Imaginäre Achse

ϕ

r


Formelsammlung 12

Grundrechnungsarten in der Exponentialform Addition und Subtraktion sind in Exponentialform nicht (einfach) möglich. Sind z1 = r1⋅ejϕ1 und z2 = r2⋅ejϕ2 zwei beliebige komplexe Zahlen, so gilt für die Multiplikation: z1 ⋅z2 = r1⋅ejϕ1 ⋅ r2⋅ejϕ2 = r1⋅ r2⋅ej(ϕ1+ϕ2) = r⋅ejϕ Es gilt also: r = ⋅

1 2 1r r und ϕ = ϕ + ϕ2

Division: 1

1 2

2

jj( )j 1 1 1

j2 2 2

r e rzz re ez r e r

ϕϕ −ϕϕ

ϕ= = = = ⋅

Es gilt also: 11 2

2

r undr

= ϕr = ϕ

− ϕ

Kojugiert komplexe Zahlen in Exponentialform:

z = r⋅ejϕ ⇒ z* = r⋅e– jϕ Wichtige Eigenschaft: z ⋅z* = r²

Versor-Zeichen: jz re rϕ= = ϕ

5.3 Komplexe Darstellung von Sinus und Kosinus

j je ecos

2

ϕ − ϕ+ϕ =

j je esin2 j

ϕ − ϕ−ϕ =

5.4 Formel von Moivre

(cos ϕ + j⋅sin ϕ) n = (cos nϕ + j⋅sin nϕ)

5.5 Komplexe Wurzeln

Jede komplexe Zahl w , für die gilt: (w)n = z heißt eine n – te Wurzel von z . Es gibt genau n unterschiedliche Wurzeln:

2j kn nn

kw r e k 0 ... n 1ϕ π ⋅ + ⋅

= ⋅ = −


Formelsammlung 13

5.6 Komplexe Widerstände in der Wechselstromtechnik

Bauelement

Schaltungssymbol

Komplexer Widerstand

Ohmscher Widerstand

R

Z = R

Induktivität ( Spule )

L

Z = jωL

Kapazität ( Kondensator )

C

Zj L

=1ω


Formelsammlung 14

6. Differentialrechnung

6.1 Definition des Differentialqoutienten

0 0

x 0 x 0

f (x x) f (x )y dlim lim :x x∆ → ∆ →

+ ∆ −∆= =

∆ ∆f

dx

6.2 Ableitungsregeln

da 0dx

= ( )xxd e

edx

=

( ) ( )d a f x df xa

dx dx⋅ = ⋅ ( )x

xd aa ln a

dx= ⋅

( )nn 1d x

n xdx

−= ⋅ d ln x 1

dx x=

( )d f u x d f d udx d u d x

= ⋅ aa

d log x 1 log edx x

= ⋅

d sin x cos xdx

= d sinh x cosh xdx

=

d cos x sin xdx

= − d cosh x sinh xdx

=

22

d tan x 1 1 tan xdx cos x

= = + 22

d tanh x 1 1 tanh xdx cosh x

= = −

22

d cot x 1 1 cot xdx sin x

= − = − − 22

d coth x 1 1 cot xdx sinh x

= − = −

2

d arcsin x 1dx 1 x

=−

2

d ar sinh x 1dx x 1

=+

2

d arccos x 1dx 1 x

= −−

( )2

d ar cosh x 1 x 1dx x 1

= >−

2

d arc tan x 1dx 1 x

=+

( )2

d ar tanh x 1 x 1dx 1 x

= <−

2

d arccot x 1dx 1 x

= −+

( )2

d ar coth x 1 x 1dx 1 x

= >−


Formelsammlung 15

Sind u = u(x) und v = v(x) zwei Funktionen von x , so gilt:

Summenregel:

( )d u v du dv

dx dx dx+

= +

( )u v ' u ' v+ = + '

Produktregel:

( )d u v du dvv udx dx dx

⋅= ⋅ + ⋅

( )u v ' u ' v u v '⋅ = ⋅ + ⋅

Quotientenregel:

2

u du dvd v uv dx dxdx v

⋅ − ⋅

=

2

'u u ' v u vv v

⋅ − ⋅ =

'

Kettenregel:

( )( )d df u xdx du dx

= ⋅f du


Formelsammlung 16

7. Integralrechnung

7.1 Stammfunktionen

Jede Funktion F(x) , deren 1.Ableitung f(x) ist, heißt eine Stammfunktion von f(x). Man schreibt:

⇔ ( ) )x(Fdxxf =∫ ( )xfdxdF

=

7.2 Faktorenregel

( ) ( )a f x dx a f x dx⋅ = ⋅∫ ∫

7.3 Summenregel

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = + ∫ ∫ ∫

7.4 Lineare Substitution

Ist ∫ , so gilt:

( ) ( )f x dx F x C= +

( ) ( )1f ax b dx F ax b Ca

+ = + +∫

7.5 Produktintegration

u dv u v v du= ⋅ −∫ ∫

7.6 Weitere Substitutionsmethoden

Ist ∫ , so gilt: ( ) ( )f x dx F x C= +

( )( ) ( ) ( )( )f u x u x dx F u x C′⋅ =∫ +

Weiters ist:

( )( ) ( )f x

dx ln f x Cf x′

= +∫


Formelsammlung 17

7.7 Grundintegrale

( )n 1

n xx dx C n 1n 1

+

= + = −/+∫

( )1 dx ln x C x 0x

= + =/∫

sin x dx cos x C= − +∫

cos x dx sin x C= +∫

( )2

1 dx cot x C x ksin x

= − + = ⋅ π/∫

( )21 dx tan x C x 2k 1

cos x 2π = + = + ⋅/

∫

x xe dx e C= +∫

( )x

x aa dx C a 1 , a 0ln a

= + = >/∫

2

1 dx arctan x C1 x

= ++∫

( )2

1 dx arcsin x C x 11 x

= + <−∫

sinh x dx cosh x C= +∫

cosh x dx sinh x C= +∫

( )2

1 dx coth x C x 0sinh x

= − + =/∫

2

1 dx tanh x Ccosh x

= +∫

( )2

2

1 dx ar sinh x C ln x x 1 Cx 1

= + = + ++∫ +

( )2

2

1 dx ar cosh x C ln x x 1 C x 1x 1

= + = + − +−∫ >

( )2

1 1 1 xdx ar tanh x C ln C x 11 x 2 1 x

+= + = +

− −∫ <

( )21 1 1 xdx ar coth x C ln C x 1

1 x 2 1 x+

= + = +− −∫ >


Formelsammlung 18

7.8 Rechenregeln für das bestimmte Integral

Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt:

b

a

f (x)dx F(b) F(a)= −∫

Unterbrechung des Integrationsintervalls:

b c b

a a c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx= +∫ ∫ ∫

Umkehrung der Integrationsrichtung

b a

a b

f (x)dx f (x)dx= −∫ ∫

Für jede gerade Funktion fg gilt:

a a

g ga 0

f (x) dx 2 f (x) dx−

= ⋅∫ ∫

Für jede ungerade Funktion fu gilt:

a

ua

f (x) dx 0−

=∫

Für jede p–periodische Funktion gilt:

p a p

0 a

f (x)dx f (x)dx+

=∫ ∫


Formelsammlung 19

8. Fourierreihen

8.1 Sinus-Kosinusform

Entwicklung 2π–periodischer Funktionen, die x– Darstellung:

( )0 n n

n 1

0 n n

f (x) a a cos nx b sin nx

1 1 1a f (x)dx a f (x) cos nxdx b f (x) sin nxdx2

∞

=

π π π

−π −π −π

= + +

= = =π π π

∑

∫ ∫ ∫

Entwicklung T–periodischer Funktionen, die zeitliche Darstellung:

( )0 n 0 n 0n 1

T T T2 2 2

0 n nT T T2 2 2

f (t) a a cos n t b sin n t

1 2 2a f (t)dt a f (t) cos n tdt b f (t) sin n tdtT T T

∞

=

− − −

= + ω + ω

= = ω =

∑

∫ ∫ ∫ ω

8.2 Amplituden– Phasen Form

( ) ( )0 n n 0 n nn 1 n 1

2 2 nn n n n

n

f (x) A A sin n x f (t) A A sin n t

aA a b und arctanb

∞ ∞

= =

= + ⋅ ⋅ + ϕ = + ⋅ ⋅ ω + ϕ

= + ϕ =

∑ ∑

8.3 Exponentialform

o

0

jn tn

n

Tjn t

n0

f (t) c e

1c f (t) e dT

∞ω

=− ∞

− ω

= ⋅

= ⋅

∑

∫ t

8.4 Parsevalsche Gleichung

( )2

22 2 22 2 20 n n 0 n n

n 1 n 1 n0

1 1 1f (x) dx a a b A A c2 2 2

π ∞ ∞

= =

⋅ = + + = + =π ∑ ∑∫

∞

=−∞∑


Formelsammlung 20

9. Fouriertransformation

9.1 Definition

( ) ( ) j tF j : f t e dt∞

− ω

−∞

ω = ∫ ( ) ( ) j t1f t F j e d2

∞+ ω

−∞

= ωπ ∫ ω

9.2 Linearität

F ist ein linearer Integraloperator:

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }1 1 2 2 1 1 2 2a f t a f t a f t a f t+ = +F F F

9.3 Vereinfachungen

Vereinfachungen ergeben sich, wenn f(t) bestimmte Symmetrieeigenschaften besitzt. Für gerade Funktionen fg gilt:

( ) ( ) ( ) ( )j tg g

0

F j : f t e dt 2 f t cos t dt : F j∞ ∞

− ω

−∞

ω = = ω = ω∫ ∫ C

„Fourier–Kosinustransformation“

Für ungerade Funktionen fu gilt:

( ) ( ) ( ) ( )j tu g

0

F j : f t e dt 2 j f t sin t dt : F j∞ ∞

− ω

−∞

ω = = − ω = ω∫ ∫ s

„Fourier–Sinustransformation“

9.4 Symmetrietheorem

( ){ } (f t F j= ωF ) ⇔ ( ){ } ( )F jt 2 f= π ⋅ −ωF

9.5 Variablenverschiebung im Zeitbereich

( ){ } ( ){ }0j t

0f t t e f t− ω− =F F


Formelsammlung 21

9.6 Variablenverschiebung im Frequenzbereich

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 0 0j t j t j tj t0F j f t e dt f t e e dt f t e

∞ ∞− ω−ω + ω ω− ω

−∞ −∞

ω − ω = = =∫ ∫ F

9.7 Ähnlichkeitssatz

( ){ } ( ) ( )ja

a1 1f a t f e d F ja a

∞ ω− τ

ω

−∞

⋅ = τ τ = ⋅∫F

9.8 Differentiation im Zeitbereich

( ){ } ( )df j f t j F jdt

= ω⋅ = ω⋅ ω

F F

9.9 Integration im Zeitbereich

( ) ( )t 1f d F j

j−∞

τ τ = ⋅ ω ω ∫F

9.10 Faltung

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2f t * f t : f t f d∞

−∞

= − τ ⋅ τ∫ τ

Zusammenhang mit der FT:

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }1 2 1 2f t * f t f t f t= ⋅F F F

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }1 2 1 21f t f t f t * f t

2 ⋅ = π

F F F

Rechenregeln für die Faltung Nullelement: ( )0 f t 0∗ =

Einselement ( ) ( ) ( )t f t f tδ ∗ =

Kommutativgesetz: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1f t f t f t f t∗ = ∗

Assoziativgesetz: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t g t h t f t g t h t f t g t h t∗ ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗ Distributivgesetz: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t g t h t f t h t g t h t+ ∗ = ∗ + ∗


Formelsammlung 22

9.11 Tabelle

f(t) F(jω)

1 2π⋅δ(ω)

δ(t) 1

δ(t–t0) 0j te− ω

σ(t) π⋅δ(ω) + 1jω

0j te ω 2π⋅δ(ω–ω0)

cos(ω0t) π⋅[δ(ω–ω0) + δ(ω+ω0)]

sin(ω0t) –jπ⋅[δ(ω–ω0) – δ(ω+ω0)]

1, für t ≤ a/2 0 sonst

2 asin2

ω ω

e– t / T 22T

1 ( T)+ ω

e– t / T ⋅ σ(t) T

1 j T+ ω

tn⋅e– t / T ⋅ σ(t) ( )

n 1

n 1n!T

1 j T

+

++ ω

2t t2 Te

− ⋅

21(T )22 T e

− ωπ ⋅ ⋅

e– t / T ⋅ sin(ω0t)⋅ σ(t) 0

22

01 jT

ω

+ ω + ω

e– t / T ⋅ cos(ω0t)⋅ σ(t) 22

0

j1 jT

ω

+ ω + ω

2

1t 1+

e− ωπ ⋅

2

tt 1+

+ e− ωπ ⋅ für ω < 0 0 für ω = 0 – e− ωπ ⋅ für ω > 0


Documents

Formelsammlung - members.a1.netmembers.a1.net/mathe.tgm/2002/ama/formelsammlung.pdf · Formelsammlung 6 2. Kreisfunktionen 2.1 Definitionen im rechtwinkeligen Dreieck γ=90° α β