Kleine Formelsammlung zu Signale und Systeme 2siflfran/uni/IuK/Semester3/SiSy2/Formelsammlung.pdf · Kleine Formelsammlung zu Signale und Systeme 2 2.3 Entzerrer Ein Signal, das durch

Kleine Formelsammlung zu Signale undSysteme 2

Florian Franzmann∗

16. Marz 2006

Inhaltsverzeichnis

1 Elementare Grundlagen 3

1.1 Losungsformel fur quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Definition einiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 rect-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 si-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Fourier-Transformation 5

2.1 Hinreichende Bedingung fur die Existenz der Fourier-Transformierten . . 5

2.2 Symmetrien im Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Entzerrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Parsevalsches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Korrelation deterministischer Signale 9

3.1 Kreuzkorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Autokorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Diskrete Signale 9

4.1 Fourier-Transformation von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Komplexe Fourier-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 F∗-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

∗

[email protected]

1

4.3.1 Inverse F∗-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3.2 Zusammenhang zwischen Fxa(t) und F∗x[k] . . . . . . . . . . . 13

4.3.3 Periodizitat des Spektrums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3.4 Hinreichende Voraussetzung fur Existenz des Spektrums . . . . . . 13

4.3.5 Diskrete Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.4 z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.4.1 Inverse z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.4.2 Zusammenhang zwischen z- und F∗-Transformation . . . . . . . . 16

4.4.3 Konvergenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Diskrete LTI-Systeme 16

5.1 Linearitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2 Zeitinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.3 Zustandsraumbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3.1 Im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3.2 Im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3.3 Frobenius-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.4 FIR und IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.5 Differenzengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.6 Systemfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Realisierbarkeit von LTI-Systemen 21

6.1 Kausalitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.1.1 Konvergenzbereich kausaler LTI-Systeme . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2 Hilbert-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2.1 Kontinuierliche Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2.2 Diskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.3 Kausale stabile LTI-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.3.1 Stabilitatskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7 Zufallssignale 24

7.1 Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.1.1 Ensemblemittelwerte/Scharmittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.1.2 Zeitmittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.2 Stationaritat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.2.1 Schwache Stationaritat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.2.2 Schwache Ergodizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.3 Korrelationsfunktionen am Systemausgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.3.1 Erwartungswert am Systemausgang . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.3.2 Autokorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.3.3 Filter-Autokorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.3.4 Kreuzkorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.3.5 Autokovarianzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.3.6 Kreuzkovarianzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2

Kleine Formelsammlung zu Signale und Systeme 2

Abbildungsverzeichnis

1 Rechteck- und si-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Zustandsraumbeschreibung fur diskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Direktform I fur zeitdiskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Direktform II fur zeitdiskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Direktform III fur zeitdiskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Konvergenzbereich kausaler kontinuierlicher LTI-Systeme . . . . . . . . . 21

7 Konvergenzbereich kausaler diskreter LTI-Systeme . . . . . . . . . . . . . 22

8 Ubertragungsfunktion ruckgekoppelter Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 24

Tabellenverzeichnis

1 Korrespondenzen der zweiseitigen Laplace-Transformation . . . . . . . . . 6

2 Satze der zweiseitigen Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Einige bekannte Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Korrespondenzen der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Satze der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Korrespondenzen der Fourier-Transformation von Folgen . . . . . . . . . . 12

7 Satze der Fourier-Transformation von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8 Abtastfrequenz fur kritische Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

9 Korrespondenzen der zweiseitigen z-Transformation . . . . . . . . . . . . . 14

10 Satze der zweiseitigen z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1 Elementare Grundlagen

−1 = ejπ

1.1 Losungsformel fur quadratische Gleichungen

ax2 + bx+ c = 0

x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2afalls b2 − 4ac ≥ 0

x1,2 =−b± j

√

−(b2 − 4ac)

2afalls b2 − 4ac < 0

1.2 Definition einiger Funktionen

1.2.1 rect-Funktion

rect(at) =

1 fur |t| ≤ 1

2a

0 sonst

3

1

− 12a

12a

(a) rect(at)

−2πa 2πa

1a

(b) 1|a|

si( ω2a

)

Abbildung 1: Rechteck- und si-Funktion

4


1.2.2 si-Funktion

si(ν) =

sinν

νfur ν 6= 0

1 fur ν = 0

1.3 Additionstheoreme

sinα · sinβ =1

2(cos(α− β) − cos(α + β))

cosα · cosβ =1

2(cos(α− β) + cos(α + β))

sin2α =1

2(1− cos 2α)

cos2α =1

2(1+ cos 2α)

sin 2α = 2 sinα cosα

cos 2α = cos2α− sin2α

1.4 Integrationsregeln

1.4.1 Partielle Integration∫u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x) −

∫u ′(x)v(x)dx

1.4.2 Substitutionsregel

x = u(t) bzw. t = v(x). u und v seien zueinander Umkehrfunktionen.∫f(x)dx =

∫f(u(t))u ′(t)dt bzw.

∫f(x)dx =

∫f(u(t))

v ′(u(t))dt

2 Fourier-Transformation

X(jω) = Fx(t) =

∫∞

−∞x(t)e−jωtdt = Lx(t)

∣

∣

∣

s=jω

X(jω) = |X(jω)| · ejϕ(jω)

2.1 Hinreichende Bedingung fur die Existenz der Fourier-Transformierten∫∞

−∞|x(t)|dt < ∞

5

Tabelle 1: Korrespondenzen der zweiseitigen Laplace-Transformation

x(t) X(s) = Lx(t) Kb

δ(t) 1 s ∈ C

ε(t) 1s

Res > 0

e−atε(t) 1s+a

Res > Re−a

−e−atε(−t) 1s+a

Res < Re−a

tε(t) 1s2 Res > 0

tnε(t) n!sn+1 Res > 0

te−atε(t) 1(s+a)2 Res > Re−a

tne−atε(t) n!(s+a)n+1 Res > Re−a

sin(ω0t)ε(t)ω0

s2+ω20

Res > 0

cos(ω0t)ε(t)s

s2+ω20

Res > 0

e−at cos(ω0t)ε(t)s+a

(s+a)2+ω20

Res > Re−a

e−at sin(ω0t)ε(t)ω0

(s+a)2+ω20

Res > Re−a

t cos(ω0t)ε(t)s2−ω2

0

(s2+ω20)2 Res > 0

t sin(ω0t)ε(t)2ω0s

(s2+ω20)2 Res > 0

6


Tabelle 2: Satze der zweiseitigen Laplace-Transformation

x(t) X(s) = Lx(t) Kb

Linearitat Ax1(t) + Bx2(t) AX1(s) + BX2(s) Kb ⊇ KbX1 ∩KbX2

Verschiebung x(t− τ) e−sτX(s) unverandert

Modulation e−atx(t) X(s− a) um Rea nachrechts verschoben

”Multiplikation mit t“,

Differentiation im Fre-quenzbereich

tx(t) − ddsX(s) unverandert

Differentiation im Zeit-bereich

ddtx(t) sX(s) Kb ⊇ KbX

Integration∫t

−∞ x(τ)dτ1sX(s) Kb ⊇ KbX ∩ s :

Res > 0

Achsenskalierung x(at) 1|a|X

(

sa

)

Kb mit Faktor a

skalieren

7

Tabelle 3: Einige bekannte Reihenentwicklungen

Reihe Formel Konvergenz

Harmonische Reihe∑∞

n=11n

divergiert

Geometrische Reihe∑∞

n=0qn 1

1−qfalls |q| < 1

∑∞n=1

(−1)n

nln 1

2

∑∞n=1

1n2

π2

6

∑∞n=1

1nα fur α > 1

∑mn=1n

m(m+1)2

∑mn=0q

n 1−qm+1

1−q

2.2 Symmetrien im Spektrum

x(t)reell

⇐⇒

X(jω) = X∗(−jω)

Re X(jω) = Re X(−jω)

Im X(jω) = −Im X(−jω)

|X(jω)| = |X(−jω)|

arg X(jω) = − arg X(−jω)

x(t) = Re xg(t) + Re xu(t) + jIm xg(t) + jIm xu(t)

X(jω) = Re Xg(jω) + jIm Xu(jω) + jIm Xg(jω) + Re Xu(jω)

8


2.3 Entzerrer

Ein Signal, das durch ein System mit der UbertragungsfunktionH(jω) ubertragen wurdesoll durch ein weiteres System mit der Ubertragungsfunktion HE(jω) entzerrt werden.

HE(jω) =1

H(jω)

2.4 Parsevalsches Theorem∫∞

−∞f(t) ∗ g(t)dt =

1

2π

∫∞

−∞F(jν) ·G∗(jν)dν

Energie eines Signals:

Ef =

∫∞

−∞f(t) · f∗(t)︸︷︷︸

|f(t)|2

dt =1

2π

∫∞

−∞F(jω) · F∗(jω)︸︷︷︸

|F(jω)|2

dω

3 Korrelation deterministischer Signale

3.1 Kreuzkorrelationsfunktion

ϕfg(τ) =

∫∞

−∞f(t+ τ)g∗(t)dt

3.2 Autokorrelationsfunktion

ϕff(τ) =

∫∞

−∞f(t + τ)f∗(t)dt

4 Diskrete Signale

4.1 Fourier-Transformation von Folgen

x(t) =

∞∑

µ=−∞

x0(t − µT) = x0(t) ∗1

T⊥⊥⊥

(

t

T

)

X(jω) = X0(jω) ⊥⊥⊥ ωT

2π=2π

T·

∞∑

µ=−∞

δ

(

ω −2π

Tµ

)

X0(jω)

4.2 Komplexe Fourier-Koeffizienten

Aν =1

TX0

(

j2πν

T

)

9

Tabelle 4: Korrespondenzen der Fourier-Transformation

x(t) X(jω) = Fx(t)

δ(t) 1

1 2πδ(ω)

δ(t) jω

1T⊥⊥⊥

(

1T

)

⊥⊥⊥(

ωT2π

)

ε(t) πδ(ω) + 1jω

rect(at) 1|a|

si(

ω2a

)

si(at) π|a|

rect(

ω2a

)

1t

−jπsign(ω)

sign(t) 2jω

ejω0t 2πδ(ω −ω0)

cos(ω0t) π[δ(ω +ω0) + δ(ω−ω0)]

sin(ω0t) jπ[δ(ω +ω0) − δ(ω−ω0)]

e−α|t|;α > 0 2αα2+ω2

e−a2t2√

πae

− ω2

4a2

10


Tabelle 5: Satze der Fourier-Transformation

x(t) X(jω) = Fx(t)

Lineariat Ax1(t) + Bx2(t) AX1(jω) + BX2(jω)

Verschiebung x(t − τ) e−jωτX(jω)

Modulation ejω0tx(t) X(j(ω −ω0))

Differentiation im Frequenzbereich tx(t) −dX(jω)

d(jω)

Differentiation im Zeitbereich dx(t)dt

jωX(jω)

Integration∫t

−∞ x(τ)dτ1

jωX(jω) + πX(0)δ(ω)

Ahnlichkeit x(at) 1|a|X

(

jωa

)

; a ∈ R \ 0

Faltung x1(t) ∗ x2(t) X1(jω) · X2(jω)

Multiplikation x1(t) · x2(t)12πX1(jω) ∗ X2(jω)

Dualitatx1(t)

x2(jt)

x2(jω)

2πx1(−ω)

Symmetrienx(−t)

x∗(t)

x∗(−t)

X(−jω)

X∗(−jω)

X∗(jω)

Parsevalsches Theorem∫∞

−∞ |x(t)|2dt 12π

∫∞−∞ |X(jω)|2dω

11

Tabelle 6: Korrespondenzen der Fourier-Transformation von Folgen

x[k] X(ejΩ) = F∗x[k]

δ[k] 1

ε[k] 11−e−jΩ + 1

2⊥⊥⊥

(

Ω2π

)

1 ⊥⊥⊥(

Ω2π

)

ejΩ0k ⊥⊥⊥(

Ω−Ω0

2π

)

cosΩ0k12

[

⊥⊥⊥(

Ω−Ω0

2π

)

+ ⊥⊥⊥(

Ω−Ω0

2π

)]

sinΩ0k12

[

⊥⊥⊥(

Ω−Ω0

2π

)

− ⊥⊥⊥(

Ω−Ω0

2π

)]

x[k] =

1 fur 0 ≤ k ≤ N

0 sonst

e−jΩN−12 · sin(NΩ

2 )sin(Ω

2 )

akε[k] 11−ae−jΩ

Tabelle 7: Satze der Fourier-Transformation von Folgen

Eigenschaft x[k] X(ejΩ) = F∗x[k]

Linearitat ax1[k] + bx2[k] aX1(ejΩ) + bX2(e

jΩ)

Verschiebungssatz x[k− κ] e−jΩκX(ejΩ); κ ∈ Z

Modulationssatz ejΩ0kx[k] X(ej(Ω−Ω0)); Ω0 ∈ R

Faltungssatz x1[k] ∗ x2[k] X1(ejΩ)X2(e

jΩ)

Multiplikationssatz x1[k]x2[k]12πX1(e

jΩ) ⊛ X2(ejΩ)

Parsevalsches Theorem∑∞

k=−∞ |x[k]|2 12π

∫π

−π|X(ejΩ)|dΩ

12


Tabelle 8: Abtastfrequenz fur kritische Abtastung

Signal Abtastfrequenz

Basisbandsignal ωa = 2ωg

komplexes Bandpaß-Signal ωa = ∆ω

reelles Bandpaß-Signal ωa = 2∆ω

4.3 F∗-Transformation

X(ejΩ) = F∗ x[k] =

∞∑

k=−∞

x[k]e−jkΩ

x[k] =1

2π

∫π

−π

X(ejΩ)ejkΩdΩ

4.3.1 Inverse F∗-Transformation

x[k] =1

2π

∫π

−π

X(

ejΩk)

dΩ

4.3.2 Zusammenhang zwischen Fxa(t) und F∗x[k]

Xa(jω) = X(ejωT)

4.3.3 Periodizitat des Spektrums

X(

ej(Ω+2π))

= X(

ejΩ)

4.3.4 Hinreichende Voraussetzung fur Existenz des Spektrums

∑

k

|x[k]| < ∞

4.3.5 Diskrete Faltung

y[k] = x[k] ∗ h[k] =

∞∑

κ=−∞

x[κ]h[k− κ] = h[k] ∗ x[k]

13

Tabelle 9: Korrespondenzen der zweiseitigen z-Transformation

x[k] X(z) = Zx[k] Kb

δ[k] 1 z ∈ C

ε[k] zz−1

|z| > 1

akε[k] zz−a

|z| > |a|

−akε[−k− 1] zz−a

|z| < |a|

kε[k] z(z−1)2 |z| > 1

kakε[k] az(z−a)2 |z| > |a|

sin(Ω0k)ε[k]zsinΩ0

z2−2zcos Ω0+1|z| > 1

cos(Ω0k)ε[k]z(z−cos Ω0)

z2−2zcos Ω0+1|z| > 1

14


Tabelle 10: Satze der zweiseitigen z-Transformation

Eigenschaft x[k] X(z) Kb

Lineariat ax1[k] + bx2[k] aX1(z) + bX2(z) Kb ⊇ KbX1 ∩ KbX2

Verschiebung x[k− κ] z−κX(z) Kbx; z = 0 und z →∞ gesondert betrachten

Modulation akx[k] X(

za

)

Kb =z∣

∣

za∈ Kbx

Multiplikation mit k kx[k] −zdX(z)

dzKbx; z = 0 gesondertbetrachten

Zeitumkehr x[−k] X(z−1) Kb = z∣

∣z−1 ∈ Kbx

Faltung x1[k] ∗ x2[k] X1(z) · X2(z) Kb ⊇ Kbx1 ∩ Kbx2

Multiplikation x1[k] · x2[k]1

2πj

∮X1(ζ)X2

(

zζ

)

1ζdζ Grenzen der Konver-

genzbereiche multipli-zieren

15

4.4 z-Transformation

Zx[k] =

∞∑

k=−∞

x[k]z−k; z ∈ Kb ⊂ C

4.4.1 Inverse z-Transformation

x[k] =1

2πj

∮X(z)zk−1dz =: Z−1X(z)

4.4.2 Zusammenhang zwischen z- und F∗-Transformation

F∗x[k] = Zx[k]|z=ejΩ

X(z) = X(

rejΩ)

=∑

k

x[k](

rejΩ)−k

=∑

k

x[k]r−kejΩk = F∗x[k]r−k

4.4.3 Konvergenzbereich

1. Der Konvergenzbereich von X(z) besteht im allgemeinen aus einem Kreisring umden Ursprung der z-Ebene bei z = 0.

2. Wenn x[k] ein rechtsseitiges Signal ist, dann liegt der Konvergenzbereich außerhalbeines Kreises durch die am weitesten vom Ursprung entfernt liegende Singularitat.

3. Wenn x[k] ein linksseitiges Signal ist, dann liegt der Konvergenzbereich innerhalbeines Kreises durch die dem Ursprung am nachsten liegende Singularitat.

4. Ist x[k] zweiseitig bzw. die Summe einer linksseitigen und einer rechtsseitigen Folge,dann ist der Konvergenzbereich ein Kreisring zwischen zwei Singularitaten, fallssich der linksseitige under der rechtsseitige Konvergenzbereich uberlappen.

5. X(z) ist im gesamten Konvergenzbereich analytisch.

6. Wenn die Folge x[k] von endlicher Dauer ist, dann konvergiert X(z) in der gesamtenz-Ebene, außer moglicherweise fur z = 0 und z → ∞.

5 Diskrete LTI-Systeme

5.1 Linearitat

Sα1x1[k] + α2x2[k] = α1Sx1[k]α2Sx2[k]

5.2 Zeitinvarianz

y[k] = Sx[k]

y[k− κ] = Sx[k− κ] ∀κ ∈ Z

16


D

C∑ ∑

z−1EB

x[k] y[k]

A

z[k + 1] z[k]

Abbildung 2: Zustandsraumbeschreibung fur diskrete Systeme

5.3 Zustandsraumbeschreibung

5.3.1 Im Zeitbereich

z[k+ 1] = Az[k] + Bx[k]

y[k] = Cz[k] +Dx[k]

5.3.2 Im Frequenzbereich

zZ(z) = AZ(z) + BX(z)

Y(z) = CZ(z) +DX(z)

17

∑b0

∑

∑

∑

∑

∑

1/a0

x(t) y(t)

−a1

−aN−1

−aN

b1

bN−1

bN

z−1

z−1 z−1

z−1

z[k+ 1]

z[k]

Abbildung 3: Direktform I fur zeitdiskrete Systeme

∑ ∑b0

b1

bN−1

bN

1/a0

−aN−1

−a1

−aN

x(t) y(t)

−− −

++

z−1

z−1

Abbildung 4: Direktform II fur zeitdiskrete Systeme

18


5.3.3 Frobenius-Matrix

z1

z2

...

zN−1

zN

[k+ 1] =

−a1

a0−a1

a0· · · −a1

a0−a1

a0

1 0 · · · 0 0

0 1 · · · 0 0

......

. . ....

...

0 0 · · · 1 0

z1

z2

...

zN−1

zN

[k] +

1a0

0

0

...

0

x[k]

y[k] =

(

b1 − a1b0

a0· · · bN − aN

b0

a0

)

z1

z2

...

zN

[k] +b0

a0

x[k]

5.4 FIR und IIR

FIR (Finite Impulse Response): Endliche Impulsantwort ⇔ nichtrekursive Systeme

IIR (Infinite Impulse Response): Unendliche Impulsantwort ⇔ rekursive Systeme

5.5 Differenzengleichung

N∑

n=0

any[k− n] =

N∑

n=0

bnx[k− n]

5.6 Systemfunktion

H(z) =Y(z)

X(z)=

∑Nm=0bmz

−m

∑Nn=0anz−n

19

∑

∑

∑

∑

b0

bN

1/a0

−aN

x(t) y(t)

b1

bN−1 −aN−1

−a1

z−1

z−1

z−1

Abbildung 5: Direktform III fur zeitdiskrete Systeme

20


jω

σ

Abbildung 6: Konvergenzbereich kausaler kontinuierlicher LTI-Systeme

6 Realisierbarkeit von LTI-Systemen

6.1 Kausalitat

h(t) = 0 fur t < 0

h[k] = 0 fur k < 0

⇒ kausal

6.1.1 Konvergenzbereich kausaler LTI-Systeme

Kontinuierliche Systeme

Res > σ

Diskrete Systeme

∞ > |z| > Rh−

6.2 Hilbert-Transformation

6.2.1 Kontinuierliche Systeme

Im Frequenzbereich

HX(jω) =1

πX(jω) ∗ 1

ω=1

π

∫∞

−∞

X(jω)

ω − ηdη

21

Imz

Rez

Abbildung 7: Konvergenzbereich kausaler diskreter LTI-Systeme

ReH(jω) =1

πImH(jω) ∗ 1

ω=: HImH(jω)

ImH(jω) = −1

πReH(jω) ∗ 1

ω=: −HReH(jω)

Im Zeitbereich

H x(t) =1

πx(t) ∗ 1

t

=1

π·∫∞

−∞

x(τ)

t− τdτ

= F−1 −jX(jω) · sign(ω)

6.2.2 Diskrete Systeme

H∗

(

ejΩ)

=1

πH

(

ejΩ)

⊛1

1− e−jΩ= h[0] +H(ejΩ) ⊛

1

2πj tan Ω2

ReH(ejΩ) = Reh[0] + ImH(ejΩ) ⊛1

2π tan Ω2

ImH(ejΩ) = Imh[0] − ReH(ejΩ) ⊛1

2π tan Ω2

6.3 Kausale stabile LTI-Systeme

6.3.1 Stabilitatskriterien

Diskrete Systeme

1. Das diskrete System mit der Systemfunktion H(z) =P(z)

Q(z)ist stabil, wenn das

Zahlerpolynom von Q(s) = Q(

s+1s−1

)

ein Hurwitz-Polynom ist und Q(1) 6= 0 ist.

22


2. Ein Diskretes LTI-System ist genau dann stabil, wenn alle Pole der SystemfunktionH(z) im Inneren des Einheitskreises der z-Ebene liegen.

3. Ein diskretes LTI-System ist genau dann stabil, wenn seine Impulsantwort absolutsummierbar ist.

∞∑

k=−∞

|h[k]| < M < ∞ ⇒ stabil

Kontinuierliche Systeme

1. Ein kontinuierliches LTI-System ist genau dann stabil, wenn seine Impulsantwortabsolut integrierbar ist.

∫∞

−∞|h(t)|dt < M < ∞ ⇒ stabil

2. Eine System ist dann stabil, wenn sein Nennerpolynom ein Hurwitz-Polynom ist.

Bringe H(s) auf die Form

H(s) =P(s)

Q(s)

so daß Q(s) die Form

Q(s) = sN + a1sN−1 + a2s

N−2 + · · · + aN−1s+ aN

hat und als Koeffizienten der hochsten Potenz sN eine Eins besitzt.

3. Bei einem kausalen, stabilen, kontinuierlichen LTI-System liegen alle Singularitatender Systemfunktion H(s) in der offenen linken Halbebene der s-Ebene.

Hurwitz-Polynom

• Notwendige Bedingung:

Alle Koeffizienten an sind positiv. Fur N = 1; 2 ist dies bereits hinreichend.

• Hinreichende Bedingung:

Fur N > 2: Stelle Hurwitz-Determinanten fur µ = 1; 2; . . . ;N mit anu = 0 furν > N auf:

∆µ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 1 0 0 · · · 0

a3 a2 a1 1 · · · 0

a5 a4 a3 a2 · · · 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

a2µ−1 a2µ−2 · · · aµ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

23

F(s)

1−F(s)G(s)

(E− F(s)G(s))−1F(s)G(s)

F(s)+

Abbildung 8: Ubertragungsfunktion ruckgekoppelter Systeme

Q(s) ist ein Hurwitz-Polynom, wenn alle Determinanten positiv sind.

∆µ > 0 fur µ = 1; 2; . . . ;N

7 Zufallssignale

7.1 Erwartungswerte

7.1.1 Ensemblemittelwerte/Scharmittelwerte

Mittelung uber die verschiedenen Musterfunktionen xi(t1) zu einem festen Zeitpunkt t1.Im allgemeinen abhangig von t1.

Linearer Mittelwert

µx(t) = E x(t) = limN→∞

1

N

N∑

i=1

xi(t)

Quadratischer Mittelwert (Leistung)

Ex2(t)

= lim

N→∞

1

N·

N∑

i=1

x2i(t) = ϕxx(0)

Varianz

σ2x(t) = E

(x(t) − µx(t))

2

= Ex2(t)

− µ2

x(t) = ψxx(0)

Autokorrelationsfunktion

ϕxx(t1, t2) = E x(t1) · x(t2) = limN→∞

1

N

N∑

i=1

xi(t1)xi(t2)

7.1.2 Zeitmittelwerte

Mittelung uber alle Zeitpunkte einer bestimmten Musterfunktion xi(t). Im allgemeinenverschieden fur jede Musterfunktion.

24


Linearer Zeitmittelwert

xi(t) = lim1

2T

∫T

−T

xi(t)dt

Quadratischer Zeitmittelwert

x2i(t) = lim

T→∞

1

2T·∫T

−T

x2i(t)dt

Autokorrelationsfunktion der Musterfunktion i

ϕxx,i(τ) = xi(t) · xi(t− τ) = limT→∞

1

2T

∫T

−T

xi(t)xi(t− τ)dt

7.2 Stationaritat

7.2.1 Schwache Stationaritat

• µx(t) = µx hangt nicht von der Zeit ab

• ϕxx(t1, t2) hangt nur von der Zeitdifferenz τ = t1 − t2 ab

7.2.2 Schwache Ergodizitat

• stationar

• µx = xi(t) ∀i

• ϕxx(t1, t2) = ϕxx,i(τ) ∀i

7.3 Korrelationsfunktionen am Systemausgang

Autokorrelationsfunktion ϕ Φ Leistungsdichtespektrum

7.3.1 Erwartungswert am Systemausgang

µy = µx ·H(0) falls µx stationar ist.

7.3.2 Autokorrelationsfunktion

ϕyy(τ) = ϕhh(τ) ∗ϕxx(τ)

Φyy(jω) = Φxx(jω) · |H(jω)|2

25

7.3.3 Filter-Autokorrelationsfunktion

ϕhh(τ) = h(τ) ∗ h∗(−τ)

Φhh(jω) = H(jω) ·H∗(−jω)

7.3.4 Kreuzkorrelationsfunktion

ϕxy(τ) = h∗(−τ) ∗ϕxx(τ)

Φxy(jω) = Φxx(jω) ·H∗(jω)

ϕyx(τ) = h(τ) ∗ϕxx

Φyx(jω) = Φxx(jω) ·H(jω)

7.3.5 Autokovarianzfunktion

ψxx(τ) = E (x(t) − µx)(x(t − τ) − µx) = ϕxx(τ) − µ2x

7.3.6 Kreuzkovarianzfunktion

ψxy(τ) = E (x(t) − µx)(y(t − τ) − µy) = ϕxy(τ) − µxµy

26

Documents

Kleine Formelsammlung zu Signale und Systeme 2siflfran/uni/IuK/Semester3/SiSy2/Formelsammlung.pdf · Kleine Formelsammlung zu Signale und Systeme 2 2.3 Entzerrer Ein Signal, das durch